ΕΡΓΑΣΙΕΣ ΣΕ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ.

Στο πρώτο μέρος θα βρείτε εργασίες που αφορούν θέματα γενικής διδακτικής μαθηματικών (θεωρίες μάθησης , ρεαλιστικά μαθηματικά , βιωματική μάθηση , ομαδοσυνεργατική μέθοδος διδασκαλίας).

Στο δεύτερο μέρος υπάρχουν εργασίες ειδικής διδακτικής που ασχολούνται με ζητήματα διδακτικής προσέγγισης συγκεκριμένων μαθηματικών εννοιών στο γυμνάσιο και στο λύκειο.

Ξεκινάμε με σταχυολογήματα από το βιβλίο :"Θεωρία και πράξη στη διδασκαλία των μαθηματικών" της Ε. Κολέζα εκδόσεων Τόπος 2009. Αποτελούν για μένα ένα χρήσιμο και πρακτικό οδηγό για το σχεδιασμό των δραστηριοτήτων και γενικά της διδασκαλίας στην τάξη.

1.Φαινομενολογική προσέγγιση - μαθηματική προσέγγιση-  διδακτική προσέγγιση

Μια διδακτική πρόταση , δηλαδή ένα σενάριο διδασκαλίας μιας μαθηματικής έννοιας ή διαδικασίας , είναι το προϊόν τριών μορφών προσέγγισης

Μιας φαινομενολογικής προσέγγισης

Μιας μαθηματικής προσέγγισης

Μιας διδακτικής προσέγγισης.

   Κατά τη φαινομενολογική προσέγγιση κάποια από τα ερωτήματα που πρέπει να τίθενται από το δάσκαλο είναι :

α. Για την οργάνωση ποιων φαινομένων δημιουργήθηκε η συγκεκριμένη έννοια , σε ποια φαινόμενα μπορεί να επεκταθεί;

β. Σε ποιες καταστάσεις της φύσης ή της καθημερινής ζωής υπεισέρχεται η έννοια;

γ. Ποια προβλήματα από την καθημερινή ζωή , ή από τον χώρο των άλλων επιστημών , μπορεί να αντιμετωπίσει η συγκεκριμένη έννοια;

δ. Πως συνδέεται αυτή η έννοια με άλλες από τα μαθηματικά ή από άλλες επιστήμες;

   Σύμφωνα με τη φαινομενολογική προσέγγιση , η διδασκαλία ενός μαθηματικού αντικειμένου ξεκινάει ενσωματώνοντας εκείνα τα φαινόμενα από το φυσικό κόσμο, την καθημαερινότητα και τις άλλες επιστήμες που επιδέχονται οργάνωση μέσω της συγκεκριμένης έννοιας,

   Κατά τη μαθηματική προσέγγιση της διδασκαλίας , πρέπει να προηγείται η καθαρά μαθηματική της ανάλυση.Αυτή η ανάλυση μας επιτρέπει να εντάξουμε την συγκεκριμένη έννοια σε ένα πλέγμα εννοιών και να δημιουργήσουμε τις κατάλληλα επιγμένες ερωτήσεις , ασκήσεις και προβλήματα για την κατανόηση των εννοιών και τη σύνδεση μεταξύ τους.Κατά την μαθηματική προσέγγιση είναι σημαντικό να αναδειχθεί η γενικότερη μαθηματική δομή στην οποία εντάσσεται η έννοια και να επιδιωχθούν όλες οι δυνατές συνδέσεις μεταξύ των δομικά συσχετιζομένων εννοιών. Για παράδειγμα όταν στόχος της διασκαλίας είναι η έννοια του εμβαδού , πρέπει σε μια πρώτη φάση να διαχωρίσουμε την έννοια από τον αλγόριθμο εύρεσης του εμβαδού.Το εμβαδόν ως έννοια συνδέεται με την έννοια της μέτρησης επιφάνειας , στην  ευρύτερη περιοχή των πολλαπλασιαστικών δομών.Επίσης συνδέεται με την επιλογή μονάδων μέτρησης και με την ανάδειξη λειτουργικών σχέσεων των εμβαδών διαφόρων σχημάτων ( ισεμβαδικότητα , προσθετικός κανόνας εμβαδών κ.α.).

Κατά τη διδακτική προσέγγιση ο δάσκαλος καλείται να επιλέξει το θεωρητικό πλαίσιο αναφοράς για να σχεδιάσει τη διδασκαλία του.Θα μπορούσε να επιλέξει ένα συνδυασμό θεωρητικών πλαισίων.Τέτοια πλαίσια που αποσκοπούν στην διδακτική αποτελεσματικότητα θα μπορούσαν να αποτελέσουν πρακτικές εφαρμογές από την ρεαλιστική εκπαίδευση με βάση τη θεωρία των ρεαλιστικών μαθηματικών. Ακόμη με βάση την αρχή της "καθοδηγούμενης επανεύρεσης"  σύμφωνα με την οποία  οι μαθητές εμπλέκονται και ανακαλύπτουν βαθμιαία τα τυπικά αφηρημένα μαθηματικά που εμπεριέχονται σε μια κατάσταση.Επίσης η ομαδοσυνεργαστική συγκρότηση της τάξης αποτελεί μια διδακτική κατάσταση.

     Βασική υποχρέωση του δασκάλου αποτελεί η επιλογή κατάλληλων δραστηριοτήτων ώστε οι  μαθητές να μπορέσουν να κατασκευάσουν την έννοια ή τη διαδικασία.Επίσης η ενίσχυση των στρατηγικών των μαθητών, κατά τη φάση της διευρεύνυσης.Επίσης η ενίσχυση των μορφών επικοινωνίας.Πρέπει τέλος να αναδεικνύεται το κοινό χαρακτηριστικό των δραστηριοτήτων ώστε να διατυπώνεται και να συμβολίζεται η έννοια ή η διαδικασία.

2. Οριζόντια και κατακόρυφη μαθηματικοποίηση - Αφαίρεση και ματάβαση στο αφηρημένο.

Τα μαθηματικά είναι η επιστήμη των δομών.Άρα η διδασκαλία τους  στοχεύει στην κατανόηση αυτών των δομών μέσω των αντίστοιχων νοητικών σχημάτων. Οι μαθηματικές έννοιες κατασκευάζονται ως δομές μέσω μιας διαδικασίας αφαίρεσης. Με βάση αυτή οι εμπειρίες συνδέονται μεταξύ τους μέσα από τις ομοιότητες που εμπεριέχουν.Έτσι  :

α. Στην πρώτη φάση αναγνωρίζονται τα κοινά χαρακκτηριστικά γνωρίσματα σε ποικίλες και διαφορετικές καταστάσεις.

β. Μετά η αναγνωριζόμενη ως ομοιότητα αφαιρείται από τις πραγματικές συνιστώσες και αναγνωρίζεται ως ένα αυτόνομο αφηρημένο οικοδόμημα.

γ. Τελικά το αυτόνομο αυτό αντικείμενο μεταστοιχειώνεται σε μαθηματική έννοια.

Η κατασκευή του μαθηματικού αντικειμένου είναι μια διαδικασία μετάβασης από μια λειτουργική σε μια δομική αντίληψη του αντικειμένου.Οι μαθηματικοί καλούνται να απογυμνώσουν τα αντικείμενα από κάθε αισθητό  , από οποιεσδήποτε πρακτικές και αισθητές προσμίξεις.Μέσω της μαθηματικής αφαίρεσης αφαιρούνται όλα αυτά τα άχρηστα υλικά  και απομένει το αντικείμενο στην αφηρημένη δομή του.Μιλάμε για την μετάβαση στο αφηρημένο μέσω μιας διαδικασίας αφαίρεσης.

Σε σχέση με το προηγούμενο θεωρητικό πλαίσιο η οργάνωση της διδασκαλίας γίνεται σε τρία στάδια.

α. Ανάπτυξη διαδικασιών , προβλημάτων και δραστηριοτήτων οικεία προς την καθημερινότητα μέσω των οποίων λειτουργεί το νεοπαραγόμενο μαθηματικό αντικείμενο.Καλούμαστε να  αναδείξουμε δράσεις και επαναδράσεις για να διαφανεί η πολλαπλότητα λειτουργίας της μαθηματικής έννοιας σε διαφορετικά πραγματιστικά πλαίσια.

β. Ανάδειξη της ομοιότητας , των κοινών χαρακτηριστικών , της ίδιας δομής που υπάρχουν στα διφορετικά αυτά πλαίσια.Η σκόρπια γνώση ματατρέπεπαι σε μια σταθερή και επαναλαμβανόμενη δομή με σαφή και οριοθετημένα χαρακτηριστικά.

γ. Επικύρωση της δομής που παράχθηκε ως αυτόνομο μαθηματικό αντικείμενο με επιστημολογικά πλέον στοιχεία.Τελικά διατυπώνεται και συμβολίζεται η δομή αυτή με μαθηματικούς όρους.

Το πρώτο βήμα της διαδικασίας αυτής καλείται οριζόντια μαθηματικοποίηση. Οι μαθητές διαπραγματεύονται σκόρπιες δράσεις χωριστά τη μία από την άλλη σε οριζόντιο επίπεδο.Το δεύτερο στάδιο συνίσταται στην αναγνώριση των δομικών ομοιότήτων των παραπάνω δράσεων και στην κατασκευή ενός νοητικού αντικειμένου κοινού σε όλες τις δραστηριότητες.Τα δύο τελευταία στάδια λοιπόν αποτελούν την κατακόρυφη μαθηματικοποίηση γιατί προϋποθέτουν την κατακόρυφη σύγκριση των δράσεων για να αναγνωρισθεί η δομική ομοιότητά τους.

Δηλαδή η οριζόντια μαθηματικοποίηση αφορά την περιγραφή του πραγματικού πλαισίου του μαθηματικού προβλήματος και η κατακόρυφη μαθηματικοποίηση ως η περαιτέρω επεξεργασία του μαθηματικού θέματος.Στόχος της κατακόρυφης μαθηματικοποίσηης μέσα από την αναγνώριση της κοινής αφηρημένης δομής είναι η μεταστοιχείωσή της σε μαθηματικό αντικείμενο. Απαιτεί τη διαδικασία της αφαίρεσης και της μετάβασης στο αφηρημένο.

3. H μαθηματική ικανότητα

Η μαθηματική ικανότητα συγκροτείται από πέντε επιμέρους στοιχεία :

Εννοιολογική κατανόηση

Διαδικαστική άνεση

Στρατηγική ικανότητα

Προσαρμοστικός συλλογισμός

Παραγωγική διάθεση.

Εννοιολογική κατανόηση. Ο όρος δηλώνει την κατανόηση των μαθηματικών εννοιών των διαδικασιών και των σχέσεων.Ένας σημαντικός δείκτης της εννοιολογικής κατανόησης είναι η ικανότητα κάποιου να αναπαριστά τις μαθηματικές καταστάσεις με διαφορετικούς τρόπους και να γνωρίζει πως οι διαφορετικές αναπαραστάσεις μπορούν να είναι χρήσιμες για διαφορετικούς λόγους.

Η εννοιολογική κατανόηση αναφέρεται σε μια ολοκληρωμένη και λειτουργική σύλληψη των μαθηματικών ιδεών.Μαθητές με εννοιολογική κατανόηση ξέρουν περισσότερα από μεμονωμένα γεγονότα και μεθόδους.Η διευκρίινιση των ορισμών είναι μια καλή δραστηριότητα που οδηγεί στην εννοιολογική κατανόηση.Επίσης η επιλογή των εντελώς απαραίτητων ιδιοτήτων που απαιτούνται στην λύση ενός προβλήματος.Η διαδικασία ανάπτυξης και διατύπωσης επιχειρημάτων ενισχύει την εννοιολογική κατανόηση.Η διαδιακασία αυτή παρακινείται μέσα από :

α. Συζήτηση ακραίων περιπτώσεων.

β. Έλεγχο μιας υπόθεσης με διάφορα παραδείγματα.

γ. Ανάδειξη των κοινών δομικών χαρακτηριστικών σε επιφανειακά διαφορετικά παραδείγματα.

δ. Διατύπωση ορισμών.

ε. Στην εύρεση γενικευμένων παραδειγμάτων ή ειδικών περιπτώσεων.

στ. Στην διερεύνηση μιας απόφανσης ή μιας λύσης.

ζ.  Στην αναζήτηση αντιπαραδειγμάτων.

Κατανοώ σημαίνει έχω αφομοιώσει σε ένα κατάλληλο σχήμα σε μια γνωστική δομή.Η αφομοίωση αναφέρεται στη χρήση ενός υπάρχοντος σχήματος ,ενός δικτύου συνδεόμενων ιδεών. Κατ΄επέκταση η αφομοίωση των πληροφοριών σε ένα ακατάλληλο σχήμα θα καταστήσει την αφομοίωση των μεταγενέστερων ιδεών δυσκολότερη και σε μερικές περιπτώσεις αδύνατη.Η κατανόηση μπορεί να θεωρηθεί ως το μέτρο της ποιότητας και της ποσότητας των συνδέσεων που έχει μια ιδέα με τις υπάρχουσες ιδέες.Εξαρτάται δηλαδή από τη ύπαρξη των κατάλληλων ιδεών και τις προϋποθέσεις δημιουργίας νέων συνδέσεων.Η κατανόηση ενός ατόμου εξελίσσεται κατά μήκους ενός συνεχούς που στη μια άκρη είναι αυτό που ονομάζουμε συσχετιστική κατανόηση και στην άλλη την εργαλειακή κατανόηση. Όταν ρωτάμε :"Το ξέρει ο μαθητής;" αναφερόμαστε στην εργαλειακή κατανόηση της ιδέας ως ένα απλό εργαλείο μαθηματικών.Όταν ρωτάμε :"Πόσο καλά το έχει κατανοήσει" αναφερόμαστε στην συσχετιστική κατανόηση.Την κατανόηση δηλαδή των μεγάλων ιδεών που δημιουργεί δίκτυα αλληλοσυσχετισμένων εννοιών. Είναι δηλαδή ο μαθητής σε θέση να προσεγγίζει την νέα έννοια με όλες και όσες άλλες μαθηματικές έννοιες με τις οποίες μπορεί να συνδεθεί και να συσχετιστεί στην θεωρία ή στην επίλυση προβλημάτων.

Διαδικαστική άνεση . Ο όρος δηλώνει την δεξιότητα στην εκτέλεση διαδικασιών , τεχνικών μεθόδων , αλγοριθμικών βημάτων ευέλικτα με ακρίβεια και αποτελεσματικότητα. Η γνώση για παράδειγμα των βημάτων επίλυσης μιας πρωτοβάθμιας εξίσωσης απαιτεί διαδικαστική άνεση ώστε ευέλικτα και αποτελεσματικά να μπορεί ο μαθητής να εκτελεί τα αλγοριθμικά βήματα που του διδάσκουμε.Μπορεί να μην κατανοεί γιατί τα κάνει ή που αποσκοπούν , στερείται δηλαδή εννοιολογικής κατανόησης εξασκείται όμως στην ικανότητα να αναπαράγει με ακρίβεια την τεχνική μέθοδο. Ο μαθητής είναι σε θέση να υπολογίζει εμβαδά σχημάτων μέσα από τους τύπους τους ( αλγοριθμική διαδικασία ) αλλά ίσως δεν κατανοεί σε βάθος την έννοια του εμβαδού ως μέτρηση επιφάνειας.Η μαθηματική ικανότητα που στηρίζεται σε ένα μόνο από τα δύο πόδια την εννοιολογική κατανόηση ή στην διαδικαστική άνεση είναι ανάπηρη.

Στρτηγική ικανότητα. Πρόκειται για την ικανότητα διατύπωσης αναπαράστασης και σχεδιαμού επίλυσης μαθηματικών προβλημάτων.Επίσης για την επιλογή της κατάλληλης στρατηγικής ή της καλύτερης αναπαράστασης ή της καλύτερης συμβολικής έκφρασης. Η στρατηγική ικανότητα με άλλα λόγια σχετίζεται με την επίλυση των προβλημάτων  , με την κατάστρωση ενός σχεδίου επίλυσης , με την αναζήτση της βέλτιστης λύσης ή της λύσης με ποικίλους τρόπους.

Προσαρμοστικός συλλογισμός.Ο όρος δηλώνει την ικανότητα για λογική σκέψη , για αναστοχασμό , επεξήγηση , δικαιόλόγηση , αποδεικτική μέθοδο , επιχειρηματολογία.Περιλαμβάνει δηλαδή την τυπική μαθηματική εξήγηση , την δυνατότητα αποδεικτικών συλλογισμών και διαδικασιών. Ο συστηματικός δομημένος συλλογισμός είναι ιδιαίτερο χαρακτηριστικό γνώρισμα των μαθηματικών.

Παραγωγική διάθεση.Ο όρος δηλώνει την θετική στάση των μαθηματικών ως χρήσιμων και σημαντικών.Συνδέεται με μια πεποίθηση ως προς την αποτελεσματικότητά τους.Είναι δηλαδή η ικανότητα να βλέπεις ότι τα μαθηματικά είναι χρήσιμα και σημαντικά.Με την παραγωγική διάθεση αναδεικνύουμε την χρησιμότητα και την χρηστικότητα των μαθηματικών στη ζωή μας και ενισχύουμε την ικανότητα να χρησιμοποιούμε την μαθηματική γνώση σε καθημερινές πρακτικές καταστάσεις.

4.  Tα είδη κριτικής σκέψης.

Κριτική σκέψη είναι η νοητική διαδικασία ενεργού πρόσληψης ανάλυσης , σύνθεσης , αξιολόγησης κια εφαρμογής πληροφοριών που παράγονται από παρατήρηση , εμπειρία , αναστοχασμό , συλλογισμό ή επικοινωνία και που λειτουργεί ως οδηγός για διαμόρφωση απόψεων και στάσεων για δράση. Πρόκειται για μια διανοητική διαδικασία εκτίμησης της αυθεντικότητας , της ακρίβειας ή της αξίας ενός γεγονότος που χαρακτηρίζεται από την ικανότητα επιδίωξης αιτιολογήσεων και εναλλακτικών προτάσεων, την ικανότητα αντίληψης της συνολικής κατάστασης και την ευελιξία στην αλλαγή άποψης με βάση συγκεκριμένα στοιχεία.

Έχει υποδειχθεί η αξία της διδασκαλίας κριτικών δεξιοτήτων όπως ο συλλογισμός , η λήψη απόφασης , η επίλυση προβλήματος.Τίθεται το ζήτημα ότι η κριτική σκέψη πρέπει να διδαχθεί ως ανεξάρτητη σειρά μαθημάτων ( διδασκαλία της κριτικής σκέψης).Ο στόχος μιας τέτοιας διδασκαλίας είναι να αποκτήσουν οι μαθητές κριτικό πνεύμα , μια διάθεση δηλαδή να σκέφτονται κριτικά σε ένα ευρύ φάσμα περιπτώσεων.

Είδη κριτικής σκέψης.

α. Λήψη απόφασης.Πρόκειται για την αντιπαράθεση μεταξύ διάφορων αναλύσεων και η τελική επιλογή της λύσης που οδηγεί σύντομα και αποτελεσματικά στη λύση του προβλήματος που μας απασχολεί.

β. Στρατηγική ικανότητα. Πρόκειται για την ικανότητα κατάστρωσης ενός σχεδίου ή ανάπτυξης μιας στρατηγικής για την επιλυση ενός προβλήματος.

γ. Γενίκευση - Ειδίκευση. Πρόκειται για για την εξέταση ειδικών περιπτώσεων ή την γενίκευση τους.

δ. Τεκμηρίωση συμπερασμάτων.Πρόκειται για την ανάπτυξη συλλογισμών και επιχειρημάτων για την δικαιολόγηση συμπερασμάτων.

ε. Υπολογιστική κριτική σκέψη. Αφορά όλες τις αλγοριθμικές διαδικασίες και τεχνικές μεθόδους επίλυσης στα μαθηματικά.

στ. Μεταφραστική. Καλύπτει τις δραστηριότες μετάφρασης μιας μορφής αναπαράστασης σε μια άλλη. Π,χ μετάφραση ενός πίνακα τιμών μιας συνάρτησης σε γραφική παράσταση , από λεκτική διατύπωση στον τύπο της ή από γραφική παράσταση σε πίνακα τιμών και στον τύπο.Άλλο παράδειγμα η μετάφραση από γλωσσική διατύπωση σε συμβολική μαθηματική έκφραση και αντίστροφα.

ζ. Ομαδοποίησης. Απαιτεί ταξινόμηση σύμφωνα με κάποιο κριτήριο.Π.χ αναζητούμε τετράπλευρα που είναι ισοσκελή τραπέζια στηριζόμενοι στις ιδιότητες ( κριτήρια) τους.

η. Προβλεπτική.Καλύπτει δραστηριότητες που ενεργοποιούν την ικανότητα του μαθητή για εικασίες και πρόβλεψη.

θ. Ευρετική. Καλύπτει δραστηριότητες που απαιτούν διερεύνηση , εξέταση επιμέρους περιπτώσεων , διατύπωση και έλεγχο υποθέσεων κ.α.

ι.  Δημιουργική. Πρόκειται για δραστηριότητες που απαιτούν φαντασία , πρωτοτυπία και δημιουργία μέσω προσωπικού στυλ.

5. Είδη νοημοσύνης και γνωστικές διαδικασίες.

Κατά την ταξινόμηση του Bloom οι γνωστικές διαδικασίες με τις οποίες εμπλέκεται ένας μαθητής στα μαθηματικά είναι να μπορεί  να :

α. Κατανοεί. Η κατανόηση χωρίζεται σε γνώση γεγονότων όταν αναφέρεται στην μαθηματική γνώση με τη μορφή γενικών πληροφοριών σαν εγκυκλοπαιδικές γνώσεις.Επίσης σε εννοιολογική και τέλος διαδικαστική γνώση όπως είδαμε προτύτερα στην περιγραφή της μαθηματικής ικανότητας.

β. Εφαρμόζει αυτά που κατανόησε σε μια πληθώρα περιπτώσεων που αυτό είναι εφικτό και απαραίτητο.

γ. Αναλύει τη γνώση που κατανόησε στα νοητικά βήματα που την απαρτίζουν.

δ. Συνθέτει τη γνώση από τα επιμέρους δομικά της βήματα.

ε. Αξιολογεί σε ποιες περιπτώσεις είναι χρήσιμη και αναγκαία η χρήση της γνώσης σε συγκεκριμένα προβλήματα.

στ Δημιουργεί γενικεύσεις και πρωτότυπες ιδέες με βάση τη γνώση που κατανόησε.

Σύμφωνα με τη θεωρία πολλαπλής νοημοσύνηςτου Gardner οι άνθρωποι μαθαίνουν με διαφορετικό τρόπο. Συγκεκριμένα μέσω οκτώ τύπων νοημοσύνης.Άλλοι μέσω αφήγησης ιστοριών , άλλοι ποσοτικά μέσω αριθμητικών δεδομένων , άλλοι αισθητικά μέσω μορφών τέχνης όπως η κίνηση , ο χορός ή η μουσική κ.α , άλλοι πρακτικά μέσω παρκτικών δραστηριοτήτων άλλοι κοινωνικά μέσω της ένταξης σε μια ομάδα.

Ιδιαίτερη αναφορά θα κάνουμε στη θεωρία για τις 3 νοημοσύνες του R.obert Sternberg

Αναλυτική νοημοσύνη : Θέλετε να ξέρετε τις πιο μικρές λεπτομέρειες για κάθε θέμα.

Πρακτική νοημοσύνη : Θέλετενα ξέρετε γιατί είναι σημαντικό και χρήσιμο αυτό που μαθαίνεται

Δημιουργική νοημοσύνη: Αισθάνεσθαι καλά όταν μπορείτε να ενσωματώνεται τη γνώση με το προσωπικό πρωτότυπο χώρο της φαντασίας μέσω της τέχνης ή γενικά της δημιουργίας.

Ο δάσκαλος πρέπει να γνωρίζει ότι κάθε μαθητής μαθαίνει με διαφορετικό τρόπο και ότι οι γνωστικές διαδικασίες που καλείται να έρθει σε επαφή δεν είναι μονοσήμαντες. Έτσι η κατάστρωση δραστηριοτήτων που λαμβάνει υπόψιν αυτή τη διαφορετικότητα είναι  απαραίτητη για μια επιτυχή κατανόηση στη διδασκαλία των μαθηματικών. Ποτείνεται η χρήση βιωματικών δράσεων , ελευθερία της φαντασίας του μαθητή , δημιουργίας, σύνδεσης με την ιστορία των μαθηματικών και με τη τέχνη. Ακόμη η εμπλοκή των μαθητώσν σε διαδιικασίες εφαρμογής , ανάλυσης και σύνθεσης της γνώσης.

 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ : ΕΡΓΑΣΙΕΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ.

Θεωρίες μάθησης.

Συμπεριφορισμός

Σύμφωνα με τους οπαδούς του συμπεριφορισμού (ή μπιχεβιορισμού - behaviorism), δεν έχουν σημασία οι εσωτερικές διεργασίες που λαμβάνουν χώρα κατά τη διάρκεια της μάθησης, αλλά οι αλλαγές που συμβαίνουν στην εμφανή συμπεριφορά του υποκειμένου, στο τι δηλαδή μπορεί να κάνει ο μαθητευόμενος ως αποτέλεσμα της κατάλληλης οργάνωσης του περιβάλλοντος της μάθησης. Ο σημαντικότερος μηχανισμός της μάθησης είναι, κατά τους συμπεριφοριστές, η ενίσχυση της επιθυμητής συμπεριφοράς (Ράπτης, Ράπτη 2001). Κλασικό παράδειγμα είναι το γνωστό πείραμα του Pavlov. Ο Ρώσος φυσιολόγος Pavlov έδινε τροφή σε ένα σκύλο καθημερινά, αφού χτυπούσε ένα καμπανάκι. Η προσφορά, δηλαδή, τροφής συνοδευόταν από ένα συγκεκριμένο ήχο. Μετά από πολλές επαναλήψεις της ίδιας διαδικασίας, ο Pavlov παρατήρησε πως ο σκύλος, μόλις άκουγε το γνωστό -πλέον- ήχο, είχε έκκριση σάλιου. 

Κοινωνικοπολιτισμικές θεωρήσεις για τη γνώση

Σε αντίθεση με την ατομοκεντρική θεωρία του εποικοδομητισμού, άλλοι επιστήμονες, με πρωτοπόρο το Ρώσο Vygotsky, έχουν υποστηρίξει μια κοινωνικοκεντρική θεώρηση της ανάπτυξης, με βάση την οποία τονίζεται ο ρόλος που παίζουν οι κοινωνικο πολιτιστικοί παράγοντες στη γένεση της γνώσης και την πορεία μάθησης και ανάπτυξης του ατόμου. Πρόκειται για μια σύγχρονη κατεύθυνση που είναι γνωστή ως κοινωνικο-πολιτιστική προσέγγιση, κατά την οποία η προσωπική σκέψη οικοδομείται με βάση την κοινωνική αλληλεπικοινωνία. Σύμφωνα με τον Vygotsky, η νοητική ανάπτυξη είναι μια διαδικασία άρρηκτα συνδεδεμένη με την ιστορικοκοινωνική διάσταση και το πολιτισμικό πλαίσιο μέσα στο οποίο συντελείται. Η ανάπτυξη επιτυγχάνεται όχι μόνο χάρις στον έμφυτο νοητικό εξοπλισμό του κάθε ατόμου, αλλά και εξαιτίας της διαμεσολάβησης των κοινωνικών γεγονότων και των πολιτιστικών εργαλείων (όπως είναι η γλώσσα), καθώς και της εσωτερίκευσης των σημασιών με τις οποίες είναι φορτισμένα αυτά τα πολιτισμικά μέσα και εργαλεία. ...

Διερευνητική (ή ανακαλυπτική) μάθηση

Στη σύγχρονη εποχή η προσπάθεια του μαθητή για ανακάλυψη ή διερεύνηση των γνώσεων συστηματοποιήθηκε, οργανώθηκε και τεκμηριώθηκε κυρίως μέσα από τις θέσεις του Jerome Bruner. Οι Ράπτης και Ράπτη (Ράπτης, Ράπτη, 2001) αναφέρουν ότι ο Bruner ανήκει στην κατηγορία των γνωστικών ψυχολόγων της μάθησης, που δίνει έμφαση στη διευκόλυνση της μάθησης μέσα από την κατανόηση των δομών και των επιστημονικών αρχών ενός αντικειμένου και των τρόπων του σκέπτεσθαι του μαθητευόμενου, καθώς και στην υιοθέτηση της ανακαλυπτικής μεθόδου, ή της καθοδηγούμενης ανακάλυψης με την ανάπτυξη εσωτερικών κινήτρων μάθησης από μέρους του μαθητευόμενου. ...

                                                                                Περισσότερα 

       Γνωστικές Θεωρίες Μάθησης

«Η Γνωστική Ψυχολογία είναι εκείνος ο κλάδος της πειραματικής ψυχολογίας ο οποίος ασχολείται με τις δομές και τις διαδικασίες του ανθρωπίνου πνεύματος. […] Πέρα απ’ αυτό οι περισσότεροι γνωστικοί ψυχολόγοι της εποχής μας κατανοούν το ανθρώπινο γνωστικό σύστημα ως ένα σύστημα επεξεργασίας πληροφοριών».

Για τις γνωστικές θεωρίες, η μάθηση δεν είναι διαδικασία και αποτέλεσμα εξάρτησης, όπως στο συμπεριφορισμό, αλλά αποτέλεσμα ενεργού επεξεργασίας πληροφοριών με βάση τις ενδιάμεσες γνωστικές λειτουργίες του ατόμου, οι οποίες παρεμβάλλονται ανάμεσα στις πληροφορίες του περιβάλλοντος (ερέθισμα) και στις αντιδράσεις του ατόμου. Η γνώση δε, δεν είναι «συσσώρευση» εμπειρίας, αλλά αποτέλεσμα ενεργούς αντιπαράθεσης του οργανισμού με την εμπειρία, δια της οποίας το άτομο, με δημιουργικές δραστηριότητες μέσα στο φυσικό και κοινωνικό του περιβάλλον την οικοδομεί. Η μάθηση, υπό το πρίσμα αυτό συνίσταται στην τροποποίηση γνώσεων που ήδη προϋπάρχουν.

Σημαντικό ρόλο λοιπόν για τις γνωστικές θεωρίες παίζει η δομή και η λειτουργία του γνωστικού συστήματος, σε αντίθεση με τις συμπεριφοριστικές που εστιάζουν στην παρατηρούμενη εξωτερική συμπεριφορά. (Μπασέτας 2002 σελ. 189-191, Κόμης 2004 σελ. 83).

Στα πλαίσια των γνωστικών θεωριών  εντάσσονται πολλές και διαφορετικές προσεγγίσεις, οι οποίες πάντως «συμφωνούν» στον κεντρικό άξονα που αναφέρθηκε παραπάνω και είναι σύμφωνες με αρχές της ερμηνευτικής ή σχετικιστικής σχολής σκέψης, σύμφωνα με την οποία η επιστήμη δεν είναι δυνατό να βρει λύσεις στα ανθρώπινα προβλήματα χωρίς τη διαμεσολάβηση της αξιολογικής και πολιτικής κριτικής. […] Στο κέντρο της αντίληψης αυτής υπάρχουν πάντα η σχετικότητα, η πολυσημία, η ολικότητα και επιλεκτικότητα της αντίληψης των φαινομένων και της εμπειρίας και ο τελολογικός χαρακτήρας […] (Ράπτης, Ράπτη 2007, σελ. 86)

Αναπτυξιακή – Γνωστική Θεωρία της Μάθησης του Piaget

Το πρότυπο των διαδικασιών και λειτουργιών της γνωστικής προσαρμογής Η αναπτυξιακή – γνωστική θεωρία της μάθησης, η οποία αναφέρεται και ως δομικός εποικοδομισμός, είναι η θεωρία που ανέπτυξε σε μια μακρά περίοδο μελετών (60 χρόνων) ο Ελβετός βιολόγος (αρχικά) και ψυχολόγος Jean Piaget, στον οποίο εξάλλου οφείλεται και ο όρος εποικοδομιστική επιστημολογία (1967).
Άξονες της θεωρίας του Piaget είναι:

· ο εξελικτικός χαρακτήρας της νοητικής ανάπτυξης, η οποία είναι στενά 
   συνδεδεμένη με τη βιολογική ωρίμανση
Είναι φανερή από τα παραπάνω η βιολογική αφετηρία της σκέψης του Piaget, αφού σημαντικό ρόλο στην ανάπτυξη της νοημοσύνης του ατόμου παίζει η βιολογική του ωρίμανση. Η διαδοχική δε, μετάβαση από το ένα στο άλλο εξελικτικό στάδιο έχει να κάνει με την οικοδόμηση των νοητικών δομών, που όπως θα δούμε προϋποθέτει ότι θεμελιώνονται σε ήδη υπάρχουσες.

                                                                Περισσότερα

Τρεις σχολές για την οµαδοσυνεργατική διδασκαλία

Η σχολή του Dewey και των άλλων εκπροσώπων της Νέας Αγωγής, εισηγήθηκαν και εφάρμοσαν την οµαδοσυνεργατική διδασκαλία για δύο βασικούς λόγους: διότι προωθούσε τηνκοινωνικοποίηση του ατόµου και τον εκδηµοκρατισµό της κοινωνίας και, διότι εξασφάλιζε µε αυθεντικό τρόπο συνθήκες βιωµατικής µάθησης, την οποία θεωρούσαν ως τη µόνη αξιόλογη µορφή µάθησης (Καµαρινού 2000, 24). 

∆εύτερη µεγάλη σχολή θεωρητικής στήριξης της οµαδοσυνεργατικής διδασκαλίας είναι ηκοινωνική ψυχολογία, η οποία διαπιστώνει ότι, για να ξεπερασθούν οι κοινωνικές προκαταλήψεις και επιθέσεις προς τους «διαφορετικούς», όπως είναι οι αλλοδαποί, οι έγχρωµοι και τα άτοµα µε ειδικές ανάγκες, είναι ανάγκη από πολύ νωρίς να εξασφαλισθούν συνθήκες φυσικής και ισότιµης αλληλεπικοινωνίας µαζί τους. Πρωτοπόρος αυτής της θεωρητικής κατεύθυνσης υπήρξε ο G. Allport (1954/1979) και συνεχιστές του όσοι προσπαθούν σήµερα να εντάξουν οµαλά και δηµιουργικά την κάθε λογής ανοµοιογένεια του µαθητικού δυναµικού µε τη βοήθεια οµαδο-συνεργατικών σχηµάτων οργάνωσης της σχολικής ζωής. 

Τρίτη κατά χρονική σειρά σχολή στήριξης στο οµαδοσυνεργατικό κίνηµα αποτελεί οκλάδος της κοινωνικής ψυχολογίας που ασχολείται µε τη δυναµική των οµάδων (group dynamics) και µελετά την πορεία ανάπτυξης της οµάδας, τις δοµές της, τις επιπτώσεις της οµάδας στα µέλη της και, τέλος, τη συµπεριφορά της οµάδας έναντι άλλων οµάδων. Πρωτοπόρος στον τοµέα αυτόν υπήρξε ο Κ. Lewin (1951) και σύγχρονοι εκπρόσωποι οι Johnson και Johnson (1994). Τέλος, µια τέταρτη σχολή στήριξης στο οµαδοσυνεργατικό κίνηµα αποτελεί η ψυχολογία της γνωστικής ανάπτυξης και κυρίως εκείνο το τµήµα της, που έχει έντονους επιστηµολογικούς προβληµατισµούς για τη φύση της γνώσης και, βεβαίως, για τις συνθήκες και τις διαδικασίες της µάθησης και της ανάπτυξης. Κύριοι εκπρόσωποι αυτής της κατεύθυνσης, που είναι γνωστή ως (κοινωνικός) εποικοδοµητισµός (social constractivism), θεωρούνται οι J. Piaget και L. Vygotsky. 

[Το κείµενο αυτό παρουσιάστηκε στο ∆ιήµερο Επιστηµονικό Συµπόσιο:"Η εφαρµογή της οµαδοκεντρικής διδασκαλίας-Τάσεις και εφαρµογές" που έγινε στη Θεσσαλονίκη, 8-9 ∆εκεµβρίου 2000 ]

                                                                Περισσότερα  



ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΜΑΔΟΣΥΝΕΡΓΑΤΙΚΗΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ.

Δρ. Μ. Χιονίδου-Μοσκοφόγλου
Παιδαγωγικό Ινστιτούτο


Ως ομαδο-συνεργατική μάθηση θεωρούμε εκείνη κατά την οποία οι μαθητές/τριες εργάζονται μαζί σε ομάδα των 2 έως 5 ατόμων, όπου κάθε μέλος συμμετέχει στη λύση ενός κοινού θέματος χωρίς την άμεση επέμβαση του εκπαιδευτικού. Η σύνθεση της ομάδας δεν είναι τυχαία, αλλά προκαθορισμένη από τον εκπαιδευτικό. Οι έρευνες για την ομαδο-συνεργατική μάθηση και διδασκαλία άρχισαν από το 1929 (Maller18), ενώ οι σύγχρονες αναφέρονται στη συνεισφορά της στο χώρο της μάθησης και συγκεκριμένα στη βελτίωση της επίδοσης, στην καλλιέργεια «υψηλού επιπέδου» γνωστικής διαδικασίας, στην ενεργητική μάθηση, στην παροχή ισότητας ευκαιριών στους μαθητές, στην κοινωνική συμπεριφορά, στην αποδοχή ατόμων διαφορετικής εθνικότητας, φυλής και φύλου, στο διάλογο και στη διαχείριση της ετερογένειας της τάξης.
                                                                     Περισσότερα.

Ρεαλιστικά μαθηματικά.

Τα ρεαλιστικά μαθηματικά είναι μια θεωρία διδασκαλίας και μάθησης, η θεμελίωση της οποίας βασίστηκε στη φιλοσοφική θεώρηση του Freudenthal το 1973 ότι: " τα μαθηματικά είναι μια ανθρώπινη δραστηριότητα (βλ. [1]), άρα πρέπει:

• να συνδέονται με την πραγματικότητα.

• να έχουν σχέση με την κοινωνία.

• να είναι βατά στους μαθητές".

Το μοντέλο διδασκαλίας των ρεαλιστικών μαθηματικών που έθεσε τις βάσεις για ριζική αναθεώρηση των στόχων, του αναλυτικού προγράμματος, των βιβλίων, των διδακτικών μεθόδων, της θέσης και του ρόλου των μαθητών και του εκπαιδευτικού, βασίστηκε:

• στην οικοδόμηση της γνώσης πάνω στα άτυπα μοντέλα των μαθητών.

• στην καθοδηγούμενη προσωπική ανακάλυψη από τους μαθητές των μαθηματικών εννοιών και δομών.

• στην ομαδική διδασκαλία με αλληλεπίδραση στην τάξη.

• στον καθοδηγητή εκπαιδευτικό που διαθέτει ποικίλες εναλλακτικές στρατηγικές στο ρεπερτόριό του.

Η ρεαλιστική μαθηματική εκπαίδευση, όσον αφορά τη διαδικασία μάθησης, βασίζεται σε τρεις διδακτικές αρχές (μαθαίνω μαθηματικά σημαίνει κάνω μαθηματικά, ο τρόπος μάθησης είναι προσωπικός, η μάθηση γίνεται με συγκεκριμένη σειρά) και πέντε μαθηματικές αρχές (που αναφέρονται στη δόμηση του περιεχομένου των μαθηματικών, τη μαθηματική γλώσσα, τη χρησιμότητα, την ισχύ τους, την προσέγγισή τους).

Ο Freudenthal το 1973 αναρωτιέται: Πώς να παρουσιάσουμε στους μαθητές μια δραστηριότητα, ώστε να έχει νόημα γι' αυτούς, δηλαδή να έχει την αίσθηση της πραγματικότητας; (βλ. [1]). Επομένως, σημαντικό ρόλο εδώ παίζει το πλαίσιο μέσα στο οποίο διατυπώνεται ένα πρόβλημα και η μαθηματική και διδακτική δραστηριότητα για την επίλυσή του.

Η μαθηματική δραστηριότητα έχει να κάνει με την οργάνωση των δραστηριοτήτων των μαθητών κατά την επίλυση του προβλήματος, όπως η εύρεση ομοιοτήτων - διαφορών, η εύρεση μέσω επαγωγικού συλλογισμού κρυφών δομών, ο συμβολισμός, η απόδειξη, η γενίκευση λύσεων, οι διαφορετικές λύσεις, οι ορισμοί των εννοιών, η χρήση μοντέλων, η αιτιολόγηση, η δημιουργία αλγόριθμου κ.λπ.

Η διδακτική δραστηριότητα έχει να κάνει με το τυπικό που ακολουθείται, όπως ατομική ή ομαδική εργασία, αλληλοβοήθεια, διατύπωση και συζήτηση  των προσεγγίσεων, καλύτερη – συντομότερη -προτιμότερη λύση κ.λπ. και με το ρόλο του δασκάλου να ζητά αιτιολόγηση, να συζητά προσεγγίσεις και στρατηγικές, να παρακινεί και, τέλος, να καθορίζει κριτήρια αξιολόγησης.

Ο Freudenthal το 1983 ισχυρίζεται ότι η ρεαλιστική μαθηματική εκπαίδευση δε χρησιμοποιεί την πραγματικότητα μόνο για εφαρμογές, αλλά η πραγματικότητα αποτελεί πηγή σχηματισμού εννοιών. Η μαθηματική δομή αντλείται από τα πραγματικά φαινόμενα, δηλαδή η πραγματικότητα είναι στερεά βάση για τη διαδικασία της μάθησης και όχι μετέπειτα πεδίο εφαρμογής της γνώσης (βλ. [2]).

Όπως καταλαβαίνουμε από τα παραπάνω, το πλαίσιο μέσα στο οποίο υπάρχουν εν δυνάμει μαθηματικές έννοιες έχει ανυπολόγιστη αξία στη ρεαλιστική εκπαίδευση, αφού αποτελεί αιτία δημιουργίας μαθηματικών προβλημάτων και δεν είναι απλό ένδυμα ενός "καθαρού" μαθηματικού προβλήματος. Το βασικότερο κριτήριο για την επιλογή πλαισίου είναι οι μαθηματικές ιδιότητες που περικλείει καθώς και οι δυνατότητες ανάλυσης και επεξεργασίας που μας παρέχει.

Στο σύνολό τους οι μαθητές βλέπουν τα μαθηματικά ως κάτι το δύσκολο, το απλησίαστο και το σοβαρό που με κανένα τρόπο δεν μπορεί να κατέβει στο επίπεδο ενός παιχνιδιού και επομένως, επειδή στην ηλικία τους το κάθε τι το αντιμετωπίζουν ως παιχνίδι, τα μαθηματικά δεν έχουν θέση στον περίγυρό τους και στη ζωή τους. Στην πράξη αποδεικνύεται ότι πρέπει ο εκπαιδευτικός να αλλάξει τρόπο και μέθοδο διδασκαλίας και αυτό απαιτεί την αλλαγή της φιλοσοφίας του. Σίγουρα αποτελεί εμπόδιο γι' αυτόν ο τρόπος που τον δίδαξαν οι δάσκαλοί του, καθώς νομίζει ότι βαδίζοντας στα χνάρια τους οδηγείται σε ασφαλή και απάνεμα διδακτικά λιμάνια. Ως μαθητής κρεμόταν απ' τα χείλη  του δασκάλου του, όταν μιλούσε, τώρα όμως καταλαβαίνει ότι πρέπει αυτός να τρέχει πίσω απ' τους μαθητές του, για να τους κινητοποιήσει και να τους κάνει να τον παρακολουθήσουν. Απόλυτη λύση στο πρόβλημα δεν υπάρχει. Μια απ' τις εφικτές λύσεις είναι αυτή που περιορίζει ακόμη περισσότερο τον εξωσχολικό του χρόνο, του αφαιρεί  τον πρώτο ρόλο στη διδασκαλία στην τάξη, αλλά ταυτόχρονα τον απαλλάσσει απ' το άγχος, του αποκαθιστά την ψυχική, ίσως και τη σωματική, υγεία του που διαταράσσονταν μετά από κάθε διδακτική ώρα (ανάλογα βέβαια και με την ποιότητα του τμήματος που είχε) και, το κυριότερο, παρόλο που τον κάνει κομπάρσο της διδακτικής διαδικασίας, παράλληλα του δίνει το ρόλο του καθοδηγητή, του διευκολυντή και του επικυρωτή της γνώσης σε ένα διερευνητικό και ανακαλυπτικό περιβάλλον μάθησης.

 Η αξία του εισαγωγικού ρεαλιστικού προβλήματος για τον ορισμό μιας νέας μαθηματικής έννοιας έχει επισημανθεί κι όχι άδικα στην διδακτική των μαθηματικών. Καταφέρνει να συνδέσει την έννοια με την πραγματικότητα και να αναδείξει την αναγκαιότητα εισαγωγής της. Δεν πετυχαίνουμε βέβαια να βρούμε πάντοτε ένα διδακτικά  κατάλληλο πρόβλημα για το σκοπό αυτό.Παρουσιάζω παρακάτω εισαγωγικά - ρεαλιστικά προβλήματα σε διάφορες μαθηματικές ενότητες που κρίνω ότι ανταποκρίνονται πετυχημένα στον προορισμό τους.

ΜΕΡΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ : ΕΡΓΑΣΙΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ.



ΚΛΑΣΜΑΤΑ, ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΚΑΙ ΠΟΣΟΣΤΑ

Η έννοια του ρητού αριθμού είναι μια από τις πιο σημαντικές έννοιες των
 μαθηματικών, διδάσκεται στους μαθητές από την αρχή του Δημοτικού σχολείου. Οι ρητοί αριθμοί χρησιμοποιούνται ευρέως στην καθημερινή ζωή των ανθρώπων. Οι έρευνες όμως σε μαθητές τόσο του Δημοτικού σχολείου όσο και του Γυμνασίου δείχνουν ότι παρουσιάζονται πολλά λάθη στη χρήση των ρητών αριθμών. Για παράδειγμα, πολλοί μαθητές όταν θέλουν να προσθέσουν κλάσματα όπως, 2/3+ ½, προσθέτουν τους αριθμητές και τους παρονομαστές. Επίσης δηλώνουν ότι μεταξύ του 1,4 και 1,5 δεν υπάρχει κανένας αριθμός. Προφανώς, στα παραπάνω λάθη οδηγούνται οι μαθητές εξαιτίας του γεγονότος ότι χειρίζονται τους κλασματικούς ή τους δεκαδικούς αριθμούς με τη λογική των ακεραίων. Θεωρούν δηλαδή τον αριθμητή και τον παρονομαστή ως ανεξάρτητες και όχι ως συσχετισμένες οντότητες και έτσι στην πρόσθεση κλασμάτων προσθέτουν τους αριθμητές και τους παρονομαστές. Επίσης λένε ότι δεν υπάρχει κάποιος αριθμός μεταξύ του 1,4 και 1,5 διότι μεταξύ των
ακεραίων αριθμών 4 και 5 δεν υπάρχει κάποιος αριθμός. Μια άλλη πιθανή αιτία από την οποία προέρχονται οι δυσκολίες που αντιμετωπίζουν οι άνθρωποι με τους ρητούς αριθμούς είναι το γεγονός ότι, σε αντίθεση με τους φυσικούς αριθμούς, οι ρητοί δεν προκύπτουν μέσα από μια φυσική διαδικασία σκέψης, αλλά είναι ένα σύστημα κοινωνικά κατασκευασμένο και επικυρωμένο που ικανοποιεί συγκεκριμένες ανάγκες. Αυτό εξάλλου το δείχνει, η καθυστερημένη εμφάνιση των αριθμών αυτών με το σημερινό συμβολισμό, στην ιστορία των μαθηματικών.

                                                                                                                   Περισσότερα.




 ΓΙΑΤΙ ΟΙ ΜΑΘΗΤΕΣ ΔΥΣΚΟΛΕΥΟΝΤΑΙ ΣΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ;

 Αθανάσιος Γαγάτσης, Κύπρος Ιωάννου,
Ανδρούλα Σιημητρά- Κωνσταντίνου, Όλγα Χριστοδουλίδου
Τμήμα Επιστημών της Αγωγής, Πανεπιστήμιο Κύπρου

ΠΕΡΙΛΗΨΗ
Οι ρητοί αριθμοί αποτελούν θεμελιώδη μαθηματική έννοια. Κατά συνέπεια ένα μεγάλο
μέρος του αναλυτικού προγράμματος των μαθηματικών της πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης
στις περισσότερες χώρες, αφορά τη διδασκαλία των θετικών ρητών αριθμών. Παρά την
έμφαση που δίνεται στα αναλυτικά προγράμματα, οι ρητοί αριθμοί αποτελούν έννοια που
δύσκολα κατανοούν οι μαθητές. Αυτό φαίνεται από τις επιδόσεις των μαθητών σε
σχετικές ασκήσεις αλλά και από τα αποτελέσματα πολλών ερευνητικών εργασιών.
Ειδικότερα στην εργασία αυτή παρουσιάζονται ορισμένες δυσκολίες των μαθητών για την
κατανόηση και μάθηση της έννοιας του κλάσματος. Με βάση ένα πολυδιάστατο μοντέλο
ερμηνείας των δυσκολιών μάθησης που βασίζεται σε δυσκολίες διδακτικής,
επιστημολογικής και αναπαραστατικής φύσης.

1. Εισαγωγή
Παρ’ όλο που στην πρωτοβάθμια εκπαίδευση σημαντικό μέρος του χρόνου διδασκαλίας αφιερώνεται στη διδασκαλία των κλασμάτων και γενικά των ρητών αριθμών εν τούτοις με βάση τα αποτελέσματα αξιολογήσεων τα κλάσματα είναι μια δύσκολη έννοια που δύσκολα κατανοούν οι μαθητές ((Brousseau, Brousseau & Warfield, 2004; Kieren, 1993; Lamon, 1999; Carpenter, Corbitt, Kepner, Lindquist, & Reys, 1981; Carpenter, Lindquist, Brown, Kouba, Silver, & Swaffort, 1988; Traverς, & Westbury, 1990. Στο: Γαγάτσης, Μιχαηλίδου, Σιακαλλή, 2001). Σύμφωνα με τους ερευνητές , υπάρχουν πολλοί λόγοι για τους οποίους οι μαθητές δυσκολεύονται στην κατανόηση των κλασμάτων. Οι δυσκολίες των μαθητών οφείλονται από τη μια στη φύση των κλασμάτων και από την άλλη στον τρόπο διδασκαλίας τους. Στην εργασία αυτή αρχικά σκιαγραφείται μια ιστορική αναδρομή με βάση την επιστημολογική εξέλιξη και τη χρήση των κλασμάτων με αναφορά σε τέσσερις χρονικές περιόδους. Στη συνέχεια παρουσιάζεται η έννοια του κλάσματος με βάση το θεωρητικό μοντέλο που περιλαμβάνει τις πέντε διαστάσεις του κλάσματος όπως τις εισηγήθηκαν διάφοροι ερευνητές: α) το κλάσμα ως μέρος όλου β) το κλάσμα ως λόγος γ) το κλάσμα ως μέτρο δ) το κλάσμα ως διαίρεση και ε) το κλάσμα ως πολλαπλασιαστής. Παρουσιάζονται επίσης ο ρόλος των αναπαραστάσεων στη διδασκαλία των κλασμάτων καθώς και διάφορα λάθη των μαθητών που σχετίζονται με τα κλάσματα.

                                                                                                       Περισσότερα

Λανθασμένες αντιλήψεις των μαθητών σχετικά με τη σύγκριση των κλασμάτων και επιδράσεις διάφορων εξωτερικών 
αναπαραστάσεων.

Χρήστος Παντσίδης
Μόνιμος Καθηγητής Μαθηματικών Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης
M.ed. στη Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών Πανεπιστημίου Αθηνών

Εισαγωγή

Η κατανόηση των κλασμάτων από τους μαθητές είναι μια περιοχή έρευνας στον τομέα της μαθηματικής εκπαίδευσης που έχει απασχολήσει την κοινότητα της Διδακτικής των Μαθηματικών εδώ και πολλές δεκαετίες και πρόσφατα παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον. Αυτό το ενδιαφέρον έχει παραγάγει έναν πλούτο πληροφοριών που συνδέονται με τις πράξεις και τις αναπαραστάσεις των κλασμάτων από τους μαθητές, την πολυπλοκότητα της έννοιας του κλάσματος, των δυσκολιών των μαθητών και των υποδείξεων σχετικά με τον τρόπο με τον οποίο μπορούμε να προσεγγίσουμε τα κλάσματα με τη διδασκαλία στην τάξη (Behr, Harel, Post & Lesh,1992). Η αρχική ανάπτυξη της έννοιας του κλάσματος περιλαμβάνει συνήθως δραστηριότητες με συγκεκριμένα αντικείμενα και γεωμετρικές μορφές (π.χ. κυκλικά διαγράμματα-μοίρασμα πίτας, διαχωρισμό ορθογώνιων παραλληλογράμμων-κομμάτια σοκολάτας κ.τ.λ.). Οι μαθητές κατασκευάζουν διαφορετικά είδη νοητικών αναπαραστάσεων από οποιαδήποτε δραστηριότητα εκμάθησης στο σχολείο αλλά και από δραστηριότητες της καθημερινής ζωής. Μέσα από τις δραστηριότητες αυτές αναμένεται να οδηγηθούν αφαιρετικά στην επιστημονική έννοια του κλάσματος, του πηλίκου, της αναλογίας, του αριθμού και των συμβόλων μαθηματικών πράξεων. Διάφορες έρευνες μας παρέχουν πλήθος πληροφοριών που συνδέονται με αυτή την αφαίρεση, που δείχνει τη γνωστική άδηλη (implicit) μετατόπιση στο να κάνουμε μαθηματικά και να καταλαβαίνουμε τα μαθηματικά (Dreyfus, Hershkovitz & Schwartz, 1997). Η αφαίρεση των μαθηματικών κατασκευών από συγκεκριμένες καταστάσεις θεωρείται μια σημαντική έκβαση της μαθηματικής εκμάθησης. Εντούτοις, το άτομο πρέπει να αναγνωρίσει-προσδιορίσει τις ίδιες τις έννοιες, τις δομές και τις σχέσεις από πολλές διαφορετικές αλλά δομικά παρόμοιες εργασίες (Dreyfus, Hershkovitz & Schwartz, 1997· Charles & Nason, 2000). Η απουσία τέτοιας αναγνώρισης μπορεί να οδηγήσει μόνο σε μια απλή ολοκλήρωση ενός στόχου στα μαθηματικά και στην επιφανειακή αποστήθιση της διαδικασίας ή της δραστηριότητας (Bereiter, 1994).
                                  
                                                                                                               Περισσότερα.

 Ένα Διαφορετικό Πλαίσιο Διδασκαλίας της Έννοιας της

 Αναλογίας

Μοδεστίνα Μοδέστου* & Αθανάσιος Γαγάτσης**

*Παιδαγωγικό Ινστιτούτο Κύπρου

**Τμήμα Επιστημών της Αγωγής, Πανεπιστήμιο Κύπρου

Περίληψη

Βασικός σκοπός του άρθρου αυτού είναι να προτείνει ένα πλαίσιο διδασκαλίας της έννοιας της αναλογίας, το οποίο να βασίζεται στο συγκερασμό της θεωρίας, και άρα των αποτελεσμάτων σύγχρονων ερευνών γύρω από τη συγκεκριμένη έννοια, με την πράξη. Η επιβεβαίωση ενός μοντέλου περιγραφής της μαθηματικής αναλογικής σκέψης με τρεις πτυχές ανατρέπει τον παραδοσιακό τρόπο διδασκαλίας της έννοιας της αναλογίας, και καθορίζει μια διαφορετική διδακτική προσέγγιση του θέματος. Βασικό χαρακτηριστικό της προσέγγισης αυτής είναι η αναγνώριση μιας θεμελιώδους πτυχής της μαθηματικής αναλογικής σκέψης, η οποία αφορά στην ικανότητα ανάλυσης των ποσοτήτων σε μια προβληματική κατάσταση, για να διαπιστωθεί πρώτιστα κατά πόσο υπάρχει ανάμεσά τους αναλογική σχέση.

Θεωρητικό και Ερευνητικό Υπόβαθρο
Ο αναλογικός συλλογισμός αποτελεί έναν από τους πιο σημαντικούς μηχανισμούς της γνωστικής ανάπτυξης του ατόμου. Ως επαγωγικός μηχανισμός, σχετίζεται άμεσα με τη δημιουργία και την τροποποίηση των γνωστικών δομών του ατόμου, μέσω της αναθεώρησης των υπαρχόντων κανόνων και της δημιουργίας νέων κανόνων (Holland, Holyoak, Nisbett, & Thagard, 1989). Το γεγονός αυτό καθιστά τον αναλογικό συλλογισμό αναγκαίο για την κατανόηση και ερμηνεία άγνωστων εννοιών, αλλά και για την ανάπτυξη της κριτικής σκέψης και την επίλυση προβλήματος (Goswami, 1992).
Ο αναλογικός συλλογισμός, δεν μπορεί παρά να αποτελεί στοιχείο απαραίτητο και για την επιστήμη των μαθηματικών. Ήδη, ξεκινώντας από τα παλαιότερα χρόνια, ο αναλογικός συλλογισμός αποτελεί ένα σημαντικό μαθηματικό εργαλείο για το χειρισμό καταστάσεων σε διάφορα πεδία της ανθρώπινης ενασχόλησης (Freudenthal, 1973). Η φύση αυτού του «εργαλείου» έχει διπλό ρόλο. Από τη μια, χρησιμοποιώντας την αποκλειστικά αναλογική του πτυχή, μπορεί να αποτελέσει στοιχείο κλειδί στη διαχείριση προβληματικών καταστάσεων με τη μεταφορά ήδη υπάρχουσας γνώσης και δεξιοτήτων σε καινούρια έργα, που παρουσιάζουν δομικές ομοιότητες με τα προηγούμενα. Από την άλλη, η μαθηματική πτυχή του αναλογικού συλλογισμού είναι απαραίτητη για την επίλυση μαθηματικών προβλημάτων αναλογίας, όπου πρέπει να εντοπιστεί η δομική ομοιότητα ανάμεσα στους αριθμούς και τα δεδομένα της προβληματικής κατάστασης.
Στις μέρες μας δίνεται μεγάλη έμφαση στις αναλογικές σχέσεις μέσα από τα αναλυτικά προγράμματα των μαθηματικών τόσο της Δημοτικής όσο και της Μέσης Εκπαίδευσης (Υπουργείο Παιδείας και Πολιτισμού, 1996). Η έννοια της αναλογίας υπάρχει μέσα σε όλο το μαθηματικό οικοδόμημα, ξεκινώντας από την ιδέα της μέτρησης ποσοτήτων, την έννοια των λόγων και την εφαρμογή της μεθόδου του εσωτερικού γινομένου στο Δημοτικό σχολείο και επεκτείνεται στη γραμμική άλγεβρα και τη χρήση των γραμμικών μοντέλων στον απειροστικό λογισμό και τη στατιστική (Van Dooren, 2005).
Η θεμελιώδης σημασία της έννοιας της αναλογίας στη ζωή του ανθρώπου είχε ως αποτέλεσμα να γίνουν από πολύ νωρίς συστηματικές προσπάθειες ορισμού της (Kline, 1990). Σήμερα φαίνεται να υπάρχουν κενά στον ορισμό της ικανότητας που σχετίζεται με την εφαρμογή της έννοιας της αναλογίας (Lamon, 1999) και ειδικότερα φαίνεται να απουσιάζει ένα πλαίσιο που να καθορίζει με ακρίβεια εκείνα τα στοιχεία που σχετίζονται με τη μαθηματική αναλογική σκέψη. Αντίθετα, το πώς γίνεται αντιληπτή η έννοια της μαθηματικής αναλογικής σκέψης υποδηλώνεται έμμεσα μέσα από τα έργα που περιλαμβάνονται στις διάφορες έρευνες που ασχολούνται με το θέμα αυτό (Lesh, Post, & Behr, 1988; Misailidou & Williams, 2003), αλλά και στα σχολικά εγχειρίδια (Υπουργείο Παιδείας και Πολιτισμού, 1996). Ειδικότερα, φαίνεται να επικρατεί άδηλα η θέση σύμφωνα με την οποία η μαθηματική αναλογική σκέψη ταυτίζεται απλά με την ικανότητα επίλυσης τυπικών αναλογικών έργων (Cramer, Post, & Currier, 1993).
Έρευνες γύρω από το φαινόμενο της ψευδαίσθησης της αναλογίας (De Bock, Verschaffel, & Janssens, 1998; Modestou & Gagatsis, 2007; Van Dooren, 2005) υποδεικνύουν ότι αυτή η θεώρηση της μαθηματικής αναλογικής σκέψης δεν μπορεί να ισχύει απόλυτα. Οι μαθητές ανεξαρτήτως ηλικίας, ενώ επιτυγχάνουν στην επίλυση τυπικών αναλογικών προβλημάτων, αποτυγχάνουν στο να τα διακρίνουν από άλλα μη αναλογικά προβλήματα (Modestou, Elia, Gagatsis & Spanoudes, 2008). Ως αποτέλεσμα της αποτυχίας διάκρισης των αναλογικών από τις μη αναλογικές καταστάσεις, δημιουργείται στους μαθητές μια “ψευδαίσθηση” για την ύπαρξη αναλογίας, με αποτέλεσμα να χρησιμοποιούν αναλογικές στρατηγικές για να επιλύσουν ακόμη και τα μη αναλογικά έργα.
Για παράδειγμα, η τάση των μαθητών να απαντούν, ότι το εμβαδόν ενός τετραγώνου διπλασιάζεται όταν διπλασιαστούν οι πλευρές του, είναι αποτέλεσμα του συγκεκριμένου φαινομένου (De Bock et al., 1998; Modestou & Gagatsis, 2007). Αποτέλεσμα του φαινομένου της ψευδαίσθησης της αναλογίας είναι και οι αναλογικές απαντήσεις των μαθητών σε σταθερά προβλήματα της μορφής f(x)=a: «Ένα πουκάμισο χρειάζεται 25 λεπτά για να στεγνώσει έξω στον ήλιο. Πόσο χρόνο θέλουν τρία πουκάμισα για να στεγνώσουν σε ανάλογες συνθήκες;». Σε αυτό το πρόβλημα οι μαθητές δίνουν απάντηση 75 λεπτά, επηρεαζόμενοι από τη λεκτική δομή του έργου, η οποία παραπέμπει στη χρησιμοποίηση της γραμμικής συνάρτησης f(x) = ax.

                                                                                                          Περισσότερα. 

 ΟΙ ΔΥΣΚΟΛΙΕΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ ΤΟΥ 

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΑΠΟ ΜΑΘΗΤΕΣ

 Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Ελένη Δημητριάδου
Δρ. Διδακτικής Μαθηματικών Πανεπιστημίου Κρήτης
Δωδώνης 65- 67, 45221 Ιωάννινα
e-mail: ledimitr@hotmail.com

Κωνσταντίνος Τζανάκης
Παιδαγωγικό Τμήμα Δ.Ε.
Πανεπιστήμιο Κρήτης, 74 100 Ρέθυμνο
e-mail: tzanakis@edc.uoc.com

ΠΕΡΙΛΗΨΗ
Oι σύγχρονες τάσεις στη διδασκαλία των μαθηματικών στοχεύουν σε ένα μοντέλο καθηγητή, διαφορετικό από το παραδοσιακό. Bάσει του μοντέλου αυτού, καθηγητής και μαθητές αποτελούν μια κοινωνία σε αλληλεπίδραση, η οποία μοιράζεται την μαθηματική γνώση. Μέσα στην τάξη δημιουργείται ένα κλίμα αμοιβαίας εμπιστοσύνης, όπου οι μαθητές δημιουργούν μαθηματικά, εξερευνώντας τις μαθηματικές καταστάσεις που προτείνονται από τον καθηγητή, μέσα από την ελεύθερη έκφραση και τον διάλογο. Αυτό το κλίμα, όπου τα παιδιά εκφράζουν ελεύθερα τη σκέψη τους και ανταλλάσσουν απόψεις με τους συμμαθητές τους, επιτρέπει στον ερευνητή να μελετήσει τον τρόπο με τον οποίο προσεγγίζουν τιςέννοιες, να γνωρίσει σε βάθος τις δυσκολίες που αντιμετωπίζουν στην κατανόηση και στο χειρισμό τους, και όπου είναι δυνατόν να τις ερμηνεύσει.

Με βάση τις ανωτέρω παιδαγωγικές αρχές και ειδικότερα, τις θεωρίες των διδακτικών καταστάσεων του Brousseau, της “διαλεκτικής εργαλείου- αντικειμένου” και “αλλαγής πλαισίων” της Douady, και το παιδαγωγικό μοντέλο της ομάδας των κοινωνικών κονστρουκτιβιστών, επιχειρήσαμε μια εναλλακτική διδακτική προσέγγιση στοιχειωδών διανυσματικών εννοιών σε μαθητές Γ΄ γυμνασίου, η οποία στηρίζεται σε δραστηριότητες και καταστάσεις από τη φυσική και τη γεωμετρία. Το περιβάλλον που δημιουργήθηκε μέσα στην τάξη βοήθησε τους μαθητές να μετάσχουν στην ανακάλυψη της διανυσματικής γλώσσας και ως ένα σημείο στην κατασκευή της, και συγχρόνως να ξεπεράσουν μερικές από τις λανθασμένες αντιλήψεις τους. Από την άλλη μεριά, η προσέγγιση αυτή μας επέτρεψε να μελετήσουμε τον τρόπο που τα παιδιά προσεγγίζουν το συμβολικό σύστημα της διανυσματικής γλώσσας, και ιδιαίτερα τις δυσκολίες που αντιμετωπίζουν στην κατανόηση και στο χειρισμό της.
Στην παρούσα εισήγηση, παρουσιάζουμε τις κυριότερες δυσκολίες και παρανοήσεις που εμφάνισαν οι μαθητές και επιχειρούμε την ταξινόμηση και ερμηνεία τους βάσει των ιδεών του Vygotsky και της Booth για την σχέση ανάμεσα στην εξέλιξη της γλώσσας και στην ανάπτυξη της νόησης.

                                                                                                      Περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΣΣΟΝΤΑΣ ΝΕΕΣ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΟΝΤΕΛΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΣΥΝΘΕΤΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΑΘΗΣΗΣ

Νίκος Μουσουλίδης
Τμήμα Επιστημών της Αγωγής, Πανεπιστήμιο Κύπρου

ΠΕΡΙΛΗΨΗ

Στην εργασία αυτή παρουσιάζονται μερικά αποτελέσματα από ένα ερευνητικό πρόγραμμα, το οποίο συνδυάζει ένα μικρόκοσμο προγραμματισμού μαζί με το διαδίκτυο, για να αναπτύξει ένα σύνθετο και δυναμικό περιβάλλον μάθησης. Οι μαθητές με τη χρήση εργαλείων προγραμματισμού και σε αλληλεπίδραση με συμμαθητές και συνεργάτες, αναπτύσσουν νέες αναπαραστάσεις και οικοδομούν μαθηματικές γνώσεις ενεργητικά και κατασκευαστικά. Σε ένα νέο και δυναμικό πλαίσιο εργασίας, οι μαθητές διατυπώνουν και ελέγχουν υποθέσεις, σχεδιάζουν και κατασκευάζουν σειρές αριθμών και μέσω του διαδικτύου αλληλεπιδρούν με μαθητές από άλλες χώρες, αναθεωρώντας τις κατασκευές τους και κάνοντας εισηγήσεις για βελτίωση των κατασκευών των εξ’ αποστάσεως συμμαθητών τους. Στην εργασία αυτή παρουσιάζονται τα αποτελέσματα των μαθητών, οι οποίοι εργάστηκαν σε έργα κατασκευής αριθμητικών μοτίβων και ειδικά στην κατασκευή της ακολουθίας Fibonacci. Τα αποτελέσματα της έρευνας έδειξαν ότι η δυναμική αλληλεπίδραση τόσο μεταξύ των μαθητών, όσο και μεταξύ των μαθητών και του περιβάλλοντος βοήθησαν τους μαθητές να αναπτύξουν νέες αναπαραστάσεις και να κατασκευάσουν μοντέλα για την επίλυση και κατασκευή προβλήματος, αναπτύσσοντας παράλληλα τη δημιουργικότητά τους.

Εισαγωγή

Ο σχεδιασμός και εφαρμογή μικρόκοσμων για τη διδασκαλία μαθηματικών εννοιών έχει απασχολήσει σε μεγάλο βαθμό την έρευνα στη μαθηματική παιδεία (Papert, 1991: Hoyles & Noss, 1996: Clements & Sarama, 1995). Κατά το σχεδιασμό των μικρόκοσμων δίνεται ιδιαίτερη έμφαση στη λειτουργική ενσωμάτωση εναλλακτικών μορφών αναπαράστασης, οι οποίες προσφέρουν σημαντικά πλεονεκτήματα, χωρίς να απουσιάζουν παντελώς κάποια μειονεκτήματα, για την απόκτηση των απαραίτητων μαθηματικών εννοιών (Hoyles & Noss, 1996: Noss, Hoyles & Healy, 1997). Οι μικρόκοσμοι και γενικότερα τα δυναμικά περιβάλλοντα διδασκαλίας και αλληλεπίδρασης που βασίζονται στις νέες τεχνολογίες, υπερβαίνουν την υπάρχουσα δυναμική ανάμεσα σε μαθητές, εκπαιδευτικούς και εργαλεία, ενώ ταυτόχρονα καταργούν τα στενά όρια της σχολικής τάξης (Noss, Hoyles & Healy, 1997). Στο πλαίσιο του ερευνητικού προγράμματος Weblabs: New Representational Infrastructures for E-Learning, έχουμε δημιουργήσει ένα περιβάλλον όπου οι μαθητές παίζοντας και αλληλεπιδρώντας με ένα μικρόκοσμο προγραμματισμού και με το περιβάλλον του ιστοτόπου του προγράμματος μελετούν και διερευνούν μαθηματικές έννοιες και διαδικασίες.

Για τις ανάγκες του προγράμματος χρησιμοποιείται το ToonTalk, ένα εξειδικευμένο λογισμικό οπτικού προγραμματισμού με κινούμενο κώδικα, το οποίο είναι σχεδιασμένο για χρήση από μαθητές (Kahn, 1999). Το λογισμικό αυτό, παρέχει τα κατάλληλα εργαλεία στους μαθητές για να κατασκευάσουν διάφορα μικρά προγράμματα και έτσι να διερευνήσουν συγκεκριμένες μαθηματικές έννοιες, όπως για παράδειγμα αριθμητικά μοτίβα και ακολουθίες αριθμών. Οι μαθητές έχουν τη δυνατότητα να δημιουργούν διάφορες κατασκευές, να τις αναδιαμορφώνουν και να τις βελτιώνουν. Μέσα από τη χρήση του ιστοτόπου του ερευνητικού προγράμματος, αυτές οι κατασκευές παρουσιάζονται σε άλλους μαθητές, συζητούνται και αξιολογούνται. Σκοπό της παρούσας εργασίας αποτελεί η διερεύνηση και αξιολόγηση του περιβάλλοντος που δημιουργείται για τη μελέτη αριθμητικών μοτίβων. Συγκεκριμένα, θα αξιολογηθεί η αποτελεσματικότητα του περιβάλλοντος ως μέσου για ανάπτυξη της δημιουργικότητας και κατανόησης μαθηματικών εννοιών.

                                                                                                 Περισσότερα.

ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΜΕ ΕΠΟΠΤΙΚΟ ΤΡΟΠΟ: ΕΝΑ ΜΟΝΤΕΛΟ Ή ΕΝΑ ΠΑΙΧΝΙΔΙ;

Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος
Σχολικός Σύμβουλος ΠΕ03
www.p-theodoropoulos.gr

ΠΕΡΙΛΗΨΗ

Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια εποπτική παρουσίαση των πράξεων στο σύνολο

των ακεραίων αριθμών. Συγκεκριμένα προτείνονται δύο τρόποι διδασκαλίας της πρόσθεσης, της αφαίρεσης και του πολλαπλασιασμού, ένας γεωμετρικός και ένας συνολοθεωρητικός.Ο γεωμετρικός τρόπος στηρίζεται στο διανυσματικό πρότυπο και αποσκοπεί στην κατανόηση των αλγορίθμων των πράξεων.Στο συνολοθεωρητικό τρόπο οι πράξεις ερμηνεύονται και εκτελούνται με σενάρια, τα οποία αποσκοπούν στην εύκολη απομνημόνευση των σχετικών κανόνων.

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Ως γνωστόν, η διδασκαλία των πράξεων στο σύνολο των ρητών αριθμών στο γυμνάσιο δεν είναι εύκολη υπόθεση. Αυτό οφείλεται στους αρνητικούς αριθμούς και στο πρόσημο που εισάγεται στην έννοια του αριθμού, το οποίον αλλάζει την αντίληψη που είχαν σχηματίσει οι μαθητές για τους αριθμούς και τις πράξεις τους (επιστημολογικό εμπόδιο). Χαρακτηριστικά ο Μπάμπης Τουμάσης στο βιβλίο του “Σύγχρονη Διδακτική των Μαθηματικών” αναφέρει: «Από την εμπειρία μας με τη διδακτική πράξη, ως δάσκαλοι των μαθηματικών, θα γνωρίζουμε ασφαλώς όλοι πόσο “δύσπεπτη” είναι για τους μαθητές η εξήγηση του κανόνα των προσήμων στους αρνητικούς αριθμούς»

                                                                                       Περισσότερα.



 ΈΝΑ ΕΜΠΕΙΡΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ ΠΡΟΣΗΜΑΣΜΕΝΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Δημήτρης Πολυτίδης, Μαθηματικός στη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση
Διεύθυνση κατοικίας: 25ης Μαρτίου 5, Σκύδρα, Τ.Κ 58500
Τηλέφωνο κατοικίας: 2381083137-6977335451
Email: eftim@otenet.gr
Διεύθυνση εργασίας: ΣΔΕ Γιαννιτσών, Βάρναλη 1, 58100 Γιαννιτσά
Email(σχολείου) mail-sde.giann.pel.sch.gr

Περίληψη

Η εργασία αναφέρεται στο πρόβλημα της διδασκαλίας των αρνητικών αριθμών στο Γυμνάσιο.Είναι κοινή διαπίστωση των καθηγητών ότι οι μαθητές συναντούν δυσκολίες κατανόησης στις πράξεις προσημασμένων αριθμών, και κυρίως των ετεροσήμων αριθμών. Επίσης, παρουσιάζεται μια έλλειψη και ασυνέχεια στην παρουσίαση αυτού του θέματος στο σχολικό εγχειρίδιο. Στην εργασία αυτή θα προσπαθήσουμε να καλύψουμε το κενό που υπάρχει. Στην αρχή παρουσιάζουμε σύντομα κάποια γενικά ιστορικά και διδακτικά στοιχεία σχετικά με τους αρνητικούς αριθμούς. Στη συνέχεια παραθέτουμε τη σημερινή λογική της διδασκαλίας για την εισαγωγή των πράξεων των ακεραίων αριθμών, όπως αυτή παρουσιάζεται στα σχολικά εγχειρίδια. Προσπαθώντας να καλύψουμε τις αδυναμίες και τα κενά της διδακτικής πρότασης του βιβλίου, προτείνουμε μια άλλη διδασκαλία με βάση ένα φυσικό μοντέλο για τις πράξεις των ακεραίων. Τέλος, γίνεται μία πρώτη πρόχειρη πειραματική αποτίμηση της διδακτικής αυτής πρότασης.

                                                                                                           Περισσότερα.



ΕΜΠΕΙΡΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΤΗΝ ΙΚΑΝΟΤΗΤΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ
ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Α' ΒΑΘΜΟΥ ΑΠΟ ΜΑΘΗΤΕΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Χαράλαμπος Λεμονίδης
Π.Τ.Δ.Ε. Φλώρινας1

Περίληψη

Από τα διάφορα ερευνητικά δεδομένα της διδακτικής των μαθηματικών, γνωρίζουμε ότι το πέρασμα από την αριθμητική στην άλγεβρα είναι μια κρίσιμη φάση και ότι οι μαθητές κατά την εισαγωγή τους στην άλγεβρα αντιμετωπίζουν πολλά προβλήματα. Στην εργασία αυτή με βάση τα ερευνητικά αποτελέσματα, για τα λάθη και τις μεθόδους που χρησιμοποιούν οι μαθητές κατά την επίλυση απλών εξισώσεων, προσπαθούμε να εξετάσουμε τις επιδόσεις των ελλήνων μαθητών (grade 8 and 9) στην επίλυση απλών εξισώσεων Α’ βαθμού. Στα αποτελέσματά μας καταγράφουμε τις επιδόσεις των μαθητών του grade 8 and grade 9 ως προς την επίλυση εξισώσεων και τα συγκρίνουμε μεταξύ τους. Επισημαίνουμε τα λάθη και τα δύσκολα σημεία για τους μαθητές καθώς επίσης και τις μεθόδους που χρησιμοποιούν. Με βάση τα αποτελέσματα από την εργασία αυτή μπορούμε να κάνουμε κάποιες παρατηρήσεις για τη βελτίωση της διδασκαλίας των εξισώσεων. 1 Ευχαριστώ το Μαθηματικό Φώτη Μαργαρίτη για την  ουσιαστική βοήθεια και συμμετοχή του στην επεξεργασία των δεδομένων της έρευνας αυτής.

Ι. ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Πολλές έρευνες έχουν πραγματοποιηθεί για να εξετάσουν τις δυσκολίες που αντιμετωπίζουν οι μαθητές όταν εισάγονται στην άλγεβρα. Το πέρασμα από την αριθμητική στην άλγεβρα είναι μια κρίσιμη φάση για τους μαθητές και έχει χαρακτηριστεί ως μια περίοδος επιστημολογικής ρήξης. Αυτό σημαίνει ότι ο μαθητής πρέπει να περάσει σύντομα από μια κατάσταση μαθηματικών γνώσεων και τρόπου σκέψης σε μια άλλη κατάσταση νέων γνώσεων και διαδικασιών (εξίσωση, άγνωστος, μεταβλητή, συνάρτηση κλπ) όπου απαιτείται ένας άλλος τρόπος σκέψης. Για να περάσει λοιπόν από τη στοιχειώδη αριθμητική στην άλγεβρα ο μαθητής θα πρέπει να αντικαταστήσει την άμεση επίλυση και χειρισμό των προβλημάτων που δίνονται στη φυσική γλώσσα, με τη χρησιμοποίηση αλγεβρικών εκφράσεων που βασίζονται σε συγκεκριμένους κανόνες. Όπως είναι για παράδειγμα η γραφή των εξισώσεων και η εφαρμογή μετασχηματισμών που οδηγούν σε μια σειρά από ισοδύναμες εξισώσεις. Σκοπός της έρευνας αυτής είναι να διερευνηθούν οι γνώσεις των μαθητών μετά από μια πρώτη επαφή τους με την άλγεβρα, για να δούμε σε πιο βαθμό γνωρίζουν τις αλγεβρικές διαδικασίες, τι λάθη κάνουν και κατά πόσο είναι επηρεασμένοι από την αριθμητική.

                                                                                  Περισσότερα




Η ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΣΤΑ ΣΧΟΛΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΑ ΜΕ ΤΗΝ ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΤΟΥΣ ΕΞΕΛΙΞΗ (ΑΠΟ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΣΤΟ ΛΥΚΕΙΟ)

Π ΛΙΝΑΡΔΑΚΗΣ
Δρ. Διδακτικής των Μαθηματικών
Καθηγητής Αρσακείου

Περίληψη

Στόχος της ανακοίνωσης αυτής είναι : Η σκιαγράφηση της σχέσης ανάμεσα στην ιστορική εξέλιξη των Τριγωνομετρικών εννοιών και τουτρόπου πού οι έννοιες αυτές παρουσιάζονται στο Αναλυτικό πρόγραμμα και στα σχολικά βιβλία. Η περιγραφή των εμποδίων που συναντούν οι μαθητές στην κατανόηση των Τριγωνομετρικών εννοιών και η επιστημολογική σχέση αυτών των εμποδίων με την ιστορική εξέλιξη των εννοιών αυτών. Θα παρουσιάσουμε τις βασικές ιστορικές στιγμές που έχουν επηρεάσει την εξέλιξη της Τριγωνομετρίας από τους Αιγυπτίους και τους Αρχαίους Έλληνες μέχρι σήμερα .Παράλληλα θα αποδείξουμε ότι αυτές οι ιστορικές στιγμές επηρεάζουν τον τρόπο που οι έννοιες αυτές παρουσιάζονται στα σχολικά βιβλία Τέλος θα καταδείξουμε τα επιστημολογικά και διδακτικά εμπόδια πού εμφανίζονται όταν κανείς διδάσκει Τριγωνομετρία στην Ελλάδα σήμερα.

Α ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Ο στόχος της εργασίας αυτής είναι να ερευνήσει την σχέση που διαμορφώνεται ανάμεσα στην ιστορική εξέλιξη των τριγωνομετρικών εννοιών και του τρόπου που αυτές παρουσιάζονται στο Αναλυτικό πρόγραμμα και τα σχολικά βιβλία Τα συμπεράσματα από αυτή την εργασία θα συμβάλλουν στη διερεύνηση των ερωτημάτων:

1. Υπάρχουν προβλήματα κατανόησης των τριγωνομετρικών εννοιών από πλευράς των μαθητών που να είναι αντίστοιχα με τις δυσκολίες που εμφανίστηκαν στην ιστορική τους εξέλιξη;(επιστημολογικά εμπόδια)

2. Υπάρχουν οι αναγκαίοι διδακτικοί μετασχηματισμοί στην παρουσίαση ώστε να μειωθούν αντίστοιχα προβλήματα; Και ποιοι άλλοι μετασχηματισμοί πρωτογενείς ή δευτερογενείς μπορούν να γίνουν για την βελτίωση της παρουσίασης; Στο ισχύον Αναλυτικό πρόγραμμα για το Γυμνάσιο και το Λύκειο, οι τριγωνομετρικές έννοιες παρουσιάζονται στις Β΄ και Γ΄ Γυμνασίου και Α΄ και Β΄ Λυκείου. Επίσης, στην Γ΄ Λυκείου, στα πλαίσια της Ανάλυσης ,αντιμετωπίζονται πιο διεξοδικά οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις..

                                                                                     Περισσότερα.




 ΜΙΧΑΗΛ ΜΑΝΩΛΟΠΟΥΛΟΣ :  ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΣ
Προσεγγίσεις – Εννοιών - Δυσκολίες - Ασκήσεις

 Η έννοια του ορίου είναι μια από τις δυσκολότερες έννοιες των μαθηματικών

και ο μαθητής και ο σπουδαστής πρέπει να έρθει σύντομα σε επαφή μαζί της γιατί

είναι απαραίτητη και για άλλες έννοιες του απειροστικού λογισμού όπως είναι η

συνέχεια η παράγωγος και το ολοκλήρωμα. Η νοητική της κατάκτηση θεωρείται

απαραίτητη προϋπόθεση για την κατανόηση των προαναφερθεισών εννοιών. Η

κατανόηση και η εμβάθυνση της έννοιας του ορίου απαιτεί επίσης άνεση στη

διαχείριση ετέρων εννοιών όπως εκείνη του συνόλου των πραγματικών αριθμών και των ιδιοτήτων του, της απόλυτης τιμής και της συναρτήσεως. Η σύγχρονη εμφάνιση της έννοιας του ορίου στα σημερινά βιβλία είναι αποτέλεσμα προσπαθειών από την αρχαιότητα. Στην μακρόχρονη αυτή πορεία εκτός από τις γόνιμες ιδέες και τις προόδους που επετεύχθησαν υπήρξαν και πολλά λάθη καθώς και οπισθοδρομήσεις ακόμα και από μεγάλους μαθηματικούς. Στοιχεία μεθόδων και εργαλείων του απειροστικού λογισμού σχετικά με την έννοια του ορίου συναντάμε στους αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς από την εποχή του Ευδόξου (περ. 408-355 π.Χ.) και του Αρχιμήδη (287-212 π.Χ.). Στην Επιτομή Φυσικής ή Περί φυσικής ακροάσεως (P.G. 142, 1023-1302) ο Νικηφόρος Βλεμμύδης ασχολείται, σε 31 κεφάλαια, με θέματα φυσικής, μαθηματικών, αστρονομίας και μετεωρολογίας, γράφοντας τα σχετικά θέματα με ιδιαίτερα αναλυτικό τρόπο. Μεταξύ των άλλων αναφέρεται στις μεταβολές απείρως μικρών και μεγάλων ποσών, δηλαδή με στοιχεία απειροστικού λογισμού (Θεοδοσίου και Δανέζης 2010). Προσπάθειες για να αποσαφηνιστεί η έννοια του ορίου συναντάμε το 16ο αιώνα από τον Ιταλό Luca Valerio και τον Φλαμανδό Simm Stevin. Η θεμελίωση όμως του Απειροστικού Λογισμού επιτυγχάνεται το τελευταίο τέταρτο του 17ου αιώνα από τον Isaac Newton και τον Gottfried Wilhelm Leibniz, οι οποίοι, ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλο, επινόησαν ταυτόχρονα το Διαφορικό και Ολοκληρωτικό Λογισμό (Αγγελίδη 2005).

                                                                                       Περισσότερα

Επίλυση Προβλήματος Συνυφασμένη με μια Έννοια.

Ιωάννης Παπαδόπουλος

Δρ. Διδακτικής Μαθηματικών

ypapadop@otenet.gr

Περίληψη

Στην εργασία αυτή θα δώσουμε την περιγραφή μιας θεωρητικής προσέγγισης στο χώρο της επίλυσης προβλήματος, αυτήν της Επίλυσης Προβλήματος Συνυφασμένης με μια Έννοια (ΕΠΣΕ). (Η περιγραφή αυτή θα συνοδεύεται από ένα συγκεκριμένο παράδειγμα μιας έννοιας και συγκεκριμένα του εμβαδού). Η ΕΠΣΕ σε ένα πρώτο στάδιο μέσα από μια σειρά προβλημάτων με κοινό εννοιολογικό υπόβαθρο εφοδιάζει τους μαθητές- λύτες με μια συλλογή τεχνικών σχετικών με τη συγκεκριμένη έννοια. Αργότερα η χρήση των τεχνικών αυτών δεν ενισχύει πια την έννοια, και αντί γι αυτό οι λύτες εμπλέκουν την καλή γνώση της έννοιας που πια κατέχουν, προκειμένου να οργανώσουν τις γνωστές μεθόδους τις σχετικές με την έννοια, ώστε να δρομολογήσουν στρατηγικές που θα οδηγούν στη λύση. Αυτή η πλατφόρμα της ΕΠΣΕ υποστηρίζει την επιχειρηματολογία του λύτη και οδηγεί στην ανάπτυξη ιδιαίτερα εντυπωσιακών στρατηγικών. Επιπλέον αφήνεται ως ανοιχτή η ιδέα για την εφαρμογή της πλατφόρμας αυτής και σε άλλες έννοιες πέρα από το εμβαδόν, του οποίου η περίπτωση πιστεύουμε ότι αποτελεί ένα καλό υπόδειγμα. Η προοπτική της Επίλυσης Προβλήματος Συνυφασμένης με μια Έννοια Είναι γνωστό ότι ο Polya παραθέτει ένα σφαιρικό σχέδιο τεσσάρων βημάτων για την επίλυση προβλήματος (Polya, 1973, σ. 33): Πρώτο βήμα: Κατανόηση του προβλήματος Δεύτερο βήμα: Εύρεση ενός σχεδίου για την επίλυση Τρίτο βήμα: Εκτέλεση του σχεδίου Τέταρτο βήμα: Εξέταση της λύσης που βρέθηκε Το σχέδιο αυτό βασιζόταν στην πεποίθησή του ότι υπάρχει μια τέχνη την ανακάλυψης και ότι η ικανότητα να ανακαλύπτεις και να επινοείς μπορεί να ενισχυθεί με την κατάλληλη διδασκαλία που κινητοποιεί το μαθητή και τον ωθεί προς τις αρχές της ανακάλυψης, δίνοντάς του την ευκαιρία να τις ασκήσει. Η ανάλυση των παραπάνω βημάτων οδηγεί σε ατομικές στρατηγικές (ευρετικές αρχές) που μπορούν να χρησιμοποιηθούν την κατάλληλη στιγμή. Ο Schoenfeld (1985), μεταξύ άλλων αργότερα, προώθησε τις ιδέες του Polya πάνω στην επίλυση προβλήματος, κάνοντας μάλιστα μια ενδιαφέρουσα ταξινόμηση των ευρετικών αρχών που χρησιμοποιούνται συχνά (και που όμως αφορούσε τα μαθηματικά σε κολεγιακό επίπεδο, χωρίς από την άλλη να περιορίζει την επεκτασιμότητά τους). Οι ευρετικές στρατηγικές (ή απλά ευρετικές) είναι κανόνες για την επιτυχή επίλυση προβλήματος, γενικές υποδείξεις που βοηθούν το μαθητή να κατανοήσει καλύτερα ένα πρόβλημα ή να σημειώσει πρόοδο προς την επίλυση και πρέπει να τονιστεί ότι όταν κάποιος εστιάζει στη μαθηματική σκέψη πρέπει να δίνει ιδιαίτερη βαρύτητα μεταξύ άλλων στις στρατηγικές (Schoenfeld, 1994). Υπάρχει όμως το ενδεχόμενο να έχουμε μεθοδολογικές τακτικές πιο ειδικές από τις ευρετικές. Οι Mamona-Downs and Downs (2004; 2005), τις αποκαλούν «τεχνικές επίλυσης προβλήματος». Οι τεχνικές αυτές «συλλέγονται» καθώς οι μαθητές τις συναντούν σε ποικίλα μαθηματικά πλαίσια. Έτσι λοιπόν από τη μια εξάγουμε μια τεχνική μέσα από λύσεις που έχουν ολοκληρωθεί με επιτυχία και που στηρίζουν την τεχνική και από την άλλη η κατανόησή της υλοποιείται ως ανταπόκριση σε παλαιότερες εμπειρίες επίλυσης προβλήματος.

                                                                                               Περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΓΙΑ ΤΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ

Ένας από τους βασικούς στόχους του Α.Π. είναι να αναπτυχθεί η ικανότητα των μαθητών ώστε ν’ αντιμετωπίζουν αποτελεσματικά τα προβλήματα και τις καταστάσεις που προκύπτουν από την καθημερινή κοινωνική δραστηριότητα (συναλλαγές, μετρήσεις, υπολογισμοί, εκτιμήσεις, προβλέψεις)

Η ικανότητα αυτή συνδέεται με τη

-Χρήση των μαθηματικών γνώσεων

-Χρήση γενικών μεθόδων επεξεργασίας και στρατηγικών

Η βελτίωση της ικανότητας σ’ αυτό τον τομέα των μαθητών με δυσκολίες στα Μαθηματικά μπορεί να συμβάλλει στη βελτίωση των κοινωνικών τους δεξιοτήτων.

Στο διδακτικό σχεδιασμό των βημάτων της διαδικασίας επίλυσης προβλημάτων είναι χρήσιμο να αξιοποιηθούν οι ερευνητικές διαπιστώσεις σύμφωνα με τις οποίες η επεξεργασία των στοιχείων και της αρχικής αναπαράστασης τους προβλήματος καθώς και η επεξεργασία για την αναγνώριση των σχέσεων του προβλήματος αποτελούν βασικούς παράγοντες για την επιτυχή έκβαση της διαδικασίας επίλυσης (Μπάρμπας, Τζουριάδου,1999)

Για την επιτυχή έκβαση της διαδικασίας επίλυσης επισημαίνεται η ιδιαίτερη σημασία που έχουν δύο τομείς:

-Ο τρόπος επεξεργασίας για την αναγνώριση των στοιχείων του προβλήματος

-Ο τρόπος επεξεργασίας για την αναγνώριση των σχέσεων του προβλήματος

Στη βιβλιογραφία (Riding, Rayner, 1999) διακρίνονται η ολιστική και η αναλυτική διάσταση στον τρόπο επεξεργασίας των πληροφοριών.

Ο ολιστικός τρόπος επεξεργασίας αναφέρεται στην αντίληψη του έργου ή του αντικειμένου ως όλου, δίχως διάκριση των επιμέρους στοιχείων ή χαρακτηριστικών.

Γρήγορη και βιαστική ανάγνωση του προβλήματος,

ο εντοπισμός μερικών μόνο στοιχείων,

η επικέντρωση στα αριθμητικά μόνο δεδομένα,

η αυθαίρετη προσθήκη ή η τροποποίηση των στοιχείων,

η επικέντρωση στα αριθμητικά μόνο δεδομένα,

η αυθαίρετη προσθήκη ή η τροποποίηση στοιχείων,

η ταξινόμηση των στοιχείων με κριτήριο ένα μόνο χαρακτηριστικό και η επικέντρωση στα εννοιολογικά εμπόδια που συναντούν οι μαθητές (πιθανές άγνωστες λέξεις με αποτέλεσμα να χάνουν άλλα στοιχεία και κυρίως το ζητούμενο.

Ο αναλυτικός τρόπος επεξεργασίας αναφέρεται στην παρατήρηση των λεπτομερειών και στην τελική σύνθεσή τους για τη συγκρότηση μια συνολικής αναπαράστασης του έργου ή του αντικειμένου.

Εντοπισμός ένα προς ένα όλων των στοιχείων,

την επεξεργασία τους και τη σύνθεσή τους στη συνολική αναπαράσταση του προβλήματος.

Μία προς μία επεξεργασία των σχέσεων μεταξύ των δεδομένων έτσι ώστε να συσχετιστούν με το ζητούμενο του προβλήματος.

Τα περισσότερα άτομα τοποθετούνται ανάμεσα στους δύο πόλους και εμφανίζουν αναλυτικά και ολιστικά χαρακτηριστικά σε διαφορετικές διαβαθμίσεις (Morgan,1997)

Στο σχολικό πλαίσιο, όταν το περιεχόμενο του μαθήματος γίνεται πιο επιτηδευμένο, απαιτείται συνδυασμό αναλυτικού τρόπου σκέψης και επάρκειας γνώσεων. Αυτό συμβαίνει περισσότερο σε μαθήματα όπως μαθηματικά, φυσική, χημεία, γλώσσα. Οι μαθητές που υπολείπονται στις αναλυτικές μεθόδους επεξεργασίας αποδίδουν λιγότερο στα μαθήματα αυτά, ιδιαίτερα στις ανώτερες βαθμίδες της εκπαίδευσης. Η εμπειρική έρευνα υποδεικνύει ότι όλα τα παιδιά, ανεξάρτητα από χαρακτηριστικά γνωστικού ύφους (ολιστικός ή αναλυτικός τύπος) και προσωπικότητας, μπορεί να εκπαιδευτούν στη χρήση αναλυτικών μεθόδων για την επεξεργασία των σχολικών έργων. Αυτός ο προσανατολισμός της διδασκαλίας δεν στοχεύει στην αλλαγή του γνωστικού ύφους του μαθητή. Επιδίωξη είναι όλοι οι μαθητές να μπορούν να χειρίζονται αποτελεσματικά αναλυτικές και ολιστικές διαδικασίες ανάλογα με τις απαιτήσεις των καταστάσεων που αντιμετωπίζουν (Saracho, 1997)

Σχεδιασμός της διδασκαλίας των μεθόδων για την επίλυση προβλημάτων Σύμφωνα με την ανάλυση που εκτέθηκε διαμορφώθηκαν πέντε βήματα τα οποία αφορούσαν την επεξεργασία των στοιχείων του προβλήματος

1.Επεξεργασία της αρχικής αναπαράστασης-

Διδασκαλία αναλυτικών μεθόδων για την αναγνώριση των στοιχείων του προβλήματος.

Διδασκαλία μεθόδων ελέγχου και αυτοδιόρθωσης της αρχικής αναπαράστασης Ο εκπαιδευτικός παρουσιάζει και αναλύει τη μέθοδο σχετικά με τον αναλυτικό εντοπισμό όλων των στοιχείων, και των χαρακτηριστικών τους ( προσεκτική ανάγνωση του προβλήματος, επιλογή των αναγκαίων πληροφοριών, κατασκευή σχεδίου-όπου αυτό είναι εφικτό- η καταγραφή των δεδομένων, ώστε να μπορούν οι μαθητές να αναπαράγουν το πρόβλημα μόνο από το σχέδιο ή τα στοιχεία καταγραφής,σύγκριση του σχεδίου ή της καταγραφής με το κείμενο του προβλήματος) Συζήτηση μέσα στην ομάδα για το περιεχόμενο του προβλήματος. Μέσα από τις διαφορές στην παρουσίαση του προβλήματος, τις εκατέρωθεν εξηγήσεις και τα επιχειρήματα του καθενός, οι μαθητές οδηγούνται στον έλεγχο και την αυτοδιόρθωση της ερμηνείας των στοιχείων και της αναπαράστασης του προβλήματος.

2.Επεξεργασία των σχέσεων

Διδασκαλία αναλυτικών μεθόδων για την αναγνώριση του συνόλου των λογικο-μαθηματικών σχέσεων μεταξύ των στοιχείων του προβλήματος. Συζήτηση μέσα στην ομάδα για τα κοινά και τα διαφορετικά σημεία στις σχέσεις που έχει εντοπίσει κάθε μαθητής. Μέσα από τις εξηγήσεις και τα επιχειρήματα που προβάλλουν οι μαθητές, οδηγούνται στον έλεγχο και στην αυτοδιόρθωση της ερμηνείας των στοιχείων καθώς και στην κατανόηση των σχέσεων. Εφόσον η κατανόηση του συνόλου των σχέσεων δεν είναι εφικτή με άμεσο τρόπο, ο εκπαιδευτικός ζητά από τους μαθητές να χρησιμοποιήσουν μια εμπειρική μέθοδο ή στρατηγική (προσεγγιστικό υπολογισμό, δοκιμή και αποτυχία, αναλογία) για να επιλύσουν το πρόβλημα. Μέσα από τη σύγκριση των διαφορετικών απαντήσεων οι μαθητές οδηγούνται στον έλεγχο των σχέσεων που αναγνώρισαν και στην κατανόηση των πραγματικών σχέσεων μεταξύ των στοιχείων.

3.Ελεγχος του νοήματος των επιλεγόμενων πράξεων-

Διδασκαλία μεθόδων ελέγχου του νοήματος των πράξεων που επιλέγουν οι μαθητές

Ο εκπαιδευτικός υποδεικνύει στους μαθητές, όταν επιλέγουν μια πράξη, να είναι σε θέση να απαντούν με σαφήνεια στα ερωτήματα: γιατί επιλέγουν αυτή την πράξη, ποια είναι τα χαρακτηριστικά και οι ιδιότητες του αριθμού που προκύπτει ως αποτέλεσμα, αν έχει λογικό νόημα αυτή η πράξη με τους αριθμούς που επιλέχθηκαν. Ο εκπαιδευτικός ζητά από τους μαθητές να παρουσιάσουν και να εξηγήσουν τις ενέργειες που έκαναν για να λύσουν το πρόβλημα, να σχολιάσουν ο ένας τα αποτελέσματα του άλλου, να κρίνουν αν θεωρούν λογικά και αναμενόμενα τα αποτελέσματα και να αιτιολογήσουν την άποψή τους. Μέσα απ’ αυτή τη διαδικασία οι μαθητές αναστοχάζονται την επεξεργασία που πραγματοποίησαν, ελέγχουν το νόημα των πράξεων, επαληθεύουν τα αποτελέσματα και οδηγούνται στην αυτοδιόρθωση.

4.Εφαρμογή των αλγορίθμων

5.Έλεγχος του τελικού αποτελέσματος-

Διδασκαλία των αλγορίθμων, των πράξεων και των κανόνων (όπου χρειάζεται) καθώς και διδασκαλία μεθόδων για την επαλήθευση του τελικού αποτελέσματος

Τέλος η αποτελεσματική έκβαση μια σχολικής δραστηριότητας όπως είναι η μαθηματική επίλυση προβλήματος προϋποθέτει τη συνέργεια παραγόντων τριών κατηγοριών :

-επαρκής προϋπάρχουσα γνώση,

-αποτελεσματικές γενικές μέθοδοι επεξεργασίας και

-σύγκλιση των νοημάτων που διαμορφώνουν οι μαθητές με τα αντίστοιχα του δασκάλου.

Οι μαθητές με σχολικές δυσκολίες στα μαθηματικά υστερούν και στους τρεις αυτούς τομείς.

Άρα μια παιδαγωγική παρέμβαση θα μπορούσε να είναι αποτελεσματική αν περιέχει και τους τρεις αυτούς τομείς.

Πλεονεκτήματα της γεωμετρικής αναπαράστασης των μαθηματικών εννοιών: Η απόδειξη του θεωρήματος της Μέσης Τιμής του διαφορικού λογισμού, για συναρτήσεις μιας ή δύο πραγματικών μεταβλητών

Δημήτριος Α. Ντρίζος

Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

drizosdim@yahoo.gr

Περίληψη

Στην εργασία αυτή χρησιμοποιούμε τα πλεονεκτήματα της γεωμετρικής προσέγγισης ως στρατηγικής για την επινόηση και ανάπτυξη αποδείξεων σε πολλές μαθηματικές προτάσεις. Πιο συγκεκριμένα, χρησιμοποιούμε την γραφική αναπαράσταση του θεωρήματος της μέσης τιμής μιας πραγματικής μεταβλητής και με την βοήθεια της γεωμετρικής εποπτείας αναπτύσσουμε τόσο την κατανόηση του θεωρήματος, με όρους της γεωμετρικής αναπαράστασης, όσο και ιδέες για την απόδειξή του. Με τον τρόπο αυτό επισημαίνουμε ότι το, μεταβλητό, μήκος ενός κατάλληλου ευθυγράμμου τμήματος ή η μεταβολή μιας συνάρτησης εμβαδού, είναι κρίσιμες ιδέες για την απόδειξη. Θεωρούμε ότι με την στρατηγική αυτή η απόδειξη προκύπτει με πιο φυσιολογικό τρόπο, αντί της κλασσικής αλγεβρικής προσέγγισης, και ότι το γεωμετρικό πλαίσιο είναι αρκετά πλούσιο ώστε να μας παρέχει περισσότερες από μια ιδέες. Τέλος, επεκτείνουμε την ισχύ του θεωρήματος για πραγματικές συναρτήσεις δύο μεταβλητών και δείχνουμε ότι η απόδειξη ανάγεται στην προηγούμενη περίπτωση, δηλαδή στην συνάρτηση μιας μεταβλητής. Το ίδιο συμβαίνει και για συναρτήσεις περισσότερων μεταβλητών.

1. Εισαγωγή

Σε βιβλία μαθηματικών για το Λύκειο και όχι μόνο, ο διδακτικός ρόλος της γεωμετρικής εποπτείας κατά κανόνα επικεντρώνεται:

– Πρώτον, στην ερμηνεία μαθηματικών προτάσεων, αφού όμως πρώτα αυ-τές έχουν διατυπωθεί στην τελική τους μορφή και έχει παρουσιαστεί και η απόδειξη τους.

– Δεύτερον, στην γεωμετρική αισθητοποίηση ορισμένων εννοιών (όπως για παράδειγμα, της παραγώγου και του ολοκληρώματος).

– Τρίτον, στη διασαφήνιση ορισμών, που και αυτοί πρώτα έχουν ήδη δια- τυπωθεί στην τελική τους μορφή.

Με την εργασία αυτή σκοπεύουμε να αναδείξουμε τον σημαντικό ρόλο της  γεωμετρικής αναπαράστασης στην επινόηση της απόδειξης μαθηματικών προτάσεων. Ο ρόλος αυτός εστιάζεται από την αρχή –και όχι ανακόλουθα μετά την απόδειξη– στη βαθύτερη κατανόηση και ερμηνεία μιας πρότασης και στον εντοπισμό των διασυνδέσεών της με άλλες προηγούμενες γνώσεις. Η αμφίδρομη διασύνδεση των τυπικών μαθηματικών διατυπώσεων με τις γεωμετρικές τους αναπαραστάσεις, συμβάλλει, με μια σειρά προσεκτικών παρατηρήσεων και συλλογισμών, στη σύλληψη των κρίσιμων ιδεών που αποτελούν συνήθως το "κλειδί" για την επινόηση της απόδειξης μιας μαθηματικής πρότασης. Να σημειώσουμε εδώ ότι, αν και οι καθηγητές μαθημα- τικών στη χώρα μας, κατά την τελευταία 20ετία, αξιοποιούν στη διδακτική πράξη –λίγο ως πολύ– τις γεωμετρικές αναπαραστάσεις, εν τούτοις, σε επίσημα εξεταστικά δοκίμια μαθητών τους, οι ίδιοι δεν αποδέχονται ως πλήρεις τις αποδείξεις μαθηματικών προτάσεων, αν αυτές βασίζονται στην γεωμετρική εποπτεία. Ως αποτέλεσμα τέτοιων αντιλήψεων, οι μαθητές προτιμούν τις αλγεβρικές προσεγγίσεις από τις αντίστοιχες γεωμετρικές: Κι αυτό γιατί πιστεύουν ότι η γεωμετρική προσέγγιση μιας πρότασης απλώς την ερμηνεύει και συμβάλλει έτσι στην κατανόησή της, δεν μπορεί όμως η ίδια να αποτελεί μαθηματική απόδειξη. Πιστεύουν ότι οι μαθηματικές αποδείξει είναι πλήρεις, μόνον όταν αυτές είναι αλγεβρικές ([1], [2]).

                                                                                                Περισσότερα.

Τα λάθη και οι παρανοήσεις των μαθητών στα μαθηματικά και η διδακτική αξιοποίησή τους

Περίληψη

Η εργασία αυτή αποτελεί μια βιβλιογραφική επισκόπηση των πιο πρόσφατων ερευνών που έχουν γίνει πάνω στα λάθη των μαθητών στα μαθηματικά. Προσεγγίζουμε επιστημολογικά το λάθος και εξετάζουμε πώς αντιμετωπίζουν τα λάθη οι διάφορες θεωρίες μάθησης . Εξετάζουμε τους λόγους για τους οποίους χρειάζεται η ανάλυση των λαθών στα μαθηματικά αλλά και τι μπορούμε να κερδίσουμε κάνοντας χρήση των λαθών στη διδασκαλία. Στη συνέχεια καταγράφουμε τα πιο συχνά λάθη που έχουν εντοπιστεί στην πρόσφατη βιβλιογραφία σε βασικούς τομείς των μαθηματικών, όπως οι δεκαδικοί αριθμοί, τα κλάσματα, η άλγεβρα, η γεωμετρία, οι γραμμικές εξισώσεις κ.α. Συγχρόνως προσπαθούμε να αναλύσουμε πού οφείλονται αυτά τα λάθη, πως μπορούμε να τα αντιμετωπίσουμε αλλά και πώς μπορούμε να τα αξιοποιήσουμε διδακτικά.

Εισαγωγή

Στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται μια επιστημολογική προσέγγιση του λάθους. Αρχικά γίνεται αναφορά στο γαλλικό μοντέλο των διδακτικών καταστάσεων και δίνεται ο ορισμός της γνώσης, του προβλήματος, της μάθησης και του λάθους. Διακρίνουμε τριών ειδών εμπόδια ανάλογα με το είδος προέλευσής τους και ορίσουμε το επιστημολογικό εμπόδιο. Στο δεύτερο κεφάλαιο γίνεται μια αναφορά σε δύο διδακτικά μοντέλα, το μοντέλο μετάδοσης και το μοντέλο έρευνας. Εξετάζουμε επίσης τη θέση του λάθους στις θεωρίες μάθησης του συμπεριφορισμού, του φορμαλισμού και του κονστρουκτιβισμού. Στο τρίτο κεφάλαιο αναλύουμε τι σημαίνει η κατανόηση μιας έννοιας. Εξετάζουμε τι μπορούμε να επιτύχουμε κάνοντας χρήση των λαθών στη διδασκαλία και διαχωρίζουμε την παρανόηση, το λάθος και την απροσεξία. Στο τέταρτο κεφάλαιο γίνεται μια αναφορά στις έρευνες που έχουν γίνει πάνω στα λάθη των μαθητών στους αριθμούς. Καταγράφονται τα συχνότερα λάθη και οι παρανοήσεις που σχετίζονται με αριθμητικές διαδικασίες, με το μηδέν, με τους δεκαδικούς και τα κλάσματα . Ιδιαίτερα στους δεκαδικούς και τα κλάσματα γίνεται μια αναλυτική αναφορά των βασικότερων παρανοήσεων. Αναφέρονται αποτελέσματα από έρευνες, αλλά καταγράφονται και διδακτικές προτάσεις που έχουν γίνει πάνω στη διδασκαλία των δεκαδικών και των κλασμάτων για την αντιμετώπιση των παρανοήσεων. Στο πέμπτο κεφάλαιο γίνεται μια αναφορά για τις παρανοήσεις και τα λάθη στην άλγεβρα. Παρουσιάζουμε τη δομική και λειτουργική όψη της άλγεβρας και της γνωστικές της απαιτήσεις. Τέλος αναφέρουμε μια ταξινόμηση των λαθών στις απλές γραμμικές εξισώσεις. Στο έκτο κεφάλαιο γίνεται μια αναφορά στα λάθη και τις παρανοήσεις που αφορούν τη διδασκαλία και τη μάθηση γεωμετρικών εννοιών. Ακολουθούν συμπεράσματα όπως και προτάσεις διδακτικής αξιοποίησης των λαθών.

                                                                      Περισσότερα