ΧΡΗΣΙΜΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

"Ένα σκοτεινό δωμάτιο δεν είναι απαραίτητα άδειο. "

Το δωμάτιο αυτό είναι τα μαθηματικά. Αν και σκοτεινό για κάποιους , γεμάτο πάντως με θησαυρούς , έτοιμους να τους ανακαλύψεις.

Τα μαθηματικά υδρεύουν τη Σάμο.

 " Προς τε γαρ οικονομίαν και προς πολιτείαν και προς τας τέχνας πάσας , εν ουδέν ούτω δύναμιν έχειν παίδειον μάθημα ή η περί τους αριθμούς διατριβή"
Δηλαδή : " Για την οικονομία , την πολιτεία και για όλες τις τέχνες κανένα άλλο μάθημα δεν έχει τέτοια παιδευτική δύναμη όσο η Αριθμητική".

Πλάτωνας ( 427 π.Χ - 347 π.Χ)



Mαθητής του Ευκλείδη : Και τι θα κερδίσω εγώ από όλα αυτά που μας μαθαίνεις;
Ευκλείδης : Δώστε του δέκα δηνάρια γιατί ετούτος θέλει να κερδίζει για να μαθαίνει!

O επιστήμονας μελετά τη φύση όχι γιατί είναι χρήσιμη. Τη μελετά γιατί είναι όμορφη και τον σαγηνεύει.Αν δεν τον σαγήγευνε δεν θα άξιξε τον κόπο να την μελετά. Το ίδιο συμβαίνει και με τη ζωή μας.Δεν τη ζούμε γιατί είναι χρήσιμη αλλά γιατί είναι όμορφη. Αλίμονο αν η ζωή μaς δεν μας σαγηνεύει , δεν θα άξιζε τον κόπο να τη ζούμε!

Η.Poincare.

- Σε τι χρησιμεύουν τα μαθηματικά;
- Ο έρωτας σε τι χρησιμεύει;
- Συγκρίνεις τον έρωτα με τα μαθηματικά;
- Οτιδήποτε σημαντικό πρέπει οποσδήποτε να χρησιμεύει;

Απόσπασμα από το βιβλίο : "Εξηγώντας τα μαθηματικά στις κόρες μου" του Ντενί Γκετζ.

«O κόσμος στον οποίο ζούμε» , «κυριαρχείται από τα μαθηματικά, αλλά την ίδια στιγμή τα μαθηματικά μπαίνουν στο υπόγειο, γίνονται αόρατα. Eίναι κρυμμένα στις οικιακές συσκευές, πίσω από τις οθόνες των υπολογιστών, πίσω από τις εντολές του προπονητή που συζητά την στρατηγική του παιχνιδιού κ.λ.π. Eίναι δύσκολο να φανταστώ κάτι στο οποίο δεν εμπλέκονται τα μαθηματικά.

Aυτή είναι φανερή γοητεία των μαθηματικών για τον καθηγητή Delven.«Eφαρμόζονται παντού: από τα στίγματα των λεοπαρδάλεων, μέχρι το πως κινούνταν οι δεινόσαυροι. Aπό τις μεθόδους νίκης στους Oλυμπιακούς αγώνες μέχρι το πως χάνει κάποιος λεφτά στον τζόγο και τις ασφάλειες για τον καιρό.»

Tα μαθηματικά είναι πανταχού παρόντα στην φύση και την ζωή μας. Bρίσκονται στα πράγματα που βλέπουμε κι αγγίζουμε. Eίναι η παγκόσμια γλώσσα της φύσης και αγγίζουν κάθε πτυχή του σύγχρονου βίου.

H άγνοια της μαθηματικής επιστήμης από το μεγαλύτερο μέρος του κοινού έχει, κατά τον Keith Delven, και σοβαρές πολιτικές επιπτώσεις.«Mπορείς εύκολα να κοροϊδέψεις τον κόσμο χρησιμοποιώντας μαθηματικά. Tο μόνο που χρειάζεται να κάνεις είναι να ρίξεις μερικές εξισώσεις και οι άνθρωποι θα απομακρυνθούν σκεπτόμενοι: "Δεν το καταλαβαίνω, αλλά αφού το λένε αυτοί που ξέρουν μαθηματικά, έχουν δίκιο." Mπορείς να τους εξαπατήσεις με νούμερα, στατιστικές και μαθηματικά διαγράμματα. Eλπίζω, ότι στο μέλλον οι άνθρωποι θα κατανοούν καλύτερα τα μαθηματικά, για να εξαπατώνται από όμορφες παρουσιάσεις με μια μικρή δόση μαθηματικών.»

Keith Delven

Στην ερώτηση : "Που μας χρησιμεύουν τα μαθηματικά" , δίνουμε πάντα την ίδια κοινότοπη απάντηση: "Τα μαθηματικά είναι χρήσιμα στη ζωή μας". Η αλήθεια είναι ότι  κανείς δε μένει ικανοποιημένος από αυτή την απάντηση. Τα πράγματα είναι λίγο διαφορετικά. Τα μαθηματικά βρίσκονται παντού γύρω μας , αλλά χρειάζεται προσπάθεια να τα ακαναλύψουμε. Όλες οι επιστήμες χρησιμοποιούν μαθηματικά για να λύσουν τα δικά τους προβλήματα. Η φυσική , η ιατρική , η βιολογία , η μηχανική , η γεωλογία , οι οικονομικές επιστήμες στηρίζονται στα μαθηματικά. Χωρίς μαθηματικά ξεχάστε όλες τις τεχνολογικές εφευρέσεις του ανθρώπου συμπεριλαμβανομένων των κινητών σας τηλεφώνων και των ηλεκτρονικών υπολογιστών. Πόσα μαθηματικά κρύβονται πίσω από αυτά τα θαύματα του ανθρώπινου πολιτισμού. Πόσα λίγα από αυτά τα μαθηματικά γμωρίζουμε; Πόσος κόπος χρειάζεται να τα ανακαλύψουμε; Πόσο φτωχότερη θα ήταν η ζωή μας χωρίς αυτά!

Τα μαθηματικά στη καθημερινή ζωή!

" Για να φανταστούμε την χρησιμότητα των μαθηματικών στη ζωή μας , αρκεί να φανταστούμε τήν ζωή μας χωρίς μαθηματικά."

Λάο Τσε. Κινέζος φιλόσοφος ( 6oς π.Χ αιώνας).

  

Πράγματι φανταστείτε τον κόσμο μας χωρίς τη δυνατότητα να μετράμε:

το βάρος μας , το ύψος μας , τα χρήματα που πληρώνουμε ή μας πληρώνουν , τα λίτρα πετρελαίου που καταναλώνουμε , τα  λίτρα λαδιού , τις θερμίδες όταν κάνουμε δίαιτα , τα μιλιλίτρα γάλατος που πίνουμε , τον μισθό που παίρνουμε , το δάνειο που πληρώνουμε , το επιτόκιο των καταθέσεών μας , το  Φ.Π.Α που αποδίδει ο επιχειρηματίας , τις κιλοβατώρες του ρεύματος που ξοδεύουμε  τις τηλλεφωνικές μονάδες αστικές και υπεραστικές , , τα τέρματα που πέτυχε ο ΠΑΟΚ στον χθεσινό αγώνα , τις νίκες που απολείπονται για να πάρει το πρωτάθλημα , το σκορ ενός αγώνα μπάσκετ , τα ποσοστά επιτυχίας του τάδε παίκτη , τα στατιστιά του αγώνα , τους βαθμούς που πρέπει να γράψουμε για να μπούμε στο πανεπιστήμιο ,τις βάσεις εισαγωγής μας , τους ψήφους που χρειάζεται ο τάδε υποψήφιος στις εκλογές για να εκλεγεί δήμαρχος ή βουλευτής , τα ποσοστά κάθε κόμματος , τον αριθμό βουλευτών που εκλέγει στο κοινοβούλιο , το μέγεθος ενός ανέμου ή ενός σεισμού , τη θερμοκρασία του σώματος μας για α δούμε αν έχουμε πυρετό , την εξωτερικη και την εσωτερική θερμοκρασία  , τα επιτρεπτά για την ανθρώπινη υγεία όρια ρύπων της ατμόσφαιρας, τα επιτρεπτά όρια εκπομπής ραδιενέργειας και......... και......... και ............

Φανταστείτε έναν κόσμο χωρίς υπολογισμούς , πράξεις , αναλύσεις ,σχέδια , λογική συγκρότηση.

Φανταστείτε έναν κόσμο χωρίς να βρίσκουμε τα εμβαδά των αγροτεμαχίων , των οικοπέδων , των δωματίων , των θαλλάσιων εκτάσεων.Έναν κόσμο χωρίς γεωμετρικά σχέδια , τοπογραφικά , ρυμοτομικά , γραμμικά καιελεύθερα σχέδια.  

Έναν κόσμο χωρίς εικαστική τέχνη με γεωμετρική συμμετρία και κανονικότητα , χωρίς γνώση των γεωμετρικών σχημάτων και στερεών.Έναν κόσμο που δεν θα γνώριζε να υπολογίζει τον όγκο  ενός κυλινδρικού δοχείου αποθήκευσης του καθημερινού λαδιού ή μιας κυλινδρικης ή ορθογώνιας δεξαμενής νερού ή πετρελαίου.

ΠΕΙΡΑΜΑ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΑΠΙΣΤΟΥΣ ΘΩΜΑΔΕΣ :


Σχεδιάστε ένα πίνακα και σημειώνετε καθημερινά τις φορές που χρειάστηκε να μετρήσετε κάτι ή ν υπολογίσετε κάτι κατά τη διάρκεια μιας ημέρας. Τα ml γάλατος που πίνετε , τα ρέστα που σας δίνει ο μπακάλης , κ.α. Πόσο συχνά άραγε χρειάζεστε τους αριθμούς , τις πράξεις , τα μαθηματικά;

Ένα συνηθισμένο πρωινό, ενός συνηθισμένου ανθρώπου

Το ραδιόφωνο - ξυπνητήρι του Θανάση χτύπησε στις 7:00. Χάρη στην ψηφιακή τεχνολογία, βασισμένη στην αριθμητική ανάλυση και στο δυαδικό σύστημα, το δωμάτιο γέμισε μουσική, λες και μια ορχήστρα ολόκληρη είχε μαζευτεί στο προσκέφαλό του. Σηκώθηκε.
Σε δέκα λεπτά το ψυγείο και το φουρνάκι του, που λειτουργούσαν με fuzzy logic - παρακλάδι της πλειότιμης συμβολικής λογικής, που ήταν υπεύθυνη και για την ασφαλή λειτουργία του ABS στο αυτοκίνητό του - τού εξασφάλισαν ένα πλούσιο πρωινό.

Στις 7: 40 πληκτρολογούσε στον συναγερμό τον τετραψήφιο κωδικό του (η θεωρία των πιθανοτήτων λέει πως ο ενδεχόμενος διαρρήκτης είχε μόλις μία πιθανότητα στις 10.000 να τον παραβιάσει) και έφυγε ήσυχος για τη δουλειά.

 Μπήκε στο Μετρό - άλλο θαύμα κι αυτό, σήραγγες, κανάλια υπονόμων, δίκτυα παροχής, μια ολόκληρη υπόγεια πόλη σχεδιασμένη με βάση τα γραφήματα του Όιλερ - βολεύτηκε και άνοιξε την εφημερίδα: «Μείωση κατά 12% των ατυχημάτων μετά την εφαρμογή του αλκοτέστ - 27% των οδηγών συμμορφώθηκαν ήδη με τους νέους αυστηρούς κανονισμούς». 12%, 27%! Και πώς το βρήκανε; Τα νύχια τους μυρίσανε;
Γύρισε στα αθλητικά. Ο Κωνσταντίνου να στέλνει με κεφαλιά στα δίχτυα το ημικανονικό 32-εδρο β' τύπου του Αρχιμήδη (την μπάλα του ποδοσφαίρου δηλαδή) δέσποζε στη σελίδα. Στις 8: 30 έμπαινε στο γραφείο.


Άνοιξε τον υπολογιστή (ήταν γεμάτος ολοκληρωμένα κυκλώματα βασισμένα στην άλγεβρα Μπουλ, αλλά ο Θανάσης ούτε το ήξερε ούτε ήθελε να το μάθει) και μπήκε στο Ίντερνετ. Ο κώδικας RSA βασισμένος στους πρώτους αριθμούς τού εξασφάλισε μια ασφαλή σύνδεση και άνοιξε το ηλεκτρονικό ταχυδρομείο. Μήνυμα από τη Μαρία! - το πρόσωπο. Καλό κορίτσι η Μαρία, σκέφτηκε. Καλλιεργημένη, πρόσχαρη, σπιρτόζα, όμορφη. Ένα μονάχα κουσούρι είχε. Σπούδαζε Μαθηματικά. Χάθηκε να σπουδάσει κάτι άλλο, κάτι πιο κοντά στην καθημερινή ζωή, κάτι χρήσιμο τέλος πάντων! Έτσι σκέφτηκε ο Θανάσης και βγήκε επειγόντως απ' το e-mail γιατί πλησίαζε ο διευθυντής...

                                                                    Tεύκρος Μιχαηλίδης.

                                            

Γιατί μαθηματικά; Γιατί όχι; 

Ta μαθηματικά στο σύμπαν !

" Το σύμπαν είναι ένα υπέροχο βιβλίο με ομορφιά , αρμονία και πολλές εκπλήξεις. Για να το διαβάσει όμως κανείς σωστά πρέπει να ξέρει μαθηματικά γιατί είναι γραμμένο σε μαθηματική γλώσσα".

Γαλιλαίος ( 1564 - 1642 ).

                                              

Όταν το 1977 το διαστημόπλοιο Bόγιατζερ ξεκινούσε το μοναχικό του ταξίδι στο αχανές διάστημα, οι υπεύθυνοι της NaΣa, σκεπτόμενοι μια πιθανή συνάντησή του με εξωγήινα όντα, τοποθέτησαν στο εσωτερικό του ηχογραφημένα πολιτικά μηνύματα (από τον τότε πρόεδρο Tζίμι Kάρτερ, μεταξύ άλλων), την Πέμπτη του Mπετόβεν και μια πλάκα επικοινωνίας όπου είχαν χαραχτεί μαθηματικά σύμβολα. Mαθηματικά: ο εφιάλτης της σχολικής ζωής για πολλούς, πάνω απ' όλα όμως, μια αυτόνομη γλώσσα, ή ακριβέστερα: μια συμπαντική γλώσσα.

To Σύμπαν είναι φτιαγμένο από μαθηματικά.

Kάθε άλλο παρά τυχαία η δημιουργία του…

ΤΟ ΒΗΜΑ: Από τι είναι φτιαγμένο το Σύμπαν; Οι πιο ρομαντικοί θα έλεγαν από αστερόσκονη, οι πιο πρακτικοί θα πουν από ύλη – φανερή, που τη βλέπουμε γύρω μας, και αόρατη, που την ονομάζουμε σκοτεινή. Ενας διάσημος κοσμολόγος, ο Μαξ Τέγκμαρκ του Ινστιτούτου Τεχνολογίας της Μασαχουσέτης (ΜΙΤ), έχει μια διαφορετική ιδέα: υποστηρίζει ότι το Σύμπαν είναι φτιαγμένο από… μαθηματικά.

Ο καθηγητής Τέγκμαρκ, ο οποίος έχει επίσης διατυπώσει τη λεγόμενη Θεωρία των πάντων του απόλυτου συνόλου (Ultimate ensemble theory of everything), που υποστηρίζει ότι όλες οι δομές που υπάρχουν μαθηματικά υπάρχουν επίσης και φυσικά, κυκλοφόρησε μόλις ένα βιβλίο με τον τίτλο «Our Mathematical Universe: My Quest for the Ultimate Nature of Reality» (Knopf, 2014), στο οποίο αναλύει τις απόψεις του για το ευρύ κοινό. Με αυτή την αφορμή έδωσε τον περασμένο Ιανουάριο μια διάλεξη στη Νέα Υόρκη, από την οποία σας μεταφέρουμε – μέσω των όσων γράφτηκαν στον αμερικανικό Τύπο – την κεντρική ιδέα.

Μαθηματικές δομές

Σύμφωνα με τον καθηγητή Τέγκμαρκ, ό,τι υπάρχει στον κόσμο μας – από τα «άψυχα» πράγματα όπως οι πλανήτες ως τα έμψυχα όντα όπως οι άνθρωποι – αποτελεί μέρος μιας μαθηματικής δομής. Κάθε μορφή ύλης αποτελείται από άτομα τα οποία έχουν ιδιότητες, όπως π.χ. το φορτίο ή το σπιν τους, όμως αυτές οι ιδιότητες περιγράφονται μαθηματικά, επισημαίνει. Αντίστοιχα, προσθέτει, το ίδιο το Διάστημα έχει και αυτό ιδιότητες, όπως π.χ. οι διαστάσεις του, αλλά τελικά στο σύνολό του δεν είναι παρά μια μαθηματική δομή.

«Αν δεχθείτε την ιδέα ότι τόσο το ίδιο το Διάστημα όσο και όλα τα πράγματα που υπάρχουν μέσα σε αυτό δεν έχουν καθόλου ιδιότητες εκτός από τις μαθηματικές τους ιδιότητες, τότε η ιδέα ότι όλα είναι μαθηματικά αρχίζει να ακούγεται λίγο λιγότερο τρελή» είπε στη διάλεξή του. «Αν η ιδέα μου είναι λανθασμένη, τότε η Φυσική είναι τελικά καταδικασμένη. Αν όμως το Σύμπαν είναι μαθηματικά, τότε δεν υπάρχει σε αυτό τίποτε που να μην μπορούμε κατ’ αρχήν να καταλάβουμε».

Ο Μαξ Τέγκμαρκ, καθηγητής στο Τμήμα Φυσικής του Ινστιτούτου Τεχνολογίας της Μασαχουσέτης και το νέο του βιβλίο «Our Mathematical Universe»

Ο καθηγητής Τέγκμαρκ επεσήμανε ότι στη φύση βλέπουμε παντού μοτίβα. Ως ένα παράδειγμα ανέφερε την ακολουθία του Φιμπονάτσι, μια σειρά αριθμούς όπου ο κάθε αριθμός είναι το άθροισμα των δύο αριθμών που προηγούνται από αυτόν, την οποία βλέπουμε συχνά στη φύση: τα άνθη της αγκινάρας, μεταξύ άλλων, φαίνεται να υπακούουν πιστά σε αυτό το μαθηματικό μοτίβο, αφού η απόσταση που έχει κάθε πέταλο από το προηγούμενο ακολουθεί κατ’ αναλογίαν αυτή την ακολουθία. Εκτός από τον έμβιο κόσμο, τα μαθηματικά, προσέθεσε, είναι επίσης πανταχού παρόντα στον άψυχο κόσμο: όταν πετάμε μια μπάλα του μπέιζμπολ στον αέρα, αυτή ακολουθεί σε γενικές γραμμές μια παραβολική πορεία, ενώ οι πλανήτες και τα άλλα αστροφυσικά σώματα ακολουθούν ελλειπτικές τροχιές.

Η αποτύπωση της ομορφιάς της φύσης

«Υπάρχει μια κομψή απλότητα και ομορφιά στη φύση που αποκαλύπτεται από μαθηματικά μοτίβα και σχήματα και την οποία τα μάτια μας μπόρεσαν να συλλάβουν» τόνισε, επισημαίνοντας ότι η μαθηματική φύση του Σύμπαντος είναι αυτή που δίνει στους επιστήμονες τη δυνατότητα να προβλέψουν θεωρητικά οποιαδήποτε παρατήρηση ή μέτρηση στη Φυσική. Ως παραδείγματα ανέφερε ότι τα μαθηματικά ήταν εκείνα που προέβλεψαν την ύπαρξη του πλανήτη Ποσειδώνα, των ραδιοκυμάτων και του μποζονίου Χιγκς πολύ πριν από την «απτή» απόδειξή τους.

Για τον Μαξ Τέγκμαρκ (ο οποίος λατρεύει τόσο τα μαθηματικά ώστε έχει διακοσμήσει το σαλόνι του με κορνιζαρισμένες διάσημες εξισώσεις) η μαθηματική δομή που υπάρχει στον φυσικό κόσμο δείχνει ότι τα μαθηματικά είναι πραγματικά και δεν υπάρχουν μόνο μέσα στο ανθρώπινο μυαλό. Πιστεύει δε ότι κάποτε θα μπορέσουν να εξιχνιάσουν τα ίδια τα μυστικά του φωτίζοντας το εκπληκτικό μυστήριο του ανθρώπινου εγκεφάλου και της συνείδησης.

Οι μαθηματικοί νόμοι του Κέπλερ για το σύμπαν.

1.  Οι πλανήτες περιστρέφονται γύρω από το κεντρικό άστρο (ήλιος ) διαγράφοντας ελλείψεις. Στη θέση της μιας εστίας της έλλειψης βρίσκεται ο ήλιος.

 ( Οι ελλείψεις είναι περίπτωση κωνικών τομών και διδάσκονται στα μαθηματικά κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου).

2. Η νοητή ευθεία που συνδέει το κέντρο του πλανήτη με τo κέντρο του ήλιου διαγράφοι εμβαδά ανάλογα με το χρόνο.

3. Τα τετράγωνα των χρόνων περιφοράς των πλανητών γύρω από τον ήλιο έχουν μεταξύ τους την ίδια σχέση που έχουν οι κύβοι των αποστάσεων.

Έτος φωτός

Η ταχύτητα του φωτός στο κενό είναι 299.792.458 m/s, επομένως το έτος φωτός ισοδυναμεί με 9.460.730.472.580,8 km ή περίπου εννιάμισι τρισεκατομμύρια χιλιόμετρα. Για να πάρουμε μια ιδέα του πόσο τεράστια είναι αυτή η απόσταση, αν τα χίλια χιλιόμετρα είχαν μήκος ενός χιλιοστού του μέτρου, το έτος φωτός θα ισοδυναμούσε με την απόσταση ανάμεσα στην Αθήνα και το Τόκυο! Το έτος φωτός χρησιμοποιείται για τη μέτρηση αποστάσεων μεταξύ άστρων, ενώ για μεγαλύτερες αποστάσεις χρησιμοποιείται το παρσέκ.

Ημέρα φωτός: 25.902.068.371.200 μέτρα.

Ώρα φωτός: 1.079.252.848.800 μέτρα.

Λεπτό φωτός: 17.987.547.480 μέτρα

Μερικές αποστάσεις σε έτη φωτός

Η απόσταση Γης-Σελήνης είναι περίπου ένα δευτερόλεπτο φωτός.

Ο Βόγιατζερ 1 το Σεπτέμβρη του 2004 βρισκόταν 13 ώρες φωτός μακριά από τη Γη (περίπου ενάμισι χιλιοστό του έτους φωτός) και χρειάστηκε 27 χρόνια για να διανύσει αυτή την απόσταση.Το κοντινότερο σε μας αστέρι, ο Εγγύτατος Κενταύρου, βρίσκεται σε απόσταση 4,22 ετών φωτός.

Το κέντρο του Γαλαξία μας απέχει περίπου 28.000 έτη φωτός.

Η διάμετρος του Γαλαξία μας είναι περίπου 100.000 έτη φωτός.Η διμετρος του παρατηρήσιμου Σύμπαντος είναι περίπου 46 δισεκατομμύρια έτη φωτός.

    Αποστάσεις στην αστρονομία

1.Γωνιώδης απόσταση ή διαχωρισμός: Καλείται έτσι η γωνία που σχηματίζεται μεταξύ δύο παρατηρήσεων (παρατηρούμενων σωμάτων) από τον ίδιο παρατηρητή. Στην πραγματικότητα είναι οπτική γωνία. Προκειμένου περί ουρανίων σωμάτων που παρουσιάζουν επιφάνεια δίσκου (π.χ. Σελήνης, Ήλιου) λαμβάνεται ως γωνία παρατηρήσεων των κέντρων των δίσκων.

2. Ζενιθία απόσταση: Στην Αστρονομία ζενιθία απόσταση ενός αστέρα καλείται η γωνιώδης απόσταση από του ζενίθ του παρατηρητή (δηλαδή του σημείου της ουράνιας σφαίρας που συναντά προεκτεινόμενη η κατακόρυφος που διέρχεται από το σημείο του παρατηρητή), μέχρι του σημείου (θέση) του αστέρος στην ουράνια σφαίρα σε ορισμένο τόπο και χρόνο.

Η ζενιθία απόσταση είναι το συμπλήρωμα του ύψους του αστέρα από τον ορίζοντα.

Παράδειγμα: Αν πχ. ο Ήλιος βρίσκεται 30° πάνω από τον ορίζοντα η ζενιθία απόστασή του είναι (90°-30°=)60°. Αντίθετα, αν κάποιος αστέρας βρίσκεται 30° κάτω από τον ορίζοντα, τότε η ζενιθία απόστασή του είναι (90°+30°=)120°.

Δηλαδή η ζενιθία απόσταση μετριέται αρχής γενομένης από του ζενίθ, από 0° μέχρι 180°. Παριστάνεται με το γράμμα ζ.

 Η αστρονομική μονάδα

Η Αστρονομική Μονάδα (α.μ.) είναι μονάδα μέτρησης αποστάσεων. Ορίζεται σαν η μέση απόσταση της Γης από τον Ήλιο. Χρησιμοποιείται για τη μέτρηση αποστάσεων μέσα στο Ηλιακό Σύστημα (π.χ. της απόστασης κάποιου σώματος από τον Ήλιο). Η τιμή της είναι 149 597 870 691 ± 30 μέτρα (δηλαδή 150 εκατομμύρια χιλιόμετρα ή 93 εκατομμύρια μίλια). Το διεθνές σύμβολό της είναι το AU (από το αγγλικό Astronomical Unit) και στην ελληνική α.μ.

Η απόσταση Γης - Ήλιου

Η πρώτη μέτρηση της απόστασης αυτής έγινε από τον Ερατοσθένη περίπου το 200 π.Χ. Μελετώντας τις εκλείψεις της Σελήνης εκτίμησε την απόσταση από τον Ήλιο στα 804 εκατομμύρια στάδια, δηλαδή περίπου 150 εκατομμύρια χιλιόμετρα, τιμή πολύ κοντά στην πραγματική. Η πρώτη εκτίμηση της τιμής της στους νεότερους χρόνους έγινε από τον Ζαν Ρισέ και τον Τζιοβάνι-Ντομένικο Κασίνι το 1672, με βάση τη μελέτη της παράλλαξης του Άρη από δυο διαφορετικές τοποθεσίες πάνω στη Γη. Το δικό τους αποτέλεσμα ήταν γύρω στα 140 εκατομμύρια χιλιόμετρα. Πιο ακριβείς μετρήσεις έγιναν από τον Έντμουντ Χάλλεϋ, που μελέτησε τις διελεύσεις της Αφροδίτης μπροστά από τον Ήλιο, και τον Σάιμον Νιούκομπ που βασίστηκε στην παράλλαξη του Ήλιου.

Αποστάσεις πλανητών από τον Ήλιο:

• Ερμής: 0,39 AU
• Αφροδίτη: 0,72 AU
• Γη: 1,00 ± 0,02 AU
• Άρης: 1,52 AU
• Δίας: 5,20 AU
• Κρόνος: 9,54 AU
• Ουρανός: 19,18 AU
• Ποσειδώνας: 30,06 AU
• Πλούτωνας: 39,53 AU

Παρσέκ

Παρσέκ ονομάζεται η απόσταση στην οποία ένας αστέρας παρουσιάζει ετήσια παράλλαξη ίση προς ένα δεύτερο λεπτό της μοίρας (1”).
Η απόσταση αυτή λαμβάνεται πολύ συχνά ως μονάδα μέτρησης των αποστάσεων στις αστρονομικές παρατηρήσεις

 

Η γεωμετρία των αστερισμών.


Μικρή Άρκτος

                                 

                                                  

Οι Μαύρες Τρύπες είναι το πηλίκο όταν ο Θεός διαιρεί το Σύμπαν δια του μηδενός.

Steven Wright, 1955-, Αμερικανός ηθοποιός




Εφαρμογή της Μαθηματικής Λογικής στην Πληροφορική.

Η λογική με τη συμβολική ή μη μορφή της έχει διεισδύσει σε όλες τις πτυχές της πληροφορικής. Η ανάπτυξη της συμβολικής λογικής και ειδικά της θεωρίας αλγορίθμων μαζί με την εξέλιξη των ηλεκτρονικών και της κυβερνητικής αποτέλεσαν άλλωστε το κατάλληλο επιστημονικό και τεχνολογικό περιβάλλον για τη γέννηση της πληροφορι-κής. Δεν είναι τυχαίο εξάλλου ότι ορισμένοι από τους πρωτεργάτες της πληροφορικής ήταν ήδη διακεκριμένοι ερευνητές της λογικής (Turing, Von Neumann, Ulam).

Εξαιτίας της παραπάνω ιστορική σχέσης ανάμεσα τα δύο αντικείμενα, οι έννοιες, η με-θοδολογία και οι ερευνητικές κατευθύνσεις της (θεωρητικής) πληροφορικής είναι φα-νερά επηρεασμένες απ’ αυτές της λογικής. Αλλά και αντίστροφα, οι ανάγκες της πλη-ροφορικής τροφοδοτούν συνεχώς με προβλήματα την εφαρμοσμένη λογική που πολλές φορές τα αντιμετωπίζει με τη δημιουργία νέων θεωριών. Ολόκληροι κλάδοι της πληρο-φορικής όπως η σημασιολογία των προγραμμάτων (semantics of programs), οι τυπικές μέθοδοι (formal methods), η αποδεικτική θεωρημάτων (theorem proving), ο εξισωτικός (equational) και ο λογικός προγραμματισμός (logic programming) αναπτύχθηκαν λόγω αυτής της αμφίδρομης σχέσης ανάμεσα στα δύο γνωστικά αντικείμενα. Άλλοι κλάδοι της πληροφορικής όπως οι βάσεις δεδομένων (data bases), οι γλώσσες προδιαγραφών (specification languages), η τεχνολογία λογισμικού (software engineering) και οι ταυτοχρονικές διαδικασίες (concurrent processes) χρησιμοποιούν συστηματικά τη συμβο-λική λογική. Επίσης πολλά στοιχεία (μη συμβολικής) λογικής μεθοδολογίας διακρίνονται σε διάφορες κλασικές φάσεις ανάπτυξης ενός πληροφοριακού συστήματος όπως εμφανίζονται για παράδειγμα στο μοντέλο του καταρράκτη (waterfall model). Τέτοιες φάσεις είναι η ανάλυση απαιτήσεων (requirements analysis), η ανάπτυξη προδιαγρα-φών (specifications) και ο σχεδιασμός (design). Πολλές προσπάθειες έχουν γίνει για το συγκερασμό της συμβολικής με τη μη – συμβολική λογική μεθοδολογία σε σχέση με ενδεχόμενες εφαρμογές τους στα πληροφοριακά συστήματα αλλά και τα συστήματα γενικά. Σαν τέτοια μπορεί να αναφέρει κανείς τα ιβριδικά συστήματα (hybrid systems).

Ιδιαίτερο λόγο στη σχέση πληροφορικής λογικής παίζει η άλγεβρα. Η θεωρία πεδίων (domain theory), η θεωρία κατηγοριών (category theory), οι αλγεβρικές προδιαγραφές και οι αλγεβρικές θεωρίες του Lawvere (Lawvere theories), ο σχεσιακός λογισμός (rela-tional calculus) και οι άλγεβρες Boole (Boolean algebras) αποτελούν χαρακτηριστικά παραδείγματα εφαρμοσμένων αλγεβρικών θεωριών που σχετίζονται άμεσα με τη λογική και έχουν βρει σημαντικές εφαρμογές στην πληροφορική. Ας σημειωθεί ότι είναι ιδιαίτερα δύσκολο να χαραχθεί διαχωριστική γραμμή ανάμεσα σ’ αυτού του είδους την άλγεβρα και την τυπική λογική.

Μαθηματικά θεμέλια της Πληροφορικής.

Παρακάτω αναγράφονται οι κλάδοι των εφαρμοσμένων μαθηματικών που βρίσκουν εφαρμογή στην θεωρητική και πρακτική θεμελίωση της επιστήμης της Πληροφορικής.

• Αριθμητική ανάλυση
• Άλγεβρα Μπουλ

άλγεβρα με μεταβλητές δύο τιμών (που καλούνται "λογικές μεταβλητές"). Ο Boole ουσιαστικά παρουσίασε με τα μαθηματικά της εποχής του την Αριστοτέλεια λογική του είναι ή δεν είναι. Σήμερα η άλγεβρα αυτή ονομάζεται άλγεβρα Μπουλ, ή δυαδική άλγεβρα, ή διακοπτική άλγεβρα και έχει βρει ευρεία εφαρμογή στην σχεδίαση του λογισμικού και των κυκλωμάτων των ηλεκτρονικών υπολογιστών, επειδή είναι ιδανική για χειρισμό λογικών συναρτήσεων και πράξεων στο δυαδικό σύστημα.

• Διακριτά μαθηματικά

μελέτη μαθηματικών δομών που είναι εκ φύσεως διακριτές και δεν υπάρχει η έννοια της συνέχειας. Τα αντικείμενα που μελετά είναι κυρίως αριθμήσιμα σύνολα (π.χ. ακέραιοι), γραφήματα και γλώσσες. Στην επιστήμη των Υπολογιστών τα διακριτά αντικείμενα αναπαριστώνται πολύ πιο εύκολα, και συνήθως οι αλγόριθμοι που κατασκευάζουμε αφορούν τη διαχείριση διακριτών οντοτήτων (δομών δεδομένων, ακεραίων αριθμών, αριθμών πεπερασμένης ακρίβειας, κ.λπ). Εφαρμογές τους εκτείνονται από την σχεδίαση δικτύων μέχρι τις βάσεις δεδομένων.

• Θεωρία γράφων (γραφημάτων)

κλάδος των Διακριτών μαθηματικών, με εφαρμογές στην Πληροφορική, τη Μηχανική, τη Χημεία και την Κοινωνιολογία. Στα διακριτά μαθηματικά οι όροι θεωρία γραφημάτων και θεωρία γράφων χρησιμοποιούνται εναλλακτικά. Προτιμάται ο όρος γράφος, για ορισμένες αναγκαίες διαφοροποιήσεις, όπως για παράδειγμα το γράφημα συνάρτησης. Ανάμεσα στους ποικίλους ορισμούς που απαντώνται ένας σχετικά πλήρης ορίζει πως η θεωρία γράφων είναι η μελέτη των γράφων (γραφημάτων) και των σχέσεών τους και χρησιμοποιείται ευρύτατα στη θεωρία δικτύων. Οι μαθηματικοί υπολογισμοί των γράφων στηρίζονται σε αλγόριθμους.

• Μαθηματική λογική

κλάδος των μαθηματικών και της επιστήμης υπολογιστών, με στενή σχέση και με τη φιλοσοφική λογική. Το πεδίο περιλαμβάνει τη μαθηματική μελέτη της λογικής και τις εφαρμογές της τυπικής λογικής σε άλλες περιοχές των μαθηματικών. Οι βασικότερες ιδέες στη μαθηματική λογική περιλαμβάνουν τη μελέτη της εκφραστικής ισχύος των τυπικών συστημάτων και της συμπερασματικής ισχύος των συστημάτων τυπικών αποδείξεων.

• Θεωρία πεδίων
• Θεωρία πιθανοτήτων

κλάδος των μαθηματικών ο οποίος ασχολείται με την ανάλυση τυχαίων φαινομένων. Κεντρικό ρόλο στη θεωρία πιθανοτήτων παίζει η έννοια της πιθανότητας, ενώ σημαντικές είναι οι τυχαίες μεταβλητές, οι συναρτήσεις κατανομής, οι στοχαστικές διαδικασίες και τα γεγονότα: μαθηματικές αφαιρέσεις μη ντετερμινιστικών συμβάντων τα οποία είτε συμβαίνουν μία φορά είτε εξελίσσονται με το πέρασμα του χρόνου. Αν και τα γεγονότα που μελετώνται από τη θεωρία πιθανοτήτων, όπως π.χ. η ρίψη ενός ζαριού ή το στρίψιμο ενός κέρματος, είναι τυχαία, όταν επαναλαμβάνονται πολλές φορές η αλληλουχία των τυχαίων γεγονότων παρουσιάζει ορισμένα στατιστικά μοτίβα τα οποία μπορούν να μελετηθούν και να προβλεφθούν.

• Στατιστική

κλάδος των εφαρμοσμένων μαθηματικών. Στη στατιστική, η τυχαιότητα και η απροσδιοριστία ορίζονται στα πλαίσια της θεωρίας πιθανοτήτων. Η πρακτική της στατιστικής περιλαμβάνει την σχεδίαση, συλλογή και ερμηνεία δεδομένων που προκύπτουν από αβέβαιες παρατηρήσεις.

• Επεξεργασία σήματος

πραγματεύεται την ανάλυση και τον χειρισμό σημάτων, όπου ως σήμα ορίζεται οποιαδήποτε συνάρτηση μεταξύ φυσικών ποσοτήτων. Η επεξεργασία σήματος είναι ουσιαστικώς ένα διεπιστημονικό γνωστικό πεδίο, ορισμένο με αυστηρά μαθηματικά και με τις δικές του μεθοδολογίες και ορολογία. Οι εφαρμογές του είναι πάρα πολλές στις τεχνολογικές επιστήμες και βρίσκεται στη βάση τομέων όπως οι τηλεπικοινωνίες, ο αυτοματισμός, η επεξεργασία εικόνας, βίντεο και ήχου, η συμπίεση δεδομένων κλπ.

• Θεωρία πληροφοριών

κλάδος των εφαρμοσμένων μαθηματικών που σχετίζεται με την ποσοτικοποίηση των δεδομένων με στόχο όσο το δυνατόν περισσότερα δεδομένα να αποθηκευτούν αξιόπιστα σε ένα μέσο ή να επικοινωνήσουν πάνω από ένα κανάλι. Το μέτρο πληροφορίας, γνωστό και ως εντροπία πληροφορίας, εκφράζεται συνήθως από το μέσο αριθμό των δυαδικών ψηφίων που απαιτούνται για την αποθήκευση ή την επικοινωνία

Τα μαθηματικά στην επιστήμη !


" Tα μαθηματικά είναι η βασίλισσα της επιστήμης και η θεωρία αριθμών η βασίλισσα των μαθηματικών".

                             Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855).
                             Μεγάλος φυσικός και μαθηματικός.
  

Τέλος φανταστείτε έναν κόσμο χωρίς θετικές επιστήμες. Έξω η φυσική , η μηχανική , η ηλεκτρολογία , η οικομονολογία , η γεωλογία , η γεωπονία , η χημεία , η μετερεωλογία , η κλιματολογία κ.α. Γιατί όλες αυτές οι επιστήμες στηρίζονται στο θεωρητικό αλλά και πρακτικό κομμάτι τους στα μαθηματικά. Στα ανώτερα μαθηματικά. Αυτές οι επιστήμες όμως έφεραν τις εφευρέσεις , τις μηχανές , τα αυτοκίνητα και την τεχνολογία στη ζωή μας. Κι όλα αυτά έγιναν με τα μαθηματικά μοντέλα σε όλες τις επιστήμες.

Ο E. Wigner, ο οποίος στα 1963 έλαβε τo βραβείο Νόμπελ Φυσικής, σε ένα άρθρο του [W], το 1960, με τον ιδιαίτερα ενδιαφέροντα τίτλο:

«Η παράλογη αποτελεσματικότητα» (“unreasonable effectiveness”) των Μαθηματικών στις Φυσικές Επιστήμες,

καταλήγει στο συμπέρασμα ότι :

«η τεράστια χρησιμότητα των μαθηματικών στις φυσικές επιστήμες είναι κάτι που συνορεύει με το μυστηριώδες και δεν υπάρχει κάποια λογική εξήγηση για αυτήν»

Όντως παράλογη αλλά αποτελεσματικότητα!!!

Ο Γαλιλαίος είπε :


" Θα κατανοήσει κανείς τη χρησιμότητα των μαθηματικών στο χειρισμό των φυσικών νόμων με αναρίθμητα παραδείγματα και πόσο είναι αδύνατο να φιλοσοφεί κανείς ορθά χωρίς τη συμπαράσταση της γεωμετρίας".

                                    
                         

Αν δεν μπορεί να εκφραστεί με αριθμούς, δεν είναι επιστήμη, είναι γνώμη.

Robert Heinlein, 1907-1988, Αμερικανός συγγραφέας επιστ. φαντασίας




Όσο οι νόμοι των μαθηματικών ανταποκρίνονται στην πραγματικότητα, δεν είναι σαφείς, και όσο σαφείς είναι, δεν ανταποκρίνονται στην πραγματικότητα 

Αϊνστάιν




Μαθηματικά και Βιολογία

Έχει καταχωριστεί στις κατηγορίες: ΕΠΙΣΤΗΜΗ από thanos capsalis στις 2 Νοεμβρίου 2013

Ανάμεσα στους βιολόγους η ιδέα ότι τα Μαθηματικά μπορούν να αποτελούν ένα χρήσιμο εργαλείο για τη μελέτη των βιολογικών φαινομένων δεν νομίζω πως είναι δημοφιλής. Ίσως γι΄αυτό να ευθύνεται η σχετικά περιορισμένη μαθηματική παιδεία που λάβαμε κατά τη διάρκεια των φοιτητικών χρόνων μας, που ως ένα βαθμό αντανακλούσε την περιορισμένη εμπλοκή των Μαθηματικών στα αντικείμενα της Βιολογίας (Οικολογία, Γενετική Πληθυσμών). 

Μπορεί πάλι η ιδέα αυτή να οφείλεται στο γεγονός ότι στα μάτια ενός βιολόγου η πολυπλοκότητα των βιολογικών φαινομένων, – σε αντίθεση με τα φυσικοχημικά -, φαίνεται δύσκολα προσβάσιμη από το μαθηματικό φορμαλισμό γενικά, ή τουλάχιστον από το μαθηματικό φορμαλισμό που ήταν διαθέσιμος ως πρόσφατα.

Ένα πάντως είναι βέβαιο. Στην πεποίθησή μας αυτοί, δεν ήμασταν μονάχοι. O Ernst Mayr δεν ήταν ο σπουδαίος εξελικτικός βιολόγος και φιλόσοφος που αμφισβητούσε την ερμηνευτική ισχύ των Μαθηματικών στη Βιολογία, όταν έγραφε στο βιβλίο του: Αυτή είναι η Βιολογία, ότι: “ … η λογική αυτή απετέλεσε κυρίαρχη δύναμη επιρροής στη φιλοσοφία των μαθηματικών και της φυσικής. Αυτό ήταν ιδιαίτερα διαφωτιστικό εκεί που έπαιξαν σημαντικό ρόλο οι μαθηματικά διατυπωμένοι καθολικοί νόμοι -στις φυσικές επιστήμες. Ήταν λιγότερο κατάλληλο όμως για τη βιολογία, όπου αφθονεί ο πλουραλισμός, η πιθανοκρατία και διάφορα καθαρά ποιοτικά και ιστορικά φαινόμενα, ενώ οι αυστηροί καθολικοί νόμοι ουσιαστικά απουσιάζουν.” Ή όταν ειρωνικά αποκαλούσε τη μαθηματική προσέγγιση των Fisher, Haldane και Wright, “Beanbag γενετική” διότι κατά την άποψή του αντιμετώπιζαν την Εξελικτική Γενετική, ως μια διαδικασία εισαγωγής και εξαγωγής γονιδίων στους πληθυσμούς, σαν δηλαδή να βάζεις και να βγάζεις φασόλια, από ένα σακί;

Εξακολουθώ να διατηρώ την αμφιβολία ότι τα μαθηματικά μπορεί να είναι χρήσιμα στη Βιολογία; Μάλλον όχι. Και σε αυτό συνέβαλε ένα άρθρο που δημοσιεύθηκε πριν μια δεκαετία στο περιοδικό Plos Biology, το έργο του Ολλανδού καλλιτέχνη M.C. Esher, αλλά και 2 εξαιρετικές εργασίες ενός Ισπανού κινηματογραφιστή, τουCristobal Vila, μια που εμπνέεται από το έργο του Escher και μια στην οποία παρουσιάζεται πώς μαθηματικές έννοιες, όπως η ακολουθία Fibonacci, και η χρυσή τομή, πραγματώνονται στον έμβιο κόσμο.

Αν λοιπόν γράφεται αυτό το μικρό άρθρο, είναι για να παρουσιάσουμε στους αναγνώστες του biology4u.gr αυτές τις σπουδαίες εργασίες και για να τους παρακινήσουμε να τις μελετήσουν, ιδιαίτερα αν είναι βιολόγοι ή μαθηματικοί.

Ας ξεκινήσουμε λοιπόν από το άρθρο στο περιοδικό Plos Biology. Συγγραφέας του άρθρου είναι ο Joel Cohen, καθηγητής στο Πανεπιστήμιο Rockfeller της Νέας Υόρκης και φέρει τον τίτλο: Τα Μαθηματικά είναι το επόμενο μικροσκόπιο για τη Βιολογία (αλλά καλύτερο από το οπτικό), η Βιολογία είναι η νέα “Φυσική” για τα Μαθηματικά (αλλά καλύτερη από την Φυσική). Στο άρθρο υποστηρίζεται πως όπως το μικροσκόπιο, στα τέλη του 17ου αιώνα, συνέβαλε στην ανάπτυξη της Βιολογίας, αποκαλύπτοντας έναν απρόσμενο και απρόσιτο για το γυμνό μάτι κόσμο, έτσι και τα Μαθηματικά σήμερα αντιπροσωπεύουν σήμερα για τη Βιολογία, ένα ευρύτερο μικροσκόπιο που μπορεί να αποκαλύψει αόρατους κόσμους σε όλο το είδος των δεδομένων και όχι μόνο στα οπτικά. Αυτή δε την άποψή του την στηρίζει φέρνοντας σαν παράδειγμα την εφαρμογή του μετασχηματισμού του Radon1* στην τεχνολογία της αξονικής τομογραφίας, χάρη στην οποία απεικονίζουμε τομές του ανθρώπινου εγκεφάλου, χωρίς να προβούμε σε καμία εγχείριση. 

Ταυτόχρονα όμως ο Cohen υποστηρίζει ότι, όπως τα προβλήματα των τροχιών των πλανητών και της Οπτικής πυροδότησαν την ανάπτυξη του μαθηματικού λογισμού από το Νεύτωνα και τον Leibniz, έτσι και η Βιολογία θα πυροδοτήσει την επινόηση καλύτερων μαθηματικών μοντέλων για τη μελέτη πολυεπίπεδων συστημάτων (όπως αυτά που αντιπροσωπεύουν τα κύτταρα που βρίσκονται μέσα στα όργανα, τα οποία με τη σειρά τους βρίσκονται μέσα στα άτομα, τα τελευταία στους πληθυσμούς κ.ο.κ.). Επίσης η Βιολογία παρέχοντας στα Μαθηματικά την ασύγκριτη (σε σχέση με τα αντικείμενα της Φυσικής και της Χημείας) χωρική και χρονική υπερποικιλότητα των βιολογικών αντικειμένων, θα ωθήσει τη μαθηματική σκέψη στην ανάπτυξη νέων εννοιών και πλαισίων, προκειμένου να ερμηνευτεί η ποικιλότητα αυτή. 

Τέλος ο Cohen, πιστεύει πως από τη συνέργεια Βιολογίας-Μαθηματικών θα προκύψουν μαθηματικά μοντέλα που θα μας κάνουν ικανούς να κατανοήσουμε πληρέστερα, τα σύνθετα δίκτυα γονιδίων, κυττάρων και πρωτεϊνών, τη λειτουργία του εγκεφάλου, τη ρύθμιση της έκφρασης των γονιδίων και να αναπτύξουμε αποτελεσματικότερες θεραπείες για την αντιμετώπιση του καρκίνου.

Μετά την παρουσίαση του άρθρου του Cohen, μπορούμε να προχωρήσουμε στη δεύτερη αφορμή εξαιτίας της οποίας γράφηκε αυτό το άρθρο. Πρόκειται για την εργασία του Ολλανδού γραφίστα M.C. Esher, στην οποία η εικαστική τέχνη διαπλέκει τις μαθηματικές αρχές που γοήτευσαν τον καλλιτέχνη (προβολική γεωμετρία) με μοτίβα που αντλούνται από τον έμβιο κόσμο. Έτσι από τη γραφίδα και το κοπίδι του, ξεπήδησαν ευφάνταστοι συνδυασμοί σχημάτων που τροποποιούνται γεωμετρικά για να μεταμορφωθούν σε ψάρια, κι” ύστερα σε κοπάδια πουλιών που απελευθερώνονται από τις 2 διαστάσεις για να πετάξουν στο χώρο. Και προξενεί εντύπωση πώς ένας καλλιτέχνης που δεν είχε σπουδάσει Μαθηματικά ή Βιολογία, μάλλον διαισθητικά αξιοποίησε μαθηματικές αρχές για να συνθέσει έργα που απεικονίζουν την πολυεπίπεδη οργάνωση των βιολογικών αντικειμένων στην οποία κάθε διαδοχικό επίπεδο, ελάχιστα ερμηνεύεται από το προηγούμενο…

PreviΑπό αυτήν λοιπόν την εργασία εμπνεύστηκε ο Ισπανός κινηματογραφιστήςCristobal Vila,όπως επίσης και από τα μαθηματικά που ενσαρκώνει ο έμβιος κόσμος προκειμένου να συνθέσει δύο ταινίες. Η πρώτη που τιτλοφορείται Inspirationsπαρουσιάζει το χώρο εργασίας του Escher με τα αντικείμενα που καλλιτεχνική αδεία, εικάζει ο Vila ότι έπρεπε να περιβάλλουν έναν καλλιτέχνη τόσο επηρεασμένο από τα Μαθηματικά και τις επιστήμες, καθώς και μερικά έργα του ζωγράφου (όπως η λιθογραφία Ερπετά) που έχουν αποδοθεί σε τρισδιάστατη απεικόνιση.

Στη δεύτερη ταινία του, τη Φύση σε αριθμούς (Nature by numbers) εξηγεί πώς η σπείρα στο όστρακο του του Ναυτίλου πραγματώνει την ακολουθία Fibonacci 2* , καθώς εφάπτεται στα διαδοχικά τετράγωνα που δημιουργούνται με πλευρές, τους αριθμούς της ακολουθίας 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 κ.ο.κ. ή πώς τα σπόρια του ηλίανθου διατάσσονται στο άνθος του, σύμφωνα με τη χρυσή γωνία 3* των 137, 5ο.

Νομίζουμε πως αξίζει τον κόπο να δείτε αυτές τις μικρές ταινίες, αλλά και να διαβάσετε τις πρόσθετες επεξηγηματικές πληροφορίες που το συνοδεύουν. Αν είστε βιολόγοι, ίσως αναρωτηθείτε αν τελικώς οι δρόμοι της Βιολογίας και των Μαθηματικών είναι ασύμβατοι..

1* Συνίσταται στην εύρεση μιας συνάρτησης από τη γνώση του ολοκληρώματός της, κατά μήκος μιας ευθείας. Ο μετασχηματισμός Radon αξιοποιήθηκε στην τεχνολογία της αξονικής τομογραφίας στον προσδιορισμό της πυκνότητας των απεικονιζόμενων ιστών.

2* Η ακολουθία Fibonacci είναι μια ακολουθία φυσικών αριθμών που προκύπτει αν στον πρώτο αριθμό που είναι το 0, προσθέσουμε το 1 και στη συνέχεια κάθε άλλος αριθμός προκύπτει από το άθροισμα των 2 προηγουμένων, δηλαδή: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 κ.ο.κ.

3* Η χρυσή γωνία είναι η επίκεντρη γωνία των 137,5ο που προκύπτει αν διαιρέσουμε έναν κύκλο σε 2 τόξα που ο λόγος τους, είναι ο λόγος της χρυσής τομής.

           2.     ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ

Το αντικείμενο των Εφαρμοσμένων Μαθηματικών είναι η διατύπωση και η επίλυση μαθηματικών μοντέλων για προβλήματα που προκύπτουν στις επιστήμες και την τεχνολογία.  H διαδικασία της διατύπωσης των μαθηματικών μοντέλων, αποτελεί την περιγραφή σε μαθηματική γλώσσα βασικών μηχανισμών που διέπουν προβλήματα των εφαρμογών, με πολλά παραδείγματα από τη φυσική, τη χημεία, τις τεχνολογικές επιστήμες και τη βιολογία.

Τα μαθηματικά μοντέλα: Η ερμηνεία διαφόρων φαινομένων μπορεί αρκετές φορές να είναι απλή και να εξηγείται μέσω πάγιων θεωριών που θεμελιώνονται με την εξέλιξη της επιστήμης, η οποία μελετά τα εν λόγω φαινόμενα. Στην εποχή μας όταν συζητούμε για πρόβλεψη της εξέλιξης ενός φαινομένου προϋποθέτουμε την ύπαρξη ενός μαθηματικού μοντέλου, το οποίο να προσεγγίζει «ικανοποιητικά» τις διάφορες καταστάσεις του στη διάρκεια του χρόνου. Με αυτόν τον τρόπο καταλαβαίνει κανείς ότι μπορεί να συντελεστεί σε ικανοποιητικό βαθμό η πρόβλεψη βραχυπρόθεσμα ή ακόμα και μακροπρόθεσμα. Δηλαδή, πρόκειται για έναν ακόμα τρόπο με τον οποίο εμπλέκονται τα μαθηματικά και οι άλλες επιστήμες.
Βεβαίως η ύπαρξη ενός τέλειου τέτοιου μοντέλου που να περιγράφει κάθε φαινόμενο (φυσικό) είναι το πρώτο μέρος του προβλήματος, ενώ κατά δεύτερο λόγο η επίλυσή του σε πεπερασμένο πλήθος βημάτων (αλγοριθμικά) είναι το επόμενο βήμα .
Η έννοια «τέλειο μοντέλο» τοποθετείται στο επίπεδο του ικανοποιητικού, ήτοι του κατά πόσο καλά μπορεί να προσεγγιστεί το φαινόμενο. Γι’ αυτόν τον σκοπό η εξέλιξη μπορεί να επιτευχθεί με δύο τρόπους : είτε με τη συνεξέλιξη μιας μαθηματικής θεωρίας στο πλαίσιο που οριοθετείται από το πρόβλημα, είτε με την ανάπτυξη μίας νέας μαθηματικής θεωρίας σε περισσότερο αφηρημένο επίπεδο, η οποία θα αναδιαμορφωθεί έτσι, ώστε να χρησιμοποιηθεί ως μία καλύτερη προσέγγιση του προβλήματος. Και για τις δύο διαδρομές έχουμε παραδείγματα, όπως το κλασσικό σύμπλεγμα: μαθηματικών-φυσικής, ή ακόμα: μαθηματικών και πληροφορικής, μαθηματικών - οικονομίας, μαθηματικών - βιολογίας κ.ά.

Η ικανότητα επίλυσης των μοντέλων είναι το σημαντικότερο πλεονέκτημα μίας τέτοιας χρήσης των μαθηματικών, γι’ αυτό εξάλλου και συντελείται μεγάλη προσπάθεια για μία τέτοιου είδους προσέγγιση. Ακόμα, και όταν δεν έχεις πλήρως σωστά αποτελέσματα (και αυτό είναι το σύνηθες) μπορείς να καταφέρεις να γνωρίζεις, έστω και πειραματικά, την απόκλιση του μοντέλου από την πραγματικότητα.

ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ.

Το Ινστιτούτο Υπολογιστικών Μαθηματικών (ΙΥΜ) ιδρύθηκε το 1985 και αποτελεί ένα από τα ιδρυτικά Ερευνητικά Ινστιτούτα του ΙΤΕ με έδρα το Ηράκλειο Κρήτης.
Οι στόχοι του είναι:

• Η διεξαγωγή έρευνας υψηλής ποιότητας σε επιλεγμένες περιοχές των Εφαρμοσμένων και Υπολογιστικών Μαθηματικών.
• Η συμμετοχή του σε διεπιστημονικά ερευνητικά προγράμματα, με σκοπό την ανάπτυξη και την εφαρμογή μαθηματικών μεθόδων και εργαλείων για την μοντελοποίηση και επίλυση σύνθετων και πολύπλοκων προβλημάτων στις επιστήμες και στην τεχνολογία.
• Η ανάπτυξη μαθηματικών και υπολογιστικών μεθόδων και εργαλείων με σκοπό την εφαρμογή τους στην παροχή υπηρεσιών στον δημόσιο και ιδιωτικό τομέα. 

Οι ερευνητικές ομάδες του ΙΥΜ δραστηριοποιούνται στις εξής κατευθύνσεις:

• Προβλήματα κυματικών φαινομένων με έμφαση στη θαλάσσια ακουστική.
• Ανάλυση και αριθμητική επίλυση Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων που προκύπτουν από μαθηματικά μοντέλα στις φυσικές και βιοϊατρικές επιστήμες και την τεχνολογία.
• Αριθμητικές μέθοδοι και επιστημονικοί υπολογισμοί στη Δυναμική των Ρευστών.
• Γεωπληροφορική: εφαρμογές μαθηματικών και υπολογιστικών μεθόδων και εργαλείων στην περιφερειακή ανάλυση και τη δορυφορική τηλεπισκόπηση.
• Μαθηματικά μοντέλα, υπολογισμοί και πειράματα στις Νευροεπιστήμες

Μαθηματικά Μοντέλα Ρύπανσης  Η ρύπανση του περιβάλλοντος χώρου αποτελεί πλέον ένα από τα σημαντικότερα προβλήματα του ανθρώπου. Ένα μαθηματικό μοντέλο προσομοίωσης της ρύπανσης είναι ένα σύνολο εξισώσεων που περιγράφουν τις φυσικοχημικές διεργασίες που γίνονται σ' ένα μέσο, ατμόσφαιρα, θάλασσα - υδάτινους φορείς ή στο έδαφος, μαζί με τη κατάλληλη μαθηματική περιγραφή της γεωμετρίας του μέσου ή των μέσων για πολυφασικές περιπτώσεις. Το σύνολο αυτών των εξισώσεων επιλύεται κατά κανόνα με μεθόδους αριθμητικής ανάλυσης σε ηλεκτρονικό υπολογιστή. Η επίλυση αυτού του τύπου μαθηματικών προβλημάτων είναι δύσκολη έως άλυτη υπόθεση. Ο μαθηματικός χαρακτήρας των εξισώσεων που παρουσιάζει παραβολική ή ελλειπτική έως υπερβολική συμπεριφορά σε συνδιασμό με τη γεωμετρική απεικόνηση του χώρου (οριακές συνθήκες) μαζί με τον προσδιορισμό των αρχικών περιορισμών (αρχικές συνθήκες), δημιουργούν ένα μαθηματικό πρόβλημα άλυτο μέχρι στιγμής στην ολότητά του. Δεν είναι υπεύθυνη τόσο η δυνατότητα των σύγχρονων ηλεκτρονικών υπολογιστών (hardware) αλλά η έλλειψη αποδοτικών - καινοτόμων αλγορίθμων (software) που δεν μας επιτρέπει την επίλυσή τους. Έτσι καταστρώνονται σχέδια απλοποίησης του μαθηματικού προβλήματος ώστε να έρθει σε επιλύσιμη μορφή. Δεν είναι σπάνια η περίπτωση όπου βλέπουμε μαθηματικά μοντέλα τα οποία έχουν απλοποιηθεί σε τέτοιο βαθμό που δεν περιλαμβάνουν βασικές φυσικοχημικές διεργασίες διότι οι αντίστοιχοι όροι στη μαθηματική απεικόνιση έχουν "πετσοκοπεί" προς χάριν της απλοποίησης. Συνεπώς χρειάζεται μεγάλη προσοχή στη χρήση των αποτελεσμάτων αυτών των μοντέλων. Σε πολλές περιπτώσεις λοιπόν διακυρήσσεται η πανάκεια τέτοιων μοντέλων αλλά στερούνται επιστημονικής βάσης καθόσον η φιλοσοφία ανάπτυξης ενός τέτοιου μοντέλου δίνει περιορισμένες δυνατότητες. Πολύ περισσότερο να χρησιμοποιείται ένα τέτοιο μοντέλο σαν εργαλείο σχεδιασμού. Η πιστοποίηση ενός μοντέλου γίνεται μεταξύ των αποτελεσμάτων του (εκτιμήσεις) και πραγματικών δεδομένων μετά από ευρείς και εξαντλητικές δοκιμές. Είναι μια χρόνια διαδικασία με επισφαλή αποτελέσματα επιτυχίας, συνήθως μερικής, υπό όρους δηλαδή χρήσης ενός τέτοιου μοντέλου. Όσο όμως προχωρεί η έρευνα, τόσο θα ξεδιαλύνει και το τοπίο. Στις σελίδες εδώ θα βρείτε αλγόριθμους μοντέλων ρύπανσης είτε ατμοσφαιρικής, είτε ρύπανσης εσωτερικού χώρου κτιρίων. Τα μοντέλα ατμοσφαιρικής ρύπανσης έχουν τοπικό χαρακτήρα, για παράδειγμα, η ρύπανση μιας καμινάδας στον περιβάλλοντα χώρο της, είτε σε επίπεδο πόλης - λεκανοπέδιο Αθηνών, είτε σε ρύπανση μεγάλης ακτίνας, λόγου χάρη, η ατμοσφαιρική ρύπανση του κάμπου της Θεσσαλίας από τα θερμοηλεκτρικά εργοστάσια της ΔΕΗ ΑΕ στην Κοζάνη - Πτολεμαϊδα, είτε μοντέλο ατμοσφαιρικής ρύπανσης σε παγκόσμιο επίπεδο, πχ, μεταφορά ρύπων από την βορειοαμερικανική ήπειρο στην Ευρώπη.

               Μαθηματικά στην Ιατρική

"Τα μαθηματικά αποτελούν ένα από τους στυλοβάτες της ιατρικής επιστήμης. Οι βασικές επιστημονικές αρχές της στηρίζονται σε μαθηματικά πρότυπα. Δεν νοείται επιστημονική σκέψη χωρίς  τη θεώρησή της από μαθηματική σκοπιά.Είναι αλήθεια για παράδειγμα ότι η ιατρική φυσική δεν νοείται χωρίς μαθηματική υποδομή".

                                           Χρήστος Μπαρτσόκας
                  Καθηγητής Παιδιατρικής Πανεπιστημίου Αθηνών.




"Tα Μαθηματικά είναι απαραίτητα για την κουλτούρα μας".


Α. Φωκάς

Κεφαλονίτης, καθηγητής στο Πανεπιστήμιο του Κέμπριτζ στην έδρα «Μη γραμμικών επιστημών», , μαθηματικός που τιμήθηκε το 2000 από τη Μαθηματική Εταιρεία της Αγγλίας με το περίφημο βραβείο Naylor, γιατρός, αεροναυπηγός, επίτιμος διδάκτορας του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου, των Πανεπιστημίων Κρήτης και Πάτρας, βραβευθείς από την Ακαδημία Αθηνών με Ανώτατο Αριστείο για την προσφορά του στον τομέα των Εφαρμοσμένων Μαθηματικών.

        

    Τα μαθηματικά και ο αξονικός τομογράφος ...

Πριν από όλα, τα Μαθηματικά είναι απαραίτητα για την κουλτούρα μας. Οπως η επίσκεψη ενός παιδιού σε μια έκθεση ζωγραφικής εκλεπτύνει την αισθητική του, ανάλογα και η ενασχόλησή του με τα Μαθηματικά αναπτύσσει την έμφυτη ικανότητά του να σκέφτεται λογικά. Συγχρόνως, τα Μαθηματικά δημιουργούν τις πιο πολύπλοκες τεχνικές που είναι απαραίτητες για την κατανόηση του χειροπιαστού κόσμου που μας περιβάλλει. Για παράδειγμα, ο Α. Cormack, ο φυσικομαθηματικός που ανακάλυψε τον αξονικό τομογράφο, είπε στην ομιλία του, όταν του απενεμήθη το Βραβείο Nobel το 1979: "Ηταν προφανές ότι το πρόβλημα του αξονικού τομογράφου ήταν καθαρά ένα μαθηματικό πρόβλημα". Ο αξονικός τομογράφος και αργότερα ο μαγνητικός τομογράφος (για την ανακάλυψη του οποίου δόθηκε Βραβείο Nobel στον sir Peter Mansfield το 2003), έφεραν πραγματική επανάσταση στη Νευρολογία ειδικά και σε ολόκληρη την Ιατρική γενικότερα. Παρ' όλα αυτά, και οι δύο αυτές καταπληκτικές τεχνικές αδυνατούν να απεικονίσουν τη λειτουργία του εγκεφάλου.




                   Mαθηματική  καρδιολογία ...

Γνωρίζατε ότι καρδιακές προσβολές μπορούν να σας δώσουν τα μαθηματικά; Η δήλωση αυτή εμφανίζεται στην ιστοσελίδα του James Κίνερ, ο οποίος εργάζεται στην μαθηματικά της καρδιολογίας. Αυτή η περιοχή έχει πολλά προβλήματα, τα οποία είναι ώριμα για ενιαία επίθεση από μαθηματικούς, γιατρούς, και τους τεχνικούς βιοϊατρικής. Σε ένα άρθρο να εμφανίζεται στο Απρίλιος 2011 έκδοση των ανακοινώσεων της Αμερικανικής Μαθηματικής Εταιρείας, John W. Cain, ένας μαθηματικός στο Virginia Commonwealth University, παρουσιάζει μια επισκόπηση των έξι συνεχών προβλημάτων Πρόκληση στη μαθηματική καρδιολογία. Το άρθρο του Κάιν τονίζει καρδιακής ηλεκτροφυσιολογίας, διότι ορισμένες από τις πιο συναρπαστικές προβλήματα της έρευνας στην μαθηματική καρδιολογία συνεπάγονται ηλεκτρικές διάδοσης κυμάτων στον ιστό της καρδιάς.
Σε κάποιο σημείο στη ζωή μας, πολλοί από εμάς θα υποβληθεί σε ηλεκτροκαρδιογράφημα (ΗΚΓ), μια καταγραφή της ηλεκτρικής δραστηριότητας στην καρδιά. Για να καταλάβετε όταν αυτά τα μικροσκοπικά ηλεκτρικά ρεύματα προέρχονται, πρέπει να μεγεθύνετε για να το μοριακό επίπεδο. Σωματικών υγρών, όπως το αίμα, περιέχουν θετικά φορτισμένο ιόντα. Όταν αυτά τα ιόντα διαπερνούν τις κυτταρικές μεμβράνες, που προκαλούν ηλεκτρικά ρεύματα, τα οποία με τη σειρά τους προκαλούν αλλαγές στην τάση V πέρα ​​από τη μεμβράνη. Εάν ένα αρκετά ισχυρό ρεύμα ερέθισμα εφαρμόζεται σε αρκετά ξεκούραστοι κελί, τότε το κύτταρο με την εμπειρία μιας «δυναμικό δράσης»: V αιχμές ξαφνικά και παραμένει σε υψηλά επίπεδα για μεγάλο χρονικό διάστημα. Αυτές οι δυνατότητες δράσης διέπουν τα πρότυπα κτύπο της καρδιάς και είναι επομένως κρίσιμης σημασίας για την κατανόηση και την αντιμετώπιση των διαταραχών, όπως αρρυθμίες (ανωμαλίες στον καρδιακό ρυθμό), και ιδίως ταχυκαρδία (γρηγορότερα από το κανονικό καρδιακό ρυθμό).
Λαμβάνοντας το βραβευμένος με Νόμπελ το έργο του Hodgkin και Huxley ως σημείο εκκίνησης, οι ερευνητές έχουν δημιουργήσει μαθηματικά μοντέλα του καρδιακού δυναμικού δράσης με την προβολή των καρδιακών κυτταρική μεμβράνη ως ένα ηλεκτρικό κύκλωμα. Μια σημαντική πρόκληση που εντοπίζει ο Κάιν είναι επίτευξης ισορροπίας μεταξύ feasiblity και πολυπλοκότητας: Ελαχιστοποίηση των επιπλοκών στο μοντέλο, έτσι ώστε να είναι δεκτική μαθηματική ανάλυση, αλλά προσθέτουν επαρκείς λεπτομέρειες, έτσι ώστε το μοντέλο αναπαράγει τόσο κλινικά δεδομένα του δυνατού. Οι εξισώσεις που διέπουν το μοντέλο --- γραμμικών μερικών διαφορικών εξισώσεων --- επίκλισης να επιλυθεί ρητώς, και οι λύσεις πρέπει να επιτυγχάνεται μέσω της προσέγγισης με αριθμητικές μεθόδους. Η προσθήκη περαιτέρω επιπλοκές είναι οι περίπλοκες γεωμετρία της καρδιάς, με τέσσερις αίθουσες και οι συνδέσεις του με τις φλέβες και τις αρτηρίες, καθώς και το γεγονός ότι οι διαφορετικοί τύποι του καρδιακού ιστού έχουν διαφορετικές ιδιότητες αγωγιμότητας.

Μαθηματικά μοντέλα «εξηγούν» νευρολογικές διαταραχές.

Με τη βοήθεια μαθηματικών μοντέλων Βιοπληροφορικής Έλληνες ερευνητές διερεύνησαν σειρά δυσλειτουργιών των μιτοχονδρίων που προκαλούν νευρολογικές διαταραχές στις κοινές ασθένειες, όπως το Αλτσχάιμερ, το Πάρκινσον και τη νόσο του Χάντινγκτον.

Οι ερευνητές από το Ιόνιο Πανεπιστήμιο άνοιξαν ουσιαστικά το δρόμο για το σχεδιασμό νέων αποτελεσματικότερων φαρμάκων ή και εναλλακτικών θεραπειών κατά των νευρολογικών διαταραχών.

Το ερευνητικό έργο της ελληνικής επιστημονικής ομάδας του Ιονίου Πανεπιστημίου ξεκίνησε πριν από έξι χρόνια και στο διάστημα αυτό κατάφερε να μοντελοποιήσει τις λειτουργίες ενός αρχικού μιτοχονδρίου και να τις προσομοιώσει στον υπολογιστή, παρακολουθώντας το μηχανισμό των μικροσκοπικών αυτών σωματιδίων του κυττάρου. Αντίθετα με τις μέχρι σήμερα εργαστηριακές μελέτες, που οδηγούσαν στην εξάντληση των συμπτωμάτων της «ασθένειας» των μιτοχονδρίων, η ερευνητική ομάδα προσπάθησε να εξηγήσει τους λόγους που προκαλούν τις δυσλειτουργίες τους.

Επιστημονικές έρευνες ετών υπέδειξαν τη συσχέτιση των μιτοχονδριακών δυσλειτουργιών και των νευρολογικών διαταραχών, όπως Αλτσχάιμερ, Πάρκινσον και Χάντινγκτον. Ειδικά στην περίπτωση του Αλτσχάιμερ, ο πληθυσμός των υγιών μιτοχονδρίων διαπιστώθηκε ότι μειώνεται κατά πολύ.

Καθώς το Αλτσχάιμερ φαίνεται ότι είναι αποτέλεσμα τόσο γενετικών όσο και περιβαλλοντικών παραγόντων, κατηγοριοποιείται σε δύο κύριες μορφές: τη γενετική ή κληρονομική (5%) και τη σποραδική (95%). Για την περίπτωση της σποραδικής μορφής, οι επιστήμονες υποστηρίζουν τη συσχέτισή της με τη δραστική μείωση της λειτουργίας των μιτοχονδρίων κατά τη γήρανση.

 ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΤΕΧΝΙΚΗ ANIMATION

Η εικασία του σκοτσέζου μαθηματικού William Hodge, από το 1930, σχετίζεται με τη δυνατότητα γεωμετρικής εξήγησης πολύπλοκων σχημάτων που συναντώνται τόσο στην τρισδιάστατη αποτύπωση της πραγματικότητας, όσο και σε περισσότερες διαστάσεις. Ο Hodge ισχυρίστηκε ότι μπορούμε να προσεγγίσουμε το σχήμα ενός δεδομένου αντικειμένου, με την τεχνική της συγκόλλησης γεωμετρικών σχημάτων, σε μια θεωρία που, αν και δεν αποδείχθηκε εδώ και 80 χρόνια, βοήθησε ιδιαίτερα την τεχνολογική εξέλιξη στον τομέα του animation, όπου απαιτούνται πολύπλοκες γραφικές παραστάσεις.

Εξισώσεις Navier – Stokes για τη κίνηση των ρευστών.

Οι δυο μαθηματικοί, με ένα σύνολο εξισώσεων που διατύπωσαν πριν από 150 χρόνια, αποπειράθηκαν να περιγράψουν την κίνηση των ρευστών, όπως είναι τα υγρά και τα αέρια. Σύμφωνα με αυτές, οι μεταβολές στην ορμή μιας απειροελάχιστης μονάδας ρευστού είναι το άθροισμα των δυνάμεων που δρουν μέσα σε αυτό. Εφαρμογές του πλέγματος εξισώσεων των δυο μαθηματικών βρίσκονται στην μετεωρολογία, την αστρονομία και τη φυσική.
Ωστόσο, παρά την χρήση εξελιγμένων υπολογιστών για τον υπολογισμό κινήσεων ρευστών σε φαινόμενα όπως το Ελ Νίνιο, οι προβλέψεις δεν είναι ακριβείς, καθώς υπάρχουν χιλιάδες παράμετροι που στρεβλώνουν την τελική κίνηση του ρευστού. Το ινστιτούτο Clay προσφέρει έπαθλο ενός εκατομμυρίου δολαρίων σε όποιον παρουσιάσει σοβαρή πρόοδο στις εξισώσεις αυτές. 

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΜΕΤΕΡΕΟΛΟΓΙΑ

Αφού λοιπόν συλλεγούν οι μετεωρολογικές παρατηρήσεις αναλαμβάνουν να τις επεξεργαστούν μεγάλες υπολογιστικές μηχανές στις οποίες «τρέχουν» τα μοντέλα καιρού (πολύπλοκα μαθηματικά συστήματα διαφορικών εξισώσεων).

   

Τη ραχοκοκαλιά κάθε μετεωρολογικής υπηρεσίας απαρτίζει το δίκτυο των μετεωρολογικών σταθμών και συστημάτων παρατήρησης, καθώς τη βάση για τη σωστή πρόγνωση αποτελεί η σωστή παρατήρηση. Ωστόσο στη διαδικασία της πρόγνωσης εμπλέκονται και άλλοι παράμετροι όπως η ισχύς των υπερυπολογιστικών συστημάτων που θα αναλάβουν το βαρύ έργο της επίλυσης των εξισώσεων που απαρτίζουν τα αριθμητικά μοντέλα πρόγνωσης, καθώς και η εμπειρία των μετεωρολόγων που καλούνται να ερμηνεύσουν τα αποτελέσματα των μοντέλων.

Οι μετεωρολογικοί σταθμοί επιφανείας εξοπλίζονται με ολοένα και πιο σύγχρονα όργανα ενώ παράλληλα τοποθετούνται και αυτόματοι μετεωρολογικοί σταθμοί ιδιαίτερα σε σημεία του πλανήτη όπου είναι δύσκολη η συνεχής παρουσία του ανθρώπου. Τα τελευταία χρόνια σημαντικά βήματα  γίνονται με την αξιοποίηση παρατηρήσεων που εκτελούνται αυτόματα από τα αεροσκάφη της πολιτικής αεροπορίας. Τα μετεωρολογικά ραντάρ με την τεχνολογία Doppler, που σήμερα ενσωματώνουν, δίνουν πολύ ακριβείς πληροφορίες για το είδος των νεφικών συστημάτων, τον υετό αλλά και την βραχυπρόθεσμη προβολή στο μέλλον της κίνησης αυτών. Οι μετεωρολογικοί δορυφόροι σήμερα παρέχουν ανά ένα τέταρτο της ώρας φωτογραφίες που η διακριτική ικανότητά τους φθάνει το 1Χ1 Κm και επί πλέον μετρούν και αρκετές παραμέτρους όπως τον άνεμο, τη θερμοκρασία, την υγρασία ακόμα και το ύψος κύματος με ακρίβεια 0,5 μέτρου.

Επίσης σήμερα με τον κατάλληλο εξοπλισμό που τοποθετείται στα πλοία, εκτελούνται και παρατηρήσεις ανώτερης ατμόσφαιρας για τις οποίες όμως χρειάζεται οι αξ/κοί να αφιερώσουν λίγο περισσότερο χρόνο (μισή ώρα 2 φορές την ημέρα), εδώ όμως υπάρχει και αμοιβή(!).

Μια άλλη και εξίσου σημαντική κατηγορία σταθμών στη θάλασσα είναι οι πλωτοί μετρητικοί σταθμοί (buoys) είτε αγκυροβολημένοι (moored), είτε παρασυρόμενοι (drifting) που σήμερα αριθμούν τους 251 και 1250 αντίστοιχα (στη χώρα μας υπάρχουν 10 moored buoys σε Αιγαίο και Ιόνιο).

Αφού λοιπόν συλλεγούν οι μετεωρολογικές παρατηρήσεις αναλαμβάνουν να τις επεξεργαστούν μεγάλες υπολογιστικές μηχανές στις οποίες «τρέχουν» τα μοντέλα καιρού (πολύπλοκα μαθηματικά συστήματα διαφορικών εξισώσεων). Μερικές από τις μηχανές αυτές (super computers), στις οποίες τρέχουν μοντέλα καιρού για όλη την υδρόγειο, έχουν ταχύτητες επεξεργασίας που σήμερα αγγίζουν  τα 5TerraFlop (5χ10¹²Flop). Τα μοντέλα αυτά  «επιλύουν» την ατμόσφαιρα και δίνουν αποτελέσματα υπό μορφή χαρτών και διαγραμμάτων που έρχονται να μεταφράσουν σε πρόγνωση καιρού οι μετεωρολόγοι.  Το μαθηματικό – φυσικό κομμάτι της πρόγνωσης καιρού έγκειται στην επίλυση συγκεκριμένων μαθηματικών εξισώσεων, σεένα τεράστιο πλήθος σημείων πλέγματος, (εκεί προσαρμόζονται οι μετεωρολογικέςπαρατηρήσεις) σε συγκεκριμένα ύψη στην τροπόσφαιρα. Τα αποτελέσματα αυτού τουμαθηματικού – φυσικού προβλήματος ονομάζονται προϊόντα αριθμητικής πρόγνωσηςκαιρού - NWP. Τα προϊόντα αυτά παράγονται σε γραφική μορφή έχουν χρόνοπρόγνωσης μέχρι και 10 μέρες

Μαθηματικά μοντέλα για επιστημονικές προβλέψεις



Το ακόλουθο άρθρο δημοσιεύτηκε στην εφημερίδα Χανιώτικα Νέα στις 2 Νοεμβρίου 2011.





ΠΡΟΣΤΑΣΙΑ ΤΟΥ ΠΟΛΙΤΗ ΚΑΙ ΚΑΘΗΜΕΡΙΝΟΤΗΤΑ

Μαθηματικά μοντέλα για επιστημονικές προβλέψεις
γράφει ο Παναγιώτης Αλεβαντής*

Η πρόβλεψη μελλοντικών καταστροφών με τη βοήθεια μαθηματικών μοντέλων μπορεί να μας βοηθήσει να λάβουμε μέτρα μετριασμού των δυσμενών επιπτώσεων.

Ο άνθρωπος ήθελε πάντα να προβλέπει τι θα συμβεί στο μέλλον. Ιδίως αν διαισθανόταν ότι το μέλλον εγκυμονούσε κινδύνους και καταστροφές. Τις προφητείες των ιερών βιβλίων κάθε θρησκείας για λιμούς, σεισμούς και καταποντισμούς έρχονται σήμερα να συμπληρώσουν οι προβλέψεις των επιστημόνων για την αλλαγή του κλίματος, για τα φαινόμενα που ενδέχεται να συνοδεύουν ένα μεγάλο σεισμό, για την αύξηση του πληθυσμού της γης ή για πλήθος άλλων φαινομένων που μεταβάλλονται με το χρόνο. Οι σύγχρονοι προφήτες δεν στηρίζονται στην επιφοίτηση κάποιου πνεύματος αλλά στα μαθηματικά μοντέλα. Και στην Κρήτη ένα κέντρο που έχει επικεντρωθεί στη μελέτη των μαθηματικών μοντέλων είναι το Ινστιτούτο Υπολογιστικών Μαθηματικών (ΙΥΜ) του Ιδρύματος Τεχνολογίας και Έρευνας (ΙΤΕ).

Τα μοντέλα είναι μια μαθηματική απεικόνιση της πραγματικότητας. Επιχειρούν να απεικονίσουν διάφορα πολύπλοκα φαινόμενα με μαθηματικές έννοιες και εξισώσεις. Με βάση μετρήσεις και παρατηρήσεις π.χ. της εξέλιξης της θερμοκρασίας και της υγρασίας του αέρα, της ατμοσφαιρικής πίεσης και της ταχύτητας του ανέμου οι μετεωρολόγοι κατασκευάζουν ένα μαθηματικό μοντέλο της εξέλιξης του καιρού. Στη συνέχεια τροφοδοτώντας το με τα σημερινά στοιχεία μπορούν να προβλέψουν τι καιρό θα κάνει αύριο και μεθαύριο. Οι πολιτικοί μηχανικοί που έχουν σχεδιάσει ένα κτήριο χρησιμοποιώντας τη στατική μελέτη και τις επιταχύνσεις που προκαλούν στη συγκεκριμένη περιοχή οι παρελθόντες σεισμοί μπορούν να προβλέψουν τη συμπεριφορά του κτηρίου σε ένα μελλοντικό σεισμό και να ενισχύσουν την κατασκευή αναλόγως.

Ένα φαινόμενο που απασχολεί την επιστημονική κοινότητα παγκοσμίως είναι η κλιματική αλλαγή, η οποία στην Κρήτη και την Ανατολική Μεσόγεια γενικότερα, ενδέχεται να οδηγήσει σε αύξηση της ερημοποίησης λόγω αύξησης της μέσης θερμοκρασίας του αέρα και μείωσης της βροχόπτωσης. Παράλληλα με την εξάπλωση της ερημοποίησης η κλιματική αλλαγή ενδέχεται να οδηγήσει, μεταξύ άλλων, και σε αύξηση της συχνότητας αλλά και σε εντατικοποίηση των ακραίων καιρικών φαινομένων δηλαδή των έντονων καταιγίδων και των κυμάτων καύσωνα. Στην έκθεση που δημοσίευσε τον περασμένο Ιούνιο η Τράπεζα της Ελλάδος με τίτλο «Οι περιβαλλοντικές, οικονομικές και κοινωνικές επιπτώσεις της κλιματικής αλλαγής στην Ελλάδα» υπάρχει πλήθος γραφημάτων για τις επιπτώσεις της κλιματικής αλλαγής ανά τομέα (αλιεία και υδατοκαλλιέργειες, γεωργία, δάση, βιοποικιλότητα, τουρισμός, δομημένο περιβάλλον, μεταφορές, υγεία, εξορυκτική βιομηχανία) αλλά και για τις γενικότερες οικονομικές της επιπτώσεις. Για την παραγωγή των γραφημάτων χρησιμοποιήθηκαν μαθηματικά μοντέλα που τροφοδοτήθηκαν με διαφορετικές κάθε φορά παραδοχές και στοιχεία.

Η κλιματική αλλαγή προβλέπεται επίσης ότι θα προκαλέσει λιώσιμο των πάγων με επακόλουθη ανύψωση της στάθμης της θάλασσας και ενίσχυση της διάβρωσης με αποτέλεσμα να αναμένεται ότι θα υποβαθμιστούν ή και θα καταστραφούν κάποιες παραλίες και θα διακινδυνεύσουν οι παράκτιες κοινότητες. Οι μελέτες της μεταβολής της στάθμης της θάλασσας στην Μεσόγειο είναι ακόμα σε προκαταρκτικό επίπεδο. Όμως, στο πλαίσιο διάφορων ερευνητικών προγραμμάτων το Ινστιτούτο Υπολογιστικών Μαθηματικών έχει κατασκευάσει μοντέλα για τις πλημύρες οι οποίες θα πλήξουν παράκτιες περιοχές της Κρήτης εξαιτίας παλιρροϊκών κυμάτων (τσουνάμι) που θα έχουν προκληθεί από σεισμούς ή από έντονα καιρικά φαινόμενα. Τα μοντέλα αυτά χρησιμοποιήθηκαν με επιτυχία για την οργάνωση της πρόσφατης άσκησης πολιτικής προστασίας της Περιφέρειας Κρήτης. Μπορούν όμως να χρησιμοποιηθούν και για τον χωροταξικό σχεδιασμό και την οριοθέτηση ζωνών οικιστικής ή βιομηχανικής ανάπτυξης που δεν θα κινδυνεύουν μακροπρόθεσμα από πλημμύρες ή από έντονα καιρικά φαινόμενα.

Τα μοντέλα που κατασκευάζουν οι μαθηματικοί του ΙΥΜ, σε συνεργασία με επιστήμονες των αντίστοιχων ειδικοτήτων, καλύπτουν και πληθώρα άλλων τομέων. Την προσομοίωση της κυκλοφορίας του αίματος στον ανθρώπινο οργανισμό με στόχο την κατασκευή καλύτερων συστημάτων ιατρικής απεικόνισης. Την κατασκευή υποβρύχιων συστημάτων ακουστικής ανίχνευσης που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον εντοπισμό υποβρυχίων, για την παρακολούθηση φαλαινών ή και για την χαρτογράφηση του θαλάσσιου πυθμένα. Την κατασκευή πολύπλοκων συστημάτων υποβοήθησης της λήψης αποφάσεων στον τομέα του τουριστικού σχεδιασμού αλλά και σε άλλους τομείς στους οποίους απαιτείται καλή γνώση των τοπικών συνθηκών και του χώρου γενικότερα (χωρικά συστήματα). Ή ακόμη την κατασκευή μοντέλων της λειτουργίας του ανθρώπινου εγκεφάλου και του τρόπου με τον οποίο κατανοεί το χώρο αλλά και ελέγχει τις κινήσεις των ματιών, της κεφαλής και των άνω άκρων με στόχο την υποστήριξη της έρευνας στον τομέα των νευροεπιστημών.

Η ελαχιστοποίηση των δυσμενών επιπτώσεων των μελλοντικών καταστροφών εξαρτάται από τον σωστό σχεδιασμό των μέτρων πρόληψης με βάση όσον το δυνατόν καλύτερα μοντέλα. Οι μαθηματικοί και οι άλλοι επιστήμονες του ΙΤΕ έχουν αναπτύξει την σχετική τεχνογνωσία και οι τοπικές και περιφερειακές αρχές δεν έχουν παρά να τους αξιοποιήσουν περισσότερα για να σχεδιάσουν με επιστημονικό τρόπο την βέλτιστη δυνατή προστασία των πολιτών από ατυχήματα και καταστροφές στο μέλλον.

Τα μοντέλα για τις πλημύρες από παλιρροϊκά κύματα (τσουνάμι) που χρησιμοποιήθηκαν για την οργάνωση της πρόσφατης άσκησης πολιτικής προστασίας της Περιφέρειας Κρήτης (άσκηση ΠΟΣΕΙΔΩΝ) διατέθηκαν από τον καθηγητή του Πολυτεχνείου Κρήτης κ. Κώστα Συνολάκη και δεν αναπτύχθηκαν πρωτογενώς από το Ινστιτούτο Υπολογιστικών Μαθηματικών του ΙΤΕ. Οι σχετικές προσομοιώσεις έγιναν σε συνεργασία με την ερευνητική ομάδα του κ. Συνολάκη.

                  

3. ΓΙΑΤΙ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΜΑΘΑΙΝΟΥΜΕ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Ζούμε σ' ένα κόσμο πρακτικών εφαρμογών και οι νέοι μαθαίνουν ή τουλάχιστον θέλουν να μάθουν εκείνες τις γνώσεις που μπορούν να χρησιμοποιούν. Αυτό σημαίνει ότι αποκτά αξία μέσα τους κάθε τι χειροπιαστό και όχι κάτι το αφηρημένο

Η κατάρα του αφηρημένου συνοδεύει τα μαθηματικά. Ωστόσο τα πράγματα δεν είναι έτσι. Τα μαθηματικά βρίσκονται παντού γύρω μας, μόνο που χρειάζεται κάποια προσπάθεια να τα ανακαλύψουμε.

Αυτό συμβαίνει για τους εξής κυρίως λόγους:
Ο ρόλος των μαθηματικών στο επιστημονικό στερέωμα ήταν ανέκαθεν βοηθητικός. Οι υπόλοιπες επιστήμες χρησιμοποιούν τα μαθηματικά για να λύσουν προβλήματα, με αποτέλεσμα η προσφορά των μαθηματικών να μην τονίζεται ιδιαίτερα. Μερικά παραδείγματα για του λόγου το αληθές.
Οι Αρχαίοι Αιγύπτιοι δεν θα μπορούσαν να ξαναβρούν τα όρια των χωραφιών τους μετά από κάθε πλημμύρα του Νείλου, αν δεν χρησιμοποιούσαν τη γεωμετρία, ούτε θα μπορούσαν να κτίσουν τις πυραμίδες, ούτε ποτέ ο Κολόμβος θα είχε ανακαλύψει την Αμερική αν δεν χρησιμοποιούσε τριγωνομετρία για να διαβάσει τ' αστέρια, ούτε ποτέ θα υπήρχε εναλλασσόμενο ρεύμα χωρίς μιγαδικούς αριθμούς, ούτε τα διαστημόπλοια θα είχαν φτάσει στον Αρη αν προηγουμένως δεν είχαν περιγραφεί λεπτομερώς οι τροχιές τους με μαθηματικές εξισώσεις. Ούτε φυσικά θα υπήρχαν υπολογιστές αν δεν υπήρχε το δυαδικό σύστημα αρίθμησης και η Αλγεβρα Boole, ούτε οι γιατροί θα μπορούσαν να προβλέψουν μια πιθανή καρδιακή προσβολή χωρίς τη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική (και πολλά ακόμα).Τα μαθηματικά είναι μια επιστήμη που δεν δημιουργεί πολύ φασαρία γύρω της. Δεν χρειάζεται εργαστήρια και ακριβά μηχανήματα, ούτε πειραματόζωα, ούτε κοστίζει πολύ η έρευνα. Χρειάζεται μόνο χαρτί, μολύβι, βιβλίο και ένα ανθρώπινο νου με αρκετή όρεξη. Η στενή σύνδεση των μαθηματικών με τη φιλοσοφία(μόνο στα τέλη του 18ου αιώνα τα μαθηματικά ως επιστήμη αποσπάστηκαν εντελώς) ειδικά στα θεωρητικά μαθηματικά, πολλές φορές αφήνει τον αναγνώστη μαθηματικών θεμάτων, άφωνο.

                  ΈΝΑ ΣΚΟΤΕΙΝΟ ΔΩΜΑΤΙΟ
             ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΔΕΙΟ

4.              ΣΚΟΠΟΙ ΚΑΙ ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ

       ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

             

Από τα πιο συνηθισμένα ερωτήματα που θέτουν οι μαθητές στους καθηγητές τους είναι «Γιατί μαθαίνουμε Μαθηματικά;» και «Πού θα μας χρησιμεύσουν;» Οι απαντήσεις που δίνονται συνήθως είναι «Επειδή είναι χρήσιμα» και «Σε όλους τους τομείς της ζωής», αντίστοιχα. Αν ρωτήσουμε, όμως, τους μαθητές, θα διαπιστώσουμε πως κανένας δεν έχει μείνει ικανοποιημένος με τις παραπάνω απαντήσεις. Πράγματι, θα μπορούσε να πει κάποιος πως τα Μαθηματικά δεν είναι και τόσο χρήσιμα, αφού οι περισσότεροι άνθρωποι χρειάζονται μόνο τις τέσσερις πράξεις για τους καθημερινούς λογαριασμούς και τους υπολογισμούς τους. Τότε, όμως, γιατί μαθαίνουμε όλα αυτά τα Μαθηματικά, τα οποία ελάχιστοι άνθρωποι χρησιμοποιούν στο επάγγελμά τους; Ποιοι είναι, άραγε, οι σκοποί και οι στόχοι της διδασκαλίας των Μαθηματικών;

1.Πρακτικοί σκοποί.
Στην κατηγορία αυτή περιλαμβάνονται οι σκοποί που αναφέρονται στην άμεση ή έμμεση χρησιμότητα που μπορούν να έχουν οι μέθοδοι, οι διαδικασίες και οι τεχνικές των Μαθηματικών για το ίδιο το άτομο και κατ' επέκταση για την κοινωνία. Οι πρακτικοί σκοποί της μαθηματικής εκπαίδευσης πραγματοποιούνται μέσω της υλοποίησης των ακόλουθων στόχων:

2.Μορφωτικοί σκοποί. 
Με τον όρο μορφωτικοί σκοποί, εννοούμε τους σκοπούς εκείνους της μαθηματικής εκπαίδευσης, οι οποίοι συμβάλλουν στο σχηματισμό ορισμένων στάσεων και δεξιοτήτων και στην ανάπτυξη κάποιων διανοητικών γνωρισμάτων. Οι μορφωτικοί σκοποί, μπορούν να επιτευχθούν με την πραγματοποίηση των εξής στόχων:
 Με την εκμάθηση και σωστή χρήση της αυστηρά δομημένης γλώσσας των Μαθηματικών, προκειμένου να αποκτήσουν οι μαθητές θετικές διανοητικές στάσεις ζωής, όπως ακρίβεια, σαφήνεια, πειθαρχεία, κ.ά

Οι μαθητές θα πρέπει, επίσης, να αποκτήσουν έναν επιστημονικό τρόπο σκέψης και αντιμετώπισης πραγματικών καταστάσεων, αναπτύσσοντας την κρίση τους, τη φαντασία, αλλά και την ικανότητα αξιολόγησης. Ο στόχος αυτός είναι δυνατόν να επιτευχθεί μέσω των διαδικασιών επίλυσης προβλημάτων, στις οποίες, όπως είδαμε, δίνει μεγάλη έμφαση η νέα μεταρρύθμιση της μαθηματικής εκπαίδευσης. Πράγματι, επιλύοντας προβλήματα, οι μαθητές εργάζονται πάνω σε μοντέλα, τα οποία αντικατοπτρίζουν πραγματικές προβληματικές καταστάσεις. Προσδιορίζουν το πρόβλημα, επιστρατεύουν πολλές διανοητικές λειτουργίες τους, όπως αυτές της μνήμης, της κρίσης, της φαντασίας, κ.ά., συνθέτουν ένα συλλογισμό επίλυσης, τον εφαρμόζουν, ελέγχουν τα αποτελέσματα και αξιολογούν την ορθότητά τους. Μέσω της επίλυσης προβλημάτων, λοιπόν, οι μαθητές μαθαίνουν έμμεσα να αντιμετωπίζουν πολλές από τις καθημερινές δυσκολίες, που θα συναντήσουν στο μέλλον.

3.Πολιτισμικοί σκοποί.

Στην κατηγορία αυτή συμπεριλαμβάνονται οι σκοποί εκείνοι που συμβάλλουν στην αναγνώριση της αξίας των Μαθηματικών ως διανοητικού, ηθικού, αισθητικού, πνευματικού και γενικά πολιτισμικού αγαθού. Οι στόχοι, μέσω των οποίων πραγματοποιούνται οι πολιτισμικοί σκοποί είναι οι ακόλουθοι:
· Οι μαθητές πρέπει να αποκτήσουν γνώση της ιστορικής εξέλιξης των Μαθηματικών, ώστε να συνειδητοποιήσουν την ευρύτητα και τη δυναμική τους, καθώς και το ρόλο που αυτά έχουν παίξει στη διαμόρφωση της κοινωνίας.· Είναι, τέλος, απαραίτητο, να δοθεί έμφαση στα μαθήματα της Γεωμετρίας, της Τριγωνομετρίας και της Στερεομετρίας, προκειμένου να αναγνωρίσουν τα παιδιά της ομορφιά, την αρμονία και τη συμμετρία των σχημάτων της φύσης.

 5.               Γιατί χρειάζονται τα Μαθηματικά

                    στην Αγορά και την Παραγωγή;

Οι μαθηματικές μέθοδοι ήταν ανέκαθεν σημαντικές στην ανάλυση των αγορών, της παραγωγής και γενικότερα της επιχειρηματικότητας. Η τάση ποσοτικοποιήσης που εντάθηκε στις αρχές του 20ου αιώνα πήρε εκρηκτικές διαστάσεις την δεκαετία του '70, και συνετέλεσε στην αναμόρφωση κλάδων όπως τα χρηματοοικονομικά, τα τραπεζικά και τα ασφαλιστικά θέματα. Κατά πολλούς, ήταν οι έντονα μαθηματικοποιημένες ανακαλύψεις των Markowitz, Sharpe, black, Scholes, Merton και παλαιότερα του bellman που συνετέλεσαν στην εξάπλωση νέων (παράγωγων) χρηματοοικονομικών προϊόντων, των εργαλείων διαχείρισης κινδύνου και αλματώδους αύξησης της αποτελεσματικότητας των παραγωγικών διαδικασιών.

Η παράλληλη διεύρυνση της χρήσης των υπολογιστών συνετέλεσε στην εκτεταμένη εφαρμογή των ποσοτικών μεθόδων: η αυξημένη υπολογιστική δύναμη επέτρεψε την συγκέντρωση στοιχείων καθώς και την υλοποίηση προχωρημένων μεθόδων αξιοποίησής των. Σε αυτή την κατηγορία εφαρμογής των μαθηματικών στον τομέα των αγορών , της παραγωγής , της επιχειρηματικότητας εντάσσονται τα :

α. Η Ποσοτική Ανάλυση / Επιχειρηματική Έρευνα για τη λήψη βέλτιστων Διοικητικών αποφάσεων. Μέσα στα πλαίσια της Ποιοτικής Ανάλυσης έχουμε διάφορες μοντελοποιημένες τεχνικές όπως ο Γραμμικός Προγραμματισμός και η μέθοδος Simplex που επιλύουν προβλήματα για την ελαχιστοποίηση ( π.χ του κόστους παραγωγής) ή την μεγιστοποίηση ( π.ψ του κέρδους ) κάτω από κάποιους γραμμικούς περιορισμούς.Επίσης η Ανάλυση Ευαισθησίας , Δίκτυα , Δέντρα Απόφασης , Ανάλυση Απόφασης.

              ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ 

 Εταιρεία παραγωγής αλουμινίου

Εταιρεία παραγωγής αλουμινίου διαθέτει στην αγορά τρεις διαφορετικές ποιότητες του προϊόντος Α, Β και Γ. Η παραγωγή τους γίνεται σε δύο εργοστάσια, καθένα εκ των οποίων έχει διαφορετική δυναμικότητα (τόνοι / ημέρα):

Αλουμίνιο	1	2
Α	6	2
Β	2	2
Γ	4	10

Αλλά και ημερήσιο λειτουργικό κόστος 6000 και 7000 χρηματικές μονάδες αντίστοιχα.

α. Προσδιορίστε το πλήθος των ημερών που πρέπει να λειτουργήσουν τα δύο εργοστάσιασε τρόπο  ώστε να εξασφαλίζεται η παράδοση τουλάχιστον 12 τόνων αλουμινίου τύπου Α, 8 τόνων τύπου Β και 5 τόνων τύπου Γ, με το μικρότερο συνολικό λειτουργικό κόστος.

β. Η λύση που βρέθηκε υπερκαλύπτει ή απλά καλύπτει την υπάρχουσα ζήτηση;

β. Στην Διοίκηση Λειτουργειών εφαρμόζονται λειτουργικές δραστηριότητες των επιχειρήσεων στη Βιομηχανία με σκοπό να βρεθούν μαθηματικοί τύποι ώστε να πραγματοποιηθούν Προβλέψεις ( Forecasting), Βραχυπρόθεσμος Πραγραμματισμός ( Sort-term Scheduling) , JTI Systems Just -in-time . Σκοπός είναι ο καλύτερος προγραμματισμός της μαζικής παραγωγής και η απομάκρυνση απωλειών σε ένα σύστημα παραγωγής.

γ. Τα Οικονομικά Μαθηματικά ( απλή και Σύνθετη Κεφαλοποίηση , Ανατοκισμός , Χρηματικές Ροές , Δάνεια , Ομολογίες - Χρηματιστήριο) για την ανάλυση και ερμηνεία οικονομικών καταστάσεων.

δ. Η Περιγραφική Στατιστική που σχετίζεται με συλλογή , ανάλυση , παρουσίαση και ερμημεία αριθμητικών δεδομένων. Προσφέρει πολλά στον τομέα πρόβλεψης και λήψης αποφάσεων, καθώς υπεισέρχεται στην εκτίμηση οικονομικών μεγεθών.

             
          6.  ΤΟ ΟΡΘΩΣ ΣΥΛΛΟΓΙΖΕΣΘΑΙ

Η «εκπαίδευση» συνιστά μια λίαν περίπλοκη διαδικασία. Δεν περιορίζεται στην απόκτηση γνώσεων, αλλά έχει στόχο να ασκήσει τον εκπαιδευόμενο στο πως πρέπει να σκέφτεται. Φαίνεται ότι επί δύο αιώνες (ή και περισσότερο) τα προβλήματα γεμίσματος δεξαμενών, τα προβλήματα κατασκευών, τα προβλήματα με τρίγωνα και οι μετασχηματισμοί τριγωνομετρικών τύπων υπηρέτησαν έναν ζωτικό σκοπό – προσέφεραν τροφή για το νου, συνέτειναν στην εμπέδωση της μεθοδικότητας και της ακρίβειας, δίδαξαν την τέχνη του συλλογίζεσθαι, την έρευνα για την αλήθεια, την υπερνίκηση των δυσχερειών, την αναζήτηση νέων δρόμων για την προσέγγιση κάποιου αντικειμενικού σκοπού και την επίτευξη αυτού του στόχου. Προσέφεραν τη χαρά που δοκιμάζει κανείς όταν επιτελέσει έναν άθλο, καθώς και μια αίσθηση ωραιότητας. Εν συντομία, διέπλασαν τη δημιουργικότητα. Με τι θα μπορούσαμε να τα αντικαταστήσουμε όλα τούτα; Και έχει νόημα να το πράξουμε;

Είναι απολύτως αναγκαίο να διατηρηθούν όλα αυτά τα στοιχεία δημιουργικότητας. Ο υλικός πολιτισμός μπορεί να αλλάξει, αλλά τούτα τα στοιχεία πρέπει να διατηρηθούν. Δεν υπάρχει άλλος τρόπος για να διδαχθεί το ορθώς συλλογίζεσθαι παρά με συγκεκριμένα «ειδικά» προβλήματα^. οι αρχές δεν αρκούν αφ’εαυτών.’’