O θαυμαστός κόσμος των μαθηματικών: ON LINE ΨΗΦΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΤΗΝ ΤΑΞΗ.

Εδώ θα παρουσιαστούν μαθήματα μαθηματικών για χρήση on line στην σχολική τάξη. Πρόκειται για ψηφιακή διδασκαλία μαθηματικών που περιέχει ρεαλιστικά προβλήματα , παιχνίδια , πειράματα , χρήση λογισμικών , σύνδεση με το ίντερνετ και ότι άλλο απαιτηθεί για τη διδασκαλία μιας συγκεκριμένης διδακτικής ενότητας.

Μάθημα 1

ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ.

1. Πρόβλημα.( Συζητάμε στην τάξη).

Η Ελένη πήγε στο σούπερ μάρκετ. Ήθελε ν' αγοράσει δύο τετράδια κι έναν χάρακα για το σχολείο της.Το κάθε τετράδιο κοστίζει από 3,5 ευρώ και ένa σετ με χάρακες 5 ευρώ.Πόσα ρέστα θα πάρει από ένα δεκάευρο που είχε μαζί της;

Τι παράξενο παρατηρείτε στη λύση του προβλήματος;
Τι απάντηση θα δίνατε; Ποιο είναι το τελικό αποτέλεσμα;

2. Παιχνίδι.

Α. Προσέξτε και λύστε τα παρακάτω προβλήματα :

Ο Νίκος και η Κατερίνα παίζουν ένα παιχνίδι. Στο πρώτο ο Νίκος κέρδισε με 18 πόντους την φίλη του. Στο δεύτερο έχασε με 23. Ποιος είναι ο νικητής και με πόσους πόντους διαφορά;

Ο Νίκος και η Κατερίνα παίζουν ένα παιχνίδι. Στο πρώτο ο Νίκος έχασε με 8 πόντους από την φίλη του. Στο δεύτερο έχασε πάλι με 11. Ποιος είναι ο νικητής και με πόσους πόντους διαφορά;

Β. Παίζουμε ένα παιχνίδι :
Χωριστείτε σε ομάδες δύο ατόμων. Ο καθένας ας βάλει παρόμοια προβλήματα στον άλλον. Αν απανταέι σωστά κερδίζει 10 βαθμούς αν όχι χάνει 5. Παίξτε αρκετές φορές καταγράφοντας τους βαθμούς.Νικητής αναδεικνύεται όποιος συγκεντρώσει το μεγαλύτερο σκορ.

3. Πρόβλημα

Ο Πέτρος βρίσκεται στο αυτοκίνητο του πατέρα του καθ’ οδόν για το σπίτι του. Ο πατέρας του ανοίγει το ραδιόφωνο και μετά βίας ακούν τα στατιστικά του αγώνα ΠΑΟΚ – ΑΡΗΣ που μεταδιδόταν Ο αγώνας μόλις είχε τελειώσει! : Ο Άρης έβαλε 2 ελεύθερες βολές λιγότερες από τον ΠΑΟΚ , 5 δίποντα περισσότερα και 3 τρίποντα λιγότερα. Ποιος νίκησε και με πόσους πόντους διαφορά;

4. Ο βάτραχος.

Για βοήθεια και διαπραγμάτευση ανοίξτε το παρακάτω αρχείο : Sketchpad : "Ο βάτραχος στο πηγάδι".

Ένας βάτραχος βρίσκεται εγκλωβισμένος στον πυθμένα ενός πηγαδιού. Θέλει να σκαρφαλώσει στον τοίχο του πηγαδιού για να βρεθεί στην επιφάνεια. Δεν του φτάνει όμως αυτό. Πρέπει να συνεχίσει την πορεία του σκαρφαλώνοντας τον τοίχο του βασιλικού κάστρου που βρίσκεται πάνω από το πηγάδι. Το δράμα του όμως είναι ότι τη μέρα καταφέρνει να ανεβεί 5 μέτρα από τα 18 που έχει το πηγάδι , τη νύχτα όμως αποκοιμιέται και πέφτει 2 μέτρα. Το κάστρο έχει ύψος 16 μέτρα. Μόλις φτάσει στο κάστρο θα ξεγλιστρήσει στο δωμάτιο της πριγκίπισσας. Αν καταφέρει να πάρει ένα φιλί θα μεταμορφωθεί στον πρίγκιπα που ήταν κάποτε πριν τον τιμωρήσει η κακιά μάγισσα.

Bρείτε τη θέση του βατράχου σε διάφορες στιγμές :

Χρονική στιγμή	Πράξη	Αποτέλεσμα
1^ο σούρουπο
1^ο πρωί
2^ο σούρουπο
2^ο πρωί
3^ο σούρουπο
3^ο πρωί

5. Video. Συζητάμε στη τάξη.

Προσέξτε τα παρακάτω video.Ποιο τρόπο χειρισμού για τις προσθέσεις ρητών αριθμών προτείνουν;

6. Sketchpad.Συζητάμε στην τάξη.
Ανοίξτε το παρακάτω αρχείο και μελετήστε την εξουδετέρωση των φορτίων.Ποιον κανόνα για την πρόσθεση ρητών προτείνει;
Sketchpad : "Εξουδετέρωση φορτίων".

7. To θερμόμετρο.

Με τη βοήθεια του παρακάτω θεμομέτρου να υπολογίσετε τα αθροίσματα :

-3 + 4 = -3 + 8 = -3 + 2=

-3 + 6 = -3 + 3 = -3 + 1 =

Μάθημα 2

ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ.

1. Σχεδιάζω στο πρόχειρο και μετρώ!

Στο πρόχειρο τετράδιό σας σχεδιάστε 2 οξυγώνια , 2 αμβλυγώνια και 2 ορθογώνια τρίγωνα. Μετρήστε τις γωνίες του κάθε τριγώνου με μοιρογνωμόνιο.Υπολογίστε το άθροισμα των γωνιών του και συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα :

	Οξυγώνιο τρίγωνο	Ορθογώνιο τρίγωνο	Αμβλυγώνιο τρίγωνο
Α
Β
Α + Β + Γ

Τι παρατηρείτε;

2. Διερευνώντας στο Geogebra.

Ανοίξτε ένα αρχείο Geogebra.

Βήμα 1 : Σχηματίστε ένα τρίγωνο ΑΒΓ.

Βήμα 2 : Μετρήστε τις γωνίες του

Βήμα 3 : Υπολογίστε το άθροιμα Α+Β+Γ.

Βήμα 4 : Μετακινήστε τις κορυφές του τριγώνου σε διαφορετικές θέσεις και καταγράψτε τις νέες γωνίες Α, Β,Γ καθώς και το άθροισμα Α+Β+Γ.

Α	Β	Γ	Α + Β + Γ

Τι παρατηρείτε;

3. Video.Συζητάμε στην τάξη.

Πρoσέξτε την πειραματική απόδειξη για το άθροισμα των γωνιών τριγώνου στο παρακάτω video.Περιγράψτε τι ακριβώς έγινε και με ποιον τρόπο αποδείχτηκε.

4. Κατασκευή 1.

Υλικά

Ένα λευκό φύλλο χαρτιού.

Ένα στυλό.

Ένας χάρακας

Ένα ψαλίδι.

Ένα ζιλοτέιπ.

Α. Σ΄ ένα φύλλο χαρτί σχεδιάστε ένα τρίγωνο ΑΒΓ. Ονοματίστε στο εσωτερικό του τις γωνίες του με αριθμούς 1 , 2 , 3. Κόψτε μ΄ένα ψαλίδι το τρίγωνο γύρω-γύρω.

Β. Κόψτε τις τρεις γωνίες (1) , ( 2) , (3)

Κολλήστε τις με ζιλοτέιπ στον παρακάτω κενό χώρο κατά τρόπο ώστε να είναι διαδοχικές.

Γ. Τι γωνία σχηματίζουν και οι τρεις μαζί; :

Ποια είναι η τιμή του αθροίσματος : A + B + Γ

5. Κατασκευή 2

Υλικά

Πρόχειρο τετράδιο
Ριζόχαρτο ( λεπτό , διαφανές χαρτί ιχνογραφίας).
Μολύβι.

Α. Στο πρόχειρό σας τετράδιο σχεδιάστε ένα τρίγωνο ΑΒΓ.

Β. Με το διαφανές χαρτί ( ριζόχαρτο) που σας έδωσα ζωγραφίστε ( παρτιτούρα) τις τρεις γωνίες του. Μεταφέρετε στη συνέχεια τις γωνίες στην ευθεία γωνία xx΄ του παρακάτω σχήματος έτσι ώστε να έχουν κοινή αρχή το σημείο Ο και να είναι διαδοχικές.

Γ. Τι παρατηρείτε ;

Μάθημα 3

Όμοια τρίγωνα.

1. Κατασκευή

Υλικά

Κόλλες Α4
Ζιλοτέιπ
Μοιρογνωμόνιο
Φωτοτυπικό μηχάνημα του σχολείου.

Βήμα 1 : Σε ένα χαρττί Α4 σχεδιάστε ένα τρίγωνο ΑΒΓ.

Βήμα 2 : Πηγαίνετε στο φωτοτυπικό μηχάνημα του σχολείου σας και βγάλετε φωτοτυπίες του σχήματος με σμίκρυνση : 93% , 71% , 50% και 25%.

Βήμα 3 : Κολλήστε με ζιλοτέιπ τις φωτοτυπίες στον πίνακα της τάξης.

Βήμα 4 : Μετρήστε με ένα μοιρογνωμόνιο τις γωνίες όλων των τριγώνων. Τι παρατηρείτε;

Βήμα 5 : Μετρήστε τις πλευρές των τριγώνων. Βρείτε για κάθε ζευγάρι τριγώνων τους λόγους των πλευρών του. Τι παρατηρείτε;Τι σχέση έχει ο λόγος ομοιότητας με τα ποσοστά σμίκρυνσης που έκανε το φωτοτυπικό μηχάνημα;

2. Ιστορικά προβλήματα στα όμοια τρίγωνα.

Δραστηριότητα 1

Δραστηριότητα 2

Σε συνεργασία με τον καθηγητή τεχνολογίας δημιουργούμε παρόμοιες μακέτες για την αναπαράσταση των ιστορικών αυτών μεθόδων υπολογισμού.

Δραστηριότητα 3

Πως ο Θαλής υπολόγισε το ύψος της πυραμίδας;

3. Διαβάζοντας από το " Θεώρημα του παπαγάλου" του Ντενί Γκετζ. (Μαθηματική Λογοτεχνία).

Απόσπασμα 1

" Ο Θαλής συνέλαβε λοιπόν την ιδέα : η σχέση που έχω με τη σκιά μου , είναι η ίδια με αυτήν που έχει η πυραμίδα με τη δική της σκιά.Στη συνέχεια συμπέρανε : Τη στιγμή που η σκιά μου θα είναι ίση με το ύψος μου , η σκιά της πυραμίδας θα είναι ίση με το δικό της ύψος.Ιδού η Ιδέα. Για το εγχείρημα αυτό χρειαζόταν έναν βοηθό.Ο φελάχος δέχτηκε να βοηθήσει.Την άλλη μέρα ο φελάχος κάθισε κάτω από τη τεράστια σκιά της πυραμίδας.Ο Θαλής σχεδιάσε στην άμμο έναν κύκλο ίσο με το ύψος του και τοποθετήθηκε στο κέντρο και κορδώθηκε ώστε να είναι εντελώς ίσιος.Ύστερα κάρφωσε το βλέμμα του στην άκρη της σκιάς του.Μόλις η σκιά άγγιξε την άκρη του κύκλου , δηλαδή τη στιγμή που η σκιά του έγινε ίση με το ύψος του άφησε την προκαθορισμένη συνθηματική φωνή.Ο φελάχος που παραμόνευε έσπευσε να φυτέψει ένα πάσσαλο στο σημείο που έφτανε η άκρη της σκιάς της πυραμίδας.Ο Θαλής έτρεξε προς τον πάσσαλο.Με ένα τεντωμένο σχοινί από τη βάση της πυραμίδας μέχρι τον πάσσαλο μέτρησαν τη σκιά της πυραμίδας άρα και το ύψος της!

Ο Θαλης έβαλε σε εφαρμογή ένα μεγαλοφυιές σχέδιο : Αφού δεν μπορώ να μετρήσω το ύψος που χάνεται στους ουρανούς , θα μετρήσω τη σκιά που είναι πεσμένη στο έδαφος. Με το "μικρό" θα μετρήσω το " μεγάλο" , με το "προσιτό " το "απρόσιτο" , με το " κοντινό" το " μακρινό".

Απόσπασμα 2

"Τους τύπους πρέπει να τους κάνεις να μιλάνε .Αν θέλεις να μάθεις τι κρύβουν ανέκρινέ τους. Ο τύπος της ομοιότητας του Θαλή τι θέλει να μας πει; Πίσω από την ομοιότητα υπάρχει η ΜΟΡΦΗ. Όλα τα όμοια αντικείμενα έχουν την ίδια μορφή σε διαφορετικό μέγεθος. Διατήρηση των αναλογιών (ίσων λόγων) σημαίνει διατήρηση της μορφής. Θα μπορούσαμε να πούμε ότι αν διατηρήσουμε ίσες τις αναλογίες και αλλάξουμε τις διαστάσεις αυτό που διατηρείται είναι η μορφή, υπάρχει τότε η ομοιότητα. Ο Θαλής ανέπτυξε ένα από τα κοσμήματα των ελληνικών μαθηματικών την επιστήμη των αναλογιών".

Αφορμές για συζήτηση

α. Ποιο ήταν το σχέδιο για τον υπολογισμό του ύψους της πυραμίδας από τον Θαλή;

β. Τι σημαίνει η έκφραση;:

"Αφού δεν μπορώ να μετρήσω το ύψος που χάνεται στους ουρανούς , θα μετρήσω τη σκιά που είναι πεσμένη στο έδαφος";

γ. Τι σημαίνει η έκφραση : "Διατήρηση των αναλογιών (ίσων λόγων) σημαίνει διατήρηση της μορφής".;

4. Βιογραφία του Θαλή και video..

Μπείτε στο http://mathmosxos.blogspot.gr/2011/01/blog-post.html και βρείτε το αρχείο σε Power Point όνομα : "Θαλής Μιλήσιος" για να δείτε ενδιαφέροντα βιογραφία του ανθρώπου που καταγράφεται ως ο πρώτος μαθηματικός στην ιστορία τους.

Στην ίδια σελίδα βρείτε ένα ενδιφέρον video με τα προβλήματα που απασχόλησαν το Θαλή.

5. Μεταφορά προβλήματος στην πραγματικότητα.

Δραστηριότητα 1

Κατασκευή υψομετρητή

Υλικά

Ένα χαρτόνι

Χαρτί μιλιμετρέ

Κλωστή

Κουμπί

Πινέζα ή καρφί

Καλαμάκι

Να κατασκευάσετε τον παρακάτω υψομετρητή :

Δραστηριότητα 2

Κρατάμε τον υψομετρητή με τέτοιο τρόπο ώστε μέσα από το καλαμάκι να βλέπουμε την κορυφή της σημαίας.

Τα τρίγωνα ΔΕΖ και ΑΒΓ είναι όμοια γιατί :

Άρα έχουν τις πλευρές ……………………………………………

Δηλαδή :

Πως μπορούμε να βρούμε το ύψος της σημαίας;

6. Geogebra.

Μπείτε στο : Διδακτικό υλικό μαθηματικών και επιλέξτε το αρχείο :

Όμοια τρίγωνα.

Μελετήστε την ισότητα των γωνιών και την αναλογία των πλευρών ομοίων τριγώνων με τη βοήθεια της διεύρυνσης στο λογισμικό.

7. Αρχεία σε Sketchpad.

Μπείτε στο : Διδακτικό υλικό μαθηματικών και επιλέξτε τα αρχεία :

α. Ύψος δέντρου με όμοια τρίγωνα.
β.Ύψος στύλου στο μεσαίωνα.
γ. Πλάτος λίμνης.

Μελετήστε τα ιστορικά θέματα με τη βοήθεια της θεωρίας των ομοίων τριγώνων.

Μάθημα 4

Εφαπτομένη γωνίας.

1. Ιστορικά στοιχεία τριγωνομετρίας.

Πηγαίνετε στο http://mathmosxos.blogspot.gr/2011/01/blog-post.html και επιλέξτε το αρχείο Power Point : "Ιστορικά στοιχεία τριγωνομετρίας" , για να βρείτε μερικά εισαγωγικά στοιχεία για την αναγκαιότητα εισαγωγής της τριγωνομετρίας , τα προβλήματα που ήρθε να επιλύσει και την ιστορική της εξέλιξη στο διάβα των αιώνων.

2. Video.Συζητάμε στην τάξη.

Παρακολουθείστε το παρακάτω video : "Μαθηματικά ναυσιπλοϊα".

Αφορμές για συζήτηση ( με τη βοήθεια του αρχείου Power Point και του video).

α. Με αφορφή ποιων αναγκών γεννήθηκε η τριγωνομετρία;

β. Ποια η σχέση της τριγωνομετρίας με την ναυσιπλοϊα και την αστρονομία;

γ. Τι ήταν η σφαιρική τριγωνομετρία;

δ. Τι ήταν οι αστρολάβοι;

ε. Τι αξιοθαύμαστο είχε ο μηχανισμός Αντικυθήρων;

2. Sketchpad και ιστορικά μαθηματικά προβλήματα.

Μπείτε στο Διδακτικό υλικό μαθηματικών και επιλέξτε τα αρχεία :

α. Ύψος δέντρου.

β. Υπολογισμός ύψους κτιρίου.

Μελετήστε τα ιστορικά αυτά προβλήματα με τη βοήθεια της εφαπτομένης.

3. Μεταφορά προβλήματος στην πραγματικότητα

Υπολογισμός του ύψους του σχολείου μας.

Κατασκευή γωνιόμετρου.

Υλικά

Ένα ορθογώνιο χαρτόνι.

Μια φωτοτυπία ενός μοιρογνωμονίου.

Ένα νήμα.

Ένα κουμπί.

Σχεδιάστε ένα γωνιόμετρο όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα :

Αρχικά χρειαζόμαστε ένα κομμάτι χαρτόνι σε σχήμα ορθογωνίου παραλληλογράμμου.΄Μετά φωτοτυπούμε ένα μοιρογνωμόνιο σε μεγένθυση 171%.Κόβουμε την φωτοτυπία του μοιρογνωμονίου στη μέση από 0 - 90 μοίρες.Στη συνέχεια κολλάμε το μέρος της φωτοτυπίας στην πάνω αριστερή γωνία του χαρτονιού , όπως φαίνεται στο προηγούμενο σχήμα.Κολλάμε στην άκρη μια κλωστή και στην άλλη της άκρη δένουμε ένα κουμπί , το οποίο λειτουργεί ως βαρίδιο.

Βγαίνουμε στο προαύλιο του σχολείου. Η κάθε ομάδα αποτελείται από 3 άτομα.

1. Χειριστής γωνιομέτρου.
2. Κατραγραφέας.
3. Μετρητής.

Ο χειριστής στέκεται ακίνητος σε μια θέση και στοχεύει την κορυφή του κτιρίου.Ο καταγραφέας καταγράφει την γωνία που υποδεικνύει το νήμα.Ο μετρητής με τη βοήθεια του καταγραφέα μετρούν την οριζόντια απόσταση από το σημείο που στέκεται ο χειριστής μέχρι τη βάση του σχολείου.

Καταγράψτε τις μετρήσεις που κάνατε στο προαύλιο της τάξης.

Απόσταση από τη βάση του σχολείου	Γωνία ύψους

Σχεδιάστε ένα πρόχειρο σχήμα με το σχολείο τη θέση που σταθήκατε και με τα δεδομένα που μετρήσατε , υπολογίστε το ύψος του σχολείου σας.

4. Ιστορική αναφορά.
Ο τετράντας του Ίππαρχου.

Η κατασκευή του γωνιόμετρου που κάναμε προηγουμένως στηρίζεται στον περίφημαο "Τετράντα του Ίππαρχου" ,που βέβαια είχε πολλές χρήσεις στην αστρονομία κια τη γεωγραφία.Παρακάτω βλέπουμε μερικά στοιχεία από το κείμενο του κ. Κοτσανά που έχει λειτουργικές αναπαράστεις πολλών αρχαιοελληνικών εφευρέσεων της ελληνιστικής εποχής.

5. Κατασκευή τυπολογίου στο Excel.

Τυπολόγια πού μπορούν να υπολογίζουν τις τετραγωνικές ρίζες θετικών ακεραίων αριθμών ,τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μιας γωνίας κ.α , μπορούμε να κατασκευάσουμε στο Excel. Η μία στήλη περιέχει τα ορίσματα και η άλλη την μαθηματική συνάρτηση χρησιμοποιώντας εντολές όπως sin( RADIANS(A4)) ή tan( RADIANS(A4)) κ.α

.Ανοίξτε ένα αρχείο Excel κια δημιουργείστε ένα τυπολόγιο που να δίνει την εφαπτομένη μιας γωνίας από 0 - 89 μοίρες

X	ημ(x)	συν(x)	εφ(x)
0	0	1	0
1	0,017452	0,999848	0,017455
2	0,034899	0,999391	0,034921
3	0,052336	0,99863	0,052408
4	0,069756	0,997564	0,069927
5	0,087156	0,996195	0,087489
6	0,104528	0,994522	0,105104
7	0,121869	0,992546	0,122785
8	0,139173	0,990268	0,140541
9	0,156434	0,987688	0,158384
10	0,173648	0,984808	0,176327

Πιο απλή είναι η κατασκευή τυπολογίων με χρήση μεταβολέα κύλισης ,γιατί απαιτεί μόνο δύο κελιά. Από την Προβολή – Γραμμές εργαλείων – Φόρμες επιλέγουμε τη Γραμμή κύλισης από το κινούμενο εικονίδιο που βγαίνει στη οθόνη. Εμφανίζεται τότε ένα αντικείμενο .

Σε κάποιο διπλανό κελί γράφουμε τον αριθμό 1.Με δεξί κλικ πάνω στο αντικείμενο της γραμμής κύλισης επιλέγουμε την : Μορφοποίηση στοιχείου ελέγχου. Εκεί καθορίζουμε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή , τη προσαύξηση καθώς και τη Σύνδεση κελιού. Συνδέουμε τη γραμμή κύλισης ,με το κελί στο οποίο γράψαμε τον αριθμό 1.Παρατηρούμε τότε ότι καθώς πατάμε τα βελάκια πάνω κάτω στη γραμμή κύλισης ο αριθμός στο διπλανό κελί αλλάζει τιμή με προσαύξηση όση καθορίσαμε στη μορφοποίηση.Σε διπλανό κελί πληκτρολογούμε την εντολή πχ =tan( RADIANS(A4)) αν θέλουμε να υπολογίζουμε την εφαπτομένη μκιας γωνίας. Α4 είναι το κελί που έχει τον αρχικό αριθμό 1.Τότε κάθε φορά που πατάμε το βελάκι στη γραμμή κύλισης αλλάζει ο αριθμός στο κελί Α4 αλλά και η ένδειξη της εφαπτομένης στο διπλανό κελί. Έτσι με δύο κελιά και μια γραμμή κύλισης έχουμε ένα γρήγορο τυπολόγιο με κίνηση.

Δημιουργείστε με αυτόν τον τρόπο ένα τυπολόγιο με τις εφαπτομένες γωνιών , χρησιμοποιώντας μόνο δύο κελιά του Excel.

Μάθημα 5

Εμβαδόν κύκλου.

1. Ανοίξτε το παρακάτω αρχείο Power Point :

Απόδειξη τύπου εμβαδού και υπολογισμός του σε κυκλικά σχήματα της πραγματικότητας.

2. Παρακολουθήστε το παρακάτω video.

Πως δικαιολογείται ο τύπος του εμβαδού ενό κύκλου;

3. Kατασκευή

Υιλικά

Ένα φύλλο χαρτί.
Ένας διαβήτης.
Ένας χάρακας.
Ένα ψαλίδι.

Βήμα 1ο :Σε ένα φύλλο χαρτί σχεδιάστε ένα κύκλο με τη βοήθεια ενός διαβήτη.

Βήμα 2ο : Σχεδιάστε με έναν χάρακα 2 κάθετες διαμέτρους του κύκλου.

Βήμα 3ο : Φέρτε άλλες δύο διαμέτρους που διχοτομούν τα τεταρτοκύκλια.

Βήμα 4ο : Κόψτε με το ψαλίδι τους 8 κυκλικούς τομείς που
σχηματίστηκαν.

Βήμα 5ο : Τοποθετήστε στο θρανίο σας τους κυκλικούς τομείς όπως δείχνει η παρακάτω εικόνα :

Βήμα 5ο : Λαμβάνοντας υπόψιν το αρχείο Power Point και το παραπάνω video που είδαμε πως μπορούμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν ενός κύκλου;

4. Μέθοδος Αρχιμήδη.

Ας δούμε στο παρακάτω φύλλο εργασίας την μέθοδο του Αρχιμήδη για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός κύκλου.

Μέθοδος Αρχιμήδη

5. Αρχείο Sketchpad.

Μέθοδος Αρχιμήδη.

6. Power Point

Ιστορικό μαθηματικό πρόβλημα από τους Αρχαίους Αιγυπτίους.

Με βάση αυτό συζητάμε στην τάξη :

α. Ποια προσεγγιστική τιμή έδιναν στον αριθμό π πο αρχαίοι Αιγύπτιοι;

β. Διαβάστε το ιστορικό σημείωμα στη σελίδα 189 του βιβλίου σας και μελετήστε ιστορικά τις προσεγγίσεις που έδιναν στον αριθμό π οι επιστήμονες.

γ. · Τι το περίεργο κρύβει το παρακάτω ποίημα;

«Αεί ο Θεός ο μέγας γεωμετρεί
το κύκλου μήκος ίνα ορίση διαμέτρω
παρήγαγεν αριθμόν απέραντον
και ον φευ! ουδέποτε όλον θνητοί θα εύρωσι».

( Υπόδειξη : Ο αριθμός των γραμμάτων κάθε λέξης

αντιστοιχεί διαδοχικά με ένα ψηφίο του αριθμού π).

δ. Ποια συμβολή έχει ο Η/Υ στον υπολογισμό του π;

7. Ιστορικά στοιχεία για τον αριθμό π.

Συνδεόμαστε με το ιστολόγιό μου στην ανάρτηση : ΛΙΓΗ ΙΣΤΟΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ και βρίσκουμε ιστορικά στοιχεία για τον αριθμό π.

8. Power Point

Παραδείγματα υπολογισμού του εμβαδού κύκλου.

Μάθημα 6

Δραστηριότητες στα ποσοστά.

1. Γεωμετρικό μοντέλο.

Α. Να βρείτε το 8% του 400.Αξιοποιήστε το παρακάτω τετράγωνο

4	4	4	4	4	4	4	4	4	4
4	4	4	4	4	4	4	4	4	4
4	4	4	4	4	4	4	4	4	4
4	4	4	4	4	4	4	4	4	4
4	4	4	4	4	4	4	4	4	4
4	4	4	4	4	4	4	4	4	4
4	4	4	4	4	4	4	4	4	4
4	4	4	4	4	4	4	4	4	4
4	4	4	4	4	4	4	4	4	4
4	4	4	4	4	4	4	4	4	4

Το ένα τετραγωνάκι οπτικοποιεί το 1% και αντιστοιχεί στον αριθμό

Το 85 οπτικοποιείται με τα 8 χρωματισμένα τετραγωνάκια άρα ισούται με

Β. Το 8% ενός αριθμού είναι 32.Ποιος είναι ο αριθμός;

4	4	4	4	4	4	4	4

Το ένα τετραγωνάκι (1%) ισούται με

Όλος ο αριθμός ισούται με

Γ. Χρησιμοποιήστε τα παρακάτω ορθογώνια για να βρείτε :

Το 12% του 300

Το 23% του 550

2. Ποσοστό - Λόγος - κλάσμα.

Δραστηριότητα 1

Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα :

Ποσοστό	Λόγος	Κλάσμα	Δεκαδικός
30%
	5 στα 100
			0,15

2,4%

Δραστηριότητα 2

Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα :

Ποσοστό	1200	850	2500
30%
		150
			1000

3. Δρατηριότητες

Δρατηριότητα 1

Στον παρακάτω πίνακα φαίνονται το σύνολο των πολιτών στα χωριά Α,Β,Γ,Δ και οι ψήφοι που πήραν οι αντίστοιχοι πρόεδροι που εκλέχτηκαν στις εκλογές τοπικής αυτοδιοίκησης σε μια κοινότητα. Να συμπληρώσετε τον πίνακα με τα ποσοστά κάθε προέδρου.

Υποψήφιοι	Ψηφίσαντες	Ψήφοι του εκλεγμένου προέδρου	Ποσοστό Εκλογής κάθε προέδρου
Α	585	354
Β	3460	1802
Γ	456	312
Δ	1295	823

Δρατηριότητα 2

Η κατανομή του πληθυσμού της Ελλάδας κατά την απογραφή του 1981 , φαίνε στον παρακάτω πίνακα. Να τον συμπληρώσετε.

	%	Πληθυσμός
Αστικός	58
Ημιαστικός
Αγροτικός	30
ΣΥΝΟΛΟ		9.600.000

Δρατηριότητα 3

Σ’ ένα αθλητικό σύλλογο είναι γραμμένοι 64 αθλητές. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα:

	Αριθμός αθλητών	%
Ποδόσφαιρο	14
Στίβος	10
Μπάσκετ	16
Βόλεϊ

Δραστηριότητα 4

Ο παρακάτω πίνακας περιγράφει τα αποτελέσματα μια έρευνας που καταγράφει τα ποσοστά του πλαστικού που απορρίπτεται , καίγεται ή ανακυκλώνεται κατά διάρκεια ενός έτους στην Ολλανδία. Να συμπληρώσετε τον πίνακα:

	Τόνοι πλαστικού	%
Απορρίπτεται		74
Καίγεται	209
Ανακυκλώνεται.
ΣΥΝΟΛΟ	4560

4. Πείραμα

Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα στην διάρκεια μιας εβδομάδας. Μετρήστε τον αριθμό των ωρών που αντιστοιχούν σε κάθε δραστηριότητα σας ανά ημέρα της εβδομάδας.

	Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
Διάβασμα
Αθλητισμός
Παρέα με φίλους
τηλεόραση
έξοδος
ύπνος
Υπόλοιπος χρόνος

Στο τέλος της εβδομάδας μετρήστε το συνολικό χρόνο σε κάθε δραστηριότητα και υπολογίστε το ποσοστό του χρόνου που ξοδεύεται σε κάθε δραστηριότητα. Αν κάποια δραστηριότητα που θεωρείται χρήσιμη για τη υγεία ή την ανάπτυξή σας εμφανίζει μικρό ποσοστό ή αντίστροφα μια μη χρήσιμη ενασχόληση σας απασχολεί μεγάλο ποσοστό τότε κάτι πρέπει να διορθώσετε στις συνήθειες σας.

	Ώρες την εβδομάδα	Ποσοστό
Διάβασμα
Αθλητισμός
Παρέα με φίλους
Τηλεόραση
Έξοδος
Ύπνος
Υπόλοιπος χρόνος

Παρόμοια δραστηριότητα αφορά τον υπολογισμό του ποσοστού διαφορών ειδών διατροφής ( όσπρια , λαχανικά , κρέας , αλλαντικά , ζυμαρικά , fast food κλπ) στο εβδομαδιαίο τραπέζι.

5. Απόκομμα εφημερίδας.

Το παρακάτω απόσπασμα είναι παρμένο από ημερήσια εφημερίδα.

«Η ανεργία στην Ελλάδα αυξήθηκε το

τελευταίο τρίμηνο από 17% στο 21%.

Από αυτούς ένα ποσοστό 64,7%

ήταν καπνιστές το προηγούμενο τρίμηνο.

Έρευνα έδειξε ότι το ποσοστό αυτό μειώθηκε στο

46,3% του συνόλου των ανέργων στον τελευταίο μήνα»

Αφού το μελετήσετε προσεκτικά επεξεργαστείτε τα παρακάτω ζητήματα :

Αν θεωρήσουμε τον πληθυσμό της Ελλάδας περίπου 11.000.000

Α) πόσοι ήταν οι άνεργοι το προηγούμενο τρίμηνο και πόσοι τώρα;

Β) πόσοι άνεργοι καπνιστές υπήρχαν το προηγούμενο τρίμηνο και πόσοι σήμερα;

Γ) πόσοι άνεργοι σταμάτησαν το κάπνισμα το τελευταίο τρίμηνο;

Δ) Η μείωση αυτή των καπνιστών – ανέργων νομίζετε ότι οφείλετε στην συνειδητοποίηση από μέρους τους των σοβαρών κινδύνων του καπνίσματος στην ανθρώπινη υγεία ή υπάρχουν άλλοι λόγοι;

Ε) Μπορούμε να συμπεράνουμε ότι αυτή η σημαντική μείωση καπνιστών αντανακλά μια γενικότερη τάση όλου του πληθυσμού;

ΣΤ) Τι ποσοστό του συνολικού πληθυσμού είναι οι μη-καπνιστές άνεργοι σήμερα;

Ζ) Ποιο ποσοστό του συνολικού πληθυσμού ήταν οι άνεργοι καπνιστές το προηγούμενο τρίμηνο και ποιο είναι σήμερα;

6. Πρόβλημα πραγματικής κατάστασης.

Μια οικογένεια αποτελείται από τον πατέρα , τη μητέρα και τα δύο αδέρφια. Αποφασίζουν να πάνε το καλοκαίρι εκδρομή στην Πάρο. Ψάχνοντας στο διαδίκτυο βρίσκουν μια διαφημιστική καταχώρηση του ξενοδοχείου «ΠΑΡΟΣ» το οποίο βρίσκεται σε καλή και εύκολη τοποθεσία. Η καταχώρηση φαίνεται παρακάτω:

ΞΕΝΟΔΟΧΕΙΟ : «ΠΑΡΟΣ»

Οι τιμές μας είναι οι καλύτερες της αγοράς. Επωφεληθείτε τώρα !

Τιμή ανά άτομο ανά βραδιά σάουνα ανά βραδιά σκύλος internet

8 ευρώ 6 ευρώ 7 ευρώ 4 ευρώ.

Στο πρώτο παιδί γίνεται έκπτωση 10% ανά βραδιά.

Στο δεύτερο παιδί 20% έκπτωση.

Στο τρίτο παιδί 30%.

Από τέσσερα και πάνω δωρεάν.

Το διάστημα από 20/8 έως 31/10 γίνεται συνολική έκπτωση κατά 18%.

Η οικογένεια αποφασίζει τελικά να προτιμήσει το συγκεκριμένο ξενοδοχείο. Θα μεταβεί στην Πάρο το πρωί της 14 Αυγούστου και θα αναχωρήσει το μεσημέρι της 25/8. Θα κάνει χρήσει μόνο του διαδικτύου όλες τις μέρες διαμονής της. Ποιο είναι ο κόστος διαμονής τους στο ξενοδοχείο για το συγκεκριμένο διάστημα;

7. Ποσοστά και καταπολέμηση του ρατσισμού.

Τα παρακάτω στοιχεία δείχνουν τον τρόπο καταμερισμού της γης μεταξύ λευκών και μαύρων στη Νότιο Αφρική το 1981. η χώρα αυτή έχει έκταση 1.223.410 τ.χιλ.

	Εκατομμύρια κάτοικοι	Ποσοστό % γης
Μαύροι	18	13
Λευκοί	4	87

Α. Σε πόσα τετραγωνικά χιλιόμετρα ζούσαν οι μαύροι κάτοικοι της νότιας Αφρικής και σε πόσα οι λευκοί ;

	Εκατομμύρια κάτοικοι	Τετραγωνικά χιλιόμετρα
Μαύροι	18
Λευκοί	4

Β. Ποιο ποσοστό του πληθυσμού της χώρας αποτελεί το λευκό και ποιο ποσοστό το μαύρο στοιχείο.

	Ποσοστό % πληθυσμού	Ποσοστό % γης
Μαύροι		13
Λευκοί		87

Γ. Με βάση τα προηγούμενα ερωτήματα και γνωρίζοντας το σκληρό καθεστώς απαρτχάιντ που επικρατούσε εκείνη την εποχή στην Νότιο Αφρική προβληματιστείτε αναφορικά με το συμπέρασμα που βγαίνει από την κατανομή του πληθυσμού σε σχέση με την έκταση που καταλαμβάνει κάθε ομάδα πληθυσμού;

Δ. Ποια θα ήταν η ορθολογικότερη κατανομή της γης ανά ομάδα με βάση τον πληθυσμό τους;

	Ποσοστό % πληθυσμού	Υποθετική ορθολογική κατανομή ποσοστού % γης
Μαύροι
Λευκοί

7 Ποσοστά και άλγεβρα

Σκεφτείτε και απαντήστε:

Α. Ένα ποσό Χ είναι το 10% του Υ .Το Υ είναι τα ……. % του Χ.

Β. Ο Νίκος υπολογίζει την τελική τιμή με Φ.Π.Α 23% ενός ποσού α χωρίς τον φόρο με τον πολλαπλασιασμό : 1,23 ∙ α. Επίσης την τελική τιμή με έκπτωση 30% ενός ποσού α με τον πολλαπλασιασμό 0,7 ∙ α. Έχει δίκιο;

Γ. Η Μαρία πήρε πέρυσι αύξηση στο μισθό της 10%. Φέτος όμως της ανακοινώθηκε ότι θα έχει μείωση κατά 10%. Δεν πειράζει , σκέφτηκε η Μαρία ,ήρθα στα λεφτά που έπαιρνα πρόπερσι; Είχε δίκιο;

Δ. Ο Νίκος πήρε πέρυσι αύξηση 12% στην δουλειά του και φέτος επιπλέον αύξηση 8%. Η συνολική αύξηση στα δύο χρόνια είναι 20%;

Ε. Ένα προϊόν πωλείται 150 ευρώ. Στην τιμή δεν συμπεριλαμβάνεται ο Φ.Π.Α 23%. Στην περίοδο εκπτώσεων γίνεται έκπτωση 30% στην τιμή του. Ο υπάλληλος του καταστήματος ισχυρίζεται ότι αν υπολογίσει πρώτα την τιμή με Φ.Π.Α και μετά κάνει την έκπτωση ή πρώτα κάνει έκπτωση στα 150 ευρώ και μετά υπολογίσει τον Φ.Π.Α το αποτέλεσμα είναι ίδιο. Έχει δίκιο;

8. Ποσοστά και γεωμετρία

1. Ο Γιάννης θέλει να φυτέψει διάφορα λαχανικά κι όσπρια στο κήπο του που έχει σχήμα ορθογωνίου παραλληλογράμμου. Σχεδιάστε ένα ορθογώνιο που αναπαριστά τον κήπο. Χρησιμοποιώντας το σχήμα πως θα το διαιρούσε ώστε το 50% να είναι τα μπιζέλια , το 25% τα φασόλια , το 15% το καλαμπόκι και το 10% τα καρότα.

2. Xρωματίστε το 74% του παρακάτω σχήματος με κίτρινο και το 18% με μπλε.

Mάθημα 7

Η έννοια του εμβαδού επίπεδων σχημάτων.

1. Sketchpad.

Mπείτε στο ιστολόγιό μου : " Διδακτικό υλικό μαθηματικών" στην διεύθυνση : mosxosyliko.blogspot.com και ανοίξτε το αρχείο Sketchpad με τίτλο : "Εμβαδά 1.1".

Σκεφτείτε :

1.Τι είναι εμβαδόν;

2.Ποια σχήματα έχουν εμβαδόν;

3.Πως μετρήσαμε τα εμβαδά;

4.Τι ρόλο παίζει η μονάδα μέτρησης στον υπολογισμό του εμβαδού;

2. Sketchpad.

Mπείτε στο ιστολόγιό μου : " Διδακτικό υλικό μαθηματικών" στην διεύθυνση : mosxosyliko.blogspot.com και ανοίξτε το αρχείο Sketchpad με τίτλο : " Τετραγωνισμός πολυγώνου".

Σκεφτείτε :

Γιατί το πολύγωνο έχει το ίδιο εμβαδόν με το τετράγωνο;

Πώς δημιουργούνται ισεμβαδικά σχήματα;

3. Κατασκευή παζλ

Υλικά

Ένα φύλλο χαρτί.

Ένα χάρακα.

Ένα μολύβι.

Ένα ψαλίδι.

Βήμα 1 : Σχεδιάστε τέσσερα ίσα ορθογώνια τρίγωνα στο φύλλο χαρτί.

Βήμα 2 : Με το ψαλίδι κόψτε τα περιμετρικά.

Βήμα 3 : Χρησιμοποιήστε τα ως κομμάτια ενός παζλ για να κατασκευάσετε με αυτά : ένα τετράγωνο , ένα ορθογώνο. ένα πλάγιο παραλληλόγραμμο , ένα τραπέζιο.

Σκεφτείτε :

Τι σχέση έχουν τα εμβαδά των σχημάτων που σχηματίσατε και γιατί;

4. Sketchpad.

Mπείτε στο ιστολόγιό μου : " Διδακτικό υλικό μαθηματικών" στην διεύθυνση : mosxosyliko.blogspot.com και ανοίξτε το αρχείο Sketchpad με τον τίτλο : "Τα αγροτεμάχια με το ίδιο σχήμα" και διαπραγματευτείτε την δραστηριότητα.

5. Sketchpad

Aσχοληθείτε με την επιλογή εγγράφου 7.

Σκεφτείτε :

Πως θα υπολογίσουμε το εμβαδόν του "ψαριού";

Mάθημα 8

Μέτρηση κυλίνδρου.

1. Κατασκευή.

Υλικά

Ενα φύλλο χαρτί Α4.

Πάρτε μια κόλλα Α4 και διπλώστε της μετατρέποντάς την σε ρολό που μοιάζει με κύλινδρο.

Σκεφτείτε :

1. Αν ξεδιπλώσουμε τον : " κύλινδρο" η κόλλα Α4 τι σχέση έχει με την παράλευρη επιφάνεια του;
2. Το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας του κυλίνδρου , τι σχέση έχει με το εμβαδόν της κόλλας Α4;
3. Με το εμβαδόν ποιου σχήματος ισούται το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας του κυλίνδρου;
4. Ποιος τύπος δίνει το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας του κυλίνδρου;

2. Πείραμα.

Υλικά

Ένας ογκομετρικός κύλινδρος από το εργαστήριο χημείας.
Ένα κυλλινδρικό δοχείο ( π.χ βάζο μαγειρικής)
1 μπουκάλι νερό.

Βήαμ 1 : Υπολογίστε τον όγκο του κυλλινδρικού δοχείου μετρώντας τα κατάλληλα δεδομένα και χρησιμοποιώντας τον κατάλληλο μαθηματικό τύπο.

Βήμα 2 : Ρίξτε νερό στο δοχείο μέχρι να γεμίσει.

Βήμα 3 : Αδειάστε στο νερό στον ογκομετρικό κύλινδρο και μετρήστε πόσα ml είναι ο όγκος του;

Βήμα 4 : (Επιβεβαιώνω πειραματικά). Η παραπάνω μέτρηση συμφωνεί με τον αλγεβρικό υπολογισμό;

3. Πρόβλημα χωρίς επαρκή δεδομένα.

Σας έδωσα 3 κυλλινδρικά δοχεία ( βαρέλια) αποθήκευσης λαδιού.
Χρησιμοιήστε όλες τις κατάλληλες μετρήσεις και υπολογισμούς ώστε να διαπιστώσετε την ποσότητα λίτρων λαδιού που μπορούν να αποθηκεύσουν.

4. Πείραμα.

Υλικά

Ένα κυλινδρικό δοχείο ( π.χ ένα βάζο μαγειρικής)
Μικρές πλαστικές μπαλίτσες που αναπηδούν.
1 μπουκάλι νερό.
Ένας ογκομετρητής.

Τοποθετήστε όσες μπαλίτσες μπορείτε στο δοχείο.

Διαπραγματευτείτε τα εξής ερωτήματα :

1. Πόσος είναι ο όγκος του χώρου που μένει κενός και καλύπτεται από τον αέρα στο δοχείο;
2. Τι ποσοστό του συνολικού όγκου του δοχείου καλύπτει ο αέρας;
3. Επιβεβαιώστε ρίχνοντας όσο νερό χωράει στο δοχείο και μετρώντας τον με τη βοήθεια του ογκομετρητή.

Mάθημα 9

Η έννοια του κλάσματος.

1 Sketchpad

Mπείτε στο ιστολόγιό μου : " Διδακτικό υλικό μαθηματικών" στην διεύθυνση : mosxosyliko.blogspot.com και ανοίξτε το αρχείο Sketchpad με τίτλο : "Η έννοια του κλάσματος".

2. Πείραμα

Υλικά

Ένα πλαστικό μπουκάλι εμφιαλωμένου νερού 0,5 λίτρου.

Ένας μαρκαδόρος.

Ένας χάρακας.

Βήμα 1^ο : Παίρνουμε το μπουκάλι και κόβουμε ελαφρά τη πάνω οριζόντια επιφάνειά του ώστε να έχει άνοιγμα.

Βήμα 2^ο : Θέλουμε να χωρίσουμε τον όγκο του σε 5 ίσα μέρη.

Πόσα εκατοστά είναι το μήκος του μπουκαλιού;

Πόσα εκατοστά θα είναι το 1/5 ;

Χωρίστε το μπουκάλι σε 5 ίσα μέρη .

Βήμα 3^ο :

Βρίσκω πόσα ml αντιστοιχεί στο κάθε 1/5.

Με τον μαρκαδόρο γράφω τα ml που αντιστοιχούν σε κάθε γραμμή του 1/5 πάνω στο μπουκάλι.

Ο ογκομετρητής είναι έτοιμος!

3. Δραστηριότητες : Το κλασμα ως ποσοστό.

Εκφράστε με κλάσμα τις παρακάτω εκφράσεις :

· 3 στους 5 Έλληνες καπνίζουν.

·2 στους 3 μαθητές παρακολουθούν εξωσχολικές δραστηριότητες.

· Ο Γκάλης πέτυχε σε εκείνον τον αγώνα 8 στα 11 τρίποντα.

· Το ποσοστό επιτυχίας του Γκάλη ήταν 65% στα δίποντα.

4. Δραστηριότητες : Το κλάσμα ως διαίρεση μερισμού.

Πως θα μοιράσουμε;

· 2 μήλα σε 3 παιδιά;

( Υπόδειξη : Χωρίστε κάθε μήλο σε όσα ίσα μέρη χρειάζεται).

· 3 πορτοκάλια σε 5 παιδιά;

· 3 σοκολάτες σε 4 παιδιά;

5. Δραστηριότητες : Το κλάσμα ως λόγος ευθυγράμμων τμημάτων.

Δραστηριότητα 1

Ποιος είναι ο λόγος του ύψους του πρώτου ορόφου προς το συνολικό ύψος της πολυκατοικίας;

Ποιος ο λόγος του ύψους του τρίτου ορόφου προς το συνολικό ύψος;

Δραστηριότητα 2

· Ποιο κλάσμα εκφράζει το λόγο του ύψους του καταρτιού προς το ύψος όλου του πλοίου;

· Ποιο κλάσμα εκφράζει το λόγο του ύψους του σκάφους προς όλο το ύψος του πλοίου;

Mάθημα 10

Εισαγωγή μονοτονίας στο γυμνάσιο.

Πρόβλημα 1 : Ένα κερί έχει μήκος 10,5 cm. Αν το ανάψουμε μειώνεται το ύψος του κατά 1cm κάθε 2 sec.

Α. Ποια συνάρτηση περιγράφει την εξάρτηση του ύψους του κεριού συναρτήσει του χρόνου;

Β. Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα τιμών :

Χρόνος t	0	1	2	3	4	5	6	8
Ύψος υ	10,5	10

Γ. Σχεδιάστε τη γραφική παράσταση της παραπάνω συνάρτησης

Δ. Συμπληρώστε τα παρακάτω κενά :

Καθώς αυξάνεται ο χρόνος το ύψος του κεριούς

Πρόκειται για …………………………………

Η γραφική παράσταση έχει ……………………

Ε. Ο Δημήτρης ισχυρίζεται ότι αν διπλασιάσουμε το χρόνο το ύψος γίνεται μισό. Ισχύει αυτός ο ισχυρισμός; Αν όχι τι συμβαίνει με το ύψος όταν διπλασιάσουμε το χρόνο;

2. Οι παρακάτω γραφικές παρατάσεις δείχνουν την μεταβολή του ύψους των αγοριών με την μεταβολή της ηλικίας τους

Α. Τι μπορούμε να συμπεράνουμε για την εξάρτηση ύψους – ηλικίας;

Καθώς αυξάνεται η ηλικία ποια μεταβολή έχουμε στο ύψος;

Β. Συμπληρώστε τα κενά

Οι γραφικές παραστάσεις έχουν ……………………… πορεία.

Η συνάρτηση ύψους – ηλικίας είναι ……………………

Γ. Προβληματιστείτε

Μπορούμε να ισχυριστούμε ότι τα μεγέθη ύψος , ηλικία είναι ανάλογα;

Πρόβλημα 3 . Σε ποια περίπτωση έχουμε αύξουσα και σε ποια φθίνουσα συνάρτηση:

χ	-1	0	2	3
y	4	5	13	32

χ	-1	0	2	3
y	6	5	-3	-22

Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω αλληλεξαρτήσεις ως αύξουσες ή φθίνουσες. Ποιες είναι αναλογικές και ποιες αντιστρόφως αναλογικές;

α. Μεταβολή του εμβαδού τετραγώνου συναρτήσει της πλευράς του

Β. Μεταβολή του εμβαδού κύκλου συναρτήσει της ακτίνας

γ. Μεταβολή της αξίας μήλων συναρτήσει του βάρους τους.

δ. Μεταβολή της ταχύτητας ενός αυτοκινήτου που φρενάρει συναρτήσει του χρόνου.

ε. Μεταβολή της ταχύτητας ενός αεροπλάνου που προσγειώνεται συναρτήσει του χρόνου.

στ. Μεταβολή της χρέωσης μιας τηλεφωνικής ομιλίας συναρτήσει του χρόνου ομιλίας αν χρεώνεται πάγιο.

ζ. Χρέωση ταξί συναρτήσει των χιλιομέτρων κίνησης i . αν χρεώνει σημαία. , ii. Αν δεν χρεώνει σημαία..

η. Το διάστημα που διανύει ένα αντικείμενο κατά την ελεύθερη πτώση συναρτήσει του χρόνου.

θ. Ο όγκος ενός κυλλινδρικού κουτιού με σταθερό ύψος συναρτήσει της ακτίνας βάσης.

3. Αντιστοιχίστε

ΣΤΗΛΗ 1 ΣΤΗΛΗ 2

α. αύξηση ενός μεγέθους i αύξουσα αλληλεξάρτηση

με την αύξηση ενός άλλου

β. Μείωση ενός μεγέθους ii. Φθίνουσα αλληλεξάρτηση

με τη μείωση του άλλου.

γ. Μείωση ενός μεγέθους

με την αύξηση του άλλου.

δ. Αύξηση ενός μεγέθους

με την μείωση του άλλου

Χαρακτηρίστε ως σωστές ή λανθασμένες τις παρακάτω προτάσεις :

α. Κάθε αύξουσα αλληλεξάρτηση εκφράζει αναλογικότητα.

β. Δύο ανάλογα ποσά έχουν αύξουσα αλληλεξάρτηση.

γ. Δύο αντιστρόφως ανάλογα ποσά έχουν αύξουσα αλληλεξάρτηση.

δ. Κάθε φθίνουσα αλληλεξάρτηση οδηγεί σε αντιστρόφως ανάλογα ποσά.

ε. Δεν υπάρχουν αύξουσες αλληλεξαρτήσεις εκτός από τα ανάλογα ποσά.

στ. Όταν ένα μέγεθος αυξάνεται με την αύξηση ενός άλλου έχουμε αναλογικότητα.

ζ. Όταν ένα μέγεθος μειώνεται με την αύξηση του άλλου έχουμε φθίνουσα αλληλεξάρτηση.

Να επιλέξετε τη σωστή ( ή τις σωστές ) απάντηση ( απαντήσεις ):

I. Όταν ένα μέγεθος αυξάνεται με τη αύξηση ενός άλλου :