To ιστολόγιο αυτό δημιουργήθηκε από τον Μόσχο Αλέξανδρο μαθηματικό του γυμνασίου - Λ.Τ Σημάντρων Χαλκιδικής.

Το όραμά μας για την μαθηματική εκπαίδευση.

Τα μαθηματικά στο διάβα της ιστορικής τους πορείας πέρασαν από διάφορα εξελικτικά στάδια. Αρχικά υπηρετούσαν αποκλειστικά την επίλυση των πραγματικών προβλημάτων του ανθρώπου. Εξελίχθησαν αργότερα σε μια επιστήμη αποδεικτικού συλλογισμού. Η μαθηματική εκπαίδευση ακολούθησε αυτές τις φιλοσοφικές τάσεις ακροβατώντας ανάμεσα σε δύο ακραίους δρόμους. Έναν του απόλυτου φορμαλισμού ( μπουρμπακισμός) και έναν άλλον της χρησιμοθηρικής- πραγματιστικής μαθηματικής παιδείας (φιλανδικό εκπαιδευτικό σύστημα). Στην σύγχρονη εποχή με την διαδεδομένη χρήση του Η/Υ διανύουμε μια εποχή "νεοενορατισμού" στην διδασκαλία των μαθηματικών. Διαφαίνεται δηλαδή ότι μπορούμε να συγκεράσουμε την αποδεικτική εμπειρία ενός αξιωματικού τυπικού συστήματος με την εξυπηρέτηση των πρακτικών αναγκών της καθημερινής μας ζωής . Οι δύο αυτές συνιστώσες οφείλουν να συνεργάζονται αντί να προσπαθούν να επιβληθούν μονομερώς στο εκπαιδευτικό γίγνεσθαι. Στο γυμνάσιο πρέπει να γίνεται η ιστορικογεννητική παρουσίαση των μαθηματικών εννοιών μελετώντας τα ιστορικά προβλήματα που τις γέννησαν. Έτσι διαφαίνεται η αναγκαιότητα εισαγωγής των εννοιών αυτών και κατανοούνται καλύτερα. Επίσης η διδασκαλία των μαθηματικών πρέπει να συνυφαίνεται με βιωματικές και πειραματικές δράσεις. Με τον τρόπο αυτό οι μαθητές μετατρέπονται σε μικρούς ερευνητές που ακολουθούν τα βήματα των μεγάλων μαθηματικών κάθε εποχής. Κατανοούν τις πρακτικές ανάγκες που γέννησαν τις μαθηματικές θεωρίες και τις αντιλαμβάνονται πλέον ως κατακτήσεις του ανθρώπινου πολιτισμού. Τρίτος πυλώνας είναι η διαδραστική και διερευνητική χρήση του Η/Υ με αξιοποίηση των λογισμικών δυναμικής γεωμετρίας και άλλων εποπτικών και ψηφιακών μέσων. Όλες αυτές οι δράσεις βοηθούν στην ανακάλυψη των μαθηματικών ιδιοτήτων μέσα από τον πειραματισμό. Οφείλουν βέβαια να συνεργαστούν με την απαίτηση για μαθηματική αυστηρότητα αναδεικνύοντας έτσι την "αποδεικτική έξι" των μαθηματικών κατά τον Αριστοτέλη. Η διδασκαλία των μαθηματικών στο λύκειο τώρα ,κατά τη γνώμη μου, πρέπει περισσότερο να επικεντρωθεί στην αποδεικτική συγκρότηση τους. Έτσι διαφαίνεται εντονότερα ότι τα μαθηματικά εξελικτικά δεν παρέμειναν σε μια χρησιμοθηρική συνιστώσα. Εξελίχθηκαν σε ένα πρωτότυπο συλλογιστικό σύστημα απαρτισμένο από κανόνες λογικής συγκρότησης που τα κατέστησαν ως ένα αξιόλογο κι αυτόνομο επίτευγμα του ανθρώπινου πνεύματος.

Τα μαθηματικά είναι επίτευγμα του ανθρώπινου πολιτισμού. Γι' αυτό είναι κοινό κτήμα κάθε ατόμου. Δεν είναι ένα κλειστό κύκλωμα γνώσεων μόνο για μερικά "φωτισμένα μυαλά". Δεν είναι αποδεκτό να τα χαρίσουμε μόνο σε ένα ελάχιστο ποσοστό ιδιοφυιών που υπάρχουν στον κόσμο μας. Δεν μπορεί ακόμη περισσότερο να είναι ένα μέσο πιστοποίησης της ιδιοφυΐας κάποιου. Δεν είναι θεμιτή μια διδασκαλία των μαθηματικών που απευθύνεται στους λίγους εκλεκτούς. Τα μαθηματικά είναι για όλους , γιατί φτιάχτηκαν για να προάγουν την ζωή όλων μας. Είναι ένας ύμνος της ανθρώπινης λογικής , που όλοι διαθέτουμε , μια συμπαντική γλώσσα ενοποίησης των επιστημών που βελτιώνουν τεχνολογικά την κοινωνία μας , μια μέθοδος να επιλύουμε προβλήματα που οι πρακτικές μας ανάγκες γεννούν εκάστοτε και μια συνιστώσα ομορφιάς κι αισθητικής απόλαυσης. Ιστορικά τα μαθηματικά ως επιστήμη αποδεικτικού συλλογισμού είναι γέννημα της αθηναϊκής δημοκρατίας. Πόσο άδικο θα ήταν να καταντήσει σε μονοπώλιο μιας ελίτ προνομιούχων. Tα μαθηματικά είναι για όλους γιατί είναι ανακάλυψη του πανανθρώπινου πνεύματος κι εξυπηρετούν πανανθρώπινες ανάγκες , ιδέες και αξίες!

"Ο άνθρωπος είναι ένα κλάσμα που αριθμητή έχει την πραγματική του αξία και παρονομαστή την ιδέα που έχει για τον εαυτό του. Ο αριθμητής παραμένει ο ίδιος (δηλαδή η πραγματική αξία του ανθρώπου).Γι' αυτό όσο μεγαλύτερος είναι ο παρονομαστής ( η ιδέα για τον εαυτό του) τόσο μικρότερο είναι το κλάσμα (δηλαδή ο άνθρωπος).

Λέων Τολστόι. Ρώσος λογοτέχνης.

Για να φανταστούμε τη χρησιμότητα των μαθηματικών στη ζωή μας αρκεί να φανταστούμε τη ζωή μας χωρίς μαθηματικά.

Λάο Τσε. Κινέζος φιλόσοφος.

Oι μαθηματικοί θεωρούν αυτάρεσκα ότι μόνο αυτοί καταλαβαίνουν τα μαθηματικά, ότι αυτό είναι το πεπρωμένο τους. Έτσι δημιουργείται ένας διαχωρισμός ανάμεσα σε μια ιδιαίτερη τάξη προνομιούχων και στην μάζα των υπολοίπων που ζουν μέσα σε μια γενική ακατανοησία και απέχθεια προς τα μαθηματικά. Αυτή η κατάσταση είναι επιζήμια και αξιοθρήνητη. Πρέπει να σπάσουμε αυτόν τον αριστοκρατισμό των μαθηματικών. Κατάντησαν τα μαθηματικά να είναι ένας πληκτικός τελεστής κοινωνικής επιλογής...Το γενολογικό πρόβλημα της διδασκαλίας είναι να πείσουμε αυτόν στον οποίο μιλάμε ότι έχει ισχυρούς λόγους να ασχοληθεί με τα μαθηματικά. Ότι δηλαδή είναι ενδιαφέροντα και συναρπαστικά κι ότι τον αφορούν.

Alain Badiou : Θεατρικός συγγραφέας , μαθηματικός , μια από τις κορυφαίες μορφές της σύγχρονης φιλοσοφίας.

Σάββατο, 22 Ιανουαρίου 2011

ΔΡΟΣΟΣΤΑΛΙΔΕΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ

         




"Τα μαθηματικά
  δεν τα καταλαβαίνεις ποτέ.
  Απλά τα συνηθίζεις".

Φρικτή διαπίστωση μαθητή.





Αποτέλεσμα μιας διδασκαλίας που στοχεύει στην απομνημόνευση τεχνικών μεθόδων. Μιας διδασκαλίας που δεν επικεντρώνεται στην εννοιολογική κατανόηση. Δεν αναδεικνύει την αναγκαιότητα εισαγωγής των νέων μεθόδων.  Δεν αντιμετωπίζει τα μαθηματικά ως κοινωνικό φαινόμενο και δεν παρουσιάζει τις ιστορικές τους αναφορές. Δεν συνδέει το μαθηματικό νόημα με την πραγματικότητα. Αγνοεί την ιδιαιτερότητα κατανόησης και παρανόησης του κάθε μαθητή. Δεν είναι ελκυστική και δεν χρησιμοποιεί σύγχρονα εποπτικά μέσα. Στηρίζεται σε ένα επιβλητικό μονόλογο του καθηγητή ( μονόπρακτο στην θεατρική διάλεκτο). Δεν δίνει αφορμές για ενεργητική συμμετοχή των μαθητών. Δεν επιτρέπει τον διαμαθητικό διάλογο. Δεν βοηθά τους μαθητές να ανακαλύψουν την νέα γνώση σε όποιο βαθμό αυτό είναι εφικτό , χωρίς να τους επιβληθεί από την αυθεντία του καθηγητή. Δεν σπάει τα αυστηρά πλαίσια του διδακτικού συμβολαίου. Δεν δείχνει το παραμικρό έλεος στο λάθος του μαθητή το οποίο τιμωρεί αδυσώπητα. Δεν αναδεικνύει βιωματικές και πειραματικές προσεγγίσεις.




Κοιτάζοντας την τόσο μισητή μου Άλγεβρα
- παιδί της θεωρίας βλέπεις - είδα πολλά.
Μια πρόσθεση διατεταγμένων δακρύων. 
Μια αφαίρεση κάποιων παλιών εγκαυμάτων.
Πολλαπλασιασμό από τη γη στα σύννεφα 
κι απο κει στ΄ άστρα.
Ή την αφαίρεση κάτι φόβων παιδικών 
που κουβαλώ από βρέφος ....

Κωνσταντίνος Δελιόπουλος 16 ετών
Από τον διαγωνισμό παιδικής ποίησης της εφημερίδα Καθημερινή , 1  Ιουλίου 2001.







"Το ξεκίνηµα της άλγεβρας το βρήκα πολύ δύσκολο, ίσως ως αποτέλεσµα κακής διδασκαλίας.Έπρεπε να αποστηθίσω: ‘το τετράγωνο του αθροίσµατος δύο αριθµών είναι ίσο µε το άθροισµα των τετραγώνων τους αυξηµένο κατά το διπλάσιο γινόµενό τους’. Δεν είχα την παραµικρή ιδέα τι σήµαινε αυτό και όταν δεν µπορούσα να θυµηθώ τα λόγια, ο δάσκαλος µου πέταγε το βιβλίο στο κεφάλι µου, πράγµα που δεν διέγειρε µε κανένα τρόπο τη νόηση µου.

- BERTRAND RUSSEL




Στα σχολικά βιβλία τα μαθηματικά παρουσιάζονται σαν μια σειρά τεχνικών διαδικασιών  χωρίς νόημα.

M. Kline



" H εκπαίδευση δεν είναι το γέμισμα ενός κουβά , αλλά το άναμμα μιας φλόγας ".
William Batler Yeats . Ιρλανδός ποιητής.




-- Δάσκαλε δείξε μου το δρόμο.
-- Είναι στα πόδια σου!




"Μια από τις μεγάλες παρανοήσεις σχετικά με τα μαθηματικά την οποία διαπράττουμε στις τάξεις μας είναι ότι ο δάσκαλος φαίνεται πάντα να γνωρίζει την απάντηση σε οποιοδήποτε πρόβλημα το οποίο συζητιέται."

Leon Henkin



" Το λάθος στα μαθηματικά δεν είναι άγνοια του μαθητή. Αντίθετα είναι μια σταθερά παγιωμένη γνώση έστω και λανθασμένη. Μια γνώση που επιμένει και αντιστέκεται".

" Το λάθος είναι χρήσιμο παιδαγωγικό εργαλείο. Ας μην ξεχνάμε ότι από λάθος ανακαλύφθηκε η Αμερική. Το ευτυχές λάθος  του Κολόμβου!".

Lacatos



" Σκέφτομαι συνέχεια για μήνες και για χρόνια. Τις 99 φορές το συμπέρασμα είναι λάθος. Την εκατοστή είναι σωστό ".
Αλβέρτος Αϊστάιν ( 1879 - 1955).





" Όταν ακούω μαθηματικά τα ξεχνάω , όταν κάνω μαθηματικά μαθαίνω"

Κινέζικο ρητό.
( Learning by doing , που λένε και οι Άγγλοι).




" Κάνε ένα σχέδιο για να λύσεις ένα μαθηματικό πρόβλημα".

Polya



" Ένα μαθηματικό πρόβλημα πρέπει να είναι αρκετά δύσκολο ώστε να μας κινητοποιεί. Όχι όμως απρόσιτο, ώστε να βρίσκεται πέρα από τις δυνατότητές μας. Πρέπει να λειτουργεί ως οδηγός στα δαιδαλώδη μονοπάτια της κρυμμένης αλήθειας και ως υπόμνηση της χαράς μιας επιτυχούς λύσης."

- DAVID HILBERT




Eδώ υπάρχουν στοιχεία διδακτικής των 
μαθηματικών και προτάσεις διδασκαλίας.



Δείτε παρακάτω το ηλεκτρονικό βιβλίο σε μορφή αρχείου pdf με τίτλο : "Θέματα εφαρμοσμένης διδακτικής των μαθηματικών". Περιέχει στοιχεία που αφορούν ρεαλιστικά προβλήματα , μελέτη ιστορικών προβλημάτων , γεωμετρικών μοντέλων ,πειραμάτων στα μαθηματικά , στοιχείων βιωματικής μάθησης , προβλημάτων πραγματικής κατάστασης ή μη επαρκών δεδομένων. Ακόμη εφαρμογές με χρήση Η/Υ.





Θέματα εφαρμοσμένης διδακτικής.





  






Α΄  ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ-ΡΕΑΛΙΣΤΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ



  1.   ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΓΙΑ ΤΗΝ 
                     ΕΠΙΜΕΡΙΣΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ

Πρόβλημα :  Ο κύριος  Θανάσης  πήγε στον μανάβη και αγόρασε 3 κιλά μήλα και 4 κιλά πορτοκάλια. Το ένα κιλό μήλα κοστίζει όσο κι ένα κιλό πορτοκάλια από 2 ευρώ. Βρείτε με δύο τρόπους πόσο πλήρωσε ο κύριος  Θανάσης συνολικά. 


Λύση :

α΄τρόπος     : Αξία μήλων + αξία πορτοκαλιών  
                             3 * 2     +  4 * 2

β΄ τρόπος   :   συνολικά κιλά φρούτων * τιμή ενός κιλού
                                  ( 3 + 4  )               *    2 



2.         ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΚΑΘΗΜΕΡΙΝΗΣ ΖΩΗΣ
           ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Εισαγωγική δραστηριότητα 1

Η Ελένη πήγε στον μπακάλη με ένα δεκάευρο για να αγοράσει 2 τετράδια προς 4 ευρώ το ένα και ένα σετ χάρακες των 6 ευρώ. Πόσα ρέστα πήρε;

Λύση : Βρισκόμαστε στην παράδοξη αφαίρεση 10 - 12. Οι μαθητές κατανοούν ότι η Ελένη είναι χρεώστης 2 ευρώ. Οδηγούμαστε έτσι μέσα από πρόβλημα καθημερινής ζωής στην πράξη 10-12=-2 . Το - δηλώνει το χρέος.



Δραστηριότητα 2

Ο Νίκος βρίσκεται στο αμάξι του πατέρα του που κινείται επιστρέφοντας σπίτι.Βιάζεται να επιστρέψει γιατί στην τηλεόραση ΄προβάλλεται ο αγώνας μπάσκετ μεταξύ ΑΡΗ - ΠΑΟΚ.Φτάνονας σπίτι προλαβαίνει μόνο τα στατιστικά του αγώνα και όχι τον τελικό νικητή ή το σκορ.
ο Άρης λοιπόν πέτυχε δύο βολές ενός πόντου περισσότερες από τον ΠΑΟΚ , τρία δίποντα λιγότερα και ένα τρίποντο περισσότερο. Ποια ομάδα νίκησε και με πόσους πόντους διαφορά;

Λύση : Οι πόντοι του Άρη σε σχέση με αυτούς του ΠΑΟΚ είναι : +2 - 3*2 + 1.3 = 2 -6+3 = -4 =3 =-1
Άρα έχασε ο Άρης με έναν πόντο διαφορά.




3.                 ΓΙΑΤΙ Ο ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ
                    ΠΡΟΗΓΕΙΤΑΙ ΤΗΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ;

                     ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ.

Ο Κώστας αγόρασε δύο μολύβια προς 1,5 ευρώ το ένα και 3 τετράδια προς 2 ευρώ το ένα. Πόσα χρήματα πλήρωσε;

Λύση : Αξία μολυβιών = 2 * 1,5 = 3 ευρώ
             Αξία τετραδίων = 3 *2 = 6 ευρώ
            συνολική αξία = 3 + 6 = 9

Στο παρακάτω πρόβλημα φαίνεται ότι ο πολλαπλασιασμός προηγείται. Αυτό φαίνεται μάλιστα καλύτερα αν την συνολική αξία την γράφαμε : 2* 1,5 + 3 * 2, οπότε πρέπει να λύσουμε ως εξής : 2* 1,5 + 3 * 2 = 3 + 6 = 9. Προηγείται δηλαδή ο πολλαπλασιασμός γιατί πρώτα πρέπει να βρούμε την αξία των μολυβιών και των τετραδίων. Η συνολική αξία που απαιτεί πρόσθεση ( σούμα ) γίνεται στο τέλος.




4. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΣΤΗΝ ΔΥΜΑΜΗ

1. Σε μια λίμνη υπάρχει ένα νούφαρο μήκους 2 cm .Κάθε μέρα διπλασιάζει το  μήκος του. Να καταγράψετε τα μήκη του νούφαρου στη διάρκεια των πρώτων 5 ημερών:

Λύση  :  1η μέρα :  2 cm
              2η μέρα :  2 * 2 cm
              3η μέρα :  2 * 2 * 2 cm
               4η μέρα : 2 * 2 * 2 * 2 cm
               5η μέρα : 2 * 2 * 2 * 2 * 2



ΑΛΛΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ


2. Ένα σχολείο έχει 6 αίθουσες. Κάθε αίθουσα έχει 6 παράθυρα.  Κάθε παράθυρο έχει 6 τζάμια. Πόσα τζάμια υπάρχουν στο σχολείο;

3. ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΡΧΑΙΑΣ ΑΙΓΥΠΤΟΥ
Σε καθένα από 7 σπίτια ζουν 7 γάτες. Κάθε γάτα τρώει 7 ποντίκια. Κάθε ποντίκι τρώει 7 στάχυα. Κάθε στάχυ γεμίζει 7 δοχεία. Πόσα δοχεία χρειαζόμαστε;


4. ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΡΧΑΙΑΣ ΑΙΓΥΠΤΟΥ
Ένας άντρας έχει 7 συζύγους. Κάθε σύζυγος έχει 7 σάκκους.
Κάθε σάκκος έχει  γάτες. Κάθε γάτα έχει 7 γατάκια. Πόσοι είναι οι σάκκοι , οι γάτες και τα γατάκια;






5.   ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ 
    ΣΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΥ

Δύο γειτονικές παιδικές κατασκηνώσεις  Α και Β απέχουν αρκετά από την παραλία. Οι υπεύθυνοι σκέφτονται να κατασκευάσουν μια εγκατάσταση beach βόλεϋ στην ακτή. Σε ποιο σημείο της παραλίας πρέπει να γίνει η εγκατάσταση ώστε να απέχει εξίσου από τις δύο κατασκηνώσεις.

Λύση : Το ζητούμενο σημείο είναι το σημείο τομής της μεσοκαθέτου του ΑΒ με την παραλία.
Σχόλιο : Η παρουσίαση μπορεί να γίνει στο  SKETCHPAD . Μπορούμε να χρηιμοποιήσουμε εικόνα τοπίου και δύο σπιτάκια στις θέσεις Α , Β που παριστάνουν τις κατασκηνώσεις. Με απόκρυψη και εμφάνιση αντικειμένων εμφανίζονται το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ , η μεσοκάθετος του , η ευθεία  ε της παραλίας και το σημείο τομής της με την μεσοκάθετο. Επίσης σημείο Ε κινείται με προσθήκη κίνησης πάνω στην ε. Με μετρτήσεις διαιστώνεται ότι ΕΑ=ΕΒ όταν το Ε πέσει στο σημείο τομης της μεσοκαθέτου με την ε. Έχουμε εικόνα , γεωμετρία σε πραγματικό περιβάλλον , κίνηση και εμπειρική διαπίστωση μέσα από μετρήσεις.

Το ίδιο πρόβλημα μπορεί να παρουσιαστεί με ποτάμι αντί για θάλασσα και εγκατάσταση καγιάκ αντί για beach βόλεϋ

6ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ

Δύο κωμοπόλεις Α , Β απέχουν 12 χιλιόμετρα. Μια πολυεθνική εταιρεία θέλει να κατασκευάσει ένα πολυκατάστημα λίγο έξω από τις κατοικημένες περιοχές. Σε ποια θέση Γ πρέπει να επιλέξει την κατασκευή ώστε η απόσταση : ΑΓΒ να είναι 15 χιλιόμετρα. Με τον τρόπο αυτό αν ξεκινήσει κάποιος από την μία κωμόπολη στην άλλη μέσω της θέσης Γ να μην ξεφύγει πολύ από τα 12 χλμ.


Απάντηση : Η θέση Γ ανήκει στην έλλειψη με εστίες τα Α , Β και  ΓΑ + ΓΒ = 2α= 15.
 Σχόλιο : Η παρουσίαση μπορεί να γίνει στο 
SKETCHPAD . Επικολλούμε μια εικόνα ενός χάρτη στην οθόνη του προγράμματος. Σημειώνουμε δύο σημεία Α , Β στις θέσεις των πόλεων. Μπορούμε να δημιουργήσουμε με σχεδίαση ίχνους έλλειψη με εστίες τα Α , Β. Τα σημεία της έλλειψης έχουν σταθερό άθροισμα αποστάσεων από τα Α και Β. αποτελούν λύση του προβλήματος.



7.           ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΚΑΘΗΜΕΡΙΝΟΤΑΣ
       ΩΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ


Ένας τηλεφωνικός κατάλογος μια πόλης περιέχει 9.991 ονόματα ανθρώπων σε λιγότερες από 100 σελίδες. Πόσες σελίδες έχει ο κατάλογος και πόσα ανόματα περιέχονται ανά σελίδα;
Απάντηση: 9991 = 10000 - 9 = 1002 -32  (τα δυάρια είναι εκθέτες).  = ( 100 +3 ) ( 100 - 3 ) = 103 χ 97.
Άρα υπάρχουν 97 σελίδες και 103 ονόματα ανά σελίδα.

 

8.         ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ
              ΣΤΗΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟ


Μία σκάλα έχει το πρώτο σκαλοπάτι σε ύψος 20 εκατοστών από το έδαφος. Το κάθε επιπλέον σκαλοπάτι έχει ύψος  30 εκατοστά. Πόσο απέχουν από το έδαφος το δεύτερο , το τρίτο , το τέταρτο κλπ σκαλοπάτι;

Απάντηση : το δεύτερο = 20 +30 = 50cm
                    το τρίτο  =  50 + 30 = 80 κ.λ.π.
Πρόκειται για αριθμητική πρόοδο με πρώτο όρο 20 και διαφορά 30.


  9.  ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ


Α. ΟΡΙΣΜΟΣ
Δραστηριότητα 1 : Σχεδιάζουμε σε μια ευθεία γραμμή ένα σπιτάκι που παριστάνει το σπίτι του μικρού Νικόλα και πιο πέρα το σχολείο του. Το πρωί ο Νικόλας κατευθύνεται από το σπίτι στο σχολείο. το μεσημέρι αντίστροφα από το σχολείο στο σπίτι. Τι ομοιότητες και τι διαφορές έχουν οι δύο διαδρομές;
Απάντηση: Αναδεικνύεται ότι οι δυο διαδρομές αφορούν το ίδιο ευθύγραμμο τμήμα , την ίδια απόσταση. Η διαφορά βρίσκεται στον προσανατολισμό ( φορά). Έτσι εισάγουμε το διάνυσμα ως προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα.

ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ
Δραστηριότητα 2: Οι μαθητές ενός γυμνασίου είναι παρατεταγμένοι σε τριάδες στο μάθημα της γυμναστικής.
α. Ο καθηγητής δίνει το παράγγελμα : κινηθείτε . Είναι αρκετός . Τι λείπει;
β. Αν δώσει το παράγγελμα : κινηθειτε εμπρός τι είδους κινήσεις παρατηρείτε;
Απάντηση : α. Εδώ φαίνεται το έλλειμμα ορισμού διεύθυνσης κίνησης.
β. Παρατηρούμε ότι στο παράγγελμα εμπρός που ορίζει μία διεύθυνση κίνησης οι μαθητές κινήθηκαν ή στην ίδια ευθεία ( όσοι βρίσονται στην ίδια στήλη ) ή σε παράλληλες ευθείες ( μαθητές διαφορετικών στηλών) . Η κίνηση στην ίδια ή παράλληλη ευθεία γίνεται και στα παραγγέλματα αριστερά , δεξιά, πίσω. Κατανοείται έτσι γιατί ως διεύθυνση διανύσματος ορίζουμε τον φορέα του αλλά και κάθε παράλληλή του ευθεία.


ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΔΙΑΔΟΧΙΚΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ
Δραστηριότητα 3  : Τρεις πόλεις Α, Β , Γ σχηματίζουν τρίγωνο. Ο Δημήτρης κινείται από την Α στην Β και κατόπιν στην Γ. Ο Κώστας πηγαίνει απευθείας από την Α στη Γ. Τι ομοιότητες βλέπετε στις δύο διαδρομές.
Απάντηση : Κοινή αφετηρία και κοινός προορισμός. Δικαιολογείται έτσι εμπειρικά η διανυσματική πρόσθεση :
--->     --->     --->
ΑΒ +  ΒΓ  =  ΑΓ



10. ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΣΤΙΣ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

Δραστηριότητα : Σε μια επαρχιακή πόλη κυκλοφορούν δύο είδη ταξί. Τα κίτρινα χρεώνουν 0,4 ευρώ ανά χιλιόμετρο και δεν βάζουν σημαία ( πάγια χρέωση). Τα κόκκινα χρεώνουν σημαία 0.7 ευρώ και 0,35 ευρώ για κάθε χιλιόμετρο μετακίνησης.
Πότε είναι συμφερότερο να χρησμοποιούμε τα κίτρινα και πότε τα κόκκινα ταξί;
Απάντηση : κίτρινα ταξί y= 0,4x ( x = χιλιόμετρα  , y  = τιμή )
κόκκινα : y = 0,35x+0,7.Κάνοντας γραφικές παραστάσεις των δύο συναρτήσεων σε πρόγραμμα Sketchpad παρατηρούμε ότι για χ=14 οι γ.π τέμνονται.Επιπλέον για χ<14 η y = 0,4x βρίσκεται κάτω από την y = 0,35x+0,7 , ενώ για χ>14 γίνεται το αντίστροφο. Έτσι μπορούμε να πούμε ότι για αποστάσεις μικρότερες των 14 χιλιομέτρων συμφέρει να πάρουμε τα κίτρινα ταξί ενώ για κινήσεις πάνω από 14 km συμφέρουν τα κόκκινα.



Km135141516
τιμή (Α)0,41,225,666,4
τιμή (Β1,051,752,455,65,956,3



11. Πρόβλημα καθημερινής ζωής στα ποσοστά.
Ο Ιάσονας , ένας μαθητής ( 14 ετών) με τον πατέρα του , τη μητέρα του  και τα αδέρφια του Δάφνη( 9 ετών ) και Αλέξανδρο ( 6 ετών ) πήγαν διακοπές σε μια κατασκήνωση την ' Χρυσή ακτή'. Έφτασαν εκεί το μεσημέρι της 12 Αυγούστου και έφυγαν πρωί της 8 Σεπτεμβρίου. Στο παρακάτω πίνακα φαίνεται το κοστολόγιο της ημερήσιας διαμονής όπως το μοίρασε σε φυλλάδιο η κατασκήνωση.

             ΚΟΣΤΟΣ ΗΜΕΡΗΣΙΑΣ ΔΙΑΜΟΝΗΣ

  Άτομα άνω των 7 ετών       Σκηνή        Αυτοκίνητο          Ηλεκτρικό           σκύλος
         8 ευρώ                          5ευρώ           15 ευρώ              10 ευρώ             5 ευρώ


-- Τα παιδιά κάτω των 7 ετών έχουν έκπτωση 50%.
-- Οι τιμές αυτές ισχύουν για τον Ιούλιο και Αύγουστο.  Τους άλλους μήνες γίνεται έκπτωση 20%.
-- Οι οικογένειες που διαμένουν στην κατασκήνωση για περισσότερες από 25 μέρες γίνεται έκπτωση 20% στην τελική συνολική τιμή πληρωμής.

Αν γνωρίζουμε ότι η οικογένεια του Ιάσονα δεν έχει σκύλο , δεν θα χρησιμοποιήσει τον ηλεκτρικό και όλοι θα βολευτούν σε μια σκηνή πόσο θα κοστίσει η διαμονή της στην κατασκήνωση ;


12. ΡΕΑΛΙΣΤΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΣΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ROLLE.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ :Οι πρόποδες δύο βουνών βρίσκονται σε ευθεία παράλληλη προς την επιφάνεια της θάλασσας. Ένας ορειβάτης ξεκινά από τους πρόποδες του πρώτου βουνού και αναριχάται και στα δύο βουνά. Να δικαιολογήσετε γιατι να κινηθεί κάποτε σε δόμο παράλληλο προς την επιφάνεια της θάλασσας.




  13.           ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΟΥ ΦΡΑΠΕ
           ΡΕΑΛΙΣΤΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΣΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ


ΠΡΟΒΛΗΜΑ : Ένα ποτήρι ύψους 14cm περιέχει φραπέ μέχρι ύψους 6cm. To καλαμάκι μήκους 16cm βρίσκεται στο ποτήρι όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Πόσα εκατοστά από το καλαμάκι είναι βυθισμένο στον καφέ;

 

    
14. ΡΕΑΛΙΣΤΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ. 

Στις σκανδιναβικές χώρες π.χ στην Νορβηγία χρησιμοποιούν το παρακάτω ρεαλιστικό μοντέλο για την αισθητοποίηση των παράλληλων ευθειών. Δίνουν την εικόνα του σκιέρ που φορώντας τα χιονοπέδιλά του κάνει σκι. Τα χιονοπέδιδα αποτυπώνουν παράλληλες ευθείες καθώς ο σκιέρ διασχίζει τη πίστα. Μοιάζει μάλιστα να προσπαθεί να αποδείξει ότι οι γραμμές αυτές που αποτυπώνονται κάποτε θα συναντηθούν. Σαν να είναι αυτός ο σκοπός του παιχνιδιού. Όσο όμως κι αν προσπαθεί τίποτα δεν καταφέρνει. Τι μάταιος σκοπός αλήθεια!

              

Β΄  ΧΡΗΣΗ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΣΤΗΝ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ.

Έχει επισημανθεί η αξία της χρήσης μοντέλων από την πραγματική ζωή στην κατανόηση μαθηματικών εννοιών. Ας δούμε μερικά παραδείγματα.


1.                   ΜΝΗΜΟΝΙΚΟΣ ΚΑΝΟΝΑΣ
                   ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΜΝΗΜΟΝΕΥΣΗ
                    ΤΩΝ ΚΑΝΟΝΩΝ ΠΡΟΣΗΜΩΝ
                        ΣΤΟΝ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΜΟ.

Έστω δύο ποδοσφαιρικές ομάδες . Ας υποθέσουμε ότι το πρόσημο +  παριστάνει έναν συμπαίκτη μου και το -  έναν αντίπαλό μου. 

Τότε :                               + * - = -
           ( ο συμπαίκτης του αντιπάλου μου = αντίπαλος).

                                 - * +  = -
           ( ο αντίπαλος του συμπαίκτη μου = αντίπαλος )

                               + * + = +
             ( ο συμπαίκτης του συμπαίκτη μου = συμπαίκτης ).

                            - * - = +
            (  ο αντίπαλος του αντιπάλου μου = συμπαίκτης μου )




2.                Α΄     Η ΑΡΧΗ ΤΟΥ ΠΕΡΙΣΤΕΡΩΝΑ
      ΣΤΑ ΒΕΛΟΕΙΔΗ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ.

Για να καταλάβουμε πότε ένα βελοειδές διάγραμμα παριστάνει συνάρτηση και πότε όχι :

Ας παρομοιάσουμε τα στοιχεία του πρώτου συνόλου Α  με περιστέρια και τα στοιχεία του δεύτερου με τις φωλιές τους.
Βασικές λογικές αρχές για να αντιστοιχίσουμε με βέλη τα περιστέρια με τις φωλιές είναι :

1. Δεν μπορεί να υπάρχει περισευούμενο περιστέρι χωρίς φωλιά.
2. Δεν μπορεί ένα περιστέρι να αντιστοιχεί σε δυο φωλιές. Το αντίστροφο μπορεί να συμβαίνει , δηλαδή δυο περιστέρια να μοιράζονται την ίδια φωλιά ( συνάρτηση μη  "1- 1" ).

Το ίδιο μοντέλο μπορεί να χρησιμοποιηθεί αν αντί για περιστέρια και φωλιές θεωρήσουμε αντιστοιχία : ονομάτων ανθρώπων με τις πόλεις καταγωγής τους. ( Δεν υπάρχει άνθρωπος χωρίς πόλη που γεννήθηκε  , ούτε είναι δυνατό να γεννήθηκε σε δυο πόλεις. Αντίθετα γίνεται δύο άνθρωποι να γεννήθηκαν στην ίδια πόλη).


Β΄ Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΩΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΗ

Η συνάρτηση μπορεί να παρομοιαστεί επίσης με μια μαθηματική μηχανή με δύο εξαρτήματα. Το πεδίο ορισμού και τον τύπο. Διαθέτει επίσης δύο μονάδες μία εισόδου και μία εξόδου.
Από την είσοδο μπαίνει το χ. Η μηχανή ελέγχει ( με το πεδίο ορισμού) αν το χ ανήκει σε αυτό. Αν όχι δεν το δέχεται μέσα. Αν ανήκει μπαίνει και κάνοντας πράξεις στον τύπο βρίσκει το αντίστοιχο f(x) = y . Oπότε εξέρχεται το αντίστοιχο y.


Το μοντέλο αυτό της συνάρτησης ως μαθηματικής μηχανής μπορεί να βοηθήσει επίσης και στην κατανόηση της σύνθεσης συναρτήσεων f o g.




3.  " Ο ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΦΟΥΝΤΟΥΚΙΩΝ"
       ΣΤΗΝ ΑΝΑΓΩΓΗ ΟΜΟΙΩΝ ΟΡΩΝ


Έστω x = φουντούκι. Τότε ισχύει ο παρακάτω κανόνας των φουντουκιών :

3 φουντούκια  +  2 φουντούκια = 5  φουντούκια

3        x             +  2        x           =  5      x   


Πιο συνοπτικά :  3x + 2x = 5x


Αν τώρα θεωρήσουμε ως y = καρύδια

2 φουντούκια + 3 καρύδια = ;

2x+ 3y  δεν απλοποιείται.





4.             ΓΙΑΤΙ ΕΤΣΙ Ο ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ;
      ΩΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΕΠΙΜΕΡΙΣΤΙΚΗΣ ΙΔΙΟΤΗΤΑΣ

    Ας  κάνουμε τον πολλαπλασιασμό : 23 Χ 12

          23
 x       12
    -----------
          46
    +  23                    Γιατί το 3 πηγαίνει μια θέση αριστερά;
-------------
      2 76


Απάντηση : 23 Χ 12 = 23 Χ ( 10 +2 ) =
                = 23 Χ10 + 23 Χ 2 = 230 + 46.
Άρα το 46 πρέπει να προστεθεί με το 230. 



 Γ΄   ΧΡΗΣΗ  Η /Υ  ΣΤΗΝ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ.

1.   ΤΟ EXCEL ΣΤΗΝ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ

Μπορεί να χρησιμοποιηθεί το excel για δημιουργία τυπολογίων 
και για εμπειρική διαπίστωση μαθηματικών σχέσεων με διαδοχικές μετρήσεις.

α. ΣΤΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ

Σε μια στήλη βάζουμε τιμές του χ και στην δεύτερη υπολογίζουμε 
τις αντίστοιχες τιμές ενός τριωνύμου. π.χ χ2-5χ +6 .
Παρατηρούμε εμπειρικά μέσα από πολλές μετρήσεις ότι εντός των ριζών το τριώνυμο είναι ετερόσημο του α και εκτός ομόσημο του α. Μπορούμε να εμπλουτίσουμε συγχρόνως τους πίνακες αυτούς του excel με γραφικές παραστάσεις της αντίστοιχης παραβολής από το SKETCHPAD.Τα γραφικά αυτά γίνονται επικόλληση στην σελίδα του excel. Έτσι εκτός από την αριθμητική επιβεβαίωση του προσήμου του τριωνύμου γίνεται και γραφική επαλήθευση.
 













x-3-2-1012345678
x2 -5x+ 428181040-2-204101828















Β. ΣΤΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

Αυτό μπορεί να γίνει στο SKETCHPAD  αφού ορίσουμε τρίγωνο και κάνουμε πινακοποίηση των γωνιών του και του αθροίσματος Α+Β+Γ. Μεταβάλλοντας συνέχεια το τρίγωνο εμπειρικά διαπιστώνουμε ότι πάντα Α+Β+Γ = 180.
Η εμπειρική διαπίστωση μπορεί να γίνει συγχρόνως και βιωματικά. Να δοθεί στους μαθητές ομαδοσυνεργατικά η παρακάτω δραστηριότητα :

Δραστηριότητα : Κατασκευάστε τρία διαφορετικά τρίγωνα οξυγώνια , 3 αμβλυγώνια και 3 ορθογώνια . Μετρήστε σε καθένα τις γωνίες του. Υπολογίστε τέλος το άθροισμα των γωνιών του καθενός.


Γ.  ΣΤΙΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ
Κατασκευάζουμε πίνακα στο Excel. Στις δύο πρώτες στήλες υπάρχουν τιμές των αριθμών α,β. Στις επόμενες των :
2αβ , α2 +β2 ,  ( α+β)2  , α2+2αβ + β2
Με πολλές διαφορετικές τιμές στα α, β που πληκτρολογούμε το πρόγραμμα υπολογίζει αυτόματα τις τιμές των υπολοίπων παραστάσεων. Από την 4η και 5η στήλη φαίνεται ότι το α2+β2 δεν είναι ίσο με το ( α+β)2.
Επίσης από τις δύο τελευταίες επιβαιώνουμε με μετρήσεις την ταυτότητα (α+β)2 = α2+2αβ+β2.Τέλος από την 3η , 4η ,5η φαίνεται ότι το 2αβ πρέπει να προστίθεται πάντα στο α2 +β2 για να προκύπτει το (α+β)2.

 
αβ2αβα2 +β 2(α+β)2α2 +2αβ+β2
124599
2312132525
475665121121
5990106196196
6112374949
1112264265529529
2378358866131020110201
32674288551398019801


Δ.  ΣΤΗΝ ΕΠΙΜΕΡΙΣΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ
Παρόμοια χρήση εμπειρικής διαπίστωσης μπορεί να γίνει και για την επιμεριστική ιδιότητα. Δημιουργούμε πίνακα με στήλες α ,β ,γ , α(β+γ) , αβ+αγ και παρατηρούμε ότι οι δύο τελευταίες δίνουν ίδιες τιμές.
 
αβγα(β+γ)αβ +αγ
13699
2572424
7535656
12834504504
22519528528
45568262106210


Ε. ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΩΝ.
Mπορούμε στο  Excel να δημιουργούμε τυπολόγια. π.χ τριγωνομετρικών αριθμών , λογαρίθμων , μέτρου ή εσωτερικού γινομένου διανυσμάτων κ.α.Δημιουργούμε δύο στήλες. Η πρώτη έχει το χ και η δεύτερη με εισαγωγή συνάρτησης από το πρόγραμμα υπολογίζει ημ(χ) ή ln(x) κ.α.
Η χρήση μεταβολέα επίσης μπορεί να δώσει συντομότερα τυπολόγια , χρησιμοποιώντας δύο μόνο κελιά. Μεταβάλλοντας την τιμή του ενός αυτόματα μεταβάλλεται η αντίστιχη τιμή της συνάρτησης στο άλλο κελί.

 
χlnx
0
10
20,69
31,1
41,39
51,61
61,79
71,95
82,08
92,2
102,3
112,4
122,48
132,56
142,64
152,71



2. H ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΙΝΤΕRΝΕΤ ΣΤΗΝ ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ.

Ζητάμε από τους μαθητές να ανοίξουν τα προσωπικά τους laptop. Πρέπει επίσης να υπάρχει δυνατότητα σύνδεσης με το διαδίκτυο. Η εργασία μπορεί να γίνει και στο εργαστήριο πληροφορικής. Οι μαθητές χωρίζονται σε τετραμελείς ομάδες. Κάθε ομάδα έχει σα σκοπό την εκπόνηση μιας εργασίας σχετικής με κάποιο θέμα της ιστορίας των μαθηματικών που αφορά την διδακτική ενότητα που βρίσκονται. Η α΄ομάδα για παράδειγμα θα ασχοληθεί με βιογραφικά στοιχεία του Πυθαγόρα . Η β΄ ομάδα  με την ιστορική αναζήτηση των ψηφίων του αριθμού π , η γ΄ ομάδα με την ιστορική εξέλιξη του υπολογισμού του μήκους ενός κύκλου κ.οκ. Ο διδάσκων δίνει πληθώρα ιστοσελίδων από όπου οι μαθητές αντλούν στοιχεία και φέρενει στην τάξη βιβλία για αξιοποίηση από τους μαθητές.



3. POWER POINT ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ.


Το πρόγραμμα Power Point  μπορεί να χρησιμοποιηθεί με βιντεοπροβολή στον πίνακα. Το κέρδος μιας τέτοιας παρουσίασης είναι ότι η εικόνα που παρέχει το πρόγραμμα οπτικοποιεί το μάθημα και το κάνει ελκυστικό. Ειδικά σε μαθήματα που η εικονική αναπαράσταση είναι απαίτηση της διδακτικής  ( π.χ στη δισκαλία προβλημάτων με εξισώσεις ή ρεαλιστικά προβλήματα ) το Power Point προσφέρει πολλές υπηρεσίες.Οι εναλλαγές εικόνας , χρωμάτων και ήχου αλλάζουν τη δομή του μαθήματος. Η σχέση όμως με τον μαθητή δεν περιορίζεται σε παθητικό ρόλο.Δίνεται η δυνατότητα στο μαθητή να σηκωθεί στον πίνακα να γράψει πάνω στην φωτισμένη από τον βιντεοπροβολέα οθόνη του πίνακα. Να λύσει  μια άσκηση , που αναγράφεται η εκφώνησή της , να συμπληρώσει τα κενά των ερωτήσεων κατανόησης του βιβλίου που προβάλλεται ή του καθηγητή που τα δημιούργησε. Ακόμη μπορεί να  δοθεί έντυπο φύλλο εργασίας που αρχικά το δουλεύει  ατομικά ή ομαδικά. Στη συνέχεια το φύλλο εργασίας προβάλλεται ηλεκτρονικά στον πίνακα και ο μαθητής το συμπλρώνει στον πίνακα.Ας δούμε μερικές διαφάνειες από μαθήματα στην τάξη με χρήση διαφανειών Power Point : 

1. Στην διαιρετότητα φυσικών αριθμών α΄ γυμνασίου.



2. Στην επίλυση προβλημάτων με εξισώσεις α΄γυμνασίου.






3. Στην παραγοντοποίηση γ΄γυμνασίου - α΄ λυκείου.





4. Στις παραμετρικές εξισώσεις α΄ λυκείου.





4. ΠΟΛΥΜΕΣΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ SKETCHPAD

Επικολλώντας μια εικόνα στο Sketchpad και προσθένοντας γεωμετρικά σχήματα και κίνηση κάνουμε γεωμετρία σε παραγματικό περιβάλλον.
Παράδειγμα 1. Επικολούμε μια εικόνα γηπέδου ποδοσφαίρου που περιέχει παίκτες. Ζητάμε τις συντεταγμένες των θέσεων των ποδοσφαιριστών αφού εμφανίσουμε το σύστημα αξόνων.

Παράδειγμα 2.
Επικολούμε ένα χάρτη. Βρίσκουμε και σημειώνουμε σημεία στις θέσεις δύο πόλεων Κατασκευάζουμε κύκλους με κέντρα τις πόλεις και διαφορετικές ακτίνες. Αναζητούμε έτσι τις πόλεις που απέχουν συκγεκριμένη απόσταση από αυτές. Δραστηριότητα για το ορισμό του κύκλου. Αναζητώντας τώρα πόλεις που ισαπέχουν από τις δύο πόλεις καυτασκευάζουμε ίσους κύκλους με κέντρα τις πόλεις. Αναζητούμε τα κοινά σημεία των κύκλων. Οδηγούμαστε στην γνωστή κατασκευή μεσοκαθέτου με κανόνα και διαβήτη.

Παράδειγμα 3.
Επικολλώντας ένα φυσικό τοπίο που περιέχει θάλλασσα και επικολλώντας δύο σπιτάκια για κατασκηνώσεις μπορούμε να κάνουμε το πρόβλημα 8 ( Βλέπε παραπάνω) για τη διδασκαλία της μεσοκαθέτου. Επικολλώντας τώρα πάλι χάρτη και σημειώνονατς δύο πόλεις μπορεί αν γίνει παρουσίαση του προβλήματος 10 για την έλλειψη.




Δ΄  ΕΝΝΟΙΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ - ΑΡΣΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΥ ΕΜΠΟΔΙΟΥ
                              ( ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ).

1.        ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ
            ΑΛΓΕΒΡΙΚΩΝ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ.
                    ( ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ )

Ρίζα (α) + ρίζα ( β ) > Ρίζα ( α + β ).
Συνήθως στα διδακτικά εγχειρίδια αναφέρεται το διάφορο κι όχι με τη μορφή ανισότητας. Επίσης δίνουν αντιπαράδειγμα το οποίο δικαιολογεί το διάφορο.
π.χ  : Ρίζα ( 9 ) + ρίζα ( 16 ) = 3 +4 = 7
 ενώ ρίζα ( 9 + 16 ) = ρίζα ( 25 ) = 5.

Μπορούμε να αποδείξουμε εύκολα και γεωμετρικά την εν λόγω ανισότητα. Η γεωμετρική απεικόνιση δίνει εποπτεία , χηματοποιεί και εικονοποιεί την ιδιότητα και βοηθά ευκολότερα στην απομνημόνευση και κυρίως στην κατανόηση.

Βήμα 1ο :Υπαρχει ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές τα
ρίζα(α) ,ρίζα (β) και υποτείνουσα το ρίζα (α+β ). Γίνεται επαλήθευση με χρήση πυθαγωρείου θεωρήματος.

Βήμα 2ο : Εφαρμόζουμε τριγωνική ανισότητα στο παραπάνω τρίγωνο και προκύπτει :

Ρίζα (α) + ρίζα ( β ) > Ρίζα ( α + β ).




2.  ΨΕΥΔΑΙΣΘΗΣΗ ΑΝΑΛΟΓΙΑΣ
                 ( ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΕΜΠΟΔΙΟ ).


Είναι διαπιστωμένο ότι  οι μαθητές πετυχαίνουν στην εφαρμογή τεχνικών μεθόδων επίλυσης προβλημάτων ανάλογων ποσών.  Δεν πετυχαίνουν όμως στην εννοιολογική κατανόηση της αναλογίας και έτσι αστοχούν στην διάκριση ενός αναλογικoύ προβλήματος από ένα μη-αναλογικό. άμεση συνέπεια είναι να εφαρμόζουν αναλογίες σε προβλήματα που φαινομενικά μοιάζουν με αναλογικά χωρίς να είναι ( ψευδαίσθηση αναλογίας) . Το παρακάτω πρόβλημα βοηθά στον τομέα της θεραπείας αυτού του φαινομένου.

Δραστηριότητα 1 : Ένα πουκάμισο στεγνώνει σε 25 λεπτά αν εκτεθεί στον ήλιο. Σε πόσα λεπτά θα στεγνώσουν 3 ίδια πουκάμισα αν εκτεθούν σε ακριβώς ανάλογες συνθήκες με το πρώτο;

Δυσκολότερο αλλά παρόμοιο είναι και το πρόβλημα :

Δραστηριότητα 2: Αν με ένα κυλινδρικό κουτί χρώμα βάφουμε ένα δωμάτιο , με ένα άλλο κυλινδρικό κουτί τριπλασίων διαστάσεων πόσα δωμάτια μπορούμε να βάψουμε;

Παρατήρηση : Τριπλάσια ακτίνα βάσης και τριπλάσιο ύψος δεν συνεπάγεται τριπλάσιο όγκο αλλά 27 φορές μεγαλύτερο!





3      ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ
          ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ
                             ( ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ)

Η χρήση αναπαραστάσεων θεωρείται ένας πρόσφορος τρόπος καλύτερης επίλυσης μαθηματικών προβλημάτων από τους μαθητές. Οι αναπαραστάσεις αυτές είναι άλλοτε πληροφαριακές κι άλλοτε οργανωτικές. Μπορεί επίσης να είναι λεκτικές ή εικονικές. Μια καταγραφή π.χ των δεδομένων και των ζητούμενων του προβλήματος είναι λεκτική και πληροφοριακή. Ένα σχέδιο με τη μορφή εικονοποίησης τους προβλήματος με ζωγραφικά σχέδια θα μπορούσε να είναι εικονική και πηροφοριακή.  Θα δούμε πως μπορούν να χρησιμοποιηθούν αναπαραστάσεις εικονικές και οργανωτικές σε προβλήματα κλασμάτων. Συγκεκριμένα προτείνετε η χρήση ορθογωνίων διαμερισμένων σε ίσα μέρη ως καλύτερη αισθητοποίηση του προβλήματος που θα οδηγήσει με περισσότερη κατανόηση στην επόλυσή του. :

 Πρόβλημα1 : Τα 3/4 μιας σχολικής τάξης είναι κορίτσια. Πόσα είναι τα αγόρια και τα κορίτσια της τάξης αν ο συνολικό αριθμός μαθητών είναι 28 άτομα;

Λύση : Μπορούμε να αναπαραστήσουμε την τάξη με ένα ορθογώνιο. Επειδή τα 3/4 της είναι τα κορίτσια το χωρίζουμε σε 4 ίσα μέρη . Τα 3 από αυτά παριστάνουν τα κορίτσια και το 1 τα αγόρια.



Άρα χρειάζεται σύμφωνα με την διαδικασία αναγωγής της μονάδας να διαιρέσουμε το 28 : 4 =7 για να βρούμε το ένα κουτάκι πόσα άτομα περιέχει.   Δηλαδή το κάθε κουτάκι έχει 7 άτομα. Τα 3 τώρα που παριστάνουν τα κορίτσια είναι 3 *7 = 21 κορίτσια και φυσικά 7 είναι τα αγόρια.

Πρόβλημα 2 : Τα 3/4 μια τάξης που είναι 21 άτομα είναι κορίτσια . Πόσα είναι τα αγόρια;

Λύση : Στο ίδιο ορθογώνιο όπως στο προηγούμενο πρόβλημα γνωρίζουμε τα 3/4 που είναι 21. Τα 3 δηλαδή πρώτα ίσα μέρη δίνουν 21. Για να γίνει πάλι η αναγωγή στην μονάδα ( στο ένα κουτάκι ) διαιρούμε : 21 : 3 = 7. Άρα 7 άτομα αντιστοιχούν στο κάθε κουτάκι. Όλοι οι μαθητές είναι 7 *4 = 28 και τα αγόρια  το 1/4 δηλαδή 7.

Χρήση τετραγώνου 10Χ10 για την γεωμετρική παράσταση του ποσοστού.

Πρόβλημα 3 :  Να βρείτε το 8% του 400.

Λύση : Εικονίζουμε το καθολικό σύνολο ( = 400 ) με ένα τετράγωνο 10Χ10 το οποίο είναι χωρισμένο σε 100 μικρότεραω τατραγωνάκια. Καθένα από αυτά αισθητοποιούν γεωμετρικά το ποσοστό 1%. Κατά αναλογία της πορείας αναγωγής στη μονάδα που περιγράφεται προτύτερα θα βρούμε αρχικά το 1% του 400. Αυτό γίνεται διαιρώντας : 400 : 100 = 4. Το 4 αντιστοιχεί σε καθένα από τα 100 τετραγωνάκια ( 4Χ100 = 400). Το 8% τώρα αισθητοποιείται με 8 τετραγωνάκια. Άρα 8Χ4 = 32. Πρόκειται για γεωμετρικό μοντέλο στην διδασκαλία του ποσοστού.


4  ΑΝΑΠΑΡΑΣΑΣΗ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ.

Πρόβλημα : Η Τασία έχει διπλάσια χρήματα από την Ελένη. Η Ελένη τριπλάσια απ΄τη Βούλα. Τα συνολικά τους χρήματα είναι 200 ευρώ. Πόσα χρήματα διαθέτουν η κάθε μία;

Λύση : Εδώ προτείνετε η εικονική αναπαράσταση των χρηματων της καθεμίας με παύλες. Με - εικονίζουμε τα χρήματα της Βούλας.


Βούλα : -
Ελένη : - - -
Τασία : - - - - - -

Αν τώρα η - παριστάνει τον άγνωστο χ γίνεται φανερό ότι η εξίσωσή μας είναι η x +3x+6x = 200.Ή ακόμη από το μέτρημα των  παυλών : 10x =200.



5.                          ΕΠΙΠΛΕΟΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ
              ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

             
Α. Είναι καλό η εκφώνηση του προβλήματος με χρήση εξισώσεων να αναλύεται σε βήματα. Αυτό βοηθά τους μαθητές να οργανώνουν τη σκέψη τους. Ας δούμε ένα παράδειγμα καλύτερης διατύπωσης στο προηγούμενο πρόβλημα:

Πρόβλημα : Η Τασία , η Ελένη και η Βούλα πρόκειται να μοιραστούν ένα ποσό 200 ευρώ. Η Τασία θα πάρει διπλάσια χρήματα από την Ελένη και η ελένη τριπλάσια από τη Βούλα.
α. Αν συμβολίσουμε με x τα χρήματα της Βούλας  πως μπορούμε να συμβολίσουμε τα χρήματα :
i. της Ελένης   και    ii. της Τασίας ;
β. Ποια ισότητα ( εξίσωση ) μπορούμε να γράψουμε για τα συνολικά χρήματα των τριών κοριτσιών;
γ. Πόσα χρήματα πήρε η καθεμιά τους;

Β. Ενδείκνυνται έπίσης η χρήση φύλλου εργασίας.Αρχικά ζητούμε κατασκευή πίνακα των δεδομένων και των ζητούμενων του προβλήματος. Παρακινούμε στον σχεδιασμό πληροφοριακών εικόνων για την κατανόηση . Θα μπορούσαμε να έχουμε έτοιμες μερικές στο φύλλο εργασίας.Στα επόμενα στάδια θα δίνονται ερωτήσεις κατανόησης ή εμβάνθυνσης του προβλήματος. Επίσης αναστοχαστικοί προβληματισμοί μερικών περιπτώσεων , γενικεύσεων , ειδικών συνθηκών. Οποιαδήποτε ανάλυση , σκέψη , μερικοποίηση του προβλήματος βοηθούν το μαθητή στη κατανόηση του προβλήματος αλλά κυριότερα στην καλλιέργεια της κριτικης του σκέψης. Μαθαίνει να εμβανθύνει , να οργανώνει τη σκέψη του , να αντιλαμβάνεται ομοιότητες με άλλα προβλήματα. Δεν στοχεύουμε επομένως στην επίλυση μόνο του συγκεκριμένου προβλήματος. Περισσότερο στην ανάπτυξη μαθηματικής σκέψης και μοντελοποίησης. Σε επόμενη φάση του φύλλου εργασίας προτείνουμε όπου αυτό είναι δυνατό σχηματισμό αναπαραστάσεων οργανωτικών.
Τέλος ασχολούμαστε με την διαπραγμάτευση των επιμέρους βημάτων που θέτει το πρόβλημα. Δίνουμε τη λύση και κάνουμε επαλήθευση. Όλη η διεξοδική συζήτηση , η χρήση αναπαραστάσεων , η ανάλυση καθενός βήματος αργά και αναλυτικά βοηθά στην ανάπτυξη της μαθηματικής κρίσης και στρατηγικής επίλυσης προβλημάτων.

Γ. Σύμφωνα με την αρχή της αντιστροφής μια διαδικασίας πρέπει να δίνουμε στους μαθητές έτοιμες εξισώσεις και να τους παρακινούμε να τα αντιστοιχίσουν σε προβλήματα. Η θεωρία αντιστροφής μιας διαδικασίας στην διδακτική των μαθηματικών επισημαίνει την ανάγκη να κινούμαστε από μια μορφή στη άλλη αλλά και αντίστροφα. Έτσι επιτυγχάνεται καλύτερη εννοιολογική κατανόηση.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ --------->  ΕΞΙΣΩΣΗ
αλλά και :

ΕΞΙΣΩΣΗ --------> ΠΡΟΒΛΗΜΑ.

Παρόμοιες περιπτώσεις αντιστροφής υπάρχουν πολλές στα μαθηματικά.

ΠΙΝΑΚΑΣ ΤΙΜΩΝ --------->  ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ
ΓΡ. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ------> ΣΥΜΠΗΡΩΣΗ ΠΙΝΑΚΑ ΤΙΜΩΝ




ΒΕΛΟΕΙΔΕΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ---->ΠΙΝΑΚΑΣ ΤΙΜΩΝ
ΠΙΝΑΚΑΣ ΤΙΜΩΝ --------. ΒΕΛΟΕΙΔΕΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ


y =αx + β  ----------> ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΥΘΕΙΑΣ
ΕΥΘΕΙΑ ------> ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΤΟΥ ΤΥΠΟΥ y =αx + β 


ΖΕΥΓΟΣ ΑΡΙΘΜΩΝ -----> ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ
ΣΗΜΕΙΟ --------> ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ


ΠΟΣΟΣΤΟ -------> ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΣΕ ΚΛΑΣΜΑ
ΚΛΑΣΜΑ ------> ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΣΕ ΠΟΣΟΣΤΟ


ΠΟΣΟΣΤΟ -------> ΔΕΚΑΔΙΚΟΣ
ΔΕΚΑΔΙΚΟΣ ------> ΠΟΣΟΣΤΟ.


Δ. Τέλος είναι χρήσιμη η ανάπτυξη της αναλογικής σκέψης στην επίλυση προβλημάτων. Αναζητούμε δηλαδή ομοιότητες του προβλήματος με παρόμοια που λύσαμε προτύτερα.


6. ΧΕΙΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗ



Ο καθηγητής οφείλει να ασχοληθεί με το λάθος ( παρανόηση )του μαθητή. Να του δώσει χρόνο να υπάρξει. Να μη το θάψει βιαστικά να μην βιαστεί να επισημάνει το σωστό κανόνα. Κι ας βγει έξω από το διδακτικό του προγραμματισμό και ας εισέλθει σε έναν κόσμο αβεβαιότητας και περιπέτειας. Το λάθος είναι χρήσιμο παιδαγωγικό εργαλείο με το οποίο μαθητής διορθώνοντας το μαθαίνει να σκέφτεται μαθηματικά. Είναι προτιμότερο να μάθουμε στο μαθητή να οργανώνει τη σκέψη του από το να του σερβίρουμε έτοιμο φαγητό ξερών γνώσεων που ο ίδιος δεν μπορεί να παράγει.
Ο ρόλος του δασκάλου είναι να βοηθήσει το μαθητή να καταλάβει μόνος του το λάθος. Αυτό μπορεί να γίνει:
α. με κατάλληλες ερωτήσεις - προβληματισμούς
β. με χρήση αντιπαραδειγμάτων
γ. με την επίκληση της τάξης.

Ας δούμε μερικά παραδείγματα:

 Παράδειγμα 1

Ο μαθητής λύνει  : χ2 =2χ <=> χ*χ=2*χ <=> χ=2
Καθηγητής  : Ωραία . Πρόσεξε τώρα μια άλλη λύση :
                       χ2=2χ <=> χ2-2χ = 0 <=> χ(χ-2)=0 <=> χ=0 ή χ=2.
                          Είναι σωστή;
Μαθητής : Nαι.
Καθηγητής : Παρατηρείς μια αντίφαση στις λύσεις των δύο τρόπων;
Μαθητής : Στον πρώτο βρήκαμε μόνο χ=2 ενώ στον δεύτερο χ=0 ή χ=2.
Καθηγητής : Που μπορεί να οφείλετε αυτή διαφοροποίση.
Μαθητής : Ο δικός μου τρόπος είναι λάθος.
Καθηγητής : Ναι αλλά γιατί; Τι λάθος έγινε;Ας μας πει κάποιος από την τάξη.
.......................................................................................................

Εδώ έχουμε ερωτήσεις προβληματισμού και επίκληση της τάξης.



Παράδειγμα 2
                                  2         1            3
Ο μαθητής λύνει :  ----   + -----  =  -----
                                   5        5           10

Καθηγητής : Πως το βρήκες ;
Μαθητής :  (Εξηγεί)                                 1           1
Καθηγητής : Για να μου προσθέσεις :  ------- + ------
                                                                    2          2
                      2  
Μαθητής :  ------
                       4
                                   1          1            2
Καθηγητής :  Άρα   ------ + ------  = ------
                                    2           2            4
Μαθητής : Ναι .

Καθηγητής : ......... (με διαλογική συζήτηση οδηγεί τον μαθητή στο παράδοξο συμπέρασμα αυτής της πράξης
μισό + μισό = μισό!)

Εδώ έχουμε τη χρήση αντιπαραδείγματος.



Παράδειγμα 3

Όταν δύο τρίγωνα έχουν δυο πλευρές μία προς μία ίσες και μία γωνία τους ίση είναι ίσα.

Ο ισχυρισμός αυτός είναι λανθασμένος. Δεν ισχύει  πάντα αν η γωνία δεν είναι η περιεχόμενη των ίσων πλευρών. Χαρακτηριστικό αντιπαράδειγμα με το οποίο ο διδάσκων μπορεί να προβληματίσει τους μαθητές είναι το παρακάτω :

Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΒΓ έχουν :
1. ΑΒ κοινή πλευρά
2. Β κοινή γωνία
3. ΑΔ = ΑΓ.
Έχουν δύο πλευρές και μία γωνία ίσες. Δεν είναι όμως ίσα!

7. " ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ"
                       ( ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ)
                                
Παράδειγμα 1

                                     3
Έστω η διαίρεση 4 :  -----
                                     4

 Πρέπει να βρούμε πόσες φορές χωράει το 3/4 στο 4.



Σε μία ευθεία γραμμή παίρνουμε τον αριθμό 4. Κάθε μονάδα χωρίζεται σε 4 ίσα μέρη ( Οι τέσσερις γραμμούλες αποτελούν μια μονάδα ) . Τα τρία από αυτά ( οι τρεις γραμμούλες ) παριστάνουν τα 3/4. Παρατηρούμε ότι τα 3/4 ( οι τρεις γραμμούλες ) χωρούν 5 φορές στον αριθμό 4 και περισσεύει μια γραμμούλα που είναι το 1/3 του 3/4. Άρα :

       3              1
4 : ----   = 5  -----
       4              3



Παράδειγμα 2
                                   
                                                        1        1
Έστω η διαίρεση κλασμάτων  :  ----- : ------
                                                      2        6

Πρέπει να βρούμε πόσες φορές χωράει το κλάσμα 1/6 στο 1/2.



Το παραπάνω σχήμα είναι χωρισμένο σε δύο στήλες. Η κάθε μία στήλες πασιστάνει το 1/2. Το καθένα τώρα από τα μικρότερα ορθογώνια κουτάκια ( κελιά ) παριστάνει το 1/6. Το ένα κελί ( 1/6 ) χωράει 3 φορες στην πρώτη στήλη ( 1/2 ). Κι αυτό γιατί η κάθε στήλη έχει 3 κελιά.

               1            1
Άρα :  -------- :  ------  = 3
             2            6





8.                  ΕΝΝΟΙΟΛΟΓΙΚΑ ΠΕΔΙΑ
           ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΟΛΟΓΙΚΟ ΕΜΠΟΔΙΟ



Εννοιολογικό πεδίο μιας μαθηματικής έννοιας ονομάζουμε το σύνολο των διαφορετικών και επιμέρους περιπτώσεων που απαρτίζουν τον ορισμό και τη λειτουργία της στα μαθηματικά αυτής της έννοιας. Για να μην υπάρχουν επιστημολογικά εμπόδια πρέπει ο μαθητής να έρθει σε επαφή με όλες αυτές τις επιμέρους παριμέτρους της κάθε έννοιας.
Παρατηρούνται μια σειρά από λάθη των μαθητών λόγω της αποσπασματικής διδασκαλίας.
Π.χ
1. ορίζοντας τον πολλαπλασιασμό ως πρόσθεση όμοιων προσθετέων : 4 * 5 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 οι μαθητές δυσκολεύονται στον ορισμό του πολλαπλασιασμού δεκαδικών και αδυνατούν να αντιληφθούν ότι το γινόμενο των δύο αριθμών είναι μικρότερο από τους παράγοντες.
π.χ 0,5 * 8 =4
2. Ορίζοντας το κλάσμα ως μέρος του όλου με κομμάτια μιας πίτσας ας πούμε , οι μαθητές αδυνατούν να αντιληφθούν ότι ένα κλάσμα μπορεί να είναι μεγαλύτερο από τη μονάδα. Ούτε κατανοούν πως ένα κλάσμα  ισούται με δεκαδικό αριθμό.


α. Εννοιολογικό πεδίο αριθμού

Ένας αριθμός μπορεί να εκφράζει :

α. Πλήθος  ( 6 περιστέρια)
β. Σειρά ( τρίτος )
γ. Μέτρηση ( 45 κιλά , 23 βαθμοί Κελσίου )
δ. Αφηρημένη συμβολική μεταβλητή τιμή ( χ).

β. Εννοιολογικό πεδίο κλάσματος

α. Μέρος του όλου
β. Διαίρεση μερισμού
γ. Λόγο ευθυγράμμων τμημάτων
δ. Ποσοστό
ε. Αριθμό.


γ. Εννοιολογικό πεδίο αναλόγων ποσών

α. Αλληλεξάρτηση μεγεθών
β.Μεταβολή μεγέθους ως προς το χρόνο.
γ. Γραμμικότητα ( ευθεία γραμμή )
δ. ομοιότητα σχημάτων με κλίμακα

δ. Εννοιολογικό πεδίο συνάρτησης

α. αλληλεξάρτηση μεγεθών
β. λεκτική διατύπωση.
γ. αντιστοίχιση

 Η συνάρτηση επίσης έχει πληθώρα αναπαραστάσεων :
α. βελοειδές διάγραμμα
β. πίνακας τιμών
γ. γραφική παράσταση



9.       ΟΠΤΙΚΟ ΚΑΙ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΟ ΕΠΙΠΕΔΟ
                 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

Ο Van Hiele διαχωρίζει δύο επίπεδα στη κατανόηση των γεωμετρικών σχημάτων από τους μαθητές :
α. οπτικό επίπεδο
β. περιγραφικό επίπεδο.

Σύμφωνα με το πρώτο που είναι κυρίαρχο ο μαθητής αναγνωρίζει ένα παραλληλόγραμμο , έναν ρόμβο , το σχήμα του θεωρήματος Θαλή από την ομοιότητα που έχει με τα σχήματα του σχολικού βιβλίου. Τα αναγνωρίζει δηλαδή οπτικά σα  να τα φωτογραφίζει . Το δεύτερο επίπεδο που είναι το ζητούμενο είναι να αναγνωρίζονται τα γεωμετρικά σχήματα από την περιγραφή των ιδιοτήτων τους.
Ο ρόλος του διδάσκοντα είναι να δίνει σχήματα που δεν εναρμονίζονται πλήρως με αυτά του βιβλίου. Η περιστροφή είναι χρήσιμη επιλογή. Παραλληλόγραμμα , ρόμβοι αλλά και το σχήμα των παραλλήλων του Θαλή περιστραμμένα σε διαφορετικές θέσεις αναγκάζουν τους μαθητές να χρησιμοποιήσουν τις ιδιότητες των θεωρημάτων για την αναγνώρισή τους.






10. ΟΛΙΣΤΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΤΟΠΩΝ



α. Στην μεσοκάθετο ευθύγραμμου τμήματος.

Τα σημεία Μ που ανήκουν πάνω στην μεσοκάθετο ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ  ικανοποιούν την ιδιότητα d( Μ,Α ) = d(Μ , Β).
Ποια σημεία ικανοποιούν τις ανισότητες :d( Μ,Α ) > d(Μ , Β) ,
d( Μ,Α ) > d(Μ , Β). Η απάντηση αφορά τα ημιεπίπεδα που χωρίζει η μεσοκαθετός της αριστερά και δεξιά.

β. Στον κύκλο.

Αντίστοιχη ολιστικότητα βρίσκουμε και στον γ.τ του κύκλου :
d (Μ,Ο ) = ρ  , d (Μ,Ο ) < ρ , d (Μ,Ο ) > ρ


γ. Στον γ.τ των σημείων της διχοτόμου γωνίας.

δ. Τα σημεία του κύκλου βλέπουν ένα ευθύγραμμο τμήμα υπό σταθερή ίση γωνία ( θεώρημα εγγεγραμμένων γωνιών που βαίνουν στο ίδιο τόξο. Τα εσωτερικά σημεία του κύκλου βλέπουν το ευθύγραμμο τμήμα υπό μεγαλύτερη γωνία της εγγεγραμμένης. Τα εξωτερικά τώρα σημεία του κύκλου το βλέπουν υπό μικρότερη γωνία.


11. Η ΠΟΛΥΣΗΜΙΑ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΝΟΗΜΑΤΟΣ
        ΩΣ ΑΙΤΙΑ ΕΠΙΣΤΗΜΟΛΟΓΙΚΟΥ ΕΜΠΟΔΙΟΥ.

Η πολυσημία και πολλαπλότητα εμφανίζεται στο εννοιολογικό πεδίο μιας έννοιας ( Βλέπε πιο μπροστά ). Επίσης στην πληθώρα αναπαραστάσεων ( π.χ της συνάρτησης). Υπάρχει όμως διάχυτη στα μαθηματικά. Ας δούμε ορισμένα παραδείγματα:

α. Το χ ( γενικά τα γράμματα) , άλλοτε λειτουργεί ως μεταβλητή  , άλλοτε ως άγνωστος κι άλλοτε ως παράμετρος.

β. Το σημείο άλλοτε παριστάνεται γεωμετρικά με τελίτσα κι άλλοτε αλγεβρικά ως διατεταγμένο ζεύγος.
Δεν είναι τόσο προφανές για το μαθητή να αντιληφθεί τελίτσα στην έκφραση : "Δίνεται σημείο Α(1,5)".

γ. Διαφορετικά σύμβολα για το ίδιο πράγμα : (ΑΒ) , μέτρο διανύσματος , d(A,B) , απόλυτη τιμή , μέτρο μιγαδικού έχουν διαφορετικό ή ίδιο συμβολισμό γιατί γεωμετρικά ορίζουν το ίδιο πράγμα ( μήκος ή απόσταση ).

δ. Διαφορετική είναι η χάραξη των υψών σε οξυγώνιο και διαφορετικές σε ορθογώνιο ή αμβλυγώνιο τρίγωνο.

Γενικά η πολυσημία αυτή δημιουργεί δυσκολίες κατανόησης. Σκοπός του διδάσκοντα είναι να εντοπίσει την ενότητα μέσα στην πολλαπλότητα τους ή την διαφορετικότητα μέσα στην φαινομενική ομοιότητα.




12.  ΣΥΣΤΑΤΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΦΥΛΛΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑΣ.


Ένα φύλλο εργασίας καλό είναι να έχει τη δομή :

Α. Δράσεις
Β. Επανάληψη δράσεων
Γ. Αξιολόγηση.
Δ. Επανατροφοδότηση - Τροποποίηση.
Ε. Διατύπωση - Επικύρωση.

Αναπτύσσουμε αρχικά δράσεις και επανάληψη παρόμοιων δράσεων με την καθοδήγηση του διδάσκονται. Στο τρίτο στάδιο αφήνουμε την επόμενη δραστηριότητα του φύλλου εργασίας να το αντιμετωπίσουν μόνοι τους οι μαθητές . Εδώ αξιολογείται το αποτέλεσμα της διδασκαλίας και έρχεται ο διδάσκοντας με τα
λάθη και τις παρανοήσεις . Στο επόμενο στάδιο γίνεται η επανατροφοδότηση και τροποποιούνται τα λάθη. Η διδασκαλία ολοκληρώνεται με την διατύπωση των συμπερασμάτων όπου επιτυγχάνεται η επικύρωση της γνώσης. 




13.   ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΟΙΚΤΟΥ ΤΥΠΟΥ

Πρόκειται για ερωτήσεις γενικόλογες που δεν έχουν προκαθορισμένη απάντηση και επιδέχονται πολλαπλές αντιμετωπίσεις. Ευνοούν την διεύνηση και την εξέταση εικασιών.

Παράδειγμα 1 : Στο εργαστήριο πληροφορικής είναι μπροστά σε έναν υπολογιστή και τους δίνετε σε φύλλο εργασίας η παρακάτω δραστηριότητα :

Δραστηριότητα : α. Μπείτε στο πρόγραμμα Sketcnpad και σχηματίστε ένα παραλληλόγραμμο.
β. Ποιες ιδιότητες λέτε να έχουν τα παραλληλόγραμμα;

Η β  ερώτηση επίτηδες δίνεται γενικόλογα διατυπωμένη για να προκαλεί διερεύνηση και εξέταση ποικίλων εικασιών και στρατηγικών.

 Παράδειγμα 2 : Που νομίζετε βρίσκει εφαρμογή η γεωμετρία στη ζωή μας ;

Είναι ερώτηση πολύ γενική που ενισχύει τον προβληματισμό και την έρευνα σε πολλούς τομείς της ανθρώπινης δραστηριότητας.
Παρόμοια και το παρακάτω.

Παράδειγμα 3 : α. Που στη ζωή μας χρησιμοποιούμε μετρήσεις με αριθμούς;
β. Καταγράψτε κατά τη διάρκεια μιας εβδομάδας τις μετρήσεις ( αριθμούς) που χρειάστηκε να χρησιμοποιήσετε εσείς και η οικογένειά σας.

Παράδειγμα 4 : Μπορούμε να πολλαπλασιάζουμε , να προσθέτουμε , να αφαιρούμε να διαιρούμε ανισότητες κατά μέλη;

 Το ερώτημα δίνεται πάλι γενικόλογα και δεν περιέχει βήματα. Μόνο μια σύντομη εκφώνηση. Με τον τρόπο αυτό αποφεύγεται οποιαδήποτε καθοδήγηση από τον διδάσκοντα. Αφήνεται η διαπραγμάτευση του θέματος στην ερευνητική προσπάθεια των μαθητών. Οι μαθητές είναι ελεύθεροι να κινηθούν σε όποια κατεύθυνση επιθυμούν . Να κάνουν εικασίες , να αναπτύξουν στρατηγικές, να αλλάξουν πιθανώς απόψεις. Πρόκειται για θέμα ανοικτό , δηλαδή θέμα απόλυτης ανακάλυψης κατά Bruner , χωρίς την παραμικρή καθοδήγηση.

Παράδειγμα 5 : Δίνεται το τριώνυμο : χ2-5χ+6. Πότε παίρνει θετικές και πότε αρνητικές τιμές;

Παρομοίως όπως το προηγούμενο θέμα.




14.  ΓΙΑΤΙ 2 ΕΙΣ ΤΗΝ ΜΗΔΕΝΙΚΗ ΚΑΝΕΙ 1 ;
                        ( ΕΝΝΟΙΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ)

 
                                                                                        0
Δημιουργεί δυσκολία στην κατανόηση του  α = 1. Για να επιτύχουμε καλύτερη εννοιολογική κατανόηση του ορισμού μπορούμε να θέτουμε τον παρακάτω προβληματισμό :
  3    3
2 : 2      = 1  ,     

( διότι είναι διαίρεση αριθμού  με τον εαυτό του ).
  3         3               3 - 3              0   
2  :  2      =     2         =   2    
                         
( εφαρμόζοντας την ιδιότητα : όταν  διαιρούμε δυνάμεις με την ίδια
βάση αφαιρούμε τους εκθέτες ).    

           0
Άρα 2 = 1.



15.                     ΧΡΗΣΗ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ
                    ΣΤΗΝ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ.

 Περίπτωση 1 : Στα είδη τριγώνων.


Χρειάζεται να επιτύχουμε καλύτερη εννοιολογική κατανόηση στα είδη τριγώνων. Συγκεκριμένα : Μπορεί ένα ορθογώνιο τρίγωνο να είναι ισόπλευρο; Υπάρχει τρίγωνο ορθογώνιο και ισοσκελές. Επειδή οι μαθητές μαθαίνουν τα συγκεκριμένα είδη ως προς τις πλευρές και ως προς τις γωνίες  δημιουργείται δυσκολία κατά πόσο μπορεί να γίνει ανάμειξη.

Η χρήση διαγραμμάτων κρίνεται καλό εφόδιο για την κατανόηση της θεωρίας :


Ορθογώνιο           Αμβλυγώνιο


Ισοσκελές    Σκαληνό         Ισόπλευρο


              Οξυγώνιο

Στο παραπάνω σχήμα ζητάμε από τους μαθητές να αντιστοιχίσουν με γραμμές Κάθε τρίγωνο της 1ης και 3ης γραμμής με τα στοιχεία της μεσαίας. Έτσι το ορθογώνιο ενώνεται μόνο με το ισοσκελές και το σκαληνό. Το ίδιο συμβαίνει και με το αμβλυγώνιο. Το οξυγώνιο αντίθετα ενώνεται και με τα τρία.

Το ίδιο μπορεί να γίνει και με χρήση άλλου διαγράμματος :

                             ισοσκελές      ισόπλευρο           σκαληνό

Οξυγώνιο                    +                           +                       +

Αμβλυγώνιο                +                                               +
       
Ορθογώνιο                  +                                              +



Περίπτωση 2  : Στα είδη τετραπλεύρων .

Για την καλύτερη εμπέδωση στα είδη των τετραπλεύρων και την αισθητοποίηση μπορούμε να χρησιμοποιούμε διάγραμμα Venn.
Κατασκευάζουμε ως ορθογώνιο το καθολικό σύνολο που περιέχει όλα τα τετράπλευρα. Μέσα ένα κυκλάκι παριστάνει τα τραπέζια.
Ένα άλλο κυκλάκι περιέχει τα παραλληλόγραμμα. Τα δύο αυτά κυκλάκια δεν συναντιώνται.  Μέσα στο κυκλάκι των παραλληλογράμμων υπάρχουν δύο άλλα : των ορθογωνίων και των ρόμβων. Αυτά συναντιώνται και το κοινό μέρος τους (τομή ) αποτελεί τα τετράγωνα. Ο χώρος μέσα στα τετράπλευρα που δεν ανήκει σε κάποιο κυκλακι περιέχει τα υπόλοιπα τυχαία τετράπλευρα.
Περίπτωση 3 :         Διάγραμμα Venn
                         για την προτεραιότητα πράξεων .


Έστω η πράξη :  24 : 8 + 3 *5

 Μπορούμε να κλείσουμε με κυκλάκια τις πράξεις που προηγούνται. Εδώ τις 24 : 8 ,  3 *5. Κατόπιν με ένα μεγαλύτερο κυκλο που  περιέχει τους προηγούμενους κύκλους της πρόσθεσης που ως πράξη έπεται. Έτσι έχουμε σχηματική αναπαράσταση της προτεραιότητας. Προχωρούμε πάντα από τα μέσα κυκλάκια προς τα έξω.



Περίπτωση 4 :           Διαγράμματα Venn
                        για την αναγνώριση αθροίσματος ή γινομένου.
΄
Παρατηρείται δυσκολία των μαθητών να αναγνωρίσουν αν μία αλγεβρική  παράσταση είναι άθροισμα ή γινόμενο. Αυτό συμβαίνει ιδιαίτερα στην παραγοντοποίηση. Έτσι αγνοούν την αναγκαιότητα και την ουσία της παραγοντοποίησης ως μετατροπής από άθροισμα σε γινόμενο. Υπάρχει έλλειμμα εννοιολογικής κατανόησης παρά την απομνημόνευση τεχνικών μεθόδων.
  Τα διαγράμματα Venn με παρόμοια χρήση μπορούν να βοηθήσουν στο σημείο αυτό. Η τελική πράξη φανερώνει το είδος της παράστασης  ( άθροισμα ή γινόμενο ):


16.                  Η Διδακτική αξιοποίηση
                της ιστορίας των μαθηματικών. 
                            Όμοια τρίγωνα

Δεν μπορούμε να διδάσκουμε όμοια τρίγωνα χωρίς τα ιστορικά προβλήματα του Θαλή όπως :

Μέτρηση ύψους πυραμίδας
Μέτρηση ύψους δέντρου με το ραβδί και τη σκιά.
Μέτρηση της απόστασης πλοίου από την ακτή.
Υπολογισμός της απόστασης Σελήνης - Ήλιου.

Ενδιαφέρον άρθρο στην διδακτική αξιοποίηση των ιστορικών προβλημάτων του Θαλή υπάρχουν στην ιστοσελίδα :




17. Γεωμετρική επίλυση εξισώσεων.
                ( ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ )

                                        x
Έστω η εξίσωση  : x  + -------- = 9
                                        2

Aν θεωρήσουμε με χ το μήκος ενός ευθυγράμμου τμήματος το πρώτο μέλος της εξίσωσης παριστάνει ολόκληρο το τμήμα συν το μισό. Δηλαδή ενάμιση φορά το τμήμα = 9. Για να βρω το χ θα χωρίσω το 9 σε τρία ίσα μέρη. Πράγματι 9 :3 =3. Το χ =6.

 
             3                          3                        3
   ____________    ____________ _____________

   Ι ------------   x  -------------------------I   ---- x/2 --------I


 


18.                    Ορισμός του κύκλου
           σύμφωνα με τις αντιλήψεις των μαθητών.

Ορίζουμε τα ευθύγραμμα τμήματα που έχουν την ίδια αρχή Ο και σταθερό μήκος ρ. Τα δεύτερα άκρα τους βρίσκονται πάνω στον κύκλο. Ο ορισμός αυτός του κύκλου βρίσκεται κοντά στην αντίληψη των μαθητών γιατί μοιάζει με την εικόνα του κύκλου της ρόδας του ποδηλάτου και των ακτίνων του.





19. Η ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΑΛΦΑΒΗΤΟΥ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ.


Μπορούμε να χρησιμοποιούμε το γράμμα Χ για να αισθητοποιήσουμε εικονικά τις κατακορυφήν γωνίες και το γράμμα Ζ για τις εντός εναλλάξ! Μπορούμε να δούμε την ισότητα σχημάτων μέσα από τα γράμματα. Το Ζ και το Ν είναι ίσα σχήματα. Παριομοίως το Σ και το Μ. Μπορούμε επίσης να δούμε την καθετότητα στην ίδια ευθεία να συνεπάγεται παραλληλία. Αυτό συμβαίνει στα : Γ , Ε , Η , Π , Τ . Να μελετήσουμε τα εμβαδά των ημικυκλίων στο Β. Το άθροισμα γωνιών του Δ. Να παρατηρήσουμε και να αποδείξουμε διχοτόμους στα γράμματα Σ , Μ , Υ.





20.  ΜΑΘΗΤΕΣ ΠΟΥ ΕΡΧΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ
                                             ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ

   Οι μαθητές που για πρώτη φορά έρχονται στο γυμνάσιο αγνοούν δύο βασικές μαθηματικές έννοιες. Αυτό δεν οφείλεται σε δική τους αδυναμία αλλά σε παράληψη του διδακτικού βιβλίου. Από την άλλη εριά στα εγχειρίδια του γυμνασίου θεωρούνται βασικές γνώσεις που δεν παρουσιάζονται στο βιβλίο της α΄ γυμνασίου. Πράγματι την έννοια της ισότητας σύμφωνα με το μοντέλο της ζυγαριάς τη βλέπουν πρώτη φορά στη β΄ γυμνασίου. Επίσης την μεταβλητή την μελετούν  στην ίδια τάξη. Ο καθηγητής λοιπόν που διδάσκει α΄ γυμνασίου πρέπει να έχει υπόψιν του :

α. Οι μαθητές αγνοούν την ισότητα ως διμελή σχέση. Ως ισόβαρη αξία δύο μελών σύμφωνα με το
 " μοντέλο της ζυγαριάς" που ισορροπεί. Το = το αναγνωρίζουν ως ένα σημάδι που χρησιμοποιούσε ο δάσκαλος όταν τους ζητούσε να βρουν το αποτέλεσμα μιας πράξης. Είναι σα να σημαίνει στη μνήμη τους : " Βρες το αποτέλεσμα " ή " αυτό που σου γράφω κάνει .........".

β. Επίσης αγνοούν την έννοια της μεταβλητής. Αναγνωρίζουν σε ένα γράμμα έναν άγνωστο αλλά σταθερό αριθμό. Την έννοια του αριθμού που μεταβάλλεται παίρνοντας πολλές διαφορετικές τιμές δεν τη γνωρίζουν. Θα τη δουν για πρώτη φορά στο βιβλίο της β΄ γυμνασίου.Το " μοντέλο του δοχείου" κρίνεται κατάλληλο για να προσδώσουμε σ΄ ένα γράμμα τις δύο διαφορετικές όψεις : τον άγνωστο και την μεταβλητή.

Το " μοντέλο του δοχείου"
 Έχουμε λοιπόν ένα δοχείο μη διαφανές.Βάζουμε στο εσωτερικό του έναν αριθμό και κλείνουμε το καπάκι. Το δοχείο περιέχει έναν αριθμό σταθερό αλλά άγνωστο. Έστω τώρα ότι έχουμε το δοχείο με ανοικτό το καπάκι. Μπορούμε να βάζουμε έναν αριθμό αλλά όποτε θέλουμε να τον βγάζουμε και να βάζουμε έναν άλλον κ.ο.κ. Οι αριθμοί είναι πλέον γνωστοί αλλά μεταβλητοί. Έχουμε έτσι μια εικόνα της μεταβλητής. Δηλαδή :

Δοχείο με κλειστό καπάκι :   άγνωστος
Δοχείο με ανοικτό καπάκι    : μεταβλητή  



21. ΟΠΤΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Α΄ ΒΑΘΜΟΥ

α. Στο πρώτο κιόλας βήμα επίλυσης μια πρωτοβάθμιας εξίσωσης παρατηρείται σημαντικό διδακτικό εμπόδιο. Πράγματι δυσκολεύονται συχνά οι μαθητές να ανακαλύψουν σε ποιους όρους , που ακριβώς πρέπει να πολλαπλασιάσουν με το Ε.Κ.Π. Για την διόρθωση αυτού του διδακτικού εμποδίου συνιστάται η χρήση παζλ για την οπτικοποίση των όρων μια εξίσωσης. Μοιράζουμε στα πιαδιά κομμάτια ποαζλ διαφορετικών χρωμάτων που συναρμολογούνται για να σχηματίσουν την εξίσωση . Κάτι τέτιοο φαίνεται στην παρακάτω εικόνα :

οπτικοποίηση εξίσωσης σε παζλ

Ζητάμε από τους μαθητές να χωρίσουν τα κομμάτια. Τους βοηθάμε να κατανοήσουν ότι μόνο στα κίτρινα μέρη πολλαπλάσιάζουμε επί το Ε.Κ. Π .

β. Για τη διαδικασία χωρισμού γνωστών από αγνώστων μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε κάρτες που αναγράφουν τους όρους της εξίσωσης. Οι κάρτες μπορούν να κολληθούν στον πίνακα με σιλοτέιπ. Ακόμη να υπάρχουν μπροστά στους μαθητές ώστε να τις διαχειρίζονται οι μαθητές ομαδοσυνεργατικά. Οι κάρτες με τα πρόσημα είναι διπλής όψης, Στην μια μεριά δηλαδή περιέχουν το + και στην άλλη το - . Έτσι αν γίνει μεταφορά μιας κάρτας στο άλλο μέλος αναποδογυρίζουμε την κάρτα προσήμου για να αλλάξει το πρόσημο του όρου.
Έτσι μπορεί να γίνει κινητικά με πραγματικά αντικείμενα επίδειξη μεταφοράς από το ένα μέλος στο άλλο. Πετυχαίνουμε επίσης καλύτερη εννοιολογική κατανόηση για το ποοι όροι παραμένουν ακίνητοι και δεν αλλάζουν πρόσημο και ποιοι μετακινούντια και αλλάζουν.






22.   ΕΝΑ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΜΙΚΡΟΤΕΡΟ ΑΠΟ ΕΝΑΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΑ;
                                   ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΒΕΒΑΙΩΣΗ

Συνήθως οι μαθητές αντιλαμβάνονται ότι πολλαπλασιάζοντας δύο αριθμούς προκύπτει αριθμός ( γινόμενο) μεγαλύτερο από τους δύο παράγοντες. Αυτό΄όμως δεν συμβαίνει αν ο ένας είναι δεκαδικός μικρότερος του1. Η παρακάτω εικόνα με γραφικό τρόπο εμβαδών αποδυκνύει κάτι τέτοιο. Έστω λοιπόν το ορθογώνιο διαστάσεων 1Χ3. Έχει εμβαδόν : 1 *3 =3
Αν μεταβάλλουμε την διάσταση 1 με μια άλλη α<1 το καινούριο ορθογώνιο έχει μικρότερο εμβαδόν. Άρα α*3 < 3.


Το πρόβλημα μπορεί να παρουσιαστεί και σε Sketchpad. Σε σύστημα αξόνων δημιουργούμε ορθογώνιο 1Χ3 όπως στην πρώτη εικόνα του παραπάνω σχήματος.. Μεταβλητό σημείο κινείται στον άξονα yy΄ . Ανεβοκατεβάζοντας το σημείο α αυξομειώνουμε το εμβαδόν του ορθογωνίου διαστάσεων 3Χα



23. ΠΙΝΑΚΑΣ ΤΙΜΩΝ : ΧΡΗΣΙΜΟ ΕΡΓΑΛΕΙΟ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ


ΠΡΟΒΛΗΜΑ : Δύο αυτοκίνητα κινούνται με ταχύτητες 55Km/h και 65Km / h . Αν το γρηγορότερο αυτοκίνητο ξεκινά μία ώρα αργότερα από το άλλο , πόσες ώρες χρειάζεται για να καλύψει τη διαφορά;

Το πρόβλημα μπορεί να λυθεί γραφικά από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων  y= 55χ ,
 y= 65x - 65 , που παριστάνουν την κίνησή τους . ( χ= ώρες , y = χιλιόμετρα). Φαίνεται ότι μετά από την τιμή του χ που τέμνονται οι δύο γαρφικές η δεύερη συνάτηση βρίσκεται πάνω από τη πρώτη.

Θα μπορούσαμε όμως να οδηγηθούμε στο ίδιο αποτέλεσμα μελετώντας έναν πίνακα τιμών :

 
Ώρες1234567
Km ( αργό αυτοκίνητο )55110165220275330385
Km ( γρήγορο αυτοκίνητο )065130195260325390




Ε΄ ΒΙΩΜΑΤΙΚΗ ΜΑΘΗΣΗ.

Βιωματικά Μαθηματικά. Μαθηματικά πλαισιωμένα μέσα από την πραγματικότητα

Οι μαθηματικές έννοιες, αλλά και η χρήση τους πηγάζουν από την ίδια την πραγματικότητα που βιώνουν τα άτομα. Η μάθηση πραγματοποιείται πάντοτε μέσα σε ένα συγκεκριμένο πλαίσιο και είναι αποτέλεσμα προσωπικών αναγκών. Συνεπώς, η μάθηση των μαθηματικών καλό είναι να μη συντελείται σε έναν ουδέτερο και αφηρημένο κόσμο, όπου οι εμπειρίες των παιδιών δεν έχουν θέση. Αυτό σημαίνει ότι η ενεργοποίηση των παιδιών σε καταστάσεις και προβλήματα που τους είναι οικεία, και προέρχονται από το βιωματικό τους περιβάλλον, συνεπάγεται περισσότερα κίνητρα και αποτελεσματικότερη μάθηση.
Οι καταστάσεις τις οποίες χρησιμοποιούμε ως αφετηρία για την εισαγωγή των μαθηματικών εννοιών προέρχονται από τη φύση, τη ζωή και τον πολιτισμό. Όσον αφορά τη φύση δίνουμε έμφαση σε κανόνες και τρόπους προστασίας του περιβάλλοντος. Όταν λέμε πολιτισμό εννοούμε τη ζωγραφική, τη λαϊκή παράδοση και γενικότερα τα έργα της τέχνης. Εννοούμε επίσης, την ιστορία των ελληνικών αλλά και των παγκόσμιων μαθηματικών.   
Στηριζόμαστε στη βασική παιδαγωγική και διδακτική αρχή ότι κάποιος μαθαίνει καλύτερα όταν του δημιουργούνται κίνητρα και ενδιαφέρον για μάθηση και όταν έχει να αντιμετωπίσει μια κατάσταση - πρόβλημα   στην οποία εμπλέκεται ενεργά και βιωματικά.

Υπάρχουν πολλά είδη βιωματικής μάθησης στα μαθηματικά. Χρήση χειροπιαστών αντικειμένων , εκτέλεση πειραμάτων , κατασκευές και χειροτεχνίες , παιχνίδι ρόλων , hands on geometry , προβλήματα χωρίς επαρκή δεδομένα κ.α. Μερικές τέτοιες εφαρμογές θα δούμε παρακάτω :


   1.                     ΒΙΩΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ
        ΣΤΙΣ ΜΟΝΑΔΕΣ ΟΓΚΟΥ ΚΑΙ ΜΑΖΑΣ ( ΧΕΙΡΟΠΙΑΣΤΑ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΑ )

Δίνουμε στους μαθητές ομαδοσυνεργατικά διάφορα μπουκάλια ή συσκευασίες από προϊόντα της αγοράς. π.χ μπουκάλια απορυπαντικών , χλωρίνης , σιροπιών , διορθωτικού , οινοπνεύατος , αναψυκτικών , χυμών. Επίσης συσκευασίες από μακαρόνια , σοκολάτας , καφέ , ζάχαρης , χαπιών κ.α
α. Παρατηρούμε ότι τα υγρά προϊόντα αναγράφουν όγκο σε l ή ml ενώ τα στερεά μάζα σε Kg ή  g ή  mg.
β. Σε δεύτερη φάση ζητούμε σύγκριση ποσότητας.π.χ Ποιο περιέχει περισσότερο υγρό το μπουκαλάκι νερό 0,5 l  ή το κουτάκι κοκακόλας 330 ml .H σύγκριση απαιτεί μετατροπές μονάδων.
γ. Δραστηριότητα. Δύο χλωρίνες αναγράφουν :  Α ---> 0,75 l   2,5 ευρώ   Β --->  1000 ml  3 ευρώ. Ποιο από τα δύο προϊόντα συμφέρει να αγοράσουμε;


2.                            ΒΙΩΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ
          ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ( ΧΕΙΡΟΠΙΑΣΤΑ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΑ ).

Παίρνουμε 3 κομμάτια μακαρονιών διαφορετικών μηκών. Παρατηρούμε ότι αν το συνολικό μήκος των δύο είναι μικρότερο από το μήκος του τρίτου δεν σχηματίζουν τρίγωνο. Αντίθετα αν τα δύο μαζί ξεπερνούν το τρίτο τότε το τρίγωνο σχηματίζεται. Η δραστηριότητα αυτή αναδεικνύει τον πειραματικό χαρακτήρα της γεωμετρίας. Η ίδια δραστηριότητα μπορεί να γίνει με καλαμάκια αντί για μακαρόνια.



 3. ΠΑΙΧΝΙΔΙ ΡΟΛΩΝ ΣΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ.

Δίνουμε ρόλους στους μαθητές. Ένας είναι ο πλακατζής που θα περάσει πλακάκια στο δάπεδο της αίθουσας. Ένας άλλος είναι ο ελαιοχρωματιστής που θα βάψει τους τοίχους. Οι υπόλοιποι διαπραγματεύονται με τους μάστορες. Επίσης οι τεχνίτες μπορούν να έχουν βοηθούς. Ο κάθε τεχνίτης με μέτρα που τους προμηθεύει ο διδάσκοντας μετρούν τις διαστάσεις του δαπέδου και των τοίχων. Κατόπιν πρέπει να λύσουν συγκεκριμένα πρακτικά ζητήματα :

α. πόσα πλακάκια διαστάσεων 30Χ30 χρειάζονται για το δάπεδο;
β. Πόσα χρήματα θα πληρωθεί ο ελαιοχρωματιστής αν παίρνει α ευρώ το τετραγωνικό μέτρο;

    Eιδικά στο σημείο αυτό μπορούμε να επιλέξουμε να βαφεί ο τοίχος που περιέχει την πόρτα. Οι μαθητές πρέπει να μετρήσουν τις διαστάσεις του τοίχου αλλά και της πόρτας. Η επιφάνεια που θα βαφεί είναι η διαφορά των εμβαδών του τοίχου και της πόρτας. Μπορούμε επίσης να ζητήσουμε από τους μαθητές να σχεδιάσουν ένα σχέδιο ( μακέτα ) του τοίχου - πόρτας με ορισμένη κλίμακα. Στο τέλος καλούνται να βρουν το κόστος της βαφής αφού η ομάδα ελαιοχρωματιστών ανακοινώσει την τιμή ανά τετραγωνικό μέτρο.



4.     ΒΙΩΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ
             ΣΤΑ ΟΜΟΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

Αφού χωριστούν οι μαθητές σε ομάδες τους ζητάμε να σχεδιάσουν με χάρακα σε μια κόλλα χαρτί διάφορα σχήματα. Τρίγωνα , Τετράπλευρα , πεντάγωνα.Κατόπιν ένας από κάθε ομάδα πηγαίνει στο γραφείο των καθηγητών και βγάζουν φωτοτυπίες της σελίδας σε δυο διαφορετικές σμυκρίνσεις. Γυρνώντας μετράμε τις γωνίες και τις πλευρές των σχημάτων ( κανονικών και μικρών ). Διαπιστώνουμε έστι βιωματικά και πειραματικά τις ιδιότητες των ομοίων τριγώνων. Την ισότητα δηλαδή των γωνιών μία προς μία και την αναλογία των πλευρών.

5.  ΠΑΙΧΝΙΔΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΗΜΕΙΟΥ

Α.  ΤΟ ΠΑΙΧΝΙΔΙ : "ΝΑΥΜΑΧΙΑ"
      
 Χωρίζουμε τους μαθητές σε ομάδες. Κάθε ομάδα παραλαμβάνει ένα τετραγωνισμένο χαρτί και 5 πόνια για καράβια. Τοποθετούν τα καράβια τους σε σημεία που επιθυμούν πάνω στο χαρτί. Ο καθηγητής γνωρίζει στο δικό του χαρτί τις θέσεις των πλοίων όλων των ομάδων για να επιτηρεί τον αγώνα. Κάθε ομάδα εκτελεί δύο βολές προς τα αντίπαλα σκάφη. Λέει ζεύγη σημείων.π.χ ( 3,4)  , (-2,6) .Όποια ομάδα έχει πλοίο στη θέση εκείνη καταβυθίζεται. Το παιχνίδι τελειώνει στο χρόνο που προκαθορίστηκε και νικήτρια είναι η ομάδα με λιγότερες απώλειες.


Β. ΠΑΙΧΝΙΔΙ ΜΕ ΖΑΡΙΑ ΚΑΙ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΣΜΕΝΟ ΧΑΡΤΙ.

 Ένα ακόμη παιχνίδι στην διδασκαλία συντεταγμένων είναι και το εξής :
Μοιράζουμε στους μαθητές ένα τετραγωνισμένο χαρτί 6Χ6 όπως στο παρακάτω σχήμα. Χωρίζουμε τους μαθητές σε ομάδες. Κάθε ομάδα θα χρησιμοποιεί διαφορετικού χρώματος στυλό ή μαρκαδόρο. Έτσι έχουμε την κόκκινη ομάδα , την μπλε , την πράσινη , την μαύρη κλπ. Κάθε ομάδα ρίχνει δύο ζάρια. Οι ενδείξεις των ζαριών αντιστοιχούν σε συντεταγμένες. Αν φέρουμε για παράδειγμα 5, 2 απεικονίζουμε στο τετραγωνισμένο χαρτί τα σημεία ( 5,2) αλλά και το ( 2,5). Στο τέλος η ομάδα που θα απεικονίσει τα περισσότερα σημεία είναι η νικήτρια. Το χρώμα που χρησιμοποιεί η κάθε ομάδα φανερώνει ποια σημεία τοποθέτησε.

6. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΧΩΡΙΣ ΕΠΑΡΚΗ ΔΕΔΟΜΕΝΑ
       ( ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΣΤΗΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ )

Τα προβλήματα που εμφανίζονται στην πραγματικότητα και χρειάζονται μαθηματικές γνώσεις για να επιλυθούν δεν αναγράφουν δεδομένα. Ο λύτης οφείλει να ανακαλύψει τα δεδομένα που πρέπει να μετρήσει καθώς και την στρατηγική επίλυσης.Φέρνοντας πραγματικά αντικείμενα στην τάξη μπορούμε να θέτουμε προβλήματα με ζητούμενα. Τα δεδομένα με κατάλληλες μετρήσεις τα εφευρίσκουν οι μαθητές.

Παράδειγμα 1 : Φέρνουμε στην τάξη ένα κυλινδρικό βάζο και ένα ογκομετρικό κύλινδρο από το εργαστήριο χημείας και μια μετροταινία.Θέτουμε το ερώτημα : Πόσα λίτρα νερό χωράει το δοχείο;Οι μαθητές ανακαλύπτουν τον τύπο του όγκου κυλίνδρου. Από εκεί συμπεραίνουν ότι τους χρειάζονται να μετρήσουν την ακτίνα βάσης και το ύψος. Τα μετρούν με την μετροταινία και υπολογίζουν τον όγκο. Στη συνέχεια ρίχνοντας νερό στον ογκομετρικό κύλινδρο και βάζοντάς το στο δοχείο επιβεβαιώνουμε το αποτέλεσμα .

Παράδειγμα 2
Φέρνουμε στην τάξη ένα κυλινδρικό βάζο και μικρές σφαιρικές πλαστικές μπάλες . Γεμίζουμε το δοχείο με μπάλες; Ερωτήματα : Πόσα ml είναι ο κενός χώρος του βάζου που δεν καλύπτεται από τις σφαίρες;Πόσο % του όγκου του  βάζου δεν καλύπτεται από τις μπάλες;


7.  ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΕ ΧΕΙΡΟΠΙΑΣΤΑ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΑ
            (HANDS ON GEOMETRY )

Α. Mπορούμε να χρησιμοποιούμε λωρίδες από χαρτόνι και συνδετήρες για την κατασκευή γεωμετρικών σχημάτων. Κάτι τέτοιο οπτικοποιεί καλύτερα τις γεωμετρικές ιδιότητες , προσδίδει ένα βιωματικό χαρακτήρα στην διδασκαλία της γεωμετρίας. Επίσης πράττει γεωμετρία όχι με αφηρημένα σχέδια στον πίνακα αλλά με χειροπιαστά αντικείμενα πραγματικής υπόστασης.

Παράδειγμα 1
ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ ΤΡΙΓΩΝΟ
Κόβουμε τρεις λωρίδες ίσου μήκους από χαρτόνι. Τις συνδέουμε με συνδετήρες ανά δύο και φτιάχνουμε ισόπλευρο τρίγωνο. Με μοιρογνωμόνιο επιβεβαιώνουμε ότι οι γωνίες του είναι από 60 μοίρες.

Παράδειγμα 2
ΟΜΟΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ
Κόβουμε τρεις λωρίδες από χαρτόνι. Τις συνδέουμε με συνδετήρες και φτιάχνουμε τρίγωνο. Με τρεις άλλες λωρίδες μισού μήκους με τις πρώτες , φτιάχνουμε δεύτερο τρίγωνο. Τα τρίγωνα είναι όμοια. Μετρώντας τις γωνίες τους επιβεβαιώνουμε ότι έχουν μία προς μία ίσες γωνίες.

Παράδειγμα 3
ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ - ΡΟΜΒΟΣ

Με 4 λωρίδες και συνδετήρες φτιάχνουμε τετράγωνο. Κρατώντας τη μία κορυφή σταθερή τραβάμε προς τα πάνω την απέναντί της. Το τετράγωνο παραμορφώνεται και μετασχηματίζεται σε ρόμβο. Κινητική δραστηριότητα που βοηθά στην κατανόηση των ομοιοτήτων τετραγώνου και ρόμβου. Ο ρόμβος που δημιουργήθηκε διατηρεί τις ίσες πλευρές παύει όμως να έχει ορθές γωνίες.

Παράδειγμα 4
ΕΙΔΗ ΓΩΝΙΩΝ
Με 2 λωρίδες και συνδετήρα φτιάχνουμε οξεία γωνία. Μετακινώντας τη μία λωρίδα τη μετασχηματίζουμε σε ορθή , αμβλεία , ευθεία , πλήρη.Έτσι παρουσιάζουμε με λωρίδες σε κίνηση τα είδη γωνιών.



Β.  ΣΚΕΛΕΤΟΣ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΟΔΟΝΤΟΓΛΥΦΙΔΕΣ ΚΑΙ ΠΛΑΣΤΕΛΙΝΗ.


Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε οδοντογλυφίδες και πλαστελίνη για την κατασκευή του σκελετού ενός στερεού σχήματος. Οι οδοντογλυφίδες παίζουν το ρόλο των ακμών και μπάλες από πλαστελίνη τις κορυφές. Οι μπάλες της πλαστελίνης είναι ουσιαστικά οι σύνδεσμοι πάνω στις οποίες καρφώνονται οι οδοντογλυφίδες.
 


Γ. ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΠΙΝΕΖΑ ΚΑΙ ΛΑΣΤΙΧΑΚΙ.


Πινέζα που χρησιμοποιείται στους πίνακες ανακοινώσεων και λαστιχάκι. Καρφώνουμε τη πινέζα σε σταθερό σημείο. Περνούμε το λαστιχάκι στο κεφάλι της πινέζας, Βάζουμε ένα στυλό στο άλλο άκρο του λάστιχου. Τεντώνοντας το λάστιχο κινούμε το στυλό κυκλικά και διαγράφει κύκλο. Η πινέζα οπτικοποιεί το κέντρο και το λάστιχο την ακτίνα. Χρησιμοποιώντας δύο πινέζες και λάστιχο σχηματίζουμε έλλειψη.



Δ.  ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΕΜΒΑΔΟΥ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΧΑΡΤΙ , ΨΑΛΙΔΙ ΚΑΙ ΣΙΛΟΤΕΪΠ


Κτασκευάζουμε κύκλο σε ένα φύλλο χαρτί. Τον χωρίζουμε σε 8 ίσα τόξα. 4 σε κάθε ημικύκλιο. Φέρνοντας τις ακτίνες δημιουργούμε οκτώ κυκλικούς τομείς. Κόβουμε τους κυκλικού τομείς και τους τοποθετούμε τους 4 με το τόξο προς τα κάτω και τους 4 ενελλάξ ανάμεσα στους άλλους ανάποδα. Σχηματίζουμε έτσι το περίπου ορθογώνιο που αποδεικνύει το εμβαδόν του κύκλκου ως πρ Χ ρ όπως υπάρχει στο σχολικό βιβλίο της β γυμνασίου.

Ε.  ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΜΕ ΧΑΡΤΙ , ΨΑΛΙΔΙ , ΣΙΛΟΤΕΪΠ.


Κόβουμε ένα τρίγωνο σε ένα φύλλο χαρτιού και με σιλοτέιπ το κολλάμε στον πίνακα. Αριθμούμε με 1 , 2, 3 τις γωνίες του. Ακριβώς ίδιο με αυτό κατασκευάζουμε άλλο ένα τρίγωνο. Αριθμούμε τις γωνίες επίσης. Κόβουμε με ψαλίδι τις τρεις γωνίες και τις τοποθετούμε στον πίνακα με σιλοτέιπ ώστε να σχηματίζουν ευθεία γωνία. Επιβεβαιώνεται ότι το άθροισμα των γωνιών τριγώνου είναι 180 μοίρες.


Ζ.  ΚΥΡΤΗ ΚΑΙ ΜΗ - ΚΥΡΤΗ ΓΩΝΙΑ ΜΕ ΧΑΡΤΙ , ΨΑΛΙΔΙ , ΣΙΛΟΤΕΪΠ.


 Κολλάμε ένα φύλλο χαρτί με σιλοτέιπ στον πίνακα. Αισθητοποιεί την έννοια του επιπέδου. Με μολύβι και χάρακα σχηματίζουμε δύο ημιευθείες με κοινή αρχή. Ξεκολλάμε το χαρτί και κόβουμε κατά μήκος των ημιευθειών . Ξεχωρίζουμε τα δύο τμήματα και τα κολλάμε  στον πίνακα. Έχουμε μία οπτικοποίηση της κυρτής και μη κυρτής γωνίας.


Η.  ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΜΕ ΧΡΩΜΑΤΙΣΜΕΝΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΧΑΡΤΑΚΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ.


 Παίρνουμε μικρά τετράγωνα χαρτάκια σημειώσεων διαφορετικών χρωμάτων και τα κολλάμε στον πίνακα. Με τέτοιο τρόπο μάλιστα ώστε να σχε
διάζουμε συγκεκριμένες κατασκευές. π.χ σκύλο , σπιτάκι , καράβι , λουλούδι κ.α. Ζητάμε το κλάσμα που αντιπροσοπεύει κάθε χρώμα στην κατασκευή. Δραστηριότητα για την εισαγωγή της έννοιας του κλάσματος.

Θ.  ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΠΥΡΑΜΙΔΑΣ ΜΕ ΧΑΡΤΟΝΙ , ΧΑΡΑΚΕΣ , ΨΑΛΙΔΙ.

Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το παρακάτω σχέδιο για να κατασκευάσουμε πυραμίδα. Ξεκινάμε από ένα τετράγωνο σε ένα χαρτόνι. Όσο μεγαλύτερο είναι το τετράγωνο τόσο μεγαλύετρη θα έιναι η πυραμίδα. Με χάρακες σχηματίζουμε τα πορτοκαλί , κόκκινα και πράσινα ευθύγραμμα τμήματα. Οι αποστάσεις βέβαια είναι ίσες. Κόβουμε κατά μήκος των κόκκινων γραμμών και διπλώνουμε κατά μήκος των πράσινων. Τα κόκκινα τετράγωνα , συνενώνονται σε μια κοινή κορυφή και δημιουργείται πυραμίδα με βάση το πράσινο τετράγωνο. Πρόκειται για τετραγωνική πυραμίδα.


8. ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ.

Α. ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΜΕ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΔΟΣΟΜΕΤΡΗΤΗ ΑΠΟ ΠΛΑΣΤΙΚΟ ΜΠΟΥΚΑΛΙ.

Μπορούμε να φέρουμε στην τάξη έτοιμο δοσομετρητή που χρησιμοποιούν οι νοικοκυρές στην μέτρηση της δοσολογίας απορρυπαντικού. Πρόκειται γαι πλαστικά δοχεία που έχουν γραμμές για να χωρίσουν  π.χ το 1/4 , 2/4 , 3/4  , 4/4 της χωρητικότητας τους. Γεμίζοντας το δοσομετρητή με νερό μέχρι τη πρώτη γαρμμή έχουμε την έννοια του κλάσματος 1/4. Μέχρι τη δεύτερη γραμμή το 2/4 κ.ο.κΘα μπορούσαμε βέβαια να κατασκευάσουμε στην τάξη έναν τέτοιο δοσομετρητή.  Παίρνουμε ένα μέρος από πλαστικό μπουκάλι νερου 20cm ύψους. Χαράζουμε γραμμές με μαρκαδόρο στα 5cm στα 10 , στα 15 και στα 20cm . Κάθε γραμμή προχωράει κατά 1/4.


Β. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΧΕΙΡΟΠΙΑΣΤΑ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΑ.

Φέρνουμε στην τάξη διάφορα αντικείμενα που να περιέχουν κύκλο ως βάση τους. Τέτοια μπορεί να είναι νομίσματα 50 λεπτών ή 1ή 2 ευρώ , φλυτζάνια καφέ και τσαγιού , μπλάγκο , στυλοθήκη , πιατάκια μικρά και μέτρια , φαγητοδοχεία και τάπερ κυλλινδρικά κ.α. Μετράμε με χάρακα τη διάμετρό τους. Με σκοινί ή κλωστή περιτυχίγουμε την περίμετρο τους και ανοίγοντας μετράμε με χάρακα το μήκος του περιτυλιγμένου σκοινιού , που αντιστοιχεί στο μήκος του κύκλου. Σε πίνακα καταγράφουμε τις μετρήσεις L , δ ,  L /δ και διαπιστώνουμε την σχέση L /δ = π.


Γ.  ΜΕΛΕΤΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ( ΒΡΑΣΙΜΟ ΝΕΡΟΥ ).

Σε ένα κυλλινδρικό δοχείο πυρέξ βάζουμε νερό και το τοποθετούμε με ένα θερμόμετρό μέσα του πάνω σε αναμμένο καμινέτο. Παρακολουθούμε την θερμοκρασία του νερού κάθε λεπτό. Καταστρώνουμε πίνακα τιμών της θ ανά t . Σβήνουμε το καμινέτο μετά από 5 λεπτά και παρακολουθούμε εκ νέου τη μείωση της θερμοκρασίας σε νέο πίνακα θ ανά t . Σχεσιάζουμε γραφική παράσταση t  προς θ και συζητάμε για τη μορφή της και τα συμπεράσματα που μπορούμε να έχουμε.

Δ.  ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΓΩΝΙΟΜΕΤΡΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ.

Ένα παράδειγμα μεταφοράς προβλήματος στην πραγματικότητα μπορούμε να εφαρμόσουμε στην τριγωνομετρία. Η διδασκαλία σε πρώτη φάση περιέχει την κατασκευή ενός γωνιόμετρου. Με το όργανο αυτό μπορούμε να μετρήσουμε τη γωνία που σχηματίζει με το έδαφος ένα ψηλό κτήριο.


α. ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΓΩΝΙΟΜΕΤΡΟΥ


ΒΗΜΑ 1 : Παίρνουμε ένα ορθογώνιο χαρτόνι 25 Χ 30cm.
ΒΗΜΑ 2 : κολλάμε στην αριστερή του γωνία  φωτοτυπία μοιρογνωμόνιου από 0 έως 90 μοίρες.
ΒΗΜΑ 3: Προσαρμόζουμε νήμα που στο άλλο άκρο του δένουμε κουμπί.
ΒΗΜΑ 4 : Στην πάνω πλευρά του χαρτονιού κολλάμε ένα κομμάτι άχυρο( ή κλωστή ή χαρονάκι χρωματισμένο).


β. ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΣΕ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΧΩΡΟ


Βγαίνοντας έξω στοχεύουμε με το γωνιόμετρο την κορυφή ενός ψηλού κτηρίου. Ουσιαστικά το άχυρο πρέπει να κατευθύνεται προς την κορυφή. Το νήμα μετράει τη γωνία πάνω στο μοιρογνωμόνιο.
Μετράμε με μετροταινία την οριζόντια απόσταση από το σημείο που στοχεύουμε μέχρι τη βάση του κτηρίου.






Γ. ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΤΗΝ ΤΑΞΗ


Μεταφέροντας τις μετρήσεις στην τάξη σχηματίζουμε ένα σχήμα. Εφαρμόζοντας τον τύπο της εφαπτομένης βρίσκουμε το άγνωστο ύψος .
Πρόκειται για παράδειγμα πειραματικής γεωμετρίας και μεταφοράς προβλήματος στην πραγματικότητα.


9. Η ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΖΛ ΣΤΗΝ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ


Α. ΣΤΙΣ ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

Δίνουμε τέσσερα χαρτόνια στους μαθητές. Δύο τετράγωνα πλευράς 5 και 4 εκατοστών αντίστοιχα και δύο ορθογώνια  διαστάσεων 5Χ4. Ζητούμε να κατασκευάσουν με αυτά τετράγωνο πλευράς 9 εκ.

Χρήση της ταυτότητας ( 5+ 4)2 .






Β. ΣΤΗΝ ΕΠΙΜΕΡΙΣΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ

Δίνουμε δύο ορθογώνια διαστάσεων 4Χ5 και 4Χ 6.
υπολογίζουμε τα δύο εμαβαδά χωριστά και μετά ως ένα συνενωμένο ορογώνιο 4 Χ11.




Γ. ΣΤΑ ΕΜΒΑΔΑ

Με παζλ και χαρτοκοπτική μπορούν να γίνουν οι αποδείξεις των εμβαδών του παραλληλογράμμου και του τραπεζίου του βιβλίου της β΄ γυμνασίου.




Δ. ΣΤΟ ΠΥΘΑΓΩΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ


Με παζλ μπορεί πρακτικά να διαπιστωθεί ότι το άθροισμα των εμβαδών των τετραγώνων των καθέτων πλευρών δίνει το εμβαδόν του τετραγώνου της υποτείνουσας.



Ε.                ΣΤΗΝ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ 
                    ΔΙΚΛΑΔΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ


Έστω f(x) =  x2  αν χ >0
                      3χ  αν χ < 0

Μπορούμε να κάνουμε χωριστά την γραφική παράσταση της χ2 σε τετραγωνισμένο χαρτι  και της 3χ σε άλλο. Με χαρτοκοπτική κόβουμε την πρώτη γραφική παράσταση ( την παραβολή ) στο δεξιό τμήμα του άξονα yy΄ και την δεύτερη ( την ευθεία ) στο αριστερό. Συνενώνοντας τα δύο κομμάτια έχουμε την γραφική παράσταση της δίκλαδης συνάρτησης.




10.       ΔΙΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ
               ΣΤΗΝ ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΠΟΙΗΣΗ
       ΚΑΙ ΤΗΝ ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ 
                        ΜΕΓΑΛΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ


Μοιράζουμε στους μαθητές μια σελίδα παρμένη από το διαδίκτυο που περιέχει αστονομικές αποστάσεις αστέρων και πλανητών , επεξήγηση του έτους φωτός κ.α. Θα μπορούσαμε βέβαια τις πληροφορίες της αστρονομίας να μην τις μοιράσουμε με φωτοτυπίες. Αν οι μαθητές έχουν μαζί τους τους φορητούς υπολογιστές θα μπορούσαν να αναζητήσουν τις πληροφορίες αυτές από το διαδίκτυο. Κάτι ανάλογο μπορεί  να γίνει στο εργαστήριο πληροφορικής.
Ζητούμε στρογγυλοποίηση των αριθμών. Προκύπτουν μεγάλοι αριθμοί με πολλά μηδενικά. Ασχολούμαστε λοιπόν στην συνέχεια με την αναγκαιότητα έκφρασης των αριθμών σε τυποποιημένη μορφή.


11.   ΧΡΗΣΗ ΜΥΘΟΠΛΑΣΙΑΣ ΣΤΗΝ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ

ΠΡΟΣΧΗΜΑΤΙΚΗ ΜΥΘΟΠΛΑΣΙΑ
Με τον όρο προσχηματική μυθοπλασία εννοούμε την επινόηση μιας διηγηματικής  αφήγησης που στόχο όμως έχει την επίλυση συγκεκριμένου μαθηματικού πραγματικού προβλήματος.
Περιέχει  πρόσωπα ,χαρακτήρες , περιγραφές , γεγονότα , δραματοποίηση , κορύφωση , λογοτεχνικό ύφος που όλα στοχεύουν στο να ντύσουν με καλαισθητικό και ευχάριστο τρόπο ένα πρακτικό πρόβλημα. Η αφήγηση λοιπόν δεν είναι αυτοσκοπός αλλά πρόφαση για να στηρίξουμε ένα μαθηματικό οικοδόμημα. Η πλοκή επιλέγεται προσχηματικά ως μέσο ωραίας παρουσίασης μαθηματικών ζητημάτων. Αποτελεί δηλαδή ένα διδακτικό εργαλείο παρουσίασης νέων εννοιών ή ασκήσεων. Εδώ δεν υπάρχει μια λογοτεχνία που ασχολείται με τα μαθηματικά , αλλά αντίστροφα μαθηματικά που ντύνονται την λογοτεχνία.
Ας  δούμε μερικά παραδείγματα :


1.  Ο ΦΟΥΡΝΑΡΗΣ ΚΑΙ Ο ΓΙΓΑΝΤΑΣ
Σ'  ένα μακρινό δάσος στην πέρα -πέρα και παραπέρα χώρα ζούσε ένας γίγαντας σε ένα πανύψηλο πύργο. Πέντε χιλιόμετρα νότια υπήρχε ένα μικρό χωριουδάκι ( όχι των στρουμφ βέβαια ). Εκεί ζούσε ο κύριος Μαθημάτας ο φούρναρης που ήταν πέντε φορές πιο κοντός από τον γίγαντά μας.  Ζούσε σ΄ ένα φτωχικό καλυβάκι που ήταν πέντε φορές χαμηλότερο απ΄τον πύργο του γίγαντα. Μια μέρα ο κύριος Μαθημάτας αποφάσισε να κάνει περίπατο στο δάσος για να χαρεί τη φύση και το οξυγόνο. Οι πατούσες του ήταν πέντε φορές μικρότερες από τις πατούσες του γίγαντα. Καθώς προχωρούσε αισθάνθηκε περίεργα σα να συνταρασσόταν η γη από σεισμό. Γρήγορα ήρθε αντιμέτωπος με τον πελώριο κάτοικο του δάσους. 'Εγιναν αμέσως φίλοι ( ο καλόκαρδος γίγαντας που λέμε .. .)! Από τότε ο φούρναρής μας έφτιαχνε καθημερινά ψωμί για τον φίλο του . Μόνο που είχε ένα πρόβλημα : Το ψωμί που έτρωγε ο γίγαντας ήταν πέντε φορές  μεγαλύτερο από το ψωμί του κυρίου Μαθημάτα!

Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα :


Ύψος φούρναρη        Ύψος γίγαντα                       ύψος καλύβας          ύψος πύργου

150cm                                                                                           3m

                                            600cm                                                                       25m


μήκος πατούσας φούρναρη          μήκος πατούσας γίγαντα
   25cm

                                                                           140cm


μήκος   ψωμιού φούρναρη      μήκος ψωμιού  γίγαντα

20cm

ΘΑ ΜΠΟΡΟΥΣΑΤΕ ΝΑ ΦΑΝΤΑΣΤΕΙΤΕ ΟΤΙ ΟΛΗ ΑΥΤΗ Η ΙΣΤΟΡΙΟΥΛΑ ΕΙΝΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΟΥΣ ΑΡΙΘΜΩΝ;



2.  ΤΑ ΠΛΑΣΜΑΤΑ ΤΟΥ ΠΟΤΑΜΟΥ


 Σε μια ωραία φυσική τοποθεσία υπήρχε ένα ποτάμι. Στην δυτική και ανατολική πλευρά του ζούσαν κάτι περίεργα πλάσματα που τα λέγανε γνωστά και άγνωστα.
Τα άγνωστα τα καταλάβαινες από μακριά από ένα χαρακτηριστικό σημάδι στο κούτελό τους.
Είχαν το σημάδι x . Τα γνωστά πάλι ήταν αριθμοί.Για πολλούς αιώνες γνωστά και άγνωστα πλάσματα ζούσαν ειρηνικά και ανάμικτα μεταξύ τους δίπλα - δίπλα.
Όταν όμως βασιλιάς τους έγινε ο Χωριστέας ο Α΄ ( όχι  ο Χαριστέας ) , έβγαλε μια αλλόκοτη απόφαση. Στην δυτική όχθη του ποταμού έπρεπε να ζουν μόνο τα άγνωστα πλάσματα και στην ανατολική τα γνωστά. Έτσι βάλθηκαν όλοι να μεταφέρονται με τους μισθωμένους βαρκάρηδες του βασιλιά από τη μια μεριά στην άλλη ή αντίστροφα. Όσοι λοιπόν χρειαζόταν να περάσουν απέναντι πλήρωναν ένα περίεργο εισητήριο. Έπρεπε να δεκτούν να τους αλλάξουν ( όχι τα φώτα ) τα πρόσημά τους οι μισθωμένοι φοροεισπράκτορες του βασιλιά. Έτσι γιγόταν δεκτοί στη βάρκα και μπάρκαραν για την αντίπερα όχθη κουνώντας το μαντήλι στους προηγούμενους γείτονες.

ΘΑ ΜΠΟΡΟΥΣΑΤΕ ΝΑ ΑΝΤΙΛΗΦΘΕΙΤΕ ΟΤΙ ΠΡΟΚΕΙΤΑΙ ΓΙΑ ΜΙΑ ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΗ ΜΥΘΟΠΛΑΣΙΑ ΠΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ ΤΗΝ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΧΩΡΙΣΜΟΥ ΓΝΩΣΤΩΝ ΑΠΟ ΑΓΝΩΣΤΟΥΣ ΣΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ;





3.  ΤΟ ΣΕΝΤΟΥΚΙ ΤΗΣ ΓΙΑΓΙΑΣ ΕΥΓΕΝΙΑΣ




Στο πατάρι του σπιτιού του  κυρίου Θανάση βρέθηκε το παλιό σεντούκι της γιαγιάς Ευγενίας , δίπλα σε αράχνες και σκόρπιες  αυσπρόμαυρες φωτογραφίες. Ο  φίλος μας  κατέβασε το σεντούκι προσεκτικά και το ξεσκόνισε με ιδιαίτερη επιμέλεια . Ένα δάκρυ κύλισε στo μάγουλo του από την ανάμνηση της γιαγιάς που τόσο αγαπούσε.
Ανοίγοντας το βρήκε αρκετά ξεχασμένα προσωπικά της αντικείμενα. Μεταξύ τους ένα κιτρινισμένο από το χρόνο , σχισμένο και μισοσβησμένο χαρτί . Το θυμήθηκε αμέσως! Ήταν ένα  κομμάτι από το τετράδιο των μαθηματικών του στο οποίο όταν ήταν μικρός έλυνε συναρτήσεις.
Προσπάθησε να δει τι έγραφε. Βοηθήστε τον κύριο Θανάση να συμπληρώσει τα σβησμένα από το χρόνο σημεία του :



1                     4
                        7
3
4                      17
                        28


7
8                       71
9
10
       


ΘΑ ΜΠΟΡΟΥΣΑΤΕ ΝΑ ΦΑΝΤΑΣΤΕΙΤΕ ΟΤΙ ΑΠΟΤΕΛΕΙ ΑΣΚΗΣΗ ΣΤΗΝ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗ ΠΙΝΑΚΑ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ;





4. ΤΟ ΚΟΥΝΕΛΙ ΤΗΣ ΙΩΑΝΝΑΣ




Η Ιωάννα ήθελε πολύ να αγοράσουν ένα μικρό κουνέλι από το μικρό μαγαζάκι του κυρίου Βαγγέλη. Ο πατέρας της λύγισε από τα παρακάλια της και αποφάσισε να το σκεφτεί. Πράγματι συζητώντας με τη γυναίκα του είπε ότι θα μπορούσαν να διαθέσουν στην αυλή τους ένα χώρο 36 τετραγωνικών μέτρων για να τον περιφράξουν. Έτσι θα έφτιαχναν ένα κλουβί άνετο για το μικρό ζωάκι.
Τι διαστάσεις πρέπει να έχει ο χώρος αυτός για να μην τους στοιχίσει " ο κούκος αηδόνι" από την αγορά του σύρματος περίφραξης;




ΘΑ ΜΠΟΡΟΥΣΑΤΕ ΝΑ ΦΑΝΤΑΣΤΕΙΤΕ ΟΤΙ ΑΠΟΤΕΛΕΙ ΑΣΚΗΣΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΥ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΟ ΕΜΒΑΔΟΝ;



5.  ΤΑ ΑΔΕΡΦΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΠΟΡΤΟΚΑΛΙΑ




Ο Χρήστος και η Ντόρα είναι δύο αδέρφια. Στον κήπο τους έχουν μια μικρή πορτοκαλιά.Μια μέρα ο πατέρας τους είπε να μαζέψουν όλα τα πορτοκάλια από το δέντρο.
- Για να δω ποιος θα μαζέψει τα περισσότερα, τους είπε για να τους παρακινήσει.
Όταν τελείωσαν το μάζεμα άρπαξαν σακούλες και πήγαν να τα παραδώσουν.
- Όλα τα πορτοκάλια είναι 44 και η Ντόρα μου έφερε 8 περισσότερα, ξαναείπε ο πατέρας.
- Εγώ πόσα μάζεψα , ρώτησε τότε ο Χρήστος.
- Αν φέρνατε τον ίδιο αριθμό πορτοκαλιών ,πόσα θα είχατε, ρώτησε ο πατέρας.
_ Τα μισά του 44 , είπε η Ντόρα.
- Δηλαδή 22 , συνεχισε τη σκέψη της ο Χρήστος.
- Ωραία. Από τα 22 δώσε 4 στην Ντόρα Χρήστο. Πόσα έχεις εσύ και πόσα εκείνη;
- Εγώ έχω 22-4 = 18 και η Ντόρα 22+4 = 26.
- Σύ είπας.


ΘΑ ΜΠΟΡΟΥΣΑΤΕ ΝΑ ΦΑΝΤΑΣΤΕΙΤΕ ΟΤΙ ΑΠΟΤΕΛΕΙ ΑΣΚΗΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ .




6. Ο ΚΥΡΙΟΣ ΑΛΕΞΙΟΥ ΨΑΝΧΕΙ ΓΙΑ ΔΟΥΛΕΙΑ.




Ο κύριος Αλεξίου ψάχνει με αγωνία να βρει δουλειά.Διαβάζει λοιπ.ον στις μικρές αγγελίες ότι στην τεχνική εταιρεία του κυρίου Απατεωνίδη ζητούνται υπάλληλοι και ότι ο μέσος μισθός των υπαλλήλων της εταιρείας είναι 4.000 ευρώ το μήνα. Χωρίς να χάνει την ευκαιρία υπογράφει συμβόλαιο για δύο χρόνια.Την πρώτη φορά όμως που πληρώνρεται διαπιστώνει έκπληκτος ότι πήρε 1.100 ευρώ. Τρέχει και ζητά διευκρινίσεις.Ο κύριος Απατεωνίδης του δίνει τότε το μισθολόγιο της εταιρείας.


Πρόεδρος κ.Απατεωνίδης                    45.000
Δ/ντής    κ. Απατεωνίδου                      28.000
Γραμματέας κ . Απατεωνίδης υιός      22.000
Μέλη 7 συγγενής                                20.000
Πολιτικοί μηχανικοί   (5)                     1.100
Εργάτες ειδικευμένοι(5)                        900
εργάτες ανιδείκευτοι ( 50 )                   700


Είπε άραγε ψέματα η εταιρεία για τον μηνιαίο μέσο μισθό των υπαλλήλων της;




ΘΑ ΜΠΟΡΟΥΣΑΤΕ ΝΑ ΦΑΝΤΑΣΤΕΙΤΕ ΟΤΙ ΑΠΟΤΕΛΕΙ ΑΣΚΗΣΗ ΣΤΗΝ ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΚΑΙ ΤΗΝ ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ;

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου