tag:blogger.com,1999:blog-77307174359793392312024-03-28T04:47:23.388-07:00O θαυμαστός κόσμος των μαθηματικώνΑλέξανδρος Μόσχοςhttp://www.blogger.com/profile/04357778829560813366noreply@blogger.comBlogger12125tag:blogger.com,1999:blog-7730717435979339231.post-35069229782694125542011-01-23T12:40:00.001-08:002020-04-15T03:56:39.882-07:00ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗ ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΤΗΝ ΤΕΧΝΗ<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<b><span style="color: blue; font-size: large;"> 1. Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟΝ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ</span></b><br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;"><br /></span></b>
<span style="color: black;"> Η συμμετρία π</span>ου κατεξοχήν εκφράζει την καλαισθησία και την ομορφιά είναι διάσπαρτη στον φυσικό κόσμο. Μερικές εικόνες μας πείθουν Η φύση λοιπόν γεωμετρεί!<br />
<br />
<b style="color: blue; text-align: justify;"> Η συμμετρία στη φύση </b><br />
<b style="text-align: justify;"><br /></b>
<b style="text-align: justify;">Η συμμετρία στη βιολογία</b><span style="text-align: justify;"> είναι η ισόρροπη κατανομή των διπλών μερών του σώματος ή του σχήματος ενός ζωντανού οργανισμού. </span><span onmouseout="_tipoff()" onmouseover="_tipon(this)" style="text-align: justify;"> Το σώμα ή το σχέδιο των περισσότερων <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=el&langpair=en%7Cel&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Multicellular_organism&rurl=translate.google.gr&usg=ALkJrhjnbRB1sUyCBpW0U4qO5rSrtkX8LA" title="Πολυκύτταρους οργανισμούς"><span style="color: #0645ad;">πολυκύτταρων οργανισμών</span></a> παρουσιάζουν κάποια μορφή <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=el&langpair=en%7Cel&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Symmetry&rurl=translate.google.gr&usg=ALkJrhhgZEqwgxf8zqYNVbenUIYg9Z_m4A" title="Συμμετρία"><span style="color: #0645ad;">συμμετρίας</span></a> , είτε <b>ακτινική συμμετρία</b> ή <b>διμερής συμμετρίας</b> ή «σφαιρική συμμετρία».</span><span style="text-align: justify;"> </span><span onmouseout="_tipoff()" onmouseover="_tipon(this)" style="text-align: justify;"> Μια μικρή μειοψηφία δεν παρουσιάζουν συμμετρία (είναι ασύμμετρη).</span><br />
<div style="text-align: justify;">
<span onmouseout="_tipoff()" onmouseover="_tipon(this)">Στη <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=el&langpair=en%7Cel&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Nature&rurl=translate.google.gr&usg=ALkJrhghfuCD_G9Pv_BE3Un6lssAEOkYow" title="Φύση"><span style="color: #0645ad;">φύση</span></a> και <a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=el&langpair=en%7Cel&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Biology&rurl=translate.google.gr&usg=ALkJrhi8LQKhn6KLkGOtyUqf11XXXx6xog" title="Βιολογία"><span style="color: #0645ad;">τη βιολογία</span></a> , η συμμετρία είναι κατά προσέγγιση.</span> <span onmouseout="_tipoff()" onmouseover="_tipon(this)">Για παράδειγμα, τα φύλλα των φυτών, ενώ θεωρούνται συμμετρικά, σπάνια θα ταιριάζουν ακριβώς όταν διπλώνονται στη μέση.</span> </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<br />
<b> <img src="http://farm2.static.flickr.com/1404/1269418383_95a6e5fc64.jpg?v=0" height="147" id="il_fi" style="padding-bottom: 8px; padding-right: 8px; padding-top: 8px;" width="200" /></b><br />
<br />
<br />
<b> Η αμφίπλευρη συμμετρία της πεταλούδας.</b><br />
<br />
<br />
<div style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none;">
<a class="image" href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=el&langpair=en%7Cel&u=http://en.wikipedia.org/wiki/File:Leaf_1_web.jpg&rurl=translate.google.gr&usg=ALkJrhisIQfTmasr2xhGoyWV-4MzcupPxQ" style="clear: right; cssfloat: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img alt="" class="thumbimage" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f4/Leaf_1_web.jpg/220px-Leaf_1_web.jpg" height="150" width="200" /></a><a class="image" href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=el&langpair=en%7Cel&u=http://en.wikipedia.org/wiki/File:Sterappel_dwarsdrsn.jpg&rurl=translate.google.gr&usg=ALkJrhiaHQZJYghsZ40Ys26VEvF8chlY3A"><img alt="" class="thumbimage" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/11/Sterappel_dwarsdrsn.jpg/220px-Sterappel_dwarsdrsn.jpg" height="198" width="200" /></a> </div>
<br />
Ένα μήλο κομμένο με συμμετρία. Διμερή συμμετρία.<br />
<br />
<br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;">2. Η ΜΕΛΛΙΣΣΑ ΓΝΩΡΙΖΕΙ ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ!</span></b><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<b><span style="color: blue;"><i>Γιατί όμως η μέλισσα επιλέγει το κανονικό εξάγωνο και όχι το ισόπλευρο τρίγωνο ή το τετράγωνο για την κατασκευή των κελιών της κερήθρας; Ιδού το ερώτημα!</i></span></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><span style="color: blue;"><i>1. Αφενός μεν «κλείνει» επακριβώς το επίπεδο χωρίς κενά, αλλά είναι και το μοναδικό σχήμα με την μικρότερη περίμετρο. Δηλαδή η μέλισσα δαπανά λιγότερο κερί για την κατασκευή των κελιών της. </i></span></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><i><span style="color: blue;">2. Επιπλέον αποτελεί την καλύτερη διαμέριση για την αποθήκευση μέγιστου όγκου μελιού.</span><span style="color: blue;">Αποδεικνύεται με ανώτερα μαθηματικά ( λογισμό μεταβολών ) ότι αν θέλουμε να διαμερίσουμε ( να χωρίσουμε σε μικρότερα τμήματα ) ένα δοχείο ώστε να περιέχεται όσο το δυνατό μέγιστος όγκος στα κελιά της διαμέρισης αυτό επιτυγχάνετε με την επιλογή κανονικών εξαγώνων. Η μέλισσα δηλαδή γνωρίζει και ανώτερα μαθηματικά!</span></i></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><span style="color: blue;"><i>Ποιος έβαλε τις συγκεκριμένες γεωμετρικές πληροφορίες στα απειροελάχιστα εγκεφαλικά κύτταρα αυτού του ζουζουνιού; </i></span></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><span style="color: blue;"><i>Και όπως λέει το διαφημιστικό σλόγκαν «Τυχαίο»;</i></span></b></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Από όλα τα κανονικά επίπεδα σχήματα, εκείνα που η μέλισσα θα μπορούσε να χρησιμοποιήσει για την κατασκευή των κελιών της, είναι τρία. Το ισόπλευρο τρίγωνο, το τετράγωνο και το κανονικό εξάγωνο. Μόνον αυτά τα τρία γεωμετρικά σχήματα «κλείνουν» ακριβώς το επίπεδο χωρίς να αφήνουν κενά μεταξύ τους. Π.χ. τα πεντάγωνα , τα επτάγωνα, οκτάγωνα κλ.π δεν «κουμπώνουν» επακριβώς μεταξύ των. Αφήνουν ενδιάμεσο κενό χώρο. (π.χ. Πενταγωνική και οκταγωνική διάταξη)</div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
Γιατί όμως η μέλισσα επιλέγει το κανονικό εξάγωνο και όχι το ισόπλευρο τρίγωνο ή το τετράγωνο; Ιδού το ερώτημα! Γνωρίζουμε ότι η μέλισσα σε κάθε κελλί εναποθέτει την αυτή ποσότητα μελιού. Ας υποθέσουμε ότι το απαιτούμενο εμβαδόν για κάθε κελί είναι 1 τετραγωνική μονάδα. Αν κατασκεύαζε π.χ. τετραγωνικές κυψελίδες τότε αυτές θα είχαν πλευρά 1 μονάδα μήκους, οπότε 1 Χ 1=1 τετραγωνική μονάδα. Αν θα κατασκεύαζε ισόπλευρες τριγωνικές κυψελίδες, τι μήκος θα έπρεπε να έχει η κάθε πλευρά του ισοπλεύρου τριγώνου ώστε το εμβαδόν του να είναι ισοδύναμο με 1 τετραγωνική μονάδα;</div>
<div style="text-align: center;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
Από τον τύπο υπολογισμού του εμβαδού (*) οποιουδήποτε κανονικού πολυγώνου επιλύουμε ως προς a και για εμβαδόν = 1 τετρ. μονάδα, βρίσκουμε ότι το τρίγωνο θα έπρεπε να έχει μήκος πλευράς ίσο με = 1,52 μονάδες μήκους.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
Αν κατά τον ίδιο τρόπο υπολογίσουμε το μήκος της πλευράς του ισοδύναμου κανονικού εξαγώνου, βρίσκουμε ότι το μήκος της πλευρά του ισούται με 0,62 μονάδες μήκους.</div>
<div style="text-align: justify;">
Επομένως :<br />
- στην περίπτωση της τριγωνικής κατασκευής η περίμετρος του τριγώνου ισούται με 3 Χ 1,52 = 4,56 μονάδες μήκους.</div>
<div style="text-align: justify;">
- στην περίπτωση κατά την οποία η μέλισσα θα κατασκεύαζε ορθογωνικά κελιά το καθένα θα είχε περίμετρο 4 Χ 1 = 4 μονάδες μήκους.</div>
<div style="text-align: justify;">
- στην περίπτωση της εξαγωνικής κατασκευής η περίμετρος του κάθε κελιού ισούται με 0,62 Χ 6 = 3,72 μονάδες μήκους.</div>
<div style="text-align: justify;">
Συμπέρασμα:</div>
<div style="text-align: justify;">
Παρατηρούμε ότι η επιλογή του εξαγωνικού σχήματος δεν είναι τυχαία. Αφενός μεν «κλείνει» επακριβώς το επίπεδο χωρίς κενά, αλλά είναι και το μοναδικό σχήμα με την μικρότερη περίμετρο. Δηλαδή η μέλισσα δαπανά λιγότερο κερί για την κατασκευή των κελιών της.</div>
<div style="text-align: justify;">
Και συνεχίζω με κάτι πιο εντυπωσιακό. Η πλευρά του εξαγώνου (=0,62) σε σχέση με την πλευρά του ισοδυνάμου τετραγώνου (=1) έχουν σχέση χρυσής τομής. Πράγματι ο λόγος 1 / 0,62 = 1,62 όπου 1,62 = φ. Ο νόμος της τέλειας αρμονίας σε όλο του το μεγαλείο. Η πλευρές δηλαδή του των ισοδυνάμων τετραγώνου και εξαγώνου σχηματίζουν το χρυσό ορθογώνιο στο οποίο ο λόγος των πλευρών ισούται με 1,62 ήτοι =φ. Για τον αριθμό φ βεβαίως θα μπορούσαμε να αναπτύξουμε ολόκληρη πραγματεία αλλά δεν είναι επί του παρόντος. Αρκεί να αναφέρουμε ότι όλες οι αρμονικές σχέσεις στην φύση καθορίζονται από αυτόν το ιεροκρύφιο αριθμό. Οι αρχαίοι Έλληνες ήταν οι πρώτοι που τον είχαν προσδιορίσει μαθηματικώς και τον εφάρμοζαν σε κάθε καλλιτεχνική τους δημιουργία, γλυπτική αρχιτεκτονική, μουσική. (συμβολίζεται με το γράμμα της ελληνικής αλφαβήτου φ προς τιμή του Φειδία). Και εύλογα διερωτάται κανείς! Ποιος έβαλε τις συγκεκριμένες γεωμετρικές πληροφορίες στα απειροελάχιστα εγκεφαλικά κύτταρα αυτού του ζουζουνιού; </div>
<div style="text-align: justify;">
Και όπως λέει το διαφημιστικό σλόγκαν «Τυχαίο;», Μόνον που εδώ δεν απαντάμε «Δεν νομίζω» αλλά «Βεβαίως όχι!!!». «Δεν είναι καθόλου τυχαίο!!!» <br />
<br /></div>
<b><span style="color: blue; font-size: large;"> 3. Η ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΣΧΗΜΑΤΟΣ </span></b><br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;"> ΜΙΑΣ ΝΙΦΑΔΑΣ ΧΙΟΝΙΟΥ</span></b><b> </b><br />
<div align="center">
<br />
<div align="justify">
<b><i><span style="color: blue; font-size: large;">" Παρατηρώντας μια νιφάδα χιονιού στο μικροσκόπιο παρατήρησα ότι είναι ένα θαύμα ομορφιάς και είναι κρίμα να μην μπορεί να ειδωθεί από όλους. Είναι ένα σχεδιαστικό αριστούργημα και κανένα δεν επαναλαμβάνεται παρά εμφανίζεται μόνο μια φορά. Τέτοια ομορφιά τι κρίμα να λιώνει και να χάνεται"</span></i></b></div>
<div align="justify">
<br /></div>
<div align="justify">
<b><i><span style="color: blue;">Αυτά είπε ένας αγρότης των Η . Π. Α όταν με το μικροσκόπιο του και την φωτογραφική του μηχανή το 1925 απαθανάτισε τις εικόνες της απίστευτης κανονικότητας , συμμετρίας και καλαισθησίας της νιφάδας του χιονιού.</span></i></b><br />
<br /></div>
<div align="justify">
<b><span style="color: blue;"><span style="color: black;"> </span><span style="color: #990000;">Η χιονονιφάδα</span></span></b><br />
<b><span style="color: blue;"><span style="color: #990000;"><br /></span></span></b></div>
</div>
<div align="justify">
<i><b>Ιδωμένη μ' ένα μεγεθυντικό φακό,</b> η ομορφιά της χιονονιφάδας αποκαλύπτεται : ένα μικροσκοπικό γεωμετρικό κόσμημα, μια ζωντανή ένδειξη της περίπλοκης μορφής και της γοητείας που κρύβουν τα σχήματα της φύσης.</i><br />
<div align="justify">
<b>Όπως υποδηλώνει κι ο τίτλος του βιβλίου του,</b> ο πρώτος που έθεσε το γρίφο του εξαγωνικού σχήματος της χιονονιφάδας ήταν ο Κέπλερ : " Πρέπει να υπάρχει κάποιος λόγος για τον οποίο, όποτε χιονίζει, οι αρχικοί σχηματισμοί του χιονιού επιδεικνύουν πάντα ένα εξάγωνο σχήμα. Γιατί δεν πέφτουν νιφάδες με πέντε ή επτά γωνίες ; γιατί πάντα με έξι, δεδομένου ότι δεν πέφτουν συμπυκνωμένες, αλλά παραμένουν διάσπαρτες ; "</div>
<div align="justify">
<b>Έχοντας μεγάλη εμπειρία σχετικά με τα σχήματα της φύσης</b> και τα μαθηματικά τους ανάλογα, ο Κέπλερ έδωσε μια καλή εξήγηση για την εξαπλή συμμετρία της χιονονιφάδας. Γνωρίζοντας ότι το χιόνι αποτελείται από συμπυκνωμένο ατμό, θεώρησε ότι πήζει σε σταγονίδια συγκεκριμένου σχήματος που έχουν επίσης έναν συγκεκριμένο τρόπο επαφής, συμπεραίνοντας ότι : <b><span style="color: #cc0000;">" Το εξαγωνικό σχήμα επιλέγεται από την σχηματική προσαρμογή κι από την αναγκαιότητα της ύλης, έτσι ώστε να μην υπάρχουν κενά και η συγκέντρωση του ατμού σε σχηματισμούς χιονιού να γίνει πιο ομαλά. "</span></b></div>
<div align="justify">
<b>Ακόμη, συνδέοντας την εξαπλή μορφή της χιονονιφάδας</b> με την κρυσταλλική φύση του πάγου, γρήγορα κατευθύνθηκε προς την ιδέα ότι αποτελούνται από μεγάλο αριθμό πανομοιότυπων μικροσκοπικών μονάδων συνταιριασμένων σε σχήματα με κανονικότητα. <br />
<br /></div>
</div>
<a href="http://comps.fotosearch.com/comp/DSN/DSN127/1765574.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; cssfloat: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="Αποθήκη Φωτογραφιών - νιφάδα χιονιού,
αλίσκομαι. fotosearch
- αναζήτηση φωτογραφικών
εικόνων και φωτογραφιών
κλιπ αρτ" border="0" class="thumb" src="http://comps.fotosearch.com/comp/DSN/DSN127/1765574.jpg" height="200" onclick="bigcomp('DSN/DSN127/1765574.jpg');" title="Νιφάδα χιονιού, αλίσκομαι
Δείτε Εικόνα Μεγάλου Μεγέθους" width="128" /></a><a class="image" href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%91%CF%81%CF%87%CE%B5%CE%AF%CE%BF:SnowflakesWilsonBentley.jpg" style="cssfloat: right; margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="" class="thumbimage" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c2/SnowflakesWilsonBentley.jpg/220px-SnowflakesWilsonBentley.jpg" height="200" width="156" /></a><br />
<div style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none;">
<b></b></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Όταν λοιπόν κάποιος δει στο μικροσκόπιο μια νιφάδα του χιονιού θα θαυμάσει το συμμετρικό σχήμα της. Πρόκειται για ένα μικροσκοπικό εξαγωνικό κρύσταλλο, που αποτελείται από έξι σχεδόν όμοια πέταλα. Έτσι αν τον περιστρέψουμε κατά 60 ή κατά 120 μοίρες γύρω από το κέντρο του θα φαίνεται ακριβώς όμοιος. O κρύσταλλος δηλαδή παραμένει αναλλοίωτος κάτω από έναν τέτοιο μετασχηματισμό περιστροφής, γεγονός που χαρακτηρίζει τη συμμετρία του. </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<b><span style="color: blue;"><span style="font-size: large;"><span style="font-size: small;">Πολύ κομψές εικόνες νιφάδων ειδωμένες στον μεγεθυντικό φακό</span> </span><span style="background-color: yellow; color: #cc0000; font-size: large;"><a href="http://www.iranon.gr/NEWSANDMORE/news10.htm">εδώ</a></span></span></b><br />
<b><span style="color: blue;"><br /></span></b>
<br />
<b><span style="color: blue; font-family: "georgia"; font-size: large;">4. Τα ζώα και τα... ανώτερα μαθηματικά</span></b><br />
<br />
<span style="font-family: "georgia"; font-size: medium;"></span>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Αν τα ποτάμια και οι αράχνες εντυπωσιάζουν όσους ασχολούνται με τη γεωμετρία υπάρχουν άλλα ζώα, όπως οι πυγολαμπίδες και τα τζιτζίκια που μας εισάγουν σε? ανώτερα μαθηματικά.<br />
Εδώ και δεκάδες χρόνια βιολόγοι είχαν παρατηρήσει ότι οι αρσενικές πυγολαμπίδες στις όχθες ποταμών της Μαλαισίας και της Ταϊλάνδης κατάφερναν να συγχρονίσουν τις λάμψεις τους με εκπληκτική ακρίβεια. Για την εξήγηση του φαινομένου χρειάστηκε η παρέμβαση φυσικών και μαθηματικών, όπως ο Στίβεν Στρόγκατζ από το πανεπιστήμιο Κορνέλ.<br />
«Ουσιαστικά, έχουμε να κάνουμε με ενα πρόβλημα μαθηματικών και όχι βιολογίας» λεει χαρακτηριστικά ο ίδιος ο Στρόγκατζ, ο οποίος στήριξε τις έρευνές του στη θεωρία της συζευγμένης ταλάντωσης που χρησιμοποιείται για την μελέτη συστημάτων που αλληλεπιδρούν μέσω συντονισμού. Η θεωρία της συζευγμένης ταλάντωσης πρωτοεμφανίστηκε το 17ο αιώνα, όταν μαθηματικοί της εποχής παρατήρησαν πως δυο ή περισσότερα εκκρεμή που βρίσκονταν στο ίδιο δωμάτιο, ύστερα από μεγάλα χρονικά διαστήματα, άρχιζαν να συγχρονίζονται, λόγω των δονήσεων που μετέδιδαν το ενα προς το άλλο μέσω του τοίχου!<br />
Παρεμφερή φαινόμενα συντονισμού τα οποία δεν έχουν εξηγηθεί πλήρως παρατηρούνται αρκετές φορές και σε τζιτζίκια και άλλα ζώα που παράγουν ταυτόχρονα τους ίδιους ήχους.<br />
<br />
<b><span style="font-family: "georgia"; font-size: x-small;"> </span><br />
<span style="color: blue; font-size: large;">5. Πρώτοι αριθμοί και... Τζιτζίκια</span></b><br />
<br />
<span style="font-size: small;"><span style="font-family: "georgia";">Τα τζιτζίκια, όμως, και συγκεκριμένα τα είδη Magicicada Septendecim και magicicada tredecim, παρουσίασαν ενα ακόμα χαρακτηριστικό για την εξήγηση του οποίου οι βιολόγοι ζήτησαν και πάλι τη βοήθεια των μαθηματικών. Και τα δυο αυτά είδη εμφανίζονται κάθε 17 και 13 χρόνια αντίστοιχα, ζευγαρώνουν, γενούν τα αυγά τους και πεθαίνουν.<br />
Το υπόλοιπο διάστημα της ζωής τους παραμένουν ως νύμφες κάτω από το έδαφος. Σημασία εδώ έχει ότι ο κύκλος εμφάνισής τους είναι πάντοτε πρώτος αριθμός, δηλαδή διαιρείται μόνο με τον εαυτό του και τη μονάδα.<br />
Το γεγονός αυτό οδήγησε αρκετούς επιστήμονες στο συμπέρασμα ότι η μαθηματική αυτή ακρίβεια τα προστατεύει από κάποιο φυσικό κίνδυνο με παρόμοια χαρακτηριστικά περιοδικής εμφάνισης. Ενα σενάριο προέβλεπε ότι το τζιτζίκι επιχειρεί να αποφύγει κάποιο παράσιτο με παρόμοιο κύκλο ζωής. Αν, λόγου χάρη, το παράσιτο εμφανίζεται κάθε 4 χρόνια, το τζιτζίκι «αποφεύγει» έναν κύκλο που διαιρείται με το 4, αν εμφανίζεται κάθε 5 αποφεύγει έναν κύκλο που διαιρείτε με το 5 κ.ο.κ.</span></span><br />
<br />
<br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;">6. Η ΧΡΥΣΗ ΑΝΑΛΟΓΙΑ </span></b><br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;"> ΚΑΙ Η ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ FIBONACCI</span></b><br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;"><br /></span></b>
<span style="font-size: small;">Ο Fibonacci ήταν πολύ γνωστός στην εποχή του και αναγνωρίζεται σήμερα ως ο μεγαλύτερος μαθηματικός του Μεσαίωνα. Γεννήθηκε στη δεκαετία του 1170 και πέθανε το 1250.<br />
<br />
Η σειρά Fibonacci είναι η σειρά στην οποία ο κάθε αριθμός είναι το άθροισμα των δύο προηγουμένων της σειράς και είναι η<br />
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, ... <br />
<br />
Ο λόγος δυο διαδοχικών ζευγαριών της σειράς ονομάζεται χρυσή αναλογία και είναι ο φ=1.618033989.<br />
Ο αντίστροφος του αριθμού είναι ο 0.618033989 δηλαδή 1/φ=φ+1.<br />
<br />
Τα φυτά δε γνωρίζουν για την ακολουθία Fibonacci, απλά μεγαλώνουν με τον πιο πρόσφορο και αποδοτικό τόπο. Όμως η ακολουθία κάνει την εμφάνισή της στη διάταξη των φύλων γύρω από το μίσχο. Εμφανίζεται επίσης στην ανάπτυξη των βελόνων αρκετών ειδών ελάτου, καθώς επίσης και στη διάταξη των πετάλων στις μαργαρίτες και τα ηλιοτρόπια. Μερικά κωνοφόρα δένδρα παρουσιάζουν τη σειρά αριθμών στη δομή της επιφάνειας των κορμών τους, ενώ τα φοινικόδενδρα στους δακτυλίους των κορμών τους.<br />
<br />
Όμως πώς προκύπτει αυτή η διάταξη, αυτή η συμμετρία σε σχέση με την ακολουθία; Στην περίπτωση του φυλλώματος μπορεί να σχετίζεται με τη μεγιστοποίηση του χώρου που είναι διαθέσιμος για την ανάπτυξη κάθε φύλλου ή το φώς πρέπει να πέφτει πάνω στο κάθε φύλλο. Η φύση προφανώς δεν προσπαθεί να χρησιμοποιήσει την ακολουθία Fibonacci, αυτή εμφανίζεται ώς το δευτερεύον αποτέλεσμα μιας πολύ βαθύτερης φυσικής διαδικασίας.<br />
<br />
Οι πολυάριθμες εμφανίσεις της χρυσής αναλογίας, και των χρυσών ορθογωνίων στην τέχνη, είναι αντικείμενο συζητήσεων και ερευνών μεταξύ των ψυχολόγων για το κατά πόσο οι άνθρωποι αντιλαμβάνονται το χρυσό ορθογώνιο για παράδειγμα, ώς πιο όμορφο και αρμονικό σχήμα από οποιοδήποτε άλλο ορθογώνιο. Πέρα όμως από τα επιστημονικά δεδομένα η χρυσή αναλογία, ο αριθμός φ, περιβάλλεται από ένα πέπλο μυστηρίου, κυρίως γιατί εντυπωσιακές προσεγγίσεις του απαντώνται, εντελώς απρόσμενα σε ένα σωρό μέρη στη φύση. Ακόμα και μια τομή του ανθρώπινου DNA φαίνεται να ενσωματώνεται άψογα σε ένα χρυσό δεκάγωνο. Η χρυσή αναλογία και τα σχήματα που σχετίζονται με αυτή συνεχίζουν να κινούν το ενδιαφέρον των μαθηματικών, αλλά και των απλών ανθρώπων.</span><br />
<span style="font-size: medium;"></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><span style="color: blue;"></span></b><br />
<a href="http://4.bp.blogspot.com/_rvWk3E1B-U0/Stmgli9WRlI/AAAAAAAAADY/QaEhWFXB1f4/s1600-h/delfini.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><b><img border="0" src="https://4.bp.blogspot.com/_rvWk3E1B-U0/Stmgli9WRlI/AAAAAAAAADY/QaEhWFXB1f4/s320/delfini.jpg" /></b></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;">Tα μαθηματικά και το τριαντάφυλλο - Ακολουθία Fibonacci</span></b><br />
<br />
<span style="font-family: "comic sans ms";">Πιάνει στα χέρια του το τριαντάφυλλο και το παρατηρεί προσεκτικά . Διαπιστώνει ότι πάνω στο λουλούδι τα ροδοπέταλα διατάσσονται σε σπειροειδή μορφή. Παίρνει ένα μαχαιράκι και κόβει το λουλούδι. Ξεκινώντας από το κέντρο καταγράφει μια ομάδα με 5 ροδοπέταλα , που ξεφυτρώνουν από την ίδια περιοχή, η αμέσως ευρύτερη ομάδα έχει ( συμπεριλαμβανόμενης των πετάλων της προηγούμενης ) 8 ροδοπέταλα συνολικά, η επόμενη μεγαλύτερη ομάδα </span><br />
<div class="MsoNormal" style="margin: 0cm 2.85pt 0pt;">
<span style="font-family: "comic sans ms";">( συμπεριλαμβανόμενων και των εσωτερικών) περιλαμβάνει συνολικά 13, </span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin: 0cm 2.85pt 0pt;">
<span style="font-family: "comic sans ms";">η επόμενη 21 και το σύνολο είναι 34 ροδοπέταλα. </span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin: 0cm 2.85pt 0pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: "comic sans ms"; font-size: 15pt;">Οι συγκεκριμένοι αριθμοί του κάνουν εντύπωση . Τα ροδοπέταλα διατάσσονται έτσι ώστε οι αριθμοί που προκύπτουν να είναι </span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin: 0cm 2.85pt 0pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: "comic sans ms"; font-size: 18pt;">όροι της <a href="http://users.sch.gr/kassetas/ed0math24.htm"><span style="color: #990000;"><b><span style="background-color: #ffe599;">ακολουθίας <span lang="EN-US">Fibonacci</span></span></b></span></a><span style="background-color: #ffe599; color: #990000;"><b>.</b></span></span><span style="font-family: "comic sans ms"; font-size: 15pt;"> <u>( σύνδεση )</u></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin: 0cm 2.85pt 0pt; text-align: justify;">
<i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="font-family: "palatino linotype"; font-size: 15pt;">1, 1, <span style="color: black;">2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55. .</span></span></i><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="color: black; font-family: "monotype corsiva"; font-size: 15pt;"> .</span></i><i style="mso-bidi-font-style: normal;"><span style="color: black; font-family: "monotype corsiva";"></span></i></div>
<div class="MsoNormal" style="margin: 0cm 2.85pt 0pt;">
<span style="color: black; font-family: "comic sans ms";">Καθένας από τους όρους της προκύπτει από το άθροισμα των δύο που προηγούνται. </span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin: 0cm 2.85pt 0pt;">
<span style="color: black; font-family: "comic sans ms"; font-size: 15pt;">Σε γλώσσα Άλγεβρας α<sub>ν</sub> = α<sub>ν-1</sub> + α<sub>ν-2</sub> </span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin: 0cm 2.85pt 0pt;">
<span style="color: black; font-family: "comic sans ms"; font-size: 13pt;">Στο τριαντάφυλλο τα ροδοπέταλα που μέτρησε εκείνος ήταν τριαντατέσσερα. </span><span style="font-family: "comic sans ms"; font-size: 10pt;"></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin: 0cm 2.85pt 0pt;">
<span style="color: black; font-family: "comic sans ms"; font-size: 13pt;">Σε ρόδο με περισσότερα πέταλα θα είναι πενήντα πέντε. </span><span style="color: black; font-family: "comic sans ms"; font-size: 15pt;"></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin: 0cm 2.85pt 0pt;">
<shape alt="plant photo" coordsize="21600,21600" fillcolor="#f9c" filled="t" id="_x0000_s1029" o:allowoverlap="f" strokecolor="white" stroked="t" strokeweight="2.25pt" style="height: 118.6pt; left: 0px; margin-left: 581.25pt; margin-top: 0px; mso-position-horizontal: right; mso-position-vertical-relative: line; mso-position-vertical: top; position: absolute; text-align: left; width: 134.35pt; z-index: 4;" type="#_x0000_t75"><imagedata o:href="http://www.helpmefind.com/sites/rrr/getImg.php?img=S11282.jpg" src="zzROSE2_files/image006.jpg"></imagedata><wrap side="left" type="square"></wrap></shape><span style="color: black; font-family: "comic sans ms"; font-size: 8pt;"></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin: 0cm 2.85pt 0pt;">
<span style="color: black; font-family: "comic sans ms"; font-size: 11pt;">Αν φτιάξουμε μια νέα ακολουθία με όρους τους λόγους των διαδοχικών όρων της προηγούμενης θα έχουμε 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 34/21. . - με προσέγγιση θα είναι 1,5, 1,667, 1,6, 1,625, 1,615 1,619 . . - και θα διαπιστώσουμε ότι </span><span style="color: black; font-family: "comic sans ms"; font-size: 14pt;">συγκλίνει προς έναν αριθμό</span><span style="color: black; font-family: "comic sans ms"; font-size: 11pt;">. Μπορούμε να αποδείξουμε ότι ο αριθμός προς τον οποίο συγκλίνει η ακολουθία θα είναι ο φ, ο αριθμός </span><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span style="color: blue; font-family: "century gothic"; font-size: 11pt;">(1+</span></b><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span style="color: blue; font-family: "symbol"; font-size: 11pt;">Ö</span></b><b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span style="color: blue; font-family: "century gothic"; font-size: 11pt;">5) /2</span></b><span style="font-family: "century gothic"; font-size: 11pt;"> </span><span style="font-family: "comic sans ms"; font-size: 11pt;">ή</span><span style="font-family: "century gothic"; font-size: 11pt;"> - </span><span style="font-family: "comic sans ms"; font-size: 11pt;">με τρία δεκαδικά - ίσος με <span style="color: blue;">1, 618, ο αριθμός που αντιστοιχεί στη ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ. </span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin: 0cm 2.85pt 0pt;">
<span style="color: black; font-family: "comic sans ms"; font-size: 10pt;">Χωρίζουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα σε δύο κομμάτια. Στη γλώσσα της ελληνικής Γεωμετρίας λέμε ότι κάνουμε μια ΤΟΜΗ η οποία είναι ΧΡΥΣΗ εφόσον ο λόγος του μεγάλου προς το μικρό είναι ίσος με το λόγο ολόκληρου προς το μεγάλο. </span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin: 0cm 2.85pt 0pt;">
<br /></div>
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>Η ακολουθία Fibonacci και τα κουνέλια </b></span><br />
<br />
<div class="MsoBodyTextIndent" style="font-family: inherit; text-align: justify;">
<b>Το πρόβλημα έχει ως εξής:</b></div>
<div style="font-family: inherit; text-align: justify;">
</div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="font-family: inherit; text-align: justify;">
Σε ένα σπίτι στο χωριό γεννιέται ένα ζευγάρι κουνέλια. Τα κουνέλια αυτά χρειάζονται 2 μήνες για να μεγαλώσουν και να αρχίσουν να γεννούν. Έτσι μετά από δύο μήνες το ζευγάρι αυτό γεννά ένα νέο ζευγάρι στην αρχή κάθε μήνα. Τα νέα ζευγάρια μεγαλώνουν και αναπαράγονται κι αυτά με τον ίδιο τρόπο. Πόσα ζευγάρια κουνέλια θα έχουμε μετά από 3 μήνες , 4 μήνες , 6 μήνες , μετά από ένα χρόνο;</div>
<div style="font-family: inherit; text-align: justify;">
</div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="font-family: inherit; text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="font-family: inherit; text-align: justify;">
</div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="font-family: inherit; text-align: justify;">
Απάντηση:</div>
<div style="font-family: inherit; text-align: justify;">
</div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="font-family: inherit; text-align: justify;">
Στην αρχή του πρώτου μήνα έχουμε 1 ζευγάρι κουνέλια </div>
<div style="font-family: inherit; text-align: justify;">
</div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="font-family: inherit; text-align: justify;">
Στην αρχή του δεύτερου μήνα έχουμε πάλι ένα ζευγάρι </div>
<div style="font-family: inherit; text-align: justify;">
</div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="font-family: inherit; text-align: justify;">
Στην αρχή του τρίτου μήνα το ζευγάρι γεννά και έχουμε 2 ζευγάρια </div>
<div style="font-family: inherit; text-align: justify;">
</div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="font-family: inherit; text-align: justify;">
Στην αρχή του τέταρτου μήνα το πρώτο ζευγάρι γεννά πάλι , αλλά το δεύτερο δεν είναι σε θέση <br />
ακόμη, δηλαδή 3 ζευγάρια. <br />
Στην αρχή του πέμπτου μήνα γεννά πάλι το αρχικό ζευγάρι , γεννά και το δεύτερο , δε γεννά το τρίτο. <br />
Σύνολο 5 ζευγάρια </div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="font-family: inherit; text-align: justify;">
</div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://1.bp.blogspot.com/_p_CsbZPkPY0/TPiinrV5vyI/AAAAAAAAACs/dtrsL1dDHMc/s1600/aa.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="165" src="https://1.bp.blogspot.com/_p_CsbZPkPY0/TPiinrV5vyI/AAAAAAAAACs/dtrsL1dDHMc/s200/aa.JPG" width="200" /></a></div>
<div class="MsoBodyTextIndent">
<br /></div>
<div style="font-family: inherit;">
</div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="font-family: inherit; text-align: justify;">
Έτσι, το πλήθος των ζευγαριών των κουνελιών στην αρχή κάθε μήνα είναι 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, .. Παρατηρήστε ότι κάθε αριθμός στην ακολουθία είναι το άθροισμα των δύο προηγούμενων. Αυτό είναι λογικό να συμβαίνει μια και στην αρχή κάθε μήνα έχουμε τα ζευγάρια που είχαμε τον προηγούμενο μήνα και επιπλέον τόσα νεογέννητα ζευγάρια όσα και ενήλικα ζευγάρια γονέων έχουμε.</div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="font-family: inherit;">
<br /></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="font-family: inherit;">
<b>Άρα οι αριθμοί </b><b>Fibonacci</b><b> </b><b>είναι: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,..... με τον κάθε αριθμό να προκύπτει από το άθροισμα των δύο προηγούμενων του.</b></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="font-family: inherit;">
<br /></div>
<div class="MsoBodyTextIndent" style="font-family: inherit;">
<b>1+1=2 , 1+2=3 , 3+5=8 , 5+8=13 ,.....</b><br />
<b><br /></b>
<b><br /></b></div>
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>7. To σχήμα της γης.</b></span><br />
<br />
Αποδεικνύεται μαθηματικά ότι το σχήμα της γης<br />
( πεπλατυσμένο σφαιροειδές ) είναι το ιδανικό για την ελαχιστοποίηση της έλξης της βαρύτητας στα εξωτερικά της άκρα.<br />
<br />
<br />
<span style="font-size: small;"><b><span style="color: blue; font-size: large;">8. Η </span></b></span><span style="font-size: small;"><b><span style="color: blue; font-size: large;">αυτοομοιότητα στη φύση</span></b></span><br />
<br />
<span style="font-size: small;">Τρία χαρακτηριστικά παραδείγματα φυσικών αντικειμένων που εκδηλώνεται η αυτοομοιότητα είναι το κουνουπίδι, η φτέρη και οι ακτογραμμές.<br />
α. Η φτέρη ανήκει στην κατηγορία των φυτών που εκδηλώνουν την ιδιότητα της <a href="http://2.bp.blogspot.com/_Jr4UAMiJSbs/SCCRufz-8II/AAAAAAAAAFI/ZBiA66-B-18/s1600-h/Image141.gif" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5197314197985095810" src="https://2.bp.blogspot.com/_Jr4UAMiJSbs/SCCRufz-8II/AAAAAAAAAFI/ZBiA66-B-18/s200/Image141.gif" style="cursor: hand; float: right; margin: 0px 0px 10px 10px;" /></a>αυτοομοιότητας με τον καλύτερο τρόπο. Μια φτέρη αποτελείται από φύλλα καθένα από τα οποία αποτελείται από πολλά μικρότερα. Και αυτά ακόμα τα μικρά φύλλα αποτελούνται από ακόμα μικρότερα που διατηρούν την ίδια δομή με τη φτέρη.<br />
β. Αν από ένα κουνουπίδι αποσπάσουμε ένα κομμάτι θα διαπιστώσουμε ότι αυτό μοιάζει με το αρχικό, θα είναι ένα μικρότερο αντίγραφο. Αν από το πρώτο αποσπάσουμε ένα κομμάτι θα διαπιστώσουμε ότι είναι ακόμα μικρότερο αλλά εξακολουθεί να μοιάζει με το αρχικό.<br />
γ. Ας παρατηρήσουμε χάρτες που περιγράφουν ακτογραμμές σε διαφορετικές κλίμακες. Αυτό που μας αποκαλύπτεται είναι μια όμοια κατανομή κόλπων και ακρωτηρίων. Μπορούμε να θεωρήσουμε ότι μια ακτογραμμή παρουσιάζει φράκταλ δομή με την έννοια ότι αν μεγεθύνεται εμφανίζονται νέοι κόλποι και α κρωτήρια και παρόλα αυτά εξακολουθεί να μοιάζει με ακτογραμμή. <br />
<br />
<span style="font-style: italic;">Η αυτοομοιότητα στα μαθηματικά φράκταλ.</span><br />
<br />
<a href="http://3.bp.blogspot.com/_Jr4UAMiJSbs/SCCSWvz-8JI/AAAAAAAAAFQ/icQlFxY4pC0/s1600-h/KochFrillFlake3_1000.gif" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5197314889474830482" src="https://3.bp.blogspot.com/_Jr4UAMiJSbs/SCCSWvz-8JI/AAAAAAAAAFQ/icQlFxY4pC0/s200/KochFrillFlake3_1000.gif" style="cursor: hand; float: left; margin: 0px 10px 10px 0px;" /></a>Η στοιχειώδης μοντελοποίηση μιας φτέρης μπορεί να πραγματοποιηθεί με τη χρήση ενός υπολογιστικού περιβάλλοντος. Ένα μικρό πρόγραμμα που περιλαμβάνει πολλαπλές αναδρομικές κλήσεις, συνήθως, είναι αρκετό για να μοντελοποιήσουμε ορισμένα ενδιαφέρονα μαθηματικά φράκταλ όπως για παράδειγμα η φτέρη, το τρίγωνο του Sierpinski, τα φράκταλ δέντρα και η χιονονιφάδα του Koch η οποία φαίνεται στην παρακάτω εικόνα. Δείχνει ένα ισόπλευρο τρίγωνο με μήκος πλευράς 3l. Στο κεντρικό τμήμα κάθε πλευράς τοποθετείται ένα όμοιο τρίγωνο με μήκος πλευράς l και η διαδικασία επαναλαμβάνεται απεριόριστα, δίνοντας ως αποτέλεσμα την λεγόμενη νιφάδα τού Koch.<br />
'Ενα άλλο βασικό χαρακτηριστικό ενός φράκταλ είναι η μαθηματική παράμετρος που ονομάζεται διάσταση fractal D.<br />
Αυτό είναι ένα χαρακτηριστικό που παραμένει το ίδιο άσχετα με το πόσο πολύ θα μεγεθυνθεί το αντικείμενο ή υπό ποία γωνία θα παρατηρηθεί. Η διάσταση fractal εκφράζεται με εναν μη ακέραιο αριθμό, δηλαδή από ένα "κλάσμα", αντίθετα προς την ευκλείδεια γεωμετρία.<br />Στο παραπάνω παράδειγμα, η περίμετρος κάθε σχήματος αυξάνει σε σχέση με αυτή τού αμέσως προηγουμένου σχήματος κατά τον λόγο 4 προς 3. Η διάσταση fractal D είναι η δύναμη στην οποία πρέπει να υψωθεί το 3 για να δώσει 4, δηλαδή 3D = 4. Η διάσταση που χαρακτηρίζει την περίμετρο τού fractal του ανωτέρω σχήματος είναι log4/log3 ή πρoσεγγιστικά 1 ,26.<br />
Το μήκος της περιμέτρου τού fractal είναι 3l*(4/3)*(4/3).... δηλαδή άπειρο, αλλά περικλείει ένα πεπερασμένο εμβαδόν που είναι μικρότερο από το εμβαδόν τού περιγεγραμμένου κύκλου στο αρχικό τρίγωνο. Η διάσταση fractal D αποκαλύπτει ακριβώς τις λεπτές διαφορές και την πολυπλοκότητα ενός μη ευκλείδειου σχήματος.</span></div>
<br />
<br />
<div align="center" class="title1">
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>9. Βιομαθηματικά σχέδια</b></span></div>
<div align="center" class="title1">
</div>
<div align="center" class="ltitle">
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>Πώς οι ζωντανοί οργανισμοί εκφράζουν πολύπλοκες συμπεριφορές και σχέδια, που δεν είναι προγραμματισμένα στο γενετικό τους κώδικα. </b></span><br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><b><br /></b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><span style="color: black; font-size: small;">Παρά τη χαμηλή της θέση στο δέντρο της ζωής, η αμοιβάδα Δικτυοστήλιο επιστημονικά, όπως λέγεται αυτό το είδος μούχλας, καταφέρνει να σχηματίσει θαυμάσια σπειροειδή σχήματα. Σε ποιο βαθμό αυτά τα σχέδια είναι προδιαγεγραμμένα στα γονίδια της αμοιβάδας; Υπάρχει πραγματικά γονίδιο για σπείρες; <br />
<span style="color: black; font-size: small;">Για να απαντήσουμε στην ερώτηση αυτή πρέπει να ξέρουμε πώς οι αμοιβάδες φτιάχνουν τις σπείρες. Τα σχέδια αυτά είναι στην πραγματικότητα αποτέλεσμα μιας συλλογικής δραστηριότητας. Τα σχέδια εμφανίζονται όταν η τροφή αρχίσει να μειώνεται. Οι αμοιβάδες αρχίζουν να πλησιάζουν προς ένα σημείο και στην πορεία αυτή συνήθως σχηματίζουν μια όμορφη λεπτή σπείρα. Το πλήθος των αμοιβάδων γίνεται όλο και πιο πυκνό και η σπείρα πιο σφιχτή. Σε κάποιο σημείο «σπάει» σε κλάδους. Τα κλαδιά παχαίνουν και καθώς όλο και περισσότερες αμοιβάδες προσπαθούν να φτάσουν στο κέντρο της σπείρας σχηματίζουν ένα σωρό, γνωστό σαν «γυμνοσάλιαγκα» (δεν έχει καμιά σχέση με το μαλάκιο γυμνοσάλιαγκας).</span><br />
<span style="color: black; font-size: small;">Ο «γυμνοσάλιαγκας» είναι μια αποικία αμοιβάδων, αλλά κινείται σαν να ήταν ένας οργανισμός. Μόλις βρει ένα στεγνό μέρος προσδένεται στο έδαφος και αναπτύσσει ένα βλαστό. Στην κορυφή του βλαστού σχηματίζεται μια σφαίρα που περικλείει αμοιβάδες που μεταμορφώθηκαν σε σπόρους. Κάποια στιγμή ο αέρας παρασύρει τους σπόρους και ο κύκλος ξαναρχίζει απ' την αρχή.</span><br />
<span style="font-size: small;"><br />
<span style="color: black;"></span></span></span></span></div>
<div class="image" style="text-align: justify;">
<table align="right" border="0" cellpadding="5" cellspacing="0"><caption align="bottom"><span style="color: black;"></span></caption><tbody>
<tr><td align="right"><span style="color: black;"></span></td></tr>
</tbody></table>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black; font-size: small;">Ο Τόμας Χόφερ, βιοφυσικός στο Πανεπιστήμιο Χούμπολτ του Βερολίνου ανακάλυψε ένα απλό σύστημα μαθηματικών εξισώσεων που αναπαράγει τόσο τις σπείρες των αμοιβάδων όσο και τα σχέδια που κάνουν κατά τη διαδικασία συγκέντρωσής τους.</span><br />
<br />
</div>
</div>
<b style="color: blue; font-size: x-large;">10. ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΗΣΗΣ ΑΠΟΙΚΙΩΝ ΜΥΡΜΗΓΚΙΩΝ.</b><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
Τα μυρμήγκια αναπτύσσουν μια τεχνική για να βρουν τη συντομότερη διαδρομή από τη φωλιά τους προς την πηγή της τροφής τους και αντίθετα. Τα μυρμήγκια ξεκινούν την αναζήτηση της τροφής γύρω από την πηγή με τυχαίο τρόπο και καθώς κινούνται αφήνουν μια ποσότητα μίας ουσίας που ονομάζεται φερομόνη και με αυτό τον τρόπο μαρκάρουν το μονοπάτι που έχουν διανύσει. Η ποσότητα της φερομόνης στο κάθε μονοπάτι εξαρτάται από την απόσταση, την ποιότητα και την ποσότητα της τροφής που βρέθηκε. Το επόμενο μυρμήγκι που θα φύγει από τη φωλιά του είναι πολύ πιθανό να ακολουθήσει τη φερομόνη που θα υπάρχει σε κάποιο μονοπάτι, αφήνοντας μια ποσότητα φερομόνης στο ίδιο μονοπάτι. Καθώς η ποσότητα φερομόνης στο συγκεκριμένο μονοπάτι όλο και αυξάνεται, όλο και περισσότερα μυρμήγκια ακολουθούν αυτό το μονοπάτι. Όμως καθώς η ώρα περνάει η φερομόνη, ιδιαίτερα από τα μονοπάτια που δεν πηγαίνουν πολλά μυρμήγκια, ελαττώνεται. Τελικά από όλα τα υπόλοιπα μονοπάτια η φερομόνη εξαφανίζεται και όλα τα μυρμήγκια ακολουθούν τελικά το ίδιο μονοπάτι, που είναι και η βέλτιστη ή η σχεδόν - βέλτιστη λύση.... </div>
<div class="article_txt_subs" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<br />
<div align="center" class="ltitle" style="text-align: justify;">
</div>
<div align="center" class="ltitle" style="text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><b> ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΤΕΧΝΗ</b></span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<b style="color: blue; text-align: justify;"><span style="font-size: large;"> </span></b></div>
<span style="color: blue;"><b> </b></span><br />
<i style="color: blue; font-size: x-large;"><b>" Η Τέχνη <span style="color: #990000;">αναπαριστά</span> με εικόνες και αντικείμενα τις σχέσεις και τις μορφές της φυσικής ή φανταστικής πραγματικότητας. Τα μαθηματικά <span style="color: #990000;">μελετούν</span> τις σχέσεις και τις μορφές της φυσικής ή φανταστικής πραγματικότητας. Η πρώτη δημιουργεί , οπτικοποιεί , η άλλη μελετά".</b></i></div>
<div align="center" class="ltitle" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<br />
<div align="center" class="ltitle" style="text-align: justify;">
<i style="color: blue; font-size: x-large;"><b>" Ο μαθηματικός όπως ένας ζωγράφος ή ένας ποιητής είναι ένας σχεδιαστής. Ο ζωγράφος φτιάχνει σχέδια με σχήματα και χρώματα , ο ποιητής με ιδέες. Τα μαθηματικά σχεδιάσματα , όπως εκείνα του ποιητή ή του ζωγράφου πρέπει να είναι όμορφα. Δεν υπάρχει μόνιμη θέση στον κόσμο για άσχημα μαθηματικά".</b></i></div>
<div>
<br />
<b> <span style="color: #cc0000;"><i>Ηardy </i><br />
<i> Άγγλος μαθηματικός στο βιβλίο του : </i><br />
<i> " Η Απολογία ενός μαθηματικού".</i></span></b><br />
<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<b><span style="color: blue; font-size: large;"><i>"O αληθινός μαθηματικός νιώθει τα ίδια συναισθήματα με το έργο του όπως κι ένας καλλιτέχνης. Νιώθει δηλαδή ευχαρίστηση".</i></span></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><span style="color: blue; font-size: large;"><i><br /></i></span></b></div>
<b><span style="color: #cc0000; font-size: large;"><i>Poincare.</i></span></b><br />
<br />
<br /></div>
<div align="left" class="ltitle" style="text-align: justify;">
<b><span style="color: blue;">"Γιατί είναι όμορφοι οι αριθμοί; Είναι σα να ρωτάς γιατί είναι όμορφη </span><span style="color: blue;">η ένατη συμφωνία του Beethoven. Αν δεν μπορείς να το δεις από </span><span style="color: blue;">μόνος σου, δεν μπορεί να σου το πει κανείς. Γνωρίζω ότι τα </span><span style="color: blue;">μαθηματικά είναι όμορφα. Αν δεν είναι αυτά όμορφα, τότε τίποτα </span><span style="color: blue;">δεν είναι."</span> </b></div>
<div align="left" class="ltitle" style="text-align: justify;">
<b><br />
</b></div>
<div align="center" class="ltitle" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "verdana"; font-size: large;"><b><span style="color: blue;"> </span><span style="color: #cc0000;">Paul Erdos </span><span style="color: blue;"> </span></b></span><br />
<br />
<br />
<span style="font-family: "georgia"; font-size: 16px; text-align: -webkit-left;"><i><b><span style="color: blue;"><span style="background-color: #9fc5e8;">"</span><span style="background-color: #9fc5e8;">Η έμπνευση στη γεωμετρία είναι το ίδιο απαραίτητη, όσο και στην ποίηση."</span></span></b></i></span><br />
<span style="background-color: #9fc5e8;"><span style="color: black; font-family: "georgia"; font-size: 16px; text-align: -webkit-left;"><i><br /></i></span>
<b style="font-family: Georgia; font-size: 13px; text-align: -webkit-left;"><i><span style="color: #cc0000;">- ΠΟΥΣΚΙΝ</span></i></b></span><br />
<span style="background-color: #9fc5e8;"><br /></span>
<span style="background-color: #9fc5e8;"><br /></span>
<em style="background-color: #9fc5e8; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; line-height: 18px; text-align: start;"><span style="color: blue;">"</span><b><span style="color: blue;">Ένας μαθηματικός, που δεν είναι λίγο ποιητής, δεν θα γίνει ποτέ τέλειος μαθηματικός."»</span></b></em><br />
<span style="background-color: #9fc5e8;"><br /></span>
<em style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; line-height: 18px; text-align: start;"><b><span style="background-color: #9fc5e8; color: #cc0000;">Karl Weierstrass</span></b></em><br />
<span style="background-color: #9fc5e8;"><em style="color: #333333; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; line-height: 18px; text-align: start;"><br /></em>
<em style="color: #333333; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 16px; line-height: 18px; text-align: start;"><br /></em><span style="font-family: "arial"; font-size: 12.0pt; letter-spacing: 1.0pt;"> <span style="color: blue;"><b>“</b></span></span><span style="color: blue;"><b><i><span style="font-family: "arial"; font-size: 11.0pt; letter-spacing: 1.0pt;">Διασχίζω συνεχώς το σύνορο μεταξύ μαθηματικών και τέχνης</span></i><span style="font-family: "arial"; font-size: 12.0pt; letter-spacing: 1.0pt;">”<em>. </em></span></b></span></span><br />
<span style="background-color: #9fc5e8;"><br /></span>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<i style="letter-spacing: 1px;"><span style="color: blue; font-family: "arial";"><b style="background-color: #9fc5e8;"><br /></b></span></i></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="background-color: #9fc5e8; color: #990000;"><b><i><span lang="EN-US" style="font-family: "arial"; font-size: 12pt;">O</span><span lang="EN-US" style="font-family: "arial"; font-size: 12pt;"> </span><span lang="EN-US" style="font-family: "arial"; font-size: 12pt;">M</span><span style="font-family: "arial"; font-size: 12pt;">.</span><span lang="EN-US" style="font-family: "arial"; font-size: 12pt;">C</span><span style="font-family: "arial"; font-size: 12pt;">. </span><span lang="EN-US" style="font-family: "arial"; font-size: 12pt;">Escher</span><span style="font-family: "arial"; font-size: 12pt;">, </span><span style="font-family: "arial"; font-size: 12pt;">ένα κράμα καλλιτέχνη και επιστήμονα που </span></i></b><span style="font-family: "arial"; text-indent: 36pt;"><b><i>έγινε παγκοσμίως γνωστός
για τις ασυνήθιστες λιθογραφίες και ξυλογραφίες του. Τα
μοναδικά και συναρπαστικά έργα τέχνης
του είναι ένα ταξίδι μεταξύ της
φαντασίας, των μαθηματικών και της πραγματικής ζωής.</i></b></span></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<br />
<b><br /></b>
<span style="color: blue; font-size: large;"><b> ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ</b></span><br />
<b><br />
</b></div>
<div align="left" class="MsoBodyTextIndent" style="line-height: 100%; margin: 0px; text-align: justify; word-spacing: 0px;">
<span style="color: black;"> Τα μαθηματικά και η τέχνη γενικότερα μολονότι, φαινομενικά τουλάχιστον, αποτελούν δυο ξεχωριστά – διακριτά πεδία της ανθρώπινης δραστηριότητας, εντούτοις είναι δυνατόν να συνδυαστούν και να δώσουν δημιουργίες οι οποίες αποτελούν αξιοθαύμαστο μείγμα εντυπωσιακής πολυπλοκότητας και εκπληκτικής ομορφιάς.</span></div>
<div align="left" class="MsoNormal" style="line-height: 100%; margin: 0px; text-align: justify; text-indent: 17.85pt; word-spacing: 0px;">
<span style="color: black;">Τα μαθηματικά από τότε μέχρι και σήμερα εξακολουθούν να παίζουν ένα σημαντικό ρόλο στην εξέλιξη των διαφόρων μορφών της τέχνης Σ’ όλες τις εποχές αναδείχθηκαν εξέχουσες μορφές της τέχνης, οι οποίες χρησιμοποίησαν τα μαθηματικά ως το βασικό συστατικό της τέχνης τους. Είναι προφανές ότι δεν είναι δυνατόν να υπάρξουν κανόνες ή όρια σχετικά με τα θέματα ή τις ιδέες της μαθηματικής τέχνης. Υπάρχουν όμως κάποια θέματα τα οποία έχουν χρησιμοποιηθεί περισσότερο και δείχνουν ότι έχουν κερδίσει την προτίμηση ορισμένων καλλιτεχνών. Μεταξύ αυτών είναι τα πολύεδρα, τα ψηφιδωτά, τα ανέφικτα σχήματα, οι ταινίες <span lang="EN-US">M</span>ö<span lang="EN-US">bious</span> και τα <span lang="EN-US">fractals</span>.</span></div>
<div align="left" class="MsoNormal" style="line-height: 100%; margin: 0px; text-align: justify; text-indent: 17.85pt; word-spacing: 0px;">
<span style="color: black;">Ο <span lang="EN-US">Leonardo</span><span lang="EN-US"> </span><span lang="EN-US">da</span><span lang="EN-US"> </span><span lang="EN-US">Vinci</span> (1402-1519) είναι γνωστός για τα επιτεύγματά του τόσο στις επιστήμες όσο και στις καλές τέχνες. Στα έργα του χρησιμοποίησε παραστατική γεωμετρία προκειμένου να δημιουργήσει τα πρώτα παραμορφωμένα πλέγματα, τα οποία όταν ειδωθούν από κάποια συγκεκριμένη γωνία εμφανίζονται κανονικά. Ο <span lang="EN-US">Johanes</span><span lang="EN-US"> </span><span lang="EN-US">kepler</span> (1580-1630) επίσης πέρα από τη αστρονομία είχε μεγάλο ενδιαφέρον για τη δημιουργία γεωμετρικών ψηφιδωτών.</span><br />
<span style="color: black;">Όταν όμως αναφερόμαστε στον όρο «μαθηματική τέχνη» ο νους μας πηγαίνει κυρίως στον Ολλανδό καλλιτέχνη <span lang="EN-US">Maurits</span><span lang="EN-US"> </span><span lang="EN-US">Escher</span> (1898-1972), ο οποίος δικαίως θεωρείται ο πατέρας αυτού του είδους της τέχνης. Η εργασία του αποτελεί μια αστείρευτη πηγή έμπνευσης για πολλούς σύγχρονους σημαντικούς καλλιτέχνες. Οι λιθογραφίες, οι ξυλογλυφίες και οι χαλκογραφίες του βρίσκονται κρεμασμένες στα σπίτια μαθηματικών και επιστημόνων σ’ όλο τον κόσμο. Πολλά έργα του έχουν ως βάση κάποια μαθηματικά θέματα που έχουν κατά καιρούς αναλυθεί σε βιβλία ψυχαγωγικών μαθηματικών, όπως αυτά του <span lang="EN-US">Martin</span><span lang="EN-US"> </span><span lang="EN-US">Gardner</span>. Ο <span lang="EN-US">Escher</span> είναι περισσότερο γνωστός στους κρυσταλλογράφους για την πετυχημένη ψηφιδωτή τεχνική με την οποία χωρίζει το επίπεδο. </span></div>
<div align="left" class="MsoNormal" style="line-height: 100%; margin: 0px; text-align: justify; text-indent: 17.85pt; word-spacing: 0px;">
<span style="color: black;">Χωρίζοντας το επίπεδο με κυματιστές σειρές πουλιών, ψαριών, ερπετών, θηλαστικών και ανθρώπων κατάφερε να δημιουργήσει μεγάλη ποικιλία καταπληκτικών όσο και απροσδόκητων εικόνων, οι οποίες βασίζονται σε νόμους της συμμετρίας, της θεωρίας συνόλων, της προοπτικής, της τοπολογίας και της κρυσταλλογραφίας.</span><br />
<span style="color: black;">Ο <span lang="EN-US">Salvator</span><span lang="EN-US"> </span><span lang="EN-US">Dali</span> (1904-1989) ήταν ένας άλλος διάσημος Ισπανός σουρεαλιστής ζωγράφος ο οποίος χρησιμοποίησε στους πίνακές του σχέδια με έντονα γεωμετρικά-τοπολογικά στοιχεία. Ο <span lang="EN-US">Dali</span> απεικόνισε σε πολλά έργα του τον τετραδιάστατο χώρο στο χώρο των δύο διαστάσεων. Για παράδειγμα, στο έργο «Σε αναζήτηση της τέταρτης διάστασης», υπάρχουν στοιχεία τοπολογίας και τετραδιάστατης γεωμετρίας, έτσι που ο πίνακας φαίνεται να κινείται γύρω από μια υπερσφαίρα.</span><span style="color: black;">Στα τέλη του 19<sup>ου</sup> αιώνα – αρχές του 20<sup>ου</sup>, μια </span><span style="color: black;">ομάδα μαθηματικών με επικεφαλής τους <span lang="EN-US">Peano</span>,</span></div>
<div align="left" class="MsoNormal" style="line-height: 100%; margin: 0px; text-align: justify; text-indent: 17.85pt; word-spacing: 0px;">
<span style="color: black;"><span lang="EN-US">Hilbert</span>, <span lang="EN-US">Cesaro</span>, <span lang="EN-US">Koch</span> και <span lang="EN-US">Sierprinski</span>, μεταξύ άλλων, διαμόρφωσαν μια νέα οικογένεια καμπύλων με αλλοπρόσαλλες μαθηματικές ιδιότητες, οι οποίες ξέφευγαν από κάθε άλλο προηγούμενο. Αντίθετα προς την παραδοσιακή γεωμετρία που βασιζόταν στα τρίγωνα, τα τετράγωνα, τους κύκλους, τις ελλείψεις κλπ, αυτή η νέα γεωμετρία περιγράφει περιστρεφόμενες καμπύλες, σπιράλ και ίνες οι οποίες περιτυλίσσονται μεταξύ τους έτσι ώστε να δίνουν περίπλοκα σχήματα, οι λεπτομέρειες των οποίων να χάνονται στο άπειρο.</span><br />
<span style="color: black;">Τα έργα του Van Gogh χαρακτηρίζουν χαοτικές δίνες που ακολουθούν με ακρίβεια τις μαθηματικές περιγραφές των αναταράξεων σε ρευστά υλικά, όπως οι στροβιλισμοί του νερού σε ένα ταραγμένο ποτάμι ή οι ανεμοστρόβιλοι.</span><br />
<span style="color: black;"><br />
</span><br />
<span style="color: black;"><img alt="" class="aligncenter size-medium wp-image-120" src="http://gakou.files.wordpress.com/2010/08/vahn-gogh1.jpg?w=300&h=239" height="239" title="Van Gogh- Starry Night" width="300" /></span><br />
<span style="color: black;">Το 1977, με τη βοήθεια ενός <span lang="EN-US">Computer</span>, ο Γάλλο-Πολωνικής καταγωγής επιστήμονας <span lang="EN-US">Benoit</span><span lang="EN-US"> </span><span lang="EN-US">Mandelbrot</span>, κατόρθωσε να πάρει την πρώτη εικόνα αυτής της νέας γεωμετρίας, η οποία στη συνέχεια ονομάστηκε Φράκταλ γεωμετρία. Το 1980, η δημοσίευση του βιβλίου του με τίτλο «Η φράκταλ γεωμετρία στη φύση», έκανε δημοφιλή τη γεωμετρία αυτή και είχε ως αποτέλεσμα τη δημιουργία ανάλογων εντυπωσιακών σχημάτων.</span></div>
<div align="left" class="MsoNormal" style="line-height: 100%; margin: 0px; text-align: justify; text-indent: 17.85pt; word-spacing: 0px;">
<span style="color: black;">Την τελευταία δεκαετία διαφαίνεται μια τάση για παραπέρα ανάπτυξη των αποκαλούμενων μαθηματικώς δημιουργούμενων σχημάτων και εικόνων, δηλαδή σχημάτων ή εικόνων που παράγονται από Η/Υ με την κατάλληλη εφαρμογή κάποιων μαθηματικών τύπων ή αλγορίθμων. Παράδειγμα τέτοιων σχημάτων με μεγάλη αισθητική απήχηση αποτελεί το σύνολο <span lang="EN-US">Mandelbrot</span>, το οποίο προέρχεται από την επαναληπτική διαδικασία επανεισαγωγής των τιμών στη συνάρτηση , όπου το <span lang="EN-US">z</span> είναι μιγαδική μεταβλητή που ξεκινάει από το 0 και το <span lang="EN-US">c</span> ένας τυχαίος μιγαδικός σταθερός αριθμός που αντιπροσωπεύει το σημείο του επιπέδου που εξετάζεται. Όταν αναπαρασταθεί στην οθόνη ενός υπολογιστή το σύνολο αυτό, δίνει την εικόνα μιας καρδιάς με οίδημα </span><br />
<br />
<br />
<span style="color: black;"><span style="color: blue;"><b>Απίθανες εικόνες φράκταλς υπέροχης ομορφιάς θα βρείτε :</b></span></span><br />
<span style="color: blue;"><br />
<b> <a href="http://www.mathsforyou.gr/index.php?%20option=com_morfeoshow&task=view&gallery=9&Itemid=58"><span style="background-color: yellow; color: #cc0000; font-size: large;">εδώ </span></a> κι <span style="color: black; font-size: large;"> </span><a href="http://www.blogger.com/.http://www.coolmath-games.com/jigsaw-puzzles-fractal-01.html"><span style="background-color: yellow; color: #cc0000; font-size: large;">εδώ</span></a></b><br />
<br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;"> <span style="font-size: small;">Απολαύστε τις !</span></span><span style="color: black;"></span></b></span><span style="color: black;"><b> </b></span></div>
<br />
<b>
<i><span style="color: blue; font-family: "verdana";"></span></i></b>
<b><i><span style="color: blue; font-family: "verdana";">ΛΕΟΝΑΡΝΤΟ ΝΤΑ ΒΙΝΤΣΙ </span></i></b><br />
<br />
<span style="color: blue;"><span style="font-family: "verdana";"><span style="font-family: "times new roman";"><span style="color: black;">Ο Λεονάρντο Ντα Βίντσι χρησιμοποιεί την παραστατική γεωμετρία στον σχεδιασμό πολλών έργων του. Κάποια σχέδια του μοιάζουν έντονα με ανεμόπτερο ή ελικόπτερο. Αναδεικνύεται έτσι η επιστημπονική χροιά των έργων του και η στροφή του προς το μέλλον.<br />
</span></span></span></span><br />
<br />
<span style="color: blue;"><span style="font-family: "verdana";"><span style="font-family: "times new roman";"><b><span style="color: blue; font-size: large;">ΙΣΛΑΜΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΤΕΧΝΗ</span></b></span></span></span><br />
<br />
<span style="color: blue;"><span style="font-family: "verdana";"><span style="color: black;"><span style="font-family: "verdana"; font-size: 10pt;">Έρευνα για τη μεσαιωνική ισλαμική τέχνη αποκάλυψε ότι μερικά από τα γεωμετρικά μοτίβα που χρησιμοποιεί, βασίζονται σε αρχές που ανακαλύφθηκαν αιώνες αργότερα από τους μαθηματικούς της Δύσης.</span></span></span></span><b> </b><br />
<div class="MsoNormal" style="margin: 0cm 0cm 0pt;">
<span style="color: black;"><span style="font-family: "verdana"; font-size: 10pt;"><span onclick="javascript: window.open("/n1/misc/popup.rx?url=articles/pictures/89654005/girih.jpg&show_close=1", "_popup", ",status=no,menubar=no,resizable=yes,scrollbars=no,height=300,toolbar=no,width=216,location=no");"><span class="postbody"><span style="font-family: "times new roman"; font-size: small;">Μελέτη της μεσαιωνικής ισλαμικής τέχνης έδειξε πως ορισμένες γεωμετρικές παραστάσεις βασίζονται σε αρχές των μαθηματικών που ανακαλύφθηκαν αιώνες αργότερα από μοντέρνους μαθηματικούς. </span></span></span></span><span style="font-family: "verdana"; font-size: 10pt;"><span onclick="javascript: window.open("/n1/misc/popup.rx?url=articles/pictures/89654005/girih.jpg&show_close=1", "_popup", ",status=no,menubar=no,resizable=yes,scrollbars=no,height=300,toolbar=no,width=216,location=no");"><span class="postbody"><span style="font-family: "times new roman"; font-size: small;">Αμερικανοί ερευνητές, αναφέρει το BBC, έχουν βρει δείγματα τέχνης του 15ου αιώνα, στα οποία εμφανίζεται η έννοια της «κρυσταλλικής γεωμετρίας». </span></span></span></span></span><br />
<i><b> </b></i></div>
<div align="justify" class="MsoNormal" style="margin: 0cm 0cm 0pt;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><i><b>Η ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΗΝ ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΤΕΧΝΗ</b></i></span><br />
<br />
<span style="color: blue;"><i><b>" Ο Πυθαγόρας υποστήριζε ότι αποτελεί μια από τις κρυμμένες αρμονίες της φύσης. Ο Ικτίνος τη χρησιμοποίησε στην κατασκευή του Παρθενώνα και ο Ντα Βίντσι στα υπέροχα γυμνά του. Κανένας όμως δεν μπορούσε να φανταστεί ότι χαρακτηρίζει τη μορφή φυσικών σχηματισμών σε όλες τις κλίμακες των μεγεθών, από τις μικρότερες, όπως είναι τα όστρακα, ως τις μεγαλύτερες, όπως είναι οι κυκλώνες και οι γαλαξίες. Πρόκειται για τη Χρυσή Τομή". </b></i></span><br />
<span style="color: blue;"><i><b><br /></b></i></span>
<i><b><img src="http://www.asxetos.gr/senData/articles/images/asArticleRecords-657.xsisitomi1.gif" height="142" width="320" /></b></i><b><br />
</b><br />
<div style="background-color: transparent; border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; color: black; overflow: hidden; text-align: justify; text-decoration: none;">
</div>
<div style="background-color: transparent; border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; color: black; overflow: hidden; text-align: justify; text-decoration: none;">
<span style="color: black;">Οι αρχαίοι έλληνες μαθηματικοί, με τη γνωστή αδυναμία τους στην τελειότητα της αρμονίας, είχαν δώσει ξεχωριστή σημασία στη διαίρεση ενός ευθύγραμμου τμήματος σε «μέσο και άκρο λόγο». H αρκετά σκοτεινή αυτή διατύπωση σημαίνει, με απλά λόγια, να χωρίσουμε μια γραμμή σε δύο άνισα τμήματα, έτσι ώστε ο αριθμός που παίρνουμε αν διαιρέσουμε το μήκος του μεγάλου τμήματος με το μήκος του μικρού να ισούται με τον αριθμό που παίρνουμε αν διαιρέσουμε το μήκος ολόκληρης της γραμμής με το μήκος του μεγάλου. Ο αριθμός αυτός ονομάστηκε από τους αρχαίους Χρυσή Τομή ή θεία αναλογία και ισούται, περίπου, με 1,62. Κατά τους αρχαίους Ελληνες η Χρυσή Τομή διαιρούσε μια γραμμή με τον τελειότερο αισθητικά τρόπο, και για τον λόγο αυτόν ο Πλάτωνας θεωρούσε ότι ο αριθμός αυτός βρίσκεται στον υπερουράνιο τόπο. H φαινομενικά απλή αυτή κατασκευή απέκτησε μεγάλη σημασία με το πέρασμα των αιώνων. Για παράδειγμα είναι γνωστό ότι υπάρχουν άνθρωποι με ψηλά πόδια και άλλοι με κοντά. Ο μεγάλος ζωγράφος της Αναγέννησης Λεονάρντο ντα Βίντσι θεωρούσε ότι από όλους τους δυνατούς τύπους ανθρώπινων σωμάτων φαίνεται πιο «φυσικός» στο ανθρώπινο μάτι εκείνος στον οποίο ο ομφαλός χωρίζει το σώμα σε μέσο και άκρο λόγο. Ετσι για έναν «μέσο» άνθρωπο με ύψος 1,80 μέτρα, ο ομφαλός βρίσκεται σε απόσταση 1,10 από το έδαφος. </span><span style="color: black;"><br />
</span><br />
<div align="center">
<span style="color: black;"></span></div>
<div align="center">
<span style="color: black;"></span></div>
</div>
<div style="background-color: transparent; border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; color: black; overflow: hidden; text-align: justify; text-decoration: none;">
<span style="color: black;"><img border="0" src="https://1.bp.blogspot.com/_rvWk3E1B-U0/StmjIvK7bXI/AAAAAAAAAD4/vmxGYa2y6C8/s320/parthenonas.jpg" /></span><br />
<span style="color: black;"><br /></span>
<span style="color: black;">Πέρα όμως από τη διαίρεση ευθύγραμμων τμημάτων, η Χρυσή Τομή παίζει σημαντικό ρόλο στην αισθητική των επιφανειών. Για παράδειγμα, αν παρουσιάσετε σε μια ομάδα ανθρώπων ορθογώνια παραλληλόγραμμα με διάφορες αναλογίες πλευρών, οι περισσότεροι επιλέγουν ως «αρμονικότερο» αυτό του οποίου οι πλευρές έχουν λόγο ίσο με τη Χρυσή Τομή. H τάση αυτή ήταν ήδη γνωστή στους αρχιτέκτονες της αρχαίας Ελλάδας, όπως δείχνει το γεγονός ότι η βάση και το ύψος της πρόσοψης του Παρθενώνα, αν συνυπολογίσει κανείς και το τμήμα του αετώματος που λείπει, έχουν λόγο ίσο με τη Χρυσή Τομή. Η χρυσή τομή συμβολίζεται με το ελληνικό γράμμα φ, το αρχικό του ονόματος του Φειδία, δημιουργός των γλυπτών του Παρθενώνα(Χαρακτηριστικό παράδειγμα Αρχιτεκτονικής όπου συναντάται ο λόγος χρυσής τομής στις αναλογίες των πλευρών του.). Επίσης συναντάμε την χρυσή τομή από την πυραμίδα του Χέοπα και της Γκίζας στην αρχαία Αίγυπτο μέχρι στις μεσαιωνικές εξωτερικές διαρρυθμίσεις την κτιρίων.</span></div>
<div style="background-color: transparent; border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; color: black; overflow: hidden; text-align: justify; text-decoration: none;">
<span style="color: black;"></span></div>
<div style="background-color: transparent; border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; color: black; overflow: hidden; text-align: justify; text-decoration: none;">
<span style="color: black;">H σημασία της Χρυσής Τομής όμως δεν περιορίζεται στις καλές τέχνες, όπως ίσως θα μπορούσε να συμπεράνει κανείς εκ πρώτης όψεως. Οι πραγματικά ενδιαφέρουσες εφαρμογές ξεκινούν από την κατασκευή, με τη βοήθεια της Χρυσής Τομής, ενός άλλου γεωμετρικού σχήματος, που ονομάζεται Λογαριθμική Σπείρα. H κατασκευή αυτή βασίζεται στην ακόλουθη ιδιότητα των «χρυσών» ορθογωνίων. Αν «κόψουμε» ένα τετράγωνο από ένα τέτοιο ορθογώνιο, τότε το μικρότερο ορθογώνιο που απομένει είναι πάλι «χρυσό»! Με τον τρόπο αυτόν μπορούμε να κατασκευάσουμε μια ακολουθία από ολοένα και μικρότερα «χρυσά» ορθογώνια, που βρίσκονται το ένα μέσα στο άλλο. H λογαριθμική σπείρα είναι το σχήμα που σχηματίζεται σε αυτή την ακολουθία των χρυσών ορθογωνίων, αν εγγράψουμε σε κάθε τετράγωνο ένα τεταρτοκύκλιο. </span><span style="color: blue; font-size: large;"><span style="color: black; font-size: small;"> </span></span></div>
</div>
<div align="center" class="ltitle">
<div style="text-align: justify;">
Αν οι άνθρωποι επιλέγουν τη Χρυσή Τομή για αισθητικούς λόγους, τι μπορούμε να πούμε για τη φύση, που επιλέγει τη λογαριθμική σπείρα για να «κατασκευάσει» μια πληθώρα από δομές; Οι επιστήμονες έχουν διαπιστώσει με έκπληξη ότι η λογαριθμική σπείρα εμφανίζεται σε σχήματα φυσικών αντικειμένων με εντελώς διαφορετικές ιδιότητες. Στη μικρότερη κλίμακα εμφανίζεται στα όστρακα πολλών θαλάσσιων οργανισμών, όπως για παράδειγμα είναι ο ναυτίλος. Στην ενδιάμεση κλίμακα εμφανίζεται στο σχήμα των κυκλώνων, όπως αποτυπώνεται χαρακτηριστικά στις φωτογραφίες των μετεωρολογικών δορυφόρων. Τέλος στη μεγαλύτερη δυνατή κλίμακα εμφανίζεται στο σχήμα των σπειροειδών γαλαξιών, τεράστιων σχηματισμών από εκατοντάδες δισεκατομμύρια αστέρια, τους οποίους μπορούμε να απολαύσουμε στις φωτογραφίες των σύγχρονων τηλεσκοπίων.<i></i><br />
<div align="justify" class="MsoNormal" style="background-color: transparent; border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; color: black; margin: 0cm 0cm 0pt; overflow: hidden; text-align: justify; text-decoration: none;">
<br />
<a href="http://2.bp.blogspot.com/_Av2goqtc530/TNIEUEspkbI/AAAAAAAAEpM/jDmxRhDO4Qk/s1600/galaxy.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span style="color: black; font-size: small;"><img border="0" height="103" src="https://2.bp.blogspot.com/_Av2goqtc530/TNIEUEspkbI/AAAAAAAAEpM/jDmxRhDO4Qk/s200/galaxy.jpg" width="200" /></span></a><br />
<span style="color: black; font-size: small;">Ποιος είναι άραγε ο βαθύτερος λόγος που κάνει έναν αριθμό, κατασκευασμένο με βάση μια αφηρημένη μαθηματική ιδιότητα, να έχει τόσο σημαντικές εφαρμογές στη φύση, και μάλιστα σε τόσο διαφορετικά συστήματα; Τα όστρακα, οι κυκλώνες και οι γαλαξίες δεν έχουν καμία κοινή ιδιότητα και διέπονται από εντελώς διαφορετικούς φυσικούς νόμους. H ανάπτυξη των οστράκων επηρεάζεται από τον διαθέσιμο χώρο. H δημιουργία των κυκλώνων οφείλεται στη ροή του υγρού αέρα από περιοχές υψηλής πίεσης σε περιοχές χαμηλής. Λόγω της περιστροφής της Γης, τα ρεύματα του αέρα αποκλίνουν από την ευθεία, έτσι ώστε στο βόρειο ημισφαίριο όλοι οι κυκλώνες να περιστρέφονται αντίθετα από τη φορά των δεικτών του ρολογιού ενώ στο νότιο ημισφαίριο αντίστροφα. Τέλος οι σπείρες είναι περιοχές ενός γαλαξία όπου υπάρχει συγκέντρωση αστέρων, σκόνης και αερίων, οι οποίες δημιουργούνται όταν κάποιος άλλος γαλαξίας περάσει σε κοντινή απόσταση. Φαίνεται λοιπόν ότι η Χρυσή Τομή αποτελεί έναν αριθμό με «παγκόσμιες» ιδιότητες, παρόμοιο με τον αριθμό π = 3,14 ο οποίος ισούται με το πηλίκο της περιφέρειας ενός κύκλου διά τη διάμετρό του. Για τον λόγο αυτόν οι μαθηματικοί παριστάνουν τη Χρυσή Τομή με ένα άλλο ελληνικό γράμμα, το φι, οπότε έχουμε ότι </span></div>
<div align="justify" class="MsoNormal" style="background-color: transparent; border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; color: black; margin: 0cm 0cm 0pt; overflow: hidden; text-align: justify; text-decoration: none;">
<span style="color: black; font-size: small;">φ = 1,62. </span></div>
<div align="justify" class="MsoNormal" style="background-color: transparent; border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; color: black; margin: 0cm 0cm 0pt; overflow: hidden; text-align: justify; text-decoration: none;">
<span style="color: black; font-size: small;">Ο κ. Χάρης Βάρβογλης είναι αναπληρωτής καθηγητής του Τμήματος Φυσικής του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης.</span><br />
<span style="color: black; font-size: small;"><br /></span></div>
<div align="justify" class="MsoNormal" style="background-color: transparent; border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; color: black; margin: 0cm 0cm 0pt; overflow: hidden; text-align: left; text-decoration: none;">
<b><i></i></b></div>
<div align="justify" class="MsoNormal" style="margin: 0cm 0cm 0pt; text-align: justify;">
<span style="color: black; font-size: small;">Η έννοια της «Χρυσής Τομής», απασχόλησε και απασχολεί σε παγκόσμιο επίπεδο αρκετούς ερευνητές, κι αυτό γιατί θεωρείται ότι εμφανίζεται στις τέχνες (ζωγραφική, γλυπτική, αρχιτεκτονική, μουσική κ.τ.λ.), στη φύση (όπως για παράδειγμα στη διατομή του DNA), αλλά και σε πολλές άλλες περιπτώσεις. Ακόμα και μια τομή του ανθρώπινου DNA φαίνεται να ενσωματώνεται άψογα σε ένα χρυσό δεκάγωνο. Η χρυσή αναλογία και τα σχήματα που σχετίζονται με αυτή συνεχίζουν να κινούν το ενδιαφέρον των μαθηματικών, αλλά και των απλών ανθρώπων. </span></div>
<div align="justify" class="MsoNormal" style="margin: 0cm 0cm 0pt; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="center" class="ltitle" style="text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: small;"><i><b>Ενδιαφέρουσες ιστοσελίδες για την χρυσή τομή είναι οι :</b></i></span><br />
<i><b><span style="color: blue;">1</span>.<span style="color: black; font-size: small;"> </span></b></i><a href="http://www.iranon.gr/PENTELI/PENTELI2addendum.htm"><span style="background-color: #ffd966; color: #990000; font-size: x-small;"><i><b>http://www.iranon.gr/PENTELI/PENTELI2addendum.htm</b></i></span></a><br />
<span style="color: #990000;"><i><b><span style="font-size: x-small;"><span style="color: blue;">2.</span> </span></b></i></span><a href="http://www.lexilogia.gr/forum/showthread.php?t=5289"><span style="background-color: #ffd966; color: #990000; font-size: x-small;"><i><b>http://www.lexilogia.gr/forum/showthread.php?t=5289</b></i></span></a><br />
<span style="color: #990000;"><i><b><span style="font-size: x-small;"><span style="color: blue;">3.</span> </span></b></i></span><a href="http://users.sch.gr/theoj/etwin/fibonacci/xrisi.htm"><span style="background-color: #ffd966; color: #990000; font-size: x-small;"><i><b>http://users.sch.gr/theoj/etwin/fibonacci/xrisi.htm</b></i></span></a><br />
<span style="color: black;"><span style="font-size: small;"><i><b> </b></i>Η τελευταία περιέχει ενδιαφέρουσες φωτογραφίες από ποικίλες </span></span><br />
<span style="color: black; font-size: small;"> ανθρώπινες δραστηριότητες αλλά και φυσικές εφαρμογές.</span><br />
<span style="color: black; font-size: small;"><br /></span></div>
<div align="center" class="ltitle" style="text-align: justify;">
<span style="color: black;"><span style="color: blue;"><i><b>Η χρυσή τομή στη γλυπτική και ζωγραφική</b></i></span></span><br />
<br />
<span style="color: black;"><span style="color: blue;"></span></span><span style="color: black;"><span style="font-size: small;">Το βιβλίο του, όπου μελετούσε τον αριθμό φ, εικονογραφήθηκε από τον γνωστό καλλιτέχνη Leonardo da Vinci. Ο Leonardo για αρκετό καιρό έδειξε ένα διακαές ενδιαφέρον για τα μαθηματικά στην τέχνη και την φύση και επιδόθηκε σε συστηματικές μελέτες. Μελέτησε τις αναλογίες του ανθρωπίνου σώματος και ειδικότερα τις αναλογίες στο ανθρώπινο πρόσωπο<b><i>.</i></b> </span></span><br />
<br />
<span style="color: black;"></span></div>
<div align="center" class="ltitle" style="text-align: justify;">
<span style="color: black;"><span style="color: red;"><i><b>Eργα Leonardo da Vinci (1451-1519)</b></i></span></span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<a href="http://3.bp.blogspot.com/_rvWk3E1B-U0/Stmgumh9drI/AAAAAAAAADg/aJLBoh9XR7E/s1600-h/da+Vinci.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><span style="color: black;"><i><b><img border="0" src="https://3.bp.blogspot.com/_rvWk3E1B-U0/Stmgumh9drI/AAAAAAAAADg/aJLBoh9XR7E/s400/da+Vinci.jpg" /></b></i></span></a></div>
<b><br />
</b><br />
<b><br />
</b><br />
<b><br />
</b><br />
<b><br />
</b></div>
</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<i><br />
</i></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><span style="color: black;"><span style="font-style: italic;">Με την σειρά : Mona Lisa , Μελέτη αναλογιών σώματος κατά τον Vitruvious, Άγιος Ιερώνυμος, Μελέτη αναλογιών </span></span><i><span style="color: black;">προσώπου γέρου.</span><span style="color: blue;"> </span></i></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><br />
</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"> </span><span style="color: black; font-size: small;">Οι μαθηματικές αναλογίες του αγάλματος "Δορυφόρος" του αρχαίου γλύπτη Πολύκλειτου, αναλογίες οι οποίες χρησιμοποιήθηκαν ως πρότυπο απεικόνισης του ανθρωπίνου σώματος από την κλασική Ελλάδα, το Βιτρούβιο και στη συνέχεια μέχρι την ύστερη Αναγέννηση. <br />
Η χρήση της μαθηματικής αναλογίας της χρυσής τομής από τον διάσημο αρχαίο γλύπτη Φειδία (προς τιμήν του οποίου άλλωστε πολλούς αιώνες αργότερα η Δύση την ονόμασε με το αρχικό του γράμμα Φ) και στη συνέχεια στην Αναγέννηση από τους διασημότερους καλλιτέχνες της όπως ο DaVinci. <br />
Ο επηρεασμός σημαντικών γλυπτών από σύγχρονους νέους κλάδους των Μαθηματικών όπως η</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<div style="text-align: justify;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="text-align: justify;"> </span></div>
<span style="color: blue; font-size: large;"><i><b>Η χρυσή τομή στην τέχνη της φωτογραφίας . </b></i></span><br />
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><span style="color: black; font-size: small;">Ο κανόνας λέει ότι: ab/ac=ac/cb= 1,618. Δηλαδή εάν έχεις ένα τετράγωνο 1×1 το καλύτερο παραλληλόγραμμο που μπορείς να βγάλεις από αυτό και έτσι να έχεις το συναίσθημα της χρυσής τομής θα είναι το 1x (1×1.618) = 1×1.618. Από εκεί και πέρα πολλαπλασιάζοντας ή διαιρώντας με τον ίδιο αριθμό, θα έχεις το καλύτερο feeling than ever στην εικόνα. Αλλιώς, παρομοίως δηλαδή παίζεις με τα 2/3 ή το 1/3. Φυσικά κάποια τετράγωνα από όλες τις συνθέσεις πάντα μπορούν να είναι άδεια και αυτό είναι που μας δίνει τον απαραίτητο αέρα στη σύνθεση. Π.χ. στην κάτω εικόνα η πολυθρόνα είναι το πρώτο βασικό σχήμα, το φωτιστικό έπρεπε να μην υπερβαίνει σε ύψος το τετράγωνο επί 1,618 αλλά και σε πλάτος βλέπεις ότι γεμίζει τα 2/3 της εικόνας σου και αφήνει 1/3 κενό.</span></span><br />
<div align="justify" class="MsoNormal" style="margin: 0cm 0cm 0pt; text-align: justify;">
<div style="text-align: justify;">
Οι ίδιες συνθήκες αφορούν και στη λήψη φωτογραφίας. Από κάτω έχουμε μια φωτογραφία που βλέπεις ότι στην έχω χωρίσει σε έναν κάναβο με 1/3 και 2/3. Η κουρτίνα γεμίζει το 1/3 της εικόνας σε πλάτος. Στο ύψος έχουμε διαιρέσει δια τρία και έχουμε ένα αντικείμενο σε κάθε κουτάκι. Όλα τα κουτάκια φυσικά ακολουθώντας τον κανόνα μπορούν να υποδιαιρεθούν αναλόγως και έτσι βρίσκουμε τη σωστή θέση του σκαμπό για μια άρτια οπτικά εικόνα.<br />
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<i><b><span style="color: blue; font-size: large;">Η χρυσή τομή στις σονάτες του Μότσαρτ.</span></b></i></div>
<br />
Στο περιοδικό <span lang="EN-GB">Mathematics</span> <span lang="EN-GB">Magazine</span> του Οκτωβρίου 1995, ο Putz περιέγραψε την έρευνά του <span style="font-family: "times new roman";">για </span>το αν η χρυσή αναλογία εμφανίζεται στις σονάτες για πιάνο του <span style="font-family: "times new roman";">Μότσαρτ.</span><br />
<div align="justify">
<div align="justify">
<span style="font-size: small;"><span style="color: black;">Σύμφωνα με τον Putz: "Στον καιρό του <span style="font-family: "times new roman";">Μότ</span>σαρτ, η μουσική φόρμα της σονάτας εξελίχθηκε σε δύο μέρη: στην Έκθεση που <span style="font-family: "times new roman";">το μουσικό θέμα εισάγεται, και </span>στην Ανάπτυξη <span style="font-family: "times new roman";">και </span>Επανέκθεση που το θέμα αναπτύσσεται και επανεπισκέπτεται. <span style="font-family: "times new roman";">Είναι αυτός ο χωρισμός σε</span> <span style="font-family: "times new roman";">δύο ευδιάκριτα τμήματα... [ που</span> ] <span style="font-family: "times new roman";">δίνει την αιτία για να αναρωτηθεί </span>κανείς πώς ο Μότσαρτ διένειμε αυτές τις εργασίες." Δηλαδή ο Μότσαρτ διαίρεσε τις σονάτες του σύμφωνα με τη χρυσή αναλογία, με την Έκθεση ως πιο το σύντομο τμήμα (x) και την Ανάπτυξη και Επανέκθεση ως το πιο <span style="font-family: "times new roman";">μεγάλο (1-x);</span></span></span><br />
<div align="justify">
<span style="font-size: small;"><span style="color: black;">Ο Putz <span style="font-family: "times new roman";">αντιστοίχισε τα δύο τμήματα -</span> <span style="font-family: "times new roman";">την Έκθεση (x) και την Ανάπτυξη και Επανέκθεση</span> (1-x) - <span style="font-family: "times new roman";">από τον αριθμό των μέτρων στο κάθε ένα. Στο πρώτο μέρος της σονάτας αριθ.1 σε Ντο Ματζόρε, παραδείγματος χάριν, η Έκθεση αποτελείται από 38 μέτρα και η Ανάπτυξη και Επανέκθεση από 62 μέτρα. Η διαίρεση του 38:62 δίνει πηλίκο περίπου 0,613, προσεγγίζοντας το χρυσό αριθμό.</span></span></span><br />
<span style="font-size: small;"><span style="color: black;"><span style="font-family: "times new roman";"><br /></span></span></span></div>
<i><b> <span style="color: blue; font-size: large;">ΑΦΗΡΗΜΕΝΗ ΤΕΧΝΗ </span></b></i><br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;"><i> ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗΣ ΑΦΑΙΡΕΣΗΣ</i></span></b></div>
</div>
</div>
</div>
<div align="justify" class="MsoNormal" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; margin: 0cm 0cm 0pt; text-align: justify;">
<b><br />
</b><br />
<a class="image" href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=el&langpair=en%7Cel&u=http://en.wikipedia.org/wiki/File:Kandinsky_white.jpg&rurl=translate.google.gr&usg=ALkJrhjtAhvT6zy2Oo1o2lTgVRdIsVOm4Q"><i><b></b></i></a><i><b> </b></i><a href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/f/f7/Leger_railway_crossing.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><i><b><img alt="Αρχείο: Leger σιδηροδρομικές crossing.jpg" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/thumb/f/f7/Leger_railway_crossing.jpg/727px-Leger_railway_crossing.jpg" height="165" width="200" /></b></i></a><br />
<div style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none;">
<i><b> </b></i></div>
</div>
<div align="justify" class="MsoNormal" style="margin: 0cm 0cm 0pt; text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><i><b>ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ Η ΜΟΥΣΙΚΗ</b></i></span></div>
<div align="justify" class="MsoNormal" style="margin: 0cm 0cm 0pt; text-align: justify;">
<br /><span style="color: blue; font-size: large;"></span></div>
<div align="justify" class="MsoNormal" style="margin: 0cm 0cm 0pt; text-align: justify;">
<span style="font-family: "comic sans ms";"><i><b><span style="color: blue;">«</span><span style="color: blue;">Δεν θα υπήρχε (μουσική) αρμονία αν δεν υπήρχαν αριθμοί. Δεν θα υπήρχε αρμονία αν δεν υπήρχε ο άνθρωπος για να την ακούσει και να την κρίνει ως τέτοια, για να γίνουν οι αριθμοί εργαλεία. Δεν υπάρχει αρμονία από μόνη της»</span> </b></i></span></div>
<div align="justify" class="MsoNormal" style="margin: 0cm 0cm 0pt; text-align: justify;">
<b><br />
</b></div>
<div align="justify" class="MsoNormal" style="margin: 0cm 0cm 0pt; text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-family: "comic sans ms";"><i><b>λέει στα «NEA» ο Ρούντολφ Τάσνερ, καθηγητής στο Τεχνολογικό Πανεπιστήμιο της Βιέννης. </b></i></span><br />
<b><i><span style="color: blue; font-family: "comic sans ms";"></span></i></b><b></b></div>
<b></b></div>
<b></b></div>
<b></b></div>
<div align="center" class="ltitle">
<b></b><br />
<div align="justify" class="MsoNormal" style="background-color: transparent; border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; color: black; margin: 0cm 0cm 0pt; overflow: hidden; text-align: justify; text-decoration: none;">
<br />
<span style="color: blue;"><b><span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;"><i>Η μουσική είναι ίσως από τις τέχνες η πιο δεμένη με τα μαθηματικά, με τη μαθηματική σκέψη, από την ίδια τη φύση της. Η διατακτική δομή μπορεί να κατατάξει τα στοιχεία ενός συνόλου, ενός χαρακτήρα, όπως είναι το</i> <i>ύψος, ή ένταση, ή πυκνότητα, όπως είναι ο βαθμός αταξίας. Στην ιστορία, πολλές φορές η μουσική σκέψη ήταν πρωτοπορία απέναντι στη μαθηματική σκέψη. Οι Πυθαγόρειοι, για παράδειγμα, συσχέτιζαν το ύψος με το μήκος των χορδών. Για να βρούνε, ας πούμε, το διάστημα της ογδόης, έπρεπε να διαιρέσουν τη χορδή στα τέσσερα. Είναι διαίρεση με το δύο - πρόκειται για μια φθίνουσα γεωμετρική πρόοδο.</i></span></b></span></div>
<div align="justify" class="MsoNormal" style="background-color: transparent; border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; color: black; margin: 0cm 0cm 0pt; overflow: hidden; text-align: justify; text-decoration: none;">
<span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;"></span></div>
<div align="justify" class="MsoNormal" style="margin: 0cm 0cm 0pt; text-align: justify;">
<i><span style="color: blue; font-family: "times" , "times new roman" , serif;"></span></i></div>
<div align="justify" class="MsoNormal" style="margin: 0cm 0cm 0pt; text-align: justify;">
<b><i><span style="color: blue; font-family: "times" , "times new roman" , serif;"> Ι. Ξενάκης , Έλληνας μουσικός και μαθηματικός.</span></i></b></div>
<b></b></div>
<b></b><b> </b> <br />
<div align="justify" class="MsoNormal" style="margin: 0cm 0cm 0pt; text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><i><b> Η ΜΟΥΣΙΚΗ ΣΤΟΥΣ ΠΥΘΑΓΩΡΕΙΟΥΣ</b></i></span><br />
<br />
<span style="font-size: small;"><span style="color: black;"><span class="storytext">Η ιδέα της σύνδεσης των μαθηματικών και της μουσικής γεννήθηκε πριν από 26 ολόκληρους αιώνες στην αρχαία Ελλάδα από τον Πυθαγόρα, μαθηματικό και ιδρυτή της πυθαγόρειας σχολής σκέψης. Ο φιλόσοφος γνώριζε πολύ καλά τη σχέση της μουσικής με τους αριθμούς. Οι ειδικοί ερευνητές θεωρούν ότι το πιθανότερο είναι πως ο ίδιος και οι μαθητές του εντρύφησαν στη σχέση της μουσικής και των αριθμών μελετώντας το αρχαίο όργανο μονόχορδο. <br />
Όπως φαίνεται από το όνομά του, το μονόχορδο ήταν ένα όργανο με μία χορδή και ένα κινητό καβαλάρη που διαιρούσε τη χορδή επιτρέποντας μόνο ένα τμήμα της να ταλαντώνεται.που από αρκετούς μελετητές τοποθετείται στην οικογένεια του λαούτου δηλαδή με βραχίονα, χέρι. Το μονόχορδο χρησιμοποιήθηκε για τον καθορισμό των μαθηματικών σχέσεων των μουσικών ήχων. Ονομάζονταν και "Πυθαγόρειος κανών" γιατί απέδιδαν την εφεύρεσή του στον Πυθαγόρα. </span>Όμως, πώς ακριβώς πειραματίστηκαν οι Πυθαγόρειοι στο μονόχορδο,. για την ανάδειξη των σχέσεων μαθηματικών και μουσικής; Ήταν εντυπωσιακό το γεγονός ότι μόνο οι ακριβείς μαθηματικές σχέσεις έδιναν αρμονικούς ήχους στο μονόχορδο. Για παράδειγμα, έπρεπε να χωρίσουν ακριβώς στη μέση τη χορδή, και όχι περίπου στη μέση, ώστε να έχουν το ευχάριστο ψυχικό συναίσθημα που απορρέει από έναν αρμονικό ήχο.</span></span></div>
<div align="center" class="MsoNormal" style="background-color: transparent; border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; color: black; margin: 0cm 0cm 0pt; overflow: hidden; text-align: justify; text-decoration: none;">
<div class="MsoNormal" style="background-color: transparent; border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; color: black; margin: 0cm 0cm 0pt; overflow: hidden; text-align: justify; text-decoration: none;">
</div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: transparent; border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; color: black; margin: 0cm 0cm 0pt; overflow: hidden; text-align: left; text-decoration: none;">
<i><b><span style="font-size: small;"><span style="color: blue;">Περισσότερα</span>: <span style="background-color: yellow; color: #cc0000;"> </span><a href="http://www.musicheaven.gr/html/modules.php?name=News&file=article&sid=432#ixzz127qKqqBz"><span style="background-color: yellow; color: #cc0000;">εδώ</span></a></span></b></i><br />
<br /><span style="background-color: yellow; color: #cc0000; font-size: x-small;"></span></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: transparent; border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; color: black; margin: 0cm 0cm 0pt; overflow: hidden; text-align: left; text-decoration: none;">
<b>
<span style="background-color: yellow; color: #cc0000;"></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: transparent; border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; color: black; margin: 0cm 0cm 0pt; overflow: hidden; text-align: left; text-decoration: none;">
</div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: transparent; border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; color: black; margin: 0cm 0cm 0pt; overflow: hidden; text-align: left; text-decoration: none;">
</div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: transparent; border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; color: black; margin: 0cm 0cm 0pt; overflow: hidden; text-align: left; text-decoration: none;">
</div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: transparent; border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; color: black; margin: 0cm 0cm 0pt; overflow: hidden; text-align: left; text-decoration: none;">
</div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: transparent; border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; color: black; margin: 0cm 0cm 0pt; overflow: hidden; text-align: left; text-decoration: none;">
</div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: transparent; border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; color: black; margin: 0cm 0cm 0pt; overflow: hidden; text-align: left; text-decoration: none;">
<i><b> <span style="color: blue; font-size: small;">ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΜΟΥΣΙΚΗ ΣΤΗ ΔΥΤΙΚΗ ΕΥΡΩΠΗ.</span></b></i></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: transparent; border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; color: black; margin: 0cm 0cm 0pt; overflow: hidden; text-align: left; text-decoration: none;">
</div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: transparent; border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; color: black; margin: 0cm 0cm 0pt; overflow: hidden; text-align: justify; text-decoration: none;">
<span style="font-size: small;"> <span style="color: black;">Ο ρυθμός και ο αριθμός έχουν κοινή καταγωγή, την οποία έλκουν από την κατάτμηση του χρόνου και την 1-1 αντιστοιχία των χρονικών στιγμών με γεγονότα. Το μουσικό μέτρο, το οποίο είναι απαραίτητο για την εκτέλεση ενός μουσικού θέματος, δηλώνεται μέσω ενός κλάσματος, ενός αριθμού δηλαδή ο οποίος καθοδηγεί το ρυθμό.</span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: transparent; border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; color: black; margin: 0cm 0cm 0pt; overflow: hidden; text-align: justify; text-decoration: none;">
<span style="color: black; font-size: small;"></span></div>
<div class="book" style="background-color: transparent; border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; color: black; margin: 0cm 0cm 0pt; overflow: hidden; text-align: justify; text-decoration: none;">
<br /></div>
<div class="book" style="background-color: transparent; border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; color: black; margin: 0cm 0cm 0pt; overflow: hidden; text-align: justify; text-decoration: none;">
<span style="color: black; font-size: small;">Η χρονική αξία τoυ πρώτου και δεύτερου συμβόλου είναι 1/4 και 1/2 αντίστοιχα, ενώ κάθε ένα από τα σύμβολα (νότες) που είναι ενωμένα έχουν εξ ορισμού αξία 1/8. Το κλάσμα 4/4 στην αρχή καθορίζει πως κάθε μέτρο, κάθε διάστημα δηλαδή το οποίο περιέχει μία μουσική φράση, πρέπει να περιέχει σύμβολα (νότες) συνολικής αξίας 4/4. Πράγματι 1/4+1/2+1/8+1/8=4/4. Τώρα πλέον ο αριθμός καθορίζει το ρυθμό και επιτρέπει να εκτελείται ένα μουσικό κομμάτι συγχρονισμένα από τους μουσικούς. </span></div>
<span style="color: black; font-size: small;"></span><br />
<div class="book" style="background-color: transparent; border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; color: black; margin: 0cm 0cm 0pt; overflow: hidden; text-align: justify; text-decoration: none;">
<span style="font-size: small;"><span style="color: black;">Η αποδέσμευση της μελέτης των Μουσικών φαινομένων από την Πυθαγόρεια παράδοση γίνεται αργά, σταδιακά και πραγματοποιείται μέσα σε ένα συνεχώς μεταβαλλόμενο, ιστορικό, κοινωνικό και πολιτισμικό πλαίσιο.Η ανάπτυξη της ναυσιπλοΐας τον 16ου αιώνα, μετά την ανακάλυψη του Νέου Κόσμου, δημιουργεί νέες απαιτήσεις για μεγαλύτερη ακρίβεια στις μετρήσεις και ιδιαίτερα στην κατασκευή αξιόπιστων ωρολογίων. Η στροφή αυτή είναι καταλυτική για την έρευνα των Μουσικών φαινομένων η οποία προσανατολίζεται πλέον προς τη μελέτη του τρόπου παραγωγής των ήχων ενώ, όπως είδαμε, οι Πυθαγόρειοι</span> <span style="color: black;">ασχολήθηκαν με τις αριθμητικές σχέσεις των ήχων. </span></span></div>
<div class="book" style="background-color: transparent; border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; color: black; margin: 0cm 0cm 0pt; overflow: hidden; text-align: justify; text-decoration: none;">
<span style="font-size: small;"></span></div>
<div class="book" style="background-color: transparent; border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; color: black; margin: 0cm 0cm 0pt; overflow: hidden; text-align: justify; text-decoration: none;">
<span style="font-size: small;"><span style="color: black;">Βρισκόμαστε στα μέσα περίπου του 17ου αιώνα</span>. Η μελέτη των παλμικών κινήσεων οδηγεί στην συγκρότηση της μαθηματικής έννοιας των περιοδικών φαινομένων και η Τριγωνομετρία στρέφεται πλέον από την παραδοσιακά υπολογιστική της στάση σε μια περισσότερο αναλυτική θεώρηση. Η στροφή αυτή διαρκεί περίπου έναν αιώνα, από το 1640 όταν ο W. Oughtred επιχειρεί μια συστηματική χρήση των συμβόλων sin, cos κλπ., μέχρι το 1759 όταν ο G. Kustner σε έναν οποιονδήποτε αριθμό x αντιστοιχεί την έκφραση sinx, cosx κ.λπ. και θεωρεί πλέον τις συναρτήσεις f(x)= sinx, g(x)=cosx, κ.ο.κ. Η μελέτη του τρόπου παραγωγής των ήχων είναι πλέον εφικτή και σηματοδοτεί τον μετασχηματισμό των απόψεων για τη μουσική και τη φύση της αρμονίας. Η μελέτη επικεντρώνεται στο φαινόμενο, το οποίο είχε μελετήσει και ο Πυθαγόρας, στην προσπάθειά του να κατανοήσει την ουσία της αρμονίας , το φαινόμενο της παλλόμενης χορδής.</span><br />
<div class="book" style="background-color: transparent; border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; color: black; margin: 0cm 0cm 0pt; overflow: hidden; text-align: justify; text-decoration: none;">
<span style="font-size: small;">Με τη βοήθεια της ανάλυσης κατά Fourier είναι πλέον δυνατόν να λυθεί η διαφορική εξίσωση της παλλόμενης χορδής.Ας υποθέσουμε τώρα ότι, μέσω ενός μουσικού οργάνου ή της ανθρώπινης φωνής παράγουμε μια νότα. Αυτό σημαίνει ότι έχουμε δημιουργήσει στον αέρα μια παλμική κίνηση, ένα περιοδικό φαινόμενο και επομένως το φαινόμενο αυτό (η νότα) περιγράφεται από μια εξίσωση από ένα άπειρο άθροισμα προσθετέων· δηλαδή καθένας εκ των οποίων περιέχει ημίτονα και συνημίτονα της μορφής cosω.t, sinω.t, cos2ω.t, sin2ω.t και γενικά cos(nωt) και sin(nωt). Αυτό σημαίνει ότι ένα μουσικό όργανο, όταν "παίζει" μία νότα, παράγει ήχους διαφόρων συχνοτήτων και για n=1 έχουμε τη βασική συχνότητα της νότας ενώ οι συχνότητες που προκύπτουν για n= 2, 3... είναι οι αρμονικές συνιστώσες της εν λόγω νότας.</span></div>
</div>
</div>
<div align="center" class="MsoNormal" style="background-color: transparent; border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; color: black; margin: 0cm 0cm 0pt; overflow: hidden; text-align: justify; text-decoration: none;">
<b><br />
</b></div>
<div align="center" class="MsoNormal" style="background-color: transparent; border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; color: black; margin: 0cm 0cm 0pt; overflow: hidden; text-align: justify; text-decoration: none;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><i><b> Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ ΜΟΥΣΙΚΗΣ :</b></i></span></div>
<div align="center" class="MsoNormal" style="background-color: transparent; border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; color: black; margin: 0cm 0cm 0pt; overflow: hidden; text-align: justify; text-decoration: none;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><i><b> ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΕΡΕΥΝΑ</b></i></span></div>
<div align="center" class="MsoNormal" style="background-color: transparent; border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; color: black; margin: 0cm 0cm 0pt; overflow: hidden; text-align: justify; text-decoration: none;">
<a href="http://pf.pstatic.gr/Pathfinder/News/articles/57/7680357.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; cssfloat: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><i><b></b></i></a><span style="font-size: small;">Υπάρχει τεράστια συσχέτιση ανάμεσα στα μαθηματικά και τη μουσική, από το "φαινόμενο Mozart" (σύμφωνα με το οποίο η μουσική του Mozart βελτιώνει τις μαθηματικές ικανότητες των παιδιών) έως τη μουσική των Σφαιρών (μια αρχαία προσέγγιση που υποστηρίζει ότι η Γη αποτελεί το κέντρο του σύμπαντος και ότι κάθε πλανήτης παράγει τις δικές του νότες, ανάλογα με την απόστασή του από τη Γη).</span></div>
<div align="center" class="MsoNormal" style="background-color: transparent; border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; color: black; margin: 0cm 0cm 0pt; overflow: hidden; text-align: justify; text-decoration: none;">
<span style="font-size: small;">Σήμερα οι επιστήμονες έχουν προχωρήσει στη δημιουργία ενός νέου μαθηματικού συστήματος για την κατανόηση της μουσικής. Ο Clifton Callender από το Πανεπιστήμιο της Φλόριντα, ο Ian Quinn από το Yale και ο Dmitri Tymoczko από το Πανεπιστήμιο του Princeton περιγράφουν την θεωρία τους για την “γεωμετρία της μουσικής” στο επιστημονικό περιοδικό Science.</span></div>
<div align="center" class="MsoNormal" style="background-color: transparent; border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; color: black; margin: 0cm 0cm 0pt; overflow: hidden; text-align: justify; text-decoration: none;">
<span style="font-size: small;">Η επιστημονική ομάδα ηγήθηκε της σχεδίασης μιας γεωμετρικής τεχνικής για την απεικόνιση της μουσικής σε ένα καθορισμένο διάστημα. Για την μουσική, η οποία περιέχει συγχορδίες που αποτελούνται από δυο νότες, όλοι οι μουσικοί συνδυασμοί παίρνουν το σχήμα μιας ταινίας Μέμπιους, μιας λωρίδας χαρτί η οποία έχει περιστραφεί κατά το ένα άκρο της 180 μοίρες και συνδέεται με το άλλο. Αυτό που προκύπτει είναι ένας ατέρμονος βρόχος σε σχήμα «8», ο οποίος, παραδόξως, έχει μόνο μία πλευρά. Όποια διαδρομή κι αν ακολουθήσει κανείς κατά μήκος της λωρίδας, τελικά καταλήγει πάντα στο σημείο που ξεκίνησε.</span></div>
<div align="center" class="MsoNormal" style="background-color: transparent; border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; color: black; margin: 0cm 0cm 0pt; overflow: hidden; text-align: justify; text-decoration: none;">
<span style="font-size: small;">Η επιστημονική ομάδα ανακάλυψε ότι το σχήμα των πιθανοτήτων που χρησιμοποιούσαν συγχορδίες με τρείς νότες μοιάζει με ένα χωνί παγωτού σε τρείς διαστάσεις, όπου τα είδη των συγχορδιών, μέγιστες και οι μικρότερες συγχορδίες, αποτελούν ξεχωριστά σημεία του κώνου.</span></div>
<div align="center" class="MsoNormal" style="background-color: transparent; border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; color: black; margin: 0cm 0cm 0pt; overflow: hidden; text-align: justify; text-decoration: none;">
<span style="font-size: small;">«Αυτές οι γεωμετρικές διαστάσεις μπορούν να χρησιμοποιηθούν στην ανεύρεση τρόπων για την οπτικοποίηση των μουσικών κομματιών,» σχολιάζει ο Tymoczko. «Οι απεικονίσεις αυτές φέρουν αρκετές πληροφορίες για την ύπαρξη αυτών των συγχορδιών.»</span></div>
<div align="center" class="MsoNormal" style="background-color: transparent; border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; color: black; margin: 0cm 0cm 0pt; overflow: hidden; text-align: justify; text-decoration: none;">
<br /></div>
<div align="center" class="MsoNormal" style="background-color: transparent; border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; color: black; margin: 0cm 0cm 0pt; overflow: hidden; text-align: justify; text-decoration: none;">
Περισσότερα: <a href="http://www.musicheaven.gr/html/modules.php?name=News&file=article&sid=2088#ixzz1IwktYd6J"><b><span style="background-color: yellow; color: #990000; font-size: large;">εδώ.</span></b></a></div>
<div align="center" class="MsoNormal" style="background-color: transparent; border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; color: black; margin: 0cm 0cm 0pt; overflow: hidden; text-align: justify; text-decoration: none;">
<br /></div>
<div align="center" class="MsoNormal" style="background-color: transparent; border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; color: black; margin: 0cm 0cm 0pt; overflow: hidden; text-align: justify; text-decoration: none;">
<br /></div>
<div align="center" class="MsoNormal" id="content" style="background-color: transparent; border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; color: black; margin: 0cm 0cm 0pt; overflow: hidden; text-align: justify; text-decoration: none;">
<div id="contentMain">
<div class="active" id="container-article">
</div>
<div class="active">
</div>
<div class="active">
</div>
<span style="font-size: small;"></span></div>
<div>
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>Ο Έλληνας μουσικός και μαθηματικός Ι. Ξενάκης.</b></span><br />
<br /></div>
</div>
<div align="center" class="ltitle">
<span style="font-size: small;"></span><i></i></div>
<div align="justify" class="ltitle" style="text-align: justify;">
<span style="color: teal; font-size: x-small;"><b>Ιάννης Ξενάκης (1922-2001) : </b></span><span style="color: teal; font-size: small;">Η μουσική που αποτελεί το αποτέλεσμα μετασχηματισμών μαθηματικών σχέσεων και συναφών μεθόδων και δεν στηρίζεται σε ερμηνευτές που διαβάζουν την "κλασική παρτιτούρα" ονομάζεται συνήθως Στοχαστική Μουσική. Οι μαθηματικές σχέσεις που χρησιμοποιούνται έχουν συνήθως σχέση με θεωρίες πιθανοτήτων καθώς και στατιστική. Το τελικό αποτέλεσμα είναι κομμάτια με αρκετά ζωντανό περιεχόμενο, γραμμένα με μεταμοντέρνα τεχνοτροπία, τα οποία μπορούν να αλλάξουν την ιδέα μας για την κατεύθυνση της μουσικής στο μέλλον.</span><br />
Βασική ιδέα της μουσικής του είναι ο μετασχηματισμός των διαφόρων μαθηματικών σχέσεων που εκφράζουν το σύμπαν σε μουσικούς ήχους, χρησιμοποιώντας σειρά εργαλείων, όπως η Θεωρία των Συνόλων, η Θεωρία των Πιθανοτήτων, η Θερμοδυναμική, η Χρυσή Τομή και η ακολουθία Φιμπονάτσι. Προσπάθησε να εφαρμόσει στη μουσική τους φυσικούς νόμους που διέπουν διάφορα φαινόμενα, όπως το θρόισμα των φύλλων ενός δέντρου, την οχλοβοή μιας διαδήλωσης, το τερέτισμα των τζιτζικιών κ.ά., δημιουργώντας μια μουσική «ηχητικών μαζών», «συμπάντων» ή «γαλαξιών». Το πρώτο έργο που σηματοδοτεί την πρωτοποριακή αυτή κατεύθυνση, που θα ονομάσει αργότερα «στοχαστική μουσική», είναι οι Μεταστάσεις (1954).</div>
<div align="center" class="active" style="background-color: transparent; border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; color: black; margin: 0cm 0cm 0pt; overflow: hidden; text-align: justify; text-decoration: none;">
<br /></div>
<div align="center" class="MsoNormal" style="background-color: transparent; border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; color: black; margin: 0cm 0cm 0pt; overflow: hidden; text-align: justify; text-decoration: none;">
<span style="font-size: small;">Aφετηρία για τις δημιουργίες του Ξενάκη είναι συνήθως αφηρημένες έννοιες, συχνά μαθηματικά μοντέλα, που περιγράφουν τους νόμους λειτουργίας των φυσικών συστημάτων: </span></div>
<div align="center" class="MsoNormal" style="background-color: transparent; border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; color: black; margin: 0cm 0cm 0pt; overflow: hidden; text-align: justify; text-decoration: none;">
<ol>
<li>Θεωρία των πιθανοτήτων.<br />
<br />
<ol type="I">
<li>Tυχαία (αλεατορική) κατανομή των σημείων σε ένα επιπεδο (Πιθοπρακτά) </li>
<li>Nόμος των Maxwell- Boltsman από τις κινητικές θεωρίες των αερίων (Διαμορφώσεις) </li>
<li>Ελάχιστοι περιορισμοί (Aχορρίψεις) </li>
<li>Kατανομή κατά Gauss (ST/10, Aτρείς) </li>
<li>Mαρκοβιανές αλυσσίδες (Aναλογικά) </li>
<li>Tυχαίες διαδρομές (random walks) - κίνηση Mπράουν (Nοόμενα, Xοαί)</li>
</ol>
</li>
<li></li>
<li>Θεωρία των παιγνίων (Duel, Στρατηγία) </li>
<li>Θεωρία ομάδων (Nόμος Άλφα, Nόμος Γάμμα)</li>
<li>Θεωρία συνόλων και άλγεβρα του Boole (Έρμα, Eόντα) </li>
<li>Φόρμες οργανικής εξέλιξης - δενδροειδείς διακλαδώσεις (Eυρυάλη, Eριχθών)</li>
<li>Θεωρία των αριθμών (Iχώρ, Πλειάδες). Tο μοντέλο εφαρμόζεται στους ήχους (μουσικές συνθέσεις), σε οπτικά στοιχεία (αρχιτεκτονικά σχέδια) καθώς και σε εφφέ φωτισμού (ακτίνες λέιζερ, Πολύτοπα). </li>
</ol>
</div>
Σε μια συνέντευξη ο Ξενάκης είπε :<br />
<span style="font-family: "arialmt"; font-size: small;"><span style="font-family: "arialmt"; font-size: small;"></span></span><i><span lang="JA" style="font-family: "arialmt"; font-size: small;"><span lang="JA" style="font-family: "arialmt"; font-size: small;">" Η </span></span><span style="font-family: "arialmt"; font-size: small;"><span style="font-family: "arialmt"; font-size: small;">μ</span></span><span lang="JA" style="font-family: "arialmt"; font-size: small;"><span lang="JA" style="font-family: "arialmt"; font-size: small;">ουσική γλώσσα έφτασε εν </span></span><span style="font-family: "arialmt"; font-size: small;"><span style="font-family: "arialmt"; font-size: small;">μ</span></span><span lang="JA" style="font-family: "arialmt"; font-size: small;"><span lang="JA" style="font-family: "arialmt"; font-size: small;">έρει</span></span><span style="font-family: "arialmt"; font-size: small;"><span style="font-family: "arialmt"; font-size: small;">, </span></span><span lang="JA" style="font-family: "arialmt"; font-size: small;"><span lang="JA" style="font-family: "arialmt"; font-size: small;">και </span></span><span style="font-family: "arialmt"; font-size: small;"><span style="font-family: "arialmt"; font-size: small;">μ</span></span><span lang="JA" style="font-family: "arialmt"; font-size: small;"><span lang="JA" style="font-family: "arialmt"; font-size: small;">πορεί ακό</span></span><span style="font-family: "arialmt"; font-size: small;"><span style="font-family: "arialmt"; font-size: small;">μ</span></span><span lang="JA" style="font-family: "arialmt"; font-size: small;"><span lang="JA" style="font-family: "arialmt"; font-size: small;">η πιο πολύ να προχωρήσει</span></span><span style="font-family: "arialmt"; font-size: small;"><span style="font-family: "arialmt"; font-size: small;">, </span></span><span lang="JA" style="font-family: "arialmt"; font-size: small;"><span lang="JA" style="font-family: "arialmt"; font-size: small;">σε τέτοια αφαίρεση και τέτοια γενίκευση</span></span><span style="font-family: "arialmt"; font-size: small;"><span style="font-family: "arialmt"; font-size: small;">, </span></span><span lang="JA" style="font-family: "arialmt"; font-size: small;"><span lang="JA" style="font-family: "arialmt"; font-size: small;">ώστε να </span></span><span style="font-family: "arialmt"; font-size: small;"><span style="font-family: "arialmt"; font-size: small;">μ</span></span><span lang="JA" style="font-family: "arialmt"; font-size: small;"><span lang="JA" style="font-family: "arialmt"; font-size: small;">πορεί να αποσπασθεί από τις τοπικές διαλέκτους και χροιές</span></span><span style="font-family: "arialmt"; font-size: small;"><span style="font-family: "arialmt"; font-size: small;">. </span></span><span lang="JA" style="font-family: "arialmt"; font-size: small;"><span lang="JA" style="font-family: "arialmt"; font-size: small;">Θα ονο</span></span><span style="font-family: "arialmt"; font-size: small;"><span style="font-family: "arialmt"; font-size: small;">μ</span></span><span lang="JA" style="font-family: "arialmt"; font-size: small;"><span lang="JA" style="font-family: "arialmt"; font-size: small;">άσω αυτό το φαινό</span></span><span style="font-family: "arialmt"; font-size: small;"><span style="font-family: "arialmt"; font-size: small;">μ</span></span><span lang="JA" style="font-family: "arialmt"; font-size: small;"><span lang="JA" style="font-family: "arialmt"; font-size: small;">ενο </span></span><span style="font-family: "arialmt"; font-size: small;"><span style="font-family: "arialmt"; font-size: small;">«</span></span><span lang="JA" style="font-family: "arialmt"; font-size: small;"><span lang="JA" style="font-family: "arialmt"; font-size: small;">αλγεβροποίηση</span></span><span style="font-family: "arialmt"; font-size: small;"><span style="font-family: "arialmt"; font-size: small;">» </span></span><span lang="JA" style="font-family: "arialmt"; font-size: small;"><span lang="JA" style="font-family: "arialmt"; font-size: small;">της </span></span><span style="font-family: "arialmt"; font-size: small;"><span style="font-family: "arialmt"; font-size: small;">μ</span></span><span lang="JA" style="font-family: "arialmt"; font-size: small;"><span lang="JA" style="font-family: "arialmt"; font-size: small;">ουσικής </span></span><span style="font-family: "arialmt"; font-size: small;"><span style="font-family: "arialmt"; font-size: small;">μ</span></span><span lang="JA" style="font-family: "arialmt"; font-size: small;"><span lang="JA" style="font-family: "arialmt"; font-size: small;">ε το σύγχρονο περιεχό</span></span><span style="font-family: "arialmt"; font-size: small;"><span style="font-family: "arialmt"; font-size: small;">μ</span></span><span lang="JA" style="font-family: "arialmt"; font-size: small;"><span lang="JA" style="font-family: "arialmt"; font-size: small;">ενο της λέξεως </span></span><span style="font-family: "arialmt"; font-size: small;"><span style="font-family: "arialmt"; font-size: small;">«</span></span><span lang="JA" style="font-family: "arialmt"; font-size: small;"><span lang="JA" style="font-family: "arialmt"; font-size: small;">Άλγεβρα</span></span><span style="font-family: "arialmt"; font-size: small;"><span style="font-family: "arialmt"; font-size: small;">», </span></span><span lang="JA" style="font-family: "arialmt"; font-size: small;"><span lang="JA" style="font-family: "arialmt"; font-size: small;">το οποίο ταυτίζεται </span></span><span style="font-family: "arialmt"; font-size: small;"><span style="font-family: "arialmt"; font-size: small;">μ</span></span><span lang="JA" style="font-family: "arialmt"; font-size: small;"><span lang="JA" style="font-family: "arialmt"; font-size: small;">ε τις θε</span></span><span style="font-family: "arialmt"; font-size: small;"><span style="font-family: "arialmt"; font-size: small;">μ</span></span><span lang="JA" style="font-family: "arialmt"; font-size: small;"><span lang="JA" style="font-family: "arialmt"; font-size: small;">ελιώδεις αρχές και νό</span></span><span style="font-family: "arialmt"; font-size: small;"><span style="font-family: "arialmt"; font-size: small;">μ</span></span><span lang="JA" style="font-family: "arialmt"; font-size: small;"><span lang="JA" style="font-family: "arialmt"; font-size: small;">ους της ανθρώπινης σκέψεως και λογικής"</span></span><span style="font-family: "arialmt"; font-size: small;"><span style="font-family: "arialmt"; font-size: small;">.</span></span></i> <br />
<div class="MsoNormal" style="background-color: transparent; border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; color: black; margin: 0cm 0cm 0pt; overflow: hidden; text-align: justify; text-decoration: none;">
<br /></div>
<div align="center" class="MsoNormal" style="background-color: transparent; border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; color: black; margin: 0cm 0cm 0pt; overflow: hidden; text-align: justify; text-decoration: none;">
<i><b> </b></i><br />
<i><b> <span style="font-size: large;"><span style="background-color: yellow; color: blue;">ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΚΙΝΗΜΑΤΟΓΡΑΦΟΣ</span></span></b></i></div>
<div style="text-align: justify;">
<div style="text-align: justify;">
<div class="MsoNormal" style="background-color: transparent; border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; color: black; margin: 0cm 0cm 0pt; overflow: hidden; text-align: justify; text-decoration: none;">
<i style="color: blue;"><b><br /></b></i>
<i style="color: blue;"><b>Στην ιστοσελίδα :</b></i></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: transparent; border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; color: black; margin: 0cm 0cm 0pt; overflow: hidden; text-align: justify; text-decoration: none;">
<a href="http://thanasiskopadis.blogspot.com/2010/11/blog-post_04.html"><span style="background-color: #ffe599; color: #cc0000;"><i><b>http://thanasiskopadis.blogspot.com/2010/11/blog-post_04.html</b></i></span></a></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: transparent; border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; color: black; margin: 0cm 0cm 0pt; overflow: hidden; text-align: justify; text-decoration: none;">
<span style="color: blue;"><b><i>σχολιάζονται οι παρακάτω κινηματογραφικές ταινίες που σχετίζονται με τη ζωή επωνύμων μαθηματικών ή μαθηματικών μυαλών της εποχής μας ...</i></b></span></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: transparent; border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; color: black; margin: 0cm 0cm 0pt; overflow: hidden; text-align: justify; text-decoration: none;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: transparent; border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; color: black; margin: 0cm 0cm 0pt; overflow: hidden; text-align: justify; text-decoration: none;">
<span style="color: black;"><span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;"><i><b>1."Π"<br />
2. "Agora"<br />
3. "Ο Κύβος 1-2-3"<br />
4. "Ενα υπέροχο μυαλό"<br />
5. "Proof"'<br />
6. "O ξεχωριστός Γουίλ Χάντινγκ"<br />
7. "21"<br />
8. " Το δωμάτιο του Fermat"<br />
9. "H Επαφή"</b></i></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="background-color: transparent; border: medium none; margin: 0cm 0cm 0pt; overflow: hidden; text-align: justify; text-decoration: none;">
<div style="color: black;">
<span style="color: black; font-family: "times" , "times new roman" , serif;"><i><b>10. "Κωδικός Αίνιγμα"</b></i></span></div>
<div style="color: black;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; color: black; text-align: center;">
<br /></div>
</div>
</div>
</div>
</div>
Αλέξανδρος Μόσχοςhttp://www.blogger.com/profile/04357778829560813366noreply@blogger.com3tag:blogger.com,1999:blog-7730717435979339231.post-57713130069741687672011-01-23T03:36:00.000-08:002018-03-22T09:49:22.648-07:00ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div style="text-align: justify;">
<div style="text-align: justify;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://3.bp.blogspot.com/-6MQcV09TJRA/Uu0_qsxD8hI/AAAAAAAAA1k/8lhehQxOBDg/s1600/mathgod.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="200" src="https://3.bp.blogspot.com/-6MQcV09TJRA/Uu0_qsxD8hI/AAAAAAAAA1k/8lhehQxOBDg/s1600/mathgod.jpg" width="145" /></a></div>
<strong><span style="color: blue; font-size: large;"><em><br /></em></span></strong>
<strong><span style="color: blue; font-size: large;"><em><br /></em></span></strong>
<strong><span style="color: blue; font-size: large;"><em>"Τα αντικείμενα της ανάλυσης δεν είναι επινοήσεις δικές μας αλλά αντικείμενα της πραγματικότητας που βρίσκονται έξω από μας. Δεν επινοούνται λοιπόν ,αλλά μας επιβάλλονται. Εμείς οι μαθηματικοί δεν διαφέρουμε σε τίποτα από τους βιολόγους ή τους φυσικούς που ανακαλύπτουν τους υπέροχους νόμους της φύσης ".</em></span></strong></div>
<div style="text-align: justify;">
<strong><span style="color: blue; font-size: large;"><em></em></span></strong><br />
<strong><em><span style="color: blue; font-size: large;"></span></em></strong><br />
<div style="text-align: justify;">
<strong><em><span style="color: blue; font-size: large;"> </span><span style="color: #cc0000; font-size: large;"> Charles Hermite.</span></em></strong></div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #990000;">Άποψη που θεωρεί ότι τα μαθηματικά είναι "συμπαντικά". Υπάρχουν δηλαδή στο σύμπαν ως φυσικές πραγματικότητες. Δεν επινοούνται λοιπόν από εμάς , αλλά ανακαλύπτονται. Την άποψη αυτού του μαθηματικού ρεαλισμού ( μαθηματικός νεοπλατωνισμός ) δεν την εστερνίζονται άλλες τάσεις της μαθηματικής φιλοσοφίας.</span><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<strong><span class="Apple-style-span" style="line-height: 19px;"><span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; line-height: 15px;"><span style="color: blue;"><span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;"><em style="font-style: normal;">" O Θεός δημιούργησε τους ακεραίους , τα υπόλοιπα είναι έργα των ανθρώπων</em><em style="font-style: normal;">".</em></span></span></span></span></span></strong><br />
<strong><span class="Apple-style-span" style="line-height: 19px;"><span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;"><span class="Apple-style-span" style="color: black; line-height: 15px;"></span></span></span></strong><span style="color: blue;"><span class="Apple-style-span" style="line-height: 19px;"><span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;"><span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;"> <strong> <span style="color: blue;"> Leopold Kronecker (1823 – 1891)</span></strong></span></span></span></span><br />
<span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;"><br />
</span><br />
<br />
<br />
<span style="color: blue;">"Τι είναι λοιπόν τα Μαθηματικά; Φαίνεται ότι έχουμε τρεις επιλογές:- Τα Μαθηματικά είναι η ανθρωπιστική επιστήμη που υμνεί την αιώνια λογική.<br />- Είναι η φυσική επιστήμη που μελετά το φαινόμενο λογική.<br />- Είναι η τέχνη που πλάθει μορφές αιθέριας ομορφιάς από πρώτη ύλη που ονομάζεται λογική.<br />Είναι όλα αυτά και άλλα. Πάνω απ' όλα, όμως, μπορώ να σας διαβεβαιώσω ότι τα Μαθηματικά είναι ευχαρίστηση."</span><br />
<br />
<b><span style="color: blue;">- W. T. TUTTE</span></b><br />
<br />
<br />
<span style="color: blue;">"Τα Μαθηματικά είναι η γλώσσα που χρησιμοποιεί ο εγκέφαλός μας, για να επικοινωνήσει με τον εαυτό του."</span><br />
<br />
<br />
- <b><span style="color: blue;">GRACIELLA CHICHILNISKY</span></b><br />
<br />
<span style="color: blue;"><b> Επιστήμη + παραμύθι = Μαθηματικά</b></span><br />
<br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;">Η λογική που από μόνη της μπορεί να προσφέρει τη βεβαιότητα είναι το εργαλείο της απόδειξης , η διαίσθηση είναι το εργαλείο της επινόησης.</span></b><br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;"><br /></span></b>
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>H. Poiancare</b></span><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<b><span style="color: #990000; font-size: large;">Tα μαθηματικά και οι αρχαίοι Έλληνες φιλόσοφοι.</span></b><br />
<b><span style="color: #990000; font-size: large;"><br /></span></b>
<br />
<i><b><span style="color: blue;">Για τον Πλάτωνα τα μαθηματικά είχαν ιδιαίτερο ενδιαφέρον γιατί αν και ασχολούνται με αισθητά πράγματα αναφέρονται επίσης στο γενικό, στο αφηρημένο και στο αμετάβλητο. Για παράδειγμα μπορεί σε ένα λογαριασμό να ασχολούμαστε με τρία βόδια ή πέντε δάκτυλα αλλά με το "τρία" ή με το "πέντε" έχουμε περιττούς αριθμούς αεξάρτητους από τα αισθητά αντικείμενα.</span></b></i><br />
<i><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></i><i><b><span style="color: blue;">Ο Πλάτωνας θεωρούσε τα μαθηματικά αντικείμενα ως μοναδικές αληθινές ιδέες.Τα έβλεπε ενδιάμεσα μεταξύ των αισθητών αντικειμένων και των υπερτάτων ιδεών.Γι΄αυτό απέδιδε στην μαθηματική γνώση καθοριστικό ρόλο στην εκπαίδευση των νέων.</span></b></i><br />
<i><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></i><i><b><span style="color: blue;">Ο ίδιος ο Πλάτων επέκρινε τον Εύδοξο , τον Αρχύτα και τον Μέναιχμο που επιχειρούσαν να μεταθέσουν το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου στον χώρο των ενόργανων και μηχανικών κατασκευών και όχι στη χρήση της λογικής αλλά προσπαθούσαν να το επιλύσουν με οποιοδήποτε δυνατό τρόπο. Οργίστηκε τόσο που τους αποκάλεσε διαφθορείς και καταστροφείς της γεωμετρίας.Πως τόλμησαν να αφήσουν τα άυλα πνευματικά γυμνάσματα και να ασχοληθούν με αντικείμενα που απιτούσαν χειρωνακτική εργασία.Την εποχή εκείνη τα μαθηματικά ως λογική δομή συνδεόταν με τη φιλοσοφία και οι φιλόσοφοι είχαν την εποπτεία των μαθηματικών.</span></b></i><br />
<i><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></i>
<i><b><span style="color: blue;">Ο Ήρωνας στο έργο του "Μετρικά" λέει : "οι παλιές περιγραφές μας διδάσκουν ότι η γεωμετρία ασχολείται με τη μέτρηση και διαίρεση της γης". Στην εποχή του η γεωμετρία καινοτομεί και συνδέται με τη μηχανική με θαυμαστά αποτελέσματα. Σε άλλο σημείο αποφαίνεται : " Σε ένα τέτοιο κόσμο η απόλυτη ακρίβεια δεν είναι δυνατή και συχνά πρέπει να αρκεστούμε στην καλύτερη προσέγγιση".</span></b></i><br />
<i><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></i><i><b><span style="color: blue;">Ο Ήρωνας με εριστική διάθεση στο έργο του Βελοποιικά δημιουργεί το πλαίσιο ανταγωνισμού μεταξύ της φιλοσοφίας και της μηχανικής.Η φιλοσοφία , ισχυρίζεται, χρησιμοποιεί συλλογισμούς οι οποίοι είναι απλές λέξεις ενώ η μηχανική μηχανές που μπορούμε να τις αγγίξουμε.</span></b></i><br />
<i><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></i><i><b><span style="color: blue;">Ο Αριστοτέλης δεν θεωρούσε τα μαθηματικά αντικείμενα ως ιδέες του πραγματικού κόσμου αλλά ως αφηρημένες ιδέες που περιγράφουν τα φυσικά αντικείμενα χωρίς να είναι αντικείμενα με αυτοτελή ύπαρξη.Ασχολήθηκε με την λογική δομή των μαθηματικών τα οποία χαρακτήριζε: "έξις αποδεικτική" (αποδεικτική συνήθεια). </span></b></i><i><b><span style="color: blue;">Eπίσης θεωρούσε ότι αντικείμενο μελέτης των μαθημτικών είναι το "καθ' όλον" κι όχι το "τυχαίο ον". Με τον όρο "καθ' όλον" εννοούσε τα συμπεράσματα που είχαν καθολική ισχύ και αποδεικνυόταν ότι ισχύουν πάντοτε σε όλες τις συνθήκες. Κάτι σαν τους σταθερούς νόμους της φύσης που διέπονται από μια αιτιοκρατία (ντετερμενισμό). "Τυχαίο ον" είναι οτιδήποτε ισχύει τυχαία σε μεμονωμένες και απροσδιόριστες συνθήκες χωρίς να έχει καθολική και αιτιοκρατική ισχύ. Για το Αριστοτέλη τα τυχαία φαινόμενα δεν αποτελούσαν αντικείμενο μελέτης της μαθηματικής επιστήμης.Για το λόγο αυτό η στατιστική και η θεωρία πιθανοτήτων δεν εμφανίστηκαν στα αρχαιοελληνικά μαθηματικά. Βρισκόταν έξω από τα πλαίσια της καθολικότητας και του αποδεικτικού συλλογισμού.</span></b></i><br />
<i><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></i>
<i><b><span style="color: blue;">O Aριστοτέλης διαιρεί τη θεωρητική φιλοσοφία σε τρεις βασικές κατηγορίες , τη φυσική , τα μαθηματικά και τη θεολογία. Κατα τόν ίδιο οι δυο πρώτες κατηγορίες πρέπει ονομαστούν εικασίες παρά γνώσεις. Μόνο τα μαθηματικά μπορούν να προσφέρουν ασφαλή και ακλόνητη γνώση σε όσους ασχολούνται μαζί τους , εφ' όσον αυτό γίνεται με επιμονή.</span></b></i><br />
<i><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></i>
<i><b><span style="color: blue;">O πλατωνιστής φιλόσοφος Αλκίνοος πίστευε ότι τα μαθηματικά πέρα από τη χρησιμότητά τους για πρακτικούς σκοπούς , οξύνουν το πνεύμα και ανυψώνουν τη ψυχή. Δίνουν ακρίβεια και ασφάλεια. Επαναλαμβάνει βέβαια ότι οι μαθηματικές επιστήμες είναι υποδεέστερες της φιλοσοφίας. Αποτελούν προοίμιο του διαλογισμού σαν ένα είδος εκγύμνασης του νου για τις ανώτερες φιλοσοφικές ενασχολήσεις. Είναι "τελετουργίες μύησης" και "προκαταρτικές καθάρσεις" του πνεύματος πριν αρχίσουν οι σπουδαιότερες μελέτες.</span></b></i><br />
<br />
<i><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></i>
<i><b><span style="color: blue;">Ο Γαληνός αν και ασχολήθηκε με την ιατρική υποστηρίζει ότι τα μαθηματικά προσφέρουν βεβαιότητα , συμφωνία κια ομόνοια σε αντίθεση με τη φιλοσοφία που επιφέρει υποκειμενικές θεωρήσεις. Είναι ευκολότερο να δημιουργηθεί ομοφωνία σε μια κοινότητα γύρω από τα αυθεντικά κείμενα του Ευκλείδη που στηρίζονται σε αποδεικτικές διαδικασίες.</span></b></i><br />
<i><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></i>
<i><b><span style="color: blue;">Ο Πρόκλος πίστευε ότι τα μαθηματικά είναι εγγενή στη δομή των πραγμάτων και ότι η γλώσσα τους καθιστούσε κάποιον ικανό να διατυπώσει τη γνώση της πραγματικότητας. Τα ίδια τα μαθηματικά αντικείμενα είναι ενδιάμεσα μεταξύ των πνευματικών και των αισθητών.Η μαθηματική γνώση είναι η πλέον καταλληλότερη για την ανθρώπινη φύση.</span></b></i><br />
<i><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></i>
<i><b><span style="color: blue;">Ο Αγέννιος Ουβρικός θεωρεί ότι η γεωμετρία έχει εξιδείκευση στη λογική.Είναι δύσκολη στην αρχή αλλά προσβάσιμη στη συνέχεια , ευχάριστη λόγω της τάξης , πλήρης ομορφιάς , ασυναγώνιστη στα επιτεύγματά της. Με τις σαφείς προσεγγίσεις της συλλογιστικής της ,φωτίζει το πεδίο της έλλογης σκέψης. Πρέπει να γίνει κατανοητό , καταλήγει ότι η γεωμετρία ανήκει στις τέχνες καα ότι οι τέχνες προέρχονται από τη γεωμετρία.</span></b></i><br />
<i><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></i>
<i><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></i>
<i><b><span style="color: blue;">Οι σκεπτικοί φιλόσοφοι της αρχαίας Ελλάδας , μεταξύ των οποίων οι στωικοί , οι επικούρειοι και μερικοί σοφιστές αμφισβητούσαν κάθε μορφή γνώσης. Ο Πρόκλος αναφέρει ότι οι σκεπτικοί ανέπτυξαν επιχειρήματα με τα οποία απέρριπταν κάθε γνώση, ενώ οι επικούρειοι υποστήριζαν μια δυσπιστία απέναντι στη γωμετρία. Οι στωικοί δέκριναν δεκαπέντε κατηγορίες αμφισβήτησης της μαθηματικής βεβαιότητας επικεντρώνοντας το ενδιαφέρον τους στις μαθηματικές αποδείξεις. "Αν πιστεύετε , λένε , ότι υπάρχουν πράγματα που δεν χρειάζονται αποδείξεις , πρέπει να έχετε σπάνια νοημοσύνη για να μη βλέπετε ότι πρώτα πρέπει να υπάρξει απόδειξη του γεγονότος ότι τα πράγματα στα οποία αναφέρεστε , είναι πειστικα αφ' ευατών και δεν χρειάζεται να αποδειχθούν". Διατύπωσαν δηλαδή την άποψη ότι πρέπει να αποδειχθεί ότι τα μαθηματικά αξιώματα στέκονται αφ΄εαυτού τους χωρίς αναγκαιότητα απόδειξης. Ζητούσαν δηλαδή μια απόδειξη για την μη αναγκαιότητα απόδειξης των αξιωμάτων.Οι στωικοί είναι ιδιαίτερα επικριτικοί πρός τα μαθηματικά και δεν τα έδιναν σημαντική θέση στην επιστημολογία τους.Θεωρούσαν ότι η γνώση στηρίζεται στις αισθήσεις και πρέπει να ενδιαφέρεται για τον πραγματικό κόσμο.Για τον λόγο αυτό σημαντικές γι' αυτούς επιστήμες ήταν η μαντική , η ιατρική , η διαλεκτική και η ηθική αρετή. Ο Διογένης ο κυνικός αναφέρει χαρακτηριστικά :" φαίνεται ότι οι μαθηματικοί ενδιαφέρονται περισσότερο για τον ήλιο και τη σελήνη παρά για τα πραγματικά προβλήματα των ανθρώπων". Σκεπτικισμό για τη μαθηματική γνώση εξέφρασαν και ορισμένοι σοφιστές.Ο Ισοκράτης θεωρεί ότι η υπερβολική χρήση των μαθηματικών θα εμποδίσει την αρμονική ανάπτυξη των νέων. Επίσης ότι η υπερβολική ακρίβεια που απαιτούν τα μαθηματικά δεν είναι πάντα αναγκαία. Έλεγε μάλιστα : " αυτές οι γνώσεις ( οι μαθηματικές) είναι κενές συζητήσεις και λεπτολογίες , επειδή κανένα από αυτά τα πράγματα δεν είναι χρήσιμο τόσο στην ιδιωτική όσο και στην δημόσια ζωή". Ο Πρωταγόρας γράφει :"τα πράγματα δεν είναι πάντα έτσι όπως μας τα λένε οι γωμέτρες. Η εφαπτομένη ενός κύκλου , για παράδειγμα, δεν τέμνει τον κύκλο σε ένα μόνο σημείο όπως μας λένε. Φαίνεται ότι τον τέμνει σε περισσότερα από ένα σημείο".</span></b></i><br />
<i><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></i>
<i><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></i>
<b><span style="color: #990000;">Από το βιβλίο : " Aρχαία μαθηματικά της S. Cuomo.</span></b><br />
<br />
<br />
<br /></div>
</div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: x-large;"><strong> Τι είναι μαθηματικά;</strong></span><br />
<strong><span style="color: blue; font-size: x-large;"> Γλώσσα , επιστήμη , λογική ή τέχνη;</span></strong><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
Για τα περισσότερα λεξικά που είναι γραμμένα από φιλολόγους μαθηματικά είναι η επιστήμη που μελετά τις ιδιότητες της ποσότητας και του χώρου. Αν βέβαια ρωτήσεις έναν μαθηματικό μάλλον δεν τον καλύπτει αυτός ο ορισμός. Είναι άραγε τα μαθηματικά επιστήμη; Εκεί έρχεται η πρώτη ένσταση. Περισσότερο είναι παιχνίδι φαντασίας , αισθητική απόλαυση , καλλιέργεια του νου , εξύμνηση της λογικής , γλώσσα ερμηνείας του κόσμου , εργαλείο των άλλων επιστημών και τόσα άλλα. Πάντως τώρα που το καλοσκέφτομαι είναι και επιστήμη. Αν και όταν ασχολούμαι με μαθηματικά εγώ προσωπικά δεν νιώθω επιστήμονας. Νιώθω απλά ευχαρίστηση. Τέλως πάντων.</div>
<div style="text-align: justify;">
Μελετά σου λένε την ποσότητα και το χώρο. Μιλάμε λοιπόν για τους δύο παραδοσικά κλάδους των μαθηματικών την άλγεβρα και τη γεωμετρία. Πως όμως σ΄ αυτόν τον ορισμό θα περιλάβουμε τις 3.400 κατηγορίες των σύγχρονων μαθηματικών ή τα 200.000 θεωρήματα που κυκλοφορούν ανά έτος;Πως θα περικλείσουμε τις χιλιάδες υποκατηγορίες και υποθεωρίες μαθηματικών που δεν μελετούν ούτε ποσότητες ούτε το χώρο; Πως θα χωρέσουμε τις μη ευκλείδειες γεωμετρίες που αντιβαίνουν σε κάθε εποπτεία του χώρου καθώς απλά διαθέτουν μη αντιφατικότητα;</div>
<div style="text-align: justify;">
Είναι τα μαθηματικά επιστήμη (;) που μελετά το χώρο και τη ποσότητα. Ναι , αλλά μόνο αυτό; Οι μη ευκλείδειες γεωμετρίες είναι μαθηματικά σύμφωνα μ΄αυτό τον ορισμό; Μήπως μαθηματικά είναι μια ακολουθία λογικών συμπερασμάτων που ξεκινούν από αξιώματα καταλήγουν σε τελικές προτάσεις καθ' όλα ορθές. Είναι λοιπόν τυποκρατικό σύστημα απαγωγής συμπερασμάτων; Ναί , αλλά μόνο αυτό; Είναι παιχνίδι φαντασίας , καλλιέργειας του νου , αναζήτησης βέλτιστων στρατηγικών επίλυσης προβλημάτων , εξύμνηση της ανθρώπινης λογικής; Ναι αλλά μόνο αυτό; Είναι παγκόσμια γλώσσα με ειδικά σύμβολα και κανόνες συντακτικού για την ερμηνεία του φυσικού κόσμου που μας περιβάλλει; Ας θυμηθούμε τις προσπάθειες απόλυτης τυποποίησης των μαθηματικών κειμένων που χρησιμοποιούσαν αποκλειστικά μαθηματικά σύμβολα και καθόλου σύμβολα της φυσικής γλώσσας. Ναι αλλά μόνο αυτό; Παρέχει την ευκαιρία σε κάθε επιστήμη να μοντελοποιήσει τα προβλήματα της σε μαθηματική γλώσσα; Δίνει έτσι τη δυνατότητα στα μαθηματικά να αποτελούν ενοποιητικό γλωσσικό και ερμηνευτικό εργαλείο όλων των επιστημών; Ναι αλλά μόνο αυτό; Τότε όμως τα μαθηματικά μοντέλα της οικονομίας , ή τα βιολογικά μοντέλα , ή τα μοντέλα μεγιστοποίησης του κέρδους και ελαχιστοποίησης του κόστους παραγωγής , ή τα μοντέλα μετερεωλογικών προβλέψεων που περιέχουν πλειάδα διαφορικών εξισώσεων τι σχέση έχουν με την ποσότητα και το χώρο; Ενυπάρχει η ομορφιά , η αρμονία , η αισθητική ως πρωταρχικό παράγοντα της μαθηματικής δημιουργίας; Ναι αλλά μόνο αυτό;Αποτελούν τα μαθηματικά έκφραση διασκέδασης του νου μέσα από το παιχνίδι , τη σπαζοκεφαλιά , την λογική αντίφαση , τη φαντασία εύρεσης της καλύτερης και συντομότερης λύσης; Ναι αλλά μόνο αυτό; Είναι πάντα τα μαθηματικά συνδεδεμένα με την πραγματικότητα που μας περιβάλλει; Κάποτε ναι προσπαθώντας να ερμηνεύσουν και να επιλύσουν προβλήματα που ανακύπτουν γίνονται εφαρμοσμένα. Βιομαθηματικά , Οικονομικά μαθηματικά , μαθηματική στατιστική , μαθηματική φυσική , Ιατρικά μαθηματικά ... Άλλοτε γεννιώνται τα άχρηστα μαθηματικά όπως τα αποκαλεί ο Hardy και τότε το κίνητρό τους είναι διαφορετικό. Αλγεβρική θεωρία αριθμών , τοπολογία , διαφορική γεωμετρία , αξιωματική θεωρία συνόλων , διαφορίσιμες πολλαπλότητες , θεωρία τανυστών ....</div>
<div style="text-align: justify;">
<strong><em>Τελικά βασικά στοιχεία της μαθηματικής δημιουργίας ( αντί επιστήμης ) είναι η πολλαπλότητα και η ελευθερία</em></strong>. Σου δίνουν την ευκαιρία να τα προσεγγίσεις μέσα από όλα τα προηγούμενα. Όποια έκφραση προσπαθεί να αρπάξει για τον εαυτό της την οικειοποίση του μαθηματικού γεγονότος σφάλλει. Διαπράττει μια ανεπίτρεπτη μονομέρεια και επιβάλλει έναν μαθηματικό φασισμό.<br />
</div>
<a href="http://www.blogger.com/" name="116522586107078222"></a><br />
<div class="post-body">
<div style="clear: both;">
</div>
<div xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml">
<strong><em>Υ.Γ :</em></strong> Το τί είναι μαθηματικά και τί οχι προφανώς είναι σχετικό...</div>
<div xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml">
<ul>
<li>Για έναν φιλόλογο η επιστήμη μελέτης της ποσότητας και του χώρου.</li>
<li>για έναν παίκτη τυχερών παιγνιδιών η πιθανότητα 1/6 που έχω να φέρω 6 σε ένα ζάρι. </li>
<li>Για ένα προγραμματιστή μαθηματικά είναι τα διάφορα αλγοριθμικά προβλήματα που συναντάει στην κατασκευή ενός προγράμματος.</li>
<li>για έναν φυσικό ή βιολόγο μια παγκόσμια γλώσσα ερμηνείας του κόσμου..</li>
<li>Για έναν μαθηματικό όμως τα μαθηματικά μάλλον προσεγγίζουν περισσότερο την φαντασία ενός έργου τέχνης που διαθέτει συγχρόνως γοητεία και αισθητική απόλαυση...<br />
<strong>Μόσχος Αλέξανδρος</strong> </li>
</ul>
</div>
<br />
<br />
<br />
<br />
<strong><span style="color: blue; font-size: large;"> Μαθηματικά είναι ...</span></strong><br />
<br />
<div style="margin-bottom: 0cm;">
Τα Μαθηματικά συχνά ορίζονται ως η μελέτη των ποσοτήτων, των δομών, των μεταβολών και του χώρου. Κατά τη σύγχρονη επίσημη άποψη τα μαθηματικά είναι η έρευνα των αξιωματικά θεμελιωμένων αφηρημένων δομών χρησιμοποιώντας τη λογική και τη μαθηματική σημειολογία.<br />
Οι μαθηματικοί ερευνούν αυτές τις δομές και προσπαθούν να σχηματίζουν υποθέσεις και να εξακριβώνουν την αλήθεια τους μέσω αυστηρών κανόνων συνεπαγωγής και έχοντας ως βάση ορισμένα αξιώματα και ορισμούς. Οι δομές που ερευνώνται συχνά έλκουν την προέλευσή τους από τις φυσικές επιστήμες, συνηθέστερα από την φυσική, αλλά οι μαθηματικοί επίσης ορίζουν και ερευνούν δομές για λόγους καθαρά εσωτερικούς στα μαθηματικά, επειδή οι δομές αυτές μπορούν να παρέχουν, παραδείγματος χάριν, μια ενοποιητική γενίκευση για διάφορα υποπεδία, ή ένα χρήσιμο εργαλείο για τον λογισμό. Τελικά, πολλοί μαθηματικοί μελετούν τους τομείς που μελετούν για καθαρά αισθητικούς λόγους, αντιμετωπίζοντας τα μαθηματικά ως μια μορφή τέχνης περισσότερο παρά ως μια πρακτική ή εφαρμοσμένη επιστήμη.</div>
<br />
<br />
<br />
<br />
<strong><span style="color: blue; font-size: large;">Τα μαθηματικά με περιγραφικό τρόπο παρουσίασης.</span></strong><br />
<br />
Ένας τρόπος για να μελετήσεις την φύση των μαθηματικών και το ακτικείμενο μελέτης τους είναι ο περιγραφικός. Να περιγράψεις δηλαδή όσο γίνεται συνοπτικά αλλά και πληθωρικά αυτό που κάνουμε στα μαθηματικά. Τότε θα μπορούσες να ορίσεις τα μαθηματικά ως τομέα εκείνο της ανθρώπινης δραστηριότητας που ασχολείται <em>με την αρίθμηση , την εκτίμηση , τις πράξεις των αριθμών , τον υπολογισμό , την σύγκριση , την αναλογία ,τ ην ομαδοποίηση , την εύρεση προτύπων και μοντέλων , την επίλυση πρακτικών προβλημάτων , την αναζήτηση βέτσιστων λύσεων , την ελαχιστοποίηση ή μεγιστοποίηση ποσοτήτων , την περιγραφή σχέσεων , την μελέτη ειδών σχέσεων , την αλληλεξάρτηση μεγεθών , την εύρεση δεδομένων , την αναπαράσταση δεδομένων , την παρατήρηση , τη συλλογή και την περιγραφή , τη χρήση διαγραμμάτων , εύρεση μέσων όρων και πιθανοτήτων να συμβούν γεγονότα , την στατιστική επεξεργασία , την πρόβλεψη , την συσχέτιση μεγεθών ,την μοντελοποίηση προβλημάτων άλλων επιστημών , την μελέτη : σχημάτων , ομοιότητας , ισότητας , σμίκρυνσης ή μεγένθυνσης , ιδιοτήτων , μεγεθών , εμβαδού και όγκου , μελέτη αξιωμάτων , θεωρημάτων και κανόνων λογικής συγκρότησης , τον αποκλεισμό της αντίφασης , τη μελέτη λογικά πιθανών συμβάντων , την ανάπτυξη στρατηγικών επίλυσης , την μελέτη εικασιών , την συγκρότηση λογικών βημάτων , την εύρεση αλγορίθμων , την επικύρωση , την λογική συμπερασματολογία , το παιχνίδι λογικής και φαντασίας , την αναζήτηση της ομορφότερης αισθητικά λύσης , την ελκυστικότητα και τη γοητεία της λογικής , την πολλαπλή αναπαράσταση μια έννοιας , παρουσίαση πινάκων και γραφικών παραστάσεων , έκφραση συμβόλων που παριστάνουν έννοιες , μετάφραση πραγματικών γεγονότων σε μαθηματική γλώσσα.</em><br />
Περιγράψαμε άραγε την πλειονότητα των μαθηματικών ακτικειμένων; Προφανώς όχι. Αναδείξαμε όμως την πολλαπλότητα του μαθηματικού νοήματος.<br />
<br />
<br />
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><strong> Η ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΩΣ ΚΑΛΛΙΤΕΧΝΙΚΗ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ.</strong></span><br />
<br />
Η επιστημονική γνώση πλησιάζει την καλλιτεχνική δημιουργία. Και στη μία και στην άλλη περίπτωση έχουμε να κάνουμε με μιαν ύλη που την πλάθει ο νους και με έναν νου που πλάθει την ύλη. Τίποτα δεν είναι δοσμένο από πριν μέσα στη γνώση μα ούτε μέσα στον ίδιο τον κόσμο. Κόσμος και γνώση είναι δυο κινούμενα σχήματα που αλλάζουν αδιάκοπα σε στενή αλληλεξάρτηση. Αδιάκοπα καινούργιες σχέσεις γεννιούνται μεταξύ τους. Αυτή είναι η διαλεκτική σχέση.<br />
Η επιστήμη είναι λοιπόν όπως και η τέχνη κάτι ανοιχτό που πλάθεται αδιάκοπα με στενή συνεργασία του κόσμου και του νου. Τα πράγματα οδηγούν το νου σε καινούριους δρόμους για να βρει καινούρια γνωστικά μέσα , καινούρια μαθηματικά σχήματα , που να μπορούν να εκφράσουν καλύτερα τον κόσμο.<br />
Η θεωρία της σχετικότητας , των κβάντα στη φυσική , οι ευκλείδειες και μη ευκλείδειες γεωμετρίες στα μαθηματικά , ο ντετερμινισμός και ο ιντετερμινισμός δείχνουν πόσο ανοιχτά πρέπει να μένουν τα νοήματα της φιλοσοφίας και της επιστήμης. Η πραγματικότητα προβάλλει σαν πολύπλευρη κι αντιφατική και η επιστήμη μοιάζει με πελώρια φαντασία που δημιουργεί έναν κόσμο πιθανό , ποθ όμως τρέχει ολοένα κι αλλάζει.<br />
<br />
<strong>Από το βιβλίο : " Εισαγωγή στη Φιλοσοφία " του Χ. Θεοχαρίδη εκδόσ. ΕΣΤΙΑΣ , Αθήνα 1955.</strong><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<strong><span style="color: blue; font-size: large;"> <span style="font-size: small;">ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΤΑ ΜΑΤΙΑ ΕΝΟΣ ΦΥΣΙΚΟΥ</span></span></strong><br />
<br />
Στο παρελθόν, το τρίπτυχο παρατήρηση- πείραμα- θεωρία αποτελούσε τη βάση της Επιστήμης. Σήμερα, όμως, υπάρχουν σημαντικές περιοχές της Επιστήμης που αυτό δεν ισχύει, π.χ. δεν είναι δυνατόν να παρατηρήσουμε τις απειροελάχιστες υποδιαιρέσεις της ύλης ( άτομα, πρωτόνια, νετρόνια, κουάρης, λεπτόνια, μιόνια, κλπ) . Σε αυτή την καινούργια πραγματικότητα τα Μαθηματικά λόγω της αφηρημένης φύσης τους, παίζουν όλο και πιο σημαντικό ρόλο. Σήμερα υπάρχουν δύο θεμελιώδη ανοιχτά προβλήματα : 1) Η ανακάλυψη της θεωρίας που θα ενοποιεί όλες τις δυνάμεις της φύσης (βαρυτικές- ηλεκτρομαγνητικές- ισχυρές πυρηνικές, ασθενείς πυρηνικές). Η ζητούμενη αυτή θεωρία είναι η ονομαζόμενη θεωρία των πάντων. 2) Η κατανόηση της συνείδησης, δηλαδή του μηχανισμού δια μέσω του οποίου η ενεργοποίηση νευρικών κυττάρων οδηγεί τελικά στη δημιουργία μνήμης, σκέψης και συναισθημάτων. <br />
Οι επιστήμονες πιστεύουν ότι τα μαθηματικά θα παίξουν καθοριστικό ρόλο στη λύση του πρώτου προβλήματος και επίσης, θα έχουν συνεισφορά στη λύση του δευτέρου, ιδιαίτερα δια μέσου υπολογιστικών προσομοιώσεων και απεικονιστικών τεχνικών, όπως η μαγνητοεγκεφαλογραφία.<br />
Μελετώντας την ιστορία, βλέπουμε ότι τα μαθηματικά δημιουργούνται είτε για τη λύση συγκεκριμένων πρακτικών προβλημάτων (εφηρμοσμένα μαθηματικά) είτε γιατί η έρευνα αναπόφευκτα δημιουργεί ερωτήματα πολύ απόμακρα από το πρωταρχικό πρόβλημα και αυτό με τη σειρά του οδηγεί στη δημιουργία αφηρημένων μαθηματικών δομών (θεωρητικά μαθηματικά). Η περαιτέρω διερεύνηση αυτών των δομών είναι χαρακτηριστική εκδήλωση της ανθρώπινης διανοητικής περιέργειας. Τα μαθηματικά χαρακτηρίζονται από ένα υψηλό επίπεδο πολυπλοκότητας, το οποίο συγχρόνως εκδηλώνεται με μια ενδογενή βαθύτατη αισθητική. Όσο περισσότερο εμβαθύνει κανείς στα μαθηματικά τόσο περισσότερο εκστασιάζεται από την ανείπωτη ομορφιά τους. <br />
Ο Πλάτωνας θεωρούσε τα μαθηματικά προπαρασκευαστικό μάθημα για τη φιλοσοφία. Αλλά, γενικότερα, η αναζήτηση της αλήθειας, δια μέσου της επιστημονικής έρευνας γεννά όλο και πιο βαθιά και πολυσύνθετα ερωτήματα, που με τη σειρά τους οδηγούν στην τάση για μια ενοποιημένη αντιμετώπισή τους και κατά συνέπεια στη φιλοσοφία. </div>
<span style="color: black;"><strong>Γράφει ο Γεώργιος Χουτζαίος ( μαθηματικός και φυσικός ).</strong></span><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<span style="color: blue;"><strong> ΕΝΑΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟ ΕΝΑ ΓΛΩΣΣΟΛΟΓΟ ΚΙ ΕΝΑΝ ΨΥΧΟΛΟΓΟ.</strong></span><br />
<br />
<span style="color: #9f007f;"><span style="color: darkslategrey;"><span style="color: black;">"Τα μαθηματικά συγκροτούν τμήμα του αντιληπτικού συστήματος του ανθρώπου, μέσω του οποίου εμφανίζουν τις ακόλουθες ξεχωριστές ιδιότητες: Ακρίβεια, συνέπεια, σταθερότητα στον χρόνο αλλά και στις ανθρώπινες κοινωνίες, αντίληψη των συμβόλων, μέτρηση/υπολογισμό, γενίκευση, παγκόσμια διαθεσιμότητα (σσ: συμπαντική γλώσσα), συνοχή με κάθε ένα από τα αντικείμενά τους (σσ: ουδέποτε τα πορίσματά τους παρουσιάζουν μεταξύ τους αντιφάσεις) και αποτελεσματικότητα ως γενικό εργαλείο περιγραφής, εξήγησης και πρόβλεψης, για ένα ευρύτατο φάσμα ανθρώπινων δραστηριοτήτων, (που εκτείνονται) στον αθλητισμό, τις κατασκευές, την επιχειρηματική δραστηριότητα (σσ: αλλά και το άτομο, την οικογένεια, τη συλλογικότητα, ως οικονομικές μονάδες), την τεχνολογία και την επιστήμη". (Where Mathematics Comes From/ G.Lakoff, R.Nunez, 2000). </span></span></span><br />
<span style="color: black;"><span style="color: #9f007f;"><span style="color: darkslategrey;"><span style="color: black;"> Η παραπάνω πολύ ενδιαφέρουσα προσπάθεια ορισμού των μαθηματικών, οφείλεται, προσέξτε, όχι σε κάποιο μαθηματικό επιστήμονα, αλλά σε έναν γνωσιακό γλωσσολόγο ("cognitive linguist") και σε έναν ψυχολόγο, γεγονός που υποδηλώνει ότι η μαθηματική επιστήμη αποτελεί αντικείμενο μελέτης άλλων επιστημονικών κλάδων και μάλιστα τέτοιων που δεν θα περίμενε κανείς να έχουν οποιαδήποτε σχέση με τα μαθηματικά. Ο ορισμός επισημαίνει ότι η παρουσία των μαθηματικών σημειώνεται -είτε εμείς το αναλογιζόμαστε είτε όχι- σε όλες σχεδόν τις δραστηριότητες της ζωής μας, γεγονός εξ άλλου ευρύτερα συζητημένο και γνωστό. Αν δεν υπήρχαν τα μαθηματικά, πώς θα μπορούσαμε να κάνουμε οικονομικές συναλλαγές, να μετράμε το χρόνο, να υπολογίζουμε αποστάσεις, ταχύτητες, να κάνουμε κατασκευές, να κάνουμε συγκρίσεις, να υπολογίζουμε ποσότητες, να μετράμε μήκη, πλάτη, ύψη, να ταξιδεύουμε στον αέρα ή στο διάστημα και πόσα άλλα; </span><span style="color: black;"> Μπορεί ωστόσο με αφορμή όλα αυτά, να τεθεί ένα άλλο εύλογο ερώτημα: 'Eχουν άραγε ή όχι τα μαθηματικά κάποια σχέση και με την εσωτερική, την όχι άμεσα ορατή πλευρά της Ζωής γενικότερα, αλλά και της ατομικής μας ζωής ειδικότερα, τις σκέψεις, τα αισθήματά μας, που διαφεντεύουν τις εξωτερικές μας εκδηλώσεις, τις δράσεις μας; 'Eχουν σχέση με τη διαμόρφωση της προσωπικότητάς μας; Πρόκειται για ζητήματα που αξίζει να τα διερευνήσουμε έστω και σε μια αδρή προσέγγιση. </span></span></span></span><br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><strong> </strong></span><br />
<br />
<strong><span style="color: blue;"> ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟ ΣΥΓΧΡΟΝΟ ΚΟΣΜΟ.</span></strong><br />
<br />
<span style="color: black;"> <strong><em>Ζούμε σε ένα κόσμο που είναι περισσότερο μαθηματικός, περισσότερο ποσοτικός, από ποτέ.</em></strong> Για να λειτουργήσεις στον κόσμο σήμερα, πρέπει να έχεις ποσοτική αντίληψη, πολύ περισσότερο απ' ότι πριν από μερικά χρόνια. Να υπολογίσεις την υποθήκη σου, να κρίνεις τα στατιστικά νούμερα της κυβέρνησης, τέτοια πράγματα. Και τρίτον, αυτό που θα ονόμαζα λογική εκπαίδευση του μυαλού, λογική σκέψη. Με το πέρασμα των ετών εισάγαμε τόσα πολλά στην κοινωνία για να μπορούμε να επεξεργαστούμε και να σκεφτούμε λογικά. Είναι μέρος της ανθρώπινης κοινωνίας.Ας δούμε ένα παράδειγμα νεοποσοτικής αντίληψης της εποχής μας. Παλιότερα ρωτούσες : " Είναι μεθυσμένος;". Σήμερα η απάντηση δεν αφορά μια απλή κατάφαση ή άρνηση. Στην σύγχρονη εποχή η απάντηση περιέχει μια ποσοτική ανάλυση. <strong><em>Δεν μας ενδιαφέρει αν είναι μεθυσμένος αλλά πόσο μεθυσμένος</em></strong>. Μετράμε με τα αλκοτέστ την ποσότητα της αλκοόλης στο αίμα του και καθορίζουμε ανώτατα επιτρεπτά όρια συγκέντρωσης. Κάνουμε πλέον πραγματικές ερωτήσεις, όπως ποιό είναι το καλύτερο συμβόλαιο ασφάλειας ζωής; -- πραγματικές ερωτήσεις που αντιμετωπίζουν οι άνθρωποι στις καθημερινές τους ζωές. Και βλέπετε, δεν είναι κάποιο απλοποιημένο μοντέλο εδώ. Αυτό είναι ένα πραγματικό μοντέλο όπου μπορούμε να ζητήσουμε το βέλτιστο αποτέλεσμα. Πόσα χρόνια ασφάλειας χρειάζομαι; Τι γίνεται με αυτό στις πληρωμές και στον τόκο κλπ; </span><strong><span style="color: blue;"></span></strong><br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><span style="color: black; font-size: small;"> </span><span style="color: black; font-size: small;">Στον πραγματικό κόσμο τα μαθηματικά δεν χρησιμοποιούνται απαραιτήτως από μαθηματικούς. Χρησιμοποιούνται από γεωλόγους, μηχανικούς, βιολόγους, όλων των ειδών άνθρωποι - που χρησιμοποιούν μοντέλα και προσομοιώσεις. Στην πραγματικότητα είναι πολύ δημοφιλή. Αλλά στην εκπαίδευση τα πράγματα είναι διαφορετικά - απλουστευμένα προβλήματα, πολλοί υπολογισμοί - κυρίως με το χέρι.</span></span>Παλιότερα υπήρχε μόνο ένας τρόπος να κάνουμε υπολογισμούς: με το χέρι. Αλλά τις τελευταίες δεκαετίες αυτό άλλαξε ολοκληρωτικά. Είχαμε τη μεγαλύτερη μεταβολή από κάθε αρχαίο πεδίο που θα μπορούσα να φανταστώ ποτέ με τους υπολογιστές. Επομένως σκέφτομαι με όρους του γεγονότος ότι τα μαθηματικά απελευθερώθηκαν από τους υπολογισμούς. Αλλά η απελευθέρωση των μαθηματικών δεν πέρασε στην εκπαίδευση ακόμα. Βλέπετε, αντιμετωπίζω τους υπολογισμούς, κατά μια έννοια, ως τη μηχανή των μαθηματικών. Είναι η αγγαρεία. Είναι αυτό που θέλεις να αποφύγεις αν μπορείς, που θα 'θελες να κάνει μια μηχανή. Είναι το μέσο για ένα σκοπό, όχι αυτοσκοπός. Και η αυτοματοποίηση μας επιτρέπει να έχουμε αυτή τη μηχανή. Οι υπολογιστές μας επιτρέπουν να το κάνουμε αυτό. Και αυτό δεν είναι μικρό πράγμα. Υπολόγισα ότι μόνο σήμερα σε όλο τον κόσμο, ξοδέψαμε περίπου 106 ζωές μέσης διάρκειας διδάσκοντας ανθρώπους πώς να κάνουν υπολογισμούς με το χέρι. Αυτό πρέπει να αλλάξει. <em><strong>Μαθηματικά δεν μπορεί στο σήμερα να είναι η επιστήμη των υπολογισμών , αλλά η επιστήμη των ποσοτικών αναλύσεων , βέλτιστων λύσεων , μοντελοποίησης της πραγματικότητας και λογικής επεξεργασίας.</strong></em><br />
<br />
<strong><em> Conrad Wolfram, αδερφός του κατασκευαστή της ομώνυμης μηχανής αναζήτησης. </em></strong><br />
<strong><em>( με την ευγενική παρότρυνση του εξαίρετου συναδέλφου Γρηγοράκη Γιάννη ).</em></strong><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<div class="post-body entry-content" id="post-body-6062130814376153172" itemprop="description articleBody" style="position: relative; text-align: start; width: 568px;">
<dl><span style="background-color: #cfe2f3;">
<span style="font-family: "arial" , "tahoma" , "helvetica" , "freesans" , sans-serif; font-size: 14px; line-height: 1.5;"><div style="text-align: justify;">
<b><span style="color: blue;"><span style="line-height: 1.5;">ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ</span><span style="line-height: 1.5;"> </span></span></b></div>
</span><div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<span style="font-family: "arial" , "tahoma" , "helvetica" , "freesans" , sans-serif; font-size: 14px; line-height: 1.5;"><div style="text-align: justify;">
<span style="line-height: 1.5;"> Σ’ ένα διάσημο άρθρο , ο Wigner εκφράστηκε ως εξής: ΄΄Η τεράστια χρησιμότητα των μαθηματικών στις φυσικές επιστήμες είναι κάτι οριακό στο μυστήριο και … δεν υπάρχει σχετική εξήγηση γι’ αυτό .΄΄ ( Wigner , 1960:2) </span></div>
</span>
<span style="font-family: "arial" , "tahoma" , "helvetica" , "freesans" , sans-serif; font-size: 14px; line-height: 1.5;"><div style="text-align: justify;">
<span style="line-height: 1.5;"> Το ουσιώδες στοιχείο , η βαθύτατη στρατηγική των μαθηματικών , ενσωματώνει γνωστικούς μηχανισμούς , οι οποίοι έχουν εμπλακεί σαν άλλους βιολογικούς μηχανισμούς , με αντιπαράθεση στην πραγματικότητα τα οποία έχουν γίνει γενετικώς σταθερά στο δρόμο της εξέλιξης .Θα αναφερθώ σ’ αυτήν την ουσιώδη στρατηγική σαν την λογικο – λειτουργική συνιστώσα των μαθηματικών .</span></div>
</span>
<span style="font-family: "arial" , "tahoma" , "helvetica" , "freesans" , sans-serif; font-size: 14px; line-height: 1.5;"><div style="text-align: justify;">
<span style="line-height: 1.5;"> Ο Piaget καταλαβαίνει τα γνωστικά σχήματα τα οποία αφορούν ομαδοποιήσεις των φυσικών αντικειμένων , διευθέτησή τους σε σειρά , σύγκριση ομαδοποιήσεων κτλ. Αυτά τα βασικά προμαθηματικά σχήματα έχουν ένα γενετικό φάκελο αλλά είναι ώριμα από στάδια στην πνευματική ανάπτυξη της ατομικότητας .Αυτά είναι βασισμένα στα ισάξια γενετικά καθορισμένα λογικο – λειτουργικά σχήματα , μία έκφραση την οποία έχω προτείνει , καθώς αυτά τα σχήματα κινούνται στο μη ανθρώπινο επίπεδο .Τα λογικο – λειτουργικά σχήματα διευθετούν τη βάση των λογικών μας σκέψεων .Καθώς είναι θεμελιώδη ιδιότητα του νευρικού συστήματος στη λειτουργία μέσω επαναλαμβανόμενων βημάτων , κάθε υποθετική αναπαράσταση την οποία θεωρούμε , ασχολείται με την ίδια ΄΄λογική΄΄ χειρισμού σαν να ασχολούμαστε με καταστάσεις της πραγματικής ζωής .Ξεκινώντας με τα στοιχειώδη λογικο – μαθηματικά σχήματα , η ιεραρχία είναι πραγματικότητα . Κάτω απ’ την ώθηση κοινωνικοπολιτιστικών παραγόντων , μαθηματικές αρχές εισήχθησαν και κάθε νέα στρωμάτωση συγχωνεύεται με τις προηγούμενες στρωματώσεις .Στη δόμηση νέων στρωματώσεων , οι ίδιοι γνωστικοί μηχανισμοί ενεργούν με σεβασμό στις προηγούμενες στρωματώσεις όπως ενεργούν με σεβασμό σε μια περιβαλλοντολογική είσοδο .Αυτό ίσως εξηγεί γιατί οι ενεργοί μαθηματικοί προδιατίθενται στις πλατωνικές ψευδαισθήσεις .Η αίσθηση της πραγματικότητας που κάποιος βιώνει , ασχολείται με μαθηματικές αρχές απ’ το γεγονός ότι σε ‘όλες τις υποθετικές συζητήσεις το αντικείμενο της συζήτησής συμπεριφέρεται στο νευρικό σύστημα με γνωστικούς μηχανισμούς , το οποίο έχει εμπλακεί μέσω αλληλεπιδράσεων με την εξωτερική πραγματικότητα .</span><span style="line-height: 1.5;"> </span></div>
</span><div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<span style="font-family: "arial" , "tahoma" , "helvetica" , "freesans" , sans-serif; font-size: 14px; line-height: 1.5;"><div style="text-align: justify;">
<span style="line-height: 1.5;">Αθροίζοντας : τα μαθηματικά δεν αντανακλούν την πραγματικότητα .Αλλά οι γνωστικοί μηχανισμοί έχουν πάρει την άδεια να μιλούν μέσω συναλλαγής με τον κόσμο. Η εμπειρική συνιστώσα στα μαθηματικά δείχνει τον εαυτό της όχι σε θεματικό επίπεδο το οποίο είναι επιστημονικά αποφασισμένο , αλλά μέσω των λογικο– λειτουργικών και λογικο – μαθηματικών σχημάτων .Όπως τα δείγματα και οι οδηγίες στα μαθηματικά συμφωνούν , είναι αποσυντεθειμένες από τους λογικο – λειτουργικούς νευρικούς μηχανισμούς και τα περιληπτικά δείγματα και οδηγίες , αποκτούν την ιδιότητα των ενδεχόμενων γνωστικών σχημάτων , εισάγοντας περιληπτικές παγκόσμιες εικόνες .Τα μαθηματικά είναι μια ξεχωριστή πλούσια γνωστική πισίνα του ανθρώπινου είδους απ’ την οποία τα σχήματα μπορούν να ζωγραφιστούν εισάγοντας θεωρίες οι οποίες έχουν να κάνουν με φαινόμενα τα οποία κείτονται στην έκταση των καθημερινών εμπειριών και ακόμη για την οποία η συνήθης γλώσσα είναι ανεπαρκής .Τα μαθηματικά είναι δομημένα από γνωστικούς μηχανισμούς οι οποίοι έχουν αναπτυχθεί σε αντιπαράθεση με την εμπειρία , και με τη σειρά τους τα μαθηματικά είναι ένα εργαλείο για κατασκευαστικές κυριότητες της έμμεσης εμπειρίας .Αλλά τα μαθηματικά είναι κάτι παραπάνω από ένα εργαλείο .Τα μαθηματικά είναι μια συλλογική εργασία της τέχνης που αντλεί την αντικειμενικότητά της μέσω κοινωνικών αλληλεπιδράσεων .΄΄Ο μαθηματικός , όπως ένας ζωγράφος ή ένας ποιητής , είναι κατασκευαστής δειγμάτων΄΄, γράφει ο Hardy (1969:84). Η μεταφορά της ύφανσης έχει συχνά επικαλεστεί .Αλλά ο μαθηματικός είναι ένας υφαντής ενός πολύ καλού είδους .Όταν ο υφαντής φθάνει στον αργαλειό , έχει να βρει ένα ύφασμα ήδη , φτιαγμένο από γενιές προηγούμενων υφαντών όπου η έναρξή τους προσδιορίζεται πέρα από τους ορίζοντες .Ακόμη με το νήμα της δημιουργικής φαντασίας,υπαρκτά δείγματα είναι εκτεταμένα και μερικές φορές τροποποιημένα .Ο υφαντής ίσως μόνο προσθέσει ένα όμορφο μοτίβο ή να καλυτερεύσει την υφή , μερικές φορές ο υφαντής ίσως να νοιάζεται περισσότερο για τη πιθανή χρήση του ρούχου .Αλλά η ύφανση με το χέρι , για οποιοδήποτε μοτίβο μπορεί να φθάσει για τη σαίτα του αργαλειού , είναι το πολύ χαρισματικό όργανο το οποίο ξετυλίγεται σαν ένα άπληστο όργανο σφιγκτήρας και οι ενέργειές της έχουν περάσει το τεστ της προσαρμοστικής εξέλιξης .Στα μαθηματικά ο τεχνίτης και ο καλλιτέχνης είναι ενωμένοι μέσα σε μια μη ξεχωριστή ακεραιότητα και η ένωση η οποία αντανακλά τη μοναδικότητα του ανθρώπινου είδους όπως η ανθρώπινη φυλή (Homo artifex) .</span><span style="line-height: 1.5;"> </span></div>
</span><div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<span style="font-family: "arial" , "tahoma" , "helvetica" , "freesans" , sans-serif; font-size: 14px; line-height: 1.5;"><div style="text-align: justify;">
<b><span style="color: blue;"><span style="line-height: 1.5;">ΕΠΙΝΟΗΣΗ ΕΝΑΝΤΙΟΝ ΑΝΑΚΑΛΥΨΗΣ</span><span style="line-height: 1.5;"> </span></span></b></div>
</span><div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<span style="font-family: "arial" , "tahoma" , "helvetica" , "freesans" , sans-serif; font-size: 14px; line-height: 1.5;"><div style="text-align: justify;">
<span style="line-height: 1.5;">΄΄Αλλά πες μου΄΄, ρώτησε ο Σωκράτης στο διάλογο του Renyi , ΄΄ο μαθηματικός που βρήκε νέα αλήθεια , την επινόησε ή την ανακάλυψε ;΄΄ Όλοι ξέρουμε ότι ένας έξυπνος τρόπος για να ξεκινήσει μια φιλοσοφική συζήτηση μετά από ένα δείπνο είναι να υποβληθεί μια τέτοια ερώτηση .Ο κόσμος συμφωνεί ότι ακολουθώντας μια γενική χρήση της γλώσσας , ο Columbus δεν επινόησε την Αμερική , ούτε ο Beethoven ανακάλυψε την 9η συμφωνία .Αλλά όταν ένα νέο φάρμακο εμφανίζεται , μιλάμε γενικά για μια ανακάλυψη , αν και το συστατικό του φάρμακου δεν υπήρχε πουθενά πριν δημιουργήσει τη σύνθεσή του .Ο Hadamard , στην εισαγωγή του βιβλίου του Η ψυχολογία της επινόησης στο Μαθηματικό πεδίο , σχολιάζει ότι ΄΄υπάρχουν πολλά παραδείγματα από επιστημονικά αποτελέσματα τα οποία όσο ανακαλύψεις είναι , άλλο τόσο είναι και επινοήσεις΄΄, αν και προτιμά να μην επιμένει στη διάκριση μεταξύ επινόησης και ανακάλυψης (1945:xi) .Αλλά υπάρχουν ακόμη φιλόσοφοι των μαθηματικών που υποστηρίζουν τη βασική διάκριση ανάμεσα στην ανακάλυψη και την επινόηση .Διαισθητικά , οι μαθηματικές προτάσεις είναι πνευματικές κατασκευές και επομένως δεν μπορούσαν να προκύψουν από μια ανακάλυψη .Ο νεοπλατωνιστής , απ’ την άλλη μεριά , πιστεύει ΄΄ότι η μαθηματική πραγματικότητα βρίσκεται έξω από μας , όπου η λειτουργία μας είναι να την ανακαλύψουμε ή να την παρατηρήσουμε προσεχτικά΄΄, όπως το έθεσε ο Hardy (1969:123). Η τυπικότητα , αν και για διαφορετικούς λόγους , συμφωνούσε με τη διαισθητική και θεωρούσε ότι τα μαθηματικά επινοημένα .Προφανώς , ούτε ο λογικισμός , ούτε η τυπολατρία υποστηρίζουν τη διχοτόμηση της ανακάλυψης – επινόησης .Είναι η διαμάχη της επινόησης εναντίον της ανακάλυψης ένα ανώφελο θέμα ή μπορεί κάποιος να χρησιμοποιήσει τη κοινή λογική στη διάκριση των δύο όρων , για να διευκρινίσει τη ξεχωριστή σημασία των δύο για την ανάπτυξη της μαθηματικής γνώσης ; Ας εξετάσουμε το θέμα μ’ ένα τυπικό παράδειγμα .Προτείνω να αποδείξουμε ότι :</span><span style="line-height: 1.5;"> </span></div>
</span><div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<span style="font-family: "arial" , "tahoma" , "helvetica" , "freesans" , sans-serif; font-size: 14px; line-height: 1.5;"><div style="text-align: justify;">
<span style="line-height: 1.5;">η αρχή του ‘πρώτου αριθμού’ είναι μια επινόηση</span><span style="line-height: 1.5;"> </span></div>
</span><span style="font-family: "arial" , "tahoma" , "helvetica" , "freesans" , sans-serif; font-size: 14px; line-height: 1.5;"><div style="text-align: justify;">
<span style="line-height: 1.5;">το θεώρημα ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί είναι μια ανακάλυψη</span><span style="line-height: 1.5;"> </span></div>
</span><span style="font-family: "arial" , "tahoma" , "helvetica" , "freesans" , sans-serif; font-size: 14px; line-height: 1.5;"><div style="text-align: justify;">
<span style="line-height: 1.5;">(Σημ.:διατύπωση του Euclid , βιβλίο 9 , πρόταση 20 , λέει :΄΄Οι πρώτοι αριθμοί είναι περισσότεροι από οποιοδήποτε μεγάλο αριθμό από ορισμένους πρώτους αριθμούς .΄΄)</span><span style="line-height: 1.5;"> </span></div>
</span><div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<span style="font-family: "arial" , "tahoma" , "helvetica" , "freesans" , sans-serif; font-size: 14px; line-height: 1.5;"><div style="text-align: justify;">
<span style="line-height: 1.5;">Γιατί θα έπρεπε η αρχή του πρώτου αριθμού να θεωρούνταν επινόηση , ένα απολύτως δημιουργικό βήμα το οποίο δεν χρειάστηκε να αποδειχθεί , ενώ αντιθέτως εμφανίζεται μια εξέταση των αναλυμένων ιδιοτήτων των φυσικών αριθμών να οδηγεί κατευθείαν στην ανακάλυψη ότι μερικοί αριθμοί είναι σύνθετοι και άλλοι όχι , και αυτό μοιάζει με μια απλή πεζή θεωρία ; Δεν ήταν οι πρώτοι αριθμοί ήδη εκεί , σαν μέλος της ακολουθίας των φυσικών αριθμών , πριν τους παρατηρήσουν κάποιοι ; Τώρα τα πράγματα δεν είναι τόσο απλά .Πρώτ’ απ’ όλα , οι αριθμήσιμοι αριθμοί , σαν ταξινομημένη διάταξη , δεν έκαναν μια ξαφνική εμφάνιση σαν μια αόριστα εκτεταμένη ακολουθία .Μερικοί πολιτισμοί ποτέ δεν πήγαν πέρα από τους επινοημένους αριθμούς δηλαδή τους αρχικούς ακέραιους αριθμούς .Υπάρχουν ακόμη γλώσσες φτωχές σε καθαρά αριθμητικές λέξεις .Αλλά ακόμη και σε πολιτισμούς με υψηλή ανάπτυξη στην αριθμητική , όπως στην αρχαιότητα η Βαβυλωνία , η Αίγυπτος ή η Κίνα , η αρχή των πρώτων αριθμών ήταν ανύπαρκτη .Ο Μο (1982) έδειξε πως οι μαθηματικοί στην αρχαία Κίνα , αν και δεν ήξεραν την αρχή των πρώτων αριθμών , έλυναν προβλήματα απλοποίησης κλασμάτων σε χαμηλότερους βαθμούς , πρόσθεσης κλασμάτων και έβρισκαν Πυθαγόρεια τρίγωνα .Μπορούσε μετριοπαθώς να είπε ότι οι Κινέζοι μόλις έχασαν την ανακάλυψη των πρώτων αριθμών και έτσι έκαναν τους Βαβυλώνες και τους Αιγυπτίους , παρά την υψηλή ανάπτυξη της μαθηματικής κουλτούρας τους να επεκταθούν για χιλιάδες χρόνια ; Δεν το νομίζω. Ανακεφαλαιώνοντας φαίνεται σε μας ότι υπήρχαν μάλλον μερικές απαιτήσεις στις οποίες η αρχή των πρώτων αριθμών σκοντάφτει πάνω σ’ αυτές .Αλλά αυτό είναι μια παραπλανητική εντύπωση .Η εξέλιξη , βιολογική ή πολιτιστική, είναι καιροσκοπική. Πολλά από τα μοντέρνα μαθηματικά θα ήταν ακόμα άγνωστα , αν η αρχή των πρώτων αριθμών ήταν άγνωστη , αν και η θεωρία των αριθμών άρα και το τμήμα της θεωρητικής άλγεβρας θα ήταν διαφορετικά .Υπάρχουν υποσύνολα του ΙΝ από τα οποία μόνο μπορεί να είναι ορισμένα από γλωσσικές έννοιες .Δεν ανακαλύψαμε ούτε επινοήσαμε καθένα απ’ αυτά τα υποσύνολα ξεχωριστά. Αλλά όταν το επινοητικό βήμα συμπεριέλαβε τη διατύπωση της αρχής των πρώτων αριθμών , ένα απ’ αυτά τα υποσύνολα του ΙΝ ξεχώρισε (αυτό είναι το λεγόμενο , εκτελώ χρέη μοντέλου, στη μοντέρνα ορολογία) .Μερικοί ιστορικοί των μαθηματικών αποδίδουν στους Πυθαγόρειους κάποια θεωρήματα με σχέση τους πρώτους αριθμούς, αλλά αυτό πιο πολύ μοιάζει με το ότι η αρχή των πρώτων αριθμών είναι πιο πρόσφατου χρόνου .Είναι κατανοητό ότι υπάρχει μια σύνδεση ανάμεσα στους κοσμολογικούς στοχασμούς για την ακριβή σύσταση του θέματος από τους Έλληνες ατομιστές και σκέφτοντας για τα αριθμητικά άτομα , αυτό είναι , οι πρώτοι αριθμοί. Ένα πράγμα είναι βέβαιο : η επινόηση της μαθηματικής σκέψης είναι συνδεδεμένη με το πολιτισμό .Όπως ο White (1956) επικύρωσε κόντρα στο Πλατωνιστικό δόγμα το ΄΄ο τόπος της μαθηματικής πραγματικότητας είναι πολιτιστική παράδοση΄΄ .Η εξέλιξη των μαθηματικών σκέψεων γίνεται αντιληπτή μόνο στο κατάλληλο κοινονικοπολιτιστικό περιβάλλον .</span><span style="line-height: 1.5;"> </span></div>
</span><div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<span style="font-family: "arial" , "tahoma" , "helvetica" , "freesans" , sans-serif; font-size: 14px; line-height: 1.5;"><div style="text-align: justify;">
<span style="line-height: 1.5;">Ας παρατηρήσουμε ότι οι αρχές μπορεί να οριστούν ρητά , όπως στη περίπτωση των πρώτων αριθμών , ή αναμφίβολα από ένα σύστημα αξιωμάτων , σαν μια αρχή μιας ομάδας .Και στις δύο περιπτώσεις είναι μια επινοητική πράξη .Τα θεωρήματα , απ’ την άλλη μεριά , έχουν περισσότερο το χαρακτήρα της ανακάλυψης, με τη λογική ότι ένας ανακαλύπτει ένα δρόμο συνδέοντας διαφορετικές τοποθεσίες. Μόλις κάποιες αρχές εμφανίστηκαν και έτσι άξιες αναφοράς , είναι ήδη εκεί , είναι θέμα ανακάλυψης η σύνδεσή τους και αυτό είναι η λειτουργία των αποδείξεων. Πίσω στο θεώρημα ότι κανένα πεπερασμένο σύνολο πρώτων αριθμών μπορεί να περιέχει όλους τους πρώτους , έχει το χαρακτήρα της ανακάλυψης όταν ένας αποδεικνύει έναν ταξιδιωτικό χάρτη (Goodstein , 1970) συνδέοντας ΄΄ το σύνολο των πρώτων ΄΄ και ΄΄τον αριθμό στοιχείου΄΄ ώστε να φτιάξει ένα μονοπάτι για το συμπέρασμα .Ένα προτεινόμενο μονοπάτι ίσως είναι ίσως δεν είναι έγκυρο , ωραίο ή ενδιαφέρων .Αλλά για να πούμε ότι μια απόδειξη ΄΄αληθεύει΄΄ , μεταφορικά είναι όταν κάποιος απαιτεί να βρει ένα ΄΄αληθινό΄΄ μονοπάτι. Φαίνεται ότι είναι το καλύτερο να απαλλαγούμε εντελώς με την ιδέα της μαθηματικής αλήθειας .(Αυτό δεν έχει σχέση με την τεχνική μαθηματική ιδέα της ΄΄αλήθειας΄΄ με την έννοια του Tarski) .Σπουδαία είναι , επίσης η απαρχαιωμένη Αριστοτελική αρχή των ΄΄αληθινών αξιωμάτων΄΄ .(Σκέψου τις Ευκλείδειες και τις όχι – Ευκλείδειες γεωμετρίες). Μια τέτοια ΄΄όχι – αλήθεια΄΄ άποψη επίσης λύνει την ατέλειωτη παλινδρόμηση , ανακατεμένη με το φανερό ξεχείλισμα αλήθειας από τα αξιώματα στα θεωρήματα , τα οποία ο Lakatos (1962) προσπάθησε πολύ να εξαλείψει από μια αστήρικτη επιστροφή στον εμπειρικισμό .Η δημιουργική δουλειά των μαθηματικών αποτελείται από επινοημένες αρχές και αναπτυσσόμενες μεθόδους , επιτρέποντας το σχεδιασμό μονοπατιών ανάμεσα στις αρχές .Αυτό είναι πως τα μαθηματικά αυξάνουν την ανταπόκριση στα εσωτερικά και εξωτερικά προβλήματα και καταλήγουν σ’ ένα οικοδόμημα το οποίο είναι όμορφο και χρήσιμο ταυτόχρονα .</span></div>
</span></span></dl>
</div>
<br />
Αναρτήθηκε από <a href="https://plus.google.com/101534384177936306954">Παναγιώτη Βήχο</a>.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;">Η εμπειρική φιλοσοφία των μαθηματικών.</span></b><br />
Είναι χρήσιμο να αναγνωρίσουμε τους φιλοσόφους των μαθηματικών που βλέπουν τα μαθηματικά σαν μια εμπειρική επιστήμη, ή, όπως γενικότερα θα έλεγα, μια “κουλτούρα”. Ο L.O.Katsoff, π.χ., βλέπει με καλό μάτι την παρατήρηση του Gronseth ότι η λογική είναι η φυσική των αντικειμένων per se. Αυτή η παρατήρηση μπορεί να εφαρμοστεί και στα τυπικά αλλά και στα καθαρά μαθηματικά, ίσως -αν αυτές οι διακρίσεις έχουν ακόμα νόημα. Σύμφωνα με τον Katsoff, ο οποίος επηρεάστηκε από τον Husserl: “Τα μαθηματικά δεν είναι απλώς ένας όμιλος συμβόλων, αλλά μια ανθρώπινη κατασκευή η οποία έχει θέση στην κοινωνία και η οποία έχει σχέση με εμπειρικά γεγονότα. Γι’ αυτό έχει συντακτικά, ψυχολογικά και επιστημονικά επίπεδα έρευνας” (Katsoff, 1948:253). <br />
Ένα αρκετά παλιό παράδειγμα μαθηματικής εργασίας που να εμφανίζει αναλογίες με την εργασία γενικά, μας δίνει ο de Morgan. Ασχολήθηκε με τη “μαθηματικοποίηση των μαθηματικών”, σαν κάτι αντίστοιχο της επαγγελματοποίησης. Ο Augustus de Morgan ήταν ένας “δορυφόρος” για την Αναλυτική Κοινωνία. Αφιέρωσε τον εαυτό του αντιλαμβανόμενος τη μαθηματική εργασία σαν ένα επάγγελμα. Την ίδια στιγμή, τόνισε τη σημασία ενός συγκεκριμένου μαθηματικού συμβολισμού ως κάτι το οποίο θα προσέφερε καινούργια αποτελέσματα. <br />
Σύμφωνα με τον Mannoury, τα μαθηματικά είναι “ένα φαινόμενο της ζωής” (Lebenenserscheinung). Eξετάζει τα μαθηματικά από τη σκοπιά της “σημαντικής”, δηλαδή “της θεωρίας των πνευματικών σχέσεων που υπάρχουν πίσω από τις ανθρώπινες, προφορικές πράξεις, αλλά ειδικότερα της θεωρίας των επιστημών της γλώσσας, με τη στενότερη έννοια (σημειολογία, ετυμολογία, γλωσσολογία και φιλολογία)” (Katsoff,1948:197). Τα μαθηματικά αποτελούνται από δύο μέρη: τις λέξεις και τα σύμβολα μέσα από τα οποία εκδηλώνονται (τυπικά μαθηματικά) και το “σύστημα των πνευματικών σχέσεων” στο οποίο τα τυπικά μαθηματικά είναι βασισμένα. Σύμφωνα με τον Μannoury: <br />
Μια μαθηματική φόρμουλα, εκτός από απλούς διδακτικούς σκοπούς, εκφράζεται ή καταγράφεται μόνο όταν πρόκειται να εφαρμοστεί σε κάποιο εμπειρικό δεδομένο. Ο σκοπός αυτής της εφαρμογής δεν αποφασίζεται από τη φόρμουλα αλλά από τη σχέση του ατόμου που μιλάει στο αντικείμενο των υπολογισμών του. Η φόρμουλα, ή γενικότερα, τα λιγότερο ή περισσότερο “καθαρά” μαθηματικά, είναι μόνο ο τύπος της εμφάνισης της μετάβασης από το σκοπό στο μέσο (Katsoff,1948:199). <br />
Έπειτα ο Mannoury εξετάζει τη φύση των φυσικών νόμων και των μαθηματικών δηλώσεων από μια “ψυχολογίστικη” σκοπιά. Εδώ, όπως και σε άλλες περιπτώσεις όπου τα ανθρώπινα θεμέλια της επιστήμης ή των μαθηματικών αναγνωρίζονται, η “ψυχολογία” άμεσα αναγνωρίζεται σαν αυτή που εισάγει μια ευρύτερη κοινωνική και πολιτισμική σκοπιά. Υποστηρίζει ότι οι φυσικοί νόμοι δεν μπορούν να έχουν κανένα αντικειμενικό περιεχόμενο υπό καμιά αυστηρή έννοια, δηλαδή ένα περιεχόμενο ανεξάρτητο της ανθρώπινης ζωής. Είναι, τελικά, ψυχολογικοί νόμοι (βάζοντας σε αγκύλες το πρόβλημα των “νόμων”, θα υποστήριζα τον όρο “κοινωνιολογικός” εδώ). Αυτοί οι νόμοι είναι: μόνο και μόνο εκφράσεις για κανονικότητες οι οποίες από τη μια φανερώνονται από τις σχέσεις μεταξύ ενθυμούμενης προσδοκίας και εμπειρίας και από την άλλη, για ανταποκρινόμενες κανονικότητες στις σχέσεις μεταξύ εμπειρίας και προσδοκίας (συναισθηματικό- βουλητικό νόημα του φυσικού νόμου) (Katsoff,1948:200). <br />
Τώρα, ο Mannoury υποστηρίζει ότι υπάρχει μια διάκριση ανάμεσα στην τυπική μαθηματική και την τυπική φυσική γλωσσική ή προφορική πράξη: <br />
Η πνευματική εργασία ακόμα και των πιο απομονωμένων μαθηματικών αποτελείται από γλωσσικές πράξεις. Ως εκ τούτου, μπορεί και πρέπει να εξετασθεί στα ενδεικτικά και συναισθηματικής φύσης στοιχεία της. Είναι προφανές ότι ακόμα και αυτός ο τύπος πνευματικής εργασίας διαμορφώνεται από τις μνημιακές και προσδοκώμενες σχέσεις του, όπως και κάθε άλλος τύπος. Μόνο που εδώ το “εμπειρικό περιεχόμενο” μιας μαθηματικής απόδειξης ή ενός θεωρήματος συνίσταται στη γνώση που είναι προσφιλής και στο συγγραφέα και στον αναγνώστη (Katsoff,1948:202). <br />
Αλλά κατ’ αρχάς έχουμε να κάνουμε με δυο αρένες αναπαραγωγής “εμπειρικού περιεχομένου”, και όχι δυο εκ βάθρων διαφορετικές προφορικές πράξεις. Πράγματι, ακόμα και όταν ο Mannoury προσπαθεί να υπερασπιστεί τη διάκριση ανάμεσα στους φυσικούς και τους μαθηματικούς νόμους, συμπεραίνει ότι “οι φυσικές και προφορικές κανονικότητες επηρεάζουν η μία την άλλη”. Οπότε το 1+1=2 και ο “φυσικός νόμος” της επιμονής είναι άρρηκτα δεμένοι μεταξύ τους” (Katsoff,1948:204). Υπάρχουν και άλλες αναντιστοιχίες στον Mannoury, ή στην ερμηνεία που δίνει ο Katsoff για τον Mannoury. Για παράδειγμα, σύμφωνα με τον Katsoff, o Mannoury “επιβεβαιώνει ότι μπορούμε να μιλάμε φορμαλιστική -τυπική μαθηματική γλώσσα όταν η γλωσσική αντίδραση του ακροατή στην προφορική πράξη του ομιλητή είναι, όσο το δυνατόν, ανεξάρτητη από τα πρόσωπα και από τα φαινόμενα που τη συνοδεύουν” (Katsoff,1948:205). <br />
Αλλά αυτό δεν φαίνεται να είναι σύμφωνο με τις περιληπτικές παρατηρήσεις του Katsoff (1948:206) στις οποίες ο Mannoury φέρεται να ισχυρίζεται ότι “τα μαθηματικά είναι συγγενικά με τις γλωσσικές πράξεις και τις προφορικές μορφές”, ότι η ανάπτυξή τους είναι “σχετική με την ανάπτυξη της ανθρώπινης γλώσσας και σκέψης” και ότι “δεν μπορούν να είναι ανεξάρτητα των ανθρώπων και των επιδιώξεών τους”. Ίσως οι αναντιστοιχίες αντανακλούν την ψυχολογική σκοπιά του Mannoury, ένα προχώρημα για τις καθαρές απόψεις, αλλά και μια απορριπτέα κοινωνιολογική προσέγγιση. Πρέπει, επίσης, να σημειωθεί ότι για τον Mannoury, “η αποφασιστική προς χρήση μέθοδος για να θεωρήσουμε τα θεμέλια των μαθηματικών είναι η εμπειρική και η ψυχολογική μέθοδος. Οπότε η συγκεκριμένη ή ψυχογλωσσική έρευνα πρέπει να επιφέρει αξιωματικές έρευνες” (Katsoff,1948:206). Αυτή η θεώρηση της “σειράς αναλύσεων” είναι ακόμα ένα πιθανό στοιχείο για τις αναντιστοιχίες στην προσέγγιση του Mannoury. <br />
Δεδομένων όσων είπαμε πρωτύτερα στο κεφάλαιο αυτό, μπορούμε να δούμε γιατί δεν είναι μια απλή υπόθεση το να υποστηρίξουμε (όπως κάνει ο Κörner [1926:174]) ότι οι βάσεις για τα “εδώ υπάρχει ένα κομμάτι χαλκού” και “εδώ υπάρχει ένα Ευκλείδειο σημείο” είναι “αρκετά διαφορετικά”. Πράγματι, αυτό είναι ένα παράδειγμα αυτού που αλλού ονομάζω “η πλάνη της ασύμμετρης αναλογίας”. Απ’ την άλλη μεριά, η δήλωση του χαλκού έχει τις ρίζες της σε μια πρωτόγονη σχέση με κάποιο αντικείμενο του φυσικού κόσμου του Κörner. Αυτό αγνοεί την ιστορική ανάπτυξη της σύλληψης του χαλκού και τη σπανιότητα της αφηρημένης ιδέας “χαλκός” στην π.χ. μεταλλουργία. Από την άλλη, η σύλληψη ενός Ευκλείδειου σημείου είναι το τρέχον αποκορύφωμα μιας αφηρημένης διαδικασίας η οποία ξεκινά με δηλώσεις στο επίπεδο του Πρώτου Κόσμου της δήλωσης του χαλκού. <br />
<br />
Αναρτήθηκε από <a href="https://plus.google.com/101534384177936306954">Παναγιώτη Βήχο</a>.<br />
<br />
<br />
<br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;">Τα αφηρημένα μαθηματικά.</span></b><br />
<br />
Νωρίτερα, ανέφερα την αποκρυσταλλοποίηση των αφηρημένων Μαθηματικών στα πανεπιστήμια και τις ακαδημίες της κεντρικής Ευρώπης. Θέλω τώρα να εξετάσω τις ιδέες και την συμβολή μερικών από τους κυριότερους συνεισφέροντες στα σύγχρονα αφηρημένα Μαθηματικά κατά τη διάρκεια της περιόδου της αποκρυσταλλοποίησής τους. Οι αρχές της σύγχρονης μετάβασης από τα Μαθηματικά της επιβίωσης στα αφηρημένα Μαθηματικά μπορούν ήδη να φανούν γραφικά στις μαθηματικές εργασίες του Isaac Newton.Στις προτάσεις 35-41 του βιβλίου Principia βρίσκουμε διαγράμματα στα οποία η αριστερή πλευρά αντιπροσωπεύει την φυσική περιγραφή μιας πραγματικής πλανητικής τροχιάς, ενώ η δεξιά πλευρά αντιπροσωπεύει τα αποτελέσματα μαθηματικών χειρισμών και συλλογισμών. Αυτού του είδους τα διαγράμματα (τα οποία μου επισημάνθηκαν από τον Michael Mahoney του πανεπιστημίου του Princeton) βρίσκονται μεταξύ της κλασσικής γεωμετρικής αναπαράστασης της φυσικής πραγματικότητας και τα χωρίς διαγράμματα έργα του Lagrange.Η αναλυτική επέκταση του Varignon στα Νευτώνια μαθηματικά άνοιξε το δρόμο για την αναλυτική λεπτολογία των Euler και Lagrange. <br />
Ο Gauss επίσης προχώρησε πιο πέρα από τα Μαθηματικά της επιβίωσης. Αλλά ποτέ δεν πέρασε ολοκληρωτικά το κατώφλι των αφηρημένων Μαθηματικών. Ο μαθηματικός που του άρεσε να θεωρεί τον εαυτό του ως ταυτόχρονα “τον πιο εκλεπτυσμένο γεωμέτρη” και “τον πιο αγνό αστρονόμο” εργάστηκε μεταξύ των “μαγνητικών πόλων” των αφηρημένων Μαθηματικών και της Αστρονομίας (Dunnington, 1955:113). <br />
Ο Νewton και ο Gauss εργάστηκαν στην διαχωριστική γραμμή. Η σύγκρουση μεταξύ αφηρημένων και εφαρμοσμένων Μαθηματικών στη σύγχρονη μορφή ξεκινά από την δεκαετία του 1860.Ο δέκατος έβδομος αιώνας γίνεται μάρτυρας της αρχής του τέλους των ερασιτεχνικών Μαθηματικών. Την εποχή αυτή τέθηκε εντονότατα το ζήτημα αν τα Μαθηματικά θα ανταποκρίνονται αποκλειστικά και μόνο στα προβλήματα της καθημερινής ζωής ή θα αποκτήσουν μια γενικότερη και πιο αφηρημένη έννοια. Ίσως το γεγονός ότι η σύγκρουση ανάμεσα στα αφηρημένα και τα εφαρμοσμένα Μαθηματικά παρουσιάστηκε αυτήν ακριβώς τη χρονική στιγμή έχει τις ρίζες του στην Βιομηχανική Επανάσταση και τις βαθύτατες αλλαγές που αυτή έφερε σε κοινωνιολογικό και επιστημονικό επίπεδο. Μεταξύ 1485 και 1715 ο ρόλος του πρακτικού μαθηματικού, προάγγελος του επαγγελματία μαθηματικού, σταθεροποιήθηκε (Taylor, 1954). <br />
Η δουλειά του Newton βοήθησε στη σφυρηλάτηση μιας νέας στάσης σχετικά με τη σημασία των Μαθηματικών και την ανάγκη της προβολής της ως ένα δημιουργικό πεδίο μελέτης. Η διδασκαλία, όπως έχουμε δει στη θεωρία και στην πράξη, διαδραματίζει ένα σημαντικό ρόλο στη γέννηση των αφηρημένων, επαγγελματικοποιημένων Μαθηματικών. Μεταξύ του 1695 και του 1714 στην Αγγλία, η πρακτική γεωμετρία και η Αστρονομία εισήχθησαν ως κανονικά μέρη του σχολικού προγράμματος. Η είσοδος των Μαθηματικών στο σχολικό πρόγραμμα τα έφερε σε επαφή με πλατύτερα κοινωνικά στρώματα, τα οποία ενδιαφέρθηκαν για τη μελέτη τους και την σε βάθος κατανόησή τους. Δημιουργήθηκε έτσι η ανάγκη για την ύπαρξη επαγγελματιών μαθηματικών που θα μετέδιδαν τις μαθηματικές γνώσεις σε αυτά τα στρώματα και θα προωθούσαν την περαιτέρω καλλιέργειά τους. Χοντρικά, αυτή ήταν μια περίοδος κατά την οποία οι δάσκαλοι εργάζονταν κάτω από συνθήκες συγκρινόμενες με αυτές στις οποίες δούλευαν οι Αρχαίοι Βαβυλώνιοι γραφείς. Στους μαθητές δίνονταν προβλήματα πάνω στη ναυτιλία, τις οχυρώσεις κλπ. (εφαρμοσμένα Μαθηματικά στη μορφή), αλλά τα προβλήματα ήταν τελείως ξεκομμένα από την “πραγματικότητα” και από την πρακτική εφαρμογή (αφηρημένα Μαθηματικά στην ουσία). <br />
Ο Boole είναι ένας από τους πρώτους μαθηματικούς που αντιμετώπισε τις μαθηματικές πράξεις ως οντότητες. Στα 1844, ο Boole επιχειρηματολογούσε ότι τα Μαθηματικά είναι στην ουσία η μελέτη της μορφής και της δομής και ότι τα “αφηρημένα Μαθηματικά” ασχολούνται με τους νόμους των συνδυασμών συμβόλων ή “τελεστών” (με την ευρεία έννοια). Αναπόφευκτα, ο Boole οδηγήθηκε να ερευνήσει για “νόμους της σκέψης” που ήταν ανεξάρτητοι από τον καθημερινό αισθητήριο κόσμο. Ο Frege επίσης έψαξε να “αποκλείσει με σιγουριά όλα όσα προήλθαν από άλλες πηγές γνώσης (διαίσθηση, αισθητική εμπειρία)” και αυτό τον οδήγησε στο να προσπαθήσει να βασίσει την αριθμητική μόνο στη λογική. Μέχρι τότε τα Μαθηματικά στηρίζονταν σε μεγάλο βαθμό στη διαίσθηση και την παρατήρηση. Την εποχή εκείνη όμως έγινε μια προσπάθεια για τη θεμελίωση των Μαθηματικών σε λιγότερο εμπειρικές και πιο θεωρητικές βάσεις. Αυτός ισχυρίστηκε ότι ο συλλογισμός προϋποθέτει σκέψεις κατανόησης που ήταν ήδη αντικειμενικά παρούσες. <br />
Πολλοί μαθηματικοί ενδιαφέρονται για τη γλώσσα. Αλλά οι μεγάλοι συνεισφέροντες στην ακραία κάθαρση των Μαθηματικών και της Λογικής δείχνουν ένα εξίσου ακραίο και πρώιμο ενδιαφέρον και ικανότητα στο χειρισμό της γλώσσας. Ο πατέρας αυτής της πλευράς της μαθηματικής εργασίας είναι ο Leibniz, του οποίου το πρόγραμμα για μια παγκόσμια γλώσσα αποτελεί την έμπνευση για τους περισσότερους, αν όχι για όλους τους μεγάλους εξαγνιστές. Ο άλλος τους μεγάλος ήρωας είναι φυσικά ο Αριστοτέλης, εξ αιτίας της συνεισφοράς του στη Λογική. Οι Boole και Hamilton για παράδειγμα, ήταν εξαιρετικοί γνώστες των γλωσσών και του κλασικισμού. Ίσως είναι αυτή η πρώιμη έκθεση στους κλασσικούς και στις γλώσσες που προδιαθέτει κάποιον να ασχοληθεί με τα Μαθηματικά με έναν άκρως δομημένο και πολύ αφαιρετικό τρόπο. Άνθρωποι όπως οι Boole και Hamilton μπορούν να μάθουν τα Μαθηματικά σαν μια γλώσσα με την οποία μπορείς να παίξεις με τον ίδιο τρόπο με τον οποίο παίζεις μαζί της στην ποίηση. Και πράγματι, ένα ενδιαφέρον για την ποίηση, αν όχι μια ικανότητα για διάκριση σ’ αυτή, δεν είναι καθόλου ασυνήθιστο μεταξύ αυτών των ανθρώπων. Θέλω να τονίσω ότι αυτές οι ικανότητες και οι προδιαθέσεις είναι λειτουργίες που ενισχύονται από την κοινωνική θέση. <br />
Ο Boole και ο Hamilton βλέπουν τα αφηρημένα Μαθηματικά ως μια καθαρά διανοητική διαδικασία, περιορισμένη αποκλειστικά στην αιτία. Ας δούμε αυτή την άποψη και ας εξετάσουμε πώς μπορούμε εμείς να εξηγήσουμε κοινωνιολογικά την ατομική εμπειρία της αφαίρεσης. Έπειτα θα δείξω πώς αυτή η εμπειρία μεταφράζεται σε μια πολιτική αφηρημένων Μαθηματικών στο κοινωνικό επίπεδο της ανάλυσης. <br />
Όπως οι Boole και Hamilton στα πρώτα στάδια της ανάπτυξης των Μαθηματικών ως επάγγελμα, αργότερα ο Poincare εξέφρασε τις απόψεις για μια ταχέως επαγγελματικοποιημένη μαθηματική κοινότητα, όσον αφορά τη μαθηματική δραστηριότητα. Για τον Poincare τα Μαθηματικά είναι μια δραστηριότητα του μυαλού, η οποία παίρνει τα λιγότερα από τον έξω κόσμο από κάθε άλλη ανθρώπινη δραστηριότητα. Παρόλα αυτά, δεν θα έπρεπε να ξεχνάμε ότι τα Μαθηματικά, όπως και όλες οι θετικές επιστήμες, ξεκίνησαν από την ανάγκη ερμηνείας, κατανόησης και επίλυσης των καθημερινών πρακτικών προβλημάτων. Η σκέψη σε αυτή την περίπτωση “λειτουργεί ή φαίνεται να λειτουργεί από μόνη της και μόνο για αυτή…”. Εισηγείται λοιπόν ότι “μελετώντας τη διαδικασία της γεωμετρικής σκέψης μπορούμε να ελπίζουμε ότι θα φτάσουμε το πιο ουσιώδες της ανθρώπινης σκέψης”. <br />
<br />
<br />
<br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;">Ο λογικός θετικισμός.</span></b><br />
<br />
<br />
<span style="color: blue;"><b>1. Εισαγωγή</b></span><br />
<br />
Ο Θετικισμός κυριάρχησε στην πνευματική ζωή του 19ου αιώνα και προσδιόρισε τη φυσιογνωμία της επιστήμης αυτής της περιόδου. Σύμφωνα με τη βασική του παραδοχή, η επιστημονική γνώση έχει τη βάση της στα άμεσα παρατηριασιακά δεδομένα. Η ερμηνεία της πραγματικότητας ακολουθεί πορεία από το μερικό στο γενικό και όχι αντίστροφα.<br />
Ο θετικισμός μετασχηματίστηκε στη συνέχεια (μετά τον Α΄ Παγκόσμιο Πόλεμο) σε λογικό θετικισμό, δηλαδή σε μια λογική εκδοχή του εμπειρισμού. Στο πλαίσιο της νέας αυτής θεώρησης, σημασία δεν έχει μόνο αν μια θεωρητική πρόταση μπορεί να αποδειχθεί πειραματικά κατά πόσο είναι αληθής ή όχι, αλλά αν η πρόταση αυτή έχει νόημα. Μια θεωρητική πρόταση έχει τότε μόνο νόημα, αν οι ισχυρισμοί της είναι λογικοί και, προπάντων, αν γνωρίζουμε πώς να την επαληθεύσουμε με τα αισθητηριακά δεδομένα που διαθέτουμε.<br />
Σύμφωνα με τους λογικούς θετικιστές, η γνώση δομείται με τη γλώσσα και για το λόγο αυτό, ανάλυση της γνώσης σημαίνει πρωτίστως ανάλυση της γλώσσας. Η θέση αυτή οδήγησε στη λεγόμενη γλωσσική στροφή στη φιλοσοφία και την εδραίωση του κλάδου που είναι γνωστός ως αναλυτική φιλοσοφία.</div>
<div style="text-align: justify;">
Λίγο πριν, αλλά και μετά τον Β΄ Παγκόσμιο Πόλεμο μια σειρά από νέες θεωρητικές διατυπώσεις στη φυσική επιστήμη προκάλεσαν σημαντική ρωγμή στα θεμέλια του λογικού θετικισμού. Η επαγωγική μέθοδος ως μεθοδολογικό εργαλείο ερμηνείας της πραγματικότητας και συγκρότησης της γνώσης αμφισβητήθηκε και η επιστημονικότητα μιας θεωρίας άρχισε να αποσυνδέεται από την εμπειρική επαλήθευσή της. Το ενδιαφέρον μετατοπίσθηκε από την επιβεβαίωση της αλήθειας στην ανακάλυψη "ριζικά νέας και πιο ενδιαφέρουσας αλήθειας" (Popper).<br />
Στο πλαίσιο αυτής της αμφισβήτησης και της νέας αντίληψης για την επιστήμη και τη συγκρότηση της γνώσης, αυτό που άσκησε βαθύτατη επιρροή στην επιστημονική σκέψη προς το τέλος της δεκαετίας του 1960 είναι η σκέψη του Thomas Kuhn και η θεώρηση της επιστήμης ως ιστορικού φαινομένου. Η επιστήμη και ειδικότερα η επιστημονική γνώση δεν γίνεται πλέον αντιληπτή ως απόσταγμα της εμπειρίας ή ως ταξινόμηση και κωδικοποίηση παρατηριασιακών δεδομένων, αλλά ως ένα πλέγμα κοινωνικών φαινομένων, συναρτημένο από τη γενικότερη κοινωνική πραγματικότητα.<br />
<br />
<br />
<b><span style="color: blue;">2. Λογικός Θετικισμός</span></b><br />
<br />
ΜΟ Λογικός Θετικισμός συγκροτήθηκε ως δέσμη ερευνητικών προγραμμάτων (έρευνες της λογικής των μαθηματικών και της υφής των επιστημονικών συστημάτων) με τον "Κύκλο της Βιέννης". Πρόκειται για κύκλο φιλοσόφων με σύντομη διάρκεια ζωής (μέχρι την άνοδο του Ναζισμού στην εξουσία), αλλά με σημαντική επιρροή στη φιλοσοφική σκέψη στις δεκαετίες που ακολούθησαν. Τα περισσότερα από τα μέλη του Κύκλου αυτού (Schlick, Carnap, Feigl, Gοdel, Neurath, Frank, Ράιχενμπαχ κ.ά.) ήταν μαθηματικά παιδευμένα, γεγονός που ενίσχυε την τάση για λογική αυστηρότητα και καθαρότητα στην προσέγγιση της πραγματικότητας και στη διατύπωση θεωρητικών προτάσεων.<br />
Η λογική, στο πλαίσιο του Κύκλου της Βιέννης, γνώρισε μια αναδόμηση του περιεχομένου της και μια επέκταση που την οδήγησαν πέραν από τα όρια της παραδοσιακής λογικής, σε εντελώς νέους τομείς. Συνδέθηκε με τα μαθηματικά από τα οποία δανείστηκε τα σύμβολα για την αναπαράσταση σχέσεων. Από την άλλη πλευρά, και οι μαθηματικές προτάσεις θεωρήθηκε ότι εκφράζουν σχέσεις και με την έννοια αυτή δεν μπορούν να ενταχθούν στα σχήματα κρίσης της παραδοσιακής λογικής (Κράφτ, 1986 : 27).<br />
Οι μαθηματικές προτάσεις είναι προτάσεις αναλυτικές και όχι συνθετικές, όπως φρονούσε η παραδοσιακή φιλοσοφία. Από τον αναλυτικό τους χαρακτήρα εξηγείται η ισχύς τους a priori. Αυτό σημαίνει πως δεν χρειάζεται να αναζητάμε κάποιον λόγο ισχύος για τέτοιες προτάσεις. Από την άλλη πλευρά, και η ισχύς της λογικής είναι ανεξάρτητη, γιατί η λογική δεν παρέχει τους βασικούς νόμους του κόσμου, αλλά σκέψεις για τον κόσμο. Οι συλλογισμοί αυτοί δείχνουν ότι τα μαθηματικά και η λογική είναι ανεξάρτητα απέναντι στην εμπειρία. Με τον τρόπο αυτό ο παραδοσιακός εμπειρισμός γνωρίζει μια διόρθωση : παραιτείται από την απαίτηση να παράγεται κάθε γνώση και επιστήμη από την εμπειρία.<br />
Στον Κύκλο της Βιέννης η νέα λογική είχε αναπτυχθεί με σκοπό τη θεωρητική οικοδόμηση των μαθηματικών, έγινε όμως το μέσο για την επιστημολογία γενικά. Η μέθοδος της φιλοσοφικής έρευνας ορίσθηκε ως εφαρμοσμένη λογική, σε αντιδιαστολή με την καθαρή λογική (Κράφτ, 1986 : 35-36).<br />
Τον Κύκλο της Βιέννης απασχολούσαν δύο κατηγορίες προβλημάτων : Η ανάλυση της γνώσης και οι θεωρητικές βάσεις κυρίως των μαθηματικών, αλλά και των άλλων "θεωρητικών" επιστημών και φυσικά της φιλοσοφίας. Η γνώση αναλύθηκε ως προς τη λογική της δομή, δηλαδή ως προς τον τρόπο που σχετίζονται οι έννοιες και οι προτάσεις μεταξύ τους, καθώς και ως προς τον τρόπο που αυτές οι συσχετίσεις παράγουν νόημα.<br />
Η γνώση παριστάνεται με γλωσσικές διατυπώσεις και με την έννοια αυτή η γλώσσα σχηματίζει το σώμα της γνώσης, δηλαδή μόνο με τη βοήθειά της μπορεί να οικοδομηθεί γνώση. Συνεπώς, ανάλυση της γνώσης σημαίνει πρωτίστως ανάλυση της γλώσσας, η οποία τη συγκροτεί.<br />
Από τον Κύκλο της Βιέννης προήλθε ένα μεγάλο διεθνές φιλοσοφικό κίνημα : ο λογικός θετικισμός και η αναλυτική φιλοσοφία. Το κίνημα χαρακτηρίστηκε ως πνευματική επανάσταση στη φιλοσοφία. Και οι δύο τάσεις του κινήματος αυτού συνδέονται με τις βασικές απόψεις του Κύκλου της Βιέννης και έχουν ως κοινό στόχο τη λογική ανάλυση των θεωρητικών προτάσεων και την αναμόρφωση του εμπειρισμού (Κράφτ, 1986 : 194).<br />
Το νέο στοιχείο που εισάγει στη φιλοσοφία και τη μεθοδολογία της ο λογικός θετικισμός είναι ότι μετατοπίζει την προβληματική από την έννοια της αλήθειας σε εκείνη του νοήματος (Βαλλιάνος, 2001 : 134). Από επιστημολογική άποψη το φιλοσοφικό αυτό ρεύμα είναι ένας εμπειρισμός, ο οποίος όμως χρησιμοποιεί ένα περίπλοκο τεχνικό σύστημα λογικής ανάλυσης των επιστημονικών όρων. Η διερεύνηση της επιστημονικής γνώσης ως προς τη λογική της δομή αποτελεί την εφαρμοσμένη λογική, σε αντιδιαστολή με την καθαρή λογική.<br />
Αυτή η μέθοδος φιλοσοφικής έρευνας και ειδικότερα η λογική ανάλυση της επιστημονικής γλώσσας, ήταν η κύρια συνεισφορά του λογικού θετικισμού στην επιστημονική έρευνα και στην εδραίωση του φιλοσοφικού ρεύματος που έγινε γνωστό ως "γλωσσική στροφή" στη φιλοσοφία, ή "αναλυτική φιλοσοφία", η οποία συνίσταται σε μέθοδο διερεύνησης του νοήματος των θεωρητικών προτάσεων.<br />
Σύμφωνα με τις βασικές θέσεις του ρεύματος αυτού, η πραγματικότητα γίνεται αντιληπτή ως ένα σύμπλεγμα γεγονότων, το οποίο μπορεί να αναλυθεί σε επιμέρους, ώσπου να βρεθούν τα έσχατα, ατομικά γεγονότα. Το σύμπλεγμα αυτό έχει απόλυτη αντιστοίχιση με ένα άλλο σύμπλεγμα, εκείνο της γλώσσας. Η γλώσσα έχει νόημα επειδή μεταξύ αυτής και του κόσμου υπάρχει αντιστοιχία σε όλα τα επίπεδα, σε όλα τα επιμέρους στοιχεία (Κράφτ, 1986, σ.120 επ.).<br />
Κατά τον λογικό θετικισμό η αυθεντικά επιστημονική φιλοσοφία είναι εφικτή μόνον ως λογική ανάλυση της γλώσσας της επιστήμης, που επιδιώκει την "κάθαρση" της επιστήμης από κάθε "μεταφυσική" (από το σύνολο του παραδοσιακού φιλοσοφικού προβληματισμού) και τη μελέτη της λογικής δομής της επιστημονικής γνώσης. Η φιλοσοφία ανάγεται σε "λογική της επιστήμης", σε "λογική σύνταξη της γλώσσας της επιστήμης" (Carnap).<br />
Θεωρητικές προτάσεις έχουν νόημα, μόνο όταν είναι αναλυτικές, δηλαδή εμπειρικά επιβεβαιώσιμες ή ταυτολογίες (π.χ. "ένα άσπρο αυτοκίνητο είναι άσπρο"). Οι ταυτολογίες είναι κατ΄ ανάγκην αληθείς, αλλά δεν μας δίνουν νέες πληροφορίες. Αντίθετα, οι εμπειρικά επιβεβαιώσιμες προτάσεις μας δίνουν πληροφορίες και νέα γνώση(Κράφτ 1986, σ. 120 επ.).<br />
Όλες οι άλλες προτάσεις που δεν εμπίπτουν σε αυτές τις κατηγορίες είναι χωρίς νόημα. Με την έννοια αυτή ό,τι κινείται στη σφαίρα του μεταφυσικού, δεν έχει γνωστική σημασία, στερείται νοήματος (Carnap, 1993). Μια ειδική κατηγορία προτάσεων και θεωριών αποτελούν εκείνες της ηθικής φιλοσοφίας, οι οποίες δεν είναι ούτε ψευδείς ούτε αληθείς, επειδή δεν περιγράφουν αντικειμενικά ή εμπειρικά γεγονότα. Δηλαδή, γνώση παράγεται μόνο από προτάσεις με λογική εσωτερική δομή, οι οποίες μπορούν να ελεγχθούν εμπειρικά. Με τις θέσεις αυτές ο λογικός θετικισμός δεν διαφοροποιείται μόνο απέναντι στον κλασσικό θετικισμό, αλλά αντιπαρατίθεται και στα ολοκληρωτικά ιδεολογικά συστήματα της εποχής.<br />
Στην ώριμή του μορφή, ο λογικός θετικισμός αναγνωρίζει ότι η γλώσσα της επιστήμης αποτελείται από δύο ειδών όρους : από παρατηρισιακούς και θεωρητικούς (Βαλλιάνος, 2001 : 137). Οι παρατηρισιακοί όροι είναι αυτοί που παράγονται από την εμπειρική παρατήρηση, ενώ οι θεωρητικοί είναι αφηρημένες έννοιες, οι οποίες δεν μπορούν να υποβληθούν σε πειραματική δοκιμασία, είναι όμως απαραίτητοι για να ολοκληρωθεί η λογική δομή της θεωρίας.<br />
Με την έννοια αυτή, ο λογικός θετικισμός έχει επίγνωση ότι η θεωρία είναι κάτι περισσότερο από το εκάστοτε διαθέσιμο σώμα παρατηρήσεων. Αυτό με τη σειρά του φανερώνει ότι η επιστήμη δεν μπορεί να κινείται μόνο επαγωγικά, αλλά καιαπαγωγικά. Ο ερευνητής χρειάζεται να έχει μια καθοδηγητική ιδέα, μια υπόθεση εργασίας, για να ξεκινήσει τη μελέτη των φαινομένων. Αυτή η υπόθεση εργασίας δεν είναι μια αυθαίρετη σκέψη και φαντασίωση του ερευνητή, αλλά προκύπτει από υπάρχουσες θεωρίες και πειραματικά θεμελιωμένων εξηγήσεων.<br />
Από αυτό συνάγεται ότι η απαγωγική δομή των θεωριών είναι σημαντικό προαπαιτούμενο για την πειραματική διαδικασία. Η προβληματική αυτή, η οποία εκφράζεται στο υποθετικό-απαγωγικό μοντέλο του Hempel, αναγνωρίζει μια σχετική αυτονομία στη θεωρία και με την έννοια αυτή θέτει φραγμούς στον αυστηρό επαγωγισμό του Μπέικον και του Μιλλ (Βαλλιάνος, 2001 : 139). Η διαφοροποίηση αυτή θα αναδείξει τα εσωτερικά προβλήματα του λογικού θετικισμού και στη συνέχεια τα όριά του.<br />
Παρά το σημαντικό του έργο και συνεισφορά στην επιστήμη, ο λογικός θετικισμός δεν κατόρθωσε να απαντήσει στο πρόβλημα που είχε απασχολήσει και την παραδοσιακή φιλοσοφία, εναντίον της οποίας, ουσιαστικά, βάλλει : τη σχέση ανάμεσα στις λογικές και γνωστικές δυνάμεις του ανθρώπου και στο πρόβλημα με το οποίο καταπιάνεται (Βαλλιάνος, 2001 : 140).<br />
Η θεωρία του νοήματος και της εμπειρικής επαληθευσιμότητας των προτάσεων (Σατελέ, 1990 : 79 επ.), στην οποία στηρίχθηκε ο λογικός θετικισμός, υποβάθμισε εκείνη την πλευρά του φιλοσοφικού στοχασμού που δεν μπορεί να συσχετισθεί με τα αισθητηριακά δεδομένα και ουσιαστικά ακύρωνε ολόκληρο το οικοδόμημα της παραδοσιακής φιλοσοφίας, φέρνοντας στο τέλος σε αδιέξοδο και τον ίδιο. Το αδιέξοδο αυτό και γενικότερα οι δυσκολίες του λογικού θετικισμού άνοιξαν νέους δρόμους στη φιλοσοφία και την οδήγησαν στην αναζήτηση ερμηνείας έξω από τις βασικές παραδοχές της παραδοσιακής φιλοσοφίας και του θετικισμού (με οποιαδήποτε μορφή του). Τέτοιοι δρόμοι ήταν οι θεωρητικές συλλήψεις του Κ. Popper (θεωρία της διαψευσιμότητας) και του Th. Kuhn (θεωρία των παραδειγμάτων).<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>EΠΙΣΤΗΜΗ ΚΑΙ ΘΕΟΛΟΓΙ</b></span><span style="color: blue;"><b><span style="font-size: large;">Α</span></b>.</span><br />
<br />
<span style="color: blue;"><strong><em>Η θεολογία, ως φαινόμενο δεν απαντά στο "πώς" (δημιουργήθηκε ο κόσμος), αλλά στο "ποιός"(έφτιαξε τον κόσμο). Η επιστήμη αντίθετα ενδιαφέρεται για το "πώς", αδυνατώντας να απαντήσει στο "ποιός". Θεολογία και επιστήμη δεν πρέπει να έχουν κοινά σημεία, αλλά ούτε και διαφορές.</em></strong></span><br />
<em>Η πίστη είναι απαραίτητη τόσο στην Επιστήμη όσο και τη Θρησκεία. Οι περισσότεροι επιστήμονες παραδέχονται σήμερα ότι οποιαδήποτε θεώρηση του κόσμου προϋποθέτε ένα αρχικό άρθρο πίστης πίσω από το οποίο θα αναπτυχθεί και με το οποίο θα δεθεί μια εσωτερική λογική. Ο Michael Polanyi, στο βιβλίο του «Personal Knowledge» υποστηρίζει ότι η πίστη είναι η πηγή κάθε γνώσης και ισχυρίζεται ότι τα βασικά μας πιστεύω σε οποιονδήποτε τομέα της ζωής, συμπεριλαμβανομένου και του επιστημονικού, είναι αναμφισβήτητα, μόνο υπό την έννοια ότι πιστεύουμε πως πράγματι είναι έτσι. Ο Polanyi παραδέχεται πως «η αλήθεια είναι κάτι που μπορεί να γίνει αντιληπτή μόνο πιστεύοντάς την» και δεν έχει καμιά αμφιβολία ότι «όλα τα βασικά πιστεύω μας και στον επιστημονικό τομέα είναι αναπόδεικτα». Η επιστημονική θεωρία π.χ. της προέλευσης του κόσμου από μια μεγάλη έκρηξη, το Big Bang, ξεκινά από την υπόθεση, την πίστη, ότι υπήρξε η μεγάλη έκρηξη. Χωρίς τη βασική πίστη ότι υπήρξε η μεγάλη έκρηξη το όλο οικοδόμημα που κτίζουν οι επιστήμονες θα κατέρρεε. Οι επιστήμονες, βέβαια, δεν χρησιμοποιούν το ρήμα «πιστεύω»όπως κάνουν οι θρησκευόμενοι άνθρωποι. Οι επιστημονικές υποθέσεις τους ωστόσο φαίνονται να ’ναι διακηρύξεις πίστεως."</em><br />
<em></em></div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
<br />
<br />
<b><span style="color: blue;"><i>Δεν μπορούμε να πούμε ότι ο αριθμός 6 είναι τέλειος επειδή ο Θεός ολοκλήρωσε το έργο του σε έξι μέρες, αλλά ότι ο Θεός ολοκλήρωσε το έργο του σε έξι μέρες επειδή ο αριθμός 6 είναι τέλειος.Πράγματι ακόμη κι αν δεν υπήρχαν τα έργα Του , αυτός ο αριθμός θα εξακολουθούσε να είναι τέλειος.</i></span></b><br />
<b><i><span style="color: #990000;"><br /></span></i></b>
<b><i><span style="color: #990000;"> Ιερός Αυγουστίνος</span></i></b><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<br />
<b><i><span style="color: blue;">Ένας από τους δραματικότερους τρόπους με τους οποίους επηρεάζονταν οι μαθηματικοί από τις θρησκευτικές μεταβολές ήταν η δολοφονία της Αλεξανδρινής μαθηματικού Υπατίας , η οποία δίδασκε μαθηματικά και φιλοσοφία. Λυντσαρίστηκε από τον φανατισμένο χριστιανικό όχλο το 425 μ.Χ για λόγους που πιθανόν είχαν σχέση με το γεγονός ότι ήταν μια πολύ μορφωμένη και πολιτικοποιημένη παγανίστρια.</span></i></b><br />
<br />
<br />
<b><i><span style="color: blue;">Ο χριστιανισμός χρειαζόταν μερικές μαθηματικές πρακτικές.: η καθημερινή προσευχή σε μοναστικές κοινότητες ήταν αυστηρά καθορισμένη και έπρεπε να αρχίζει μια συγκεκριμένη στιγμή και να διαρκεί ορισμένες ώρες. Επίσης το Πάσχα εορταζόταν σε διαφορετική ημερομηνία και εκείνη η ημέρα έπρεπε να προσδιορίζεται με ακρίβεια. Συνεπώς οι χρισταιανοί συγγραφείς ενδιαφερόταν για την ακριβή μέτρηση του χρόνου με αστρονομικές παρατηρήσεις και όργανα.Ένας άλλος τομέας που συναντιόταν τα μαθηματικά με τη χριστιανική πίστη ήταν η κατανόηση του Θεού και η δημιουργία Του. Ο Φίλων ο Αλεξανδρεύς ανέλυσε την έννοια διαφόρων αριθμών που συναντάμε στη Βίβλο : επτά μέρες δημιουργίας , οι σαράντα μέρες του κατακλυσμού , οι δώδεκα φυλές του Ισραήλ. Εμπνεόμενοι από τον πλατωνισμό του Φίλωνα αρκετοί χριστιανοί ερμηνευτές ασκούσαν την ίδια ερμηνευτική με τη συνδρομή φράσεων από την Αγία Γραφή , όπως "Τα πάντα εποίησας με μέτρο , αριθμό και βάρος" (Βιβλίο της Σοφίας 11, 21). Επιπλέον τα μαθηματικά παρείχαν έναν τύπο λογικής που ήταν βέβαιος και αναμφισβήτητος , ενώ ταυτόχρονα δεν στηριζόταν αποκλειστικά στις αισθήσεις αλλά ήταν κάτι αφηρημένο. Τέλος τα μαθηματικά ήταν βασικό στοιχείο της εκπαίδευσης των μη χρισστιανικών εκπαιδευτικών συστημάτων από τα οποία όμως είχαν περάσει όλοι σχεδόν οι μορφωμένοι χριστιανοί.</span></i></b><br />
<b><i><span style="color: blue;"><br /></span></i></b>
<b><i><span style="color: blue;"><br /></span></i></b>
<b><i><span style="color: blue;">Ο πατριάρχης Κλήμης ο Αλεξανδρείας αποφαίνεται ότι η αστρονομία και η γεωμετρία θεωρούνται ανώφελες και δεν διδάσκουν την πραγματική αλήθεια. Από την άλλη μεριά εκτιμά ορισμένους μαθηματικούς της αρχαίας εποχής όπως τον Πλάτωνα και τον Πυθαγόρα. Επιπλέον θεωρεί ότι τα μαθηματικά εκπροσωπούν την τάξη και την αρμονία της δημιουργίας του Θεού.Ισχυρίζεται ότι ο Μωυσής μελέτησε αριθμητική και γεωμετρία θεωρώντας ότι τα μαθηματικά είναι χρήσιμα για την καθοδήγηση των ψυχών σε ανώτερες πνευματικές πραγματικότητες. Ο Κλήμης δηλώνει κατηγορηματικά ότι ο Θεός κατέχει μαθηματικές γνώσεις συνεχίζοντας την πλατωνική άποψη ότι : "Ο Θεός αεί γεωμετρεί". Θεωρεί επίσης ότι τα μαθηματικά και η πίστη αρχίζουν αμφότερες από άδηλες βασικές έννοιες τα δόγματα για την πίστη , τα αξιώματα για τα μαθηματικά. Συνεχίζουν όμως σε παράλληλους δρόμους και γι' αυτό δεν συγκρούονται. Ασχολείται επίσης με την αριθμολογία . Εγκαινιάζει λοιπόν μια διαλεκτική μεταξύ επιστήμης και θεολογίας.</span></i></b><br />
<b><i><span style="color: blue;"><br /></span></i></b>
<b><i><span style="color: blue;"><br /></span></i></b>
<b><i><span style="color: blue;"> Γενικά η ανατολική παράδοση της Ορθοδόξου πίστης δεν διαβλέπει σύγκρουση ή αντιπαλότητα μεταξύ των μαθηματικών και του χριστιανισμού. Η θεωρία των παράλληλων δρόμων που διατύπωσε όπως είδαμε πρωτύτερα ο Κλήμης είναι χαρακτηριστική στην σχέση αυτή. Χρησιμοποιεί τα μαθηματικά μόνο όσο εξυπηρετεί τη μελέτη και διάδοση των θείων αληθειών. Αδιαφορεί ίσως για περισσότερες μαθηματικές ενασχολήσεις θεωρώντας την μαθηματική γνώση κατώτερη από τη γνώση του Θεού.</span></i></b><br />
<b><i><span style="color: blue;"><br /></span></i></b>
<b><i><span style="color: blue;"><br /></span></i></b>
<b><i><span style="color: blue;">Ο ιερός Αυγουστίνος χρησιμοποιεί περισσότερα μαθηματικά στοιχεία στο έργο του. Το ενδιαφέρον του για τα μαθηματικά χρονολογείται από τη νεανική του ηλικία διότι ως παιδί έπρεπε να απαγγέλει ρυθμικά τους μαθηματικούς πίνακες που διδασκόταν. Αργότερα μετείχε σε πιο φιλελεύθερη παιδεία που περιλάμβανε τη μουσική και την αριθμητική. Οταν ο Αυγουστίνος έγινε χριστιανός αντί να απορρίψει τα μαθηματικά τα έθεσε στην υπηρεσία του Χριστιανισμού. Διέβλεπε ότι οι μαθηματικές έννοιες είναι αφηρημένες και δεν συνδεόταν με κάποιο υλικό αντικείμενο. Έτσι ήταν κατάλληλες για την προώθηση των χριστιανικών πνευματικών αληθειών.</span></i></b><br />
<b><i><span style="color: blue;">Το ενδιαφέρον του Αυγουστίνου ήταν αν η ψυχή μπορούσε να εκφραστεί με ένα αριθμό ή με ένα γεωμετρικό αντικείμενο. Επίσης μέσω των αριθμών, για παράδειγμα εκείνων που περιλαμβάνονταν στο ρυθμό και στη μουσική , μπορούν οι άνθρωποι να πλησιάσουν το Θεό επειδή οι αριθμοί είναι ωραίοι , τακτοποιημένοι , ισορροπημένοι και εμπνέουν θαυμασμό και αγάπη. Αυτή η αγάπη μπορεί να επεκταθεί στον δημιουργό των πραγμάτων εντός των οποίων πειλαμβάνονται και οι αριθμοί. Στο έργο του Μονόλογοι που είναι από τα πρώτα του αρχίζει διάλογο σχετικά με τη σχέση της γνώσης του Θεού και άλλων ειδών γνώσης , όπως η μαθηματική γνώση. Συνέκρινε συχνά το είδος βεβαιότητας από τις μαθηματικές αλήθειες με τη βεβαιότητα που θα έπρεπε να εμπνέει η πίστη. Η ύπαρξη των μαθηματικών αντικειμένων </span></i></b><b><i><span style="color: blue;">τού προσέφερε πολεμοφόδια για να αποκρούσει τις επιθέσεις των σκεπτικιστών κατά της ψυχής. Για παράδειγμα στο Περί ποσότητας της ψυχής , ισχυριζόταν ότι η κατανόηση της ψυχής μπορεί να αρχίσει από μια διαδικασία παρόμοια με την κατανόηση των μαθηματικών αντικειμένων. Είναι βέβαια σαφές για τον Αυγουστίνο ότι η γνώση του Θεού και η μαθηματική γνώση δεν ήταν το ίδιο πράγμα. " Η ανομοιότητά τους βρίσκεται στην διαφορά των αντικειμένων κι όχι της κατανόησης". Τα μαθηματικά παρ' όλους τους περιορισμούς τους , μπορούσαν πράγματι να παράσχουν μια κλίμακα προς το θείο. Ισχυρίζεται επίσης ότι : "Είναι ανόητο να πιστεύει κάποιος ότι είναι καλύτερος επειδή μελετά τον ουρανό , μετρά τα άστρα και ζυγίζει τα στοιχεία αλλά αγνοεί Εσένα που έχεις τακτοποιήσει τα πάντα με μέτρο , αριθμό και βάρος". Διαφαίνεται λοιπόν και στον Αυγουστίνο η θέση της ανωτερότητας της γνώσης του Θεού από τη μαθηματική γνώση , την οποία χρησιμοποιεί μόνο για για την διάδοση και προάσπιση των θείων αληθειών. Τέλος χρησιμοποιεί κι αυτός συχνά την αριθμολογία. Είναι σταθερή η πεποίθησή του για τη μυστικιστική λογική των αριθμών που χρησιμοποιούνται στη Βίβλο. Στο έργο του Περί Τριάδος εντοπίζει νοήματα στις έξι ημέρες της δημιουργίας μια και ο αριθμός 6 είναι πρώτος και τέλειος. Η αριθμολογία προϋποθέτει πίστη στη σχέση μαθηματικών και θείου.</span></i></b><b><i><span style="color: blue;">Ο Αυγουστίνος συχνά χρησιμοποιεί τους αριθμούς για να αποσαφηνίσει θεολογικές έννοιες.</span></i></b><b><i><span style="color: blue;"> Ο αριθμός ένα συμβόλιζε το Θεό , την αρχή των πάντων όπως το 1 γεννά τους υπόλοιπους αριθμούς. Δημιουργήθηκε βέβαια πεδίο σημαντικών αντιπαραθέσεων αν ο Θεός της χριστιανικής αποκάλυψης ταυτίζεται ή διαφορροποιείται από το νεοπλατωνικό Εν (Μονάδα). Ταυτιζόμενος με την νεοπλατωνική αντίληψη περί μαθηματικών που παρατηρούμε σε άλλους χριστιανούς ερμηνευτές θεωρεί ότι τα μαθηματικα είναι δραστηριότητα του Θεού , θεωρώντας βέβαια ότι είναι δυστυχείς όσοι μελετούν τα άστρα αλλά παραμελούν το Δημιουργό τους.</span></i></b><br />
<br />
<br />
<h1 style="color: #4d220d; font-family: Tahoma; font-weight: normal; margin: 0px; padding: 0px; text-align: center;">
</h1>
<span style="font-family: "tahoma"; font-size: 12px; text-align: left;"><br /></span>
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><strong> Ανέκδοτη ιστορία : " Όυλερ εναντίον Ντιντερό ".</strong></span><br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><strong> <span style="font-size: small;">Τα μαθηματικά για την ύπαρξη του Θεού.</span></strong></span><br />
<br />
<br />
Ο ρόλος του αυλικού μαθηματικού περιγράφεται θαυμάσια από την ακόλουθη ιστορία, που λένε ότι συνέβη με τον Όιλερ κατά την περίοδο της παραμονής του στην Αγία Πετρούπολη. Η Μεγάλη Αικατερίνη φιλοξενούσε τον ονομαστό Γάλλο φιλόσοφο και άθεο Ντενί Ντιντερό. Ο Ντιντερό δε σταματούσε να λοιδορεί τα Μαθηματικά, δηλώνοντας ότι δεν προσφέρουν καμία ουσιαστική εμπειρία και ως μόνο αποτέλεσμα παρεμβάλλουν ένα πέπλο ανάμεσα στα ανθρώπινα όντα και τη φύση. Η Αικατερίνη κουράστηκε σύντομα από τον επισκέπτη της, όχι τόσο εξαιτίας των απαξιωτικών σχολίων για τα μαθηματικά, όσο για τις συνεχείς προσπάθειες να υποσκάψει τη θρησκευτική πίστη των αυλικών της. Ο Όιλερ προσκλήθηκε στην αυλή και του ζητήθηκε να συμβάλει στον περιορισμό της αθυροστομίας του ανυπόφορου άθεου. Ευγνώμων για την υποστήριξη της Αικατερίνης, ο Όιλερ συμφώνησε να βοηθήσει. Μπροστά στη συγκεντρωμένη Αυλή, απευθύνθηκε με σοβαρότητα στον Ντιντερό, λέγοντάς του: «Κύριε, (α + β^ν)^ν = χ, άρα ο Θεός υπάρχει. Απαντήστε». Λέγεται ότι μπροστά στο βάρος μιας τέτοιας μαθηματικής…απόδειξης, ο Ντιντερό αποσύρθηκε.<br />
Πρόκειται για την κατατρόπωση του φιλοσόφου από έναν μαθηματικό. Στηρίζεται στην άγνοια του πρώτου που αγνοεί το Θεό ακριβώς όσο και τα μαθηματικά. <strong><em>Ο φιλόσοφος που αρνείται το Θεό που αγνοεί πρέπει να αρνηθεί και την ύπαρξη των μαθηματικών. Άρα μαθηματικά δεν υπάρχουν ..... Αν όμως υπάρχουν , τότε ίσως υπάρχει και ο Θεός!</em></strong> Εκεί βρίσκεται η ουσία της μαθηματικής απόδειξης ύπαρξης του Θεού που επιχείρησε ο Όυλερ στον Ντιντερό.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<b><span style="color: #990000; font-size: large;">Ο Ντεκάρτ και η απόδειξη ύπαρξης του Θεού.</span></b><br />
<br />
<br />
Αφού βεβαιώθηκε για. τον εαυτό του, ο Ντεκάρτ επιδόθηκε στην έρευνα της Μεταφυσικής. Για να είναι βέβαιος πως δεν θα παραδεχτεί τίποτα που να μην είναι εντελώς αληθινό, αποφασίζει ν’ αμφιβάλλει για τα πάντα, και προπάντων για τα δεδομένα τών αισθήσεων. Για ν’ αμφιβάλλει όμως θα πει πως σκέπτεται, και για να σκέπτεται θα πει πως υπάρχει. Τα δυό αυτά αποτελούν ένα. «Σκέπτομαι, άρα υπάρχω» είναι η πρώτη αρχή τής Μεταφυσικής του (§ 36). <br />
Αφού βεβαιώθηκε πως υπάρχει, ο Ντεκάρτ εξετάζει το τί είναι. Διαπιστώνει πως αντιλαμβάνεται την ύπαρξή του μονάχα χάρη στο ότι σκέφτεται. Επομένως είναι σκέψη, ψυχή, που υφίσταται ανεξάρτητα από κάθε ύλη, κι είναι συνεπώς ξεχωριστή από το σώμα (§ 37).<br />
Η αρχή αυτή μάς διδάσκει ακόμα και πως, για να είναι μια πρόταση αληθινή, πρέπει να είναι καθαρή και διακριτή. Αυτά τα δυό χαρακτηριστικά αποτελούν το κριτήριο της αλήθειας (§ 38).<br />
Κατόπι, ο Ντεκάρτ περνά στην ύπαρξη του Θεού. Η ενέργεια της σκέψης, με την οποία διαπιστώνω την ύπαρξή μου, είναι η αμφιβολία. Αλλά η αμφιβολία. μαρτυρεί ατέλεια. Είμαι λοιπόν ατελής. Για να το ξέρω όμως πως είμαι ατελής, θα πει πως έχω και την ιδέα τής τελειότητας. Από πού άραγε έχω αυτή την ιδέα τού τέλειου; Μια τέτοια ιδέα μπορεί να προέρχεται μόνο από ένα ον τέλειο, δηλαδή τον Θεό. Άρα υπάρχει Θεός (§ 39).<br />
Ένα ον μη τέλειο, που έχει την ιδέα τού τέλειου, δεν μπορεί να δημιουργήθηκε μόνο του. Αλλιώς θα είχε δώσει στον εαυτό του την τελειότητα. Πρέπει λοιπόν να υπάρχει κάποιος δημιουργός, και δικός μας και της ιδέας τού τέλειου : Ο Θεός. Συνάμα, αποδείχνεται πως ο Θεός είναι απαλλαγμένος από κάθε ατέλεια. Ατέλεια θα είταν και το να είναι ο Θεός φύση σύνθετη — νοητική και σωματική. — Επομένως, είναι φύση αποκλειστικά νοητική, από την οποία εξαρτιέται ό,τι υπάρχει (§ 39).<br />
Αφού αποδείχτηκε η ύπαρξη του Θεού, η σκέψη στρέφεται προς τα εξωτερικά πράματα, για τα οποία αποφάσισε στην αρχή ν’ αμφιβάλλει. Η γεωμετρική έκταση είναι ό,τι από τον εξωτερικό κόσμο διανοούμαστε καθαρα. Αυτό μάς δίνει μια πρόσθετη απόδειξη για την ύπαρξη του Θεού. Όλη η βεβαιότητα των γεωμετρικών αποδείξεων βασίζεται στο ότι τις διανοούμαστε με απόλυτη προφάνεια. Εξετάζοντας όμως την ιδέα τού τέλειου όντος βρίσκουμε πως το στοιχείο τού υπαρκτού περιλαμβάνεται μέσα: στην ιδέα τής τελειότητας, όσο αναγκαστικά περιλαμβάνεται και οποιαδήποτε ιδιότητα του τριγώνου μέσα στην ιδέα τού τριγώνου. Δεν είναι δυνατόν κάτι να είναι τέλειο κι ωστόσο να μην υπάρχει (§ 40).<br />
Εκείνο που κάνει να δυσκολεύονται πολλοί να πειστούν για την ύπαρξη του Θεού και της ψυχής, είναι πως είναι πολλοί κείνοι που είναι ανίκανοι να διανοηθούν οτιδήποτε δεν χωρεί στη φαντασία τους, που είναι «τροπος σκέψης» ειδικός για τα υλικά πράματα (§ 41).<br />
Ωστόσο, η ύπαρξη των υλικών πραγμάτων είναι πολύ λιγότερο βέβαιη από την ύπαρξη του Θεού. Γιατί, ακόμα και το ότι οι καθαρές και διακριτες ιδέες μας μάς εξασφαλίζουν την αλήθεια, είναι σίγουρο αποκλειστικά επειδή υπάρχει ο Θεός, που με την ύπαρξή του μας βεβαιώνει πως δεν είναι δυνατόν να είμαστε θύματα απάτης κανενός πονηρού πνεύματος (§§ 42 - 43).<br />
<br />
<div>
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<div style="text-align: justify;">
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><strong>Ο ΠΛΑΤΩΝΑΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ</strong></span><br />
<br />
Η γεωμετρία αποτελεί κατά τον Πλάτωνα ένα παράδειγμα του κόσμου των Ιδεών και της σχέσης του με τον φυσικό κόσμο. Ο τελευταίος δεν περιέχει τέλειους κύκλους ευθείες ή σημεία, σε αντίθεση με τον πρώτο. Τα γεωμετρικά αντικείμενα ως αιώνια και αναλλοίωτα δεν υπάρχουν στον φυσικό κόσμο. Τοιουτοτρόπως τα θεωρήματα της γεωμετρίας είναι αντικειμενικά αληθή ανεξάρτητα από τον νου την γλώσσα, ή άλλα χαρακτηριστικά του μαθηματικού. Πρόκειται για ένα ρεαλισμό ως προς την τιμή αληθείας, που φθάνει μέχρι τον ρεαλισμό στην οντολογία. Η ιεράρχηση στην οντολογία του Πλάτωνα φαίνεται στο σχήμα. Η γεωμετρική γνώση αποκτάται με καθαρή σκέψη, ή με ανάμνηση της ψυχής από την ύπαρξή της στον κόσμο του Είναι πριν εισέλθει στο σώμα.<br />
Η δυναμική γλώσσα στη γεωμετρία (πχ κατασκευές) έφερε σε δύσκολη θέση πολλούς από την Ακαδημία του Πλάτωνα, αφού δεν συμβιβάζεται με το αναλλοίωτο και αιώνιο των γεωμετρικών αντικειμένων. Το γεωμετρικό σχήμα κατά τον Πλάτωνα βοηθά τον νου να συλλάβει τον αιώνιο και αναλλοίωτο κόσμο της γεωμετρίας, πως γίνεται όμως αυτό αφού ο κόσμος του Είναι είναι προσεγγίσιμος μόνο μέσω του νου και όχι των αισθήσεων. Οι συνεχιστές των θεωριών του Πλάτωνα, αν και εγκατέλειψαν κάποιες μυστικιστικές απόψεις του σχετικά με την επιστημολογία, διατήρησαν την άποψη ότι η γεωμετρική γνώση είναι a priori, ανεξάρτητη από την αισθητηριακή εμπειρία. Ένα εγειρόμενο ερώτημα που ζητά απάντηση είναι το πώς η γεωμετρία έχει εφαρμογές στο φυσικό κόσμο. Τις ίδιες απόψεις του ρεαλισμού ως προς την τιμή αληθείας, και ως προς την οντολογία έχει ο Πλάτων και για την αριθμητική και την άλγεβρα. Ισχύουν προσεγγιστικά στο φυσικό κόσμο, ενώ ισχύουν ακριβώς και αυστηρώς στον κόσμο του <b>Είναι</b>. <br />
Η θεωρία των αριθμών στη αρχαία Ελλάδα ονομάζετο αριθμητική, ενώ η πρακτική αριθμητική λογιστική. Και η λογιστική και η αριθμητική κατά τον Πλάτωνα ανήκουν στον κόσμο των Ιδεών. Η αριθμητική ασχολείται με τους φυσικούς αριθμούς και η λογιστική ασχολείται με την σχέση μεταξύ των αριθμών. Και οι δύο βοηθούν το πνεύμα να συλλάβει τη φύση του αριθμού καθεαυτή. <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<strong><span style="color: blue; font-size: large;">Ο ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ</span></strong>.<br />
<br />
Οι θέσεις του Αριστοτέλη για τα μαθηματικά είναι κυρίως μια πολεμική των θέσεων του Πλάτωνα. Η φιλοσοφία του Αριστοτέλη περιέχει σπέρματα εμπειρισμού. Ο Αριστοτέλης απέρριπτε τον κόσμο του Είναι. Δεχόταν όμως την ύπαρξη των Μορφών όχι όμως ως μέλη κάποιου ξεχωριστού κόσμου. Η Ομορφιά για παράδειγμα είναι το κοινό που υπάρχει στα όμορφα αντικείμενα, όταν όμως αυτά καταστραφούν παύει να υπάρχει και η Ομορφιά. Ο Αριστοτέλης δίνει σημασία όχι στο ερώτημα αν υπάρχουν τα μαθηματικά αντικείμενα, αλλά με ποιο τρόπο υπάρχουν. Γιατί χρειαζόμαστε τα μαθηματικά αντικείμενα και σε ποιου πράγματος την εξήγηση βοηθούν; Όσον αφορά στην ύπαρξη των μαθηματικών αντικειμένων, αυτά ενυπάρχουν στα αισθητά αντικείμενα και όχι έξω από αυτά. Φαίνεται πως ο Αριστοτέλης υπονοούσε κάποια νοητική ικανότητα αφαίρεσης, με τη βοήθεια της οποίας για παράδειγμα αν επικεντρωθούμε στην επιφάνεια μιας από τις πλευρές ενός κύβου από πάγο, αποκτούμε την έννοια του επιπέδου. Αντίστοιχα οι φυσικοί αριθμοί κατακτώνται μέσω αφαιρέσεως, από συλλογές φυσικών αντικειμένων. Αυτό που μένει είναι μια εξήγηση της λειτουργίας της αφαίρεσης. Η αφαίρεση έτσι όπως τουλάχιστον την χρησιμοποιεί ο Αριστοτέλης έχει επικριθεί αρκετά συχνά, όπως τον 20ο αιώνα από τον λογικολόγο Gottlob Frege. Μια δεύτερη ερμηνεία των θέσεων του Αριστοτέλη απορρίπτει την οντολογική αφαίρεση. Αν παραλείψουμε κάποιες ιδιότητες πχ μιας σφαίρας από ορείχαλκο, για να μελετήσουμε κάποιες ιδιότητες της σφαίρας δεν δημιουργούμε κάποιο καινούργιο αντικείμενο, μελετάμε συγκεκριμένες όψεις αυτού του φυσικού αντικειμένου. Παρόλα αυτά ο Αριστοτέλης θεωρούσε αβλαβές να προσποιηθούμε ότι το γεωμετρικό στερεό σφαίρα είναι ένα ξεχωριστό αντικείμενο.<br />
Τελικά κατά τον Αριστοτέλη ο μαθηματικός μελετά πραγματικές ιδιότητες πραγματικών φυσικών αντικειμένων, δεν υπάρχουν δύο κόσμοι ο φυσικός και ο μαθηματικός. Μια άλλη διαφορά μεταξύ Αριστοτέλη και Πλάτωνα είναι ότι για τον πρώτο έχει νόημα η δυναμική γλώσσα της γεωμετρίας αφού η μετακίνηση ο τετραγωνισμός η επίθεση η πρόσθεση κλπ αφορά φυσικά αντικείμενα. Υπάρχει και η άποψη πως η συνεχής αφαίρεση από τα πραγματικά αντικείμενα, όπως η αφαίρεση των ατελειών αλλά και του υλικού από το οποίο αποτελούνται, οδηγούν από την πίσω πόρτα σε ένα κόσμο ιδεών σαν και αυτό του Πλάτωνα.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br /></div>
</div>
<span style="background-color: white; color: blue; font-size: large;"><strong>Ο ΚΑΝΤ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ</strong></span><br />
<br />
<br />
Στα «Προλεγόμενα για κάθε μελλοντική μεταφυσική» ο Καντ, ισχυρίζεται ότι τα μαθηματικά είναι μια εξ ολοκλήρου καθαρή επιστήμη, δηλαδή μια επιστήμη που αναπτύσσεται a priori (ανεξάρτητα από την εμπειρία). Λέει λοιπόν για τα μαθηματικά: «εδώ υπάρχει μια μεγάλη και δοκιμασμένη γνώση … που έχει μέσα της πέρα για πέρα αποδεικτική <span style="font-weight: bold;">βεβαιότητα</span>, δηλαδή <span style="font-weight: bold;">απόλυτη αναγκαιότητα</span>, συνεπώς δεν βασίζεται πάνω σε εμπειρικά θεμέλια, είναι λοιπόν <span style="font-weight: bold;">καθαρό</span> προϊόν της λογικής». Διερευνώντας τις αρχικές τους πηγές ανακαλύπτει ότι « κάθε μαθηματική γνώση έχει την εξής ιδιοτυπία: πρέπει πρώτα να παρουσιάζει την έννοια της μέσα στην εποπτεία και μάλιστα a priori, δηλαδή σε μια εποπτεία που να μην είναι εμπειρική αλλά καθαρή». Από την «κριτική του Καθαρού λόγου» διαβάζουμε «ονομάζω καθαρές… όλες τις παραστάσεις στις οποίες δεν υπάρχει τίποτα που να ανήκει στο αίσθημα. Συνεπώς η καθαρή μορφή των κατ’ αίσθηση εποπτειών, χάρη στην οποία όλη η πολλαπλότητα των φαινομένων εποπτεύεται κάτω από το φως ορισμένων σχέσεων, βρίσκεται a priori μέσα στο πνεύμα». «αυτό είναι δυνατό μόνο εφόσον η εποπτεία δεν εποπτεύει το υλικό κάποιου αντικειμένου, που μας γίνεται αντιληπτό μέσω των αισθήσεων, αλλά αφορά μόνο τη <span style="font-weight: bold;">μορφή</span>, την ικανότητα να σκεπτόμαστε» (από τα «προλεγόμενα»). Ο καθαρός «χώρος (ΣΣ. Γεωμετρία) και ο χρόνος (ΣΣ. Αριθμητική) είναι εκείνες οι εποπτείες, τις οποίες τα καθαρά Μαθηματικά θέτουν ως βάση όλων των γνώσεων και κρίσεων τους, οι οποίες θεωρούνται αποδεικτικές και συνάμα αναγκαίες… τα Μαθηματικά είναι αδύνατο να <span style="font-weight: bold;">προχωρήσουν έστω και ένα βήμα</span>, όσο τους λείπει η καθαρή εποπτεία, γιατί μόνο αυτή δίνει το υλικό για συνθετικές κρίσεις a priori».<br />
«Για να εξηγήσουμε και να επικυρώσουμε όσα ειπώθηκαν, αρκεί να προσέξουμε τη συνηθισμένη και απόλυτα αναγκαία μέθοδο ενός γεωμέτρη. Όλες οι αποδείξεις για το ότι δυο δεδομένα σχήματα είναι εντελώς όμοια (εφόσον όλα τα μέρη του ενός μπορούν να τεθούν στη θέση του άλλου) καταλήγουν τελικά στο ότι αυτά συμπίπτουν, τούτο δεν είναι προφανώς άλλο από μια συνθετική πρόταση που στηρίζεται στην άμεση εποπτεία, και αυτή η εποπτεία πρέπει να είναι δεδομένη καθαρά και a priori, γιατί αλλιώς αυτή η πρόταση δε θα μπορούσε να ισχύει ως αποδεικτικά βέβαιη, παρά θα είχε μόνο εμπειρική βεβαιότητα. Θα σήμαινε μόνο: έχουν παρατηρήσει ότι αυτό έτσι είναι πάντα, και αυτή η πρόταση ισχύει τόσο μόνο, όσο εκτείνεται η κατ’ αίσθηση αντίληψη μας. Ότι όλος ο χώρος (ο οποίος σαν τέτοιος δεν είναι πια όριο ενός άλλου χώρου) έχει τρεις διαστάσεις, και ότι ο χώρος εν γένει δεν μπορεί επίσης να έχει περισσότερες απ’ αυτές, στηρίζεται στην πρόταση ότι σε ένα σημείο δεν μπορούν να τέμνονται κατά ορθή γωνία περισσότερες από τρείς γραμμές, αλλά αυτή η πρόταση δεν μπορεί να αποδειχτεί με έννοιες, παρά στηρίζεται απευθείας πάνω σε εποπτεία και μάλιστα πάνω σε καθαρή εποπτεία a priori, γιατί η πρόταση είναι αποδεικτικά βέβαιη. Το να απαίτηση κάποιος να εκτείνεται μια ευθεία μέχρι το άπειρο ή να συνεχίζεται επ’ άπειρο μια σειρά μεταβολών (πχ. Χώροι τους οποίους έχει διατρέξει μια κίνηση), προϋποθέτει μια παράσταση περί χώρου και χρόνου, που μπορεί να εξαρτάται μόνο από την εποπτεία, κατά το μέτρο που αυτή δεν περιορίζεται από τίποτα, γιατί από έννοιες αυτή δεν θα μπορούσε ποτέ να παραχθεί. Στα Μαθηματικά υπάρχουν λοιπόν πράγματι ως βάσεις καθαρές εποπτείες a priori, οι οποίες καθιστούν δυνατές τις συνθετικές και αποδεικτικά ισχύουσες μαθηματικές προτάσεις, συνεπώς η δική μας υπερβατική παραγωγή των εννοιών χώρος και χρόνος εξηγεί συνάμα την δυνατότητα μιας καθαρής μαθηματικής επιστήμης, η οποία χωρίς μια τέτοια παραγωγή και αν δε δεχτούμε ότι ‘κάθε τι που μπορεί να δοθεί στις αισθήσεις μας το αντιλαμβανόμαστε όνο όπως μας εμφανίζεται και όχι όπως είναι καθ’ εαυτό’ θα μπορούσε η μαθηματική επιστήμη να γίνει δεκτή, αλλά κατά κανένα τρόπο κατανοητή». (τα bold δικά μου).<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><strong> <span style="font-size: small;">O ΚΟΡΝΗΛΙΟΣ ΚΑΣΤΟΡΙΑΔΗΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ</span></strong></span><br />
<br />
<br />
Θα έλεγα ότι υπάρχει μια μεγάλη διαφορά μεταξύ μαθηματικών και φιλοσοφίας, η οποία μπορεί να συνοψιστεί στο εξής: Τα μαθηματικά στη «δουλειά» τους είναι συνολοταυτιστικά, δηλαδή εργάζονται με τη λογική την οποία εγώ ονομάζω συνολοταυτιστική. Πρόκειται για τη λογική της θεωρίας των συνόλων, με οποιεσδήποτε εκλεπτύνσεις ή επεξεργασίες μπορεί αυτή να έχει υποστεί τον 20ό αιώνα. (Η θεωρία των συνόλων, άλλωστε, είναι κατ' ουσίαν θεωρία του 20ού αιώνα.) Και λέω ταυτιστική, διότι το βασικό της αξίωμα είναι η αρχή της ταυτότητας, η αρχή της μη αντίφασης. Λοιπόν, τα μαθηματικά είναι συνολοταυτιστικά στη «δουλειά» τους, από τη μια μεριά. Από την άλλη, όσον αφορά τη «θέση», την επιλογή των αξιωμάτων τους, είναι αυστηρώς ποιητικά, δηλαδή είναι «δημιουργικά».<br />
Είναι προφανές ότι υπάρχουν περιπτώσεις όπου μπορεί να πει κανείς ότι οι μαθηματικοί, έπειτα από πολλή δουλειά, συνήγαγαν τα αξιώματα από το σύνολο των προτάσεων που είχαν μπροστά τους (ή, αλλιώς, τα υπήγαγαν σ' αυτές). Μπορούμε να πούμε, για παράδειγμα, ότι ο Ευκλείδης είχε μπροστά του μια τεράστια γεωμετρική δουλειά, το προϊόν των τριών προηγουμένων αιώνων, και, διατυπώνοντας για πρώτη φορά την υποθετικοαπαγωγική μέθοδο, διερωτήθηκε ποιο είναι το ελάχιστο των αρχών που μπορούν να στηρίξουν αυτά τα θεωρήματα, τα οποία, κατά τα άλλα, είναι αληθή ή αληθοφανέστατα· έτσι «οδηγήθηκε» στα αξιώματά του. Γενικότερα, όμως, αυτό που χαρακτηρίζει τη δουλειά των μαθηματικών είναι η «θέση», η επιλογή αξιωμάτων τα οποία δεν συνάγονται από κάποια εμπειρία, ούτε βγαίνουν απλώς λογικά. διότι, αν παράγονταν λογικά, δεν θα ήταν αξιώματα, θα ήταν θεωρήματα της λογικής. Δείτε λοιπόν, λόγου χάρη, τα διάφορα συστήματα αξιωμάτων τα οποία στηρίζουν τις διάφορες μορφές της τοπολογίας και θα καταλάβετε. Συνεπώς, τα μαθηματικά δεν είναι απλώς αποδοχή λογικών αρχών και μεταμαθηματικών κανόνων. Εάν δεν είχε υπάρξει «δημιουργία» νέων αξιωμάτων, όποτε εμφανίστηκε η ανάγκη, τα μαθηματικά θα είχαν σταματήσει προ πολλού.<br />
Οσον αφορά τη δημιουργία στα μαθηματικά, πέραν της συνολοταυτιστικής λογικής δεν υπάρχει κανένας περιορισμός ή εξαναγκασμός που να οδηγεί σε αυτήν, που να την κατευθύνει. Δεν υφίσταται κάτι που να περιορίζει την επιλογή των αξιωμάτων, εκτός, φυσικά, από τη μη αντιφατικότητα, τη συμβιβαστότητα των αξιωμάτων, αλλά και την επάρκειά τους. αλλά μόνον με τις δύο αυτές αρχές δεν μπορεί κανείς να δημιουργήσει αξιώματα. αυτές αποτελούν απλώς αρνητικούς όρους. Αντιθέτως, η φιλοσοφία δεν υπακούει, παρά μόνον εν μέρει και κατά εργαλειακό τρόπο στη συνολοταυτιστική λογική, διότι το αντικείμενό της υπερβαίνει τα σύνολα, ή τα συνολοποιήσιμα όντα, και ασχολείται με αυτό που ονομάζω μάγμα.<br />
<br />
Περισσότερα <span style="background-color: yellow; color: #990000; font-size: large;"><a href="http://www.antifono.gr/portal/%CE%9A%CE%B1%CF%84%CE%B7%CE%B3%CE%BF%CF%81%CE%AF%CE%B5%CF%82/%CE%A6%CE%B9%CE%BB%CE%BF%CF%83%CE%BF%CF%86%CE%AF%CE%B1-%CE%95%CF%80%CE%B9%CF%83%CF%84%CE%B7%CE%BC%CE%BF%CE%BB%CE%BF%CE%B3%CE%AF%CE%B1/%CE%92%CE%B9%CE%B2%CE%BB%CE%AF%CE%B1/1170-2009-05-04-15-07-15.html"><strong>εδώ.</strong></a></span><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br /></div>
</div>
<strong><span style="color: blue; font-size: large;"><em></em></span></strong><br />
<div style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<strong><span style="color: blue; font-size: large;">ΦΙΛΟΣΟΦΙΚΑ ΡΕΥΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ</span></strong></div>
<br />
<span style="color: black;"><span style="color: #990000;"><strong>1. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΛΑΤΩΝΙΣΜΟΣ</strong></span></span><br />
<div style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br />
<img class="rg_i" src="http://t0.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcRFRXK7UuOmvDJKC1uCxhn194hBpYJ6W7RJzo-ka-B1IOBzjHFYN4uU7ZmkEw" data-src="http://t0.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcRFRXK7UuOmvDJKC1uCxhn194hBpYJ6W7RJzo-ka-B1IOBzjHFYN4uU7ZmkEw" height="125" id="UQCcBGCshBcovM:b" onload="this.style.display='inline';google.stb.csi.onTbn(0, this)" style="display: inline; height: 125px; width: 117px;" width="117" /><br />
<br />
<strong><span style="color: blue;"><em>Godel εκφραστής του</em></span></strong><br />
<strong><span style="color: blue;"><em>νεοπλατωνισμού </em></span></strong><br />
<strong><span style="color: blue;"><em>στα μαθηματικά.</em></span></strong><br />
<br />
Το κεντρικό ερώτημα που αφορά στη φύση των μαθηματικών και στην ανάπτυξη της επιστήμης είναι το εξής: "Οι άνθρωποι ανακαλύπτουν ή κατασκευάζουν τα μαθηματικά;" Ζούμε σε ένα κόσμο που καθορίζεται από σταθερούς μαθηματικούς κανόνες που ο άνθρωπος ανακάλυψε και κατέγραψε ή είναι τα μαθηματικά μια ανθρώπινη κατασκευή η οποία υποστηρίζει τις δημιουργίες μας; <br />
<div style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
O Πλατωνισμός υποστηρίζει ότι οι μαθηματικές ιδέες υπάρχουν ανεξάρτητα από την ανθρώπινη γνώση και ανακαλύπτονται από εμάς. Αποτελούν μέρος της φύσης και παραμένουν αμετάβλητα στον χρόνο. Είναι η απόλυτη άποψη για τα μαθηματικά που τα θέλει ως ένα αμετάβλητο σώμα από μαθηματικές αλήθειες η οποία εκφράζει την πεποίθηση για την βέβαιη και χωρίς ψεγάδια μαθηματική γνώση. </div>
<div style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br />
Οι παραγωγικές μέθοδοι της λογικής κάνουν δυνατή τη διατήρηση της μαθηματικής αλήθειας, ενώ η μαθηματική γνώση επεκτείνεται με την ανακάλυψη νέων αποτελεσμάτων τα οποία στερούνται αναφοράς στον φυσικό κόσμο. Για αιώνες το μοντέλο του προγράμματος αυτού ήταν η γεωμετρία των "Στοιχείων" του Ευκλείδη. Ωστόσο, αυτή η απόλυτη θέση κλονίστηκε από τα μέσα του 18ου αιώνα όταν οι Lobachevsky - Bolyai και Rieamann αρνούμενοι το 5ο αίτημα του Ευκλείδη παρήγαγαν αντιφάσεις, κάτω από την απόλυτη θέαση του Πλατωνισμού, εντός του Ευκλειδίου συστήματος.<br />
<br />
Οι Πλατωνιστές για να διασώσουν την ισχύ της θεωρίας τους περί της απολυτότητας των μαθηματικών αντικειμένων, αναζήτησαν στήριξη στην αριθμητική, όπου η τυποποίηση της αριθμητικής από τη θεωρία συνόλων και τη λογική φάνηκε να βοηθάει. Όμως και αυτή η προσπάθεια δεν καρποφόρησε εξ' αιτίας των συνολοθεωρητικών παραδόξων. Όμως παρά την αποτυχία των προσπαθειών για την αξιωματικοποίηση των μαθηματικών, οι Πλατωνιστές διατηρούν την άποψη τους για τα μαθηματικά ως ενσάρκωση της αλήθειας της φύσης.</div>
<div style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
</div>
<div style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br />
<br />
<strong><span style="color: #990000;">2. Ο ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ</span></strong></div>
<div style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br />
Ο φορμαλισμός (με κυριότερο εκφραστή τον D. Hilbert) αποδέχεται ότι τα μαθηματικά δεν αντιστοιχούν στον κόσμο της εμπειρίας και αρνούνται όλους τους μηχανισμούς της αναπαράστασης προκειμένου να διασώσουν την συνέπεια τους. Οι φορμαλιστές θεωρούν ότι τα μαθηματικά είναι αντικείμενα χωρίς νόημα και εμφανίζουν τα τυπικά συστήματα και το παιχνίδι των συμβόλων και των ορισμών ως το μοντέλο της αλήθειας και της βεβαιότητας. Ωστόσο ούτε έτσι δικαιώνεται η απόλυτη θέση των μαθηματικών αντικειμένων, αφού ο Godel το 1930 απέδειξε ότι τα συνεπή τυπικά συστήματα ακόμα και στο βασικό επίπεδο της αριθμητικής στερούνται πληρότητας.<br />
<br />
"Για πολλά εκπαιδευμένα πρόσωπα, τα μαθηματικά είναι μια επιστήμη που χαρακτηρίζεται από σίγουρα και αλάθητα αποτελέσματα των οποίων βασικά στοιχεία είναι οι αριθμητικές πράξεις, οι αλγεβρικές διαδικασίες και οι γεωμετρικοί όροι και θεωρήματα" (A. Thompson, 1992). <br />
<br />
Για τους χρήστες και κάποιους καθηγητές των μαθηματικών ο φορμαλισμός μεταφράζεται σε μια εργαλειακή αντίληψη για τα μαθηματικά. Οι περισσότεροι καθηγητές μαθηματικών είναι φορείς της αντίληψης θεωρώντας τα μαθηματικά ως σύνολο από κανόνες που όταν χρησιμοποιηθούν σωστά παράγουν μοναδικές σωστές απαντήσεις. Έτσι, ενισχύεται η απόλυτη Πλατωνική και Φορμαλιστική φιλοσοφία, παρά τα προβλήματα που αυτές έχουν.</div>
<div style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
</div>
<div style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br />
<br />
<strong><span style="color: #990000;">3. Ο ΙΝΤΟΥΣΙΟΝΙΣΜΟΣ</span></strong></div>
<div style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">Η ιντουσιονιστική σχολή ξεκίνησε το 1908 από τον Ολλανδό μαθηματικό L. E. J.</span><span style="font-size: small;">Brouwer (1881-1966). Ο Brouwer υποστήριξε ότι το περιεχόμενο των Μαθηματικών</span><span style="font-size: small;">είναι οι υποκειμενικές, νοητικές κατασκευές των ερευνητών μαθηματικών και</span><span style="font-size: small;">συνεπώς απέρριπτε όσα μέρη των Μαθηματικών δεν ταίριαζαν σε αυτή την ερμηνεία.</span><span style="font-size: small;">Για τον ιντουισιονισμό, η ύπαρξη οποιουδήποτε μαθηματικού αντικειμένου σχετίζεται </span><span style="font-size: small;">με την κατασκευή του. Δηλαδή, <b><span lang="JA" style="font-family: TimesNewRomanPS-BoldMT;"><span lang="JA" style="font-family: TimesNewRomanPS-BoldMT;">μια μαθηματική πρόταση δεν είναι δυνατόν να χαρακτηριστεί ως αληθής ή ψευδής, εκτός αν αναφέρεται σε ένα μαθηματικό αντικείμενο που έχει κατασκευαστεί από το υποκείμενο</span></span><span lang="JA" style="font-family: "timesnewromanpsmt"; font-size: medium;"><span lang="JA" style="font-family: "timesnewromanpsmt"; font-size: medium;"><span style="font-size: small;">.</span></span></span></b> </span><br />
<br />
Στα πλαίσια της ιντουϊσιονιστικής θεωρίας η οποία αρνήται οτιδήποτε δεν γίνεται αντιληπτό από τις αισθήσεις και την εμπειρίας μας πολλά από τα βασικότερα εργαλεία των μαθηματικών που συνήθως χρησιμοποιούμε χάνουν την εγκυρότητα τους αφού πολλές αποδείξεις παύουν να ισχύουν. Για παράδειγμα οι αποδείξεις που βασίζονται στην εις άτοπον απαγωγή δεν είναι ποια έγκυρες. Η δίτιμη αριστοτέλεια λογική σύμφωνα με την οποία κάτι είναι ψευδές ή λάθος και η οποία βασίζεται στον νόμο αποκλεισμού του τρίτου παύει να ισχύει αφού κανείς δεν μπορεί να μας διαβεβαιώσει ότι δεν υπάρχει και μια τρίτη πιθανή τιμή αληθείας. Έτσι, στα πλαίσια του ιντουϊσιονισμού έγκυρες θεωρούνται μόνο οι κατασκευαστικές αποδείξεις. Υπαρκτό για τους ιντουϊσιονιστές σημαίνει κατασκευαστικά υπαρκτό και πεπερασμένα ελέγξιμο. Ενώ οποιαδήποτε άλλη απόδειξη ύπαρξης δεν είναι αποδεκτή.</div>
Οι μαθηματικοί απορρίπτουν σχεδόν στο σύνολο τους τον ιντουϊσιονισμό του Brower για την δυσκαμψία, τις ελλείψεις και γενικότερα την αναποτελεσματικότητα του ως ικανοποιητική προσέγγιση, εκφράζει τις επιφυλάξεις του στον Πλατωνισμό στην απόλυτη μορφή του. Υποστηρίζει μια μορφή ελεγχόμενου Πλατωνισμού, πιο μετριοπαθούς, στα πλαίσια του οποίου είναι θεμιτό να αναπτύσσουμε την μαθηματική γνώση κατά τρόπο όμως ελεγχόμενο, ώστε τα αξιώματα που εισάγουμε στις θεωρίες να προκύπτουν από την νόηση μας κατά τρόπο φυσικό, όχι τελείως αυθαίρετα. Στο ερώτημα ποιοι θα είναι οι μηχανισμοί εκείνοι που εξασφαλίζουν την καταλληλότητα και την εγκυρότητα μιας τέτοιας κατασκευής δεν απαντά άμεσα. Εκφράζει την πεποίθηση όμως ότι αν υπάρχει περίπτωση να είναι προβληματικό το σύστημα θα πρέπει να πάσχει στα αντίστοιχα σημεία όπως εκείνα των γνωστών συνολοθεωρητικών παραδόξων (πχ. των Rusell - Zermelo) και τα σημεία αυτά πρέπει να ελέγχουμε. <strong>"Η έννοια της υπεροχής των μαθηματικών ως ενός καθολικά αποδεκτού και αλάθητου σώματος αιτιολόγησης, είναι μια μεγάλη ψευδαίσθηση" (M. Kline, 1980).</strong><br />
<strong><br />
</strong><br />
"Στον βαθμό που οι προτάσεις των μαθηματικών δίνουν μια περιγραφή της πραγματικότητας δεν είναι βέβαιες και στον βαθμό που είναι βέβαιες, δεν περιγράφουν την πραγματικότητα" (A. Einstein, 1921).</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 100%; margin: 0px; text-align: left; text-indent: 17.85pt; word-spacing: 0px;">
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 100%; margin: 0px; text-align: left; text-indent: 17.85pt; word-spacing: 0px;">
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 100%; margin: 0px; text-align: left; text-indent: 17.85pt; word-spacing: 0px;">
<br />
<br />
<br />
<span style="color: #990000;"><strong>4.Το πρόγραμμα του Λογικισμού <span style="color: #990000;">του Gottlob Frege </span></strong></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 100%; margin: 0px; text-align: left; text-indent: 17.85pt; word-spacing: 0px;">
<br />
<span lang="JA" style="font-family: "timesnewromanpsmt"; font-size: medium;"><span lang="JA" style="font-family: "timesnewromanpsmt"; font-size: medium;"><strong> </strong></span></span><span lang="JA" style="font-family: "timesnewromanpsmt";"><strong>Αντιπροσωπεύει την πρώτη ολοκληρωμένη </strong><span lang="JA" style="font-family: "timesnewromanpsmt";"><strong>προσπάθεια θεμελίωσης των Μαθηματικών. Η</strong> στρατηγική του Frege ήταν να δείξει ότι </span><span lang="JA" style="font-family: TimesNewRomanPS-BoldMT;">ηΑριθμητική είναι κλάδος της Λογικής. <span lang="JA" style="font-family: "timesnewromanpsmt";"><span lang="JA" style="font-family: "timesnewromanpsmt";">Το 1884, ο Frege δημοσίευσε ένα από τα κλασικά φιλοσοφικά έργα </span></span><span style="font-family: TimesNewRomanPS-ItalicMT;"><span style="font-family: TimesNewRomanPS-ItalicMT;">Die Grundlagen der Arithmetik </span></span><span lang="JA" style="font-family: "timesnewromanpsmt";"><span lang="JA" style="font-family: "timesnewromanpsmt";">( "Τα θεμέλια της Αριθμητικής" ). Ο Frege αρχίζει την εισαγωγή στο βιβλίο με την παρατήρηση ότι καμία ικανοποιητική απάντηση σε μια προφανώς απλή ερώτηση, όπως τι είναι ο αριθμός ένα, δεν είχε δοθεί μέχρι τότε ούτε κανείς ήταν σε θέση να απαντήσει στη γενικότερη ερώτηση τι είναι ένας αριθμός; Απαιτείτο επομένως μια ανάλυση της έννοιας του αριθμού, εάν η Αριθμητική ήθελε να διατηρήσει τη θέση της ως επιστήμη. Από την άλλη πλευρά, ο Hilary Putnam (1979a) στο άρθρο του </span></span><span lang="JA" style="font-family: TimesNewRomanPS-BoldMT;"><span lang="JA" style="font-family: TimesNewRomanPS-BoldMT;">Μαθηματικά χωρίς θεμέλια </span></span><span lang="JA" style="font-family: "timesnewromanpsmt";"><span lang="JA" style="font-family: "timesnewromanpsmt";">αντιτάχθηκε στην άποψη ότι μπορούν να υπάρξουν θεμέλια για οποιαδήποτε μαθηματική θεωρία.</span></span><span lang="JA" style="font-family: TimesNewRomanPS-BoldMT;"><span lang="JA" style="font-family: TimesNewRomanPS-BoldMT;">Στα Μαθηματικά δεν υπάρχουν επιστημολογικά θεμέλια, μόνο καλύτερα και χειρότερα είδη τεκμηρίων</span></span><span style="font-family: ComicSansMS-Bold;"><span style="font-family: ComicSansMS-Bold;">.</span></span><span lang="JA" style="font-family: "timesnewromanpsmt";"></span></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 100%; margin: 0px; text-align: justify; text-indent: 17.85pt; word-spacing: 0px;">
Υποστήριξε επίσης ότι πρέπει να εγκαταλείψουμε την ιδέα ότι υπάρχει μια καιμοναδική δικαιολόγηση για μια μαθηματική πρόταση. Οι μαθηματικές προτάσεις μπορούν να δικαιολογηθούν με διάφορους τρόπους<strong>.</strong> </div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 100%; margin: 0px; text-align: justify; text-indent: 17.85pt; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 100%; margin: 0px; text-align: justify; text-indent: 17.85pt; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 100%; margin: 0px; text-align: justify; text-indent: 17.85pt; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 100%; margin: 0px; text-align: justify; text-indent: 17.85pt; word-spacing: 0px;">
<strong><span style="color: #990000;">5. Λογικισμός</span></strong></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 100%; margin: 0px; text-align: justify; text-indent: 17.85pt; word-spacing: 0px;">
<div align="justify" class="MsoNormal" style="line-height: 100%; margin: 0px; text-align: justify; text-indent: 17.85pt; word-spacing: 0px;">
<span style="font-size: small;"><img class="rg_i" src="http://t3.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcTEXLvrvyqp7IBBp8MMREOev2fFo9W68fRvvcduBHTNk7BovIyXlWbOMQCeLQ" data-src="http://t3.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcTEXLvrvyqp7IBBp8MMREOev2fFo9W68fRvvcduBHTNk7BovIyXlWbOMQCeLQ" height="126" id="VdK_WOs9lYaVMM:b" onload="this.style.display='inline';google.stb.csi.onTbn(0, this)" style="display: inline; height: 126px; width: 102px;" width="102" />Ο σκοπός του λ</span><span style="font-size: small;">ογικισμού ήταν να αποδειχτεί ότι τα κλασικά Μαθηματικά είναι μέρος της Λογικής. Το γενικό σχέδιο ήταν να διατυπωθεί ένας ορισμός της έννοιας του αριθμού και έπειτα να χρησιμοποιηθεί αυτό ως βάση για να συναχθούν οι μαθηματικές αλήθειες από τα καθαρώς </span><span style="font-size: small;">λογικά αξιώματα. Οι Russell και Whitehead, συνεχίζοντας το πρόγραμμα του Frege, στους τρεις </span><span style="font-size: small;">τόμους του </span><span style="font-size: medium;"><span style="font-family: TimesNewRomanPS-ItalicMT;"><span style="font-family: TimesNewRomanPS-ItalicMT;"><span style="font-size: small;">Principia Mathematica </span></span></span><span lang="JA" style="font-family: "timesnewromanpsmt";"><span lang="JA" style="font-family: "timesnewromanpsmt";"><span style="font-size: small;">(1910-13) (που μπορεί να θεωρηθεί ως μια τυπική θεωρία </span><span style="font-size: small;">συνόλων) έδειξαν ότι </span></span></span><span lang="JA" style="font-family: TimesNewRomanPS-BoldMT;"><span lang="JA" style="font-family: TimesNewRomanPS-BoldMT;"><span style="font-size: small;">όλα τα κλασικά Μαθηματικά, που ήταν γνωστά στην εποχή τους, ήταν </span><span style="font-size: small;">δυνατόν να παραχθούν από τη θεωρία συνόλων και ως εκ τούτου από τα αξιώματα του </span></span></span><span style="font-family: TimesNewRomanPS-BoldItalicMT;"><span style="font-family: TimesNewRomanPS-BoldItalicMT;"><span style="font-size: small;">Principia</span></span></span><span style="font-size: small;"><span lang="JA" style="font-family: TimesNewRomanPS-BoldMT;"><span lang="JA" style="font-family: TimesNewRomanPS-BoldMT;">. </span></span><span lang="JA" style="font-family: "timesnewromanpsmt";"><span lang="JA" style="font-family: "timesnewromanpsmt";">Συνεπώς αυτό που απέμενε να γίνει, ήταν να αποδειχτεί ότι όλα τα αξιώματα του </span></span></span><span style="font-family: TimesNewRomanPS-ItalicMT;"><span style="font-family: TimesNewRomanPS-ItalicMT;"><span style="font-size: small;">Principia </span></span></span><span lang="JA" style="font-family: "timesnewromanpsmt";"><span lang="JA" style="font-family: "timesnewromanpsmt";"><span style="font-size: small;">ανήκουν στη Λογική. </span><span style="font-size: small;">Φυσικά, αντί του </span></span></span><span style="font-family: TimesNewRomanPS-ItalicMT;"><span style="font-family: TimesNewRomanPS-ItalicMT;"><span style="font-size: small;">Principia</span></span></span><span lang="JA" style="font-family: "timesnewromanpsmt";"><span lang="JA" style="font-family: "timesnewromanpsmt";"><span style="font-size: small;">, κάποιος μπορεί να χρησιμοποιήσει οποιαδήποτε άλλη τυπική </span><span style="font-size: small;">συνολοθεωρία εξίσου καλά. Μέχρι σήμερα η τυπική θεωρία συνόλων που αναπτύχθηκε από τους </span><span style="font-size: small;">Zermelo και Fraenkel είναι πολύ περισσότερο γνωστή από τα Principia. </span><span style="font-size: small;">Σύμφωνα με τον Russell, προκειμένου να αναδειχθούν οι ォκρυφές δομές των μαθηματικών </span><span style="font-size: small;">αντικειμένων, τα Μαθηματικά πρέπει να αναχθούν σε μια πιο βασική επιστημονική περιοχή, τη </span><span style="font-size: small;">Λογική. Η εργασία των Whitehead και Russell στο </span></span></span><span style="font-family: TimesNewRomanPS-ItalicMT;"><span style="font-family: TimesNewRomanPS-ItalicMT;"><span style="font-size: small;">Principia Mathematica </span></span></span><span lang="JA" style="font-family: "timesnewromanpsmt";"><span lang="JA" style="font-family: "timesnewromanpsmt";"><span style="font-size: small;">ήταν μια προσπάθεια </span><span style="font-size: small;">να αναπτυχθεί ένα πλήρως εσωτερικά συνεπές μαθηματικό σύστημα μέσω λογικών σχέσεων. </span><span style="font-size: small;">Κατά την άποψή τους, τα Μαθηματικά ήταν δυνατόν να αναχθούν σε λογικές σχέσεις στο </span><span style="font-size: small;">πλαίσιο ενός λογικού συστήματος χωρίς εξωτερικές αναφορές. </span><span style="font-size: small;">Με τον καιρό, η θεωρία συνόλων διαμορφώθηκε έτσι, ώστε να αποκλείονται τα παράδοξα, </span><span style="font-size: small;">καταλήγοντας όμως σε μια πολύπλοκη δομή στην οποία κάποιος μετά βίας θα αναγνώριζε τη </span><span style="font-size: small;">Λογική με τη μορφή κανόνων για το σωστό συλλογισμό. Κατά συνέπεια, ήταν δύσκολο πλέον να </span><span style="font-size: small;">πειστεί κάποιος ότι τα Μαθηματικά περιορίζονται σε μια Λογική, όπως αυτή εμφανίζεται στη </span><span style="font-size: small;">θεωρία συνόλων. </span></span></span><span lang="JA" style="font-family: TimesNewRomanPS-BoldMT;"><span lang="JA" style="font-family: TimesNewRomanPS-BoldMT;"><span style="font-size: small;">Ο λογικισμός κατηγορήθηκε ως προς την ιδεοληψία του για τον ακριβή λογικό συλλογισμό, </span><span style="font-size: small;">επειδή άφηνε λίγα περιθώρια για τη διαίσθηση και την εικασία, που πολλοί θεωρούν </span><span style="font-size: small;">ισχυρές γεννήτριες της δημιουργικής σκέψης. </span></span></span><span lang="JA" style="font-family: "timesnewromanpsmt";"><span lang="JA" style="font-family: "timesnewromanpsmt";"><span style="font-size: small;">Η πρόταση των Whitehead και Russell αμφισβητήθηκε σοβαρά από τον Godel. Ο Godel </span><span style="font-size: small;">υποστήριξε ότι ένα πλήρες και συνεπές μαθηματικό σύστημα είναι εγγενώς αδύνατο και μέσα σε </span><span style="font-size: small;">οποιοδήποτε συνεπές μαθηματικό σύστημα υπάρχουν προτάσεις που δεν είναι δυνατόν να </span><span style="font-size: small;">αποδειχτούν ή να ανασκευαστούν βάσει των αξιωμάτων του συστήματος. Σύμφωνα με αυτή την </span><span style="font-size: small;">άποψη, οι συνέπειες από τα μαθηματικά αξιώματα έχουν νόημα μόνο υπό μια υποθετική έννοια.</span></span></span></span> </div>
</div>
<div align="justify" class="MsoNormal" style="line-height: 100%; margin: 0px; text-align: justify; text-indent: 17.85pt; word-spacing: 0px;">
<div style="text-align: justify;">
</div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 100%; margin: 0px; text-align: justify; text-indent: 17.85pt; word-spacing: 0px;">
<strong><span style="font-size: large;"><span style="color: blue;">Περισσότερα : <span style="background-color: #ffe599;"> </span></span></span></strong><span style="background-color: #ffe599; color: #990000; font-size: large;"><strong><a href="http://users.forthnet.gr/ath/thantas77/edu/index.html">εδώ</a><span style="background-color: white; color: blue;"> κι <span style="background-color: #ffe599; color: #990000;"><a href="http://users.forthnet.gr/ath/thantas77/edu/project023.html">εδώ.</a><span style="background-color: white;"> </span></span></span></strong></span><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<span style="color: #990000; font-size: large;"><strong><em>AΦΙΕΡΩΜΑ ΣΤΟΝ GODEL.</em></strong></span><br />
<br />
<br />
<span style="line-height: 1.3em;">Γεννημένος στις 28 Απριλίου του 1906 στο Brno της Μοραβίας, ο Gödel ήταν ο δεύτερος από τα δυο παιδιά τού Rudolf και της Marianne Gödel, εκπατρισμένων Γερμανών των οποίων οι οικογένειες συνδέονταν με τη βιομηχανία υφασμάτων της πόλης. Κατά τη διάρκεια της σχολικής του ζωής, ο νεαρός Kurt μόνο μια φορά πήρε βαθμό που δεν ήταν “άριστα” σε κάποιο μάθημα (στα μαθηματικά!). Ωστόσο δεν έδειξε πρώιμα σημάδια ιδιοφυίας. ΄Ηταν παιδί με άκρως ερευνητική διάθεση, σε τέτοιο βαθμό που του δόθηκε το παρατσούκλι der Herr Warum (Ο κύριος Γιατί). </span><br />
<span style="line-height: 1.3em;">O Gödel σχεδίαζε να σπουδάσει φυσική. Μετά από λίγο όμως, εντυπωσιασμένος από τις παραδόσεις των μαθημάτων των καθηγητών Fhillip Furtwanler και Hans Hahn, στράφηκε στα μαθηματικά. Κατά τη διάρκεια της ίδιας περιόδου, ο Gödel απέκτησε αίφνης διεθνές κύρος στον τομέα της μαθηματικής λογικής. Δυο συγκεκριμένες εργασίες του τον έφεραν σε εξέχουσα θέση. Η μια ήταν η διδακτορική του διατριβή, την οποία υπέβαλε στο πανεπιστήμιο της Βιέννης το 1929 και δημοσιεύτηκε το επόμενο έτος. Η άλλη ήταν η πραγματεία “Για τις μη αποκρίσιμες προτάσεις των Principia Mathematica και άλλων συναφών συστημάτων”, που δημοσιεύτηκε στα γερμανικά το 1931 και υπεβλήθη το 1932 ως διατριβή για την παροχή άδειας διδασκαλίας.<br />
.Στην εργασία που εκπόνησε το 1931, ο Gödel απέδειξε ότι υπάρχει κάποια πρόταση για τους φυσικούς αριθμούς που είναι αναγκαστικά μη αποδείξιμη. (Δηλαδή υπάρχουν αντικείμενα που, ενώ ικανοποιούν τα αξιώματα της θεωρίας αριθμών, δεν συμπεριφέρονται κατά τα άλλα όπως οι φυσικοί αριθμοί). Θα μπορούσε κανείς να αποφύγει το “θεώρημα της μη πληρότητας” αν θεωρούσε όλες τις αληθείς προτάσεις ως αξιώματα. Όμως, η απόφαση ποιες προτάσεις είναι αληθείς και ποιες όχι καθίσταται εκ των προτέρων προβληματική. Ο Gödel απέδειξε ότι, όποτε τα αξιώματα μπορούν να χαρακτηριστούν από ένα σύνολο μηχανιστικών κανόνων, δεν έχει σημασία ποιες προτάσεις λαμβάνουμε ως αξιώματα: αν αυτές οι προτάσεις αληθεύουν για τους φυσικούς αριθμούς, κάποιες άλλες αληθείς προτάσεις για τους φυσικούς θα παραμένουν μη αποδείξιμες. Συγκεκριμένα, αν τα αξιώματα δεν αντιφάσκουν μεταξύ τους. τότε αυτό το γεγονός το ίδιο, κατάλληλα κωδικοποιημένο ως αριθμητική πρόταση θα είναι με βάση τα συγκεκριμένα αξιώματα, “τυπικά μη αποκρίσιμο” -ούτε αποδείξιμο ούτε μη αποδείξιμο. Οποιαδήποτε λοιπόν απόδειξη συνέπειας πρέπει να επικαλεστεί αρχές ισχυρότερες από τα ίδια τα αξιώματα. </span><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="line-height: 1.3em;"> Η παραπάνω πρόταση έφερε σε δύσκολη θέση τον David Hilbert, που είχε οραματιστεί ένα πρόγραμμα διασφάλισης των θεμελίων των μαθηματικών μέσω μιας αυτοδύναμης διαδικασίας, με την οποία η συνέπεια των μαθηματικών θεωριών θα μπορούσε να εξαχθεί από τη συνέπεια άλλων απλούστερων, πιο προφανών θεωριών. Από την άλλη πλευρά, ο Gödel δεν θεώρησε ότι τα θεωρήματά του περί μη πληρότητας αποδεικνύουν την ανεπάρκεια της αξιωματικής μεθόδου, αλλά ότι η εξαγωγή των θεωρημάτων δεν μπορεί να γίνει τελείως μηχανική. Είχε την άποψη ότι τα θεωρήματά του δικαίωναν τον ρόλο της ενόρασης στη μαθηματική έρευνα.</span><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<span style="color: blue;"><strong>Οι φιλοσοφικές προκτάσεις του θεωρήματος μη - πληρότητας του Godel.</strong></span><br />
<br />
<strong><span style="color: black; font-family: "times" , "times new roman" , serif;">Το θεώρημα μη- πληρότητας του Godel μπορεί να διατυπωθεί σύντομα ως εξής :</span></strong><br />
<span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;"><br />
</span><br />
<strong><span style="color: #990000; font-family: "times" , "times new roman" , serif; font-size: large;">" Ένα σύστημα δεν μπορεί να είναι και συνεπές και πλήρες. </span></strong><br />
<strong><span style="color: #990000; font-family: "times" , "times new roman" , serif; font-size: large;">Ένα σύστημα μπορεί να είναι είτε πλήρες και ασυνεπές είτε</span></strong><br />
<strong><span style="color: #990000; font-family: "times" , "times new roman" , serif; font-size: large;">συνεπές και ελλιπές .</span></strong><br />
<span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;"><br />
</span><br />
<span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;">Η δύναμη του μηχανιστικού οράματος των μαθηματικών του Ηilbert αλλά και των Russel , Whitehead ήταν ότι εφ' όσον τα αξιώματα ήταν σωστά και εφ' όσον οι κανόνες με τους οποίους γινόταν η χρήση τους διατηρούσαν την αλήθεια, τα μαθηματικά δεν θα μπορούσαν να εκτροχιαστούν σε αναλήθειες. Η αλήθεια ήταν εξασφαλισμένη μέσω μιας αυτόματης θεωρητικής μεθοδολογίας.</span><br />
<span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;">Ένας από τους μεγάλους μαθηματικούς στόχους ήταν να μειωθεί η όλη θεωρία αριθμών σε ένα τελικό τυπικό σύστημα. Όπως στη γεωμετρία του Ευκλείδη, ένα τέτοιο σύστημα θα άρχιζε με μερικά απλά αξιώματα που είναι σχεδόν αναμφισβήτητα, και θα παρείχε τα θεωρήματα με έναν μηχανικό τρόπο. Η ιδέα ήταν ότι αυτό το σύστημα θα εμπεριείχε κάθε δήλωση που θα μπορούσαμε να κάνουμε για τους φυσικούς αριθμούς. Το θεώρημα του Godel κατέρριψε την ελπίδα αυτήν εντελώς. Δε βρήκε απλά μια ρωγμή στο συλλογισμό των Russell και Whitehead, η οποία πιθανώς θα μπορούσε να επιδιορθωθεί. Έδειξε ότι ο ολόκληρος στόχος είναι ανεπίτευκτος! Πιο συγκεκριμένα, ο Godel έδειξε ότι σε οποιοδήποτε τυπικό σύστημα, υπάρχει πάντα μια δήλωση για τους φυσικούς αριθμούς που είναι αληθινή, αλλά που δεν μπορεί να αποδειχθεί στο σύστημα. <span style="color: #cc0000;"><strong><em><span style="color: black;">Με άλλα λόγια, τα μαθηματικά δεν θα είναι ποτέ το αυστηρό κι ακλόνητο σύστημα που οι μαθηματικοί ονειρεύονταν επί χιλιετίες</span>.</em></strong></span></span><br />
<span style="color: #cc0000;"><br />
<strong><em><span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;"></span></em></strong></span><br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<br />
<br />
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><strong> ΤΑ ΠΑΡΑΔΟΞΑ ΤΟΥ ΑΠΕΙΡΟΥ </strong></span><br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><strong> </strong></span><br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><strong> ΚΡΙΣΗ ΣΤΑ ΘΕΜΕΛΙΑ </strong></span><span style="color: blue; font-size: large;"><strong>ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ.</strong></span><br />
<br />
<br />
<span style="color: black;">Ο ορισμός του Cantor για την έννοια του συνόλου περιλάμβανε το συλλογισμό :</span><br />
<strong>" Σύνολο είναι μια ομάδα ομοειδών διακεκριμένων αντικειμένων που μπορούν να αποτελούν συγχρόνως μια ενιαία ολότητα".</strong> Για αρκετό καιρό αυτός ο ορισμός αν και διαισθητικός ικανοποιούσε την εμπειρική λογική και θεωρούνταν ασφαλής.Το αίτημα όμως της αναζητήσεως ενός πιο αυστηρού ορισμού με αξιωματική και τυποκρατική συγκρότητση έμενε ανοικτό. Η καντοριανή προσέγγιση παρέμενε ακλόνητη έστω ως αναγκαστική λύση. Τα πράγματα αλλάζουν όταν εμφανίζεται το πρώτο παράδοξο του Russel που απέδειξε την αντιφατικότητα του παραπάνω ορισμού. Αυτή η απρόσμενη εξέλιξη σήμανε την αποδόμηση της καντοριανής συνολοθεωρίας. Έκανε ακόμη πιο απαιτητική την ανάγκη μιας αξιωματικής συνολοθεωρίας σύμφωνης με την σύγχρονη επιστημολογία. Να ήταν μόνο αυτό! Το παράδοξο έφερε την αρχή μιας κρίσης στα θεμέλια των μαθηματικών. Πως ένας ορισμός που διαισθητικά μας ικανοποιεί αντιβαίνει στην λογική και παράγει αντιφάσεις; Πως σωριάζεται χάμω μια στέρεη μαθηματική θεωρία ; Γρήγορα εμφανίζονται πολλά παράδοξα ή καταγράφονται παλαιότερα από την εποχή του Ζήνωνα του Ελεάτη στην αρχαία Ελλάδα έως τον Γαλιλαίο. Ο καταιγισμός των λογικών παραδόξων αφορούσε κυρίως τα άπειρα αριθμοσύνολα και τις ιδιότητες τους. Φαινόταν ότι ιδιότητες των πεπερασμένων συνόλων πάνω στις οποίες στηριζόταν η εμπειρία μας δεν βρίσκαν εφαρμογή στο άπειρο. Σωστά οναμάστηκαν :' παράδοξα του απείρου".Πολλά τέτοια θα βρείτε στην ανάρτηση : ΔΙΑΣΚΕΔΑΣΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ αυτού του ιστολογίου. Φάνηκε λοιπόν ότι η γεννεσιουργός αιτία των παραδόξων ήταν η έννοια του απείρου. Το άπειρο φάνταζε λοιπόν απροσπέλαστο στην ανθρώπινη λογική. Γεμάτο με αδιέξοδα και αντινομήσεις. Έσπαγε τα όρια της πεπερασμένης αλήθειας και περιείχε ιδιότητες απόλυτα αντίθετες με τις κοινά αποδεκτές.<span style="color: black;"> <strong><em>Τα μαθηματικά αποδεικνυόταν ανίσχυρα να δαμάσουν το άπειρο. Φάνηκε η οριοθέτηση των δυνατοτήτων της μαθηματικής λογικής. Η λογική αυτή έχει όρια και δεν εφαρμόζεται στα άπειρα σύνολα. Η θεοποίηση του ορθολογισμού δέχεται πλήγμα</em></strong> .</span> Πόσο πεπεραμένη και οριοθετημένη είναι η λογική μας; Πόσες κατραπακιές δεν παθαίνει στο άπειρο με βάρκα την ελπίδα;Κατά τη γνώμη μου οι θεραπείες που προτάθηκαν από τότε δεν δίνουν πειστικές απαντήσεις σε αυτούς τους προβληματισμούς. Δεν αναιρούν τα παράδοξα , ούτε θεραπεύουν την αδυναμία της λογικής μας. Απλά μεταθέτουν το πρόβλημα. Φανερώνουν νέες θεωρήσεις ανώδυνες και λογικά τακτοποιημένες , χωρίς όμως να μελετούν τις παραδοξότητες. Ήταν πράγματι μια σοβαρή κρίση στα θεμέλια των μαθηματικών. Από τότε κάναμε ότι καλύτερο μπορούσαμε . Δημιουργήσαμε μια αξιωματική συνολοθεωρία που να ξεπερνά το σκόλοπα της αντιφατικής καντοριανής θεωρίας. Προσεγγίσαμε τα άπειρα αριθμοσύνολα με διαφορετικές προσεγγίσεις που να μη συγκρούονται με όσα κατανοούμε .Σώσαμε το γόητρό μας με όσο το δυνατό λιγότερες απώλειες. Μπράβο μας! Κανείς λόγος όμως για την ταμπακέρα. Πάψαμε να κοιτάμε το άπειρο και νομίσαμε ότι τελειώσαμε. Κρύψαμε τα παράδοξά του κάτω από το χαλί και πανηγυρίζουμε για την κάθαρση που πετύχαμε. Το άπειρο όμως μας κοιτά και χαμογελά πονηρά. Τα παράδοξά του μας υποδεικνύουν την αδυναμία της πεπερασμένης λογικής μας. Και φανταστείτε ότι ζούμε σε μια εποχή θεοποίησης του ορθολογισμού. Και φανταστείτε ότι τα μαθηματικά είναι ο βασιλιάς της λογικής.Το άπειρο συνεχίζει να μειδιά.. Καλά έχουν γράψει :<br />
<br />
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><em><strong>" Το άπειρο βρίσκεται </strong></em></span><span style="color: blue; font-size: large;"><em><strong> πέρα από τη φαντασία "</strong></em></span><br />
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><strong> <em>" Άπειρο :</em></strong></span><strong><span style="color: blue; font-size: large;"><em>Τα μαθηματικά της αθανασίας ".</em></span></strong><br />
<br />
<br />
<strong>Μόσχος Αλέξανδρος.</strong><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<h1>
<span style="color: blue; font-size: large;"> <span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;">Φιλοσοφικοί προβληματισμοί</span></span></h1>
<h1>
<strong><span style="color: blue; font-family: "times" , "times new roman" , serif; font-size: large;">για το θεώρημα των 4 χρωμάτων ...</span></strong><span style="font-size: large;"><span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;"> <span style="color: blue;"> </span></span></span></h1>
<span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif; font-size: large;"><strong><em>Ορισμός του προβλήματος…</em></strong></span><br />
<span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;"><br />
</span><br />
<span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;"><span lang="ZH-TW"><span lang="ZH-TW"> </span></span>Οποιαδόποτε επιφάνεια που χωρίζεται σε περιοχές, όπως ένας πολιτικός χάρτης των νομών ενός κράτους, μπορούν να χρωματιστούν χρησιμοποιώντας λιγότερα από τέσσερα χρώματα κατά τέτοιο τρόπο ώστε καμία από δύο <b>παρακείμενες περιοχές να μην έχουν το ίδιο χρώμα</b>.<span lang="ZH-TW"><span lang="ZH-TW"> </span></span> ήταν το <b>πρώτο σ</b>ημαντικό θεώρημα που αποδεικνύεται, χρησιμοποιώντας <b>υπολογιστή</b>, και η απόδειξη δεν είναι αποδεκτή από όλους τους μαθηματικούς επειδή θα ήταν αδύνατον για έναν άνθρωπο να το ελέγξει με το χέρι.</span><br />
<span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;"><br />
</span><br />
<span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif; font-size: large;"><strong>Προβληματισμοί ...</strong></span><br />
<span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;"><br />
</span><br />
<div>
<span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;">Η </span><a href="http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=el&langpair=en%7Cel&u=http://www.ccs3.lanl.gov/mega-math/gloss/math/proof.html&rurl=translate.google.gr&twu=1&usg=ALkJrhhio6JJmZq1_Wk0KdJUh7WczIhR-Q"><span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;">απόδειξη</span></a><span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;"> του Θεωρήματος των 4 χρωμάτων είναι μια πύλη προς ορισμένα ενδιαφέροντα </span><span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;">ερωτήματα σχετικά με το ρόλο του ανθρώπινου νου και των υπολογιστικών μηχανών στα μαθηματικά. <span onmouseout="_tipoff()" onmouseover="_tipon(this)"> Είναι θεμιτό να αποδεικνύει η μηχανή κάτι που ο άνθρωπος αδυνατεί; <span style="color: #cc0000;"><strong><em><span style="color: black;">Φανερώνει κάτι τέτοιο μια αδυναμία και ένα φυσικό περιορισμό στις δυνατότητες της ανθρώπινης νόησης; Είναι αποδεκτές στα μαθηματικά αποδείξεις που δεν μπορεί να τις παρακολουθήσει το ανθρώπινο μυαλό αλλά είναι προϊόν ενός ηλεκτρονικού υπολογιστή;Αλλάζει με το τρόπο αυτό η υφή και</span> <span style="color: black;">η </span><span style="color: black;">φύση της μαθηματικής επιστήμης;</span></em></strong></span> Προς το καλύτερο άραγε ή προς το χειρότερο; Είναι δεκτός ο υπολογιστής ως χρήσιμο εργαλείο σκέψης και απόδειξης στα μαθηματικά , με τρόπο ώστε να υποκαθιστά τον ανθρώπινο νου;</span></span><br />
<span style="font-family: "times";"></span><span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;"><br />
</span></div>
</div>
</div>
<span style="font-family: "times" , "times new roman" , serif;"><br />
</span><br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><strong>O μύθος του Ευκλείδη.</strong></span><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<strong><em><span style="color: blue;">Η ευκλείδεια γεωμετρία εκφράζει τις μόνες απόλυτες αλήθειες γιατί εναρμονίζονται πλήρως με την εμπειρική μας διαίσθηση και άρα αντιστοιχούν στην μόνη πραγματικότητα.</span></em></strong></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black;">Για περισσότερα από 50 χρόνια οι μαθηματικοί προσπαθούσαν να αποδείξουν το πέμπτο αξίωμα του Ευκλείδη. Στράφηκαν σε πολλές κατευθύνσεις αλλά όλες οι προσπάθειες απέτυχαν. Κάποια στιγμή τον 19ο αιώνα αποδείχθηκε η ανεξαρτησία του 5ου αξιώματος. Μέσα δηλαδή στο τυποκρατικό αξιωματικό σύστημα της ευκλείδειας γεωμετρίας δεν μπορούσε να αποδειχθεί ούτε ως αληθές , ούτε ως ψευδές. Άμεση συνέπεια αυτής της ανεξαρτησίας ήταν ότι θα μπορούσε να αντικατασταθεί με ένα άλλο αντίθετό του χωρίς να αποδομηθεί η ορθότητα της γεωμετρίας ως λογικό οικοδόμημα. Αυτό έπραξαν οι μη ευκλείδειες γεωμετρίες , αντικαθιστώντας το αίτημα των παραλλήλων με άλλα αξιώματα. Κατασκευάστηκαν με τον τρόπο αυτό τυπικά αξιωματικά συστήματα γεωμετριών καθ΄ όλα συνεπή και συγκροτημένα που όμως στερούνται εμπειρικής επικύρωσης. Συγκρούονται δηλαδή καταφανώς με τις πραγματικές αισθήσεις μας.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
Γεννιούνται έτσι φιλοσοφικά ζητήματα με αφορμή την ανάπτυξη των μη ευκλείδειων γεωμετριών. Είναι αποδεκτή μια μαθηματική θεωρία επειδή έχει λογική συνέπεια αλλά αντικρούεται με την διαίσθηση και την εποπτική μας αντίληψη περί πραγματικότητας; Μπορούμε να δεχθούμε μια θεωρία που περιέχει παράλογα συμπεράσματα σχετικά με την εμπειρία μας επειδή διαθέτει συνέπεια και μη αντιφατικότητα; Μπορούν τα μαθηματικά να απομακρυνθούν από την μελέτη της πραγματικότητας που μας περιβάλλει και να μετατραπούν σε λογικό σύστημα αξιωμάτων;</div>
<div style="text-align: justify;">
<strong><span style="color: black;">"Τα γεωμετρικά αξιώματα είναι ως εκ τούτου ούτε συνθετικές εξ' ορισμού επινοήσεις ούτε εμπειρικά γεγονότα. Είναι συμβάσεις. Η επιλογή μας ανάμεσα σε όλες τις πιθανές συμβάσεις κατευθύνεται από πειραματικά δεδομένα αλλά παραμένει ελεύθερη και περιορίζεται μόνο από την αναγκαιότητα να αποφύγουμε κάθε αντίφαση, και έτσι είναι ότι οι παραδοχές μπορούν να παραμείνουν αυστηρά αληθινές ακόμα και όταν οι πειραματικοί νόμοι που καθόρισαν την υιοθέτησή τους είναι μόνο προσεγγιστικοί ".</span></strong></div>
<div style="text-align: justify;">
<strong><span style="color: #cc0000;"><span style="font-size: large;">Καμμία γεωμετρία δεν είναι περισσότερο αληθινή. Είναι απλά πιο βολική ".<br />
</span><span style="font-size: small;">Ανρί Πουανκαρέ. Γάλλος μαθηματικός</span></span></strong></div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
<br />
<br />
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><strong>Η ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ Η ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ.</strong></span><br />
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "times new roman";"></span><span lang="JA" style="font-family: "timesnewroman" , "bold";"><strong>ΑΦΑΙΡΕΣΗ</strong></span><span lang="JA" style="font-family: "timesnewroman" , "italic";"></span><span lang="JA" style="font-family: "timesnewroman";">από φιλοσοφική άποψη είναι η ικανότητα του ανθρώπινου μυαλού να απομονώνει τα βασικά χαρακτηριστικά ομοειδών αντικειμένων και να σχηματίζει τη λογική έννοια στην οποία υπάγονται αυτά τα αντικείμενα</span><span style="font-family: "times new roman";">, </span><span lang="JA" style="font-family: "timesnewroman";">π</span><span style="font-family: "times new roman";">.</span><span lang="JA" style="font-family: "timesnewroman";">χ</span><span style="font-family: "times new roman";">. </span><span lang="JA" style="font-family: "timesnewroman";">δένδρο</span><span style="font-family: "times new roman";">, </span><span lang="JA" style="font-family: "timesnewroman";">αυτοκίνητο</span><span style="font-family: "times new roman";">, </span><span lang="JA" style="font-family: "timesnewroman";">παραλληλόγραμμο</span><span style="font-family: "times new roman";">, </span><span lang="JA" style="font-family: "timesnewroman";">κύλινδρος κλπ</span><span style="font-family: "times new roman";">.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span lang="JA" style="font-family: "timesnewroman";">Μερικές έννοιες που παράγονται με την αφαίρεση δε γίνονται άμεσα αντιληπτές με τις αισθήσεις μας</span><span style="font-family: "times new roman";">. </span><span lang="JA" style="font-family: "timesnewroman";">Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η αφαίρεση λειτουργεί σε δεύτε</span><span lang="JA" style="font-family: "timesnewroman";">ρο επίπεδο και οι έννοιες που παράγονται λέγονται </span><i><span lang="JA" style="font-family: "timesnewroman" , "italic";">αφηρημένες </span><span lang="JA" style="font-family: "timesnewroman";">έννοιες</span><span style="font-family: "times new roman";">. </span><span lang="JA" style="font-family: "timesnewroman";">Οι μαθηματι</span><span lang="JA" style="font-family: "timesnewroman";">κές έννοιες κατά κανόνα ανήκουν σ</span><span style="font-family: "times new roman";">’ </span><span lang="JA" style="font-family: "timesnewroman";">αυτή τη κατηγορία</span><span style="font-family: "times new roman";">. </span><span lang="JA" style="font-family: "timesnewroman";">Ως παράδειγμα αναφέρουμε τους </span><i><span lang="JA" style="font-family: "timesnewroman" , "italic";">φυσικούς αριθμούς </span></i></i></div>
<div align="left">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "times new roman";"></span><span lang="JA" style="font-family: "timesnewroman" , "bold";"><strong>ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ</strong><i><span lang="JA" style="font-family: "timesnewroman" , "italic";"> </span><span lang="JA" style="font-family: "timesnewroman";">είναι η νοητική λειτουργία</span><span style="font-family: "times new roman";">, </span><span lang="JA" style="font-family: "timesnewroman";">η οποία μας οδηγεί από ένα σύνολο αντι</span><span lang="JA" style="font-family: "timesnewroman";">κειμένων ενός γνωστικού τομέα σε ένα ευρύτερο</span><span style="font-family: "times new roman";">, </span><span lang="JA" style="font-family: "timesnewroman";">τα αντικείμενα του οποίου έχουν κοινά χαρακτηριστικά με τα αντικείμενα του πρώτου</span><span style="font-family: "times new roman";">. </span><span lang="JA" style="font-family: "timesnewroman";">Ενώ με την αφαίρεση ο νους συγκρατεί τα βασικά γνωρίσματα των αντικειμένων αφαιρώντας τα υπόλοιπα</span><span style="font-family: "times new roman";">, </span><span lang="JA" style="font-family: "timesnewroman";">με τη γενίκευση επεκτείνει τα χαρακτηριστικά γνωρίσματα και σχηματίζει ευρύτερες συλλογές αντικειμένων που συγκεντρώνουν αυτά τα χαρα</span><span lang="JA" style="font-family: "timesnewroman";">κτηριστικά</span><span style="font-family: "times new roman";">.</span></i></span> </div>
</div>
<div align="left" style="text-align: justify;">
<strong><br />
</strong></div>
<div align="left" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="left" style="text-align: justify;">
<strong>Περισσότερα<a href="http://www.p-theodoropoulos.gr/ergasies/mathimat-afairgenik.pdf"> <span style="background-color: yellow; color: #990000; font-size: large;">εδώ.</span></a></strong><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<strong> <span style="color: blue;"> AΠΟΔΕΙΞΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ : </span></strong><br />
<strong><span style="color: blue;">ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΝΑΓΚΑΙΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΦΥΣΗΣ ΣΤΗΝ ΑΝΑΓΚΑΙΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΝΟΥ .</span></strong></div>
<div align="left" style="text-align: justify;">
</div>
<div align="left" style="text-align: justify;">
<span style="color: black;">Στην κλασσική γεωμετρική μέθοδο των Στοιχείων του Ευκλείδη τα αξιώματα και οι ορισμοί αποτελούσαν τις αρχικές αδιαπραγμάτευτες έννοιες. Θεμελιώδεις αποφάνσεις με υποθετικό χαρακτήρα και αντικειμενική ισχύ. Η αποδοχή τους ήταν καθολική γιατί εξέφραζαν την ουσία των πραγμάτων κατά το απόλυτο είναι τους. Αποτελούσαν εφαρμογή της φυσικής πραγματικότητας και επικυρωνόταν εμπειρικά , ανεξάρτητα από το ατομικό και υποκειμενικό είδωλο. Ήταν δηλαδή οι αναγκαία αληθείς προτάσεις που οδηγούσαν ασφαλώς στη συγκρότηση μιας απαγωγικής επιστήμης που στόχο έχει την ερμηνεία της φυσικής πραγματικότητας. Ανάλογα ο αποδεικτικός συλλογισμός που οδηγεί στην διατύπωση απλών ή πολύπλοκων συμπερασμάτων ( θεωρημάτων ) είναι η μέθοδος συγκρότησης κοσμοθεωρίας που μελετά την φύση των πραγμάτων. Τα πρώτα συμπεράσματα οδηγούν σε νέα μέσα από μια λογική αλληλουχία οικοδομώντας ένα κτίσμα με σαφή και σφιχτοδεμένη δάρθρωση και σύνδεση των μερών του. Οι γενικές επισημάνσεις οδηγούν σε ειδικές μέσα από μια αυστηρή τάξη συλλογισμών. Όλο αυτό το σύστημα όμως αντικατοπτρίζει έναν λογικό-φυσικό παραλληλισμό και αναπαριστά τη φύση και την ουσία των πραγμάτων. Αποτελεί οικοδόμημα που με στήριγμα τις νοητικές διεργασίες ερμηνεύει και διασαφηνίζει την εμπειρία και την πραγματικότητα.</span></div>
<div align="left" style="text-align: justify;">
Στον μετέπειτα φορμαλισμό όμως το ίδιο νοητικό οικοδόμημα λογικής αλληλουχίας συλλογισμών αποκόπτεται από την ουσία του είναι και παραμένει στην ουσία του σκέπτεσθαι. Περνάει από την αναγκαιότητα της φύσης στην απόλυτη αναγκαιότητα του νου. Οι αρχικές έννοιες είναι λογικές συμβάσεις με υποκειμενική θεώρηση και ισχύ. Χάνουν την αντικειμενικότητά τους και την σύνδεση με την παραγματικότητα. Αποτελούν απλές υποθέσεις με διυποκειμενική συναίνεση και χωρίς μοναδική ταυτοποίηση. Εμφανίζονται περισσότερα από ένα υποκειμενικά οικοδομήματα με την ίδια σφιχτοδεμένη διάρθρωση που παρέχουν πολλαπλές ερμηνείες του ίδιου θέματος. Χάνουν κάθε αναφορά στο πράγμα ή στη φύση και συνδέονται μόνο με την απαίτηση του νου για συμβατότητα και πληρότητα. Η εγκυρότητα της δεν στηρίζεται στην περιγραφή μιας πραγματικής ή φανταστικής φύσης αλλά μέσω της ανυπαρξίας της στηρίζεται αποκλειστικά στις νοητικές διεργασίες και στη δύναμη του νου. Η απόδειξη πλέον δεν προσπαθεί να οδηγήσει σε αιώνιες αλήθειες εμπειρικά κατοχυρωμένες αλλά αποτελεί κατάκτηση του ανθρώπινου πνεύματος να σκέπτεται ορθά. <strong>Πρόκειται για το πέρασμα από την απόδειξη ως αναγκαιότητα της φύσης στην απόδειξη ως αναγκαιότητα του νου. </strong></div>
<div align="left" style="text-align: justify;">
<strong><br />
</strong></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
Αλέξανδρος Μόσχοςhttp://www.blogger.com/profile/04357778829560813366noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-7730717435979339231.post-13763130104094229602011-01-23T03:20:00.000-08:002016-02-28T08:55:35.736-08:00ΧΡΗΣΙΜΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://3.bp.blogspot.com/-KnmklZwCPY0/Uu1JzWTKmiI/AAAAAAAAA24/IM9OkN2dLvo/s1600/esa_satellite.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="151" src="https://3.bp.blogspot.com/-KnmklZwCPY0/Uu1JzWTKmiI/AAAAAAAAA24/IM9OkN2dLvo/s1600/esa_satellite.jpg" width="200" /></a></div>
<em><strong><span style="color: blue; font-size: large;"><br /></span></strong></em><em><strong><span style="color: blue; font-size: large;"><br /></span></strong></em>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<em><strong><span style="color: blue; font-size: large;">"Ένα σκοτεινό δωμάτιο δεν είναι απαραίτητα άδειο. "<br />
<br />
<span style="color: #990000;">Το δωμάτιο αυτό είναι τα μαθηματικά. Αν και σκοτεινό για κάποιους , γεμάτο πάντως με θησαυρούς , έτοιμους να τους ανακαλύψεις.</span></span></strong></em><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.youtube.com/embed/gXLskilh9oI?feature=player_embedded' frameborder='0'></iframe></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="color: blue;"><b>Τα μαθηματικά υδρεύουν τη Σάμο.</b></span></div>
<br />
<br />
<br />
<em> </em><strong><em><span style="color: blue; font-size: large;">" Προς τε γαρ οικονομίαν και προς πολιτείαν και προς τας τέχνας πάσας , εν ουδέν ούτω δύναμιν έχειν παίδειον μάθημα ή η περί τους αριθμούς διατριβή"</span><br />
<span style="color: red; font-size: large;">Δηλαδή : " Για την οικονομία , την πολιτεία και για όλες τις τέχνες κανένα άλλο μάθημα δεν έχει τέτοια παιδευτική δύναμη όσο η Αριθμητική".</span><br />
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;">Πλάτωνας ( 427 π.Χ - 347 π.Χ)</span></em></strong><br />
<br />
<br />
<br />
<span style="font-size: large;"><span style="color: #cc0000;"><b>Mαθητής του Ευκλείδη :</b></span> <b><span style="color: blue;">Και τι θα κερδίσω εγώ από όλα αυτά που μας μαθαίνεις;</span></b></span><br />
<b><span style="font-size: large;"><span style="color: #cc0000;">Ευκλείδης : </span><span style="color: blue;">Δώστε του δέκα δηνάρια γιατί ετούτος θέλει να κερδίζει για να μαθαίνει!</span></span></b><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><i><b>O επιστήμονας μελετά τη φύση όχι γιατί είναι χρήσιμη. Τη μελετά γιατί είναι όμορφη και τον σαγηνεύει.Αν δεν τον σαγήγευνε δεν θα άξιξε τον κόπο να την μελετά. Το ίδιο συμβαίνει και με τη ζωή μας.Δεν τη ζούμε γιατί είναι χρήσιμη αλλά γιατί είναι όμορφη. Αλίμονο αν η ζωή μaς δεν μας σαγηνεύει , δεν θα άξιζε τον κόπο να τη ζούμε!</b></i></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><i><b><br /></b></i></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #cc0000; font-size: large;"><i><b>Η.Poincare.</b></i></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
<br />
<br />
<br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;">- Σε τι χρησιμεύουν τα μαθηματικά;</span></b><br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;">- Ο έρωτας σε τι χρησιμεύει;</span></b><br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;">- Συγκρίνεις τον έρωτα με τα μαθηματικά;</span></b><br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;">- Οτιδήποτε σημαντικό πρέπει οποσδήποτε να χρησιμεύει;</span></b><br />
<br />
<b><span style="color: #990000;"><i>Απόσπασμα από το βιβλίο : "Εξηγώντας τα μαθηματικά στις κόρες μου" του Ντενί Γκετζ.</i></span></b><br />
<b><span style="color: #990000;"><i><br /></i></span></b>
<br />
<br />
<br /></div>
<br /><br /><div style="text-align: justify;">
«O κόσμος στον οποίο ζούμε» , «κυριαρχείται από τα μαθηματικά, αλλά την ίδια στιγμή τα μαθηματικά μπαίνουν στο υπόγειο, γίνονται αόρατα. Eίναι κρυμμένα στις οικιακές συσκευές, πίσω από τις οθόνες των υπολογιστών, πίσω από τις εντολές του προπονητή που συζητά την στρατηγική του παιχνιδιού κ.λ.π. Eίναι δύσκολο να φανταστώ κάτι στο οποίο δεν εμπλέκονται τα μαθηματικά.</div>
<div style="text-align: justify;">
Aυτή είναι φανερή γοητεία των μαθηματικών για τον καθηγητή Delven.«Eφαρμόζονται παντού: από τα στίγματα των λεοπαρδάλεων, μέχρι το πως κινούνταν οι δεινόσαυροι. Aπό τις μεθόδους νίκης στους Oλυμπιακούς αγώνες μέχρι το πως χάνει κάποιος λεφτά στον τζόγο και τις ασφάλειες για τον καιρό.»</div>
<div style="text-align: justify;">
Tα μαθηματικά είναι πανταχού παρόντα στην φύση και την ζωή μας. Bρίσκονται στα πράγματα που βλέπουμε κι αγγίζουμε. Eίναι η παγκόσμια γλώσσα της φύσης και αγγίζουν κάθε πτυχή του σύγχρονου βίου.</div>
<div style="text-align: justify;">
H άγνοια της μαθηματικής επιστήμης από το μεγαλύτερο μέρος του κοινού έχει, κατά τον Keith Delven, και σοβαρές πολιτικές επιπτώσεις.«Mπορείς εύκολα να κοροϊδέψεις τον κόσμο χρησιμοποιώντας μαθηματικά. Tο μόνο που χρειάζεται να κάνεις είναι να ρίξεις μερικές εξισώσεις και οι άνθρωποι θα απομακρυνθούν σκεπτόμενοι: "Δεν το καταλαβαίνω, αλλά αφού το λένε αυτοί που ξέρουν μαθηματικά, έχουν δίκιο." Mπορείς να τους εξαπατήσεις με νούμερα, στατιστικές και μαθηματικά διαγράμματα. Eλπίζω, ότι στο μέλλον οι άνθρωποι θα κατανοούν καλύτερα τα μαθηματικά, για να εξαπατώνται από όμορφες παρουσιάσεις με μια μικρή δόση μαθηματικών.»</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<span style="color: #990000;"><b>Keith Delven</b></span><br />
<br />
<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: blue;"><b><i>Στην ερώτηση : "Που μας χρησιμεύουν τα μαθηματικά" , δίνουμε πάντα την ίδια κοινότοπη απάντηση: "Τα μαθηματικά είναι χρήσιμα στη ζωή μας". Η αλήθεια είναι ότι κανείς δε μένει ικανοποιημένος από αυτή την απάντηση. Τα πράγματα είναι λίγο διαφορετικά. Τα μαθηματικά βρίσκονται παντού γύρω μας , αλλά χρειάζεται προσπάθεια να τα ακαναλύψουμε. Όλες οι επιστήμες χρησιμοποιούν μαθηματικά για να λύσουν τα δικά τους προβλήματα. Η φυσική , η ιατρική , η βιολογία , η μηχανική , η γεωλογία , οι οικονομικές επιστήμες στηρίζονται στα μαθηματικά. Χωρίς μαθηματικά ξεχάστε όλες τις τεχνολογικές εφευρέσεις του ανθρώπου συμπεριλαμβανομένων των κινητών σας τηλεφώνων και των ηλεκτρονικών υπολογιστών. Πόσα μαθηματικά κρύβονται πίσω από αυτά τα θαύματα του ανθρώπινου πολιτισμού. Πόσα λίγα από αυτά τα μαθηματικά γμωρίζουμε; Πόσος κόπος χρειάζεται να τα ανακαλύψουμε; Πόσο φτωχότερη θα ήταν η ζωή μας χωρίς αυτά!</i></b></span></div>
<i><br />
</i><br />
<br />
<br />
<strong><span style="color: #cc0000; font-size: large;">Τα μαθηματικά στη καθημερινή ζωή!</span></strong><br />
<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><strong><em>" Για να φανταστούμε την χρησιμότητα των μαθηματικών στη ζωή μας , αρκεί να φανταστούμε τήν ζωή μας χωρίς μαθηματικά."</em></strong></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<strong><br />
</strong></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><strong><em>Λάο Τσε. Κινέζος φιλόσοφος ( 6oς π.Χ αιώνας).</em></strong></span></div>
<span style="font-size: large;"><a class="image" href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%91%CF%81%CF%87%CE%B5%CE%AF%CE%BF:Lao_Tzu_-_Project_Gutenberg_eText_15250.jpg"><strong><em></em></strong></a></span><strong><em><span style="color: blue; font-size: x-large;"><span style="font-size: large;"> </span></span></em></strong><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black;"><strong><em>Πράγματι φανταστείτε τον κόσμο μας χωρίς τη δυνατότητα να μετράμε:</em></strong></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<div style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none;">
<span style="color: black;"><strong><em>το βάρος μας , το ύψος μας , τα χρήματα που πληρώνουμε ή μας πληρώνουν , τα λίτρα πετρελαίου που καταναλώνουμε , τα λίτρα λαδιού , τις θερμίδες όταν κάνουμε δίαιτα , τα μιλιλίτρα γάλατος που πίνουμε , τον μισθό που παίρνουμε , το δάνειο που πληρώνουμε , το επιτόκιο των καταθέσεών μας , το Φ.Π.Α που αποδίδει ο επιχειρηματίας , τις κιλοβατώρες του ρεύματος που ξοδεύουμε τις τηλλεφωνικές μονάδες αστικές και υπεραστικές , , τα τέρματα που πέτυχε ο ΠΑΟΚ στον χθεσινό αγώνα , τις νίκες που απολείπονται για να πάρει το πρωτάθλημα , το σκορ ενός αγώνα μπάσκετ , τα ποσοστά επιτυχίας του τάδε παίκτη , τα στατιστιά του αγώνα , τους βαθμούς που πρέπει να γράψουμε για να μπούμε στο πανεπιστήμιο ,τις βάσεις εισαγωγής μας , τους ψήφους που χρειάζεται ο τάδε υποψήφιος στις εκλογές για να εκλεγεί δήμαρχος ή βουλευτής , τα ποσοστά κάθε κόμματος , τον αριθμό βουλευτών που εκλέγει στο κοινοβούλιο , το μέγεθος ενός ανέμου ή ενός σεισμού , τη θερμοκρασία του σώματος μας για α δούμε αν έχουμε πυρετό , την εξωτερικη και την εσωτερική θερμοκρασία , τα επιτρεπτά για την ανθρώπινη υγεία όρια ρύπων της ατμόσφαιρας, τα επιτρεπτά όρια εκπομπής ραδιενέργειας και......... και......... και ............</em></strong></span></div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
<div style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none;">
<span style="color: black;"><strong><em>Φανταστείτε έναν κόσμο χωρίς υπολογισμούς , πράξεις , αναλύσεις ,σχέδια , λογική συγκρότηση.</em></strong></span></div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<div style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none;">
<span style="color: black;"><br />
</span></div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<div style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none;">
<span style="color: black;"><strong><em>Φανταστείτε έναν κόσμο χωρίς να βρίσκουμε τα εμβαδά των αγροτεμαχίων , των οικοπέδων , των δωματίων , των θαλλάσιων εκτάσεων.Έναν κόσμο χωρίς γεωμετρικά σχέδια , τοπογραφικά , ρυμοτομικά , γραμμικά καιελεύθερα σχέδια. </em></strong></span></div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black;"><br />
</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black;"><strong><em>Έναν κόσμο χωρίς εικαστική τέχνη με γεωμετρική συμμετρία και κανονικότητα , χωρίς γνώση των γεωμετρικών σχημάτων και στερεών.Έναν κόσμο που δεν θα γνώριζε να υπολογίζει τον όγκο ενός κυλινδρικού δοχείου αποθήκευσης του καθημερινού λαδιού ή μιας κυλινδρικης ή ορθογώνιας δεξαμενής νερού ή πετρελαίου.</em></strong></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black;"><br />
</span><br />
<strong><br />
</strong><br />
<span style="color: blue;"><strong><em><u>ΠΕΙΡΑΜΑ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΑΠΙΣΤΟΥΣ ΘΩΜΑΔΕΣ</u> :</em></strong><a href="http://3.bp.blogspot.com/_9CTRRdiCeKE/TCsbLNttBjI/AAAAAAAAB54/WzfP20XutPM/s1600/2.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><strong><em></em></strong></a></span><br />
<strong><br />
</strong><br />
<span style="color: blue;"><strong><em>Σχεδιάστε ένα πίνακα και σημειώνετε καθημερινά τις φορές που χρειάστηκε να μετρήσετε κάτι ή ν υπολογίσετε κάτι κατά τη διάρκεια μιας ημέρας. Τα ml γάλατος που πίνετε , τα ρέστα που σας δίνει ο μπακάλης , κ.α. Πόσο συχνά άραγε χρειάζεστε τους αριθμούς , τις πράξεις , τα μαθηματικά;</em></strong></span><br />
<span style="color: blue;"></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
<br />
<strong><span style="background-color: white; color: blue; font-size: large;"><em>Ένα συνηθισμένο πρωινό, ενός συνηθισμένου ανθρώπου </em></span></strong></div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
<img class="rg_hi" data-height="82" src="http://t1.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcRnyg3x0GjfaLq9RLrJJX-ZQn0cQAyhaBCrq2TutSnr5CSnEpNQ" data-width="82" height="82" id="rg_hi" style="height: 82px; width: 82px;" width="82" />Το ραδιόφωνο - ξυπνητήρι του Θανάση χτύπησε στις 7:00. Χάρη στην ψηφιακή τεχνολογία, βασισμένη στην αριθμητική ανάλυση και στο δυαδικό σύστημα, το δωμάτιο γέμισε μουσική, λες και μια ορχήστρα ολόκληρη είχε μαζευτεί στο προσκέφαλό του. Σηκώθηκε. <br />
Σε δέκα λεπτά το ψυγείο και το φουρνάκι του,<img class="rg_i" src="http://t1.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcSMvm4EglNv6iXvElQ1gGXWFfZQ1t-T3zzejJmruI2hWzUYM51PBg" data-src="http://t1.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcSMvm4EglNv6iXvElQ1gGXWFfZQ1t-T3zzejJmruI2hWzUYM51PBg" data-sz="f" height="68" name="xen9AZ5YrRgKqM:" onload="this.style.display='inline';google.stb.csi.onTbn(0, this)" style="display: inline; height: 68px; width: 68px;" width="68" /> που λειτουργούσαν με fuzzy logic - παρακλάδι της πλειότιμης συμβολικής λογικής, που ήταν υπεύθυνη και για την ασφαλή λειτουργία του ABS στο αυτοκίνητό του - τού εξασφάλισαν ένα πλούσιο πρωινό. <br />
<br />
Στις 7: 40 πληκτρολογούσε στον συναγερμό τον τετραψήφιο κωδικό του (η θεωρία των πιθανοτήτων λέει πως ο ενδεχόμενος διαρρήκτης είχε μόλις μία πιθανότητα στις 10.000 να τον παραβιάσει) και έφυγε ήσυχος για τη δουλειά.<br />
<br />
Μπήκε στο Μετρό - άλλο θαύμα κι αυτό, σήραγγες, κανάλια υπονόμων, δίκτυα παροχής, μια ολόκληρη υπόγεια πόλη σχεδιασμένη με βάση τα γραφήματα του Όιλερ - βολεύτηκε και άνοιξε την εφημερίδα: <img height="161" id="il_fi" src="https://1.bp.blogspot.com/_uMaaWN6aADI/TTWlb7ZOfiI/AAAAAAAADGU/vlSOlOnk5M4/s320/18_01_2011_trox5.jpg" style="padding-bottom: 8px; padding-right: 8px; padding-top: 8px;" width="320" />«Μείωση κατά 12% των ατυχημάτων μετά την εφαρμογή του αλκοτέστ - 27% των οδηγών συμμορφώθηκαν ήδη με τους νέους αυστηρούς κανονισμούς». 12%, 27%! Και πώς το βρήκανε; Τα νύχια τους μυρίσανε; <br />
Γύρισε στα αθλητικά. <img class="rg_i" src="http://t1.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcSVUCx1A0yRhN1qdH-qmT8DcZaHSCWuEX4rZcoRJgp9VaDDP1QSfw" data-src="http://t1.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcSVUCx1A0yRhN1qdH-qmT8DcZaHSCWuEX4rZcoRJgp9VaDDP1QSfw" data-sz="f" height="147" name="olOJT_m6udlqfM:" onload="this.style.display='inline';google.stb.csi.onTbn(0, this)" style="display: inline; height: 147px; width: 187px;" width="187" />Ο Κωνσταντίνου να στέλνει με κεφαλιά στα δίχτυα το ημικανονικό 32-εδρο β' τύπου του Αρχιμήδη (την μπάλα του ποδοσφαίρου δηλαδή) δέσποζε στη σελίδα. Στις 8: 30 έμπαινε στο γραφείο. <br />
<br />
<br />
Άνοιξε τον υπολογιστή (ήταν γεμάτος ολοκληρωμένα κυκλώματα βασισμένα στην άλγεβρα Μπουλ, αλλά ο Θανάσης ούτε το ήξερε ούτε ήθελε να το μάθει) και μπήκε στο Ίντερνετ. Ο κώδικας RSA βασισμένος στους πρώτους αριθμούς τού εξασφάλισε μια ασφαλή σύνδεση και άνοιξε το ηλεκτρονικό ταχυδρομείο. Μήνυμα από τη Μαρία! - το πρόσωπο. Καλό κορίτσι η Μαρία, σκέφτηκε. Καλλιεργημένη, πρόσχαρη, σπιρτόζα, όμορφη. Ένα μονάχα κουσούρι είχε. Σπούδαζε Μαθηματικά. Χάθηκε να σπουδάσει κάτι άλλο, κάτι πιο κοντά στην καθημερινή ζωή, κάτι χρήσιμο τέλος πάντων! Έτσι σκέφτηκε ο Θανάσης και βγήκε επειγόντως απ' το e-mail γιατί πλησίαζε ο διευθυντής... </div>
<br />
<strong><span style="color: black;"> Tεύκρος Μιχαηλίδης.</span></strong><br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<object class="BLOGGER-youtube-video" classid="clsid:D27CDB6E-AE6D-11cf-96B8-444553540000" codebase="http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=6,0,40,0" data-thumbnail-src="https://ytimg.googleusercontent.com/vi/85VopKmA_Y8/0.jpg" height="266" width="320"><param name="movie" value="https://youtube.googleapis.com/v/85VopKmA_Y8&source=uds" /><param name="bgcolor" value="#FFFFFF" /><param name="allowFullScreen" value="true" /><embed width="320" height="266" src="https://youtube.googleapis.com/v/85VopKmA_Y8&source=uds" type="application/x-shockwave-flash" allowfullscreen="true"></embed></object><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="color: blue;"><b>Γιατί μαθηματικά; Γιατί όχι; </b></span></div>
<br />
<br />
<br />
<strong><em><span style="color: blue; font-size: x-large;">Ta μαθηματικά στο σύμπαν !</span></em></strong><br />
<br />
<a href="http://images.tanea.gr/assetservice/Image.ashx?c=14530918&r=0&p=0&t=0&q=100&v=1&s=1&w=800" rel="lightbox[fotos]" title="Μία διαστρική σύγκρουση ανάμεσα σε μέλη ενός γαλαξιακού συμπλέγματος. Με μπλε χρώμα είναι οι νεώτεροι αστέρες, με κόκκινο οι γηραιότεροι "><img align="left" border="0" src="http://images.tanea.gr/assetservice/Image.ashx?c=14530918&r=0&p=0&t=0&q=100&v=1&s=1&w=200" height="200" hspace="5" vspace="5" width="112" /></a><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<strong><em><span style="color: blue; font-size: large;">" Το σύμπαν είναι ένα υπέροχο βιβλίο με ομορφιά , αρμονία και πολλές εκπλήξεις. Για να το διαβάσει όμως κανείς σωστά πρέπει να ξέρει μαθηματικά γιατί είναι γραμμένο σε μαθηματική γλώσσα".</span></em></strong></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<strong><em><span style="color: blue; font-size: large;"><strong><span style="color: blue; font-size: large;">Γ</span></strong><strong><span style="color: blue; font-size: large;">αλιλαίος ( 1564 - 1642 ).</span></strong><br />
<br />
<strong><span style="color: blue; font-size: large;"> </span></strong></span></em></strong><br />
<div style="text-align: justify;">
<br />
<br />
<span style="color: blue;"><strong><em>Όταν το 1977 το διαστημόπλοιο Bόγιατζερ ξεκινούσε το μοναχικό του ταξίδι στο αχανές διάστημα, οι υπεύθυνοι της NaΣa, σκεπτόμενοι μια πιθανή συνάντησή του με εξωγήινα όντα, τοποθέτησαν στο εσωτερικό του ηχογραφημένα πολιτικά μηνύματα (από τον τότε πρόεδρο Tζίμι Kάρτερ, μεταξύ άλλων), την Πέμπτη του Mπετόβεν και μια πλάκα επικοινωνίας όπου είχαν χαραχτεί μαθηματικά σύμβολα. Mαθηματικά: ο εφιάλτης της σχολικής ζωής για πολλούς, πάνω απ' όλα όμως, μια αυτόνομη γλώσσα, ή ακριβέστερα: μια συμπαντική γλώσσα. </em></strong></span></div>
<span style="color: blue;"><br />
<strong><em></em></strong></span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<br />
<br />
<br />
<span style="color: #990000; font-size: large;"><b><i>To Σύμπαν είναι φτιαγμένο από μαθηματικά.</i></b></span><br />
<div class="post-area" style="margin: 0px; overflow: hidden; padding: 0px;">
<div class="post-content" style="clear: both; margin: 8px 0px 0px; padding: 0px;">
<div style="margin-bottom: 1.625em; padding: 0px; text-align: justify;">
<div style="text-align: left;">
<br /><span style="color: #990000;"><b>Kάθε άλλο παρά τυχαία η δημιουργία του…</b></span><br />
<div style="text-align: justify;">
ΤΟ ΒΗΜΑ: Από τι είναι φτιαγμένο το Σύμπαν; Οι πιο ρομαντικοί θα έλεγαν από αστερόσκονη, οι πιο πρακτικοί θα πουν από ύλη – φανερή, που τη βλέπουμε γύρω μας, και αόρατη, που την ονομάζουμε σκοτεινή. Ενας διάσημος κοσμολόγος, ο Μαξ Τέγκμαρκ του Ινστιτούτου Τεχνολογίας της Μασαχουσέτης (ΜΙΤ), έχει μια διαφορετική ιδέα: υποστηρίζει ότι το Σύμπαν είναι φτιαγμένο από… μαθηματικά.</div>
<div style="text-align: justify;">
Ο καθηγητής Τέγκμαρκ, ο οποίος έχει επίσης διατυπώσει τη λεγόμενη Θεωρία των πάντων του απόλυτου συνόλου (Ultimate ensemble theory of everything), που υποστηρίζει ότι όλες οι δομές που υπάρχουν μαθηματικά υπάρχουν επίσης και φυσικά, κυκλοφόρησε μόλις ένα βιβλίο με τον τίτλο «Our Mathematical Universe: My Quest for the Ultimate Nature of Reality» (Knopf, 2014), στο οποίο αναλύει τις απόψεις του για το ευρύ κοινό. Με αυτή την αφορμή έδωσε τον περασμένο Ιανουάριο μια διάλεξη στη Νέα Υόρκη, από την οποία σας μεταφέρουμε – μέσω των όσων γράφτηκαν στον αμερικανικό Τύπο – την κεντρική ιδέα.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<span style="color: #990000;"><div style="text-align: justify;">
<b>Μαθηματικές δομές</b></div>
</span><div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Σύμφωνα με τον καθηγητή Τέγκμαρκ, ό,τι υπάρχει στον κόσμο μας – από τα «άψυχα» πράγματα όπως οι πλανήτες ως τα έμψυχα όντα όπως οι άνθρωποι – αποτελεί μέρος μιας μαθηματικής δομής. Κάθε μορφή ύλης αποτελείται από άτομα τα οποία έχουν ιδιότητες, όπως π.χ. το φορτίο ή το σπιν τους, όμως αυτές οι ιδιότητες περιγράφονται μαθηματικά, επισημαίνει. Αντίστοιχα, προσθέτει, το ίδιο το Διάστημα έχει και αυτό ιδιότητες, όπως π.χ. οι διαστάσεις του, αλλά τελικά στο σύνολό του δεν είναι παρά μια μαθηματική δομή.</div>
<div style="text-align: justify;">
«Αν δεχθείτε την ιδέα ότι τόσο το ίδιο το Διάστημα όσο και όλα τα πράγματα που υπάρχουν μέσα σε αυτό δεν έχουν καθόλου ιδιότητες εκτός από τις μαθηματικές τους ιδιότητες, τότε η ιδέα ότι όλα είναι μαθηματικά αρχίζει να ακούγεται λίγο λιγότερο τρελή» είπε στη διάλεξή του. «Αν η ιδέα μου είναι λανθασμένη, τότε η Φυσική είναι τελικά καταδικασμένη. Αν όμως το Σύμπαν είναι μαθηματικά, τότε δεν υπάρχει σε αυτό τίποτε που να μην μπορούμε κατ’ αρχήν να καταλάβουμε».</div>
<div style="text-align: justify;">
Ο Μαξ Τέγκμαρκ, καθηγητής στο Τμήμα Φυσικής του Ινστιτούτου Τεχνολογίας της Μασαχουσέτης και το νέο του βιβλίο «Our Mathematical Universe»</div>
<div style="text-align: justify;">
Ο καθηγητής Τέγκμαρκ επεσήμανε ότι στη φύση βλέπουμε παντού μοτίβα. Ως ένα παράδειγμα ανέφερε την ακολουθία του Φιμπονάτσι, μια σειρά αριθμούς όπου ο κάθε αριθμός είναι το άθροισμα των δύο αριθμών που προηγούνται από αυτόν, την οποία βλέπουμε συχνά στη φύση: τα άνθη της αγκινάρας, μεταξύ άλλων, φαίνεται να υπακούουν πιστά σε αυτό το μαθηματικό μοτίβο, αφού η απόσταση που έχει κάθε πέταλο από το προηγούμενο ακολουθεί κατ’ αναλογίαν αυτή την ακολουθία. Εκτός από τον έμβιο κόσμο, τα μαθηματικά, προσέθεσε, είναι επίσης πανταχού παρόντα στον άψυχο κόσμο: όταν πετάμε μια μπάλα του μπέιζμπολ στον αέρα, αυτή ακολουθεί σε γενικές γραμμές μια παραβολική πορεία, ενώ οι πλανήτες και τα άλλα αστροφυσικά σώματα ακολουθούν ελλειπτικές τροχιές.</div>
<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<b><div style="text-align: justify;">
<b><span style="color: #990000;">Η αποτύπωση της ομορφιάς της φύσης</span></b></div>
</b><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
«Υπάρχει μια κομψή απλότητα και ομορφιά στη φύση που αποκαλύπτεται από μαθηματικά μοτίβα και σχήματα και την οποία τα μάτια μας μπόρεσαν να συλλάβουν» τόνισε, επισημαίνοντας ότι η μαθηματική φύση του Σύμπαντος είναι αυτή που δίνει στους επιστήμονες τη δυνατότητα να προβλέψουν θεωρητικά οποιαδήποτε παρατήρηση ή μέτρηση στη Φυσική. Ως παραδείγματα ανέφερε ότι τα μαθηματικά ήταν εκείνα που προέβλεψαν την ύπαρξη του πλανήτη Ποσειδώνα, των ραδιοκυμάτων και του μποζονίου Χιγκς πολύ πριν από την «απτή» απόδειξή τους.</div>
<div style="text-align: justify;">
Για τον Μαξ Τέγκμαρκ (ο οποίος λατρεύει τόσο τα μαθηματικά ώστε έχει διακοσμήσει το σαλόνι του με κορνιζαρισμένες διάσημες εξισώσεις) η μαθηματική δομή που υπάρχει στον φυσικό κόσμο δείχνει ότι τα μαθηματικά είναι πραγματικά και δεν υπάρχουν μόνο μέσα στο ανθρώπινο μυαλό. Πιστεύει δε ότι κάποτε θα μπορέσουν να εξιχνιάσουν τα ίδια τα μυστικά του φωτίζοντας το εκπληκτικό μυστήριο του ανθρώπινου εγκεφάλου και της συνείδησης.</div>
</div>
</div>
<div class="tptn_counter" id="tptn_counter_53116" style="background-color: #fdfdfd; color: #444444; font-family: helvetica, arial, 'trebuchet ms', sans-serif; font-size: 12px; line-height: 18px; margin: 0px; padding: 0px;">
</div>
</div>
</div>
<br />
<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<strong><em><span style="color: blue; font-size: large;">Οι μαθηματικοί νόμοι του Κέπλερ για το σύμπαν.</span></em></strong></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">1. Οι πλανήτες περιστρέφονται γύρω από το κεντρικό άστρο (ήλιος ) διαγράφοντας ελλείψεις. Στη θέση της μιας εστίας της έλλειψης βρίσκεται ο ήλιος.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"> ( Οι ελλείψεις είναι περίπτωση κωνικών τομών και διδάσκονται στα μαθηματικά κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου).</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><img border="0" src="http://www.foundalis.com/dep/sci/Kepler_2nd_law.gif" height="227" width="320" /></span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">2. Η νοητή ευθεία που συνδέει το κέντρο του πλανήτη με τo κέντρο του ήλιου διαγράφοι εμβαδά ανάλογα με το χρόνο.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">3. Τα τετράγωνα των χρόνων περιφοράς των πλανητών γύρω από τον ήλιο έχουν μεταξύ τους την ίδια σχέση που έχουν οι κύβοι των αποστάσεων.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<br />
<br />
<strong><em><span style="color: blue; font-size: large;"><img align="left" border="0" src="http://images.tanea.gr/assetservice/Image.ashx?c=14530914&r=0&p=0&t=0&q=100&v=1&s=1&w=200" height="175" hspace="5" vspace="5" width="200" /></span></em></strong><strong><em><span style="color: blue; font-size: large;">Έτος φωτός</span></em></strong><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><span style="color: black;">Η </span><a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%A4%CE%B1%CF%87%CF%8D%CF%84%CE%B7%CF%84%CE%B1_%CF%84%CE%BF%CF%85_%CF%86%CF%89%CF%84%CF%8C%CF%82" title="Ταχύτητα του φωτός"><span style="color: #0645ad;">ταχύτητα του φωτός</span></a><span style="color: black;"> στο </span><a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%9A%CE%B5%CE%BD%CF%8C" title="Κενό"><span style="color: #0645ad;">κενό</span></a><span style="color: black;"> είναι 299.792.458 m/s, επομένως το έτος φωτός ισοδυναμεί με 9.460.730.472.580,8 km ή περίπου εννιάμισι τρισεκατομμύρια </span><a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%A7%CE%B9%CE%BB%CE%B9%CF%8C%CE%BC%CE%B5%CF%84%CF%81%CE%BF" title="Χιλιόμετρο"><span style="color: #0645ad;">χιλιόμετρα</span></a><span style="color: black;">. Για να πάρουμε μια ιδέα του πόσο τεράστια είναι αυτή η απόσταση, αν τα χίλια χιλιόμετρα είχαν μήκος ενός χιλιοστού του </span><a class="mw-redirect" href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%9C%CE%AD%CF%84%CF%81%CE%BF" title="Μέτρο"><span style="color: #0645ad;">μέτρου</span></a><span style="color: black;">, το έτος φωτός θα ισοδυναμούσε με την απόσταση ανάμεσα στην </span><a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%91%CE%B8%CE%AE%CE%BD%CE%B1" title="Αθήνα"><span style="color: #0645ad;">Αθήνα</span></a><span style="color: black;"> και το </span><a class="mw-redirect" href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%A4%CF%8C%CE%BA%CF%85%CE%BF" title="Τόκυο"><span style="color: #0645ad;">Τόκυο</span></a><span style="color: black;">! Το έτος φωτός χρησιμοποιείται για τη μέτρηση αποστάσεων μεταξύ </span><a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%91%CF%83%CF%84%CE%AD%CF%81%CE%B1%CF%82" title="Αστέρας"><span style="color: #0645ad;">άστρων</span></a><span style="color: black;">, ενώ για μεγαλύτερες αποστάσεις χρησιμοποιείται το </span><span style="color: #0645ad;">παρσέκ.</span></span></div>
<br />
<br />
<li>Ημέρα φωτός: 25.902.068.371.200 μέτρα.</li>
<li>Ώρα φωτός: 1.079.252.848.800 μέτρα.</li>
<br />
<br />
<li>Λεπτό φωτός: 17.987.547.480 μέτρα</li>
<br />
<br />
<br />
<strong><span style="color: blue; font-size: large;">Μερικές αποστάσεις σε έτη φωτός</span></strong><br />
<br />
<span style="color: black;">Η απόσταση Γης-</span><a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%A3%CE%B5%CE%BB%CE%AE%CE%BD%CE%B7" title="Σελήνη"><span style="color: black;">Σελήνης</span></a><span style="color: black;"> είναι περίπου ένα δευτερόλεπτο φωτός.</span><br />
<br />
<br />
<li><div style="text-align: justify;">
<span style="color: black;">Ο </span><a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%92%CF%8C%CE%B3%CE%B9%CE%B1%CF%84%CE%B6%CE%B5%CF%81_1" title="Βόγιατζερ 1"><span style="color: black;">Βόγιατζερ 1</span></a><span style="color: black;"> το Σεπτέμβρη του </span><a href="http://www.blogger.com/wiki/2004" title="2004"><span style="color: black;">2004</span></a><span style="color: black;"> βρισκόταν 13 ώρες φωτός μακριά από τη Γη (περίπου ενάμισι χιλιοστό του έτους φωτός) και χρειάστηκε 27 χρόνια για να διανύσει αυτή την απόσταση.</span><span style="color: black;">Το κοντινότερο σε μας αστέρι, ο </span><a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%95%CE%B3%CE%B3%CF%8D%CF%84%CE%B1%CF%84%CE%BF%CF%82_%CE%9A%CE%B5%CE%BD%CF%84%CE%B1%CF%8D%CF%81%CE%BF%CF%85" title="Εγγύτατος Κενταύρου"><span style="color: black;">Εγγύτατος Κενταύρου</span></a><span style="color: black;">, βρίσκεται σε απόσταση 4,22 ετών φωτός.</span></div>
</li>
<br />
<br />
<li><div style="text-align: justify;">
<span style="color: black;">Το κέντρο του </span><a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%93%CE%B1%CE%BB%CE%B1%CE%BE%CE%AF%CE%B1%CF%82" title="Γαλαξίας"><span style="color: black;">Γαλαξία</span></a><span style="color: black;"> μας απέχει περίπου 28.000 έτη φωτός.</span></div>
</li>
<br />
<br />
<li><div style="text-align: justify;">
<span style="color: black;">Η διάμετρος του Γαλαξία μας είναι περίπου 100.000 έτη φωτός.</span><span style="color: black;">Η διμετρος του παρατηρήσιμου </span><a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%A3%CF%8D%CE%BC%CF%80%CE%B1%CE%BD" title="Σύμπαν"><span style="color: black;">Σύμπαντος</span></a><span style="color: black;"> είναι περίπου 46 δισεκατομμύρια έτη φωτός. </span></div>
</li>
<br />
<br />
<br />
<a href="http://images.tanea.gr/assetservice/Image.ashx?c=14530894&r=0&p=0&t=0&q=100&v=1&s=1&w=800" rel="lightbox[fotos]" title="Το Ν 63Α είναι ό,τι έχει απομείνει από έναν γιγαντιαίο αστέρα που εξερράγη, απελευθερώνοντας τα αέρια που έχουν πάρει τη μορφή στροβίλου. Βρίσκεται στα άκρα στο Μεγάλο Νέφος του Μαγγελάνου, έναν ακανόνιστο γαλαξία σε απόσταση 160.000 ετών φωτός. Υπολογίζεται ότι το αρχικό άστρο είχε μάζα 50 φορές μεγαλύτερη από τον Ηλιο μας "><img align="left" border="0" src="http://images.tanea.gr/assetservice/Image.ashx?c=14530894&r=0&p=0&t=0&q=100&v=1&s=1&w=200" height="182" hspace="5" vspace="5" width="200" /></a><br />
<br />
<strong><span style="color: blue; font-size: large;">Αποστάσεις στην αστρονομία</span></strong><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black;">1.<b>Γωνιώδης απόσταση</b> ή <b>διαχωρισμός</b>: Καλείται έτσι η γωνία που σχηματίζεται μεταξύ δύο παρατηρήσεων (παρατηρούμενων σωμάτων) από τον ίδιο παρατηρητή. Στην πραγματικότητα είναι οπτική </span><a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%93%CF%89%CE%BD%CE%AF%CE%B1" title="Γωνία"><span style="color: black;">γωνία</span></a><span style="color: black;">. Προκειμένου περί ουρανίων σωμάτων που παρουσιάζουν επιφάνεια δίσκου (π.χ. Σελήνης, Ήλιου) λαμβάνεται ως γωνία παρατηρήσεων των κέντρων των δίσκων.</span></div>
<dl><dd><div style="text-align: justify;">
<span style="color: black;">2. <b>Ζενιθία απόσταση</b>: Στην Αστρονομία ζενιθία απόσταση ενός αστέρα καλείται η γωνιώδης απόσταση από του <b>ζενίθ</b> του παρατηρητή (δηλαδή του σημείου της ουράνιας σφαίρας που συναντά προεκτεινόμενη η κατακόρυφος που διέρχεται από το σημείο του παρατηρητή), μέχρι του σημείου (θέση) του αστέρος στην </span><a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%9F%CF%85%CF%81%CE%AC%CE%BD%CE%B9%CE%B1_%CF%83%CF%86%CE%B1%CE%AF%CF%81%CE%B1" title="Ουράνια σφαίρα"><span style="color: black;">ουράνια σφαίρα</span></a><span style="color: black;"> σε ορισμένο τόπο και χρόνο.</span></div>
</dd></dl>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black;">Η ζενιθία απόσταση είναι το <b>συμπλήρωμα</b> του ύψους του αστέρα από τον ορίζοντα.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black;"><u>Παράδειγμα:</u> Αν πχ. ο Ήλιος βρίσκεται 30° πάνω από τον ορίζοντα η ζενιθία απόστασή του είναι (90°-30°=)60°. Αντίθετα, αν κάποιος αστέρας βρίσκεται 30° κάτω από τον ορίζοντα, τότε η ζενιθία απόστασή του είναι (90°+30°=)120°.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black;">Δηλαδή η ζενιθία απόσταση μετριέται αρχής γενομένης από του ζενίθ, από 0° μέχρι 180°. Παριστάνεται με το γράμμα <b>ζ</b>.</span></div>
<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<strong> <span style="color: blue; font-size: large;">Η αστρονομική μονάδα<a href="http://images.tanea.gr/assetservice/Image.ashx?c=14530895&r=0&p=0&t=0&q=100&v=1&s=1&w=800" rel="lightbox[fotos]" title="Η τελευταία αναλαμπή ενός αστέρα που πεθαίνει μάς δίνει μία πρόγευση της μοίρας που περιμένει τον δικό μας Ηλιο, όταν μείνει από... καύσιμα σε πέντε δισεκατομμύρια χρόνια. Ο αστέρας ΝGC 2440 βρίσκεται 4.000 έτη φωτός από τη Γη. Τα αέρια που απελευθερώνονται φωτίζονται από το υπέρυθρο φως του. Η λευκή κηλίδα στο κέντρο είναι ένας λευκός νάνος με θερμοκρασία 200.000 βαθμών Κελσίου "><img align="left" border="0" src="http://images.tanea.gr/assetservice/Image.ashx?c=14530895&r=0&p=0&t=0&q=100&v=1&s=1&w=200" hspace="5" vspace="5" /></a></span></strong></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black;">Η <b>Αστρονομική Μονάδα</b> (<b>α.μ.</b>) είναι </span><a class="mw-redirect" href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%9C%CE%BF%CE%BD%CE%AC%CE%B4%CE%B1_%CE%BC%CE%AD%CF%84%CF%81%CE%B7%CF%83%CE%B7%CF%82" title="Μονάδα μέτρησης"><span style="color: black;">μονάδα μέτρησης</span></a><span style="color: black;"> αποστάσεων. Ορίζεται σαν η μέση απόσταση της </span><a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%93%CE%B7" title="Γη"><span style="color: black;">Γης</span></a><span style="color: black;"> από τον </span><a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%89%CE%BB%CE%B9%CE%BF%CF%82" title="Ήλιος"><span style="color: black;">Ήλιο</span></a><span style="color: black;">. Χρησιμοποιείται για τη μέτρηση αποστάσεων μέσα στο </span><a class="mw-redirect" href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%97%CE%BB%CE%B9%CE%B1%CE%BA%CF%8C_%CE%A3%CF%8D%CF%83%CF%84%CE%B7%CE%BC%CE%B1" title="Ηλιακό Σύστημα"><span style="color: black;">Ηλιακό Σύστημα</span></a><span style="color: black;"> (π.χ. της απόστασης κάποιου σώματος από τον Ήλιο). Η τιμή της είναι 149 597 870 691 ± 30 μέτρα (δηλαδή 150 εκατομμύρια </span><a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%A7%CE%B9%CE%BB%CE%B9%CF%8C%CE%BC%CE%B5%CF%84%CF%81%CE%BF" title="Χιλιόμετρο"><span style="color: black;">χιλιόμετρα</span></a><span style="color: black;"> ή 93 εκατομμύρια </span><a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%9C%CE%AF%CE%BB%CE%B9" title="Μίλι"><span style="color: black;">μίλια</span></a><span style="color: black;">). Το διεθνές σύμβολό της είναι το <b>AU</b> (από το αγγλικό <b>Astronomical Unit</b>) και στην ελληνική <b>α.μ.</b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<strong><span style="color: blue;">Η απόσταση Γης - Ήλιου</span></strong></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black;">Η πρώτη μέτρηση της απόστασης αυτής έγινε από τον <a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%95%CF%81%CE%B1%CF%84%CE%BF%CF%83%CE%B8%CE%AD%CE%BD%CE%B7%CF%82_%CE%BF_%CE%9A%CF%85%CF%81%CE%B7%CE%BD%CE%B1%CE%AF%CE%BF%CF%82" title="Ερατοσθένης ο Κυρηναίος"><span style="color: #0645ad;">Ερατοσθένη</span></a> περίπου το <a href="http://www.blogger.com/wiki/200_%CF%80.%CE%A7." title="200 π.Χ."><span style="color: #0645ad;">200 π.Χ.</span></a> Μελετώντας τις εκλείψεις της Σελήνης εκτίμησε την απόσταση από τον Ήλιο στα 804 εκατομμύρια <a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%A3%CF%84%CE%AC%CE%B4%CE%B9%CE%BF_(%CE%BC%CE%BF%CE%BD%CE%AC%CE%B4%CE%B1_%CE%BC%CE%AE%CE%BA%CE%BF%CF%85%CF%82)" title="Στάδιο (μονάδα μήκους)"><span style="color: #0645ad;">στάδια</span></a>, δηλαδή περίπου 150 εκατομμύρια χιλιόμετρα, τιμή πολύ κοντά στην πραγματική. Η πρώτη εκτίμηση της τιμής της στους νεότερους χρόνους έγινε από τον <a class="new" href="http://www.blogger.com/w/index.php?title=%CE%96%CE%B1%CE%BD_%CE%A1%CE%B9%CF%83%CE%AD&action=edit&redlink=1" title="Ζαν Ρισέ (δεν έχει γραφτεί ακόμα)"><span style="color: #ba0000;">Ζαν Ρισέ</span></a> και τον <a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%A4%CE%B6%CE%B9%CE%BF%CE%B2%CE%AC%CE%BD%CE%B9-%CE%9D%CF%84%CE%BF%CE%BC%CE%AD%CE%BD%CE%B9%CE%BA%CE%BF_%CE%9A%CE%B1%CF%83%CE%AF%CE%BD%CE%B9" title="Τζιοβάνι-Ντομένικο Κασίνι"><span style="color: #0645ad;">Τζιοβάνι-Ντομένικο Κασίνι</span></a> το <a href="http://www.blogger.com/wiki/1672" title="1672"><span style="color: #0645ad;">1672</span></a>, με βάση τη μελέτη της <a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%A0%CE%B1%CF%81%CE%AC%CE%BB%CE%BB%CE%B1%CE%BE%CE%B7_(%CE%B1%CF%83%CF%84%CF%81%CE%BF%CE%BD%CE%BF%CE%BC%CE%AF%CE%B1)" title="Παράλλαξη (αστρονομία)"><span style="color: #0645ad;">παράλλαξης</span></a> του Άρη από δυο διαφορετικές τοποθεσίες πάνω στη Γη. Το δικό τους αποτέλεσμα ήταν γύρω στα 140 εκατομμύρια χιλιόμετρα. Πιο ακριβείς μετρήσεις έγιναν από τον <a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%88%CE%BD%CF%84%CE%BC%CE%BF%CF%85%CE%BD%CF%84_%CE%A7%CE%AC%CE%BB%CE%BB%CE%B5%CF%8B" title="Έντμουντ Χάλλεϋ"><span style="color: #0645ad;">Έντμουντ Χάλλεϋ</span></a>, που μελέτησε τις διελεύσεις της <a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%91%CF%86%CF%81%CE%BF%CE%B4%CE%AF%CF%84%CE%B7_(%CF%80%CE%BB%CE%B1%CE%BD%CE%AE%CF%84%CE%B7%CF%82)" title="Αφροδίτη (πλανήτης)"><span style="color: #0645ad;">Αφροδίτης</span></a> μπροστά από τον Ήλιο, και τον <a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%A3%CE%AC%CE%B9%CE%BC%CE%BF%CE%BD_%CE%9D%CE%B9%CE%BF%CF%8D%CE%BA%CE%BF%CE%BC%CF%80" title="Σάιμον Νιούκομπ"><span style="color: #0645ad;">Σάιμον Νιούκομπ</span></a> που βασίστηκε στην παράλλαξη του Ήλιου.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<span style="color: black;"><span style="color: blue;"><strong>Αποστάσεις πλανητών από τον Ήλιο:</strong></span></span><strong><em><span style="color: blue; font-size: large;"></span></em></strong><br />
<ul>
<li><a class="new" href="http://www.blogger.com/w/index.php?title=%CE%95%CF%81%CE%BC%CE%AE%CF%82_(%CF%80%CE%BB%CE%B1%CE%BD%CE%AE%CF%84%CE%B7%CF%82&action=edit&redlink=1" title="Ερμής (πλανήτης (δεν έχει γραφτεί ακόμα)"><span style="color: #ba0000;"><strong>Ερμής</strong></span></a><strong>: 0,39 AU</strong></li>
<li><a class="new" href="http://www.blogger.com/w/index.php?title=%CE%91%CF%86%CF%81%CE%BF%CE%B4%CE%AF%CF%84%CE%B7_(%CF%80%CE%BB%CE%B1%CE%BD%CE%AE%CF%84%CE%B7%CF%82&action=edit&redlink=1" title="Αφροδίτη (πλανήτης (δεν έχει γραφτεί ακόμα)"><span style="color: #ba0000;"><strong>Αφροδίτη</strong></span></a><strong>: 0,72 AU</strong></li>
<li><a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%93%CE%B7" title="Γη"><span style="color: #0645ad;"><strong>Γη</strong></span></a><strong>: 1,00 ± 0,02 AU</strong></li>
<li><a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%86%CF%81%CE%B7%CF%82_(%CF%80%CE%BB%CE%B1%CE%BD%CE%AE%CF%84%CE%B7%CF%82)" title="Άρης (πλανήτης)"><span style="color: #0645ad;"><strong>Άρης</strong></span></a><strong>: 1,52 AU</strong></li>
<li><a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%94%CE%AF%CE%B1%CF%82_(%CF%80%CE%BB%CE%B1%CE%BD%CE%AE%CF%84%CE%B7%CF%82)" title="Δίας (πλανήτης)"><span style="color: #0645ad;"><strong>Δίας</strong></span></a><strong>: 5,20 AU</strong></li>
<li><a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%9A%CF%81%CF%8C%CE%BD%CE%BF%CF%82_(%CF%80%CE%BB%CE%B1%CE%BD%CE%AE%CF%84%CE%B7%CF%82)" title="Κρόνος (πλανήτης)"><span style="color: #0645ad;"><strong>Κρόνος</strong></span></a><strong>: 9,54 AU</strong></li>
<li><a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%9F%CF%85%CF%81%CE%B1%CE%BD%CF%8C%CF%82_(%CF%80%CE%BB%CE%B1%CE%BD%CE%AE%CF%84%CE%B7%CF%82)" title="Ουρανός (πλανήτης)"><span style="color: #0645ad;"><strong>Ουρανός</strong></span></a><strong>: 19,18 AU</strong></li>
<li><a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%A0%CE%BF%CF%83%CE%B5%CE%B9%CE%B4%CF%8E%CE%BD%CE%B1%CF%82_(%CF%80%CE%BB%CE%B1%CE%BD%CE%AE%CF%84%CE%B7%CF%82)" title="Ποσειδώνας (πλανήτης)"><span style="color: #0645ad;"><strong>Ποσειδώνας</strong></span></a><strong>: 30,06 AU</strong></li>
<li><a class="mw-redirect" href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%A0%CE%BB%CE%BF%CF%8D%CF%84%CF%89%CE%BD%CE%B1%CF%82_(%CF%80%CE%BB%CE%B1%CE%BD%CE%AE%CF%84%CE%B7%CF%82)" title="Πλούτωνας (πλανήτης)"><span style="color: #0645ad;"><strong>Πλούτωνας</strong></span></a><strong>: 39,53 AU</strong></li>
</ul>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<strong><span style="color: blue; font-size: large;">Παρσέκ</span></strong></div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<strong>Παρσέκ</strong> ονομάζεται η <a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%91%CF%80%CF%8C%CF%83%CF%84%CE%B1%CF%83%CE%B7_(%CE%B1%CF%83%CF%84%CF%81%CE%BF%CE%BD%CE%BF%CE%BC%CE%AF%CE%B1)" title="Απόσταση (αστρονομία)"><span style="color: #0645ad;">απόσταση</span></a> στην οποία ένας αστέρας παρουσιάζει ετήσια <a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%A0%CE%B1%CF%81%CE%AC%CE%BB%CE%BB%CE%B1%CE%BE%CE%B7_(%CE%B1%CF%83%CF%84%CF%81%CE%BF%CE%BD%CE%BF%CE%BC%CE%AF%CE%B1)" title="Παράλλαξη (αστρονομία)"><span style="color: #0645ad;">παράλλαξη</span></a> ίση προς ένα δεύτερο <a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%9B%CE%B5%CF%80%CF%84%CF%8C" title="Λεπτό"><span style="color: #0645ad;">λεπτό</span></a> της <a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%9C%CE%BF%CE%AF%CF%81%CE%B1_(%CE%BA%CF%8D%CE%BA%CE%BB%CE%BF%CF%85)" title="Μοίρα (κύκλου)"><span style="color: #0645ad;">μοίρας</span></a> (<b>1”</b>).<br />
Η απόσταση αυτή λαμβάνεται πολύ συχνά ως μονάδα μέτρησης των αποστάσεων στις αστρονομικές παρατηρήσεις</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<div style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none;">
</div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><strong>Η γεωμετρία των αστερισμών.</strong></span><br />
<strong><a class="image" href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%91%CF%81%CF%87%CE%B5%CE%AF%CE%BF:Ursa_Minor_constellation_map.png" title="Αρκτος Μικρή"><img alt="Αρκτος Μικρή" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/04/Ursa_Minor_constellation_map.png/300px-Ursa_Minor_constellation_map.png" height="200" width="200" /></a></strong><br />
<br />
<strong>Μικρή Άρκτος</strong><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<b style="color: blue; text-align: center;"> </b><br />
<span style="font-size: large;"><b><i><br /><span style="color: blue;">Οι Μαύρες Τρύπες είναι το πηλίκο όταν ο Θεός διαιρεί το Σύμπαν δια του μηδενός.</span><br /><br /><a href="http://www.gnomikologikon.gr/authquotes.php?auth=1031"><span style="color: #cc0000;">Steven Wright, 1955-, Αμερικανός ηθοποιός</span></a></i></b></span><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<span style="color: #990000; font-size: large;"><b>Εφαρμογή της Μαθηματικής Λογικής στην Πληροφορική.</b></span><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
Η λογική με τη συμβολική ή μη μορφή της έχει διεισδύσει σε όλες τις πτυχές της πληροφορικής. Η ανάπτυξη της συμβολικής λογικής και ειδικά της θεωρίας αλγορίθμων μαζί με την εξέλιξη των ηλεκτρονικών και της κυβερνητικής αποτέλεσαν άλλωστε το κατάλληλο επιστημονικό και τεχνολογικό περιβάλλον για τη γέννηση της πληροφορι-κής. Δεν είναι τυχαίο εξάλλου ότι ορισμένοι από τους πρωτεργάτες της πληροφορικής ήταν ήδη διακεκριμένοι ερευνητές της λογικής (Turing, Von Neumann, Ulam).</div>
<div style="text-align: justify;">
Εξαιτίας της παραπάνω ιστορική σχέσης ανάμεσα τα δύο αντικείμενα, οι έννοιες, η με-θοδολογία και οι ερευνητικές κατευθύνσεις της (θεωρητικής) πληροφορικής είναι φα-νερά επηρεασμένες απ’ αυτές της λογικής. Αλλά και αντίστροφα, οι ανάγκες της πλη-ροφορικής τροφοδοτούν συνεχώς με προβλήματα την εφαρμοσμένη λογική που πολλές φορές τα αντιμετωπίζει με τη δημιουργία νέων θεωριών. Ολόκληροι κλάδοι της πληρο-φορικής όπως η σημασιολογία των προγραμμάτων (semantics of programs), οι τυπικές μέθοδοι (formal methods), η αποδεικτική θεωρημάτων (theorem proving), ο εξισωτικός (equational) και ο λογικός προγραμματισμός (logic programming) αναπτύχθηκαν λόγω αυτής της αμφίδρομης σχέσης ανάμεσα στα δύο γνωστικά αντικείμενα. Άλλοι κλάδοι της πληροφορικής όπως οι βάσεις δεδομένων (data bases), οι γλώσσες προδιαγραφών (specification languages), η τεχνολογία λογισμικού (software engineering) και οι ταυτοχρονικές διαδικασίες (concurrent processes) χρησιμοποιούν συστηματικά τη συμβο-λική λογική. Επίσης πολλά στοιχεία (μη συμβολικής) λογικής μεθοδολογίας διακρίνονται σε διάφορες κλασικές φάσεις ανάπτυξης ενός πληροφοριακού συστήματος όπως εμφανίζονται για παράδειγμα στο μοντέλο του καταρράκτη (waterfall model). Τέτοιες φάσεις είναι η ανάλυση απαιτήσεων (requirements analysis), η ανάπτυξη προδιαγρα-φών (specifications) και ο σχεδιασμός (design). Πολλές προσπάθειες έχουν γίνει για το συγκερασμό της συμβολικής με τη μη – συμβολική λογική μεθοδολογία σε σχέση με ενδεχόμενες εφαρμογές τους στα πληροφοριακά συστήματα αλλά και τα συστήματα γενικά. Σαν τέτοια μπορεί να αναφέρει κανείς τα ιβριδικά συστήματα (hybrid systems).</div>
<div style="text-align: justify;">
Ιδιαίτερο λόγο στη σχέση πληροφορικής λογικής παίζει η άλγεβρα. Η θεωρία πεδίων (domain theory), η θεωρία κατηγοριών (category theory), οι αλγεβρικές προδιαγραφές και οι αλγεβρικές θεωρίες του Lawvere (Lawvere theories), ο σχεσιακός λογισμός (rela-tional calculus) και οι άλγεβρες Boole (Boolean algebras) αποτελούν χαρακτηριστικά παραδείγματα εφαρμοσμένων αλγεβρικών θεωριών που σχετίζονται άμεσα με τη λογική και έχουν βρει σημαντικές εφαρμογές στην πληροφορική. Ας σημειωθεί ότι είναι ιδιαίτερα δύσκολο να χαραχθεί διαχωριστική γραμμή ανάμεσα σ’ αυτού του είδους την άλγεβρα και την τυπική λογική.</div>
<br /><div style="border: 0px; margin-bottom: 10px; outline: 0px; padding: 0px; text-align: justify;">
<span style="background-color: #9fc5e8;"><br /></span></div>
<span style="background-color: #9fc5e8;"><br />
</span><br />
<br /><span style="color: #990000; font-size: large;"><b>Μαθηματικά θεμέλια της Πληροφορικής.</b></span><br /><br />Παρακάτω αναγράφονται οι κλάδοι των εφαρμοσμένων μαθηματικών που βρίσκουν εφαρμογή στην θεωρητική και πρακτική θεμελίωση της επιστήμης της Πληροφορικής.<br /><br /><br /><ul style="margin: 0px 0px 1.5em 30px; padding: 0px;">
<li style="margin: 0px; padding: 0px;"><b><span style="background-color: #9fc5e8; color: blue;">Αριθμητική ανάλυση</span></b></li>
<li style="font-family: 'trebuchet ms', 'helvetica neue', arial, helvetica, sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19.5px; margin: 0px; padding: 0px;"><b><span style="background-color: #9fc5e8; color: blue;">Άλγεβρα Μπουλ</span></b></li>
</ul>
άλγεβρα με μεταβλητές δύο τιμών (που καλούνται "λογικές μεταβλητές"). Ο Boole ουσιαστικά παρουσίασε με τα μαθηματικά της εποχής του την Αριστοτέλεια λογική του είναι ή δεν είναι. Σήμερα η άλγεβρα αυτή ονομάζεται άλγεβρα Μπουλ, ή δυαδική άλγεβρα, ή διακοπτική άλγεβρα και έχει βρει ευρεία εφαρμογή στην σχεδίαση του λογισμικού και των κυκλωμάτων των ηλεκτρονικών υπολογιστών, επειδή είναι ιδανική για χειρισμό λογικών συναρτήσεων και πράξεων στο δυαδικό σύστημα.<div>
<br /><ul style="font-family: 'Trebuchet MS', 'Helvetica Neue', Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19.5px; margin: 0px 0px 1.5em 30px; padding: 0px;">
<li style="margin: 0px; padding: 0px;"><b><span style="background-color: #9fc5e8; color: blue;">Διακριτά μαθηματικά</span></b></li>
</ul>
μελέτη μαθηματικών δομών που είναι εκ φύσεως διακριτές και δεν υπάρχει η έννοια της συνέχειας. Τα αντικείμενα που μελετά είναι κυρίως αριθμήσιμα σύνολα (π.χ. ακέραιοι), γραφήματα και γλώσσες. Στην επιστήμη των Υπολογιστών τα διακριτά αντικείμενα αναπαριστώνται πολύ πιο εύκολα, και συνήθως οι αλγόριθμοι που κατασκευάζουμε αφορούν τη διαχείριση διακριτών οντοτήτων (δομών δεδομένων, ακεραίων αριθμών, αριθμών πεπερασμένης ακρίβειας, κ.λπ). Εφαρμογές τους εκτείνονται από την σχεδίαση δικτύων μέχρι τις βάσεις δεδομένων.<div>
<br /><ul style="font-family: 'Trebuchet MS', 'Helvetica Neue', Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19.5px; margin: 0px 0px 1.5em 30px; padding: 0px;">
<li style="margin: 0px; padding: 0px;"><b><span style="background-color: #9fc5e8; color: blue;">Θεωρία γράφων (γραφημάτων)</span></b></li>
</ul>
κλάδος των Διακριτών μαθηματικών, με εφαρμογές στην Πληροφορική, τη Μηχανική, τη Χημεία και την Κοινωνιολογία. Στα διακριτά μαθηματικά οι όροι θεωρία γραφημάτων και θεωρία γράφων χρησιμοποιούνται εναλλακτικά. Προτιμάται ο όρος γράφος, για ορισμένες αναγκαίες διαφοροποιήσεις, όπως για παράδειγμα το γράφημα συνάρτησης. Ανάμεσα στους ποικίλους ορισμούς που απαντώνται ένας σχετικά πλήρης ορίζει πως η θεωρία γράφων είναι η μελέτη των γράφων (γραφημάτων) και των σχέσεών τους και χρησιμοποιείται ευρύτατα στη θεωρία δικτύων. Οι μαθηματικοί υπολογισμοί των γράφων στηρίζονται σε αλγόριθμους.</div>
<div>
<br /><ul style="font-family: 'Trebuchet MS', 'Helvetica Neue', Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19.5px; margin: 0px 0px 1.5em 30px; padding: 0px;">
<li style="margin: 0px; padding: 0px;"><b><span style="background-color: #9fc5e8; color: blue;">Μαθηματική λογική</span></b></li>
</ul>
κλάδος των μαθηματικών και της επιστήμης υπολογιστών, με στενή σχέση και με τη φιλοσοφική λογική. Το πεδίο περιλαμβάνει τη μαθηματική μελέτη της λογικής και τις εφαρμογές της τυπικής λογικής σε άλλες περιοχές των μαθηματικών. Οι βασικότερες ιδέες στη μαθηματική λογική περιλαμβάνουν τη μελέτη της εκφραστικής ισχύος των τυπικών συστημάτων και της συμπερασματικής ισχύος των συστημάτων τυπικών αποδείξεων.</div>
<div>
<br /><ul style="font-family: 'Trebuchet MS', 'Helvetica Neue', Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19.5px; margin: 0px 0px 1.5em 30px; padding: 0px;">
<li style="margin: 0px; padding: 0px;"><b><span style="background-color: #9fc5e8; color: blue;">Θεωρία πεδίων</span></b></li>
<li style="margin: 0px; padding: 0px;"><b><span style="background-color: #9fc5e8; color: blue;">Θεωρία πιθανοτήτων</span></b></li>
</ul>
κλάδος των μαθηματικών ο οποίος ασχολείται με την ανάλυση τυχαίων φαινομένων. Κεντρικό ρόλο στη θεωρία πιθανοτήτων παίζει η έννοια της πιθανότητας, ενώ σημαντικές είναι οι τυχαίες μεταβλητές, οι συναρτήσεις κατανομής, οι στοχαστικές διαδικασίες και τα γεγονότα: μαθηματικές αφαιρέσεις μη ντετερμινιστικών συμβάντων τα οποία είτε συμβαίνουν μία φορά είτε εξελίσσονται με το πέρασμα του χρόνου. Αν και τα γεγονότα που μελετώνται από τη θεωρία πιθανοτήτων, όπως π.χ. η ρίψη ενός ζαριού ή το στρίψιμο ενός κέρματος, είναι τυχαία, όταν επαναλαμβάνονται πολλές φορές η αλληλουχία των τυχαίων γεγονότων παρουσιάζει ορισμένα στατιστικά μοτίβα τα οποία μπορούν να μελετηθούν και να προβλεφθούν.</div>
<div>
<br /><ul style="font-family: 'Trebuchet MS', 'Helvetica Neue', Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19.5px; margin: 0px 0px 1.5em 30px; padding: 0px;">
<li style="margin: 0px; padding: 0px;"><b><span style="background-color: #9fc5e8; color: blue;">Στατιστική</span></b></li>
</ul>
κλάδος των εφαρμοσμένων μαθηματικών. Στη στατιστική, η τυχαιότητα και η απροσδιοριστία ορίζονται στα πλαίσια της θεωρίας πιθανοτήτων. Η πρακτική της στατιστικής περιλαμβάνει την σχεδίαση, συλλογή και ερμηνεία δεδομένων που προκύπτουν από αβέβαιες παρατηρήσεις.</div>
<div>
<br /><ul style="font-family: 'Trebuchet MS', 'Helvetica Neue', Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19.5px; margin: 0px 0px 1.5em 30px; padding: 0px;">
<li style="margin: 0px; padding: 0px;"><b><span style="background-color: #9fc5e8; color: blue;">Επεξεργασία σήματος</span></b></li>
</ul>
πραγματεύεται την ανάλυση και τον χειρισμό σημάτων, όπου ως σήμα ορίζεται οποιαδήποτε συνάρτηση μεταξύ φυσικών ποσοτήτων. Η επεξεργασία σήματος είναι ουσιαστικώς ένα διεπιστημονικό γνωστικό πεδίο, ορισμένο με αυστηρά μαθηματικά και με τις δικές του μεθοδολογίες και ορολογία. Οι εφαρμογές του είναι πάρα πολλές στις τεχνολογικές επιστήμες και βρίσκεται στη βάση τομέων όπως οι τηλεπικοινωνίες, ο αυτοματισμός, η επεξεργασία εικόνας, βίντεο και ήχου, η συμπίεση δεδομένων κλπ.</div>
<div>
<br /><ul style="font-family: 'Trebuchet MS', 'Helvetica Neue', Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19.5px; margin: 0px 0px 1.5em 30px; padding: 0px;">
<li style="margin: 0px; padding: 0px;"><b><span style="background-color: #9fc5e8; color: blue;">Θεωρία πληροφοριών</span></b></li>
</ul>
κλάδος των εφαρμοσμένων μαθηματικών που σχετίζεται με την ποσοτικοποίηση των δεδομένων με στόχο όσο το δυνατόν περισσότερα δεδομένα να αποθηκευτούν αξιόπιστα σε ένα μέσο ή να επικοινωνήσουν πάνω από ένα κανάλι. Το μέτρο πληροφορίας, γνωστό και ως εντροπία πληροφορίας, εκφράζεται συνήθως από το μέσο αριθμό των δυαδικών ψηφίων που απαιτούνται για την αποθήκευση ή την επικοινωνία<br /><br /><br />
<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<div style="text-align: justify;">
<strong><em><span style="color: blue; font-size: x-large;">Τα μαθηματικά στην επιστήμη !</span></em></strong><br />
<br />
<br />
<span style="color: black;"><strong><em><span style="color: blue; font-size: large;">" Tα μαθηματικά είναι η βασίλισσα της επιστήμης και η θεωρία αριθμών η βασίλισσα των μαθηματικών".<br />
<br /> Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855).</span><br />
<span style="color: blue; font-size: large;"> Μεγάλος φυσικός και μαθηματικός.</span><br />
<a class="image" href="http://www.blogger.com/wiki/File:Carl_Friedrich_Gauss.jpg" title="Carl Friedrich Gauss (1777–1855), painted by Christian Albrecht Jensen"><strong><em></em></strong></a><strong><em><span style="color: blue; font-size: large;"> </span></em></strong></em></strong></span><br />
<br />
<span style="color: black;"><strong><em>Τέλος φανταστείτε έναν κόσμο χωρίς θετικές επιστήμες. Έξω η φυσική , η μηχανική , η ηλεκτρολογία , η οικομονολογία , η γεωλογία , η γεωπονία , η χημεία , η μετερεωλογία , η κλιματολογία κ.α. Γιατί όλες αυτές οι επιστήμες στηρίζονται στο θεωρητικό αλλά και πρακτικό κομμάτι τους στα μαθηματικά. Στα ανώτερα μαθηματικά. Αυτές οι επιστήμες όμως έφεραν τις εφευρέσεις , τις μηχανές , τα αυτοκίνητα και την τεχνολογία στη ζωή μας. Κι όλα αυτά έγιναν με τα μαθηματικά μοντέλα σε όλες τις επιστήμες.</em></strong></span><br />
<br />
<br />
<br />
<div align="justify" style="margin-bottom: 0cm;">
<span style="font-family: "arial narrow" , sans-serif;"><span style="font-size: medium;">Ο </span></span><span style="font-family: "arial narrow" , sans-serif;"><span style="font-size: medium;"><span lang="en-GB">E</span></span></span><span style="font-family: "arial narrow" , sans-serif;"><span style="font-size: medium;">. </span></span><span style="font-family: "arial narrow" , sans-serif;"><span style="font-size: medium;"><span lang="en-US">Wigner</span></span></span><span style="font-family: "arial narrow" , sans-serif;"><span style="font-size: medium;">, ο οποίος στα 1963 έλαβε τ</span></span><span style="font-family: "arial narrow" , sans-serif;"><span style="font-size: medium;"><span lang="en-GB">o</span></span></span><span style="font-family: "arial narrow" , sans-serif;"><span style="font-size: medium;"> βραβείο Νόμπελ Φυσικής, σε ένα άρθρο του [</span></span><span style="font-family: "arial narrow" , sans-serif;"><span style="font-size: medium;"><span lang="en-US">W</span></span></span><span style="font-family: "arial narrow" , sans-serif;"><span style="font-size: medium;">], το 1960, με τον ιδιαίτερα ενδιαφέροντα τίτλο: </span></span></div>
<div align="justify" style="margin-bottom: 0cm;">
<span style="color: blue;"><strong><em><span style="font-family: "arial narrow" , sans-serif;"><span style="font-size: medium;">«Η παράλογη αποτελεσματικότητα» (“</span></span><span style="font-family: "arial narrow" , sans-serif;"><span style="font-size: medium;"><span lang="en-US">unreasonable</span></span></span><span style="font-family: "arial narrow" , sans-serif;"><span style="font-size: medium;"> </span></span><span style="font-family: "arial narrow" , sans-serif;"><span style="font-size: medium;"><span lang="en-US">effectiveness</span></span></span><span style="font-family: "arial narrow" , sans-serif;"><span style="font-size: medium;">”) των Μαθηματικών στις Φυσικές Επιστήμες, </span></span></em></strong></span></div>
<div align="justify" style="margin-bottom: 0cm;">
<span style="font-family: "arial narrow" , sans-serif;"><span style="font-size: medium;">καταλήγει στο συμπέρασμα ότι :</span></span></div>
<div align="justify" style="margin-bottom: 0cm;">
<br /></div>
<div align="justify" style="margin-bottom: 0cm;">
<span style="color: blue;"><strong><em><span style="font-family: "arial narrow" , sans-serif;"><span style="font-size: medium;">«η τεράστια χρησιμότητα των μαθηματικών στις φυσικές επιστήμες είναι κάτι που συνορεύει με </span></span><span style="font-family: "arial narrow" , sans-serif;"><span style="font-size: medium;">το μυστηριώδες</span></span><span style="font-family: "arial narrow" , sans-serif;"><span style="font-size: medium;"> και δεν υπάρχει κάποια λογική εξήγηση για αυτήν»</span></span></em></strong></span></div>
<br /></div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black; font-size: large;"><strong><em>Όντως παράλογη αλλά αποτελεσματικότητα!!!</em></strong></span></div>
<div>
<strong><br />
<span style="font-size: large;"></span></strong><br />
<br />
<br />
<strong><em><span style="font-size: large;">Ο Γαλιλαίος είπε :</span></em></strong><br />
<strong><br />
<span style="font-size: large;"></span></strong><br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><strong><em>" Θα κατανοήσει κανείς τη χρησιμότητα των μαθηματικών στο χειρισμό των φυσικών νόμων με αναρίθμητα παραδείγματα και πόσο είναι αδύνατο να φιλοσοφεί κανείς ορθά χωρίς τη συμπαράσταση της γεωμετρίας".</em></strong></span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<strong><br /></strong><span style="color: blue;"><strong><em> </em></strong></span><br />
<span style="color: blue;"><strong><em> </em></strong></span><br />
<span style="font-size: large;"><b><br /><i style="color: blue;">Αν δεν μπορεί να εκφραστεί με αριθμούς, δεν είναι επιστήμη, είναι γνώμη.</i><br /><br /><a href="http://www.gnomikologikon.gr/authquotes.php?auth=640"><span style="color: #cc0000;">Robert Heinlein, 1907-1988, Αμερικανός συγγραφέας επιστ. φαντασίας</span></a></b></span><br />
<span style="font-size: large;"><b><br /></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><br /></b></span>
<br />
<br />
<b><i><span style="color: blue; font-size: large;">Όσο οι νόμοι των μαθηματικών ανταποκρίνονται στην πραγματικότητα, δεν είναι σαφείς, και όσο σαφείς είναι, δεν ανταποκρίνονται στην πραγματικότητα </span></i></b></div>
<div>
<b><i><span style="color: blue; font-size: large;"><br /></span></i></b></div>
<div>
<b><i><span style="color: #cc0000; font-size: large;">Αϊνστάιν</span></i></b><br />
<br />
<br />
<br />
<br /><b><span style="color: #990000; font-size: large;"><a href="http://www.biology4u.gr/?p=1061">Μαθηματικά και Βιολογία</a></span></b><br /><br /><div style="text-align: justify;">
Έχει καταχωριστεί στις κατηγορίες: <a href="http://www.biology4u.gr/?cat=43">ΕΠΙΣΤΗΜΗ</a> από <a href="http://www.biology4u.gr/?author=1">thanos capsalis</a> στις 2 Νοεμβρίου 2013</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Ανάμεσα στους βιολόγους η ιδέα ότι τα Μαθηματικά μπορούν να αποτελούν ένα χρήσιμο εργαλείο για τη μελέτη των βιολογικών φαινομένων δεν νομίζω πως είναι δημοφιλής. Ίσως γι΄αυτό να ευθύνεται η σχετικά περιορισμένη μαθηματική παιδεία που λάβαμε κατά τη διάρκεια των φοιτητικών χρόνων μας, που ως ένα βαθμό αντανακλούσε την περιορισμένη εμπλοκή των Μαθηματικών στα αντικείμενα της Βιολογίας (Οικολογία, Γενετική Πληθυσμών). </div>
<div style="text-align: justify;">
Μπορεί πάλι η ιδέα αυτή να οφείλεται στο γεγονός ότι στα μάτια ενός βιολόγου η πολυπλοκότητα των βιολογικών φαινομένων, – σε αντίθεση με τα φυσικοχημικά -, φαίνεται δύσκολα προσβάσιμη από το μαθηματικό φορμαλισμό γενικά, ή τουλάχιστον από το μαθηματικό φορμαλισμό που ήταν διαθέσιμος ως πρόσφατα.</div>
<div style="text-align: justify;">
Ένα πάντως είναι βέβαιο. Στην πεποίθησή μας αυτοί, δεν ήμασταν μονάχοι. O Ernst Mayr δεν ήταν ο σπουδαίος εξελικτικός βιολόγος και φιλόσοφος που αμφισβητούσε την ερμηνευτική ισχύ των Μαθηματικών στη Βιολογία, όταν έγραφε στο βιβλίο του: Αυτή είναι η Βιολογία, ότι: “ … η λογική αυτή απετέλεσε κυρίαρχη δύναμη επιρροής στη φιλοσοφία των μαθηματικών και της φυσικής. Αυτό ήταν ιδιαίτερα διαφωτιστικό εκεί που έπαιξαν σημαντικό ρόλο οι μαθηματικά διατυπωμένοι καθολικοί νόμοι -στις φυσικές επιστήμες. Ήταν λιγότερο κατάλληλο όμως για τη βιολογία, όπου αφθονεί ο πλουραλισμός, η πιθανοκρατία και διάφορα καθαρά ποιοτικά και ιστορικά φαινόμενα, ενώ οι αυστηροί καθολικοί νόμοι ουσιαστικά απουσιάζουν.” Ή όταν ειρωνικά αποκαλούσε τη μαθηματική προσέγγιση των Fisher, Haldane και Wright, “Beanbag γενετική” διότι κατά την άποψή του αντιμετώπιζαν την Εξελικτική Γενετική, ως μια διαδικασία εισαγωγής και εξαγωγής γονιδίων στους πληθυσμούς, σαν δηλαδή να βάζεις και να βγάζεις φασόλια, από ένα σακί;</div>
<div style="text-align: justify;">
Εξακολουθώ να διατηρώ την αμφιβολία ότι τα μαθηματικά μπορεί να είναι χρήσιμα στη Βιολογία; Μάλλον όχι. Και σε αυτό συνέβαλε ένα άρθρο που δημοσιεύθηκε πριν μια δεκαετία στο περιοδικό Plos Biology, το έργο του Ολλανδού καλλιτέχνη M.C. Esher, αλλά και 2 εξαιρετικές εργασίες ενός Ισπανού κινηματογραφιστή, τουCristobal Vila, μια που εμπνέεται από το έργο του Escher και μια στην οποία παρουσιάζεται πώς μαθηματικές έννοιες, όπως η ακολουθία Fibonacci, και η χρυσή τομή, πραγματώνονται στον έμβιο κόσμο.</div>
<div style="text-align: justify;">
Αν λοιπόν γράφεται αυτό το μικρό άρθρο, είναι για να παρουσιάσουμε στους αναγνώστες του biology4u.gr αυτές τις σπουδαίες εργασίες και για να τους παρακινήσουμε να τις μελετήσουν, ιδιαίτερα αν είναι βιολόγοι ή μαθηματικοί.</div>
<div style="text-align: justify;">
Ας ξεκινήσουμε λοιπόν από το άρθρο στο περιοδικό Plos Biology. Συγγραφέας του άρθρου είναι ο Joel Cohen, καθηγητής στο Πανεπιστήμιο Rockfeller της Νέας Υόρκης και φέρει τον τίτλο: <a href="http://www.plosbiology.org/article/info:doi/10.1371/journal.pbio.0020439#pbio-0020439-t001">Τα Μαθηματικά είναι το επόμενο μικροσκόπιο για τη Βιολογία (αλλά καλύτερο από το οπτικό), η Βιολογία είναι η νέα “Φυσική” για τα Μαθηματικά (αλλά καλύτερη από την Φυσική)</a>. Στο άρθρο υποστηρίζεται πως όπως το μικροσκόπιο, στα τέλη του 17ου αιώνα, συνέβαλε στην ανάπτυξη της Βιολογίας, αποκαλύπτοντας έναν απρόσμενο και απρόσιτο για το γυμνό μάτι κόσμο, έτσι και τα Μαθηματικά σήμερα αντιπροσωπεύουν σήμερα για τη Βιολογία, ένα ευρύτερο μικροσκόπιο που μπορεί να αποκαλύψει αόρατους κόσμους σε όλο το είδος των δεδομένων και όχι μόνο στα οπτικά. Αυτή δε την άποψή του την στηρίζει φέρνοντας σαν παράδειγμα την εφαρμογή του μετασχηματισμού του Radon1* στην τεχνολογία της αξονικής τομογραφίας, χάρη στην οποία απεικονίζουμε τομές του ανθρώπινου εγκεφάλου, χωρίς να προβούμε σε καμία εγχείριση. </div>
<div style="text-align: justify;">
Ταυτόχρονα όμως ο Cohen υποστηρίζει ότι, όπως τα προβλήματα των τροχιών των πλανητών και της Οπτικής πυροδότησαν την ανάπτυξη του μαθηματικού λογισμού από το Νεύτωνα και τον Leibniz, έτσι και η Βιολογία θα πυροδοτήσει την επινόηση καλύτερων μαθηματικών μοντέλων για τη μελέτη πολυεπίπεδων συστημάτων (όπως αυτά που αντιπροσωπεύουν τα κύτταρα που βρίσκονται μέσα στα όργανα, τα οποία με τη σειρά τους βρίσκονται μέσα στα άτομα, τα τελευταία στους πληθυσμούς κ.ο.κ.). Επίσης η Βιολογία παρέχοντας στα Μαθηματικά την ασύγκριτη (σε σχέση με τα αντικείμενα της Φυσικής και της Χημείας) χωρική και χρονική υπερποικιλότητα των βιολογικών αντικειμένων, θα ωθήσει τη μαθηματική σκέψη στην ανάπτυξη νέων εννοιών και πλαισίων, προκειμένου να ερμηνευτεί η ποικιλότητα αυτή. </div>
<div style="text-align: justify;">
Τέλος ο Cohen, πιστεύει πως από τη συνέργεια Βιολογίας-Μαθηματικών θα προκύψουν μαθηματικά μοντέλα που θα μας κάνουν ικανούς να κατανοήσουμε πληρέστερα, τα σύνθετα δίκτυα γονιδίων, κυττάρων και πρωτεϊνών, τη λειτουργία του εγκεφάλου, τη ρύθμιση της έκφρασης των γονιδίων και να αναπτύξουμε αποτελεσματικότερες θεραπείες για την αντιμετώπιση του καρκίνου.</div>
<div style="text-align: justify;">
Μετά την παρουσίαση του άρθρου του Cohen, μπορούμε να προχωρήσουμε στη δεύτερη αφορμή εξαιτίας της οποίας γράφηκε αυτό το άρθρο. Πρόκειται για την εργασία του Ολλανδού γραφίστα M.C. Esher, στην οποία η εικαστική τέχνη διαπλέκει τις μαθηματικές αρχές που γοήτευσαν τον καλλιτέχνη (προβολική γεωμετρία) με μοτίβα που αντλούνται από τον έμβιο κόσμο. Έτσι από τη γραφίδα και το κοπίδι του, ξεπήδησαν ευφάνταστοι συνδυασμοί σχημάτων που τροποποιούνται γεωμετρικά για να μεταμορφωθούν σε ψάρια, κι” ύστερα σε κοπάδια πουλιών που απελευθερώνονται από τις 2 διαστάσεις για να πετάξουν στο χώρο. Και προξενεί εντύπωση πώς ένας καλλιτέχνης που δεν είχε σπουδάσει Μαθηματικά ή Βιολογία, μάλλον διαισθητικά αξιοποίησε μαθηματικές αρχές για να συνθέσει έργα που απεικονίζουν την πολυεπίπεδη οργάνωση των βιολογικών αντικειμένων στην οποία κάθε διαδοχικό επίπεδο, ελάχιστα ερμηνεύεται από το προηγούμενο…</div>
</div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
PreviΑπό αυτήν λοιπόν την εργασία εμπνεύστηκε ο Ισπανός κινηματογραφιστήςCristobal Vila,όπως επίσης και από τα μαθηματικά που ενσαρκώνει ο έμβιος κόσμος προκειμένου να συνθέσει δύο ταινίες. Η πρώτη που τιτλοφορείται <a href="http://etereaestudios.com/docs_html/inspirations_htm/intro.htm">Inspirations</a>παρουσιάζει το χώρο εργασίας του Escher με τα αντικείμενα που καλλιτεχνική αδεία, εικάζει ο Vila ότι έπρεπε να περιβάλλουν έναν καλλιτέχνη τόσο επηρεασμένο από τα Μαθηματικά και τις επιστήμες, καθώς και μερικά έργα του ζωγράφου (όπως η λιθογραφία Ερπετά) που έχουν αποδοθεί σε τρισδιάστατη απεικόνιση.</div>
<div style="text-align: justify;">
Στη δεύτερη ταινία του, τη Φύση σε αριθμούς (<a href="http://www.etereaestudios.com/docs_html/nbyn_htm/intro.htm">Nature by numbers</a>) εξηγεί πώς η σπείρα στο όστρακο του του Ναυτίλου πραγματώνει την ακολουθία Fibonacci 2* , καθώς εφάπτεται στα διαδοχικά τετράγωνα που δημιουργούνται με πλευρές, τους αριθμούς της ακολουθίας 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 κ.ο.κ. ή πώς τα σπόρια του ηλίανθου διατάσσονται στο άνθος του, σύμφωνα με τη χρυσή γωνία 3* των 137, 5ο.</div>
<div style="text-align: justify;">
Νομίζουμε πως αξίζει τον κόπο να δείτε αυτές τις μικρές ταινίες, αλλά και να διαβάσετε τις πρόσθετες επεξηγηματικές πληροφορίες που το συνοδεύουν. Αν είστε βιολόγοι, ίσως αναρωτηθείτε αν τελικώς οι δρόμοι της Βιολογίας και των Μαθηματικών είναι ασύμβατοι..</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
1* Συνίσταται στην εύρεση μιας συνάρτησης από τη γνώση του ολοκληρώματός της, κατά μήκος μιας ευθείας. Ο μετασχηματισμός Radon αξιοποιήθηκε στην τεχνολογία της αξονικής τομογραφίας στον προσδιορισμό της πυκνότητας των απεικονιζόμενων ιστών.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
2* Η ακολουθία Fibonacci είναι μια ακολουθία φυσικών αριθμών που προκύπτει αν στον πρώτο αριθμό που είναι το 0, προσθέσουμε το 1 και στη συνέχεια κάθε άλλος αριθμός προκύπτει από το άθροισμα των 2 προηγουμένων, δηλαδή: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 κ.ο.κ.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
3* Η χρυσή γωνία είναι η επίκεντρη γωνία των 137,5ο που προκύπτει αν διαιρέσουμε έναν κύκλο σε 2 τόξα που ο λόγος τους, είναι ο λόγος της χρυσής τομής.</div>
<br /><div style="margin-bottom: 15px;">
<span style="background-color: #cfe2f3; font-family: "verdana" , "geneva";"><br /></span>
<span style="background-color: #cfe2f3; font-family: "verdana" , "geneva";"><br /></span></div>
</div>
<strong><em><span style="color: black;"> <span style="font-size: large;"> <span style="color: blue;">2. ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ</span></span></span></em></strong><br />
<span style="font-size: large;"><br />
</span><br />
<span style="font-size: large;"><br />
</span><br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: blue;"><em><strong><span style="font-size: large;">Το αντικείμενο των Εφαρμοσμένων Μαθηματικών είναι η διατύπωση και η επίλυση μαθηματικών μοντέλων για προβλήματα που προκύπτουν στις επιστήμες και την τεχνολογία. </span></strong><strong><span style="font-size: large;"> H διαδικασία της διατύπωσης των μαθηματικών μοντέλων, αποτελεί την περιγραφή σε μαθηματική γλώσσα βασικών μηχανισμών που διέπουν προβλήματα των εφαρμογών, με πολλά παραδείγματα από τη φυσική, τη χημεία, τις τεχνολογικές επιστήμες και τη βιολογία.</span></strong></em></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black;"><span style="color: blue;">Τα μαθηματικά μοντέλα: Η ερμηνεία διαφόρων φαινομένων μπορεί αρκετές φορές να είναι απλή και να εξηγείται μέσω πάγιων θεωριών που θεμελιώνονται με την εξέλιξη της επιστήμης, η οποία μελετά τα εν λόγω φαινόμενα.</span> Στην εποχή μας όταν συζητούμε για πρόβλεψη της εξέλιξης ενός φαινομένου προϋποθέτουμε την ύπαρξη ενός μαθηματικού μοντέλου, το οποίο να προσεγγίζει «ικανοποιητικά» τις διάφορες καταστάσεις του στη διάρκεια του χρόνου. Με αυτόν τον τρόπο καταλαβαίνει κανείς ότι μπορεί να συντελεστεί σε ικανοποιητικό βαθμό η πρόβλεψη βραχυπρόθεσμα ή ακόμα και μακροπρόθεσμα. Δηλαδή, πρόκειται για έναν ακόμα τρόπο με τον οποίο εμπλέκονται τα μαθηματικά και οι άλλες επιστήμες. <br />
Βεβαίως η ύπαρξη ενός τέλειου τέτοιου μοντέλου που να περιγράφει κάθε φαινόμενο (φυσικό) είναι το πρώτο μέρος του προβλήματος, ενώ κατά δεύτερο λόγο η επίλυσή του σε πεπερασμένο πλήθος βημάτων (αλγοριθμικά) είναι το επόμενο βήμα . <br />
Η έννοια «τέλειο μοντέλο» τοποθετείται στο επίπεδο του ικανοποιητικού, ήτοι του κατά πόσο καλά μπορεί να προσεγγιστεί το φαινόμενο. Γι’ αυτόν τον σκοπό η εξέλιξη μπορεί να επιτευχθεί με δύο τρόπους : είτε με τη συνεξέλιξη μιας μαθηματικής θεωρίας στο πλαίσιο που οριοθετείται από το πρόβλημα, είτε με την ανάπτυξη μίας νέας μαθηματικής θεωρίας σε περισσότερο αφηρημένο επίπεδο, η οποία θα αναδιαμορφωθεί έτσι, ώστε να χρησιμοποιηθεί ως μία καλύτερη προσέγγιση του προβλήματος. Και για τις δύο διαδρομές έχουμε παραδείγματα, όπως το κλασσικό σύμπλεγμα: μαθηματικών-φυσικής, ή ακόμα: μαθηματικών και πληροφορικής, μαθηματικών - οικονομίας, μαθηματικών - βιολογίας κ.ά. </span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black;">Η ικανότητα επίλυσης των μοντέλων είναι το σημαντικότερο πλεονέκτημα μίας τέτοιας χρήσης των μαθηματικών, γι’ αυτό εξάλλου και συντελείται μεγάλη προσπάθεια για μία τέτοιου είδους προσέγγιση. Ακόμα, και όταν δεν έχεις πλήρως σωστά αποτελέσματα (και αυτό είναι το σύνηθες) μπορείς να καταφέρεις να γνωρίζεις, έστω και πειραματικά, την απόκλιση του μοντέλου από την πραγματικότητα. </span><br />
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<span style="font-size: large;"><span style="font-size: large;"><strong><span style="color: blue;">ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ</span></strong>.</span></span><br />
<br />
<span style="font-size: small;">Το Ινστιτούτο Υπολογιστικών Μαθηματικών (ΙΥΜ) ιδρύθηκε το 1985 και αποτελεί ένα από τα ιδρυτικά Ερευνητικά Ινστιτούτα του ΙΤΕ με έδρα το Ηράκλειο Κρήτης.<br />
<u>Οι στόχοι του είναι:</u><strong> </strong></span><br />
<div align="justify">
</div>
<br />
<ul id="listNumber">
<li>Η διεξαγωγή έρευνας υψηλής ποιότητας σε επιλεγμένες περιοχές των Εφαρμοσμένων και Υπολογιστικών Μαθηματικών. </li>
<li>Η συμμετοχή του σε διεπιστημονικά ερευνητικά προγράμματα, με σκοπό την ανάπτυξη και την εφαρμογή μαθηματικών μεθόδων και εργαλείων για την μοντελοποίηση και επίλυση σύνθετων και πολύπλοκων προβλημάτων στις επιστήμες και στην τεχνολογία. </li>
<li>Η ανάπτυξη μαθηματικών και υπολογιστικών μεθόδων και εργαλείων με σκοπό την εφαρμογή τους στην παροχή υπηρεσιών στον δημόσιο και ιδιωτικό τομέα. </li>
</ul>
<br />
<u>Οι ερευνητικές ομάδες του ΙΥΜ δραστηριοποιούνται στις εξής κατευθύνσεις:</u> <br />
<ul id="listBullet">
<li>Προβλήματα κυματικών φαινομένων με έμφαση στη θαλάσσια ακουστική. </li>
<li>Ανάλυση και αριθμητική επίλυση Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων που προκύπτουν από μαθηματικά μοντέλα στις φυσικές και βιοϊατρικές επιστήμες και την τεχνολογία. </li>
<li>Αριθμητικές μέθοδοι και επιστημονικοί υπολογισμοί στη Δυναμική των Ρευστών. </li>
<li>Γεωπληροφορική: εφαρμογές μαθηματικών και υπολογιστικών μεθόδων και εργαλείων στην περιφερειακή ανάλυση και τη δορυφορική τηλεπισκόπηση. </li>
<li>Μαθηματικά μοντέλα, υπολογισμοί και πειράματα στις Νευροεπιστήμες</li>
</ul>
<div>
<br />
<br /></div>
<div>
<table align="center" border="0" style="font-family: Verdana, Arial, Helvetica; width: 100%px;"><tbody>
<tr><td class="title" style="text-align: center;"><br /><br /><div style="text-align: justify;">
<span style="color: #990000;"><b>Μαθηματικά Μοντέλα Ρύπανσης </b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Η ρύπανση του περιβάλλοντος χώρου αποτελεί πλέον ένα από τα σημαντικότερα προβλήματα του ανθρώπου. Ένα μαθηματικό μοντέλο προσομοίωσης της ρύπανσης είναι ένα σύνολο εξισώσεων που περιγράφουν τις φυσικοχημικές διεργασίες που γίνονται σ' ένα μέσο, ατμόσφαιρα, θάλασσα - υδάτινους φορείς ή στο έδαφος, μαζί με τη κατάλληλη μαθηματική περιγραφή της γεωμετρίας του μέσου ή των μέσων για πολυφασικές περιπτώσεις.</div>
<div style="text-align: justify;">
Το σύνολο αυτών των εξισώσεων επιλύεται κατά κανόνα με μεθόδους αριθμητικής ανάλυσης σε ηλεκτρονικό υπολογιστή. Η επίλυση αυτού του τύπου μαθηματικών προβλημάτων είναι δύσκολη έως άλυτη υπόθεση. Ο μαθηματικός χαρακτήρας των εξισώσεων που παρουσιάζει παραβολική ή ελλειπτική έως υπερβολική συμπεριφορά σε συνδιασμό με τη γεωμετρική απεικόνηση του χώρου (οριακές συνθήκες) μαζί με τον προσδιορισμό των αρχικών περιορισμών (αρχικές συνθήκες), δημιουργούν ένα μαθηματικό πρόβλημα άλυτο μέχρι στιγμής στην ολότητά του.</div>
<div style="text-align: justify;">
Δεν είναι υπεύθυνη τόσο η δυνατότητα των σύγχρονων ηλεκτρονικών υπολογιστών (hardware) αλλά η έλλειψη αποδοτικών - καινοτόμων αλγορίθμων (software) που δεν μας επιτρέπει την επίλυσή τους. Έτσι καταστρώνονται σχέδια απλοποίησης του μαθηματικού προβλήματος ώστε να έρθει σε επιλύσιμη μορφή. Δεν είναι σπάνια η περίπτωση όπου βλέπουμε μαθηματικά μοντέλα τα οποία έχουν απλοποιηθεί σε τέτοιο βαθμό που δεν περιλαμβάνουν βασικές φυσικοχημικές διεργασίες διότι οι αντίστοιχοι όροι στη μαθηματική απεικόνιση έχουν "πετσοκοπεί" προς χάριν της απλοποίησης.</div>
<div style="text-align: justify;">
Συνεπώς χρειάζεται μεγάλη προσοχή στη χρήση των αποτελεσμάτων αυτών των μοντέλων. Σε πολλές περιπτώσεις λοιπόν διακυρήσσεται η πανάκεια τέτοιων μοντέλων αλλά στερούνται επιστημονικής βάσης καθόσον η φιλοσοφία ανάπτυξης ενός τέτοιου μοντέλου δίνει περιορισμένες δυνατότητες.</div>
<div style="text-align: justify;">
Πολύ περισσότερο να χρησιμοποιείται ένα τέτοιο μοντέλο σαν εργαλείο σχεδιασμού. Η πιστοποίηση ενός μοντέλου γίνεται μεταξύ των αποτελεσμάτων του (εκτιμήσεις) και πραγματικών δεδομένων μετά από ευρείς και εξαντλητικές δοκιμές. Είναι μια χρόνια διαδικασία με επισφαλή αποτελέσματα επιτυχίας, συνήθως μερικής, υπό όρους δηλαδή χρήσης ενός τέτοιου μοντέλου. Όσο όμως προχωρεί η έρευνα, τόσο θα ξεδιαλύνει και το τοπίο.</div>
<div style="text-align: justify;">
Στις σελίδες εδώ θα βρείτε αλγόριθμους μοντέλων ρύπανσης είτε ατμοσφαιρικής, είτε ρύπανσης εσωτερικού χώρου κτιρίων.</div>
<div style="text-align: justify;">
Τα μοντέλα ατμοσφαιρικής ρύπανσης έχουν τοπικό χαρακτήρα, για παράδειγμα, η ρύπανση μιας καμινάδας στον περιβάλλοντα χώρο της, είτε σε επίπεδο πόλης - λεκανοπέδιο Αθηνών, είτε σε ρύπανση μεγάλης ακτίνας, λόγου χάρη, η ατμοσφαιρική ρύπανση του κάμπου της Θεσσαλίας από τα θερμοηλεκτρικά εργοστάσια της ΔΕΗ ΑΕ στην Κοζάνη - Πτολεμαϊδα, είτε μοντέλο ατμοσφαιρικής ρύπανσης σε παγκόσμιο επίπεδο, πχ, μεταφορά ρύπων από την βορειοαμερικανική ήπειρο στην Ευρώπη. </div>
<br /><br /></td></tr>
</tbody></table>
</div>
<br />
<br />
<strong><span style="color: blue; font-size: large;"> Μαθηματικά στην Ιατρική</span></strong><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><strong><em>"Τα μαθηματικά αποτελούν ένα από τους στυλοβάτες της ιατρικής επιστήμης. Οι βασικές επιστημονικές αρχές της στηρίζονται σε μαθηματικά πρότυπα. Δεν νοείται επιστημονική σκέψη χωρίς τη θεώρησή της από μαθηματική σκοπιά.Είναι αλήθεια για παράδειγμα ότι η ιατρική φυσική δεν νοείται χωρίς μαθηματική υποδομή".</em></strong></span></div>
<strong><span style="color: #cc0000;"> Χρήστος Μπαρτσόκας</span></strong><br />
<strong><span style="color: #cc0000;"> Καθηγητής Παιδιατρικής Πανεπιστημίου Αθηνών.</span></strong><br />
<br />
<br />
<br />
<strong><span style="color: blue; font-size: large;"></span></strong><br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><strong><em>"Tα Μαθηματικά είναι απαραίτητα για την κουλτούρα μας".</em></strong></span><br />
<em><br />
</em><br />
<strong><span style="color: #cc0000; font-size: large;"><em>Α. Φωκάς</em></span></strong><br />
<div id="sz12bc">
<strong><span style="color: #cc0000;">Κεφαλονίτης, καθηγητής στο Πανεπιστήμιο του Κέμπριτζ στην έδρα «Μη γραμμικών επιστημών», ,</span><span style="color: #cc0000;"> μαθηματικός που τιμήθηκε το 2000 από τη Μαθηματική Εταιρεία της Αγγλίας με το περίφημο βραβείο Naylor, γιατρός, αεροναυπηγός, επίτιμος διδάκτορας του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου, των Πανεπιστημίων Κρήτης και Πάτρας, βραβευθείς από την Ακαδημία Αθηνών με Ανώτατο Αριστείο για την προσφορά του στον τομέα των Εφαρμοσμένων Μαθηματικών. </span></strong><br />
<br /></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<br />
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><strong> Τα μαθηματικά και ο αξονικός τομογράφος ...</strong></span><br />
<br />
Πριν από όλα, τα Μαθηματικά είναι απαραίτητα για την κουλτούρα μας. Οπως η επίσκεψη ενός παιδιού σε μια έκθεση ζωγραφικής εκλεπτύνει την αισθητική του, ανάλογα και η ενασχόλησή του με τα Μαθηματικά αναπτύσσει την έμφυτη ικανότητά του να σκέφτεται λογικά. Συγχρόνως, τα Μαθηματικά δημιουργούν τις πιο πολύπλοκες τεχνικές που είναι απαραίτητες για την κατανόηση του χειροπιαστού κόσμου που μας περιβάλλει. Για παράδειγμα, ο Α. Cormack, ο φυσικομαθηματικός που ανακάλυψε τον αξονικό τομογράφο, είπε στην ομιλία του, όταν του απενεμήθη το Βραβείο Nobel το 1979:<strong><em> "Ηταν προφανές ότι το πρόβλημα του αξονικού τομογράφου ήταν καθαρά ένα μαθηματικό πρόβλημα".</em></strong> Ο αξονικός τομογράφος και αργότερα ο μαγνητικός τομογράφος (για την ανακάλυψη του οποίου δόθηκε Βραβείο Nobel στον sir Peter Mansfield το 2003), έφεραν πραγματική επανάσταση στη Νευρολογία ειδικά και σε ολόκληρη την Ιατρική γενικότερα. Παρ' όλα αυτά, και οι δύο αυτές καταπληκτικές τεχνικές αδυνατούν να απεικονίσουν τη λειτουργία του εγκεφάλου. <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><strong> Mαθηματική καρδιολογία ...</strong></span><br />
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<div class="text">
<div lang="el" xml:lang="el">
Γνωρίζατε ότι καρδιακές προσβολές μπορούν να σας δώσουν τα μαθηματικά; Η δήλωση αυτή εμφανίζεται στην ιστοσελίδα του James Κίνερ, ο οποίος εργάζεται στην μαθηματικά της καρδιολογίας. Αυτή η περιοχή έχει πολλά προβλήματα, τα οποία είναι ώριμα για ενιαία επίθεση από μαθηματικούς, γιατρούς, και τους τεχνικούς βιοϊατρικής. Σε ένα άρθρο να εμφανίζεται στο Απρίλιος 2011 έκδοση των ανακοινώσεων της Αμερικανικής Μαθηματικής Εταιρείας, John W. Cain, ένας μαθηματικός στο Virginia Commonwealth University, παρουσιάζει μια επισκόπηση των έξι συνεχών προβλημάτων Πρόκληση στη μαθηματική καρδιολογία. Το άρθρο του Κάιν τονίζει καρδιακής ηλεκτροφυσιολογίας, διότι ορισμένες από τις πιο συναρπαστικές προβλήματα της έρευνας στην μαθηματική καρδιολογία συνεπάγονται ηλεκτρικές διάδοσης κυμάτων στον ιστό της καρδιάς. <br />
Σε κάποιο σημείο στη ζωή μας, πολλοί από εμάς θα υποβληθεί σε ηλεκτροκαρδιογράφημα (ΗΚΓ), μια καταγραφή της ηλεκτρικής δραστηριότητας στην καρδιά. Για να καταλάβετε όταν αυτά τα μικροσκοπικά ηλεκτρικά ρεύματα προέρχονται, πρέπει να μεγεθύνετε για να το μοριακό επίπεδο. Σωματικών υγρών, όπως το αίμα, περιέχουν θετικά φορτισμένο ιόντα. Όταν αυτά τα ιόντα διαπερνούν τις κυτταρικές μεμβράνες, που προκαλούν ηλεκτρικά ρεύματα, τα οποία με τη σειρά τους προκαλούν αλλαγές στην τάση V πέρα από τη μεμβράνη. Εάν ένα αρκετά ισχυρό ρεύμα ερέθισμα εφαρμόζεται σε αρκετά ξεκούραστοι κελί, τότε το κύτταρο με την εμπειρία μιας «δυναμικό δράσης»: V αιχμές ξαφνικά και παραμένει σε υψηλά επίπεδα για μεγάλο χρονικό διάστημα. Αυτές οι δυνατότητες δράσης διέπουν τα πρότυπα κτύπο της καρδιάς και είναι επομένως κρίσιμης σημασίας για την κατανόηση και την αντιμετώπιση των διαταραχών, όπως αρρυθμίες (ανωμαλίες στον καρδιακό ρυθμό), και ιδίως ταχυκαρδία (γρηγορότερα από το κανονικό καρδιακό ρυθμό). <br />
Λαμβάνοντας το βραβευμένος με Νόμπελ το έργο του Hodgkin και Huxley ως σημείο εκκίνησης, οι ερευνητές έχουν δημιουργήσει μαθηματικά μοντέλα του καρδιακού δυναμικού δράσης με την προβολή των καρδιακών κυτταρική μεμβράνη ως ένα ηλεκτρικό κύκλωμα. Μια σημαντική πρόκληση που εντοπίζει ο Κάιν είναι επίτευξης ισορροπίας μεταξύ feasiblity και πολυπλοκότητας: Ελαχιστοποίηση των επιπλοκών στο μοντέλο, έτσι ώστε να είναι δεκτική μαθηματική ανάλυση, αλλά προσθέτουν επαρκείς λεπτομέρειες, έτσι ώστε το μοντέλο αναπαράγει τόσο κλινικά δεδομένα του δυνατού. Οι εξισώσεις που διέπουν το μοντέλο --- γραμμικών μερικών διαφορικών εξισώσεων --- επίκλισης να επιλυθεί ρητώς, και οι λύσεις πρέπει να επιτυγχάνεται μέσω της προσέγγισης με αριθμητικές μεθόδους. Η προσθήκη περαιτέρω επιπλοκές είναι οι περίπλοκες γεωμετρία της καρδιάς, με τέσσερις αίθουσες και οι συνδέσεις του με τις φλέβες και τις αρτηρίες, καθώς και το γεγονός ότι οι διαφορετικοί τύποι του καρδιακού ιστού έχουν διαφορετικές ιδιότητες αγωγιμότητας. </div>
</div>
<br />
<br />
<br />
<br />
<br /><br /><b><span style="color: #990000; font-size: large;">Μαθηματικά μοντέλα «εξηγούν» νευρολογικές διαταραχές.</span></b><br /><br /><div style="text-align: justify;">
Με τη βοήθεια μαθηματικών μοντέλων Βιοπληροφορικής Έλληνες ερευνητές διερεύνησαν σειρά δυσλειτουργιών των μιτοχονδρίων που προκαλούν νευρολογικές διαταραχές στις κοινές ασθένειες, όπως το Αλτσχάιμερ, το Πάρκινσον και τη νόσο του Χάντινγκτον.</div>
<div style="text-align: justify;">
Οι ερευνητές από το Ιόνιο Πανεπιστήμιο άνοιξαν ουσιαστικά το δρόμο για το σχεδιασμό νέων αποτελεσματικότερων φαρμάκων ή και εναλλακτικών θεραπειών κατά των νευρολογικών διαταραχών.</div>
<div style="text-align: justify;">
Το ερευνητικό έργο της ελληνικής επιστημονικής ομάδας του Ιονίου Πανεπιστημίου ξεκίνησε πριν από έξι χρόνια και στο διάστημα αυτό κατάφερε να μοντελοποιήσει τις λειτουργίες ενός αρχικού μιτοχονδρίου και να τις προσομοιώσει στον υπολογιστή, παρακολουθώντας το μηχανισμό των μικροσκοπικών αυτών σωματιδίων του κυττάρου. Αντίθετα με τις μέχρι σήμερα εργαστηριακές μελέτες, που οδηγούσαν στην εξάντληση των συμπτωμάτων της «ασθένειας» των μιτοχονδρίων, η ερευνητική ομάδα προσπάθησε να εξηγήσει τους λόγους που προκαλούν τις δυσλειτουργίες τους.</div>
<div style="text-align: justify;">
Επιστημονικές έρευνες ετών υπέδειξαν τη συσχέτιση των μιτοχονδριακών δυσλειτουργιών και των νευρολογικών διαταραχών, όπως Αλτσχάιμερ, Πάρκινσον και Χάντινγκτον. Ειδικά στην περίπτωση του Αλτσχάιμερ, ο πληθυσμός των υγιών μιτοχονδρίων διαπιστώθηκε ότι μειώνεται κατά πολύ.</div>
<div style="text-align: justify;">
Καθώς το Αλτσχάιμερ φαίνεται ότι είναι αποτέλεσμα τόσο γενετικών όσο και περιβαλλοντικών παραγόντων, κατηγοριοποιείται σε δύο κύριες μορφές: τη γενετική ή κληρονομική (5%) και τη σποραδική (95%). Για την περίπτωση της σποραδικής μορφής, οι επιστήμονες υποστηρίζουν τη συσχέτισή της με τη δραστική μείωση της λειτουργίας των μιτοχονδρίων κατά τη γήρανση.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<br />
<br />
<br /></div>
<span style="color: #cc0000;"><strong> ΜΕΛΕΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΤΕΧΝΙΚΗ ANIMATION</strong></span><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
Η εικασία του σκοτσέζου μαθηματικού William Hodge, από το 1930, σχετίζεται με τη δυνατότητα γεωμετρικής εξήγησης πολύπλοκων σχημάτων που συναντώνται τόσο στην τρισδιάστατη αποτύπωση της πραγματικότητας, όσο και σε περισσότερες διαστάσεις. Ο Hodge ισχυρίστηκε ότι <strong>μπορούμε να προσεγγίσουμε το σχήμα ενός δεδομένου αντικειμένου, με την τεχνική της συγκόλλησης γεωμετρικών σχημάτων</strong>, σε μια θεωρία που, αν και δεν αποδείχθηκε εδώ και 80 χρόνια, <strong>βοήθησε ιδιαίτερα την τεχνολογική εξέλιξη στον τομέα του animation</strong>, όπου απαιτούνται πολύπλοκες γραφικές παραστάσεις.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<br />
<a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Navier%E2%80%93Stokes_existence_and_smoothness" target="_blank"><strong><span style="color: #cc0000;">Εξισώσεις Navier – Stokes </span></strong></a><span style="color: #cc0000;"><u>για τη κίνηση των ρευστών.</u></span><br />
<div style="text-align: justify;">
<br />
Οι δυο μαθηματικοί, με ένα σύνολο εξισώσεων που διατύπωσαν πριν από 150 χρόνια, αποπειράθηκαν να <strong>περιγράψουν την κίνηση των ρευστών</strong>, όπως είναι τα υγρά και τα αέρια. Σύμφωνα με αυτές, <strong>οι μεταβολές στην ορμή μιας απειροελάχιστης μονάδας ρευστού είναι το άθροισμα των δυνάμεων που δρουν μέσα σε αυτό</strong>. Εφαρμογές του πλέγματος εξισώσεων των δυο μαθηματικών βρίσκονται στην μετεωρολογία, την αστρονομία και τη φυσική. <br />
Ωστόσο, παρά την χρήση εξελιγμένων υπολογιστών για τον υπολογισμό κινήσεων ρευστών σε φαινόμενα όπως το Ελ Νίνιο, οι προβλέψεις δεν είναι ακριβείς, καθώς υπάρχουν χιλιάδες παράμετροι που στρεβλώνουν την τελική κίνηση του ρευστού. Το ινστιτούτο Clay προσφέρει έπαθλο ενός εκατομμυρίου δολαρίων σε όποιον παρουσιάσει σοβαρή πρόοδο στις εξισώσεις αυτές. </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><strong>ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΜΕΤΕΡΕΟΛΟΓΙΑ</strong></span><br />
<br />
<span style="font-family: "arial";"><span style="color: blue;"><em><strong>Αφού λοιπόν συλλεγούν οι μετεωρολογικές παρατηρήσεις αναλαμβάνουν να τις επεξεργαστούν μεγάλες υπολογιστικές μηχανές στις οποίες «τρέχουν» τα μοντέλα καιρού (πολύπλοκα μαθηματικά συστήματα διαφορικών εξισώσεων).</strong></em></span><span style="color: black;"> </span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-indent: 36pt;">
<span style="font-family: "arial";">Τη ραχοκοκαλιά κάθε μετεωρολογικής υπηρεσίας απαρτίζει το δίκτυο των μετεωρολογικών σταθμών και συστημάτων παρατήρησης, καθώς τη βάση για τη σωστή πρόγνωση αποτελεί η σωστή παρατήρηση. Ωστόσο στη διαδικασία της πρόγνωσης εμπλέκονται και άλλοι παράμετροι όπως η ισχύς των υπερυπολογιστικών συστημάτων που θα αναλάβουν το βαρύ έργο της επίλυσης των εξισώσεων που απαρτίζουν τα αριθμητικά μοντέλα πρόγνωσης, καθώς και η εμπειρία των μετεωρολόγων που καλούνται να ερμηνεύσουν τα αποτελέσματα των μοντέλων.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-indent: 36pt;">
<span style="font-family: "arial";">Οι μετεωρολογικοί σταθμοί επιφανείας εξοπλίζονται με ολοένα και πιο σύγχρονα όργανα ενώ παράλληλα τοποθετούνται και αυτόματοι μετεωρολογικοί σταθμοί ιδιαίτερα σε σημεία του πλανήτη όπου είναι δύσκολη η συνεχής παρουσία του ανθρώπου. Τα τελευταία χρόνια σημαντικά βήματα<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>γίνονται με την αξιοποίηση παρατηρήσεων που εκτελούνται αυτόματα από τα αεροσκάφη της πολιτικής αεροπορίας. Τα μετεωρολογικά ραντάρ με την τεχνολογία </span><span lang="EN-US" style="font-family: "arial"; mso-ansi-language: EN-US;">Doppler</span><span style="font-family: "arial";">, που σήμερα ενσωματώνουν, δίνουν πολύ ακριβείς πληροφορίες για το είδος των νεφικών συστημάτων, τον υετό αλλά και την βραχυπρόθεσμη προβολή στο μέλλον της κίνησης αυτών. Οι μετεωρολογικοί δορυφόροι σήμερα παρέχουν ανά ένα τέταρτο της ώρας φωτογραφίες που η διακριτική ικανότητά τους φθάνει το 1Χ1 Κ</span><span lang="EN-US" style="font-family: "arial"; mso-ansi-language: EN-US;">m</span><span lang="EN-US" style="font-family: "arial";"> </span><span style="font-family: "arial";">και επί πλέον μετρούν και αρκετές παραμέτρους όπως τον άνεμο, τη θερμοκρασία, την υγρασία ακόμα και το ύψος κύματος με ακρίβεια <metricconverter productid="0,5 μέτρου" w:st="on">0,5 μέτρου</metricconverter>. </span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-indent: 36pt;">
<span style="font-family: "arial";">Επίσης σήμερα με τον κατάλληλο εξοπλισμό που τοποθετείται στα πλοία, εκτελούνται και παρατηρήσεις ανώτερης ατμόσφαιρας για τις οποίες όμως χρειάζεται οι αξ/κοί να αφιερώσουν λίγο περισσότερο χρόνο (μισή ώρα 2 φορές την ημέρα), εδώ όμως υπάρχει και αμοιβή(!).</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-indent: 36pt;">
<span style="font-family: "arial";">Μια άλλη και εξίσου σημαντική κατηγορία σταθμών στη θάλασσα είναι οι πλωτοί μετρητικοί σταθμοί (</span><span lang="EN-US" style="font-family: "arial"; mso-ansi-language: EN-US;">buoys</span><span style="font-family: "arial";">) είτε αγκυροβολημένοι (</span><span lang="EN-US" style="font-family: "arial"; mso-ansi-language: EN-US;">moored</span><span style="font-family: "arial";">), είτε παρασυρόμενοι (</span><span lang="EN-US" style="font-family: "arial"; mso-ansi-language: EN-US;">drifting</span><span style="font-family: "arial";">) που σήμερα αριθμούν τους 251 και 1250 αντίστοιχα (στη χώρα μας υπάρχουν 10 </span><span lang="EN-US" style="font-family: "arial"; mso-ansi-language: EN-US;">moored</span><span lang="EN-US" style="font-family: "arial";"> </span><span lang="EN-US" style="font-family: "arial"; mso-ansi-language: EN-US;">buoys</span><span lang="EN-US" style="font-family: "arial";"> </span><span style="font-family: "arial";">σε Αιγαίο και Ιόνιο). </span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-indent: 36pt;">
<span style="font-family: "arial";"><strong><em><span style="color: black;">Αφού λοιπόν συλλεγούν οι μετεωρολογικές παρατηρήσεις αναλαμβάνουν να τις επεξεργαστούν μεγάλες υπολογιστικές μηχανές στις οποίες «τρέχουν» τα μοντέλα καιρού (πολύπλοκα μαθηματικά συστήματα διαφορικών εξισώσεων).</span></em></strong> Μερικές από τις μηχανές αυτές (</span><span lang="EN-US" style="font-family: "arial"; mso-ansi-language: EN-US;">super</span><span lang="EN-US" style="font-family: "arial";"> </span><span lang="EN-US" style="font-family: "arial"; mso-ansi-language: EN-US;">computers</span><span style="font-family: "arial";">), στις οποίες τρέχουν μοντέλα καιρού για όλη την υδρόγειο, έχουν ταχύτητες επεξεργασίας που σήμερα αγγίζουν<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>τα 5</span><span lang="EN-US" style="font-family: "arial"; mso-ansi-language: EN-US;">TerraFlop</span><span style="font-family: "arial";"> (5χ10<sup>12</sup></span><span lang="EN-US" style="font-family: "arial"; mso-ansi-language: EN-US;">Flop</span><span style="font-family: "arial";">). Τα μοντέλα αυτά<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>«επιλύουν» την ατμόσφαιρα και δίνουν αποτελέσματα υπό μορφή χαρτών και διαγραμμάτων που έρχονται να μεταφράσουν σε πρόγνωση καιρού οι μετεωρολόγοι. <span style="font-family: "times new roman";"> Το μαθηματικό – φυσικό κομμάτι της </span>πρόγνωσης καιρού έγκειται στην επίλυση συγκεκριμένων μαθηματικών εξισώσεων, σεένα τεράστιο πλήθος σημείων πλέγματος, (εκεί προσαρμόζονται οι μετεωρολογικέςπαρατηρήσεις) σε συγκεκριμένα ύψη στην τροπόσφαιρα. Τα αποτελέσματα αυτού τουμαθηματικού – φυσικού προβλήματος ονομάζονται προϊόντα αριθμητικής πρόγνωσηςκαιρού - NWP. Τα προϊόντα αυτά παράγονται σε γραφική μορφή έχουν χρόνοπρόγνωσης μέχρι και 10 μέρες </span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-indent: 36pt;">
<br /></div>
<span style="font-family: "arial";"></span><br />
<br />
<br />
<br />Μαθηματικά μοντέλα για επιστημονικές προβλέψεις<br /><br /><br /><br />Το ακόλουθο άρθρο <a href="http://www.scribd.com/doc/73905130/37-20111102-p31">δημοσιεύτηκε</a> στην εφημερίδα Χανιώτικα Νέα στις 2 Νοεμβρίου 2011.<br /><br /><br /> <br /><br /><br /><span style="color: #990000; font-size: large;"><b>ΠΡΟΣΤΑΣΙΑ ΤΟΥ ΠΟΛΙΤΗ ΚΑΙ ΚΑΘΗΜΕΡΙΝΟΤΗΤΑ</b></span><br /><span style="color: #990000;"><b><br /></b></span></div>
<div>
<span style="color: #990000;"><b>Μαθηματικά μοντέλα για επιστημονικές προβλέψεις</b></span><br />γράφει ο Παναγιώτης Αλεβαντής*<br /><br /><div style="text-align: justify;">
Η πρόβλεψη μελλοντικών καταστροφών με τη βοήθεια μαθηματικών μοντέλων μπορεί να μας βοηθήσει να λάβουμε μέτρα μετριασμού των δυσμενών επιπτώσεων.</div>
<div style="text-align: justify;">
Ο άνθρωπος ήθελε πάντα να προβλέπει τι θα συμβεί στο μέλλον. Ιδίως αν διαισθανόταν ότι το μέλλον εγκυμονούσε κινδύνους και καταστροφές. Τις προφητείες των ιερών βιβλίων κάθε θρησκείας για λιμούς, σεισμούς και καταποντισμούς έρχονται σήμερα να συμπληρώσουν οι προβλέψεις των επιστημόνων για την αλλαγή του κλίματος, για τα φαινόμενα που ενδέχεται να συνοδεύουν ένα μεγάλο σεισμό, για την αύξηση του πληθυσμού της γης ή για πλήθος άλλων φαινομένων που μεταβάλλονται με το χρόνο. Οι σύγχρονοι προφήτες δεν στηρίζονται στην επιφοίτηση κάποιου πνεύματος αλλά στα μαθηματικά μοντέλα. Και στην Κρήτη ένα κέντρο που έχει επικεντρωθεί στη μελέτη των μαθηματικών μοντέλων είναι το Ινστιτούτο Υπολογιστικών Μαθηματικών (ΙΥΜ) του Ιδρύματος Τεχνολογίας και Έρευνας (ΙΤΕ).</div>
<div style="text-align: justify;">
Τα μοντέλα είναι μια μαθηματική απεικόνιση της πραγματικότητας. Επιχειρούν να απεικονίσουν διάφορα πολύπλοκα φαινόμενα με μαθηματικές έννοιες και εξισώσεις. Με βάση μετρήσεις και παρατηρήσεις π.χ. της εξέλιξης της θερμοκρασίας και της υγρασίας του αέρα, της ατμοσφαιρικής πίεσης και της ταχύτητας του ανέμου οι μετεωρολόγοι κατασκευάζουν ένα μαθηματικό μοντέλο της εξέλιξης του καιρού. Στη συνέχεια τροφοδοτώντας το με τα σημερινά στοιχεία μπορούν να προβλέψουν τι καιρό θα κάνει αύριο και μεθαύριο. Οι πολιτικοί μηχανικοί που έχουν σχεδιάσει ένα κτήριο χρησιμοποιώντας τη στατική μελέτη και τις επιταχύνσεις που προκαλούν στη συγκεκριμένη περιοχή οι παρελθόντες σεισμοί μπορούν να προβλέψουν τη συμπεριφορά του κτηρίου σε ένα μελλοντικό σεισμό και να ενισχύσουν την κατασκευή αναλόγως.</div>
<div style="text-align: justify;">
Ένα φαινόμενο που απασχολεί την επιστημονική κοινότητα παγκοσμίως είναι η κλιματική αλλαγή, η οποία στην Κρήτη και την Ανατολική Μεσόγεια γενικότερα, ενδέχεται να οδηγήσει σε αύξηση της ερημοποίησης λόγω αύξησης της μέσης θερμοκρασίας του αέρα και μείωσης της βροχόπτωσης. Παράλληλα με την εξάπλωση της ερημοποίησης η κλιματική αλλαγή ενδέχεται να οδηγήσει, μεταξύ άλλων, και σε αύξηση της συχνότητας αλλά και σε εντατικοποίηση των ακραίων καιρικών φαινομένων δηλαδή των έντονων καταιγίδων και των κυμάτων καύσωνα. Στην έκθεση που δημοσίευσε τον περασμένο Ιούνιο η Τράπεζα της Ελλάδος με τίτλο «Οι περιβαλλοντικές, οικονομικές και κοινωνικές επιπτώσεις της κλιματικής αλλαγής στην Ελλάδα» υπάρχει πλήθος γραφημάτων για τις επιπτώσεις της κλιματικής αλλαγής ανά τομέα (αλιεία και υδατοκαλλιέργειες, γεωργία, δάση, βιοποικιλότητα, τουρισμός, δομημένο περιβάλλον, μεταφορές, υγεία, εξορυκτική βιομηχανία) αλλά και για τις γενικότερες οικονομικές της επιπτώσεις. Για την παραγωγή των γραφημάτων χρησιμοποιήθηκαν μαθηματικά μοντέλα που τροφοδοτήθηκαν με διαφορετικές κάθε φορά παραδοχές και στοιχεία.</div>
<div style="text-align: justify;">
Η κλιματική αλλαγή προβλέπεται επίσης ότι θα προκαλέσει λιώσιμο των πάγων με επακόλουθη ανύψωση της στάθμης της θάλασσας και ενίσχυση της διάβρωσης με αποτέλεσμα να αναμένεται ότι θα υποβαθμιστούν ή και θα καταστραφούν κάποιες παραλίες και θα διακινδυνεύσουν οι παράκτιες κοινότητες. Οι μελέτες της μεταβολής της στάθμης της θάλασσας στην Μεσόγειο είναι ακόμα σε προκαταρκτικό επίπεδο. Όμως, στο πλαίσιο διάφορων ερευνητικών προγραμμάτων το Ινστιτούτο Υπολογιστικών Μαθηματικών έχει κατασκευάσει μοντέλα για τις πλημύρες οι οποίες θα πλήξουν παράκτιες περιοχές της Κρήτης εξαιτίας παλιρροϊκών κυμάτων (τσουνάμι) που θα έχουν προκληθεί από σεισμούς ή από έντονα καιρικά φαινόμενα. Τα μοντέλα αυτά χρησιμοποιήθηκαν με επιτυχία για την οργάνωση της πρόσφατης άσκησης πολιτικής προστασίας της Περιφέρειας Κρήτης. Μπορούν όμως να χρησιμοποιηθούν και για τον χωροταξικό σχεδιασμό και την οριοθέτηση ζωνών οικιστικής ή βιομηχανικής ανάπτυξης που δεν θα κινδυνεύουν μακροπρόθεσμα από πλημμύρες ή από έντονα καιρικά φαινόμενα.</div>
<div style="text-align: justify;">
Τα μοντέλα που κατασκευάζουν οι μαθηματικοί του ΙΥΜ, σε συνεργασία με επιστήμονες των αντίστοιχων ειδικοτήτων, καλύπτουν και πληθώρα άλλων τομέων. Την προσομοίωση της κυκλοφορίας του αίματος στον ανθρώπινο οργανισμό με στόχο την κατασκευή καλύτερων συστημάτων ιατρικής απεικόνισης. Την κατασκευή υποβρύχιων συστημάτων ακουστικής ανίχνευσης που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον εντοπισμό υποβρυχίων, για την παρακολούθηση φαλαινών ή και για την χαρτογράφηση του θαλάσσιου πυθμένα. Την κατασκευή πολύπλοκων συστημάτων υποβοήθησης της λήψης αποφάσεων στον τομέα του τουριστικού σχεδιασμού αλλά και σε άλλους τομείς στους οποίους απαιτείται καλή γνώση των τοπικών συνθηκών και του χώρου γενικότερα (χωρικά συστήματα). Ή ακόμη την κατασκευή μοντέλων της λειτουργίας του ανθρώπινου εγκεφάλου και του τρόπου με τον οποίο κατανοεί το χώρο αλλά και ελέγχει τις κινήσεις των ματιών, της κεφαλής και των άνω άκρων με στόχο την υποστήριξη της έρευνας στον τομέα των νευροεπιστημών.</div>
<div style="text-align: justify;">
Η ελαχιστοποίηση των δυσμενών επιπτώσεων των μελλοντικών καταστροφών εξαρτάται από τον σωστό σχεδιασμό των μέτρων πρόληψης με βάση όσον το δυνατόν καλύτερα μοντέλα. Οι μαθηματικοί και οι άλλοι επιστήμονες του ΙΤΕ έχουν αναπτύξει την σχετική τεχνογνωσία και οι τοπικές και περιφερειακές αρχές δεν έχουν παρά να τους αξιοποιήσουν περισσότερα για να σχεδιάσουν με επιστημονικό τρόπο την βέλτιστη δυνατή προστασία των πολιτών από ατυχήματα και καταστροφές στο μέλλον.</div>
</div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
Τα μοντέλα για τις πλημύρες από παλιρροϊκά κύματα (τσουνάμι) που χρησιμοποιήθηκαν για την οργάνωση της πρόσφατης άσκησης πολιτικής προστασίας της Περιφέρειας Κρήτης (άσκηση ΠΟΣΕΙΔΩΝ) διατέθηκαν από τον καθηγητή του Πολυτεχνείου Κρήτης κ. Κώστα Συνολάκη και δεν αναπτύχθηκαν πρωτογενώς από το Ινστιτούτο Υπολογιστικών Μαθηματικών του ΙΤΕ. Οι σχετικές προσομοιώσεις έγιναν σε συνεργασία με την ερευνητική ομάδα του κ. Συνολάκη.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="text-align: left;"> </span></div>
<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<div style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<span style="color: blue; font-family: "georgia"; font-size: large;"><strong><em>3. ΓΙΑΤΙ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΜΑΘΑΙΝΟΥΜΕ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ</em></strong></span></div>
<strong><em><span style="font-size: large;"><span style="font-family: "georgia";"></span><span style="font-family: "georgia";"></span></span></em></strong></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "georgia"; font-size: large;"></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "georgia";"></span><span style="font-family: "georgia";"><span style="color: black;">Ζούμε σ' ένα κόσμο πρακτικών εφαρμογών και οι νέοι μαθαίνουν ή τουλάχιστον θέλουν να μάθουν εκείνες τις γνώσεις που μπορούν να χρησιμοποιούν. Αυτό σημαίνει ότι αποκτά αξία μέσα τους κάθε τι χειροπιαστό και όχι κάτι το αφηρημένο</span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="margin: 0px; text-align: justify; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: "georgia";"><span style="color: black;">Η κατάρα του αφηρημένου συνοδεύει τα μαθηματικά. Ωστόσο τα πράγματα δεν είναι έτσι. Τα μαθηματικά βρίσκονται παντού γύρω μας, μόνο που χρειάζεται κάποια προσπάθεια να τα ανακαλύψουμε.</span></span><br />
<span style="font-family: "georgia";"><span style="color: black;"><br />
Αυτό συμβαίνει για τους εξής κυρίως λόγους:<br />
Ο ρόλος των μαθηματικών στο επιστημονικό στερέωμα ήταν ανέκαθεν βοηθητικός. Οι υπόλοιπες επιστήμες χρησιμοποιούν τα μαθηματικά για να λύσουν προβλήματα, με αποτέλεσμα η προσφορά των μαθηματικών να μην τονίζεται ιδιαίτερα. Μερικά παραδείγματα για του λόγου το αληθές.<br />
<strong><em>Οι Αρχαίοι Αιγύπτιοι δεν θα μπορούσαν να ξαναβρούν τα όρια των χωραφιών τους μετά από κάθε πλημμύρα του Νείλου, αν δεν χρησιμοποιούσαν τη γεωμετρία, ούτε θα μπορούσαν να κτίσουν τις πυραμίδες, ούτε ποτέ ο Κολόμβος θα είχε ανακαλύψει την Αμερική αν δεν χρησιμοποιούσε τριγωνομετρία για να διαβάσει τ' αστέρια, ούτε ποτέ θα υπήρχε εναλλασσόμενο ρεύμα χωρίς μιγαδικούς αριθμούς, ούτε τα διαστημόπλοια θα είχαν φτάσει στον Αρη αν προηγουμένως δεν είχαν περιγραφεί λεπτομερώς οι τροχιές τους με μαθηματικές εξισώσεις. Ούτε φυσικά θα υπήρχαν υπολογιστές αν δεν υπήρχε το δυαδικό σύστημα αρίθμησης και η Αλγεβρα Boole, ούτε οι γιατροί θα μπορούσαν να προβλέψουν μια πιθανή καρδιακή προσβολή χωρίς τη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική (και πολλά ακόμα).</em></strong>Τα μαθηματικά είναι μια επιστήμη που δεν δημιουργεί πολύ φασαρία γύρω της. Δεν χρειάζεται εργαστήρια και ακριβά μηχανήματα, ούτε πειραματόζωα, ούτε κοστίζει πολύ η έρευνα. Χρειάζεται μόνο χαρτί, μολύβι, βιβλίο και ένα ανθρώπινο νου με αρκετή όρεξη. Η στενή σύνδεση των μαθηματικών με τη φιλοσοφία(μόνο στα τέλη του 18ου αιώνα τα μαθηματικά ως επιστήμη αποσπάστηκαν εντελώς) ειδικά στα θεωρητικά μαθηματικά, πολλές φορές αφήνει τον αναγνώστη μαθηματικών θεμάτων, άφωνο.</span></span></div>
<div style="margin: 0px; text-align: justify; word-spacing: 0px;">
<br />
<span style="font-size: large;"></span></div>
<div style="margin: 0px; text-align: justify; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: "georgia";"><span style="color: blue;"><span style="font-size: large;"> </span><span style="font-size: small;"> <strong>ΈΝΑ <span style="font-family: "georgia";">ΣΚΟΤΕΙΝΟ ΔΩΜΑΤΙΟ</span></strong></span></span></span><br />
<span style="font-family: "georgia";"><span style="color: blue;"><strong><span style="font-family: "georgia";"> </span><span style="font-family: "georgia";">ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΔΕΙΟ</span></strong></span></span></div>
<div style="margin: 0px; text-align: justify; word-spacing: 0px;">
<br />
<span style="font-size: large;"></span></div>
<div style="margin: 0px; text-align: justify; word-spacing: 0px;">
</div>
<div style="margin: 0px; text-align: justify; word-spacing: 0px;">
<br />
<br /></div>
<div style="margin: 0px; text-align: justify; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
<div style="margin: 0px; text-align: justify; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
<div style="margin: 0px; text-align: justify; word-spacing: 0px;">
<span style="font-size: large;"></span></div>
<div style="margin: 0px; text-align: justify; word-spacing: 0px;">
<span style="color: blue; font-family: "georgia"; font-size: large;">4. ΣΚΟΠΟΙ ΚΑΙ ΣΤΟΧΟΙ ΤΗΣ </span></div>
<div style="margin: 0px; text-align: justify; word-spacing: 0px;">
<span style="color: blue; font-family: "georgia"; font-size: large;"> ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ</span></div>
<div style="margin: 0px; text-align: justify; word-spacing: 0px;">
<span style="font-size: large;"> </span></div>
<div style="margin: 0px; text-align: justify; word-spacing: 0px;">
<br />
<span style="font-size: large;"></span></div>
<div style="margin: 0px; text-align: justify; word-spacing: 0px;">
<div style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<span style="color: black;"><span style="font-family: "georgia";">Από τα πιο συνηθισμένα ερωτήματα που θέτουν οι μαθητές στους καθηγητές τους είναι «Γιατί μαθαίνουμε Μαθηματικά;» και «Πού θα μας χρησιμεύσουν;» Οι απαντήσεις που δίνονται συνήθως είναι «Επειδή είναι χρήσιμα» και «Σε όλους τους τομείς της ζωής», αντίστοιχα. Αν ρωτήσουμε, όμως, τους μαθητές, θα διαπιστώσουμε πως κανένας δεν έχει μείνει ικανοποιημένος με τις παραπάνω απαντήσεις. Πράγματι, θα μπορούσε να πει κάποιος πως τα Μαθηματικά δεν είναι και τόσο χρήσιμα, αφού οι περισσότεροι άνθρωποι χρειάζονται μόνο τις τέσσερις πράξεις για τους καθημερινούς λογαριασμούς και τους υπολογισμούς τους. Τότε, όμως, γιατί μαθαίνουμε όλα αυτά τα Μαθηματικά, τα οποία ελάχιστοι άνθρωποι χρησιμοποιούν στο επάγγελμά τους; Ποιοι είναι, άραγε, οι σκοποί και οι στόχοι της διδασκαλίας των Μαθηματικών;</span> </span></div>
</div>
<div style="margin: 0px; text-align: justify; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: "georgia";"><br />
<span style="color: navy;">1.Πρακτικοί σκοποί.</span><br />
<span style="color: black;">Στην κατηγορία αυτή περιλαμβάνονται οι σκοποί που αναφέρονται στην άμεση ή έμμεση χρησιμότητα που μπορούν να έχουν οι μέθοδοι, οι διαδικασίες και οι τεχνικές των Μαθηματικών για το ίδιο το άτομο και κατ' επέκταση για την κοινωνία. Οι πρακτικοί σκοποί της μαθηματικής εκπαίδευσης πραγματοποιούνται μέσω της υλοποίησης των ακόλουθων στόχων:</span><br />
<span style="color: black;"></span><span style="color: black;"><span style="color: black;"><span style="color: navy;"><span style="font-family: "georgia";"><br />
<span style="color: black;"></span></span></span></span></span></span></div>
<div style="margin: 0px; text-align: justify; word-spacing: 0px;">
<span style="color: #0b5394;">2.Μορφωτικοί σκοποί. </span><br />
<span style="color: black;">Με τον όρο μορφωτικοί σκοποί, εννοούμε τους σκοπούς εκείνους της μαθηματικής εκπαίδευσης, οι οποίοι συμβάλλουν στο σχηματισμό ορισμένων στάσεων και δεξιοτήτων και στην ανάπτυξη κάποιων διανοητικών γνωρισμάτων. Οι μορφωτικοί σκοποί, μπορούν να επιτευχθούν με την πραγματοποίηση των εξής στόχων:<br />
Με την εκμάθηση και σωστή χρήση της αυστηρά δομημένης γλώσσας των Μαθηματικών, προκειμένου να αποκτήσουν οι μαθητές θετικές διανοητικές στάσεις ζωής, όπως ακρίβεια, σαφήνεια, πειθαρχεία, κ.ά</span></div>
<div style="margin: 0px; text-align: justify; word-spacing: 0px;">
<span style="color: black;"><span style="color: black;"><span style="font-family: "georgia";">Οι μαθητές θα πρέπει, επίσης, να αποκτήσουν έναν επιστημονικό τρόπο σκέψης και αντιμετώπισης πραγματικών καταστάσεων, αναπτύσσοντας την κρίση τους, τη φαντασία, αλλά και την ικανότητα αξιολόγησης. Ο στόχος αυτός είναι δυνατόν να επιτευχθεί μέσω των διαδικασιών επίλυσης προβλημάτων, στις οποίες, όπως είδαμε, δίνει μεγάλη έμφαση η νέα μεταρρύθμιση της μαθηματικής εκπαίδευσης. Πράγματι, επιλύοντας προβλήματα, οι μαθητές εργάζονται πάνω σε μοντέλα, τα οποία αντικατοπτρίζουν πραγματικές προβληματικές καταστάσεις. Προσδιορίζουν το πρόβλημα, επιστρατεύουν πολλές διανοητικές λειτουργίες τους, όπως αυτές της μνήμης, της κρίσης, της φαντασίας, κ.ά., συνθέτουν ένα συλλογισμό επίλυσης, τον εφαρμόζουν, ελέγχουν τα αποτελέσματα και αξιολογούν την ορθότητά τους. Μέσω της επίλυσης προβλημάτων, λοιπόν, οι μαθητές μαθαίνουν έμμεσα να αντιμετωπίζουν πολλές από τις καθημερινές δυσκολίες, που θα συναντήσουν στο μέλλον.</span></span></span></div>
<div style="margin: 0px; text-align: justify; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: "georgia";"></span></div>
<div style="margin: 0px; text-align: justify; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
<div style="margin: 0px; text-align: justify; word-spacing: 0px;">
</div>
<div style="margin: 0px; text-align: justify; word-spacing: 0px;">
<span style="color: navy;"><span style="font-family: "georgia";">3.Πολιτισμικοί σκοποί.</span></span></div>
<div style="margin: 0px; text-align: justify; word-spacing: 0px;">
<span style="color: navy;"><span style="font-family: "georgia";"><br />
<span style="color: black;">Στην κατηγορία αυτή συμπεριλαμβάνονται οι σκοποί εκείνοι που συμβάλλουν στην αναγνώριση της αξίας των Μαθηματικών ως διανοητικού, ηθικού, αισθητικού, πνευματικού και γενικά πολιτισμικού αγαθού. Οι στόχοι, μέσω των οποίων πραγματοποιούνται οι πολιτισμικοί σκοποί είναι οι ακόλουθοι:<br />
· </span></span></span><span style="font-family: "georgia";"><span style="color: black;">Οι μαθητές πρέπει να αποκτήσουν γνώση της ιστορικής εξέλιξης των Μαθηματικών, ώστε να συνειδητοποιήσουν την ευρύτητα και τη δυναμική τους, καθώς και το ρόλο που αυτά έχουν παίξει στη διαμόρφωση της κοινωνίας.· </span></span><span style="color: black;"><span style="font-family: "georgia";">Είναι, τέλος, απαραίτητο, να δοθεί έμφαση στα μαθήματα της Γεωμετρίας, της Τριγωνομετρίας και της Στερεομετρίας, προκειμένου να αναγνωρίσουν τα παιδιά της ομορφιά, την αρμονία και τη συμμετρία των σχημάτων της φύσης.</span></span></div>
<div style="margin: 0px; text-align: justify; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
<div style="margin: 0px; text-align: justify; word-spacing: 0px;">
<span style="font-size: large;"></span></div>
<div style="margin: 0px; text-align: justify; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
<div style="margin: 0px; text-align: justify; word-spacing: 0px;">
<span style="font-size: large;"></span></div>
<div style="margin: 0px; text-align: justify; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
<div style="margin: 0px; text-align: justify; word-spacing: 0px;">
<span style="font-size: large;"></span></div>
<div style="font-weight: bold; margin: 0px; text-align: justify; word-spacing: 0px;">
<span style="font-size: large;"> <span style="color: blue;">5. Γιατί χρειάζονται τα Μαθηματικά </span></span></div>
<div style="font-weight: bold; margin: 0px; text-align: justify; word-spacing: 0px;">
<span style="color: blue; font-size: large;"> στην Αγορά και την Παραγωγή;</span></div>
<div style="font-weight: bold; margin: 0px; text-align: justify; word-spacing: 0px;">
<br />
<span style="font-size: large;"></span></div>
<div style="font-weight: bold; margin: 0px; text-align: justify; word-spacing: 0px;">
<br />
<span style="font-size: large;"></span></div>
<div style="margin: 0px; text-align: justify; word-spacing: 0px;">
<span style="color: black;">Οι μαθηματικές μέθοδοι ήταν ανέκαθεν σημαντικές στην ανάλυση των αγορών, της παραγωγής και γενικότερα της επιχειρηματικότητας. Η τάση ποσοτικοποιήσης που εντάθηκε στις αρχές του 20ου αιώνα πήρε εκρηκτικές διαστάσεις την δεκαετία του '70, και συνετέλεσε στην αναμόρφωση κλάδων όπως τα χρηματοοικονομικά, τα τραπεζικά και τα ασφαλιστικά θέματα. Κατά πολλούς, ήταν οι έντονα μαθηματικοποιημένες ανακαλύψεις των Markowitz, Sharpe, black, Scholes, Merton και παλαιότερα του bellman που συνετέλεσαν στην εξάπλωση νέων (παράγωγων) χρηματοοικονομικών προϊόντων, των εργαλείων διαχείρισης κινδύνου και αλματώδους αύξησης της αποτελεσματικότητας των παραγωγικών διαδικασιών.</span></div>
<div style="margin: 0px; padding-bottom: 8px; text-align: justify; word-spacing: 0px;">
<span style="color: black;">Η παράλληλη διεύρυνση της χρήσης των υπολογιστών συνετέλεσε στην εκτεταμένη εφαρμογή των ποσοτικών μεθόδων: η αυξημένη υπολογιστική δύναμη επέτρεψε την συγκέντρωση στοιχείων καθώς και την υλοποίηση προχωρημένων μεθόδων αξιοποίησής των. Σε αυτή την κατηγορία εφαρμογής των μαθηματικών στον τομέα των αγορών , της παραγωγής , της επιχειρηματικότητας εντάσσονται τα :</span><br />
<br />
α. <strong>Η Ποσοτική Ανάλυση / Επιχειρηματική Έρευνα</strong> για τη λήψη βέλτιστων Διοικητικών αποφάσεων. Μέσα στα πλαίσια της Ποιοτικής Ανάλυσης έχουμε διάφορες μοντελοποιημένες τεχνικές όπως ο <strong>Γραμμικός Προγραμματισμός και η μέθοδος Simplex</strong> που επιλύουν προβλήματα για την ελαχιστοποίηση ( π.χ του κόστους παραγωγής) ή την μεγιστοποίηση ( π.ψ του κέρδους ) κάτω από κάποιους γραμμικούς περιορισμούς.Επίσης <strong>η Ανάλυση Ευαισθησίας , Δίκτυα , Δέντρα Απόφασης , Ανάλυση Απόφασης.</strong></div>
<div style="margin: 0px; padding-bottom: 8px; text-align: justify; word-spacing: 0px;">
</div>
<div style="margin: 0px; padding-bottom: 8px; text-align: justify; word-spacing: 0px;">
<br />
<strong><span style="color: blue;"> ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ </span></strong></div>
<div style="margin: 0px; padding-bottom: 8px; text-align: justify; word-spacing: 0px;">
<strong> Εταιρεία παραγωγής αλουμινίου</strong><br />
<br />
Εταιρεία παραγωγής αλουμινίου διαθέτει στην αγορά τρεις διαφορετικές ποιότητες του προϊόντος Α<span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";">, </span></span>Β και Γ<span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";">. </span></span>Η παραγωγή τους γίνεται σε δύο εργοστάσια<span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";">, </span></span>καθένα εκ των οποίων έχει διαφορετική δυναμικότητα <span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";">(</span></span>τόνοι <span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";">/ </span></span>ημέρα<span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";">): </span></span></div>
<div style="margin: 0px; padding-bottom: 8px; text-align: justify; word-spacing: 0px;">
<table border="1" cellpadding="7" cellspacing="0" dir="ltr" style="width: 491px;"><tbody>
<tr><td height="10" valign="top" width="74%"><b></b><br />
<div align="center">
Αλουμίνιο</div>
</td><td height="10" valign="top" width="13%"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"></span></span><br />
<div align="center">
1 </div>
</td><td height="10" valign="top" width="13%"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"></span></span><br />
<div align="center">
2 </div>
</td></tr>
<tr><td height="10" valign="top" width="74%"><b></b><br />
<div align="center">
Α </div>
</td><td height="10" valign="top" width="13%"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"></span></span><br />
<div align="center">
6 </div>
</td><td height="10" valign="top" width="13%"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"></span></span><br />
<div align="center">
2 </div>
</td></tr>
<tr><td height="10" valign="top" width="74%"><b></b><br />
<div align="center">
Β </div>
</td><td height="10" valign="top" width="13%"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"></span></span><br />
<div align="center">
2 </div>
</td><td height="10" valign="top" width="13%"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"></span></span><br />
<div align="center">
2 </div>
</td></tr>
<tr><td height="10" valign="top" width="74%"><b></b><br />
<div align="center">
Γ </div>
</td><td height="10" valign="top" width="13%"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"></span></span><br />
<div align="center">
4 </div>
</td><td height="10" valign="top" width="13%"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"></span></span><br />
<div align="center">
10 </div>
</td></tr>
</tbody></table>
</div>
<div style="margin: 0px; padding-bottom: 8px; text-align: justify; word-spacing: 0px;">
</div>
<div style="margin: 0px; padding-bottom: 8px; text-align: justify; word-spacing: 0px;">
Αλλά και ημερήσιο λειτουργικό κόστος <span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";">6000 </span></span>και <span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";">7000 </span></span>χρηματικές μονάδες αντίστοιχα<span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";">. </span></span></div>
<div style="margin: 0px; padding-bottom: 8px; text-align: justify; word-spacing: 0px;">
α<span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";">. </span></span>Προσδιορίστε το πλήθος των ημερών που πρέπει να λειτουργήσουν τα δύο εργοστάσιασε τρόπο ώστε να εξασφαλίζεται η παράδοση τουλάχιστον <span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";">12 </span></span>τόνων αλουμινίου τύπου Α<span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";">, 8 </span></span>τόνων τύπου Β και <span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";">5 </span></span>τόνων τύπου Γ<span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";">, </span></span>με το μικρότερο συνολικό λειτουργικό κόστος<span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";">. </span></span></div>
<div style="margin: 0px; padding-bottom: 8px; text-align: justify; word-spacing: 0px;">
β<span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";">. </span></span>Η λύση που βρέθηκε υπερκαλύπτει ή απλά καλύπτει την υπάρχουσα ζήτηση<span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";">; </span></span></div>
<div style="margin: 0px; padding-bottom: 8px; text-align: justify; word-spacing: 0px;">
</div>
<div style="margin: 0px; padding-bottom: 8px; text-align: justify; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";">β. Στην <strong>Διοίκηση Λειτουργειών</strong> εφαρμόζονται λειτουργικές δραστηριότητες των επιχειρήσεων στη Βιομηχανία με σκοπό να βρεθούν μαθηματικοί τύποι ώστε να πραγματοποιηθούν Προβλέψεις ( Forecasting), Βραχυπρόθεσμος Πραγραμματισμός ( Sort-term Scheduling) , JTI Systems Just -in-time . Σκοπός είναι ο καλύτερος προγραμματισμός της μαζικής παραγωγής και η απομάκρυνση απωλειών σε ένα σύστημα παραγωγής.</span></span></div>
<div style="margin: 0px; padding-bottom: 8px; text-align: justify; word-spacing: 0px;">
</div>
<div style="margin: 0px; padding-bottom: 8px; text-align: justify; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";">γ. Τα <strong>Οικονομικά Μαθηματικά</strong> ( απλή και Σύνθετη Κεφαλοποίηση , Ανατοκισμός , Χρηματικές Ροές , Δάνεια , Ομολογίες - Χρηματιστήριο) για την ανάλυση και ερμηνεία οικονομικών καταστάσεων.</span></span></div>
<div style="margin: 0px; padding-bottom: 8px; text-align: justify; word-spacing: 0px;">
</div>
<div style="margin: 0px; padding-bottom: 8px; text-align: justify; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";">δ. Η<strong> Περιγραφική Στατιστική</strong> που σχετίζεται με συλλογή , ανάλυση , παρουσίαση και ερμημεία αριθμητικών δεδομένων. Προσφέρει πολλά στον τομέα πρόβλεψης και λήψης αποφάσεων, καθώς υπεισέρχεται στην εκτίμηση οικονομικών μεγεθών.</span></span><br />
<br />
<a href="http://www.blogger.com/blogger.g?blogID=7730717435979339231" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"></a><a href="http://thegreekgraph.files.wordpress.com/2010/11/employment_august2010final.jpg"><img alt="Γράφημα σχετικά με το εργατικό δυναμικό (απασχόληση-ανεργία) στην Ελλάδα τον Αύγουστο του 2010" class="size-full wp-image-132" src="http://thegreekgraph.files.wordpress.com/2010/11/employment_august2010final.jpg?w=600&h=778" height="320" title="Εργατικό Δυναμικό (15-74 ετών) στην Ελλάδα (Αύγουστος 2010)" width="245" /></a></div>
<div style="margin: 0px; padding-bottom: 8px; text-align: justify; word-spacing: 0px;">
</div>
<div style="margin: 0px; padding-bottom: 8px; text-align: justify; word-spacing: 0px;">
<span style="font-size: large;"></span></div>
<div style="margin: 0px; padding-bottom: 8px; text-align: justify; word-spacing: 0px;">
<a href="http://www.blogger.com/blogger.g?blogID=7730717435979339231" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"></a><span style="color: blue; font-size: large;"> </span><br />
<span style="color: blue; font-size: large;"> 6. ΤΟ ΟΡΘΩΣ ΣΥΛΛΟΓΙΖΕΣΘΑΙ</span></div>
<div style="margin: 0px; padding-bottom: 8px; text-align: justify; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
<div style="margin: 0px; padding-bottom: 8px; text-align: justify; word-spacing: 0px;">
<span style="font-size: large;"></span></div>
<div style="margin: 0px; padding-bottom: 8px; text-align: justify; word-spacing: 0px;">
<span style="color: black;">Η «εκπαίδευση» συνιστά μια λίαν περίπλοκη διαδικασία. Δεν περιορίζεται στην απόκτηση γνώσεων, αλλά έχει στόχο να ασκήσει τον εκπαιδευόμενο στο πως πρέπει να σκέφτεται. Φαίνεται ότι επί δύο αιώνες (ή και περισσότερο) τα προβλήματα γεμίσματος δεξαμενών, τα προβλήματα κατασκευών, τα προβλήματα με τρίγωνα και οι μετασχηματισμοί τριγωνομετρικών τύπων υπηρέτησαν έναν ζωτικό σκοπό – προσέφεραν τροφή για το νου, συνέτειναν στην εμπέδωση της μεθοδικότητας και της ακρίβειας, δίδαξαν την τέχνη του συλλογίζεσθαι, την έρευνα για την αλήθεια, την υπερνίκηση των δυσχερειών, την αναζήτηση νέων δρόμων για την προσέγγιση κάποιου αντικειμενικού σκοπού και την επίτευξη αυτού του στόχου. Προσέφεραν τη χαρά που δοκιμάζει κανείς όταν επιτελέσει έναν άθλο, καθώς και μια αίσθηση ωραιότητας. Εν συντομία, διέπλασαν τη δημιουργικότητα. Με τι θα μπορούσαμε να τα αντικαταστήσουμε όλα τούτα; Και έχει νόημα να το πράξουμε;</span></div>
<div style="margin: 0px; padding-bottom: 8px; text-align: justify; word-spacing: 0px;">
<span style="color: black;">Είναι απολύτως αναγκαίο να διατηρηθούν όλα αυτά τα στοιχεία δημιουργικότητας. Ο υλικός πολιτισμός μπορεί να αλλάξει, αλλά τούτα τα στοιχεία πρέπει να διατηρηθούν. Δεν υπάρχει άλλος τρόπος για να διδαχθεί το ορθώς συλλογίζεσθαι παρά με συγκεκριμένα «ειδικά» προβλήματα<sup>.</sup> οι αρχές δεν αρκούν αφ’εαυτών.’’</span><br />
<span style="color: black;"><br /></span>
<span style="background-color: #cfe2f3; color: black;"><br /></span>
<span style="color: black;"><br /></span></div>
<img src="http://t3.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcSakOcNPLNHw4-zAumfGorv9XzeD-EWUTwIACsGVR9Cw2CdykwM" height="93" style="filter: alpha(opacity=30); left: 43px; mozopacity: 0.3; opacity: 0.3; position: absolute; top: 1445px; visibility: hidden;" width="96" /></div>
</div>
</div>
Αλέξανδρος Μόσχοςhttp://www.blogger.com/profile/04357778829560813366noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-7730717435979339231.post-88409228723916953872011-01-23T03:12:00.000-08:002018-03-22T09:51:00.220-07:00ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<div class="separator" style="clear: both;">
<b><span style="color: blue; font-size: large;"><i>"Υπήρχε μεγαλύτερη φαντασία στο κεφάλι του Αρχιμήδη απ' ότι στο κεφάλι του Ομήρου".</i></span></b></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-size: large;"><b><i> <span style="color: #cc0000;">Βολταίρος</span></i></b></span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-size: large;"><b><i><span style="color: #cc0000;"><br /></span></i></b></span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="font-size: large;"><b><i><span style="color: #cc0000;"><br /></span></i></b></span></div>
<span style="color: blue;"></span><br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: blue;"><b>Ο κόσμος των μαθηματικών φαντάζει ως ένα σύμπαν ερμητικά κλειστό για τους μη μυημένους. Η μόδα όμως της «μαθηματικής λογοτεχνίας», συνέβαλε ώστε να ανατραπεί αυτό το στερεότυπο: όσοι δεν έχουν καλή σχέση με τους αριθμούς, μικροί και μεγάλοι, μπορούν να απολαύσουν ένα μαθηματικό μυθιστόρημα ή ένα βιβλίο που συμβάλει στην κατανόηση του μαγικού κόσμου των μαθηματικών.</b></span></div>
<span style="color: blue;">
</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="background-color: #9fc5e8; color: #666666; font-family: "titillium" , "arial" , sans-serif; font-size: 18px; line-height: 28.796875px;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<span style="background-color: #9fc5e8; color: #666666; font-family: "titillium" , "arial" , sans-serif; font-size: 18px; line-height: 28.796875px;"><br /></span></div>
<span style="background-color: #9fc5e8;"><span style="color: blue;"><span style="font-family: "trebuchet ms" , "lucida sans unicode" , "tahoma" , "arial"; font-weight: bold; line-height: 19px;"><br /></span></span></span>
<span style="color: blue;"><b>“Πιθανόν να έχουμε δύο εγκεφάλους, αλλά δεν έχουμε παρά μόνο ένα πνεύμα. Γι’ αυτό και η παλιά διχοτόμηση του κόσμου ανάμεσα σε φυσικές επιστήμες και λογοτεχνία, ανάμεσα σε πραγματικότητα και μυθοπλασία ή ανάμεσα σε λογική και συναίσθημα τίθεται ξανά υπό διαπραγμάτευση”.</b></span><br />
<div>
<span style="color: blue;"><b><br /></b></span></div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: blue;"><span style="background-color: #cfe2f3; font-family: "trebuchet ms" , "lucida sans unicode" , "tahoma" , "arial"; line-height: 19px;"><b><br /></b></span></span></div>
<span style="color: blue;"><b>Ντενί Γκετζ</b></span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<b><span style="color: blue; font-size: large;"><i><br /></i></span></b></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<b><span style="color: blue; font-size: large;"><i><br /></i></span></b></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<i><br /></i></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><b><i>H αλληλεπίδραση μαθηματικών και λογοτεχνίας είναι φυσική κι ενδιαφέρουσα και βασίζεται στο γεγονός ότι τα μαθηματικά είναι μια γλώσσα που πηγάζει από την ανάγκη να περιγράψουμε τον κόσμο που ζούμε".</i></b></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><b><i><br /></i></b></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="color: #990000; font-size: large;"><b><i>Koehler</i></b></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><b><i><br /></i></b></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="color: #990000; font-size: large;"><b><i><br /></i></b></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><b><i>Μου ζητήθηκε αρκετές φορές να κάνω εκλαϊκευμένες ομιλίες για τα μαθηματικά. Ενώ μίλησα για τα μαθηματικά σε μη μαθηματικούς διαπίστωσα μια σειρά από προκαταλήψεις , παρεξηγήσεις και λανθασμένες αντιλήψεις.Αυτές οι περιστάσεις με έπεισαν ότι υπάρχει ανάγκη για συζήτηση των βασικών θεμάτων των μαθηματικών και των εφαρμογών τους , με τρόπο , που θα τα κάνει προσιτά στους μη ειδικούς.</i></b></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><b><i><br /></i></b></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="color: #990000; font-size: large;"><b><i>Alfred.</i></b></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><b><i><br /></i></b></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<i><br /></i></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<i><span style="color: blue; font-size: large;"><b>Η Λογοτεχνία και τα Μαθηματικά κινούνται ανάμεσα στη φαντασία και την πραγματικότητα κι ανταλάσσουν νοήματα και ιδέες μέσα από αναλογίες και μεταφορές.</b></span></i></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<i><span style="color: blue; font-size: large;"><b><br /></b></span></i></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<i><span style="color: #990000; font-size: large;"><b>Priestley</b></span></i></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<i><span style="color: blue; font-size: large;"><b><br /></b></span></i></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<i><span style="color: blue; font-size: large;"><b><br /></b></span></i></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<i><span style="color: blue; font-size: large;"><b><br /></b></span></i></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><b><i>Oι δομές με τις οποίες ασχολούνται τα μαθηματικά μοιάζουν περισσότερο με μια δαντέλα , με τα φύλλα των δέντρων και με το παιχνίδι του φωτός με τη σκιά σε ένα ανθρώπινο πρόσωπο , παρά με τα κτίρια και τις μηχανές.</i></b></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><b><i><br /></i></b></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="color: #990000; font-size: large;"><b><i>Scott Milross Buchanam</i></b></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><b><i><br /></i></b></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><b><i><br /></i></b></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><b><i>Oι ορθολογιστές φορούν τετράγωνα καπέλα</i></b></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><b><i>μελετούν σε τετράγωνα δωμάτια </i></b></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><b><i>κοιτάζοντας το πάτωμα ,</i></b></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><b><i>κοιτάζοντας το ταβάνι.</i></b></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><b><i>Περιορίζουν τους εαυτούς τους </i></b></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><b><i>σε ορθογώνια τρίγωνα.</i></b></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><b><i>Εάν δοκίμaζαν ρομβοειδή ,</i></b></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><b><i>κώνους , κυματιστές γραμμές , </i></b></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><b><i>ελλείψεις ,</i></b></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><b><i>όπως για παράδειγμα η έλλειψη</i></b></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><b><i>της ημισελήνου ,</i></b></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><b><i>οι ορθολογιστές θα φορούσαν</i></b></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><b><i>σομπρέρο.</i></b></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><b><i><br /></i></b></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="color: #990000; font-size: large;"><b><i>Wallace Stevens</i></b></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="color: blue;"><b><i><span style="font-size: large;"> (</span> To γεωμετρικό σχήμα τετράγωνο χρησιμοποιείται ως μεταφορική έκφραση του "απόλυτα καθορισμένου".Κάτι ανάλογο με την έκφραση "τετραγωνη λογική". Η έκφραση ορθογώνιο σημαίνει την "ορθή" αντίληψη των πραγμάτων.Αντίθετα οι κυματιστές γραμμές , οι ελλείψεις θεωρούνται σχήματα όχι απόλυτα κια όχι εύκολα προβλέψιμα. Συνώνυμα λοιπόν της φαντασίας και του απρόβλεπτου.Τέλος αν οι ορθολογιστές φορούσαν σομπρέρο θα ήταν άνθρωποι της γιορτής και του χορού κι όχι περιορισμένοι σε τετράγωνα δωμάτια.)</i></b></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="color: blue;"><b><i><br /></i></b></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<b><i><span style="color: #990000;">Από το βιβλίο "Θεωρία και πράξη στη διδασκαλία των μαθηματικών" της Ε. Κολέζα.</span></i></b></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<b><i><span style="color: blue; font-size: large;">Η χρησιμοποίηση των μαθηματικών στην αφήγηση ιστοριών και η χρησιμοποίηση ιστοριών για την εξήγηση των μαθηματικών είναι οι δύο πλευρές του ίδιου νομίσματος. Ενώνουν αυτά που δεν έπρεπε να χωριστούν ποτέ : τους δρόμους του επιστήμονα και του καλλιτέχνη που ανακαλύπτουν αλήθειες για τον κόσμο.</span></i></b></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<b><i><span style="color: #990000; font-size: large;">William Frucht.</span></i></b></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<b><i><span style="color: blue; font-size: large;"><br /></span></i></b></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.youtube.com/embed/sKqwTrxzyx4?feature=player_embedded' frameborder='0'></iframe></div>
<strong><em><span style="color: red; font-size: large;"> </span><span style="color: blue;"> Μια περιδιάβαση στη μαθηματική λογοτεχνία.</span></em></strong><br />
<strong><em><span style="color: red; font-size: large;"><br /></span></em></strong>
<strong><em><span style="color: red; font-size: large;">Τα μαθηματικά της αγάπης του Θεού.</span></em></strong><br />
<br />
<span style="color: blue;"><strong><em>" Έχουμε δέκα δαμάσκηνα μπροστά μας εγώ και ένας αδερφός. Τα μαθηματικά της ανθρώπινης δικαιοσύνης μας λένε να τα μοιραστούμε στα ίσα και να πάρουμε από πέντε. Τα μαθηματικά της αγάπης του Θεού όμως μου λένε να προσποιηθώ ότι δεν μου πολυαρέσουν τα δαμάσκηνα να πάρω εγώ τρία και να αφήσω τα υπόλοιπα στον αδερφό" .</em></strong></span><br />
<br />
<span style="color: blue;"><strong>Π. Παϊσιος. Έλληνας ορθόδοξος αγιορείτης μοναχός.</strong></span><br />
<br />
<br />
<br />
<strong><span style="color: #cc0000; font-size: large;"><em>Τα μαθηματικά της ανθρωπιάς!</em></span></strong><br />
<br />
<strong><span style="color: black; font-size: large;">Διαγώνισμα</span></strong><br />
<br />
<strong><span style="color: black; font-size: large;">Ζήτημα 1ο </span></strong><br />
<br />
<strong><span style="color: blue;">Αν είναι γνωστό ότι κάθε χρόνο στον πλανήτη μας πεθαίνουν 11.000.000 άνθρωποι από την πείνα να υπολογίσετε :</span></strong><br />
<strong><span style="color: blue;">α. Πόσοι πεθαίνουν κάθε λεπτό της ώρας;</span></strong><br />
<strong><span style="color: blue;">β. Αν για λύσετε την άσκηση αυτή χρειαστήκατε 6,5 λεπτά πόσοι άνθρωποι πέθαναν στο διάτημα αυτό;</span></strong><br />
<br />
<strong><span style="color: black; font-size: large;">Ζήτημα 2ο</span></strong><br />
<br />
<strong><span style="color: blue;">Αν είναι γνωστό ότι για να σωθεί μια ζωή χρειάζονται 5000 ευρώ το χρόνο να βρείτε :</span></strong><br />
<strong><span style="color: blue;">α. πόσα ευρώ χρειάζονται για να σώσουμε αυτές τις ζωές των 11.000.000 συνανθρώπων μας;</span></strong><br />
<strong><span style="color: blue;">β. πόσα χρήματα πρέπει να καταβάλει ο καθένας μας για να εξαλείψουμε την πείνα ( ο πληθυσμός της γης είναι περίπου 6,5 δισεκατομμύρια );</span></strong><br />
<br />
<strong><span style="color: blue; font-size: large;"> <em><span style="color: #cc0000; font-family: "courier new" , "courier" , monospace;">Κ Α Λ Η Ε Π Ι Τ Υ Χ Ι Α ! ! !</span></em></span></strong><br />
<br />
<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<b><span style="color: blue;"><br /></span></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><span style="color: blue;"><br /></span></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><span style="color: blue;">Πάρε ένα μπαλόνι, σχεδίασε πάνω του σημεία. Μέτρησε τις αποστάσεις μεταξύ των σημείων. Φύσηξε μέσα στο μπαλόνι. Μέτρησε ξανά τις αποστάσεις. Σύγκρινε. Όλες οι αποστάσεις έχουν αυξηθεί! Κάθε σημείο έχει απομακρυνθεί από όλα τα άλλα! Επέκταση του σύμπαντος. </span></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><span style="color: blue;">Και με τους ανθρώπους τι γίνεται; </span></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><span style="color: blue;">Θεώρημα: το ότι απομακρυνόμαστε από κάποιον δε σημαίνει ότι πλησιάζουμε σε κάποιον άλλον. Μπορούμε να απομακρυνθούμε από όλον τον κόσμο ταυτοχρόνως. </span></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><span style="color: blue;">Προσοχή! Σας προειδοποιώ αν το μπαλόνι εξακολουθήσει να φουσκώνει, οδεύουμε κατευθείαν στη μοναξιά.</span></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><span style="color: blue;"><br /></span></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><span style="color: blue;"><br /></span></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><span style="color: blue;">Ο άνθρωπος ένα σημείο Μ στο κέντρο μιας σφαίρας, κι ένα σημείο Μ πάνω σε ένα μπαλόνι που ανελέητα φουσκώνει...</span></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><span style="color: blue;"><br /></span></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><span style="color: blue;"><br /></span></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><span style="color: blue;">Ντενί Γκετζ στο βιβλίο του : "Το δωρεάν δεν αξίζει πλέον τίποτα".</span></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><span style="color: blue;"><br /></span></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<span style="color: blue; font-size: large;"><b><br /><i>Εγώ δεν συμφωνώ με τα μαθηματικά. Το άθροισμα πολλών μηδενικών είναι ένας επικίνδυνος αριθμός.</i><br /><br /><a href="http://www.gnomikologikon.gr/authquotes.php?auth=1152">Stanislaw Jerzy Lec, 1906-1966, Πολωνός γνωμικογράφος</a></b></span><br />
<br />
<br />
<span style="color: blue;"></span><br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: blue;"><span style="font-weight: bold;"><br /></span></span></div>
<span style="color: blue;">
<b><div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<b>"Τι είναι όμως η ομορφιά από μαθηματική σκοπιά; Υπάρχει ομορφιά όταν ένα αντίτυπο μοιάζει όσο γίνεται περισσότερο στο αυθεντικό πρωτότυπο. Ας φανταστούμε ότι έχουν βάλει στον υπολογιστή τις ελάχιστες και τις μέγιστες διαστάσεις όλων των μερών του σώματος: μεταξύ τριών και επτά εκατοστών για το μήκος της μύτης, μεταξύ τριών και οκτώ για το ύψος του μετώπου, και ούτω καθεξής. Άσχημος είναι ο άνθρωπος που το μέτωπό του έχει μήκος έξι εκατοστών και η μύτη του τρία μόνο. Ασχήμια: ιδιότροπη ποίηση του τυχαίου. Σ'έναν ωραίο άνθρωπο, το παιχνίδι των τυχαίων έχει διαλέξει έναν μέσο όρο όλων των μέτρων. Ομορφιά: πεζότητα του ακριβούς μέσου. Στην ομορφιά περισσότερο ακόμα παρά στην ασχήμια, εκδηλώνεται ο μη ατομικός, μη προσωπικός χαρακτήρας του προσώπου. Στο πρόσωπό του, ο ωραίος άνθρωπος βλέπει το πρωταρχικό τεχνικό σχέδιο, έτσι όπως το σχεδίασε ο κατασκευαστής του πρωτοτύπου, και υποφέρει πιστεύοντας ότι αυτό που βλέπει είναι ένα αμίμητο εγώ."</b></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<b>Η Αθανασία, Μίλαν Κούντερα</b></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</b></span><br />
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<strong><em><span style="color: blue;">" Oι κολεγιόπαιδες λύνουν εκπληκτικές εξισώσεις με μιαν ευκολία που είναι ν' απορείς: συν, πλην, διά, επί - άρα. Tο μυστικό στη ζωή αυτή, φαίνεται, δεν είναι αν είσαι δούλος ή όχι. Eίναι να οδηγείσαι με συνέπεια σε κάποιο «άρα» και να 'χεις έτοιμη την απάντηση».</span></em></strong><br />
<div style="text-align: justify;">
<strong><em><span style="color: blue;">Iσως είναι ανάγκη στα παιδιά μας να διδάσκουμε μαζί με τα μαθηματικά που οδήγησαν στο <span style="color: red;">«άρα» της τεχνολογίας</span>, και κάποια <span style="color: blue;">«λυρικά μαθηματικά»</span> που να οδηγούν και <span style="color: red;">στο «άρα» της ευαισθησίας</span> που διπλασιάζει την ικανότητά σου να αντιλαμβάνεσαι τη ζωή και που αποτελεί μια πρόσβαση στο πραγματικό νόημα της ελευθερίας."</span></em></strong><br />
<br />
<strong><em><span style="color: blue;"></span></em></strong></div>
<strong><em><span style="color: blue;"></span></em></strong></div>
<div style="text-align: justify;">
<strong><em><span style="color: blue;">O. Eλύτης </span></em></strong><br />
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<br />
<br />
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"> " ... </span><span style="font-size: large;"><strong><span style="color: blue;">Πέραν</span><span style="color: blue;"> του απείρου, ο ορίζοντας<br />
τρικλίζει φορτωμένος τρεις άγριες γεωμετρίες" </span></strong></span><br />
<span style="color: blue; font-size: large;"> Ε. Κακναβάτος.</span><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<span style="font-size: large;"><span style="color: blue;"><strong><em>"Κάθε πρόοδος στο ηθικό επίπεδο δεν μπορεί παρά να είναι αντιστρόφως ανάλογη προς την ικανότητα που έχουν η δύναμη κι ο αριθμός να καθορίζουν τα πεπρωμένα μας".</em></strong></span></span><br />
<span style="font-size: large;"><span style="color: blue;"><strong><em></em></strong></span></span><br />
<br />
<span style="font-size: large;"><span style="color: blue;"><strong><em>Ο. Ελύτης</em></strong></span></span><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<span style="color: #cc0000; font-size: large;"><strong><em>Αυτό που οι μαθηματικοί ονομάζουν : ' απαγωγή εις άτοπο '.</em></strong></span><br />
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><strong><em>" Όταν έχεις εξαλείψει το αδύνατο , αυτό που μένει , όσο απίθανο κι αν είναι , πρέπει να είναι η αλήθεια".</em></strong></span><br />
<br />
<span style="color: blue;"><strong><em>Arthur Conan Doyle ( 1859 -1930) Άγγλος συγγραφέας.Δημιουργός του Σέρλοκ Χόλμς.</em></strong></span><br />
<br />
<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><strong><em>" ... Συγνώμη που δεν καταλαβαίνω τι λένε τα κουμπιούτερς και οι αριθμοί ..."</em></strong></span><br />
<div style="text-align: justify;">
<br />
<strong><em><span style="color: blue; font-size: large;">Στίχος από τραγούδι του Δ. Μητροπάνου και σε σύνθεση του Θ. Μικρούτσικου.</span></em></strong><br />
<strong><em><span style="color: #990000;">( Η αιώνια πάλη λογικής και συναισθήματος. Όταν ο άνθρωπος λειτουργεί μόνο με ένα από αυτά είναι ψυχικά ανάπηρος).</span></em></strong><br />
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<object class="BLOGGER-youtube-video" classid="clsid:D27CDB6E-AE6D-11cf-96B8-444553540000" codebase="http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=6,0,40,0" data-thumbnail-src="https://ytimg.googleusercontent.com/vi/OU_O8PdDJpI/0.jpg" height="266" width="320"><param name="movie" value="https://youtube.googleapis.com/v/OU_O8PdDJpI&source=uds" /><param name="bgcolor" value="#FFFFFF" /><param name="allowFullScreen" value="true" /><embed width="320" height="266" src="https://youtube.googleapis.com/v/OU_O8PdDJpI&source=uds" type="application/x-shockwave-flash" allowfullscreen="true"></embed></object></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="color: blue;"><b>Ο αριθμός π στην παιδική λογοτεχνία.</b></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<br />
<b><span style="color: blue;">Η μαθηματική λογοτεχνία κατακτά και όσους φοβούνται τους...αριθμούς</span></b><br />
<br />
Ο κόσμος των μαθηματικών φαντάζει ως ένα σύμπαν ερμητικά κλειστό για τους μη μυημένους. Η μόδα όμως της «μαθηματικής λογοτεχνίας», συνέβαλε ώστε να ανατραπεί αυτό το στερεότυπο: όσοι δεν έχουν καλή σχέση με τους αριθμούς, μπορούν να απολαύσουν ένα μαθηματικό μυθιστόρημα. Η ανάγνωση, θα τους βοηθήσει να εκτιμήσουν την επιρροή των μαθηματικών στη λογοτεχνία, τη φιλοσοφία και την τέχνη. Η ιστοσελίδα του Άλεξ Κάσμαν, «Mathematical fiction», έχει συγκεντρώσει από όλο τον κόσμο 885 έργα μυθοπλασίας που σχετίζονται με τα μαθηματικά από την αρχαιότητα μέχρι σήμερα.Πρώτος ο Αριστοφάνης σατίρισε την εκκεντρικότητα των μαθηματικών στις Όρνιθες. Στους πρόδρομους της μαθηματικής λογοτεχνίας ανήκουν ο Κάρολ Λιούις (Τσαρλς Ντότζσον) και ο Τζόναθαν Σουιφτ. Ο συγγραφέας της «Αλίκης στη Χώρα των θαυμάτων», ήταν χαρισματικός μαθηματικός και συναντούμε στο δημοφιλές παραμύθι του αναφορές στην επιστήμη της λογικής. Στον ίδιο οφείλουμε επίσης, τη σειρά διηγημάτων του «Τangled Tale» με μαθηματικές σπαζοκεφαλιές. Ο Τζόναθαν Σουιφτ στα «Ταξίδια του Γκιούλιβερ» έστειλε τον ήρωά του στη χώρα των Λαπούτα, όπου βασίλευαν τα μαθηματικά και η μουσική.Από τον κατάλογο του Κάσμαν διαπιστώνουμε ότι το ενδιαφέρον για τη μαθηματικά αυξάνεται με …γεωμετρική πρόοδο: τη δεκαετία ’80-’90 κυκλοφόρησαν 81 έργα μυθοπλασίας, από το ’90 ως το 2000 212 τίτλοι, και από το 2001 μέχρι σήμερα, είχαμε πάνω από 277 νέες εγγραφές.Τον όρο της «μαθηματικής λογοτεχνίας» τον εισήγαγε ο Βρετανός δημοσιογράφος Gilbert Adair, με αφορμή την έκδοση του μυθιστορήματος του Απόστολου Δοξιάδη «Ο θείος Πέτρος και η εικασία του Γκόλντμπαχ» (εκδ. Καστανιώτη).Το βιβλίο γνώρισε μεγάλη εμπορική επιτυχία πρώτα στο εξωτερικό, και μετά στη χώρα μας, ξεπερνώντας τα 100.000 αντίτυπα. Το μυθιστόρημα τιμά τους ανώνυμους ρομαντικούς της επιστήμης:ο κεντρικός ήρωας, ο Πέτρος, πολλά υποσχόμενος μαθηματικός «σπατάλησε», σύμφωνα με την οικογένειά του, τη ζωή του για να λύσει την περίφημη Εικασία του Γκόλντμπαχ. Ο ανιψιός του Θείου Πέτρου, αποκαλύπτει το μεγαλείο αλλά και την αλαζονεία μιας παρεξηγημένης ιδιοφυίας που επιζητεί με κάθε κόστος την αλήθεια.<br />
<br />
<br />
<span style="color: blue;"><b>Τα μπεστ σέλερ της μαθηματικής λογοτεχνίας</b></span><br />
<br />
<br />
Η μόδα των μαθηματικών συνεχίστηκε με το διεθνές μπεστ σέλερ «Το θεώρημα του Παπαγάλου» (πρώτη κυκλοφορία το 1999 από τις εκδ. Πόλις) του Ντενί Γκετζ, το οποίο κυκλοφορεί σε νέα μετάφραση του Τεύκρου Μιχαηλίδη, από τις εκδόσεις Κέδρος. Ο Γάλλος συγγραφέας, ένας πραγματικός ποιητής των αριθμών και των λέξεων «έφυγε» πρόωρα από τη ζωή, αφήνοντας κληρονομιά στους Έλληνες αναγνώστες περίπου εννέα βιβλία του. Ήταν ο πρώτος ο οποίος απέδειξε ότι και τα λεγόμενα «εξειδικευμένα» θέματα στη λογοτεχνία μπορούν να υπερκεράσουν τα εύπεπτα μπεστ σέλερ στα οποία επενδύουν συνήθως οι εκδότες.Εξάλλου, αν η λογική είναι τετράγωνη, μπορεί να βρει θέση και στα καρέ ενός κόμικς. Παράδειγμα αποτελεί το «Logicomix» (εκδ. Ίκαρος), το δεύτερο μαθηματικό μπεστ σέλερ του Απόστολου Δοξιάδη και του Χρίστου Παπαδημητρίου.Πρόκειται για ένα γραφιστικό μυθιστόρημα (όπως επικράτησε ο όρος graphic novel στα ελληνικά) που παρουσιάζει με πρωτότυπο τρόπο την ανάπτυξη της σύγχρονης μαθηματικής λογικής και της αναλυτικής φιλοσοφίας. Ο Δοξιάδης δίνει μια ψυχολογική ερμηνεία για την εμμονή του Μπέρτραντ Ράσελ να ορίσει λογικά τα μαθηματικά αλλά και τον κόσμο που τον περιέβαλε.Το παράδειγμα του Δοξιάδη και του Γκετζ, ενθάρρυνε κάποιους Έλληνες συγγραφείς να ασχοληθούν με αυτό το νέο λογοτεχνικό είδος και πολλαπλασίασε τις μεταφράσεις των μαθηματικών μυθιστορημάτων.Ενδεικτικά αναφέρουμε τις πιο χαρακτηριστικές περιπτώσεις: στις νουβέλες του Άντριου Κράμεϋ «Η αρχή του Ντ’ Αλαμπέρ» (εκδ. Πόλις), ο Ντ’ Αλαμπέρ αδυνατεί να καταλάβει τις απλές αρχές της ζωής αλλά προσπαθεί μάταια να ανακαλύψει την υπέρτατη μαθηματική εξίσωση, το κλειδί για την ερμηνεία όλων των μηχανισμών της φύσης.Ο Φίλιμπερτ Σογκτ στους «Άγριους αριθμούς» (εκδ. Πόλις) διακωμωδεί τον σκληρό ανταγωνισμό των πανεπιστημιακών, φέρνοντας αντιμέτωπα στην ίδια πόλη δύο ταλαντούχους μαθηματικούς.Η αστυνομική λογοτεχνία οφείλει πολλά στη μαθηματική επιστήμη. Δεν είναι τυχαίο, ότι ο Σέρλοκ Χολμς κατόρθωσε να αποδείξει την ενοχή του μαθηματικού Μοριάρτι στο «Adventure of the final problem» (1893), έχοντας ως όπλο του τη μαθηματική λογική. Ο Γκιγέρμο Μαρτίνες μεταπήδησε από τη μαθηματικά στη λογοτεχνία, χάρη στην επιτυχία του βιβλίου του «Η ακολουθία της Οξφόρδης» (εκδ. Πατάκη): ένας φοιτητής ανακαλύπτει ότι μια σειρά φόνων σχετίζεται με το έργο του κορυφαίου μαθηματικού Άρθουρ Σέλντομ. Στα ελληνικά έχει μεταφραστεί και το λογοτεχνικό του ντεμπούτο «Σχετικά με τον Ροδερέρ» (εκδ. Πατάκη) για την αυτοκαταστροφική αναζήτηση της απόλυτης γνώσης.Ο Τεύκρος Μιχαηλίδης, ο οποίος έχει υπογράψει τις μεταφράσεις πολλών μαθηματικών μυθιστορημάτων, έγινε γνωστός με τα «Πυθαγόρεια εγκλήματα» (εκδ.Πόλις): η ιστορία μιας φιλίας και ενός ανεξήγητου φόνου, με φόντο τις συναρπαστικές εξελίξεις της μαθηματικής επιστήμης στις αρχές του 20ου αιώνα.Στις πιο πρόσφατες εκδόσεις ανήκει το ιστορικό μυθιστόρημα του Γιάννη Γρηγοράκη «Ο διαβήτης του Πλάτωνα» (εκδ. Κέδρος). Η ιστορία του εξελίσσεται σε δύο επίπεδα: στο πρώτο, παρακολουθούμε τις έρευνες του νεαρού μαθηματικού Μπάρτελ Βέρντεν για τις μαθηματικές αντινομίες στην «Πολιτεία του Πλάτωνα». Στη συνέχεια, μεταφερόμαστε στην κλασική Αθήνα και μαθαίνουμε τις αντιλήψεις του Έλληνα φιλοσόφου για τα μαθηματικά αλλά και τις διαφωνίες του με τον μαθητή του, Θεαίτητο. Η πλοκή βασίζεται στο μαθηματικό γρίφο που έθεσε στη Δήλο το μαντείο των Δελφών.Στις προθήκες των βιβλιοπωλείων ξεχωρίζει το μυθιστόρημα του Ντέιβιντ Λίβιτ, «Ο υπάλληλος από την Ινδία» (εκδ. Πόλις). Πρόκειται για τη μυθιστορηματική βιογραφία του Σρινιβάσα Ραμανουτζάν, του διάσημου Ινδού μαθηματικού. Ο «Μότσαρτ των μαθηματικών», όπως ονομάστηκε, συνδύαζε την ψυχρή λογική με το μυστικισμό και τη διαίσθηση. Οι λύσεις των μαθηματικών προβλημάτων εμφανίζονταν στον ύπνο του από ινδικές θεότητες και ο ίδιος δήλωνε ότι «Καμία εξίσωση δεν έχει νόημα για μένα αν δεν εκφράζει μια σκέψη του θεού».Ο Ντέιβιντ Λίβιτ ξετυλίγει το ταξίδι του χαρισματικού μαθηματικού στην Αγγλία τις παραμονές του Α’ Παγκοσμίου Πολέμου και τη δύσκολη σχέση του με τον ευεργέτη του, τον κορυφαίο μαθηματικό Γκ. Χάρντι. Ο διάσημος Βρετανός καθηγητής αδυνατούσε να κατανοήσει τις πολιτισμικές ιδιαιτερότητες του Ραμανουτζάν, με τραγικές συνέπειες για τον προστατευόμενο του αλλά και την ίδια την επιστήμη. Η ανάγνωση του μυθιστορήματος μπορεί ιδανικά να συνδυαστεί με την εξαιρετική βιογραφία του Ρόμπερτ Κάνιγκελ «Ραμανουτζάν-ο Ινδός μαθηματικός» (εκδ. Τραυλός). Καλή ανάγνωση!<br />
<br />
<br />
<span style="color: blue;"><b>ΜΑΝΙΑ ΣΤΑΪΚΟΥ</b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<strong><span style="color: blue; font-size: large;"><br /></span></strong>
<strong><span style="color: blue; font-size: large;"><br /></span></strong>
<strong><span style="color: blue; font-size: large;">Ο ΓΚΑΛΟΥΑ Ο ΕΡΩΤΑΣ ΚΑΙ Η ΜΟΝΟΜΑΧΙΑ</span></strong></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Μια μαθηματική θεωρία που θεμελιώθηκε στις αρχές του 19ου αιώνα από τον Εβαρίστ Γκαλουά, ο οποίος έφυγε από τη ζωή στα 21 του χρόνια χάριν του έρωτα, κατά τη διάρκεια μιας μονομαχίας. Για τον βίο του ιδιοφυούς Γκαλουά, ένας Ελληνας της Διασποράς, <span style="color: #990000;"><strong>ο Τομ Πετσίνις</strong></span>, συγγραφέας του βιβλίου <span style="color: #990000;"><strong>«Ο Γάλλος μαθηματικός»</strong></span> (εκδ. «Τραυλός») και καθηγητής μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο της Βικτώριας στη Μελβούρνη, μιλά με επιστημονικό ενθουσιασμό στην «Ε». </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<strong>Ποιο ήταν το στοιχείο του Γκαλουά που σας οδήγησε να γράψετε βιβλίο για εκείνον;</strong> </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
«Πρωτάκουσα για τον Εβαρίστ Γκαλουά όταν μελετούσα Θεωρία Ομάδων στο Πανεπιστήμιο. Γοητεύτηκα από το ότι ήταν 17 ετών όταν ξεκίνησε την έρευνά του σε αυτό το πεδίο. Χρόνια αργότερα, όταν σκέφτηκα να γράψω ένα βιβλίο για ξεχωριστούς μαθηματικούς, το όνομα του Γκαλουά μού ήρθε πρώτο στο μυαλό. Καθώς μελετούσα τη ζωή του, εντυπωσιάστηκα από τις αντιφάσεις που κυριαρχούσαν σ' αυτήν: την αναζήτηση της τάξης των ιδεών μέσω των μαθηματικών, αλλά και το χάος της συναισθηματικής του ζωής. Την ανάγκη του να γίνει αποδεκτή η δουλειά του αλλά και την ταυτόχρονη εσωτερική τάση του για αυτοκαταστροφή. <span style="color: blue;"><strong><em>Για μένα ο Γκαλουά είναι η ενσάρκωση του ρομαντικού μαθηματικού, με τον ίδιο τρόπο που ο Κιτς και ο Μπάιρον αποτελούν την επιτομή των ρομαντικών ποιητών». </em></strong></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<strong><span style="color: blue; font-size: large;">Ο ΕΛΥΤΗΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ</span></strong></div>
<div style="text-align: justify;">
<img src="http://logomnimon.files.wordpress.com/2010/01/ce95ce9bcea5cea4ce97cea3.jpg" height="200" id="il_fi" style="padding-bottom: 8px; padding-right: 8px; padding-top: 8px;" width="190" /><br />
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Ας αρχίσουμε με τον <span style="color: #990000;"><strong>Οδυσσέα Ελύτη</strong></span>, ο οποίος έχει μετατρέψει σε ποίηση βασικές μαθηματικές έννοιες και ιδέες. Στο δοκίμιό του<span style="color: #990000;"> <strong>«H μέθοδος του άρα»</strong></span> σημειώνει: <em><strong><span style="color: black;">«Τον καιρό που δεν καταλάβαινα τα μαθηματικά, θυμάμαι, μου λέγανε ότι δεν είχα παρά να μετατοπισθώ κατά ένα βήμα, σαν συλλογιστικός μηχανισμός, για να διατρέξω την απέραντη και συνάμα μηδαμινή απόσταση που ένιωθα να με χωρίζει απ' αυτόν τον χώρο. Και αναρωτιέμαι: μήπως θα ήταν χρήσιμο να το αντιστρέψουμε αυτό σήμερα; Και από τη μεριά τη δική μας να εξηγήσουμε στα παιδιά ότι μια διαφορετική από μέρους τους διαχείριση των στοιχείων της πραγματικότητας θα μπορούσε πάλι να τα βγάζει σε αλλιώς αυστηρά και αλλιώς αποδεικτέα μαθηματικά;» (Εν λευκώ, εκδ. Ίκαρος).</span></strong></em></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black;"><br />
</span></div>
<div style="text-align: justify;">
Θεωρώ απαραίτητο να παραθέσω ένα ακόμα απόσπασμα από το ίδιο δοκίμιο του Oδ. Eλύτη: <strong><em><span style="color: black;">«Μπαίνοντας ο εικοστός αιώνας, στο τελευταίο του τέταρτο, αισθάνομαι άστεγος και περιττός. Όλα είναι κατειλημμένα - ως και τ' άστρα. Οι άνθρωποι έχουν απαλλαγεί από κάθε παιδεία... Oι κολεγιόπαιδες λύνουν εκπληκτικές εξισώσεις με μιαν ευκολία που είναι ν' απορείς: συν, πλην, διά, επί - άρα. Tο μυστικό στη ζωή αυτή, φαίνεται, δεν είναι αν είσαι δούλος ή όχι. Eίναι να οδηγείσαι με συνέπεια σε κάποιο «άρα» και να 'χεις έτοιμη την απάντηση».</span></em></strong></div>
<div style="text-align: justify;">
Άρα; Mήπως χρειάζεται ένα διαφορετικό «άρα» που να είναι αποτέλεσμα κάποιων «αλλιώς αυστηρών και αλλιώς αποδεικτέων μαθηματικών»; Iσως είναι ανάγκη στα παιδιά μας να διδάσκουμε μαζί με τα μαθηματικά που οδήγησαν στο «άρα» της τεχνολογίας, και κάποια «λυρικά μαθηματικά» που να οδηγούν και στο «άρα» της ευαισθησίας «που διπλασιάζει την ικανότητά σου να αντιλαμβάνεσαι τη ζωή και που αποτελεί μια πρόσβαση στο πραγματικό νόημα της ελευθερίας. Επειδή -να το πούμε κι αυτό- ελευθερία δεν είναι να κινείσαι ανεμπόδιστα στο πεδίο που σου έχει δοθεί. Να διευρύνεις αυτό το πεδίο και δη κατά τη διάσταση της αναλογίας των αισθήσεων, αυτό είναι».<br />
<br />
<br />
<span style="color: blue; font-family: "courier new" , "courier" , monospace; font-size: large;"><strong><em> <span style="color: blue;"> ... Τα μαθηματικά της θάλασσας ...</span></em></strong></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: blue;"><br />
</span></div>
<div style="text-align: justify;">
Oι απόψεις αυτές του Οδυσσέα Eλύτη είναι διάχυτες μέσα στο ποιητικό του έργο. Χαρακτηριστικό παράδειγμα το παρακάτω απόσπασμα από τη συλλογή του <span style="color: #990000;"><strong>Mικρός Ναυτίλος</strong></span> (εκδ. Iκαρος):</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<strong><em>T' ανώτερα μαθηματικά μου τα έκανα στο Σχολείο της θάλασσας. Iδού και μερικές πράξεις για παράδειγμα:<br />
(1) Εάν αποσυνθέσεις την Ελλάδα, στο τέλος θα δεις να σου απομένουν μια ελιά, ένα αμπέλι κι ένα καράβι. Που σημαίνει: με άλλα τόσα την ξαναφτιάχνεις.<br />
(2) Tο γινόμενο των μυριστικών χόρτων επί την αθωότητα δίνει πάντοτε το σχήμα κάποιου Ιησού Xριστού.<br />
(3) H ευτυχία είναι η ορθή σχέση ανάμεσα στις πράξεις (σχήματα) και στα αισθήματα (χρώματα). H ζωή μας κόβεται, και οφείλει να κόβεται, στα μέτρα που έκοψε τα χρωματιστά χαρτιά του ο Matisse.<br />
(4) Όπου υπάρχουν συκιές υπάρχει Ελλάδα. Όπου προεξέχει το βουνό απ' τη λέξη του υπάρχει ποιητής. H ηδονή δεν είναι αφαιρετέα.<br />
(5) Ένα δειλινό στο Αιγαίο περιλαμβάνει τη χαρά και τη λύπη σε τόσο ίσες δόσεις που δεν μένει στο τέλος παρά η αλήθεια.<br />
(6) Κάθε πρόοδος στο ηθικό επίπεδο δεν μπορεί παρά να είναι αντιστρόφως ανάλογη προς την ικανότητα που έχουν η δύναμη κι ο αριθμός να καθορίζουν τα πεπρωμένα μας.<br />
(7) Ένας «αναχωρητής» για τους μισούς είναι, αναγκαστικά, για τους άλλους μισούς, ένας «Ερχόμενος».</em></strong><br />
Tο ποίημα αποτελεί έξοχο δείγμα «λυρικών μαθηματικών». Δεν είναι μόνον ο τίτλος του που παραπέμπει στη συγκεκριμένη επιστήμη, αλλά όλη η δομή του έχει τη μορφή μαθηματικού κειμένου.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Στην συλλογή του : "Ο μικρός Ναυτίλος" ο ποιητής παρατηρεί το Αιγαίο και φτάνει στα αφηρημένα γεωμετρικά σχήματα. Η γεωμετρία του Ευκλείδη γίνεται ποίηση : </div>
<div style="text-align: justify;">
<strong>" Θα αλλάξουν όλα μια μέρα κι εμείς μαζί τους θα αλλάξουμε , αλλά η φύση μας άνεπανόρθωτα θα είναι χαραγμένη πάνω στη γεωμετρία που καταφρονήσαμε στον Πλάτωνα.Και μέσα σ΄αυτήν όταν σκύψουμε , όπως σκύβουμε καμμιά φορά πάνω στα νερά του νησιού μας , θα βρίσκουμε τους ίδιους καστανούς λόφους , όρμους και κάβους , τους ίδιους ανεμόμυλους και τις ίδιες ερημοκκλησιές , τα σπιτάκια που ακουμπάνε το ΄να στο άλλο και τα αμπέλια που κοιμούνται. Σα μικρά παιδιά τους Τρούλους και τους περιστερώνες.</strong></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<strong>" Ας είναι καλά ο εκάστοτε γεωμέτρης ποιητής</strong></div>
<div style="text-align: justify;">
<strong>που ΄χει κερδίσει τον στέφανο του ανέμου"</strong></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<strong>" ... και τα σχήματα όλα καθαρογραμμένα μέσ΄ στα φρούτα ο κύκλος , το τετράγωνο , το τρίγωνο και ο ρόμβος όπως τα βλέπουν τα πουλιά , να γίνει απλός ο κόσμος."</strong></div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
<br />
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<strong><span style="color: blue; font-size: large;"> ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΠΟΙΗΣΗ</span></strong></div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
<br />
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><strong><em>" Μόνο δύο γλώσσες έχει ο άνθρωπος για να αντιμετωπίσει την πραγματικότητα , τα μαθηματικά και την ποίηση".</em></strong></span><br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><strong></strong></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><strong><em> </em></strong></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><strong><em> Χάιζεμπεργκ</em></strong></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><strong><em> Βραβείο Νόμπελ 1932.</em></strong></span><br />
<br />
<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<em><span style="color: blue; font-size: large;"><strong>Μαθηματικά και ποίηση είναι δύο παράθυρα μας προς τον κόσμο. Η θέα που το καθένα προσφέρει είναι διαφορετική από την άλλη , κατά ένα παράδοξο όμως τρόπο είναι συμπληρωματικές μεταξύ τους , γεγονός που αντανακλά και στη δική μας δίδυμη φύση : Λογική - Συναίσθημα".</strong></span></em></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: blue;"><br />
<strong><span style="font-size: large;"></span></strong></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<em><span style="color: blue; font-size: large;"><strong> Νίκος Ταμπάκης</strong></span></em></div>
<div style="text-align: justify;">
<em><span style="color: blue; font-size: large;"><strong> Μηχανικός - φιλόσοφος.</strong></span></em></div>
<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
ΣTΑ TEΛH του 3ου αιώνα π.Χ. <span style="color: #990000;"><strong>ο Αρχιμήδης</strong></span> έστειλε στον Ερατοσθένη ένα κομψότατο ποίημα που άρχιζε έτσι:<span style="color: blue;"><strong><em> «Ξένε, αν περνιέσαι για σοφός και δυνατός στους γρίφους, / λογάριασέ μου αν μπορείς του Hλιου τα γελάδια...».</em></strong></span> Κατά τον Αρχιμήδη, τα γελάδια του Hλιου χωρίζονταν σε τέσσερα κοπάδια, ανάλογα με το χρώμα τους: aσπρα, μαύρα, καφέ, και πιτσιλωτά, ενώ κάθε κοπάδι περιλάμβανε ταύρους και αγελάδες ένα σύνολο οκτώ αγνώστων αριθμών. Η περιγραφή συνεχίζεται: <span style="color: blue;"><strong><em>«Οι άσπροι ταύροι ήταν ένα δεύτερο και ένα τρίτο των μαύρων παραπάνω από τους καφέ, ενώ οι μαύροι ένα τέταρτο και ένα πέμπτο των πιτσιλωτών πάνω απ τους καφέ...»</em></strong></span> και ούτω καθεξής. Eτσι καταστρώνονται επτά εξισώσεις (του είδους που σήμερα θα τις λέγαμε «Διοφαντικές» από το όνομα ενός άλλου, αγέννητου τότε, Αλεξανδρινού μαθηματικού), που η μικρότερη λύση τους φτάνει στα πολλά εκατομμύρια.</div>
<div style="text-align: justify;">
Αλλά, επιμένει ο Αρχιμήδης, υπάρχει και άλλο μυστικό: Eνας από τους αριθμούς πρέπει να είναι τετράγωνος, και ο άλλος τρίγωνος! Τετράγωνος είναι ένας αριθμός όπως το 4, το 16 και το 49, που είναι γινόμενο ενός αριθμού επί τον εαυτό του. Και τρίγωνος είναι ένας αριθμός, όπως το 6 και το 15, που μπορεί να γραφεί σαν 1 + 2 + 3 + ... + ν. Για πολλούς αιώνες ήταν άγνωστο αν αριθμοί σαν αυτούς που απαιτούσε ο Αρχιμήδης υπάρχουν. Μόλις πριν από 20 χρόνια ένας ερευνητής στο Πανεπιστήμιο της Καλιφόρνιας βρήκε τα 206.545 ψηφία της λύσης (τόσα δηλαδή που, αν ήταν γράμματα, θα ήταν αρκετά για ένα μικρό μυθιστόρημα!), χρησιμοποιώντας ένα Κρέι, τον ταχύτερο υπολογιστή της εποχής.</div>
<div style="text-align: justify;">
Tο μυστήριο όμως παραμένει: Hξερε ο μεγαλύτερος μαθηματικός της αρχαιότητας και ίσως όχι μόνο την απάντηση στην ερώτηση που έθεσε με τόσο λογοτεχνικό τρόπο;</div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<strong><span style="color: #cc0000;">Αρχαίος Ινδός άγνωστος ποιητής</span></strong> ( περί τα 100 π.Χ ) μιλάει για την αξία του "Γκανίτ" , δηλαδή των μαθηματικών :<br />
<br />
<div align="left">
</div>
<i><strong>Όπως τα φτερά που παγωνιού και τα πολύτι<span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";">μ</span></span>α πετράδια τοποθετούνται στο ψηλότερο <span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";">μ</span></span>έρος του κορ<span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";">μ</span></span>ιού έτσι και η θέση του Γκανίτ είναι στο ψηλότερο κλαδί των Βέδα<span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";">. </span></span></strong></i><br />
<i><strong></strong><br />
</i><br />
<div align="left">
</div>
<div align="justify">
<strong><span style="color: #cc0000;">Άλλος <span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";">μ</span></span></span></strong><strong><span style="color: #cc0000;">εταγενέστερος</span></strong> <span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";">(;) </span></span>συ<span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";">μ</span></span>πατριώτης του παρατηρεί<span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";">: </span></span></div>
<div align="justify">
<span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"> </span></span><i><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"><strong>Τι ωφελούν τα πολλά λόγια</strong></span></span><strong><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";">; </span></span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";">Ότι στον κόσ</span></span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";">μ</span></span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";">ο υπάρχει που κινείται ή δεν κινείται δε </span></span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";">μ</span></span></strong><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"><strong>πορεί να γίνει κατανοητό χωρίς Γκανίτ </strong></span></span></i></div>
</div>
<i><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"></span></span></i></div>
<i><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"></span></span></i></div>
<i><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"></span></span></i></div>
<br />
<br />
<div align="justify">
<span style="font-size: small;">Δε</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">ένος στο βράχο</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">, </span></span><span style="font-size: small;">τι</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">ωρη</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">ένος απ</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">’ </span></span><span style="font-size: small;">το Δία γιατί τόλ</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">ησε να προσφέρει στους θνητούς γνώσεις που αρ</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">όζουν </span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">όνο σε θεούς</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">, </span></span><strong><span style="color: #cc0000;"><span style="font-size: small;">ο Προ</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span></span></strong><span style="font-size: small;"><strong><span style="color: #cc0000;">ηθέας</span></strong> απαριθ</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">εί στο χορό των Ωκεανίδων τα δώρα που χάρισε στους ανθρώπους</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">. </span></span><span style="font-size: small;">Κι ανά</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">εσα σ</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">’ </span></span><span style="font-size: small;">αυτά</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">, </span></span><span style="font-size: small;">τα προορισ</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">ένα </span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">όνο για αθανάτους αγαθά</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">... </span></span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><br />
<em><strong></strong></em></span></span><br />
<span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><em><strong>μ</strong></em></span></span><strong><em><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">α και τον αριθ</span></span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">ό</span></span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">, </span></span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">την πιο τρανή σοφία βρήκα για χάρη τους εγώ</span></span></em><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">… </span></span></strong></div>
<br />
<br />
<span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";">Αναφορές στα μαθηματικά βρίσκουμε και στον δυτικό μεσαίωνα στο έργο του <strong><span style="color: #cc0000;">Δάντη</span></strong> <em>:</em></span></span><br />
<br />
<i><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"><strong>...</strong><i><strong><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";">αν τρίγωνο </span></span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";">μ</span></span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";">πορείς σε </span></span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";">μ</span></span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";">ισοκύκλι δίχως ορθή γωνία ποτέ να </span></span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";">μ</span></span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";">πάσεις</span></span>.. </strong></i></span></span></i><br />
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<i><strong>Ως ο γεω</strong><strong><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";">μ</span></span>έτρης που όλος βυθισ<span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";">μ</span></span>ένος τον κύκλο να <span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";">μ</span></span>ετρήσει <span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";">μ</span></span>α δε βρίσκει στο νου του το θε<span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";">μ</span></span>έλιο που έχει ανάγκη<span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman";">... </span></span></strong></i><br />
<div align="left">
</div>
<div align="justify">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Ο γεννηµένος στον Πειραιά το 1920 ποιητής <strong><span style="color: #cc0000;">E. Kακναβάτος</span></strong> , από κεφαλονίτες γονείς, <strong><em><span style="color: blue;">σπούδασε Μαθηµατικά στο Πανεπιστήµιο Αθηνών</span></em></strong>. Το πραγµατικό όνοµά του ήταν Γιώργος Κοντογιώργης και το πρώτο του ποίηµα δηµοσιεύτηκε στο περιοδικό «Νέα Κατεύθυνση» το 1943.<br />
<br />
Στην Κατοχή πήρε µέρος στην Εθνική Αντίσταση αλλάτο γεγονός ότι µετά την Απελευθέρωση, το 1947,εξορίστηκε πρώτα στην Ικαρία και µετά στη Μακρόνησο – απ’ όπου επέστρεψε το 1949 – κατέστησε απαγορευτικό τον διορισµό του στη Μέση Εκπαίδευση.<br />
<br />
<a href="http://www.blogger.com/blogger.g?blogID=7730717435979339231" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"></a><a href="http://www.blogger.com/blogger.g?blogID=7730717435979339231" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"></a><a href="http://www.blogger.com/blogger.g?blogID=7730717435979339231" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"></a>∆ούλεψε όµως στην ιδιωτική εκπαίδευση – από το 1958 έως το 1962 <strong><span style="color: blue;">είχε και δικό του φροντιστήριο στη Σύρο – ώσπου, το 1979, διορίζεται για πρώτηφορά στο ∆ηµόσιο</span></strong> από το οποίο συνταξιοδοτήθηκε το 1986.<br />
<br />
Ως γνήσιος υπερρεαλιστής ποιητής, ο <span style="color: #cc0000;"><strong>E. Kακναβάτος</strong></span> χρησιμοποιεί μαθηματικούς όρους και έννοιες σε πολλές ποιήματά του με έναν τρόπο που ξαφνιάζει:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<strong>«Πέρα στη δημοσιά<br />
φάνηκε πρώτα στήλη κουρνιαχτός<br />
ως τα μεσούρανα.<br />
Δεν άργησε πολύ.<br />
O δρόμος έφερνε το ποδοβολητό<br />
τον χουγιαχτό της<br />
κλείνατε παράθυρα κατέβαιναν ρολά.<br />
Σιδηροντυμένη έμπαινε πια στην πόλη<br />
η εξίσωση»<br />
(Άλγεβρα)</strong></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Tο ποίημα περιγράφει με ενάργεια τη στιγμή που το μυαλό του μαθηματικού συλλαμβάνει, σαν αστραπή, την ιδέα της λύσης ενός προβλήματος με την εισβολή μιας εξίσωσης στο ποίημα:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<strong>"Άφεγγη πάλι απόψε η Σελήνη<br />
κάθισε στο βυθό επωάζοντας τα έμμηνά της.<br />
Πέραν του απείρου, ο ορίζοντας<br />
τρικλίζει φορτωμένος τρεις άγριες γεωμετρίες" <br />
(Χαοτικά Ι εκδ. Άγρα).</strong></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><span style="color: blue;"><span style="font-size: large;"><strong> </strong><span style="color: black; font-size: small;">Με τέσσερις στίχους ο <strong><em><span style="color: #cc0000;">E. Kακναβάτος</span></em></strong>, ατενίζοντας το στερέωμα, το προσαρμόζει στις τρεις γεωμετρίες του Ευκλείδη, του Λομπατσέφσκι και του Pίμαν, τις οποίες αποκαλεί «άγριες» με την έννοια ότι εισβάλλουν δυναμικά για να περιγράψουν τον κόσμο. Αξίζει επίσης να σημειωθεί ότι η συλλογή του Χαοτικά I θα μπορούσε να θεωρηθεί ως μια ποιητική διατύπωση της θεωρίας του χάους, νέου κλάδου των σύγχρονων μαθηματικών.</span></span></span></span><br />
<br />
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><span style="color: blue;"><span style="font-size: large;">
<span style="color: black; font-size: small;"><strong><span style="color: #990000;">Γιώργος Bαφόπουλος :</span></strong> γεννήθηκε το 1903 στη Γευγελή της τότε Γιουγκοσλαβίας. Μαθήτευσε στην Αστική Σχολή Γευγελής. Μετά το τέλος του Β' Βαλκανικού Πολέμου η οικογένεια Βαφόπουλου εκπατρίστηκε και ο ποιητής έζησε στην Έδεσσα, το Φανό, τη Γουμένισσα και τελικά στη Θεσσαλονίκη, όπου τέλειωσε το Γυμνάσιο (1917-1924). Στο χώρο της λογοτεχνίας πρωτοεμφανίστηκε το 1921 με δημοσιεύσεις ποιημάτων του στα περιοδικά «Σφαίρα» (Γυναίκα) και «Νουμάς» (Ελεγείο στους αδικοσκοτωμένους). Το 1923 επισκέφτηκε για πρώτη φορά την Αθήνα, γράφτηκε <strong><em><span style="color: blue;">στη Μαθηματική Σχολή του Πανεπιστημίου Αθηνών</span></em></strong> και εργάστηκε ως αντιγραφέας στη Μεγάλη Γραμματική της Ελληνικής Γλώσσης του Γ. Χατζιδάκη. Επέστρεψε τη Θεσσαλονίκη λόγω προβλημάτων υγείας και το 1924 ανέλαβε τη διεύθυνση του περιοδικού «Μακεδονικά Γράμματα», από κοινού με τον Κ. Κόκκινο.</span><br />
<br />
<span style="color: black; font-size: small;">Θα σταθώ όμως για λίγο στην περίπτωση του <span style="color: #990000;"><strong>Γιώργου Bαφόπουλου</strong></span> και στο ποίημά του «O μεγάλος Kώνος». Κυρίαρχο στοιχείο στο συγκεκριμένο ποίημα είναι το γεωμετρικό μοντέλο: ο κώνος, η σπειροειδής γραμμή, το τετράγωνο, ο κύβος και η τεθλασμένη γραμμή περιγράφουν την πορεία της ζωής ενός ανθρώπου από τη γέννηση ως τον θάνατο. Oι πρώτες σπείρες στη βάση του κώνου, τα παιδικά χρόνια, είναι μεγάλες, είναι η εποχή που αργά αργά διαμορφώνεται ο άνθρωπος, ο ορίζοντάς του είναι μικρός. Όσο ανεβαίνουμε πάνω στην επιφάνεια του κώνου οι σπείρες μικραίνουν, αλλά ο ορίζοντας του βλέμματός μας μεγαλώνει. Δεν νομίζω ότι μπορεί να δοθεί εναργέστερη εικόνα της πορείας της ζωής από την ανέλιξη στην επιφάνεια ενός κώνου. Πρόκειται αναμφισβήτητα για μια γοητευτική συνάντηση της ποίησης με τα μαθηματικά. Παραθέτω ένα ενδεικτικό απόσπασμα:<br />
<br />
<strong>«O άνθρωπος του οιδιπόδειου αινίγματος<br />
ξεκινά την αυγή, πάνω στ' αχνάρια της γραμμής,<br />
με τα τέσσερα πόδια. Στα μισά του δρόμου<br />
στυλώνεται στα δυο του, για να ιδεί κατάματα τον ήλιο του λαμπρού μεσημεριού.<br />
Και το βράδυ φθάνει στην κορφή του κώνου, σέρνοντας τώρα το τρίτο του ποδάρι,<br />
έτοιμος να αντικρίσει τη μεγάλη δύση.<br />
αλλά έμεινε ατελής του αινίγματος η λύση».</strong></span><br />
<strong> </strong><br />
<span style="color: black; font-size: small;">Ακόμη από τον <span style="color: #cc0000;"><strong>Βαφόπουλο</strong> </span>είναι παρμένο το πάρακάτω ποίημα :</span><br />
<span style="color: black; font-size: small;"></span></span></span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><span style="color: blue;"><span style="font-size: large;"><span style="color: black; font-size: small;"><strong>Το ογδόντα</strong></span></span></span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><span style="color: blue;"><span style="font-size: large;"><span style="color: black; font-size: small;"><strong>Φαίνεται πως το ογδόντα δεν είναι</strong></span></span></span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><span style="color: blue;"><span style="font-size: large;"><span style="color: black; font-size: small;"><strong>ένας απλός αριθμός. Είναι μάλλον</strong></span></span></span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><span style="color: blue;"><span style="font-size: large;"><span style="color: black; font-size: small;"><strong>μια αλληλουχία πολυσημάντων συμβόλων.</strong></span></span></span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><span style="color: blue;"><span style="font-size: large;"><span style="color: black; font-size: small;"><strong>Μπορεί να σημαίνει ογδόντα τσουβάλια ζάχαρη</strong></span></span></span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><span style="color: blue;"><span style="font-size: large;"><span style="color: black; font-size: small;"><strong>ή ακόμη οδγδόντα φέρετρα τουφεκισμένων.</strong></span></span></span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><span style="color: blue;"><span style="font-size: large;"><span style="color: black; font-size: small;"><strong>Μπορεί κι ένα πλήθος τύψεων να συμβολίζει.</strong></span></span></span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><span style="color: blue;"><span style="font-size: large;"><span style="color: black; font-size: small;"><strong>Το ογδόντα μπορεί να είναι ο εικοστός αιώνας</strong></span></span></span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><span style="color: blue;"><span style="font-size: large;"><span style="color: black; font-size: small;"><strong>μειωμένος κατά είκοσι ενιατούς.</strong></span></span></span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><span style="color: blue;"><span style="font-size: large;"><span style="color: black; font-size: small;"><strong>Στης κατοχής τον καιρό θα μπορούσε να είναι</strong></span></span></span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><span style="color: blue;"><span style="font-size: large;"><span style="color: black; font-size: small;"><strong>δύο σαραντάδες νεαρών ιδεολόγων</strong></span></span></span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: blue;"><span style="color: blue;"><span style="color: black;"><strong>που , στημένοι στον τοίχο , με δεμένα <span style="color: black;">μάτια</span></strong></span></span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<strong></strong></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black;"><strong>λοιρωρούσαν τις κάνες του κατακτητή.</strong></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black;"><strong>Αλλά στοχάζομαι τώρα πως το ογδόντα τούτο</strong></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black;"><strong>μάλλον ένα σταθμικό πρέπει να ναι σκαλοπάτι</strong></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black;"><strong>σ΄αυτή την όρθια κλίμακα του βίου μου</strong></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black;"><strong>από όπου επισκοπώ τα κύματα του παρελθόντος.</strong></span></div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black;"><br />
</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><span style="color: blue;"><span style="font-size: large;"><span style="color: black;"><span style="font-size: small;"><span style="color: black;"><img class="rg_i" src="http://t3.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcTV_rgrd-hHx9zg8zYX_kIPPWMfVLHoQ0AEH3Zdys8pUF4gOE4RVQ" data-src="http://t3.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcTV_rgrd-hHx9zg8zYX_kIPPWMfVLHoQ0AEH3Zdys8pUF4gOE4RVQ" data-sz="f" height="101" id="_Q_fFSRBBvoBoM:b" onload="this.style.display='inline';google.stb.csi.onTbn(0, this)" style="display: inline; height: 101px; width: 80px;" width="80" /> <strong><span style="color: #990000;">Παντελής Μπουκάλας </span></strong>: Γεννήθηκε το 1957 στο Λεσίνι του Μεσολογγίου. Αποφοίτησε από την Οδοντιατρική Αθηνών. Από το 1989 επιμελείται την ανά Τρίτη σελίδα του βιβλίου στην εφημερίδα "Καθημερινή", όπου επίσης δημοσιεύει καθ' εκάστην επιφυλλίδες κοινωνικού και πολιτικού σχολιασμού. Είναι διορθωτής και επιμελητής εκδόσεων. </span></span></span></span></span></span><br />
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><span style="color: blue;"><span style="font-size: large;"><span style="color: black;"><span style="font-size: small;"><span style="color: black;">γράφει ο ποιητής <span style="color: #990000;"><strong>Παντελής Μπουκάλας</strong></span>:</span></span></span></span></span></span><br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><span style="color: blue;"><span style="font-size: large;"><span style="color: black;"><span style="font-size: small;"><br />
«<strong>Τόσοι θεοί μας ετοίμασαν το μηδέν </strong> <strong>Kαιρός του ανθρώπου</strong>».</span></span></span></span></span> </div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
<br />
<br />
<div style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none;">
<a href="http://1.bp.blogspot.com/_q43vJFJJygE/SRrNQrnafJI/AAAAAAAACpU/M8QplGZVWr8/s1600/%CE%9C%CE%B1%CE%BD%CF%8C%CE%BB%CE%B7%CF%82+%CE%9E%CE%B5%CE%BE%CE%AC%CE%BA%CE%B7%CF%82.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; cssfloat: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img alt="" border="0" height="298" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5267748400632855698" src="https://1.bp.blogspot.com/_q43vJFJJygE/SRrNQrnafJI/AAAAAAAACpU/M8QplGZVWr8/s320/%CE%9C%CE%B1%CE%BD%CF%8C%CE%BB%CE%B7%CF%82+%CE%9E%CE%B5%CE%BE%CE%AC%CE%BA%CE%B7%CF%82.jpg" style="display: block; height: 149px; margin-top: 0px; text-align: center; width: 160px;" width="320" /></a><span style="font-size: 130%;"><span style="font-size: medium;">Ο <span style="color: #000099;"><span style="color: #990000;"><strong>Μανόλης Ξεξάκης</strong></span></span> γεννήθηκε το 1948 στο Ρέθυμνο Κρήτης. Το 1966 εγκαταστάθηκε στη Θεσσαλονίκη, όπου και ζει. <strong><em><span style="color: blue;">Σπούδασε μαθηματικά στο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης</span></em></strong> και εργάστηκε διαδοχικά ως καθηγητής φροντιστηρίου, ως διευθυντής ραδιοφωνίας της ΕΡΤ-2 Θεσσαλονίκης (1983-1986</span></span> ). <br />
<span style="font-size: 130%;"><span style="font-size: medium;"></span></span><br />
<br /></div>
Ο <strong><span style="color: #cc0000;">Μανώλης Ξεξάκης</span></strong> συνδιάζει αριστοτεχνικά τον ποιητικό με τον μαθηματικό λόγο και γράφει τα ποιήματά του ως εκφωνήσεις μαθηματικών ασκήσεων.Για μένα βέβαια τα μαθηματικά και η ποίηση είναι οι δύο όψεις του ίδιου νομίσματος.Διότι και οι δυο "τέχνες" στηρίζονται στα σύμβολα , στους αριθμούς τα μαθηματικά , στις λέξεις τα ποιήματα . Και οι δυο τομείς χρησιμοποιούν ως βασική τεχνική τους την αφαίρεση . Η έννοια του συμβόλου- αριθμού είναι απόλυτα αφαιρετική .Το ίδιο και η έννοια της ποιητικής λέξης , η οποία λειτουργεί πάντα συμβολικά και πέρα από την συμβατική σημασία της . Και οι δυο τομείς τέλος επιδιώκουν την αρμονία που είναι αποτέλεσμα μαθηματικών χειρισμών αλλά και ποιητικών συνδιασμών και ισορροπιών του γλωσσικού υλικού. Και να ένα δείγμα γραφής του ποιητή.<br />
<br />
<strong>Ο ΙΠΠΕΑΣ<br />
<br />
Ιππέας διανύει 12,5 χλμ την ώρα<br />
και καταδιώκει πεζό που αναχώρησε<br />
πολλά χρόνια πριν και περπατεί ακόμη.<br />
Μετά από πόσες ώρες ο ιππέας θα φτάσει τον πεζό<br />
και σε ποια απόσταση <br />
από το σημείο της αναχωρήσεώς του θα τον φονεύσει;<br />
<br />
..............................................</strong><br />
<br />
Ας ακούσουμε ένα ποίημα ενός Γερμανού ποιητή με θέμα τα μαθηματικά που κρύβει μια νιφάδα χιονιού :<br />
<br />
<strong>" Χιόνιζε όλη νύχτα. Μέχρι εκεί όπου φτάνει το μάτι , πάνω σε μια λευκή έκταση , στολίζεται η χώρα με λευκούς κώνους.Η κρυστάλλινη φανέλα τους , πλεγμένη από νιφάδες σκεπάζει αρυτίδωτα τους δρόμους. <span style="color: blue;">Μια εξίσωση που μόλις γεννήθηκε σύρθηκε στους λόφους.</span> Κοιτάξτε μπροστά από το σπίτι τη λευκή μεγαλοπρέπεια".</strong><br />
<strong></strong></div>
<div style="text-align: justify;">
<strong></strong></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<strong> <span style="color: #990000;">Ντουρς Γκρύνσπάιν</span></strong><br />
<span style="color: #990000;"><strong> Γερμανός ποιητής </strong></span><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><span style="color: blue;"><strong><span style="font-size: large;"> ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΜΥΘΙΣΤΟΡΗΜΑ</span></strong></span></span><br />
<br />
<span style="color: blue;"><strong><em>" Βέβαια τα μαθηματικά διαπερνούν και διέπουν κι άλλες μορφές λόγου , όπως το παραμύθι και το μυθιστόρημα.<span style="color: #cc0000;">Το παραμύθι είναι η λογοτεχνική εκδοχή μιας καλής μαθηματικής εξίσωσης.Η λύση της είναι το τέλος της ιστορίας.</span>Ο Αινστάιν συμβούλευε τους φοιτητές του να διαβάζουν παραμύθια για να γίνουν καλοί επιστήμονες.Γιατί το παραμύθι στηρίζεται στα σύμβολα , όπως και η ποίηση .Το παραμύθι είναι αφαιρετικό-δεν ασχολείται με τις λεπτομέρειες και την ψυχογραφία των ηρώων - και κινείται πάνω σε σταθερούς κώδικες.Καλό κακό , άσχημο , όμορφο, άσπρο , μαύρο.Στο μυθιστόρημα πάλι τα μαθηματικά έχουν να κάνουν με την αρχιτεκτονική των κειμένων , τον αριθμό των λέξεων και τις ισορροπίες των κεφαλαίων . Όπως και νάχει λοιπόν τα μαθηματικά και η λογοτεχνία συμπλέκονται και συνεργάζονται αντίθετα από τις απόψεις εκείνων που τα θεωρούν εκ διαμέτρου αντίθετα πεδία ". </em></strong></span><br />
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><strong></strong></span></div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><strong><em><span style="font-size: small;"><span style="color: blue;">Η ιστοσελίδα Μathematical Fiction του Άλεξ Κάσμαν περιέχει κατάλογο με περίπου 850 έργα μυθοπλασίας, από την αρχαιότητα μέχρι σήμερα, που σχετίζονται με τα μαθηματικά. Τα 500 έχουν γραφτεί μετά το 1990. Τον ίδιο τον όρο όμως Μathematical Fiction (μαθηματική λογοτεχνία) εισήγαγε ο Βρετανός δημοσιογράφος του «Ιndependent» Gilbert Αdair, με αφορμή την έκδοση ενός ελληνικού βιβλίου! Του μυθιστορήματος «Ο θείος Πέτρος και η εικασία του Γκόλντμπαχ» </span><span style="color: #990000;">του Απόστολου Δοξιάδη το οποίο, σύμφωνα με τον δημοσιογράφο, εγκαινίασε ένα νέο λογοτεχνικό είδος. </span></span></em></strong></span><br />
<span style="color: blue; font-size: large; text-align: justify;"><br /></span>
<span style="color: blue; font-size: large; text-align: justify;"><br /></span>
<i><span style="color: blue; font-size: large; text-align: justify;">"Για μένα η δήλωση ότι ο θείος Πέτρος έχει θέμα τα μαθηματικά είναι το ίδιο παραπλανητικό όπως το να πούμε ότι το μαγικό βουνό του Thomas Mann έχει θέμα τη φυματίωση ή τα "Φαντάσματα" του Ibsen έχει ως θέμα τη σύφιλη.Για μένα η λογοτεχνία είναι λογοτεχνία ανεξάρτητα από το θέμα και δικαιολογείται μόνο στο μέτρο που είναι καλή λογοτεχνία</span><span style="color: blue; font-size: large;">.</span></i><br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><i><br /></i></span>
<span style="font-size: large;"><i><span style="color: #990000;">Α. Δοξιάδης.</span></i></span><br />
<span style="color: blue; font-size: large; text-align: justify;"><br /></span>
<span style="color: blue; font-size: large; text-align: justify;"><br /></span>
<span style="color: blue; font-size: large; text-align: justify;"> </span><br />
<span style="color: blue;"><br /></span>
<object class="BLOGGER-youtube-video" classid="clsid:D27CDB6E-AE6D-11cf-96B8-444553540000" codebase="http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=6,0,40,0" data-thumbnail-src="https://ytimg.googleusercontent.com/vi/_imI2CyD3rI/0.jpg" height="266" width="320"><param name="movie" value="https://youtube.googleapis.com/v/_imI2CyD3rI&source=uds" /><param name="bgcolor" value="#FFFFFF" /><param name="allowFullScreen" value="true" /><embed width="320" height="266" src="https://youtube.googleapis.com/v/_imI2CyD3rI&source=uds" type="application/x-shockwave-flash" allowfullscreen="true"></embed></object><br />
<span style="color: blue;"><br /></span>
<span style="font-family: "comic sans ms";"> </span><span style="color: blue; font-family: "comic sans ms";">Μαθηματικά και Λογοτεχνία.</span><br />
<span style="color: blue;"><br /><br />
<span style="color: black; font-size: small;">Μοναδική στο να αντλεί ποίηση από την καθημερινότητα, μαγεία από την αιώνια επανάληψη, και να αναδεικνύει το θαυμαστό και το αλλόκοτο ακόμα και στο ελάχιστο, η Γιαπωνέζα Γιόκο Ογκάουα ανακαλύπτει με άλλα μάτια, και λέξεις, και διάθεση τη θεϊκή και ποιητική προέλευση των Μαθηματικών στο μυθιστόρημά της, <span style="color: #990000;"><strong>«Ο αγαπημένος μαθηματικός τύπος του καθηγητή»</strong></span>. Ακουμπώντας σε επεισόδια ζωής που επιτρέπουν στον καθένα να τα θεωρήσει ως απολύτως εφικτά.</span><br />
<br />
<span style="color: black; font-size: small;"> Εκείνος, ένας λαμπρός 60χρονος καθηγητής Μαθηματικών, που έπειτα από ένα ατύχημα διαθέτει πια μια βραχεία μνήμη μόλις ογδόντα λεπτών. Εκείνη, μια ευαίσθητη, ευφυής οικιακή βοηθός με τον δεκάχρονο γιο της. Συναντιούνται «τυχαία» -όσο τυχαίο παραμένει το τυχαίο στις ιστορίες της Ογκάουα- στο παράσπιτο μιας έπαυλης.</span><br />
<span style="color: black; font-size: small;">Συστήνονται εκ νέου κάθε πρωί, ξεκινώντας από τα βασικά: τι νούμερο παπούτσια φοράτε, πότε γεννηθήκατε...</span><br />
<span style="color: black; font-size: small;">Πατώντας στέρεα μονάχα σε αριθμούς, ο καθηγητής αισθάνεται ασφάλεια. Εξάλλου το μόνο που εξακολουθεί να θυμάται είναι μαθηματικοί τύποι και θεωρήματα, η συνεχής μνήμη του σταματά στο ατύχημα και ακουμπά απολύτως σε αυτά. Τα μοιράζεται μαζί τους, τους φανερώνει την ποίηση, τη μαγεία και τη σοφία τους, τους διδάσκει μέσα από την καθημερινότητα να τα προσεγγίζουν διαισθητικά. Ταυτοχρόνως, συμπληρώνει τα προς το ζην του λύνοντας προβλήματα για διαγωνισμούς με άκρα ταπείνωση, ισχυριζόμενος ότι:</span><br />
<br />
<span style="color: #cc0000; font-size: small;"><strong><em>«Εκείνοι που φτιάχνουν τα προβλήματα γνωρίζουν και τις απαντήσεις. Το να λύνει κανείς ένα πρόβλημα του οποίου η λύση υπάρχει εκ των προτέρων είναι λιγάκι σαν να κάνει μια ανάβαση με οδηγό σε ένα βουνό που η κορυφή του είναι ήδη ορατή από κάτω. Η αλήθεια των μαθηματικών κρύβεται διακριτικά, χωρίς να μπορεί να γίνει γνωστή σε κανέναν, στο τέλος ενός δρόμου που όμως δεν είναι δρόμος. Επιπλέον, ο τύπος αυτός δεν είναι αναγκαστικά και μόνο μια κορυφή. Καμιά φορά μπορεί να είναι ένα απόκρημνο φαράγγι ανάμεσα σε δυο βράχια, άλλοτε το βάθος μιας κοιλάδας».</em></strong></span><br />
<br />
<span style="color: black; font-size: small;">Ζώντας μαζί του, γίνονται φίλοι του, διαβάζουν αλλιώς τη ζωή, αισθάνονται φιλία και θαλπωρή, προσεγγίζουν το αιώνιο αίνιγμα κι αγγίζουν σχεδόν την αλήθεια παρότι: </span><br />
<br />
<span style="color: #cc0000; font-size: small;"><strong><em>«Η αιώνια αλήθεια είναι αόρατη, δεν κυβερνιέται από την ύλη, τα φυσικά φαινόμενα ή τις συγκινήσεις. Τα μαθηματικά μπορούν να φωτίσουν αυτό το σχήμα και να το εκφράσουν. Τίποτε δεν μπορεί να τα εμποδίσει».</em></strong></span><br />
<br />
<span style="color: black; font-size: small;">Μαζί θα περπατήσουν από τον μαθηματικό τύπο του Οϊλερ, μέχρι το Θεώρημα του Φερμά. Θα γοητευθούν από τους τέλειους και τους πρώτους αριθμούς, θα μάθουν να λένε τις λέξεις... ανάποδα, θα αφεθούν στη μαγεία του Ενάτσου, του μπέιζμπολ και του νούμερου 28, θα δώσουν υπόσταση στην ανυπαρξία και αξία στην ύπαρξή τους, θ’ ανακαλύψουν σε ένα κουτί μπισκότα το παρελθόν και τη μνήμη του καθηγητή, θα υποδέχονται με άλλα μάτια τη ζωή, κάθε μέρα, κάθε πρωί.Θα μάθουν μέσα από τους ουρανούς να διαβάζουν το σημειωματάριο του Θεού:</span><br />
<br />
<span style="color: #cc0000; font-size: small;"><strong><em>«Εγώ όμως, ξέρετε, δεν έχω ιδιαίτερη επιθυμία να χαρώ. Το μόνο που έκανα ήταν να ρίξω μια ματιά στο σημειωματάριο του Θεού και να κάνω απλή αντιγραφή...».</em></strong></span><br />
<br /><span style="font-size: large;">
</span><br />
<br />
<span style="color: black; font-size: small;"><strong>Πόσο παλιά πρέπει να πάμε για να ανακαλύψουμε το πρώτο μυθιστόρημα που γράφτηκε με θέμα τα μαθηματικά; </strong></span></span><br />
<div style="text-align: justify;">
<br />
<span style="color: black; font-size: small;"><strong>Το <span style="color: #990000;">Τσου Πέι Τσουάγκ Σιγκ</span> θεωρείται το αρχαιότερο κινεζικό μαθηματικό κείμενο</strong>, παρόλο που οι απόψεις σχετικά με τη χρονολόγησή του αποκλίνουν μέχρι και χίλια χρόνια. Οι πιο τολμηροί το τοποθετούν γύρω στο 1200 π.Χ., ενώ η επικρατέστερη άποψη είναι πως γράφτηκε γύρω στο 300 π.Χ. Το έργο παρουσιάζει τους διαλόγους ενός νεαρού πρίγκιπα με έναν υπουργό σχετικά με τις κινήσεις των άστρων και με αυτήν την ευκαιρία παρουσιάζονται οι ιδιότητες των τριγώνων και ο λογισμός των κλασμάτων.</span><span style="color: black;"><br />
<span style="font-size: small;"></span></span><br />
<span style="color: black; font-size: small;"><strong>Η<span style="color: #990000;"> Σούρια Σιντχάντα</span> γράφτηκε στην Ινδία περί το 400 μ.Χ. Eχει τη μορφή επικού ποιήματος που αφηγείται τα κατορθώματα του Hλιου.</strong> Μέσα στην αφήγηση περιλαμβάνονται πλούσιες αστρονομικές πληροφορίες, καθώς και το μαθηματικό τους υπόβαθρο. Την ίδια εποχή στη Δύση γράφεται το έργο του Μαρσιανού Καπέλα Περί των γάμων του Ερμή και της Φιλολογίας. Με πρόσχημα τον εν λόγω γάμο, οι επτά ελεύθερες τέχνες μεταξύ των οποίων και οι τέσσερις «μαθηματικές» του Qoadriviom (Αριθμητική, Γεωμετρία, Αστρονομία και Αρμονία) έρχονται για να ευχηθούν στο ζευγάρι και αυτοπαρουσιάζονται. Το έργο, γραμμένο εν μέρει σε πεζό και εν μέρει σε στίχους, χρησιμοποιήθηκε σε ολόκληρο τον Μεσαίωνα ως ένα από τα βασικότερα διδακτικά εγχειρίδια στη Δύση.</span><br />
<br />
<span style="clear: left; float: left; font-size: small; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><span style="font-size: small;">Αργότερα η παρουσία των </span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">αθη</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">ατικών στο έργο του </span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">Lewis Carroll </span></span><span style="font-size: small;">είναι και πιο έντονη και πιο οργανω</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">ένη</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">. </span></span><span style="font-size: small;">Βεβαίως</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">, </span></span><span style="font-size: small;">το γεγονός ότι πίσω από το ψευδώνυ</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">ο του δη</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">ιουργού της </span><i><strong><span style="color: #cc0000;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">Αλίκης στη χώρα των θαυ</span></span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">άτων </span></span></span></strong><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><strong><span style="color: #cc0000;">(1865</span></strong>) </span></span><span style="font-size: small;">κρύβεται <strong><span style="color: #cc0000;">ο </span></strong></span><strong><span style="color: #cc0000;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">αθη</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">ατικός </span></span></strong><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><strong><span style="color: #cc0000;">Charles Lutwidge Dodgson</span></strong>, </span></span><span style="font-size: small;">λέκτορας στο Πανεπιστή</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">ιο της Οξφόρδης παίζει ση</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">αντικό ρόλο</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">. </span></span><span style="font-size: small;">Χωρίς να γίνεται η παρα</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">ικρή ευθεία αναφορά στη συγκεκρι</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">ένη επιστή</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">η</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">, </span></span><span style="font-size: small;">χωρίς κανένας από τους φανταστικούς ήρωες να έχει σχέση </span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">ε τον κλάδο</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">, </span></span><span style="font-size: small;">η παρουσία των Μαθη</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">ατικών σε κάθε εύρη</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">α</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">, </span></span><span style="font-size: small;">σε κάθε ευφυολόγη</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">α σε κάθε αποστροφή του λόγου είναι έντονη</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">. </span></span><span style="font-size: small;">Αν δεν υπήρχαν τόσες άλλες λογοτεχνικές κατηγορίες που να τα διεκδικούν θα λέγα</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">ε ότι τα </span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">υθιστορή</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">ατα του </span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">Carroll </span></span><span style="font-size: small;">είναι τα πρώτα δείγ</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">ατα Μαθη</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">ατικής Λογοτεχνίας</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">. </span></span></i><br />
<br />
<img src="http://www.ebooks.gr/assets/products/images/b/185732.jpg" height="200" id="il_fi" style="padding-bottom: 8px; padding-right: 8px; padding-top: 8px;" width="132" /><span style="color: black; font-size: small;"><strong><span style="color: #990000;">«Ηταν η "Flatland" ("Επιπεδοχώρα") του Εντουιν Αμποτ</span>, που γράφτηκε το 1884. Περιέγραφε μια χώρα δύο διαστάσεων, της οποίας οι κάτοικοι ήταν επίπεδα γεωμετρικά σχήματα</strong>. Ο στόχος του συγγραφέα ήταν διπλός. Από τη μια, η ιστορία του ασκούσε μια εύστοχη και δριμύτατη κριτική στη Βικτοριανή κοινωνία και, από την άλλη, περιγράφοντας τον τρόπο που ένα δισδιάστατο ον θα αντιλαμβανόταν τον τρισδιάστατο κόσμο, βοηθούσε τον αναγνώστη να κατανοήσει την έννοια της τέταρτης διάστασης, που είχε αρχίσει να εμφανίζεται εκείνη την εποχή στα μαθηματικά. Το βιβλίο δημιούργησε σχολή, αφού, από τότε και μέχρι σήμερα, πολλοί συγγραφείς εργάστηκαν πάνω στην ίδια ιδέα γράφοντας "συνέχειες" της "Επιπεδοχώρας"». </span><br />
</span><span style="clear: left; float: left; font-size: small; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><span style="color: black; font-size: small;"><br /></span></span><span style="clear: left; float: left; font-size: small; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><span style="color: black; font-size: small;"><br /></span></span><span style="clear: left; float: left; font-size: small; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><span style="color: black; font-size: small;"><br /></span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black;"><span style="font-family: "comic sans ms"; font-size: small;"><br /></span></span>
<span style="color: black;"><span style="font-family: "comic sans ms"; font-size: small;"><br /></span></span><br />
<span style="font-family: "comic sans ms"; font-size: small;"><span style="color: blue;"><br /></span></span>
<span style="font-family: "comic sans ms"; font-size: small;"><span style="color: blue;"><br /></span></span>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.youtube.com/embed/Mfglluny8Z0?feature=player_embedded' frameborder='0'></iframe></div>
<span style="color: black;"><span style="font-family: "comic sans ms"; font-size: small;"><br /></span></span>
<span style="font-family: "comic sans ms"; font-size: small;"> <span style="color: blue;"><b> " H επιπεδοχώρα" : Η ταινία.</b></span></span><br />
<span style="color: black;"><span style="font-size: small;"><br /></span></span>
<span style="color: black;"><span style="font-family: "comic sans ms"; font-size: small;"><br /></span></span>
<span style="color: black;"><span style="font-family: "comic sans ms"; font-size: small;">Το χάσμα λογοτεχνίας και μαθηματικών γεφυρώνεται με τον <span style="color: #cc0000;"><em>Γκιούλιβερ</em>,</span> τον διάσημο ήρωα του <strong>Τζόναθαν Σουίφτ</strong> (1667 - 1745) που σε ένα από τα ταξίδια του θα φτάσει στη Λαπούτα, ένα νησί που αιωρείται μεταξύ γης και ουρανού και που διοικείται από μαθηματικούς. Οι κάτοικοι του νησιού περνούν τον χρόνο τους ασχολούμενοι με τους τέσσερις κλάδους του Quadrivium, Γεωμετρία, Αριθμητική, Αστρονομία και Μουσική. Επίσης ο Γκιούλιβερ ταξιδεύει στη χώρα των λιλιπούτειων και των Μπρόμπντιγκναγκ. Η πρώτη χώρα αποτελείται από μικροσκοπικά πλάσματα, πενήντα φορές μικρότερα του Γκιούλιβερ, στη δε δεύτερη ο ήρωας είναι μικροσκοπικός σε μια χώρα γιγάντων. Αυτό το εύρημα της διατήρησης των ιδιοτήτων υπό κλίμακα που θα το «δανειστούν» στη συνέχεια και άλλοι συγγραφείς, όπως ο <strong>Βολταίρος</strong>, δεν είναι άσχετο ούτε με την πρόσφατη εφεύρεση και διάδοση των τηλεσκοπίων και των μικροσκοπίων ούτε κυρίως με την ανάπτυξη του <em>Απειροστικού Λογισμού</em>. Έχουμε δηλαδή για πρώτη φορά όχι απλή αναφορά στα <strong>Μαθηματικά</strong> αλλά διείσδυση αφηρημένων μαθηματικών εννοιών στην πλοκή και τα ευρήματα.</span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black;"><span style="font-family: "comic sans ms"; font-size: x-small;"></span></span><span style="color: black; font-size: small;">Αυτά τα τρία έργα θα μπορούσαν να θεωρηθούν οι πρόγονοι των σημερινών «διδακτικών» μυθιστορημάτων, ανάμεσα στα οποία εξέχουσα θέση κατέχουν αναμφίβολα <strong><span style="color: #990000;">το Θεώρημα του παπαγάλου (εκδ. Πόλις) του Ντενί Γκετζ</span> και το Φλάτερλαντ (εκδ. Π. Tραυλός) του Iαν Στιούαρτ</strong>. Το πρώτο έχει τη μορφή αστυνομικού μυθιστορήματος. Στην προσπάθειά τους να λύσουν το μυστήριο του «θανάτου» ενός φίλου τους οι ήρωες μελετούν τα βασικά προβλήματα που κυριάρχησαν στην ιστορία των μαθηματικών ανά τους αιώνες και βρίσκουν αναλογίες και ομοιότητες ανάμεσα στα μαθηματικά και το πρόβλημα που τους απασχολεί. Στην ίδια κατηγορία εντάσσονται και δυο ακόμη έργα του Γκετζ, <strong><span style="color: #990000;">το Επιχείρηση Μεσημβρία</span></strong> (εκδ. Π. Tραυλός) και <span style="color: #990000;"><strong>Τα μαλλιά της Βερενίκης</strong> </span><span style="color: black;">(</span>κυκλοφορεί προσεχώς από τις εκδόσεις Ψυχογιός). Το πρώτο περιγράφει τη μέτρηση του μεσημβρινού με τη μέθοδο του γεωδαιτικού τριγωνισμού που πραγματοποιήθηκε με απόφαση της επαναστατικής εθνοσυνέλευσης κατά τα πρώτα χρόνια της Γαλλικής Επανάστασης, ενώ το δεύτερο αφηγείται τη μέτρηση της περιφέρειας της Γης από τον Ερατοσθένη κατά τους ελληνιστικούς χρόνους</span><br />
<span style="color: black; font-size: small;">Μια δεύτερη υπο-κατηγορία έργων μαθηματικής λογοτεχνίας θα μπορούσε ίσως να περιγραφεί με τον όρο «βιωματική». Κεντρικός ήρωας αυτών των έργων είναι κάποιος μαθηματικός, μια προσωπικότητα που έχει επινοηθεί με βάση ένα ή περισσότερα υπαρκτά πρόσωπα. Η πλοκή στρέφεται γύρω από τα βιώματα, τα όνειρα και τις φιλοδοξίες αυτού του κεντρικού ήρωα και συνάμα επιχειρεί μια ανάλυση των ιδιαιτέρων χαρακτηριστικών που απορρέουν από την ιδιότητά του ως μαθηματικού. Παρόλο που ο ήρωας είναι φανταστικός, συχνά ελίσσεται σε πραγματικούς χώρους και συνδιαλέγεται με υπαρκτά, ιστορικά πρόσωπα.</span><br />
<span style="color: black; font-size: small;"><br />
<br />
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><strong><span style="color: black; font-size: small;"></span></strong></span><span style="color: blue; font-size: large;"><span style="color: black; font-size: small;"><strong>«ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΠΑΠΑΓΑΛΟΥ» </strong></span></span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black; font-size: small;"></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><span style="color: black; font-size: small;">του Ντενί Γκετζ. Αναθεωρημένη μετάφραση</span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><span style="color: black; font-size: small;"> του Τεύκρου Μιχαηλίδη</span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
Ο Θαλής συνέλαβε λοιπόν την ιδέα : η σχέση που έχω με τη σκιά μου , είναι η ίδια με αυτήν που έχει η πυραμίδα με τη δική της σκιά.Στη συνέχεια συμπέρανε : Τη στιγμή που η σκιά μου θα είναι ίση με το ύψος μου , η σκιά της πυραμίδας θα είναι ίση με το δικό της ύψος.Ιδού η Ιδέα. Για το εγχείρημα αυτό χρειαζόταν έναν βοηθό.Ο φελάχος δέχτηκε να βοηθήσει.Την άλλη μέρα ο φελάχος κάθισε κάτω από τη τεράστια σκιά της πυραμίδας.Ο Θαλής σχεδιάσε στην άμμο έναν κύκλο ίσο με το ύψος του και τοποθετήθηκε στο κέντρο και κορδώθηκε ώστε να είναι εντελώς ίσιος.Ύστερα κάρφωσε το βλέμμα του στην άκρη της σκιάς του.Μόλις η σκιά άγγιξε την άκρη του κύκλου , δηλαδή τη στιγμή που η σκιά του έγινε ίση με το ύψος του άφησε την προκαθορισμένη συνθηματική φωνή.Ο φελάχος που παραμόνευε έσπευσε να φυτέψει ένα πάσσαλο στο σημείο που έφτανε η άκρη της σκιάς της πυραμίδας.Ο Θαλής έτρεξε προς τον πάσσαλο.Με ένα τεντωμένο σχοινί από τη βάση της πυραμίδας μέχρι τον πάσσαλο μέτρησαν τη σκιά της πυραμίδας άρα και το ύψος της!<br />
<br />
<br />
Ο Θαλης έβαλε σε εφαρμογή ένα μεγαλοφυιές σχέδιο : Αφού δεν μπορώ να μετρήσω το ύψος που χάνεται στους ουρανούς , θα μετρήσω τη σκιά που είναι πεσμένη στο έδαφος. Με το "μικρό" θα μετρήσω το " μεγάλο" , με το "προσιτό " το "απρόσιτο" , με το " κοντινό" το " μακρινό".<br />
<br />
<br />
<span style="color: blue;"><b><i> Aπόσπασμα από το : "Θεώρημα του παπαγάλου" του Ντενί Γκετζ.</i></b></span><br />
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><span style="color: black; font-size: small;"><br />
Κορυφαίο σε αυτήν την κατηγορία έργο είναι χωρίς αμφιβολία <strong><span style="color: #990000;">Ο θείος Πέτρος και η εικασία του Γκόλντμπαχ (εκδ. Kαστανιώτης) του Απόστολου Δοξιάδη</span></strong>. Ο ήρωας του έργου, μαθηματικός Πέτρος Παπαχρήστου, μαθητής του (υπαρκτού) Κωνσταντίνου Καραθεοδωρή αφιερώνει τη ζωή του στη λύση ενός από τα δυσκολότερα προβλήματα που απασχολούν τους μαθηματικούς εδώ και τρεις αιώνες. Ανάλογου ύφους, αλλά πιο κοντά στο στυλ του λεγόμενου «campos novel» (πανεπιστημιακού μυθιστορήματος) είναι <strong><span style="color: #990000;">οι aγριοι Αριθμοί (εκδ. Πόλις) του Φίλιμπερτ Σογκτ</span>.</strong> Το βιβλίο περιελίσσεται γύρω από την κύρια αγωνία των σημερινών πανεπιστημιακών που κωδικοποιείται κάτω από τη φράση poblish or perish (δημοσιεύσεις ή θάνατος). Και τα δυο έργα αγγίζουν με πρωτότυπο τρόπο το δημοφιλές θέμα των ορίων ανάμεσα στην ιδιοφυΐα και την τρέλα.<br />
<br />
<strong>Δομική» μαθηματική λογοτεχνία</strong><br />
<strong></strong><br />
Μια τρίτη κατηγορία θα περιγράψουμε με τον όρο «δομική» μαθηματική λογοτεχνία. Είναι έργα που εκτός από τη θεματολογία τους συνυφαίνουν τα μαθηματικά και στη δομή τους. Eναν τέτοιο χαρακτηρισμό θα μπορούσαμε να αποδώσουμε και στα έργα του Μπόρχες, ωστόσο η ανάλυση του έργου του κορυφαίου Λατινοαμερικάνου συγγραφέα ξεφεύγει από τους στόχους αυτού του άρθρου. Το χαρακτηριστικότερο παράδειγμα αυτής της τρίτης κατηγορίας είναι το Βιβλίο Κόλαση (εκδ. Opera) του Κάρλο Φραμπέτι. Φυλακισμένος στα βάθη μιας κόλασης δομημένης σε κύκλους κατά το δαντικό πρότυπο, ο κεντρικός ήρωας πρέπει να φέρει σε πέρας τους άθλους που του αναθέτει ο φύλακας διάβολός του, νικώντας τον σε μαθηματική ευρηματικότητα. Ο αναγνώστης που έχει μαθηματικές γνώσεις θα τον παρακολουθήσει να ξεκινά από το παράδοξο του Ράσελ και τη θεμελίωση των συνόλων και σε κάθε νέο κύκλο να κατακτά κι από ένα νέο μαθηματικό σύνολο: τους φυσικούς, τους ακεραίους, τους ρητούς κ.ο.κ. Ωστόσο, η μαθηματική εξέλιξη, ευδιάκριτη για τον ειδικό, περνάει απαρατήρητη για τον «κοινό θνητό» που απλώς απολαμβάνει τη δομή χωρίς να συνειδητοποιεί τις ευθείες αναφορές στα συγκεκριμένα θεωρήματα<span style="color: black; font-size: small;">. </span><br />
<br />
<span style="font-size: small;"></span><i><strong><span style="color: #cc0000;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">Τούριγκ</span></span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">: </span></span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">Μαθή</span></span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">ατα αγάπη</span></span><span style="font-size: small;">ς</span></span></strong><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">, </span></span><span style="color: #cc0000;"><strong><span style="font-size: small;">του Χρίστου Παπαδη</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span></strong></span><span style="font-size: small;"><span style="color: #cc0000;"><strong>ητρίου</strong></span> αποτελεί </span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">ια συνεχή εναλλαγή ανά</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">εσα σε </span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">ια κλασσική ερωτική ιστορία</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">, μ</span></span><span style="font-size: small;">ια σειρά από </span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">αθή</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">ατα Μαθη</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">ατικών και Πληροφορικής κι ένα συναρπαστικό ταξίδι στον κόσ</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">ο της εικονικής </span><span style="font-size: small;">πραγ</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">ατικότητας</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">. </span></span></i></span></span><br />
<div align="justify">
</div>
<div align="justify">
<br /></div>
<div align="justify">
<span style="color: #cc0000; font-size: small;"><strong>Η </strong></span><i><strong><span style="color: #cc0000;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">Αρχή του ντ</span></span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">' </span></span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">Αλα</span></span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span></span></strong><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><strong><span style="color: #cc0000;">πέρ</span></strong> </span></span><strong><span style="color: #cc0000;"><span style="font-size: small;">του Άντριου Κρού</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span></span></strong><span style="font-size: small;"><strong><span style="color: #cc0000;">εϊ</span></strong> ξεκινά σαν </span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">ια </span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">υθιστορη</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">ατική βιογραφία κι εξελίσσεται σε </span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">ια περιδιάβαση στους πολλαπλούς κόσ</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">ους όπου η ευκλείδεια πραγ</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">ατικότητα εναλλάσσεται </span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">ε τον χωρόχρονο</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">, </span></span><span style="font-size: small;">την κβαντική πολλαπλότητα και την πλειότι</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">η λογική</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">. </span></span><span style="font-size: small;">Και τα δυο αυτά έργα έχουν στοιχεία και από τις τρεις κατηγορίες χωρίς να εντάσσονται πραγ</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">ατικά σε κα</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">ιά από αυτές</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">. </span></span><span style="font-size: small;"></span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">ε αυτή την περιδιάβαση </span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ' </span></span><span style="font-size: small;">ένα έργο που έχει ως θέ</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">α του τη σχέση των Μαθη</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">ατικών </span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">ε τη Λογοτεχνία</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">. </span></span><span style="font-size: small;"></span></i><br />
<br />
<i><span style="font-size: small;"><span style="color: #cc0000;"><strong>Το </strong></span></span><i><span style="color: #cc0000;"><strong><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">Τελευταίο παρα</span></span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span></strong></span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="color: #cc0000;"><strong>ύθι</strong></span> <span style="color: #cc0000;"><strong>του Μιγκέλ Τόρρες ντα Σίλβα</strong></span></span></span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="color: #cc0000;"><strong>, </strong></span></span></span><span style="color: #cc0000;"><strong><span style="font-size: small;">του Τό</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">ας Φόγκελ</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">. </span></span></strong></span><span style="font-size: small;">Ο ήρωας</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">, </span></span><span style="font-size: small;">εγγονός ενός ονο</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">αστού παρα</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">υθά</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">, </span></span><span style="font-size: small;">σπουδάζει ύστερα από προτροπή του παππού του</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">, </span></span><span style="font-size: small;">Μαθη</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">ατικά</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">. </span></span><span style="font-size: small;">Στην πορεία ανακαλύπτει ότι </span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">έσα από τα Μαθη</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">ατικά θα </span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">πορέσει ίσως να ολοκληρώσει το τελευταίο παρα</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">ύθι που πεθαίνοντας άφησε </span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">ισοτελειω</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">ένο ο παππούς του</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">. </span></span><span style="font-size: small;">Είναι ένα έργο ποιητικό που δίνει τη δική του εκδοχή πάνω στο ερώτη</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">α που θα </span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">πορούσε να είναι κεντρικό σ</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">' </span></span><span style="font-size: small;">αυτό το αφιέρω</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">α</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">. </span></span><span style="font-size: small;">Πώς </span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">πορούν να συ</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">βιβαστούν</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">, </span></span><span style="font-size: small;">να συνυπάρξουν</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">, </span></span><span style="font-size: small;">να αλληλεπιδράσουν ο ορθολογισ</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">ός και η αυστηρή αξιω</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">ατική παραγωγική διαδικασία των Μαθη</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">ατικών </span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">ε την α</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">φιση</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">ία</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">, </span></span><span style="font-size: small;">την υποκει</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">ενική ερ</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">ηνεία και το φανταστικό κόσ</span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">ο της </span><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;"><span style="font-family: "times new roman" , "times new roman"; font-size: small;">μ</span></span><span style="font-size: small;">υθοπλασίας.</span></i></i></div>
<div align="justify">
<br /></div>
<div align="justify">
<i><span style="font-size: medium;"></span><br />
<span style="color: blue;"><span style="font-size: large;"><strong>Ενδεικτικός κατάλογος μαθηματικής λογοτεχνίας</strong></span></span><br />
<br />
<span style="color: #990000; font-size: large;"><strong>Α. Δοξιάδης : Ο θείος Πέτρος και η εικασία του Γκόλντμπαχ.<br />
Μ. Αlic : Η κληρονομιά της Υπατίας<br />
G. Hardy : Η απολογία ενός μαθηματικού<br />
Ν Γκετζ : Το θεώρημα του παπαγάλου<br />
Α. Ναντώ : Η απολογία του μηδενός<br />
Χ. Παπαδημητρίου :Το χαμόγελο του Τούριγκ.<br />
Φ. Σκοτ : Οι άγριοι αριθμοί.<br />
Ο. Ελύτης : Ο μικρός Ναυτίλος<br />
Σ. Μπαλής : Μαθηματικά και ποίηση.<br />
Τ. Μιχαηλίδης : Πυθαγόρεια εγκλήματα.</strong></span><br />
<span style="color: #990000; font-size: large;"><strong><br />
</strong></span><img src="http://tefcrosmichaelides.files.wordpress.com/2009/10/pythagorean-crimes-cover-gr1.jpg" height="200" width="136" /> <img height="200" id="il_fi" src="https://4.bp.blogspot.com/_d96ILdze84M/SZsDWk4UEMI/AAAAAAAAA4E/A9GDCMhYO-s/s200/8ios+petros.jpg" style="padding-bottom: 8px; padding-right: 8px; padding-top: 8px;" width="135" /><br />
</i><br />
<div style="text-align: justify;">
<i><b style="text-align: start;"><i><span style="color: #990000; font-size: large;"><br /></span></i></b></i>
<i><b style="text-align: start;"><i><span style="color: #990000; font-size: large;">Πυθαγόρεια εγκλήματα: </span></i></b></i></div>
<div style="text-align: justify;">
<i><b style="text-align: start;"><i><span style="color: #990000; font-size: large;">Ευτυχής γάμος λογοτεχνίας- μαθηματικών</span></i></b></i></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<i> </i><br />
<br />
Ένα άκρως γοητευτικό μυθιστόρημα έδωσε ο Τεύκρος Μιχαηλίδης με τα «Πυθαγόρεια εγκλήματα», συνδυάζοντας τη λογοτεχνία με τα μαθηματικά και τον αυστηρό επιστημονικό λόγο με την ελευθερία της τέχνης και της αφήγησης. Σ’ ένα μαθηματικό συνέδριο του 1900, ο Μιχαήλ Ιγερινός γνωρίζει τον Στέφανο Κανταρτζή (αμφότεροι μαθηματικοί) και έκτοτε συνδέονται με βαθιά φιλία, παρά τη διαφορετική τους ταξική προέλευση (αστός και εύπορος ο πρώτος, λαϊκής καταγωγής ο δεύτερος). Σχεδόν τριάντα χρόνια αργότερα, ο δεύτερος βρίσκεται δολοφονημένος στο σπίτι του και ο πρώτος καλείται για την αναγνώριση. Εκεί ανακαλεί στο μυαλό του τον τρόπο της γνωριμίας, τον ενθουσιασμό τους και τις αντιγνωμίες τους για περίφημα μαθηματικά προβλήματα, τη ζωή τους στην πόλη-επίκεντρο της καλλιτεχνικής ζωής, το Παρίσι, αλλά και τις μετέπειτα παράλληλες πορείες τους (ο Ιγερινός «αποκαταστάθηκε» με μια κοπέλα της τάξης του και ανέλαβε την οικογενειακή επιχείρηση, ο Κανταρτζής εργαζόταν ως καθηγητής). Μόνο κοινό σημείο τους πια, το εβδομαδιαίο ραντεβού τους για σκάκι και τα μαθηματικά. Τα μαθηματικά που τελικά ήταν και η αιτία του εγκλήματος… Το πλέον γοητευτικό σημείο του μυθιστορήματος είναι ακριβώς αυτή η μίξη των μαθηματικών με την «κανονική» ζωή. Προβλήματα με αριθμούς ανάγονται σε διαφορετικό επίπεδο και, σε επίπεδο φιλοσοφίας, οδηγούν σε ανάλογη στάση ζωής. Το κλειδί άλλωστε του εγκλήματος έχει να κάνει με τα όρια της επιστήμης, κατά πόσο δηλαδή δικαιούται ο επιστήμονας να ανατρέπει ολικά παραδοχές και επιστημονική έρευνα αιώνων, απειλώντας ακόμα κι αυτή την «καθεστηκυία τάξη».<br />
<br />
Πηγή: www.in2life.gr<br />
<i><br /><br />
<br />
<strong><span style="color: blue; font-size: large;"> ΑΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ...</span></strong></i></div>
</div>
<em></em> <br />
<div align="justify">
Και ξαφνικά, κάπου στα μέσα της δεκαετίας του '90, κάποιοι παράξενοι τίτλοι άρχισαν να διεκδικούν μια θέση στις βιτρίνες των βιβλιοπωλείων: <strong>Ο θείος Πέτρος και η Εικασία του Γκόλντμπαχ</strong>, <strong>Το Θεώρημα του Παπαγάλου, Οι Άγριοι Αριθμοί</strong>.</div>
<div align="justify">
Έκπληκτοι εκδότες, βιβλιοπώλες, βιβλιοκριτικοί έγιναν μάρτυρες μιας άνευ προηγουμένου ανερχόμενης δημοφιλίας για βιβλία που, παρά το μυθοπλαστικό τους χαρακτήρα, έφεραν έντονα τη σφραγίδα του αρχέγονου σχολικού εφιάλτη: των μαθηματικών.</div>
<div align="justify">
Όσο για τους επαΐοντες της αφήγησης, έδειξαν κι αυτοί κάποιο σκεπτικισμό όσον αφορά στη σκοπιμότητα αλλά και το εφικτόν της ζεύξης του ορθολογισμού με τη φαντασία, του ηδυσμένου λόγου με την αφαίρεση και, σε τελευταία ανάλυση, της θεωρητικής προσέγγισης με την καθημερινή πράξη. </div>
<div align="justify">
Όμως το κοινό είχε άλλη άποψη. Χέρι με χέρι, στόμα με στόμα οι μαθηματικές ιστορίες άρχισαν να μπαίνουν σε όλα τα σπίτια, σ’ όλες τις βιβλιοθήκες και το πιο ενθαρρυντικό: σε πολλά νεανικά δωμάτια.</div>
<div align="justify">
Ο Χάρντι, ο Γκέντελ, ο Γκαλουά, ο Ραμάνουτζαν έλαβαν θέση δίπλα στη Σκάρλετ Ο’Χάρα, τον Ντάρσι και τον Μεγάλο Γκάτσμπι. Κάποιοι απ’ αυτούς ανέβηκαν και στη σκηνή, σημειώνοντας μάλιστα σημαντική επιτυχία. </div>
<div align="justify">
Βρισκόμαστε άραγε μπροστά στη γέννηση ενός νέου λογοτεχνικού γένους ή πρόκειται απλά για μια εφήμερη μόδα που θα ξεφτίσει ύστερα από λίγα χρόνια, αφήνοντας πίσω της μερικές εκατοντάδες τίτλους που σε λίγο δε θα τους θυμούνται ούτε οι σκληροί δίσκοι των υπολογιστών; Ή ακόμα, μήπως κάποια κλασικά λογοτεχνικά γένη, όπως το ιστορικό αφήγημα ή οι ιστορίες αναζήτησης, απλώς διεύρυναν τη θεματολογία τους και προς τα μαθηματικά; Το μέλλον θα δείξει. </div>
<div align="justify">
<br /></div>
<div align="justify">
Τεύκρος Μιχαηλίδης.</div>
<div align="justify">
<br /></div>
<div align="justify">
<br />
<br /></div>
<div align="justify">
<strong><em><span style="color: #990000;">Σαν επιδόρπιο δοκιμάστε τους μελίρρυτους καρπούς του Blog της Κατερίνας Καλφοπούλου που όπως λέει περιέχει : </span></em></strong><strong><em><span style="color: blue;">ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ-ΑΝΑΦΟΡΕΣ-ΚΡΙΤΙΚΕΣ-ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΕΙΣ βιβλίων που η θεματική τους άπτεται με τον έναν ή τον άλλον τρόπο με τον ευρύτερο χώρο των Μαθηματικών, της Λογοτεχνίας, της Φιλοσοφίας και όχι μόνο ... </span><span style="color: #990000;"> </span></em></strong><em><b><a href="http://mathandliterature.blogspot.com/2010/12/blog-post.html"><span style="color: #990000;">ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ + ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ</span></a></b></em></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<br />
<br />
<span style="color: blue;"><b>ΦΡΑΜΠΕΤΙ ΚΑΡΛΟ: ΚΑΤΑΡΑΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ</b></span><br />
<span style="color: blue;"><b> Περίληψη:</b></span><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
Η Αλίκη μισεί τα μαθηματικά και θεωρεί πως δε χρησιμεύουν σε τίποτα. Μια μέρα που κάθεται και διαβάζει στο πάρκο, ένα παράξενο άτομο την προσκαλεί να κάνουν μια βόλτα στη χώρα των αριθμών. Ο Λιούις Κάρολ αυτοπροσώπως ο συγγραφέας της Αλίκης στη χώρα των θαυμάτων γίνεται ο σύντροφός της σ ένα φανταστικό ταξίδι όπου η Αλίκη θα συναντήσει το τέρας του Λαβύρινθου, θα διασχίσει μια έρημο στρωμένη με κόκκους σιταριού, θα χωθεί σ ένα δάσος με δέντρα που αναπαριστούν αριθμούς, θα πιει το τσάι της με τον Τρελό Καπελά... Πρόκειται για ένα ταξίδι στη χώρα των μαθηματικών, όπου η κεντρική ηρωίδα (και, μαζί της, ο αναγνώστης) ανακαλύπτει (ή ξαναθυμάται) το λόγο ύπαρξης όλων των θεωριών που διαμορφώνουν αυτή τη θετική επιστήμη. «Πρώτοι αριθμοί», «εξισώσεις», «παράγοντες» και λοιπές «καταραμένες» έννοιες, μετατρέπονται σε γοητευτικές περιπέτειες της φαντασίας.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<span style="color: blue;"></span><br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: blue;"><b>Απόσπασμα.</b></span></div>
<span style="color: blue;">
</span><br />
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Σε τίποτα δε χρησιμεύουν τα μαθηματικά Η Αλίκη καθόταν σ’ ένα παγκάκι στο πάρκο, κοντά στο σπίτι της, μ’ ένα βιβλίο κι ένα τετράδιο στα πόδια, κι ένα στιλό στο χέρι. Έλαμπε ένας καταπληκτικός ήλιος στον ουρανό^ τα πουλιά, με τα τιτιβίσματά τους έφτιαχναν ένα κεφάτο πρωινό, αλλά το κορίτσι δεν ήταν στα κέφια του. «Καταραμένα μαθηματικά! Τι κάθομαι και χάνω τον καιρό μου μ’ αυτούς τους γελοίους υπολογισμούς αντί να παίζω ή να διαβάζω κανένα καλό βιβλίο με περιπέτειες» — γκρίνιαξε φωναχτά. «Σε τίποτα δε χρησιμεύουν τα μαθηματικά!» Λες και η αγανάκτησή της ήταν κάποιο μαγικό σύνθημα, πίσω από μια συστάδα θάμνων που βρίσκονταν κοντά στο παγκάκι της, ξεφύτρωσε ένας πολύ μυστήριος τύπος. Ήταν ένα ψιλόλιγνο άτομο, ένας ξερακιανός με μελαγχολική φάτσα και ντύσιμο παλιάς εποχής. Έμοιαζε βγαλμένος από κάποιο εικονογραφημένο βιβλίο του Ντίκενς, σαν εκείνα στο σπίτι της γιαγιάς της, σκέφτηκε η Αλίκη. «Άκουσα καλά, δεσποινίς; Μήπως είπες, μόλις τώρα, ότι τα μαθηματικά δε χρησιμεύουν σε τίποτα» ρώτησε ο άντρας με έκφραση ανησυχίας. «Ε ναι, αυτό είπα. Κι εσύ ποιος είσαι; Μήπως είσαι κανένας απ’ αυτούς που ενοχλούν τα κοριτσάκια στα πάρκα;...» «Εξαρτάται τι εννοείς μ’ αυτό το ``ενοχλούν’’. Αν τα μαθηματικά σε αηδιάζουν τόσο πολύ όσο δείχνουν τα χαζά σου παράπονα, τότε φυσικό είναι να σε ενοχλεί και η παρουσία ενός μαθηματικού.» «Μαθηματικός είσαι; Πιο πολύ μου μοιάζεις για ποιητής. Ξέρεις, εννοώ αυτούς που τριγυρνάνε στα πάρκα μαδώντας μαργαρίτες...» «Είμαι και ποιητής.» «Μπα; Για πες μου ένα ποίημα.» «Μπορεί αργότερα. Όταν συναντάει κανείς ένα ξεροκέφαλο κορίτσι που λέει ότι τα μαθηματικά δε χρησιμεύουν σε τίποτα, οφείλει, πρώτα πρώτα, να του δείξει το λάθος του. «Εγώ δεν είμαι ξεροκέφαλη» έβαλε τις φωνές η Αλίκη. «Και δεν πρόκειται να σε αφήσω να μου μιλήσεις για μαθηματικά» «Πολύ παράλογη αντίδραση, αν λάβει κανείς υπόψη του πόσο πολύ σε ενδιαφέρουν οι αριθμοί.» «Εμένα, οι αριθμοί; Ας γελάσω! Δε μ’ ενδιαφέρουν ούτε τόσο δα» απάντησε και έκλεισε τα δάχτυλά της, ώσπου ακούμπησε ο αντίχειρας στο δείκτη. «Τίποτα δεν ξέρω από μαθηματικά, κι ούτε που με κόφτει.» «Λάθος κάνεις. Ξέρεις πιο πολλά απ’ όσα νομίζεις. Για παράδειγμα, πόσων χρόνων είσαι; «Έντεκα.» «Και πέρσι, πόσο ήσουν;» «Αυτή κι αν είναι χαζή ερώτηση: δέκα, φυσικά.» «Τά ’δες; Ξέρεις να μετράς, κι αυτή είναι η βάση όλων των μαθηματικών. Μόλις είπες ότι δε χρησιμεύουν σε τίποτα, αλλά έκατσες καμιά φορά να σκεφτείς πώς θα ήταν ο κόσμος αν δεν είχαμε τους αριθμούς, αν δεν μπορούσαμε να μετρήσουμε;» «Σίγουρα, πιο διασκεδαστικός.» «Παραδείγματος χάριν, εσύ δε θα ’ξερες ότι είσαι έντεκα χρόνων. Κανείς δε θα το ’ξερε, κι έτσι, αντί να κάθεσαι να χαζεύεις στο πάρκο, στην καλύτερη περίπτωση, θα σ’ έστελναν να δουλεύεις σα να ’σουν καμιά μεγάλη.» «Εγώ, δε χαζεύω! Εγώ μελετάω μαθηματικά!» «Α, καταπληκτικό! Είναι πολύ καλό τα εντεκάχρονα κορίτσια να μελετούν μαθηματικά. Είσαι σίγουρη ότι ξέρεις πώς γράφεται ο αριθμός έντεκα;» «Φυσικά! Έτσι» απάντησε η Αλίκη, κι έγραψε 11 στο τετράδιό της. «Πολύ καλά. Και γιατί αυτά τα δύο κολλητά ``ένα’’ αντιπροσωπεύουν τον αριθμό έντεκα;» «Γιατί έτσι. Πάντα έτσι ήταν.» «Έχασες. Για τους αρχαίους Ρωμαίους, παραδείγματος χάριν, δύο κολλητά ένα δεν αντιπροσώπευαν τον αριθμό έντεκα αλλά τον αριθμό δύο» απάντησε ο άντρας και, πιάνοντας το μολύβι της Αλίκης, έγραψε ένα μεγάλο ΙΙ στο τετράδιο. «Αλήθεια είναι» αναγκάστηκε να παραδεχτεί εκείνη. «Στο σπίτι της γιαγιάς μου έχει ένα ρολόι απ’ τον καιρό των Ρωμαίων, κι έχει ένα δύο σαν κι αυτό.» «Κι αν το καλοσκεφτούμε φαίνεται πιο λογικό, δε νομίζεις;» «Γιατί;» «Αν βάλεις ένα μήλο δίπλα σ’ ένα άλλο μήλο έχεις δύο μήλα. Ή μήπως δεν είναι έτσι;» «Φυσικά.» «Κι αν βάλεις ένα ``ένα’’ δίπλα σ’ ένα άλλο ``ένα’’, έχεις δύο ``ένα’’, και δύο φορές ένα μας κάνει δύο.» «Αλήθεια είναι, ποτέ δεν το είχα προσέξει. Γιατί 11 σημαίνει έντεκα κι όχι δύο;» «Μου κάνεις μία ερώτηση μαθηματικών;» «Λοιπόν, υποθέτω πως ναι.» «Ναι, αλλά πάει ένα λεπτό που είπες πως δε θέλεις να σου μιλάω για μαθηματικά. Είσαι πολύ καπριτσιόζα. Όλο αλλάζεις γνώμη.» «Μόνο μια φορά άλλαξα γνώμη!» διαμαρτυρήθηκε η Αλίκη. «Άσε που δε θέλω να μου μιλήσεις για μαθηματικά, μόνο να μου εξηγήσεις αυτό με το έντεκα θέλω.» «Δε μπορώ να σου εξηγήσω μόνο αυτό με το έντεκα, γιατί στα μαθηματικά όλα τα πράγματα σχετίζονται μεταξύ τους. Όλα εξαρτώνται το ένα απ’ το άλλο, με μια λογική. Για να σου εξηγήσω γιατί ο αριθμός έντεκα γράφεται όπως γράφεται, θα ’πρεπε να σου διηγηθώ την ιστορία των αριθμών από την αρχή.» «Είναι πολύ μεγάλη;» «Φοβάμαι πως είναι.» «Δε μ’ αρέσουν οι πολύ μεγάλες ιστορίες. Όταν φτάνεις στο τέλος, έχεις ξεχάσει τι λέγανε στην αρχή.» «Καλά, αντί για την ιστορία των αριθμών αυτή καθαυτή, μπορώ να σου διηγηθώ ένα παραμύθι. Το ίδιο κάνει...»</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
</div>
Αλέξανδρος Μόσχοςhttp://www.blogger.com/profile/04357778829560813366noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7730717435979339231.post-7818420825947736232011-01-23T01:34:00.001-08:002021-02-23T04:07:03.089-08:00ΔΙΑΣΚΕΔΑΣΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<b><i><span style="color: blue; font-size: large;">" Τα μαθηματικά είναι ένα όμορφο και απολαυστικό παιχνίδι. Aπλά έχει δύσκολους κανόνες παιχνιδιού".</span></i></b><br />
<br />
<div style="border-bottom: medium none; border-color: initial; border-left: medium none; border-right: medium none; border-style: none; border-top: medium none; border-width: medium;">
<b><i><span style="color: blue; font-size: large;"> David Hilbert ( 1862 - 1943 ).</span></i></b></div>
<div style="border-bottom: medium none; border-color: initial; border-left: medium none; border-right: medium none; border-style: none; border-top: medium none; border-width: medium;">
<b><i><span style="color: blue; font-size: large;"> </span></i></b></div>
<div>
<br /></div>
<br />
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>Τα καθαρά Μαθηματικά είναι το καλύτερο παιχνίδι του κόσμου. Σε καθηλώνει πιο πολύ από το σκάκι, έχει μεγαλύτερο ρίσκο από το πόκερ και διαρκεί περισσότερο από τη Μονόπολη. Και είναι δωρεάν, μπορείς να το παίξεις παντού -ο Αρχιμήδης το έπαιζε στη μπανιέρα του.</b></span><br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><b><br /></b></span><span style="color: blue; font-size: large;"><b>Richard J. Trudeau</b></span><br />
<br />
<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<b><span style="color: #990000; font-size: large;">Εδώ περιέχονται μαθηματικοί γρίφοι , σπαζοκεφαλιές , παιχνίδια , αινίγματα ,έξυπνες κατασκευές , μαγικά τετράγωνα , σταυρόλεξα , sudoku, γεωμετρικές οφθαλμαπάτες , παράδοξα κ.α. </span></b><b><span style="color: #990000; font-size: large;">Αναδεικνύεται έτσι η διασκεδαστική και ψυχαγωγική όψη των μαθηματικών που μπορούν να γεμίσουν ευχάριστα τον ελεύθερο χρόνο μας. </span></b></div>
<div style="border-bottom: medium none; border-color: initial; border-left: medium none; border-right: medium none; border-style: none; border-top: medium none; border-width: medium; text-align: justify;">
<br />
<b><span style="font-size: large;"><i><u><span style="color: #990000;">Επιπλέον βέβαια προβλήματα , σπαζοκεφαλιές μπορείτε να βρείτε και στην ανάρτησή μας : </span><span style="color: blue;">"ΧΑΡΤΙ ΚΑΙ ΜΟΛΥΒΙ : Η ΑΣΚΗΣΗ ΤΗΣ ΗΜΕΡΑΣ ".</span></u></i></span></b></div>
<div style="border-bottom: medium none; border-color: initial; border-left: medium none; border-right: medium none; border-style: none; border-top: medium none; border-width: medium;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="text-align: left;"> </span></div>
</div>
<br />
<div style="border-bottom: medium none; border-color: initial; border-left: medium none; border-right: medium none; border-style: none; border-top: medium none; border-width: medium;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><b> </b></span><span style="color: blue; font-size: large;"><b><span style="color: #cc0000;">Ο ΜΑΓΙΚΟΣ ΚΟΣΜΟΣ ΤΩΝ ΟΦΘΑΛΜΑΠΑΤΩΝ</span></b></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div style="border-bottom: medium none; border-color: initial; border-left: medium none; border-right: medium none; border-style: none; border-top: medium none; border-width: medium;">
<br />
<div style="border-bottom: medium none; border-color: initial; border-left: medium none; border-right: medium none; border-style: none; border-top: medium none; border-width: medium;">
<br /></div>
<div style="border-bottom: medium none; border-color: initial; border-left: medium none; border-right: medium none; border-style: none; border-top: medium none; border-width: medium;">
<b><span style="color: blue; font-size: large;"><i>" Κάποιοι βλέπουν , κάποιοι βλέπουν μόνο αν τους δείξει κάποιος κάτι να δουν και κάποιοι δεν βλέπουν".</i></span></b></div>
<br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;"><i> Λεονάρντο Ντα Βίντσι.</i></span></b><br />
<br /></div><div style="border-bottom: medium none; border-color: initial; border-left: medium none; border-right: medium none; border-style: none; border-top: medium none; border-width: medium;"><br /></div>
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>1. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΨΕΥΔΑΙΣΘΗΣΗ</b></span><br />
<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
Οι κόκκινες γραμμές είναι ευθείες ή καμπύλες ; κι όμως είναι ευθείες. Διαπιστώθηκε ότι όταν ακτινωτές γραμμές περιβάλλονται από παράλληλες ευθείες , οι τελευταίες φαίνονται ως καμπύλες.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Παρόμοια ψευδαίσθηση και η παρακάτω :<br />
<br />
<img height="184" src="http://blogs.sch.gr/akouts/files/2008/07/055.jpg" width="320" /><br />
<br />
<br />
<br />
<br /></div>
<div style="text-align: justify;"><b><span style="font-size: large;"><span style="color: blue;">2. Γεωμετρικές</span><span style="color: blue;"> Πλάνες</span></span></b><br /></div>
<br />
<br />
<img alt="061.jpg" height="185" src="http://blogs.sch.gr/akouts/files/2008/07/061.jpg" width="320" /><br />
<br />
Γιατί στράβωσε το συρματόπλεγμα; Ή μήπως όχι.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<img height="200" src="http://blogs.sch.gr/akouts/files/2008/07/069.gif" width="200" /><br />
<br />
Οι πλευρές του τριγώνου μοιάζουν σαν να έχουν στραβώσει.<br />
<br />
<br />
<a href="http://blogs.sch.gr/akouts/files/2008/07/053.jpg" title="053.jpg"><br />
</a><br />
<br />
<img alt="068.gif" height="320" src="http://blogs.sch.gr/akouts/files/2008/07/068.gif" width="316" /><br />
<br />
Ποια από τις δύο κατακόρυφες γραμμές είναι μακρύτερη; Ή μήπως είναι ίσες;<br />
<br />
<br />
<br />
<a href="http://2.bp.blogspot.com/-BMelJzCY_Js/TZI1ZF8n9pI/AAAAAAAAEXs/lgp9tZvdQoU/s1600/Untitled.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://2.bp.blogspot.com/-BMelJzCY_Js/TZI1ZF8n9pI/AAAAAAAAEXs/lgp9tZvdQoU/s1600/Untitled.png" /></a><br />
<br />
Κι όμως τα ευθύγραμμα τμήματα είναι ίσα.<br />
<br />
<br />
<br />
<img height="237" src="http://blogs.sch.gr/akouts/files/2008/07/001.gif" width="320" /><br />
<br />
<span class="Apple-style-span"><span class="Apple-style-span">Μπορείτε να μετρήσετε τις μαύρες κουκκίδες;</span></span><br />
<br /><br />
<br />
<img height="184" src="http://blogs.sch.gr/akouts/files/2008/07/050.jpg" width="320" /><br />
<br />
Βλέπετε τους κύκλους; Στην πραγματικότητα δεν υπάρχουν. <br />
<br />
<br />
<br />
<div class="tabs" style="margin: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 0px; padding-right: 0px; padding-top: 0px; padding: 0px;">
</div>
<img height="125" src="http://blogs.sch.gr/akouts/files/2008/07/075.gif" width="200" /><br />
Μία μόνο απόχρωση του πράσινου υπάρχει!<br />
<br />
<br />
<br />
<img alt="033.gif" height="200" src="http://blogs.sch.gr/akouts/files/2008/07/033.gif" width="200" /><br />
<br />
Βλέπετε ένα σπιράλ; Κι όμως πρόκειται για ανεξάρτητους κύκλους. <br />
<br />
<br />
<br />
<img height="200" src="http://blogs.sch.gr/akouts/files/2008/07/073.gif" width="175" /><br />
<br />
Νομίζετε ότι στράβωσε ο κύκλος; Νομίζετε…<br />
<br />
<br />
<br />
<b><span style="font-size: large;"><span style="color: blue;">Πολλές από αυτές τις οφθαλμαπάτες αλλά και άλλες μπορείτε να βρείτε</span><span style="background-color: yellow; color: #e06666;"><a href="http://blogs.sch.gr/akouts/illusions/"> <span style="color: #cc0000;">εδώ</span></a></span></span></b><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<b><span style="font-size: large;"><span style="color: blue;"> 3</span><span style="color: blue;">. ΠΡΟΣΕΞΤΕ ΤΑ ΠΑΡΑΚΑΤΩ ΠΑΡΑΔΟΞΑ.</span></span></b><br />
<br /></div>
<div style="border: medium none;">
<br />
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><b> <span style="font-size: x-large;">ΔΙΦΟΡΟΥΜΕΝΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ</span></b></span><br />
<br />
Multistability, αντίληψη multistable ή κάποιες φορές αποδιδόμενη στα ελληνικά «δισταθής αντίληψη» είναι το φαινόμενο κατά το οποίο o ανθρώπινος <a href="http://indigoblue.gr/?p=2494">εγκέφαλος</a> μπορεί να έχει διφορούμενες, εναλλασσόμενες προσλήψεις ή εντυπώσεις από μία σταθερή εικόνα.<br />
<br />
Περίφημο παράδειγμα που περιλαμβάνεται σε πολλά εγχειρίδια τέχνης είναι το «βάζο του Rubin». Η εικόνα, μία από ένα σετ πολυμορφικών εικόνων που δημιούργησε το 1915 ο δανός ψυχολόγος Edgar Rubin για να εξηγήσει τους μηχανισμούς πολλαπλής πρόσληψης από τον εγκέφαλο, παρουσιάζει ένα οπτικό παιχνίδι διπλής εικόνας. Ο θεατής μπορεί να δει είτε ένα βάζο στο κέντρο της εικόνας είτε την παρουσία δύο ανθρώπινων προφίλ που σχηματίζονται δεξιά και αριστερά από το κεντρικό περίγραμμα του βάζου. <br />
<br />
<br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;">ΠΡΟΣΩΠΑ Η ΚΥΠΕΛΟ;</span></b><br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;"><br /></span></b>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://4.bp.blogspot.com/-fqzOUWrb9ug/Uu5pUBZNHBI/AAAAAAAAA4c/-qQJgZ7IEtQ/s1600/Rubin2forweb.gif" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="189" src="https://4.bp.blogspot.com/-fqzOUWrb9ug/Uu5pUBZNHBI/AAAAAAAAA4c/-qQJgZ7IEtQ/s1600/Rubin2forweb.gif" width="200" /></a></div>
<br />
<br />
<br />
<br />
<span style="color: blue; font-size: x-large;"><b><br /></b></span>
<span style="color: blue; font-size: x-large;"><b><br /></b></span>
<span style="color: blue; font-size: x-large;"><b><br /></b></span>
<br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;"><br /></span></b>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://3.bp.blogspot.com/--wegrzFljlM/Uu5p882qHKI/AAAAAAAAA4k/1BpZjojnUbk/s1600/Rubinforweb3-300x294.gif" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="196" src="https://3.bp.blogspot.com/--wegrzFljlM/Uu5p882qHKI/AAAAAAAAA4k/1BpZjojnUbk/s1600/Rubinforweb3-300x294.gif" width="200" /></a></div>
<b><span style="color: blue; font-size: large;"><br /></span></b>
<b><span style="color: blue; font-size: large;"><br /></span></b>
<b><span style="color: blue; font-size: large;"><br /></span></b>
<b><span style="color: blue; font-size: large;"><br /></span></b>
<b><span style="color: blue; font-size: large;"><br /></span></b>
<b><span style="color: blue; font-size: large;"><br /></span></b>
<b><span style="color: blue; font-size: large;"><br /></span></b>
<b><span style="color: blue; font-size: large;"><br /></span></b>
<b><span style="color: blue; font-size: large;"><br /></span></b>
<b><span style="color: blue; font-size: large;"><br /></span></b>
<b><span style="color: blue; font-size: large;">ΟΙ ΔΙΠΛΟΙ ΕΦΙΠΠΟΙ</span></b><br />
<br />
<img alt="[hrsmn.jpg]" border="0" height="200" src="https://3.bp.blogspot.com/_52hIIZBMqP8/Rt3tTfF-UFI/AAAAAAAAALw/GqLqvz6jA0k/s200/hrsmn.jpg" width="189" /><br />
<span style="color: blue; font-size: x-large;"><b><br /></b></span>
<span style="color: blue; font-size: x-large;"><b><br /></b></span>
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>ΙΝΔΙΑΝΟΣ Η ΕΣΚΙΜΩΟΣ;</b></span><br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><b><br /></b></span>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://2.bp.blogspot.com/-ECc4dI2UbKE/Uu5vVwa1BHI/AAAAAAAAA5Q/IHqxRFlfjtg/s1600/%CE%99%CE%BD%CE%B4%CE%B9%CE%AC%CE%BD%CE%BF%CF%82+%CE%B7+%CE%B5%CF%83%CE%BA%CE%B9%CE%BC%CF%8E%CE%BF%CF%82;.jpg" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="200" src="https://2.bp.blogspot.com/-ECc4dI2UbKE/Uu5vVwa1BHI/AAAAAAAAA5Q/IHqxRFlfjtg/s1600/%CE%99%CE%BD%CE%B4%CE%B9%CE%AC%CE%BD%CE%BF%CF%82+%CE%B7+%CE%B5%CF%83%CE%BA%CE%B9%CE%BC%CF%8E%CE%BF%CF%82;.jpg" width="137" /></a></div>
<span style="color: blue; font-size: x-large;"><b><br /></b></span>
<span style="color: blue; font-size: x-large;"><b><br /></b></span>
<span style="color: blue; font-size: x-large;"><b><br /></b></span><br />
<span style="color: blue; font-size: x-large;"><b><br /></b></span>
<span style="color: blue; font-size: x-large;"><b><br /></b></span>
<span style="color: blue; font-size: x-large;"><b><br /></b></span>
<span style="color: blue; font-size: x-large;"><b><br /></b></span>
<span style="color: blue; font-size: x-large;"><b>ΑΔΥΝΑΤΑ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΑ</b></span><br />
<br />
<br />
Είναι δυνατόν να βλέπουμε κάτι άλλο από αυτό που υπάρχει πραγματικά;Υπάρχει τρόπος να εξαπατηθούν τα μάτια μας; Ή ο εγκέφαλός μας; Ο κόσμος της οφθαλμαπάτης έχει αμφισβητηθεί πολλές φορές, αποτελεί όμως ένα ευχάριστο παιχνίδι του μυαλού.<a href="https://www.blogger.com/blogger.g?blogID=7730717435979339231"></a><br />
<br />
Διάβαζε και ας σου φανεί παράξενο.<br />
<br />
Σωφνυμα με μετελη Αγκιλγου Πεπανησιμοτυ η σριεα των γωραματμν σε μια λξεη δεν εεχι σαιμησα ατυο που μρετα εαινι το πωτρο και το τλευτιαεο γμαρμα. Τα υλιοποπα μοπορυν να εαινι σε οηπιδτοε σριεα και μεριπος αοκμα να δαεζιαβις χριως πβηρλμοα.<br />
<br />
Ο ψυχίατρος κος Θ. Δασκαλόπουλος αναφέρει: “φαίνεται πως ο οφθαλμός από την οπτική σάρωση του κειμένου , μεταδίδει στον εγκέφαλο , ολόκληρα πακέτα πληροφορίας για κάθε λέξη και όχι για κάθε γράμμα ξεχωριστά.”<br />
<br />
Δείτε για παράδειγμα την παρακάτω λέξη:<br />
τλευτιαεο</div>
<div style="border: medium none;">
Δύσκολα αντιλαμβάνεται κανείς τι σημαίνει. Παρόλο που χωρίς δυσκολίες την διαβάσατε πριν στο κείμενο, έξω από αυτό και μόνη της , δεν γίνεται αντιληπτή. Τα συμφραζόμενα είναι που δίνουν την κατανόηση.<br />
Πράγματι υπάρχουν πολλές γλώσσες και σήμερα , που αφήνουν τα σύμβολα του γραπτού λόγου να ταιριάζουν , μέσα στο νου μας , στη σωστή έννοια. <br />
<div class="MsoNormal" style="color: #444444; font-family: Verdana, "BitStream vera Sans", Helvetica, sans-serif; font-size: 12px; line-height: 17px; margin: 0px; padding: 0px;">
<br /></div>
<br />
α) Αντικείμενα που δεν υπάρχουν<br />
Τα αδύνατα σχήματα είναι η αγαπημένη κατηγορία των ζωγράφων. Τα σχέδια ξεφεύγουν από την πραγματικότητα και μας οδηγούν σε ανύπαρκτους κόσμους. Ο Oscar Rentersvard θεωρείται ο πατέρας των αδύνατων σχημάτων. Έχει δημιουργήσει κατά τη διάρκεια της ζωής του χιλιάδες τέτοια σχήματα , όπως το αδύνατο τρίγωνο , η αδύνατη σκάλα κ.α. <b><span style="color: blue; font-size: x-large;"></span></b><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://1.bp.blogspot.com/-3zWsidl6PVM/Uu5qn9F0rjI/AAAAAAAAA40/fr1cQ0_S6yI/s1600/kubik.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="200" src="https://1.bp.blogspot.com/-3zWsidl6PVM/Uu5qn9F0rjI/AAAAAAAAA40/fr1cQ0_S6yI/s1600/kubik.jpg" width="193" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://3.bp.blogspot.com/-uYX1W4Y0T_g/Uu5rD4JUsOI/AAAAAAAAA48/mEBoetMAHL4/s1600/stairs6.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="134" src="https://3.bp.blogspot.com/-uYX1W4Y0T_g/Uu5rD4JUsOI/AAAAAAAAA48/mEBoetMAHL4/s1600/stairs6.jpg" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div style="border-bottom: medium none; border-color: initial; border-left: medium none; border-right: medium none; border-style: none; border-top: medium none; border-width: medium;">
</div>
<div style="border-bottom: medium none; border-color: initial; border-left: medium none; border-right: medium none; border-style: none; border-top: medium none; border-width: medium;">
<div style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;">
<img alt="[LW439.jpg]" border="0" height="320" src="https://1.bp.blogspot.com/_52hIIZBMqP8/Rt3u0_F-UHI/AAAAAAAAAMA/rDRkb-HZBRs/s320/LW439.jpg" width="240" /></div>
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<br />
O "<a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Waterfall_%28M._C._Escher%29">Καταρράκτης</a>" του <a href="http://www.mcescher.com/">Μάοριτς Κορνέλις Έσερ </a>είναι ένα σκίτσο που δείχνει ένα κανάλι νερού που οδηγείται σε ένα μικρό καταρράκτη. Το νερό πέφτει σε ένα νερόμυλο που βρίσκεται στο επίπεδο από όπου ξεκινά το κανάλι. Όπως καταλαβαίνεις, είναι μια εικόνα αδύνατη, να την κοιτάς και να ζαλίζεσαι, όπως όλες οι εικόνες του Έσερ που έχεις δει κρεμασμένες σε τοίχους φοιτητικών δωματίων.<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://1.bp.blogspot.com/-rG9N1-fHG9o/Uu5uy3fvzTI/AAAAAAAAA5I/D-7lu-Xhr3E/s1600/esher2.ico.gif" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="320" src="https://1.bp.blogspot.com/-rG9N1-fHG9o/Uu5uy3fvzTI/AAAAAAAAA5I/D-7lu-Xhr3E/s1600/esher2.ico.gif" width="212" /></a></div>
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<a href="https://1.bp.blogspot.com/_52hIIZBMqP8/Rt3vj_F-UII/AAAAAAAAAMI/7SMUqQQ3il8/s320/LW441.jpg" style="margin-bottom: 10px; margin-left: auto; margin-right: auto;"><img alt="" border="0" height="208" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5106500954018959490" src="https://1.bp.blogspot.com/_52hIIZBMqP8/Rt3vj_F-UII/AAAAAAAAAMI/7SMUqQQ3il8/s320/LW441.jpg" style="display: block; margin-top: 0px; text-align: center;" width="320" /></a></div>
<br />
<br />
<br />
Η ταινία Μέμπιους είναι μια επιφάνεια που έχει μόνο μία πλευρά αλλά είναι δυνατόν να τη διατρέξει κανείς σε όλο της το μήκος έχοντας την αίσθηση ότι αλλάζει μεριά (κάτι που γίνεται εμφανές και στο σχέδιο του Escher – τα μυρμήγκια βοηθούν σε αυτό). <a href="http://news.kathimerini.gr/4dcgi/_w_articles_world_1_17/07/2007_234593"><span style="color: #0066cc;">Εύκολα μπορεί κάποιος να φτιάξει αυτό το σχήμα ακόμη και με ένα μακρύ κομμάτι χαρτί του οποίου θα περιστρέψει το ένα άκρο κατά 180 μοίρες και ύστερα θα ενώσει τις άκρες του φτιάχνοντας ένα ενιαίο, συνεχές κομμάτι.</span></a> <b>Δεν είναι τυχαίο που το σχήμα της ταινίας του Μέμπιους θυμίζει το μαθηματικό σύμβολο του απείρου.</b> Τα μυρμήγκια της εικόνας θα μπορούσαν να προχωρούν για πάντα και να παρέμεναν μονίμως στην ίδια μεριά.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;"> ΕΝΑ ΠΑΝΑΡΧΑΙΟ ΚΙΝΕΖΙΚΟ ΠΑΙΧΝΙΔΙ </span></b><br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;"> ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΠΑΖΛ.</span></b><br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;"> ( ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΟΦΘΑΛΜΑΠΑΤΗ )</span></b><br />
<br />
<br />
<br />
<center>
<b><span style="color: #cc0000;">Tangram...</span></b></center>
<span style="color: black;"><small></small></span><br />
<br />
<div align="justify">
<b>Το Tangram είναι ένα πολύ παλιό παιχνίδι που επινοήθηκε στην Κίνα γύρω στο 740 π.Χ. Από εκεί εξαπλώθηκε σε όλη την ανατολή και απέκτησε πολλούς φανατικούς φίλους. Λέγεται ότι ακόμα και ο Ναπολέων Βοναπάρτης έπαιζε Tangram με πάθος.</b></div>
<div align="justify">
Για να παίξετε, αφού εκτυπώσετε το διπλαν'ο τετράγωνο, κόψτε το περιμετρικά και μετά κατά μήκος της λευκής γραμμής έτσι ώστε να δημιουργηθούν:</div>
<span style="color: red;">•</span> Δύο μεγάλα ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα.<br />
<span style="color: red;">•</span> Ένα μεσαίο ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο.<br />
<span style="color: red;">•</span> Δύο μικρά ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα.<br />
<span style="color: red;">•</span> Ένα τετράγωνο.<br />
<span style="color: red;">•</span> Και ένα πλάγιο παραλληλόγραμμο. <br />
<br />
Με αυτά τα 7 γεωμετρικά σχήματα προσπαθήστε να φτιάξετε τα αντικείμενα που βλέπεται παρακάτω. Κανόνας του παιχνιδιού είναι τα κομμάτια να τοποθετούνται το ένα δίπλα στο άλλο ώστε να εφάπτονται οι πλευρές τους και όχι το ένα να καλύπτει μέρος του άλλου.<br />
<br />
<div style="border-bottom: medium none; border-color: initial; border-left: medium none; border-right: medium none; border-style: none; border-top: medium none; border-width: medium;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div style="border-bottom: medium none; border-color: initial; border-left: medium none; border-right: medium none; border-style: none; border-top: medium none; border-width: medium;">
<a href="http://static.photaki.com/Bird--tangram-131704.jpg" style="clear: right; cssfloat: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"></a><img height="200" id="il_fi" src="http://www.clker.com/cliparts/9/0/b/4/1195422700994546446tangram-09_yves_guillou_01.svg.hi.png" style="padding-bottom: 8px; padding-right: 8px; padding-top: 8px;" width="183" /> </div>
</div>
<br />
<div align="justify">
<span style="color: blue;"><b>Μπορείτε να παίξετε ηλεκτρονικά και on-line τάγκραμ <a href="http://www.freeonlinepcgames.net/el/play/tangram-classic-tangram-puzzle-where-you-have-to/flash-game/"><span style="background-color: yellow; color: #cc0000;"> εδώ :</span></a><span style="background-color: white;"> κι <a href="http://games.ztor.com/tang/"><span style="background-color: yellow; color: #cc0000;">εδώ</span></a></span></b></span></div>
<h1>
<span style="color: blue;"></span><span style="font-size: large;"></span> </h1>
<h1>
<span style="font-size: large;"> <span style="color: blue;">ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΤΕΣΣΑΡΩΝ ΧΡΩΜΑΤΩΝ</span></span></h1>
<br />
<span style="font-size: large;"><b><i>Ορισμός του προβλήματος…</i></b></span><br />
<br />
<span lang="ZH-TW" style="font-family: "wingdings" , "wingdings";"><span lang="ZH-TW" style="font-family: "wingdings" , "wingdings";"> </span></span><span style="font-family: "constantia" , "constantia";"><span style="font-family: "constantia" , "constantia";">Οποιαδόποτε επιφάνεια που χωρίζεται σε περιοχές, όπως ένας πολιτικός χάρτης των νομών ενός κράτους, μπορούν να χρωματιστούν χρησιμοποιώντας λιγότερα από τέσσερα χρώματα κατά τέτοιο τρόπο ώστε καμία από δύο </span></span><b><span style="font-family: "constantia" , "constantia";"><span style="font-family: "constantia" , "constantia";">παρακείμενες περιοχές να μην έχουν το ίδιο χρώμα</span></span></b><span style="font-family: "constantia" , "constantia";"><span style="font-family: "constantia" , "constantia";">.</span></span><span lang="ZH-TW" style="font-family: "wingdings" , "wingdings";"><span lang="ZH-TW" style="font-family: "wingdings" , "wingdings";"> </span></span><span style="font-family: "constantia" , "constantia";"><span style="font-family: "constantia" , "constantia";"> ήταν το </span></span><b><span style="font-family: "constantia" , "constantia";"><span style="font-family: "constantia" , "constantia";">πρώτο σ</span></span></b><span style="font-family: "constantia" , "constantia";"><span style="font-family: "constantia" , "constantia";">ημαντικό θεώρημα που αποδεικνύεται, χρησιμοποιώντας </span></span><b><span style="font-family: "constantia" , "constantia";"><span style="font-family: "constantia" , "constantia";">υπολογιστή</span></span></b><span style="font-family: "constantia" , "constantia";"><span style="font-family: "constantia" , "constantia";">, και η απόδειξη δεν είναι αποδεκτή από όλους τους μαθηματικούς επειδή θα ήταν αδύνατον για έναν άνθρωπο να το ελέγξει με το χέρι.</span></span><br />
<br />
<b>Ιστορικά…</b><br />
<br />
<span lang="ZH-TW" style="font-family: "wingdings" , "wingdings";"><span lang="ZH-TW" style="font-family: "wingdings" , "wingdings";"> </span></span><span style="font-family: "constantia" , "constantia";"><span style="font-family: "constantia" , "constantia";">Η υπόθεση προτάθηκε αρχικά το 1852, όταν ο φοιτητής Francis Guthrie προσπαθούσε να χρωματίσει το χάρτη των περιφερειών της Αγγλίας.</span></span><span style="font-size: large;"><span style="font-size: small;">Στα 1976 το θεώρημα των 4 χρωμάτων αποδείχθηκε τελικά από τον Kenneth Appel και Wolfgang Haken από το πανεπιστήμιο του Ιλλινόις . Βοηθήθηκαν από τον John Koch και τον υπολογιστή του (επί 1200 ώρες). </span> <b> </b></span><br />
<br />
<span onmouseout="_tipoff()" onmouseover="_tipon(this)"> </span> <br />
<div>
<img height="199" src="http://people.math.gatech.edu/~thomas/FC/usa.gif" width="320" /><br />
<br />
<div>
<br />
<br />
<br />
<span style="color: blue;"><b> <span style="font-size: large;"> ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΠΙΤΣΑΣ.</span></b></span><br />
<span style="font-size: large;"><br />
</span><br />
<img height="200" src="https://4.bp.blogspot.com/_ME2ypSPcjO4/TE6QIbxO9zI/AAAAAAAAAJM/RLE78086daI/s200/pizza.gif" width="181" /><br />
<br />
<div style="font-family: Verdana, sans-serif;">
</div>
<div style="font-family: Verdana, sans-serif;">
<span style="font-size: small;">Αν έχουν στραβοκόψει την πίτσα σας, πώς θα ξέρετε ποιος από τους συνδαιτυμόνες έχει φάει περισσότερο; Ενα τέτοιο πρόβλημα δεν απασχολεί μόνο τους πεινασμένους, αλλά και τους μαθηματικούς που διατύπωσαν- ύστερα από πολλές περιπέτειες- το περίφημο «θεώρημα της πίτσας».</span></div>
<div style="font-family: Verdana, sans-serif;">
<i><span style="font-size: small;">ΤΟΥ STEPHEN ORNES</span></i></div>
<div style="font-family: Verdana, sans-serif;">
</div>
<div style="font-family: Verdana, sans-serif;">
<i><span style="font-size: small;">Η σπαζοκεφαλιά ...</span></i></div>
<div style="font-family: Verdana, sans-serif;">
</div>
<div style="font-family: Verdana, sans-serif;">
<div style="font-family: Verdana, sans-serif;">
<span style="font-size: small;">Το πρόβλημα που τους απασχολούσε ήταν το εξής: ας υποθέσουμε ότι στη βιασύνη του ο σερβιτόρος...</span></div>
<a href="http://www.blogger.com/" name="more"></a><br />
<div style="font-family: Verdana, sans-serif;">
<span style="font-size: small;">κόβει την πίτσα εκτός κέντρου, με όλες τις τομές να διασταυρώνονται σε ένα σημείο σχηματίζοντας ίσες γωνίες με τη γειτονική τους. Οι εκτός κέντρου τομές σημαίνουν ότι τα κομμάτια δεν θα έχουν το ίδιο μέγεθος. Επομένως δύο άτομα που παίρνουν εναλλάξ διαδοχικά κομμάτια, θα έχουν φάει ίσα μερίδια όταν τελειώσει η πίτσα και, αν όχι, ποιος θα έχει φάει περισσότερο;</span></div>
</div>
<div style="font-family: Verdana, sans-serif;">
<span style="font-size: small;">Οπως συμβαίνει με πολλές μαθηματικές σπαζοκεφαλιές, η απάντηση ήρθε σε στάδια- για διαφορετικές κάθε φορά πιθανές περιπτώσεις του προβλήματος. Η ευκολότερη προσφέρεται όταν τουλάχιστον μία τομή περνάει από το κέντρο της πίτσας: ένα γρήγορο σχήμα μπορεί να δείξει ότι στην περίπτωση αυτή τα αντιδιαμετρικά κομμάτια είναι συμπληρωματικά μεταξύ τους οπότε μοιράζονται ίσα ανάμεσα στους δύο συνδαιτυμόνες, ανεξάρτητα από το πόσες είναι οι τομές.</span><br />
<br />
<b>Διαβάστε περισσότερα <span style="background-color: yellow; color: #cc0000;"><a href="http://zitoumeno.blogspot.com/2010/07/blog-post_27.html">εδώ </a></span></b></div>
<span style="font-size: small;"><br />
</span><br />
<div style="font-family: Verdana, sans-serif;">
<br /></div>
<br /></div>
<br />
<span style="color: blue; font-size: x-large;"><b>MAΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΟΞΑ</b></span><br />
<br />
<br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;">1. Ο Αχιλλέας και η χελώνα ( παράδοξο του Ζήνωνα).</span></b><br />
<br />
Ο Ζήνωνας, αρχαίος Έλληνας μαθηματικός και φιλόσοφος, είχε θέσει κάποια μαθηματικά παράδοξα που ταλαιπώρησαν τους μαθηματικούς των επόμενων αιώνων στην προσπάθειά τους να δώσουν μια «επιστημονικά σωστή» λύση.<br />
Όπως για παράδειγμα το παράδοξο του Αχιλλέα με τη χελώνα που τρέχουν σ' ένα δρόμο ταχύτητας. Ο Ζήνωνας υποστήριξε ότι, ποτέ ο Αχιλλέας δεν θα καταφέρει να ξεπεράσει την προπορευόμενη χελώνα! Kάθε φορά που o Aχιλλέας θα φτάνει στο σημείο που βρίσκονταν πριν από λίγο η χελώνα, αυτή θα έχει ήδη προχωρήσει (έστω και) λίγο πιο μπροστά… Έτσι αν και ο γοργοπόδαρος Αχιλλέας θα μειώνει συνεχώς την απόσταση απ' την προπορευόμενη χελώνα, ποτέ δεν θα την ξεπεράσει!!!<br />
Παράδοξο που οδηγεί στον απειροστικό λογισμό, όπως και ένα παρόμοιό του, σύμφωνα με το οποίο, ούτε ο Αχιλλέας, αλλά ούτε και η χελώνα θα τερματίσουν ποτέ! Γιατί;<br />
Για να τερματίσουν θα πρέπει πρώτα να φτάσουν στο μέσο της διαδρομής. Όταν φτάσουν στο μέσο θα πρέπει να διανύσουν το πρώτο μισό του εναπομείναντος διαστήματος. Και φυσικά όταν θα το κάνουν αυτό θα πρέπει και πάλι να διανύσουν το επόμενο πρώτο μισό. Και αυτό θα συνεχίζεται επ' άπειρον.<br />
<br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;">Κι άλλα παράδοξα του Ζήνωνα : </span><a href="http://www.math.uoa.gr/web/activ/magaz/teyxos3/thema7.html"><span style="background-color: yellow; color: #cc0000; font-size: large;">εδώ </span></a></b><br />
<br />
<br />
<br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;">2. Παράδοξο του κουρέα (παράδοξο του Ράσσελ).</span></b><br />
<br />
<b>1η διατύπωση</b><br />
Διατυπώνεται ως εξής: “Σε μια χώρα που όλοι οι άντρες είναι καθημερινά ξυρισμένοι, υπάρχει ένας μόνο κουρέας. Αυτός ξυρίζει όλους τους άντρες που δεν ξυρίζονται μόνοι τους. Τότε όμως ποιος ξυρίζει τον κουρέα;”. Αναλύοντας το πρόβλημα με τη βοήθεια της Θεωρίας των Συνόλων, είναι σαφές ότι στη χώρα υπάρχουν το σύνολο εκείνων που ξυρίζονται μόνοι τους και το σύνολο εκείνων που ξυρίζονται στον κουρέα. Ο κουρέας ξυρίζεται μόνος του;<br />
Αδύνατον, αφού ξυρίζει όλους τους άντρες που δεν ξυρίζονται μόνοι τους. Τον ξυρίζει κάποιος άλλος; Όχι, γιατί ο κουρέας ξυρίζει όλους όσοι δεν ξυρίζονται μόνοι τους. Βρισκόμαστε εδώ μπροστά σ’ ένα παράδοξο. Σύμφωνα με τον Ράσελ, για να το ξεπεράσουμε πρέπει να διορθώσουμε τη δική μας λανθασμένη αντίληψη ότι για κάθε ιδιότητα πρέπει οπωσδήποτε να υπάρχει ένα σύνολο. Σ’ αυτή την περίπτωση δε δημιουργείται κανένα ομοιογενές σύνολο.<br />
<br />
<br />
<b>2η διατύπωση</b><br />
Σε ένα χωριό όπου υπάρχει ένας κουρέας οι μισοί άντρες ξυρίζονται στον κουρέα και οι άλλοι μισοί ξυρίζονται μόνοι τους .<b> Ο κουρέας σε ποιά από τις δύο ομάδες ανήκει , σε αυτούς που ξυρίζονται μόνοι τους ή σε αυτούς που τους ξυρίζει ο κουρέας;</b><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;">3. Το παράδοξο των αλόγων ( όλα τα άλογα έχουν το ίδιο χρώμα)</span></b><br />
<br />
Υποθέστε ότι έχουμε ένα σύνολο 5 αλόγων. Επιθυμούμε να αποδείξουμε ότι είναι όλο το ίδιο χρώμα. Υποθέστε ότι είχαμε μια απόδειξη ότι όλα τα σύνολα 4 αλόγων ήταν το ίδιο χρώμα. Εάν αυτός ίσχυε, θα μπορούσαμε να αποδείξουμε ότι και τα πέντε άλογα είναι το ίδιο χρώμα με τη διαίρεση των αλόγων σε δύο επικαλύπτοντας ομάδες τεσσάρων αλόγων κάθε ένα. Από την υποτιθέμενη υπάρχουσα απόδειξή μας, δεδομένου ότι αυτές είναι ομάδες 4, όλα τα άλογα σε τα πρέπει να είναι το ίδιο χρώμα. Παραδείγματος χάριν, ο πρώτος, το δευτερόλεπτο, τρίτα και τέταρτα τα άλογα αποτελούν μια ομάδα τεσσάρων, και πρέπει έτσι όλα να είναι το ίδιο χρώμα και τα δεύτερα, τρίτα, τέταρτα και πέμπτα άλογα αποτελούν επίσης μια ομάδα τεσσάρων και πρέπει έτσι επίσης όλα να είναι το ίδιο χρώμα. Για αυτό για να εμφανιστεί, και τα πέντε άλογα στην ομάδα των 5 πρέπει να είναι το ίδιο χρώμα.<br />
Αλλά πώς είμαστε για να πάρουμε μια απόδειξη ότι όλα τα σύνολα 4 αλόγων είναι το ίδιο χρώμα; Εφαρμόζουμε την ίδια λογική πάλι. Με την ίδια διαδικασία, μια ομάδα 4 αλόγων θα μπορούσε να αναλυθεί στις ομάδες 3, και έπειτα μια ομάδα 3 αλόγων θα μπορούσε να αναλυθεί στις ομάδες 2, et ainsi de suite και τα λοιπά. Τελικά θα φθάσουμε σε ένα μέγεθος ομάδας 1, και είναι προφανές ότι όλα τα άλογα σε μια ομάδα 1 αλόγου πρέπει να είναι το ίδιο χρώμα.<br />
Από την ίδια λογική μπορούμε επίσης να αυξήσουμε το μέγεθος ομάδας. Μια ομάδα 5 αλόγων μπορεί να αυξηθεί σε μια ομάδα 6, et ainsi de suite και τα λοιπά ανοδική, έτσι ώστε όλες οι πεπερασμένες μεγέθους ομάδες αλόγων πρέπει να είναι το ίδιο χρώμα.<br />
<a href="http://www.blogger.com/" id="Explanation" name="Explanation"></a><br />
<h2>
<span class="mw-headline">Εξήγηση</span></h2>
Το επιχείρημα κάνει ανωτέρω την υπονοούμενη υπόθεση ότι τα δύο <a href="http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/el/Subset" title="Υποσύνολο">υποσύνολα</a> από τα άλογα στα οποία η υπόθεση επαγωγής εφαρμόζεται έχει ένα κοινό στοιχείο. Αυτό δεν ισχύει όταν <i>ν</i> = 1, δηλαδή όταν περιέχει μόνο το αρχικό σύνολο 2 άλογα.<br />
Πράγματι, αφήστε τα δύο άλογα να είναι άλογο Α και άλογο Β. Όταν το άλογο Α απομακρύνεται, είναι αλήθεια ότι τα άλογα παραμονής στο σύνολο είναι το ίδιο χρώμα (μόνο το άλογο Β παραμένει). Εάν το άλογο Β απομακρύνεται αντ' αυτού, αυτό αφήνει ένα διαφορετικό σύνολο μόνο το άλογο Α, το οποίο μπορεί ή δεν να είναι το ίδιο χρώμα με το άλογο Β.<br />
Το πρόβλημα στο επιχείρημα είναι η υπόθεση ότι επειδή καθένα σύνολα περιέχουν μόνο ένα χρώμα των αλόγων, το αρχικό σύνολο περιείχε επίσης μόνο ένα χρώμα των αλόγων. Επειδή δεν υπάρχει κανένα κοινό στοιχείο (άλογα) στα δύο σύνολα, είναι άγνωστο εάν τα δύο άλογα μοιράζονται το ίδιο χρώμα. Κατά συνέπεια το παράδοξο αλόγων δεν είναι αληθινά α <a href="http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/el/Paradox" title="Παράδοξο">παράδοξο</a>, αλλά μόνο το αποτέλεσμα του ραγισμένου συλλογισμού, αν και θα μπορούσε να υποστηριχτεί όλα τα παράδοξα είναι παραδείγματα του ραγισμένου συλλογισμού. Το παράδοξο αλόγων εκθέτει τις παγίδες που προκύπτουν από την αποτυχία να εξεταστούν οι πρόσθετες περιπτώσεις για τις οποίες μια γενική δήλωση μπορεί να είναι ψεύτικη.<br />
<br />
<br />
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>4. Το παράδοξο του Γαλιλαίου</b></span><br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><b> ( οι φυσικοί είναι όσοι και τα τέλεια τετράγωνα)</b></span><br />
<br />
<br />
Στα μαθηματικά η αντιστοιχία 1-1 των στοιχείων ενός συνόλου με τα στοιχεία ενός άλλου οδηγεί στο συμπέρασμα ότι τα δυο σύνολα έχουν το 'ιδιο πλήθος στοιχείων.<br />
<br />
<br />
1 -----> 5<br />
2 ------> 7<br />
3 ------> 9<br />
<div style="border-bottom: medium none; border-color: initial; border-left: medium none; border-right: medium none; border-style: none; border-top: medium none; border-width: medium;">
<span style="color: black;">4 ------> 11 </span><br />
<br />
<br />
<span style="color: blue;"><span style="color: black;">Στο</span><b> </b><span style="color: black;">παραπάνω παράδειγμα τα δύο σύνολα των στηλών έχουν ίδιο πλήθος στοιχείων ( πληθάριθμο) γιατί συμβαίνει μία τέτοια αντιστοιχία.</span></span><br />
Συμβαίνει το ίδιο όμως όταν τα σύνολα έχουν άπειρο πλήθος στοιχείων;<br />
Ο Γαλιαίος εφάρμοσε αυτό τον κανόνα αντιστοίχισης στους φυσικούς αριθμούς και τα τέλεια τεράγωνο. Τέλειο τετράγωνο λέγεται ο αριθμός που γράφεται ως τετράγωνο ενός φυσικού αριθμού.<br />
π.χ 25 = 5 στο τετράγωνο.<br />
<br />
Προσέξτε την παράδοξη αντιστοίχιση :<br />
<br />
<span style="font-size: large;">2</span><br />
<span style="color: purple; font-size: large;">0 ------> 0 </span><br />
<br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;"> 2</span></b><br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;"> 1 -------> 1</span></b><br />
<br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;"> 2 </span></b><br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;"> 2 -----> 2</span></b><br />
<br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;"> 2 </span></b><br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;"> 3 -----> 3</span></b><br />
<br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;"> 2 </span></b><br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;"> 4 ------> 4</span></b><br />
<br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;"> 2</span></b><br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;"> 5 -------> 5</span></b><br />
<br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;">..................</span></b><br />
<br />
<span style="color: black;">Σύμφωνα με αυτήν κάθε φυσικός αριθμός αντιστοιχεί στο τετράγωνο του. Άρα όσοι είναι οι φυσικοί τόσα είναι και τα τέλεια τετράγωνα. Πως γίνεται αυτό αφού τα τέλεια τετράγψνα είναι υποσύνολο των φυσικών; Πράγματι τ τέλεια τετράγωνα είναι 0,1,4,9,16,25,36..... Οι φυσικοί είναι περισσότεροι. π.χ ανάμεσα στο 1 και το 4 υπάρχουν ακόμη 3 φυσικοί που δεν είναι τέλεια τετράγωνα.</span><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<span style="font-family: "arial";"><span style="color: blue;"><span style="font-size: large;"><b>5. Το παράδοξο του Russell </b></span></span></span><br />
<br />
Σε μια βιβλιοθήκη υπάρχουν κάποιοι κατάλογοι που περιέχουν τίτλους βιβλίων σχετικών με κάποιο θέμα.<br />
Για την καλύτερη εξυπηρέτηση των αναγνωστών, υπάρχουν και κάποιοι πιο γενικοί κατάλογοι οι οποίοι περιέχουν τίτλους των προηγούμενων καταλόγων αναλόγως με το θέμα στο οποίο αναφέρονται.<br />
Από λάθος όμως, μερικοί από αυτούς τους γενικούς καταλόγους περιέχουν και τον τίτλο του εαυτού τους. Όταν ο υπεύθυνος της βιβλιοθήκης αντιλήφθηκε το λάθος αποφάσισε να φτιάξει έναν νέο κατάλογο, τον οποίο ονόμασε «Κατάλογος Σωστών Καταλόγων» και ο οποίος θα περιέχει όλους τους τίτλους των γενικών καταλόγων που δεν περιέχουν τον εαυτό τους.<br />
Και εδώ εμφανίζεται το παράδοξο: Θα πρέπει να συμπεριλάβει στον νέο κατάλογό του τον καινούργιο τίτλο; Αν τον συμπεριλάβει τότε θα περιέχει τον εαυτό του και άρα δεν θα είναι σωστός κατάλογος. Αν δεν τον συμπεριλάβει τότε ο νέος κατάλογος δεν θα περιέχει όλους τους τίτλους των γενικών καταλόγων που δεν περιέχουν τον εαυτό τους. <br />
<br />
<br />
<br />
<span style="font-family: "arial";"><span style="color: blue;"><span style="font-size: large;"><b>6. Το παράδοξο του Πρωταγόρα </b></span></span></span><br />
<br />
Στον Πρωταγόρα αποδίδεται το παρακάτω θεωρητικό παράδοξο:<br />
Ο Αρίστιππος ζήτησε από τον Πρωταγόρα να του διδάξει Νομική. Επειδή όμως δεν είχε λεφτά να τον πληρώσει, συμφώνησαν ο Πρωταγόρας να πληρωθεί μόλις ο Αρίστιππος κερδίσει την πρώτη του δίκη.<br />
Ο Αρίστιππος όμως δεν τα κατάφερνε καθόλου καλά στο δικαστήριο και έτσι ο Πρωταγόρας του ζήτησε την καταβολή των χρημάτων του, παρόλο που δεν είχε κερδίσει ακόμα καμία δίκη. Ο Αρίστιππος αρνήθηκε επικαλούμενος τη συμφωνία τους και το θέμα έφτασε στα δικαστήρια.<br />
Ο δικαστής που άκουσε την υπόθεση βρέθηκε στο παρακάτω λογικό παράδοξο:<br />
Αν δικαίωνε τον Αρίστιππο με απόφαση να μην πληρώσει τον Πρωταγόρα τότε ο Αρίστιππος θα είχε μόλις κερδίσει την πρώτη του δίκη και για το λόγο αυτό θα έπρεπε να πληρώσει τον Πρωταγόρα.<br />
Αν από την άλλη, δικαίωνε τον Πρωταγόρα με απόφαση να πληρωθεί από τον Αρίστιππο τότε ο τελευταίος δεν θα είχε κερδίσει ακόμα την πρώτη του δίκη και έτσι δεν θα έπρεπε να πληρώσει τον Πρωταγόρα.<br />
Πως θα βγει ο δικαστής από αυτό το αδιέξοδο; <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>7. </b></span><span style="font-family: "arial";"><span style="color: blue; font-size: large;"><b>Το διαγώνισμα έκπληξη </b></span></span><br />
<br />
Μια Παρασκευή μεσημέρι λέει η δασκάλα στους μαθητές της ότι την επόμενη εβδομάδα θα τους βάλει ένα διαγώνισμα έκπληξη, δηλαδή δεν θα το περιμένουν.<br />
Αφού βγαίνει από την αίθουσα οι μαθητές κάθονται και σκέφτονται ψύχραιμα πως αν το διαγώνισμα δεν έχει μπει μέχρι την ερχόμενη Πέμπτη, τότε η μόνη διαθέσιμη μέρα για να μπει θα είναι η Παρασκευή. Τότε όμως όλοι θα το περιμένουν και άρα δεν θα είναι πια έκπληξη, οπότε η δασκάλα δεν μπορεί να βάλει το διαγώνισμα την Παρασκευή.<br />
Αν περάσει η Τετάρτη και το διαγώνισμα δεν έχει μπει, τότε με δεδομένο ότι δεν μπορεί να μπει ούτε την Παρασκευή, θα πρέπει αναγκαστικά να μπει την Πέμπτη. Και πάλι όμως τότε όλοι θα το περιμένουν, οπότε ούτε και την Πέμπτη μπορεί να μπει το διαγώνισμα.<br />
Συνεχίζοντας αυτή τη συλλογιστική, αποκλείονται μία-μία όλες οι μέρες της εβδομάδας και άρα η δασκάλα δεν μπορεί καμία μέρα να βάλει το διαγώνισμα έκπληξη.<br />
Πως εξηγείται αυτό το παράδοξο; <br />
<br />
<br />
<span style="color: blue;"><b>Πολύ ενδιαφέροντα γεωμετρικά και όχι μόνο παράδοξα καθώς</b><b> και άλλα διασκεδαστικά μαθηματικά : <a href="http://pantsik.awardspace.com/problems/problems.html"><span style="background-color: yellow; color: #cc0000;">εδώ </span></a></b></span><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;"> <span style="font-size: x-large;">ΒΡΕΣ ΤΟ ΛΑΘΟΣ </span></span></b><b><span style="color: blue; font-size: x-large;">! </span></b><b><span style="color: blue; font-size: large;"> </span></b><b><span style="color: blue; font-size: large;"> </span></b><br />
<br />
<b><i><span style="font-size: large;">Επίσης εδώ κρύβεται το πανούργο μαθηματικό λάθος. Καταφέρνει να μεταμφιέζεται καταπληκτικά , να καφουφλάρεται πετυχημένα. Μένει απαρατήρητο , ξεγελάει με την λογικοφάνεια του , ξεφεύγει και ξεγλιστράει έντεχνα. Μόνο <span style="color: blue;">ένας ξεχωριστός εξερευνητής , ένας δαιμόνιος ντεντέκτιβ σαν εσένα</span> μπορεί να το αποκαλύψει και να το ξεσκεπάσει. Η ανθρωπότητα περιμένει εσένα να το νικήσει. Βάλε όλες τις δυνάμεις και τις δυνατότητές σου , το κοφτερό μυαλό σου και απάλλαξέ μας από την παρουσία του. Κατατρόπωσε τον εχθρό. <span style="color: blue;">Ξεσκέπασε το λάθος!</span> Βρες το επιτέλους !</span></i></b><br />
<br />
<br />
<br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;">1. Άτοπη ισότητα 1 =2</span></b><br />
<br />
Πού βρίσκεται το λάθος;<br />
<br />
-2 = -2<br />
1 - 3 = 4-6<br />
1-6/2 = 4 - 12/2<br />
1-6/2 + 9/4 = 4 - 12/2 +9/4<br />
12 - ( 2*1*3/2)+(3/2)2 =22 - ( 2 *2*3/2)+(3/2)2<br />
(1-3/2)2 = (2- 3/2)2 τα δυάρια μετά την παρένθεση δηλώνουν εκθέτη. <br />
Χρησιμοποιήσαμε τη ταυτότητα (α +β)2 = α2 +2αβ+β2.<br />
1-3/2 = 2- 3/2<br />
1 =2<br />
<br />
<br />
<br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;">2. Άτοπη ισότητα 2 =1</span></b><br />
<br />
Που είναι το λάθος;<br />
<br />
α = β<br />
α2 =αβ<br />
α2-β2 = αβ - β2<br />
(α+β)(α-β) = β(α-β)<br />
α+β = β<br />
2β=β αντικαταστήσαμε το α με β<br />
2 = 1.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<span style="font-family: "arial";"><b><span style="color: maroon;">3. Ένας ελέφαντας ζυγίζει όσο ένα κουνούπι </span></b></span><br />
<br />
Προσπαθήστε να βρείτε που βρίσκεται το λάθος στον παρακάτω υπολογισμό: <br />
1. Έστω πως x είναι το βάρος ενός ελέφαντα και y είναι το βάρος ενός κουνουπιού. <br />
2. Έστω πως 2b είναι το συνολικό τους βάρος. Δηλαδή x + y = 2b <br />
3. Την πιο πάνω εξίσωση μπορούμε να την γράψουμε με δύο τρόπους: Α) x = –y + 2b Β) x – 2b = –y <br />
4. Πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη τις εξισώσεις Α και Β και παίρνουμε: x (x – 2b) = –y (–y+2b) <=> x<sup><span style="font-size: xx-small;">2</span></sup> – 2xb = y<sup><span style="font-size: xx-small;">2</span></sup> – 2yb <br />
5. Προσθέτουμε σε κάθε μέλος της πιο πάνω εξίσωσης το b<sup><span style="font-size: xx-small;">2</span></sup> και έχουμε: x<sup><span style="font-size: xx-small;">2</span></sup> – 2xb + b<sup><span style="font-size: xx-small;">2</span></sup> = y<sup><span style="font-size: xx-small;">2</span></sup> – 2yb + b<sup><span style="font-size: xx-small;">2</span></sup> <br />
6. Παραγοντοποιούμε και τα δύο μέλη με χρήση της γνωστής ταυτότητας: (x – b) <sup><span style="font-size: xx-small;">2</span></sup> = (y – b) <sup><span style="font-size: xx-small;">2</span></sup> <br />
7. Παίρνουμε την τετραγωνική ρίζα και των δύο μελών: x – b = y – b <br />
8. Προσθέτουμε το b και στα δύο μέλη: x = y <br />
και καταλήγουμε πως ένας ελέφαντας ζυγίζει όσο ένα κουνούπι! <br />
<br />
<br />
<br />
<span style="color: maroon; font-size: large;"><b>4 Ανταλλαγή φακέλων </b></span><br />
<br />
Η Αλίκη και ο Βασίλης τραβάνε στην τύχη από έναν κλειστό φάκελο ο καθένας. Ο οργανωτής του παιχνιδιού τους λέει πως ο κάθε φάκελος έχει μέσα ένα χρηματικό ποσό το οποίο το έχουν ήδη κερδίσει. Τους λέει επίσης ότι ο ένας φάκελος έχει το διπλάσιο ποσό από τον άλλον, χωρίς να τους αποκαλύψει ποιος. Στη συνέχεια τους δίνεται το δικαίωμα αν θέλουν να ανταλλάξουν μεταξύ τους φακέλους.<br />
Η Αλίκη υπολογίζει το κέρδος που αναμένεται να έχει αν δεχτεί να αλλάξει φακέλους ως εξής:<br />
Αν x είναι το ποσό που έχει μέσα ο φάκελός της, τότε με πιθανότητα 1/2 διπλασιάζει το ποσό της, οπότε θα έχει κέρδος x, ενώ με πιθανότητα 1/2 υποδιπλασιάζει το ποσό της, οπότε θα έχει κέρδος -x/2. Σύμφωνα με αυτόν τον συλλογισμό το αναμενόμενο κέρδος της είναι:<br />
(1/2) * x + (1/2) * -x/2 = x/4.<br />
Άρα έχει 25% αναμενόμενο κέρδος αν αλλάξει φακέλους και συνεπώς δέχεται να κάνει την αλλαγή.<br />
Τον ίδιο συλλογισμό κάνει και ο Βασίλης από τη δική του πλευρά και καταλήγει φυσικά στο ίδιο συμπέρασμα, ότι δηλαδή τον συμφέρει κι αυτόν να αλλάξει φακέλους.<br />
Έτσι πραγματοποιείται η αλλαγή. Πριν όμως ανοίξουν τους φακέλους τους και αποκαλυφθούν τα ποσά που κρύβουν, η Αλίκη επαναλαμβάνει τον συλλογισμό της και βρίσκει πως η εκ νέου αλλαγή φακέλων θα της αποφέρει ένα επιπλέον κέρδος λίγο μεγαλύτερο του 25%, το οποίο προκύπτει αν αντί του x στον τύπο βάλουμε το x + x/4 που είναι το ποσό που αναμένει να έχει τώρα στον φάκελό της. Το ίδιο υπολογίζει και ο Βασίλης, οπότε ξανα-αλλάζουν φακέλους και ο καθένας τους θεωρεί πως τώρα έχει ένα αναμενόμενο κέρδος λίγο μεγαλύτερο του 50%. Με το ίδιο σκεπτικό συνεχίζουν να αλλάζουν φακέλους μέχρι να γίνουν και οι δύο πάμπλουτοι.<br />
Στην παραπάνω λογική κάτι πρέπει να πηγαίνει τελείως λάθος, αλλά τι ακριβώς; <br />
<br />
<br />
<br />
<span style="font-family: "arial";"><b><span style="color: maroon;">5. Απόδειξη πως είμαι ο Πάπας με χρήση Διαφορικού Λογισμού </span></b></span><br />
<br />
Την παρακάτω απόδειξη πως είμαι ο Πάπας την έστειλα στο Βατικανό και περιμένω την απάντησή τους για το σχετικό χρίσμα. Λέτε να γίνει δεκτή ή όχι και γιατί; <br />
<br />
<ol>
<li>Ξεκινάμε με την ισότητα x<sup><span style="font-size: xx-small;">2</span></sup> = x * x </li>
<li>Το δεύτερο μέλος γράφεται x + x + x +…+ x (x φορές) </li>
<li>Άρα x<sup><span style="font-size: xx-small;">2</span></sup> = x + x + x +…+ x (x φορές) </li>
<li>Παίρνουμε την παράγωγο ως προς x και των δύο μελών: (x<sup><span style="font-size: xx-small;">2</span></sup>)’ = (x + x + x +…+ x)’ </li>
<li>Επειδή η παράγωγος ενός αθροίσματος ισούται με το άθροισμα των παραγώγων του έχουμε: (x<sup><span style="font-size: xx-small;">2</span></sup>)’ = x’ + x’ + x’ +…+ x’ (x φορές) </li>
<li>Υπολογίζουμε τις παραγώγους και στα δύο μέλη: 2x = 1 + 1 + 1 +…+ 1 (x φορές) </li>
<li>Άρα 2x = x </li>
<li>Για x <> 0 προκύπτει πως 2 = 1 </li>
<li>Ο Πάπας είναι ένας. </li>
<li>Κι εγώ είμαι ένας. </li>
<li>Άρα εγώ και ο Πάπας είμαστε δύο. </li>
<li>Επειδή όμως στο Βήμα 8 απέδειξα πως 2 = 1, σημαίνει πως εγώ και ο Πάπας είμαστε ένα. </li>
<li>Άρα εγώ είμαι ο Πάπας! </li>
</ol>
<div id="header" style="border-bottom-color: rgb(144, 126, 116); border-bottom-style: solid; border-bottom-width: 10px; border-bottom: 10px solid rgb(144, 126, 116); margin-bottom: 20px; padding: 40px 0px;">
<div id="header-title" style="width: 580px;">
<h2 style="color: #78b6d6; font-size: 19px; font-style: italic; font-weight: normal; letter-spacing: -1px; margin: 0px; padding: 0px;">
</h2>
</div>
</div>
<div id="main" style="float: left; width: 560px;">
<div id="content">
<div class="post" style="margin-bottom: 40px;">
<div class="post-header" style="background-color: #fbfaf5; font-family: Georgia, "Times New Roman", Times, serif; line-height: 19.5px; position: relative; text-align: left;">
<h2 style="font-style: italic; letter-spacing: -1.5px; line-height: 1em; margin: 0px 0px 0px 84px; padding: 0px;">
<span style="color: #cc0000;">Πώς αποδεικνύεται ότι π = 4 ! </span></h2>
<h3 style="background-color: white; border: 1px solid rgb(217, 216, 212); color: #78b6d6; float: left; font-size: 13px; font-weight: normal; margin: -22px 20px 0px 0px; padding: 10px;">
<em style="line-height: normal;">31 Μαρ<br />2011</em><span style="background-image: url(http://assets.blogs.pathfinder.gr/templates/89/css/img/comment.gif); background-position: 0% 7px; background-repeat: no-repeat; border-top-color: rgb(221, 221, 221); border-top-style: dotted; border-top-width: 1px; border-top: 1px dotted rgb(221, 221, 221); display: block; font-size: 27px; font-style: italic; line-height: normal; margin-top: 6px; padding-left: 14px; padding-top: 0px;"><a href="http://eineken.pblogs.gr/2011/03/peri-toy-pws-apodeiknyetai-oti-p-4-me-ta-diabolo-mathhmatika.html#comments" style="color: #d64009; cursor: pointer; outline: none; text-decoration: none;">0</a></span></h3>
</div>
<div class="post-content" style="background-color: #fbfaf5; color: #907e74; font-family: Georgia, "Times New Roman", Times, serif; font-size: 13px; line-height: 19.5px; text-align: left;">
</div>
</div>
</div>
</div>
<br />
<br />
<img alt="alt" height="640" src="http://www.freeinquiry.gr/upload/files/1.11/pi-350.jpg" width="411" /><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><b> Η ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩN</b></span><br />
<br />
<a href="http://2.bp.blogspot.com/_NpOwVQ5GqVs/Srtz368lGXI/AAAAAAAAA1M/ZHDLqOjhxpw/s1600/%CE%A3%CE%A5%CE%9C%CE%9C%CE%95%CE%A4%CE%A1%CE%99%CE%91.bmp" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="252" src="https://2.bp.blogspot.com/_NpOwVQ5GqVs/Srtz368lGXI/AAAAAAAAA1M/ZHDLqOjhxpw/s320/%CE%A3%CE%A5%CE%9C%CE%9C%CE%95%CE%A4%CE%A1%CE%99%CE%91.bmp" width="320" /></a><br />
<div style="border-bottom: medium none; border-color: initial; border-left: medium none; border-right: medium none; border-style: none; border-top: medium none; border-width: medium;">
<br /></div>
<br />
<b><span style="font-size: large;">1. Συμμετρία και τελειότητα :</span></b><br />
<br />
<br />
2<br />
1 = 1<br />
<br />
2<br />
1 + 2 + 1 = 2<br />
<br />
2<br />
1 + 2 + 3 + 2 + 1 = 3<br />
<br />
2 <br />
1 +2 + 3 +4 + 3 +2 +1 = 4<br />
<br />
................................................<br />
<br />
<br />
<br />
<b><span style="font-size: large;">2. Ο αριθμός 37 επί τα πολλαπλάσια του 3 :</span></b><br />
<br />
37 * 3 = 111<br />
37* 6 = 222<br />
37*9 = 333<br />
37 * 12 =444<br />
...................<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<b><span style="font-size: large;">3. Ο αριθμός 15873 επί τα πολλαπλάσια του 7</span></b><br />
<br />
15873* 7 = 111111<br />
15873 * 14 = 222222<br />
15873 * 21 = 333333<br />
15873 * 28 = 444444<br />
................................<br />
<br />
<br />
<br />
<b><span style="font-size: large;">4. Οι κορυφές των δέντρων</span></b><br />
<br />
2<br />
9 = 81<br />
<br />
2<br />
99 = 9801<br />
<br />
2<br />
999 = 998001<br />
<br />
2 <br />
9999 = 99980001<br />
<br />
2<br />
99999 = ;<br />
<br />
<br />
<br />
<b><span style="font-size: large;">5 Τα κύματα </span></b><br />
<br />
<br />
12345679 * 9 = 111.111.111<br />
12345678 * 9 = 111.111.102<br />
12345689 *9 = 111.111.201<br />
12345789 *9 = 111.112.101<br />
12346789 *9 = 111.121.101<br />
.........................................<br />
<br />
23456789 *9 = 211.111.101<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<b><span style="font-size: large;">6. Οι μαγικοί αριθμοί</span></b><br />
<br />
Οι αριθμομνήμονες για να υπολογίσουν γρήγορα γινόμενα μεγάλων αριθμών χρησιμοποιούσαν ως πολλαπλασιαστές κάποιους αριθμούς που τους ονόμαζαν μαγικούς αριθμούς<br />
τέτοιοι είναι : 143 , 1667 , 2.857.143 , 142.857.143.<br />
<br />
1.001<br />
143 = -------------<br />
7<br />
<br />
5.001<br />
1667 = ------------<br />
3<br />
<br />
20.000.001<br />
2.857.143 = ---------------<br />
7<br />
<br />
1.000.000.001<br />
142.857.143 = ----------------------<br />
7<br />
1001 862.862<br />
Έτσι όταν ήθελαν να πολλαπλασιάσουν π.χ 143 * 862 = --------- * 862 = ------------= 123.266<br />
7 7<br />
<br />
Έκανα δηλαδή τελικά μια εύκολη διαίρεση.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;">7. Ηπροπαίδεια του 9</span></b><br />
<br />
Ένας εύκολος τρόπος να θυμάσαι την προπίδεια του 9 είναι ο εξής ;<br />
<br />
Γράφεις κατακόρυφα τους αριθμούς από το 0 έως το 9 <br />
<br />
0<br />
1<br />
2<br />
3<br />
<span style="font-size: large;"><span style="color: black;">4</span></span><br />
<span style="font-size: large;">5</span><br />
<span style="font-size: large;">6</span><br />
<span style="font-size: large;">7</span><br />
<span style="font-size: small;"><span style="font-size: large;">8</span></span><br />
<span style="font-size: large;">9</span><br />
Κατόπιν δίπλα τους ξαναγράφουμε τους ίδιους αριθμούς ξεκινώντας ανάποδα<br />
<br />
0 9<br />
<span style="color: black;">1 8</span><br />
<span style="color: black;">2 7</span><br />
<span style="color: black;">3 6</span><br />
4 5<br />
5 4<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://www.google.gr/imgres?imgurl=http://i294.photobucket.com/albums/mm118/talisha_cheer21/confused-1.jpg&imgrefurl=http://oynagki.pblogs.gr/tags/mathimatika-gr.html&usg=__f3njSePOcor3Tapax2m6_zQWZuw=&h=380&w=380&sz=29&hl=el&start=94&zoom=1&itbs=1&tbnid=VwhXotgRVP-NRM:&tbnh=123&tbnw=123&prev=/images%3Fq%3D%25CE%25BC%25CE%25B1%25CE%25B8%25CE%25B7%25CE%25BC%25CE%25B1%25CF%2584%25CE%25B9%25CE%25BA%25CE%25AC%26start%3D80%26hl%3Del%26sa%3DN%26gbv%3D2%26ndsp%3D20%26tbs%3Disch:1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://www.google.gr/imgres?imgurl=http://www.astroluna.gr/a_184.jpg&imgrefurl=http://www.astroluna.gr/arithmologia.html&usg=__-GW-271be1ZbIfFIVuXBa2JzOV0=&h=320&w=400&sz=12&hl=el&start=634&zoom=1&itbs=1&tbnid=YNzh5VtH1UcOOM:&tbnh=99&tbnw=124&prev=/images%3Fq%3D%25CE%25B7%2B%25CE%25BC%25CE%25B1%25CE%25B3%25CE%25B5%25CE%25AF%25CE%25B1%2B%25CF%2584%25CF%2589%25CE%25BD%2B%25CE%25B1%25CF%2581%25CE%25B9%25CE%25B8%25CE%25BC%25CF%258E%25CE%25BD%26start%3D620%26hl%3Del%26sa%3DN%26gbv%3D2%26ndsp%3D20%26tbs%3Disch:1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"></a></div>
6 3<br />
7 2<br />
8 1<br />
9 0<br />
<br />
Η προπαίδεια του 9 είναι έτοιμη !<br />
<br />
<a href="http://www.google.gr/imgres?imgurl=http://www.astroluna.gr/a_184.jpg&imgrefurl=http://www.astroluna.gr/arithmologia.html&usg=__-GW-271be1ZbIfFIVuXBa2JzOV0=&h=320&w=400&sz=12&hl=el&start=634&zoom=1&itbs=1&tbnid=YNzh5VtH1UcOOM:&tbnh=99&tbnw=124&prev=/images%3Fq%3D%25CE%25B7%2B%25CE%25BC%25CE%25B1%25CE%25B3%25CE%25B5%25CE%25AF%25CE%25B1%2B%25CF%2584%25CF%2589%25CE%25BD%2B%25CE%25B1%25CF%2581%25CE%25B9%25CE%25B8%25CE%25BC%25CF%258E%25CE%25BD%26start%3D620%26hl%3Del%26sa%3DN%26gbv%3D2%26ndsp%3D20%26tbs%3Disch:1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"></a><a href="http://www.google.gr/imgres?imgurl=http://i294.photobucket.com/albums/mm118/talisha_cheer21/confused-1.jpg&imgrefurl=http://oynagki.pblogs.gr/tags/mathimatika-gr.html&usg=__f3njSePOcor3Tapax2m6_zQWZuw=&h=380&w=380&sz=29&hl=el&start=94&zoom=1&itbs=1&tbnid=VwhXotgRVP-NRM:&tbnh=123&tbnw=123&prev=/images%3Fq%3D%25CE%25BC%25CE%25B1%25CE%25B8%25CE%25B7%25CE%25BC%25CE%25B1%25CF%2584%25CE%25B9%25CE%25BA%25CE%25AC%26start%3D80%26hl%3Del%26sa%3DN%26gbv%3D2%26ndsp%3D20%26tbs%3Disch:1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"></a><br />
<br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;">8. Η Προπαίδεια του 9 Μέρος 2ο : Με ταχυδακτυλουργία</span></b><br />
<br />
<br />
Άνοιξε τις δύο παλάμες σου. Κλείσε τον αντίχειρα του αριστερού χεριού. Μένουν 9 δάκτυλα ανοικτά.<br />
1* 9 =9<br />
<br />
Κλείσε το δεύτερο δάκτυλο του αριστερού χεριού.Αριστερά του κλειστού έχεις 1 ανοικτό και δεξιά 8<br />
2* 9 = 18<br />
<br />
Κλείσε το τρίτο δάκτυλο . Αριστερά 2 και δεξιά 7<br />
3*9 = 27<br />
...................................................................<br />
Μέχρι να συνεχίσεις να κλείνεις δάκτυλα και από το δεξί χέρι έχεις όλη την προπαίδεια.<br />
<br />
<br />
<br />
9. <span style="color: blue; font-size: large;"><b>Δείτε και τα παρακάτω!</b></span><br />
<div align="left">
<br /></div>
<div align="left">
The Beauty of Mathematics</div>
<div align="left">
<br /></div>
<br />
<div align="left">
1 x 8 + 1 = 9</div>
<div align="left">
12 x 8 + 2 = 98</div>
<div align="left">
123 x 8 + 3 = 987</div>
<div align="left">
1234 x 8 + 4 = 9876</div>
<div align="left">
12345 x 8 + 5 = 98765</div>
<div align="left">
123456 x 8 + 6 = 987654</div>
<div align="left">
1234567 x 8 + 7 = 9876543</div>
<div align="left">
12345678 x 8 + 8 = 98765432</div>
<div align="left">
123456789 x 8 + 9 = 987654321</div>
<div align="left">
<br /></div>
<div align="left">
<br /></div>
<div align="left">
<br /></div>
<div align="left">
9 x 9 + 7 = 88</div>
<div align="left">
98 x 9 + 6 = 888</div>
<div align="left">
987 x 9 + 5 = 8888</div>
<div align="left">
9876 x 9 + 4 = 88888</div>
<div align="left">
98765 x 9 + 3 = 888888</div>
<div align="left">
987654 x 9 + 2 = 8888888</div>
<div align="left">
9876543 x 9 + 1 = 88888888</div>
<div align="left">
98765432 x 9 + 0 = 888888888</div>
<div align="left">
<br /></div>
<div align="left">
<br /></div>
<br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;"><span style="font-size: x-large;">ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΓΡΙΦΟΙ </span></span></b></div>
<div style="border-bottom: medium none; border-color: initial; border-left: medium none; border-right: medium none; border-style: none; border-top: medium none; border-width: medium;">
<br /></div>
<div style="border-bottom: medium none; border-color: initial; border-left: medium none; border-right: medium none; border-style: none; border-top: medium none; border-width: medium;">
</div>
<br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;">1. ΤΑ ΔΥΟ ΜΠΟΥΚΑΛΙΑ</span></b><br />
<br />
<div class="aris">
Έχετε στη διάθεση σας δύο μπουκάλια. Το πρώτο χωράει 5 λίτρα και το δεύτερο 3. Μπορείτε χρησιμοποιώντας αυτά τα 2 μπουκάλια και απεριόριστη ποσότητα νερού να μετρήσετε ακριβώς 4 λίτρα; </div>
<br />
<br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;">2. ΕΠΙΣΤΡΟΦΗ ΜΠΟΥΚΑΛΙΩΝ</span></b><br />
<br />
<span style="font-family: "arial"; mso-ansi-language: EL; mso-bidi-font-size: 10.0pt;">Στα πλαίσια ενός προγράµµατος ανακύκλωσης, όσοι επιστρέφουν άδεια µπουκάλια κάποιου αναψυκτικού µπορούν να τα ανταλλάξουν µε γεµάτα. Συγκεκριµένα, τα 4 άδεια µπουκάλια ανταλλάσσονται µε 1 γεµάτο. Πόσα µπουκάλια αναψυκτικού θα πιει µια οικογένεια που συγκέντρωσε 24 άδεια µπουκάλια;</span><br />
<br />
<br />
<br />
<span style="font-family: "arial"; mso-ansi-language: EL; mso-bidi-font-size: 10.0pt;"><span style="color: blue; font-size: large;"><b>3. Η ΛΑΜΠΑ</b></span></span><br />
<br />
<span style="font-family: "arial"; mso-ansi-language: EL; mso-bidi-font-size: 10.0pt;"><span style="font-family: "arial"; mso-ansi-language: EL; mso-bidi-font-size: 10.0pt;">Έχουµε ένα δωµάτιο το οποίο έχει µία λάµπα(στο εσωτερικό του)και τρεις διακόπτες (στο εξωτερικό του). Ένας από αυτούς τους διακόπτες είναι αυτός που ανάßει την λάµπα. Εµείς πρέπει µε µία µόνο προσπάθεια να καταλάßουµε ποιος διακόπτης είναι ο σωστός.Δηλαδή ποιο ή ποιους διακόπτες πρέπει να πατήσουµε ώστε όταν ανοίξουµε την πόρτα να καταλάßουµε ποιος είναι ο σωστός;<br />
(Εννοείται ότι όταν είναι κλειστή η πόρτα δεν ßλέπουµε αν ανάßει ή όχι η λάµπα).</span><br />
<br />
<br />
<span style="font-family: "arial"; mso-ansi-language: EL; mso-bidi-font-size: 10.0pt;"><b><span style="color: blue; font-size: large;">4. ΤΟ ΠΡΟΒΑΤΟ </span></b></span><br />
<br />
<span style="font-family: "arial"; mso-ansi-language: EL; mso-bidi-font-size: 10.0pt;"><span style="font-family: "arial"; mso-ansi-language: EL; mso-bidi-font-size: 10.0pt;">Σε ένα κλουßί (σχετικά µεγάλο) είναι κλεισµένα 57 λιοντάρια</span><span lang="EN-GB" style="font-family: "arial"; mso-bidi-font-size: 10.0pt;"> </span><span style="font-family: "arial"; mso-ansi-language: EL; mso-bidi-font-size: 10.0pt;">και 1 πρόßατο. Αν κάποιο λιοντάρι φάει το πρόßατο τότε το</span><span lang="EN-GB" style="font-family: "arial"; mso-bidi-font-size: 10.0pt;"> </span><span style="font-family: "arial"; mso-ansi-language: EL; mso-bidi-font-size: 10.0pt;">πιάνει υπνηλία (από τη ßαρυστοµαχιά) και είναι ευάλωτο σε</span><span lang="EN-GB" style="font-family: "arial"; mso-bidi-font-size: 10.0pt;"> </span><span style="font-family: "arial"; mso-ansi-language: EL; mso-bidi-font-size: 10.0pt;">επιθέσεις άλλου λιονταριού (γίνεται κατά κάποιο τρόπο</span><span lang="EN-GB" style="font-family: "arial"; mso-bidi-font-size: 10.0pt;"> </span><span style="font-family: "arial"; mso-ansi-language: EL; mso-bidi-font-size: 10.0pt;">ψευδό-πρόßατο, δηλαδή υποψήφιο θύµα).</span><span lang="EN-GB" style="font-family: "arial"; mso-bidi-font-size: 10.0pt;"> </span><span style="font-family: "arial"; mso-ansi-language: EL; mso-bidi-font-size: 10.0pt;"><br />
Υποθέστε ότι αν κάποιο λιοντάρι σκοτώσει το θύµα του τότε</span><span lang="EN-GB" style="font-family: "arial"; mso-bidi-font-size: 10.0pt;"> </span><span style="font-family: "arial"; mso-ansi-language: EL; mso-bidi-font-size: 10.0pt;">το τρώει µόνο του (δεν το µοιράζεται µε άλλο λιοντάρι).</span><span lang="EN-GB" style="font-family: "arial"; mso-bidi-font-size: 10.0pt;"> </span><span style="font-family: "arial"; mso-ansi-language: EL; mso-bidi-font-size: 10.0pt;">Επίσης υποθέστε ότι όλα τα λιοντάρια είναι λογικά, και όλα</span><span lang="EN-GB" style="font-family: "arial"; mso-bidi-font-size: 10.0pt;"> </span><span style="font-family: "arial"; mso-ansi-language: EL; mso-bidi-font-size: 10.0pt;">ξέρουν ότι και τα άλλα λιοντάρια σκέφτονται µε λογικό τρόπο.</span><span lang="EN-GB" style="font-family: "arial"; mso-bidi-font-size: 10.0pt;"> </span><span style="font-family: "arial"; mso-ansi-language: EL; mso-bidi-font-size: 10.0pt;">Το κάθε λιοντάρι θέλει κατ' αρχάς να ζήσει και αν µπορεί</span><span lang="EN-GB" style="font-family: "arial"; mso-bidi-font-size: 10.0pt;"> </span><span style="font-family: "arial"; mso-ansi-language: EL; mso-bidi-font-size: 10.0pt;">να φάει κάποιο θύµα τότε θα το κάνει. Οι προτεραιότητές</span><span lang="EN-GB" style="font-family: "arial"; mso-bidi-font-size: 10.0pt;"> </span><span style="font-family: "arial"; mso-ansi-language: EL; mso-bidi-font-size: 10.0pt;">τους δηλαδή είναι (από τη µεγαλύτερη προς τη µικρότερη):</span><span lang="EN-GB" style="font-family: "arial"; mso-bidi-font-size: 10.0pt;"> </span><span style="font-family: "arial"; mso-ansi-language: EL; mso-bidi-font-size: 10.0pt;"><br />
1. Να φάνε το υποψήφιο θύµα και να ζήσουν</span></span></span><br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial"; mso-ansi-language: EL; mso-bidi-font-size: 10.0pt;">2. Να µην φάνε το υποψήφιο θύµα και να ζήσουν</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial"; mso-ansi-language: EL; mso-bidi-font-size: 10.0pt;">3. Να φάνε το υποψήφιο θύµα και να πεθάνουν</span><span lang="EN-GB" style="font-family: "arial"; mso-bidi-font-size: 10.0pt;"> </span><span style="font-family: "arial"; mso-ansi-language: EL; mso-bidi-font-size: 10.0pt;"></span></div>
<span style="font-family: "arial"; mso-ansi-language: EL; mso-bidi-font-size: 10.0pt;">Τα λιοντάρια µπορούν να επιζήσουν και χωρίς να φάνε το</span><span lang="EN-GB" style="font-family: "arial"; mso-bidi-font-size: 10.0pt;"> </span><span style="font-family: "arial"; mso-ansi-language: EL; mso-bidi-font-size: 10.0pt;">πρόßατο ή το όποιο άλλο υποψήφιο θύµα (δηλαδή, τους</span><span lang="EN-GB" style="font-family: "arial"; mso-bidi-font-size: 10.0pt;"> </span><span style="font-family: "arial"; mso-ansi-language: EL; mso-bidi-font-size: 10.0pt;">παρέχεται τροφή µε άλλο τρόπο).</span><span lang="EN-GB" style="font-family: "arial"; mso-bidi-font-size: 10.0pt;"> </span><span style="font-family: "arial"; mso-ansi-language: EL; mso-bidi-font-size: 10.0pt;">Η ερώτηση είναι: Θα επιßιώσει το πρόßατο.</span><br />
<br />
<br />
<span style="font-family: "arial"; mso-ansi-language: EL; mso-bidi-font-size: 10.0pt;"><span style="color: blue; font-size: large;"><b>5. Ο ΓΕΛΩΤΟΠΟΙΟΣ</b></span></span><br />
<br />
<span style="font-family: "arial"; mso-ansi-language: EL; mso-bidi-font-size: 10.0pt;"><span style="font-family: "arial"; mso-ansi-language: EL; mso-bidi-font-size: 10.0pt;">Ο ßασιλιάς, που είχε ßαρεθεί το γελωτοποιό του και έψαχνε αφορµή να τον ξεφορτωθεί, τον καλεί µια µέρα και του λέει:</span><span lang="EN-GB" style="font-family: "arial"; mso-bidi-font-size: 10.0pt;"> </span><span style="font-family: "arial"; mso-ansi-language: EL; mso-bidi-font-size: 10.0pt;"><br />
- Πες κάτι, ότι θες. Αν, αυτό που θα πεις, είναι ψέµα θα σε κρεµάσω και αν είναι αλήθεια θα σε σφάξω.</span><span lang="EN-GB" style="font-family: "arial"; mso-bidi-font-size: 10.0pt;"> </span><span style="font-family: "arial"; mso-ansi-language: EL; mso-bidi-font-size: 10.0pt;"><br />
Ο γελωτοποιός στάθηκε για λίγο σκεπτικός και µετά είπε κάτι στον ßασιλιά. Και έζησε!</span><span lang="EN-GB" style="font-family: "arial"; mso-bidi-font-size: 10.0pt;"> </span><span style="font-family: "arial"; mso-ansi-language: EL; mso-bidi-font-size: 10.0pt;"><br />
Τι του είπε;</span></span><br />
<br />
<br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;">6. ΟΙ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ</span></b><br />
<br />
<br />
<span style="font-family: "arial"; mso-ansi-language: EL; mso-bidi-font-size: 10.0pt;">Έχουµε τις παρακάτω δέκα προτάσεις. Ποιες από αυτές είναι αληθείς και ποιες ψευδείς;</span><span lang="EN-GB" style="font-family: "arial"; mso-bidi-font-size: 10.0pt;"> </span><span style="font-family: "arial"; mso-ansi-language: EL; mso-bidi-font-size: 10.0pt;"><br />
1) Μία µόνο από αυτές τις προτάσεις είναι ψευδής.<br />
2) Δύο µόνο από αυτές τις προτάσεις είναι ψευδείς.<br />
3) Τρεις µόνο από αυτές τις προτάσεις είναι ψευδείς.<br />
4) Τέσσερις µόνο από αυτές τις προτάσεις είναι ψευδείς.<br />
5) Πέντε µόνο από αυτές τις προτάσεις είναι ψευδείς.<br />
6) Έξι µόνο από αυτές τις προτάσεις είναι ψευδείς.<br />
7) Επτά µόνο από αυτές τις προτάσεις είναι ψευδείς.<br />
8) Οκτώ µόνο από αυτές τις προτάσεις είναι ψευδείς.<br />
9) Εννέα µόνο από αυτές τις προτάσεις είναι ψευδείς.<br />
10) Δέκα από αυτές τις προτάσεις είναι ψευδείς.</span><br />
<br />
<br />
<span style="font-family: "arial"; mso-ansi-language: EL; mso-bidi-font-size: 10.0pt;"><b><span style="color: blue; font-size: large;">7. ΠΑΝΕΡΙΑ ΜΕ ΦΡΟΥΤΑ</span></b></span><br />
<br />
<span style="font-family: "arial"; mso-ansi-language: EL; mso-bidi-font-size: 10.0pt;"><span style="font-family: "arial"; mso-ansi-language: EL; mso-bidi-font-size: 10.0pt;">Έχουµε τρία κλειστά πανέρια και µία επιγραφή κρεµασµένη πάνω στο καθένα. Η πρώτη γράφει "ΠΟΡΤΟΚΑΛΙΑ", η δεύτερη γράφει "ΜΑΝΤΑΡΙΝΙΑ" και η τρίτη γράφει "ΠΟΡΤΟΚΑΛΙΑ ΚΑΙ ΜΑΝΤΑΡΙΝΙΑ". Ξέρουµε ότι και οι τρεις επιγραφές είναι τοποθετηµένες λάθος. Πως µπορούµε ßγάζοντας ένα φρούτο από ένα µόνο πανέρι και χωρίς να κοιτάξουµε µέσα ή να ψαχουλέψουµε, να ßάλουµε τις επιγραφές στη σωστή τους θέση;</span></span><br />
<span style="font-family: "arial"; mso-ansi-language: EL; mso-bidi-font-size: 10.0pt;"></span><br />
<div align="center">
</div>
<div>
</div>
<div style="border-bottom: medium none; border-color: initial; border-left: medium none; border-right: medium none; border-style: none; border-top: medium none; border-width: medium; text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial"; mso-ansi-language: EL; mso-bidi-font-size: 10.0pt;"><br />
<br />
<span style="font-family: "arial"; mso-ansi-language: EL; mso-bidi-font-size: 10.0pt;"><b><span style="color: blue; font-size: large;">8. ΟΙ ΜΠΑΛΕΣ</span></b></span><br />
<br />
<span style="font-family: "arial"; mso-ansi-language: EL; mso-bidi-font-size: 10.0pt;"><span style="font-family: "arial"; mso-ansi-language: EL; mso-bidi-font-size: 10.0pt;">Έχουµε 9 µπάλες του ίδιου όγκου άλλα µία από αυτές έχει διαφορετικό ßάρος, είναι πιο ελαφριά. Ακόµα έχουµε µία ζυγαριά και θέλουµε να ßρούµε την ελαφρύτερη µπάλα κάνοντας µόνο δυο ζυγίσεις.(Η ζυγαριά δεν είναι αυτή που της ßάζεις ένα αντικείµενο και σου λέει το ßάρος του άλλα αυτή που συγκρίνει δυο αντικείµενα για το πιο είναι πιο ßαρύ)</span><span lang="EN-GB" style="font-family: "arial"; mso-bidi-font-size: 10.0pt;"> </span><span style="font-family: "arial"; mso-ansi-language: EL; mso-bidi-font-size: 10.0pt;"></span></span><br />
<br />
<br />
<br />
<span style="font-family: "arial"; mso-ansi-language: EL; mso-bidi-font-size: 10.0pt;"><span style="color: blue; font-size: large;"><b>9. ΤΟ ΒΡΑΣΙΜΟ ΤΟΥ ΑΒΓΟΥ</b></span></span><br />
<br />
<span style="font-family: "arial"; mso-ansi-language: EL; mso-bidi-font-size: 10.0pt;"><span style="font-family: "arial"; mso-ansi-language: EL; mso-bidi-font-size: 10.0pt;">Έχουµε ένα µπρίκι µε νερό που ßράζει και ένα αßγό που πρέπει να ßράσουµε για εννέα λεπτά ακριßώς. Δυστυχώς δεν έχουµε κανένα ρολόι παρά µόνο δύο κλεψύδρες, η µία διάρκειας επτά και η άλλη τεσσάρων λεπτών. Ποιος είναι ο συντοµότερος τρόπος για να µετρήσουµε εννέα λεπτά;</span></span><br />
<span style="font-family: "arial"; mso-ansi-language: EL; mso-bidi-font-size: 10.0pt;"><br />
<br />
<span style="font-family: "arial"; mso-ansi-language: EL; mso-bidi-font-size: 10.0pt;"><b><span style="color: blue; font-size: large;">10 ΤΑ ΨΩΝΙΑ</span></b></span><br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;"></span></b><br />
<br />
<span style="font-family: "arial"; mso-ansi-language: EL; mso-bidi-font-size: 10.0pt;"><span style="font-family: "arial"; mso-ansi-language: EL; mso-bidi-font-size: 10.0pt;">Ένα αντρόγυνο γύριζε από ψώνια στο Σούπερ Μάρκετ φορτωµένοι µε τσάντες. Ο άντρας άρχισε να διαµαρτύρεται στην γυναίκα του ότι οι τσάντες που κουßαλάει είναι πολύ ßαριές. "Τι διαµαρτύρεσαι;" του λέει εκείνη. "Αν µου έδινες µία από τις τσάντες σου, θα είχα τις διπλάσιες απ' ότι εσύ, ενώ αν σου έδινα εγώ µία δικιά µου, θα είχαµε τις ίδιες". Πόσες τσάντες κρατούσε ο καθένας;</span><br />
<br />
<br />
<span style="font-family: "arial"; mso-ansi-language: EL; mso-bidi-font-size: 10.0pt;"><b><span style="color: blue; font-size: large;">11. ΤΡΟΦΗ Ή ΥΠΝΟΣ</span></b></span></span><br />
<br />
<br />
<span style="font-family: "arial"; mso-ansi-language: EL; mso-bidi-font-size: 10.0pt;"></span></span></span><br />
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
Ας υποθέσουμε ότι ένας άνθρωπος μπορεί να επιβιώσει δύο εβδομάδες χωρίς τροφή και χωρίς ύπνο. Τι θα έπρεπε να κάνει κάποιος μετά από δεκατέσσερις ημέρες χωρίς φαγητό και χωρίς ύπνο; Να φάει ή να κοιμηθεί πρώτα;</div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br />
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<b><span style="color: blue; font-size: large;">12. ΟΛΑ ΓΙΑ ΕΝΑ ΠΑΓΩΤΟ</span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
Δυο αδέλφια, ο Μπόρις και η Μαρίνα θέλουν να αγοράσουν παγωτά, έχουν όμως κάποιο πρόβλημα. Ο Μπόρις έχει 24 καπίκια λιγότερα από όσα του χρειάζονται για να αγοράσει ένα παγωτό και η Μαρίνα έχει 2 καπίκια λιγότερα από την αξία του παγωτού. Αποφασίζουν λοιπόν, μιας και δε μπορούν να αγοράσουν δύο παγωτά, να αγοράσουν μόνο ένα, ενώνοντας τα χρήματα τους. Και πάλι όμως τα χρήματα τους δεν είναι αρκετά για να αγοράσουν έστω το ένα παγωτό. Πόσο κοστίζει το παγωτό;</div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br />
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>13. ΟΙ ΚΡΑΤΟΥΜΕΝΟΙ</b></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify">
Είναι 100 κρατούμενοι σε μία φυλακή και μία μέρα έρχεται ένας φρουρός και τους λέει: «Σήμερα το βράδυ θα παίξουμε ένα… παιχνίδι». Το βράδυ λοιπόν όταν έρχεται, κλείνει τα μάτια σε όλους και φοράει ένα καπέλο στον καθένα. Τα καπέλα έχουν είτε άσπρο είτε μαύρο χρώμα. Αμέσως μετά τους τοποθετεί, ανακατεμένους τυχαία, σε μία ευθεία γραμμή στοιχισμένους στη σειρά με τρόπο τέτοιο ώστε ο καθένας να κοιτάει μόνο μπροστά του και ποτέ πίσω. Δηλαδή, καθένας να μπορεί να δει όλους τους μπροστινούς του αλλά κανέναν πίσω του. Ακολούθως σε σε μία επίδειξη δύναμης και αλαζονείας τους λέει ότι θα ξεκινήσει να τους ρωτάει από το τέλος προς την αρχή (δηλαδή από εκείνον που κοιτάει όλους τους άλλους και δεν έχει κανέναν πίσω του) τι χρώμα καπέλο φοράει ο καθένας. Όποιος απαντά λάθος θα εκτελείται, όποιος απαντά σωστά θα του χαρίζεται η ζωή. </div>
Η ερώτηση είναι η εξής:<br />
<b>Με ποιο τρόπο θα μπορούσαν να έχουν συνεννοηθεί οι κρατούμενοι, αν ήξεραν τους κανόνες του παιχνιδιού, ώστε να μπορέσουν να ζήσουν οι 99 από αυτούς με 100% πιθανότητα και μόνο ένας να ρίσκαρε τη ζωή του με 50% πιθανότητα;</b><br />
<br />
<br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;">14. ΤΟ ΠΟΤΗΡΙ ΜΕ ΤΟ ΝΕΡΟ</span></b><br />
<br />
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span class="postbody">Είστε σε ένα κενό δωμάτιο και έχετε ένα διαφανές ποτήρι με νερό. Το ποτήρι είναι ένας τέλειος κύλινδρος, και μοιάζει να είναι κατά το ήμισυ γεμάτο, αλλά δεν είστε βέβαιος. Πώς μπορείτε να υπολογίσετε εάν το ποτήρι είναι κατά το ήμισυ γεμάτο, περισσότερο από το μισό, ή λιγότερο από το μισό; Δεν έχετε στην διάθεση σας κανένα εργαλείο ή χάρακα κτλ.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br />
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span class="postbody"><span style="color: blue; font-size: large;"><b>15. ΟΙ ΚΑΜΗΛΕΣ ΚΑΙ Ο ΣΟΦΟΣ</b></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span class="postbody"><span class="postbody">Ένα άραβας σεΐχης, μεγάλος σε ηλικία, θέλει να αφήσει την περιουσία του σε ένα από τα δύο του παιδιά. Αποφασίζει λοιπόν το εξής: οι δυο του γιοι θα τρέξουν τις καμήλες τους σε ένα αγώνα και όποια καμήλα τερματίσει τελευταία ο ιδιοκτήτης θα κερδίσει την περιουσία. Κατά τη διάρκεια του αγώνα, οι δύο αδελφοί περιπλανιούνται για μέρες, χωρίς κανένας να είναι πρόθυμος να διασχίσει τη γραμμή του τέρματος. Μέσα στην απογοήτευση τους, ρωτούν ένα σοφό άτομο για την συμβουλή του. Τους λέει κάτι και έπειτα οι δύο αδελφοί ανεβαίνουν σφαίρα πάνω στις καμήλες και κατευθύνονται με ταχύτητα προς τη γραμμή τέρματος. Τι τους είπε ο σοφός;</span><span class="gensmall"></span></span><span class="gensmall"></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br />
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>16 Ο ΒΑΤΡΑΧΟΣ ΚΑΙ ΤΟ ΠΗΓΑΔΙ.</b></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span class="postbody">Ένας βάτραχος από την περιέργεια του έπεσε μέσα σε ένα πηγάδι 10 μέτρα. Κάθε μέρα ο βάτραχος προσπαθεί να βγεί και ανεβαίνει 3 μέτρα. Το βράδυ όμως γλιστράει κατά 2 μέτρα πίσω στο πηγάδι. Σε πόσες μέρες θα καταφέρει να βγεί έξω;</span><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<b><span style="color: blue; font-size: x-large;"> ΣΠΑΖΟΚΕΦΑΛΙΕΣ</span></b><br />
<br />
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>Α. ... ΜΕ ΣΠΙΡΤΑ!</b></span><br />
<br />
1. Έχουμε λοιπόν τα 16 σπίρτα τοποθετημένα όπως τα βλέπετε στο σχήμα της εικόνας. Το ζητούμενο είναι, αν είναι βέβαια εφικτό, αλλάζοντας θέση σε 2 μόνο σπίρτα και χρησιμοποιώντας πάλι και τα 16 σπίρτα (δεν μπορείτε απλά να εξαφανίσετε δύο σπίρτα) να σχηματιστούν 4 τετράγωνα που να μην έχουν καμία πλευρά κοινή. Το Εγχοιρίδιο εύχεται καλή επιτυχία σε όλους!<br />
<br /></div>
<br />
2. Μετακινήστε μόνο 3 σπίρτα και δημιουργήστε 4 τετράγωνα ίδια με το αρχικό μέγεθος<br />
<br />
<img alt="" border="0" src="http://i15.tinypic.com/8b9je2v.jpg" /><br />
<br /><span style="color: black;">3. Αφαιρέστε δύο σπίρτα ώστε να μείνουν 3. Εύκολο αλλά κρύβει παγίδα!</span><br />
<br />
<a href="http://4.bp.blogspot.com/_S-oXZw01q90/TLIWTdFT4qI/AAAAAAAABT8/d_Sle1JgoFo/s1600/%CE%A4%CE%B1+%CE%A3%CF%80%CE%AF%CF%81%CF%84%CE%B1.JPG" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="200" src="https://4.bp.blogspot.com/_S-oXZw01q90/TLIWTdFT4qI/AAAAAAAABT8/d_Sle1JgoFo/s200/%CE%A4%CE%B1+%CE%A3%CF%80%CE%AF%CF%81%CF%84%CE%B1.JPG" width="102" /></a><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;">Β. MAΓΙΚΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ</span></b><br />
<br />
<div style="font-family: Georgia, "Times New Roman", serif;">
1. Στο παρακάτω Μαγικό Τετράγωνο (3x3), της τρίτης τάξεως, να τοποθετηθούν<br />
οι κάτωθι παλίνδρομοι αριθμοί:<span style="font-size: medium;"><b> 11, 22, 33, 44, 66, 77, 88, 99</b></span></div>
<span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif;">με τέτοιο τρόπο ώστε σε κάθε οριζόντια γραμμή, σε κάθε κάθετη </span><span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif;">γραμμή, και στις</span><br />
<span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif;">δύο </span><span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif;">διαγώνιες γραμμές να μας δίνει ως άθροισμα </span><span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif;">τη <u style="color: blue;"><b>Μαγική Σταθερά 165</b></u>. </span><br />
<span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif;">Προς </span><span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif;">διευκόλυνση σας τοποθετήθηκε ήδη στο κέντρο του τετραγώνου </span><span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif;">ο αριθμός <b>55</b>. </span><br />
<br />
<img src="https://2.bp.blogspot.com/_S-oXZw01q90/TIedq0yNFkI/AAAAAAAABMk/L-cWJmMCz6M/s1600/185.+%CE%A0%CE%B1%CE%BB%CE%AF%CE%BD%CE%B4%CF%81%CE%BF%CE%BC%CE%BF+%CE%9C%CE%B1%CE%B3%CE%B9%CE%BA%CF%8C+%CE%A4%CE%B5%CF%84%CF%81%CE%AC%CE%B3%CF%89%CE%BD%CE%BF.bmp" /><br />
<br />
<br />
<br />
2. Να συμπληρωθούν τα κενά τετράγωνα του ανωτέρω διαγράμματοςμε τους αριθμούς από το <br />
1-36, ώστε οριζόντια, κάθετα και διαγώνια να μας δίνει τη <b style="color: blue;">Μαγική Σταθερά 111<span style="color: black;">.</span></b><br />
<div style="font-family: Georgia, "Times New Roman", serif;">
<div style="font-family: Georgia, "Times New Roman", serif;">
Προς διευκόλυνση σας ήδη έχουν τοποθετηθεί ορισμένοι από τους ζητούμενους αριθμούς.</div>
<div style="font-family: Georgia, "Times New Roman", serif;">
</div>
<div style="font-family: Georgia, "Times New Roman", serif;">
<img src="https://3.bp.blogspot.com/_S-oXZw01q90/S88AOu2beKI/AAAAAAAAAwY/zBe2CcTTD8U/s1600/%CE%9C%CE%B1%CE%B3%CE%B9%CE%BA%CE%AC+%CE%A4%CE%B5%CF%84%CF%81%CE%AC%CE%B3%CF%89%CE%BD%CE%B13.bmp" /></div>
<div style="font-family: Georgia, "Times New Roman", serif;">
</div>
<div style="font-family: Georgia, "Times New Roman", serif;">
</div>
<div style="font-family: Georgia, "Times New Roman", serif;">
</div>
<div style="font-family: Georgia, "Times New Roman", serif;">
<img src="https://4.bp.blogspot.com/_S-oXZw01q90/S9SKWEgFyTI/AAAAAAAAAwo/c2cRYjRKAjo/s1600/%CE%9C%CE%B1%CE%B3%CE%B9%CE%BA%CE%BF+%CE%A4%CE%B5%CF%84%CF%81%CE%AC%CE%B3%CF%89%CE%BD%CE%BF+%CE%88%CE%BA%CF%84%CE%B7%CF%82+%CE%A4%CE%AC%CE%BE%CE%B5%CF%89%CF%82-%CE%9B%CF%8D%CF%83%CE%B7.bmp" /></div>
<div style="font-family: Georgia, "Times New Roman", serif;">
</div>
<div style="font-family: Georgia, "Times New Roman", serif;">
</div>
<div style="font-family: Georgia, "Times New Roman", serif;">
<br /></div>
</div>
<b><span style="color: blue;"><span style="font-size: large;">Ενδιαφέρουσες σπαζοκεφαλιές: </span><a href="http://papaveri48.blogspot.com/"><span style="background-color: yellow; color: #cc0000; font-size: large;">εδώ</span></a></span></b><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;">Γ. sοduko</span></b><br />
<br />
<b>Για την ιστορία...</b><br />
<br />
Το όνομά του ήρθε στην επικαιρότητα εξαιτίας του δημοφιλούς παιχνιδιού Sudoku, το οποίο και δημιούργησε. Αλλά ο Λέοναρντ Οϊλερ, ο Ελβετός μαθηματικός που έζησε πριν από περίπου 250 χρόνια, ήταν ένας γίγαντας της επιστήμης, μια από τις μεγαλύτερες μορφές των μαθηματικών όλων των εποχών. Αυτή εδώ είναι η ιστορία της πολυτάραχης και, γεμάτης υπολογισμούς..., ζωής του.<br />
<br />
* Προσπαθήστε να λύσετε το παρακάτω :<br />
<br />
<br />
<br />
<img height="241" id="il_fi" src="http://syndicate.yoogi.com/samurai-sudoku/puzzle.gif" style="padding-bottom: 8px; padding-right: 8px; padding-top: 8px;" width="241" /> <br />
<br />
<br />
<span style="color: blue;"><b><span style="font-size: large;"> Παίξτε soduko online </span><a href="http://www.soduko-online.com/"><span style="background-color: yellow; color: #cc0000; font-size: large;">εδώ</span></a><span style="font-size: large;"> κι</span><a href="http://www.soduko.ws/soduku.htm"><span style="font-size: large;"> <span style="background-color: yellow; color: #cc0000;">εδώ </span></span></a><span style="font-size: large;"> αλλά κι </span><a href="http://www.degutis.com/fun_games/blog"><span style="background-color: yellow; color: #cc0000; font-size: large;">εδώ </span></a></b></span><br />
<br /><br />
<br />
<br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;"> Δ. ΣΩΣΤΕΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ</span></b><br />
<br />
<br />
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif;">1. Στην παρακάτω ισότητα προσθέστε, σε οποιοδήποτε σύμβολο της </span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif;">πρόσθεσης, μια γραμμή, έτσι ώστε να είναι σωστή.</span></div>
<br />
<br />
<img height="48" src="https://1.bp.blogspot.com/_S-oXZw01q90/TPalwwAUcjI/AAAAAAAABXo/cNgbTXUxS5Q/s320/%25CE%259C%25CE%25B5+%25CE%259C%25CE%25B9%25CE%25B1+%25CE%2593%25CF%2581%25CE%25B1%25CE%25BC%25CE%25BC%25CE%25AE.bmp" width="320" /><br />
<br />
<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif;">2. Δίδονται οι παρακάτω ψευδείς ισότητες:</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<a href="http://4.bp.blogspot.com/_S-oXZw01q90/TPzjkiOX99I/AAAAAAAABX8/YKnhJanaih4/s1600/%25CE%259F%25CE%25B9+%25CE%2599%25CF%2583%25CF%258C%25CF%2584%25CE%25B7%25CF%2584%25CE%25B5%25CF%2582.bmp" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="90" src="https://4.bp.blogspot.com/_S-oXZw01q90/TPzjkiOX99I/AAAAAAAABX8/YKnhJanaih4/s200/%25CE%259F%25CE%25B9+%25CE%2599%25CF%2583%25CF%258C%25CF%2584%25CE%25B7%25CF%2584%25CE%25B5%25CF%2582.bmp" width="200" /></a></div>
<div style="text-align: center;">
</div>
<span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif;">Μετακίνησε κατάλληλα μόνο ένα ψηφίο στη κάθε μια ισότητα, ώστε </span><br />
<span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif;">να γίνουν </span><span style="font-family: "georgia" , "times new roman" , serif;">αληθείς.</span><b style="color: red;"> </b><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<span style="color: blue; font-size: x-large;"><b> <img border="0" height="85" src="http://www.junior.gr/main/images/j0078711.gif" width="35" /> ΑΙΝΙΓΜΑΤΑ </b></span><br />
<br />
<br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;">1. Ο ΚΛΕΦΤΗΣ ΚΑΙ ΟΙ ΡΑΒΔΟΙ ΧΡΥΣΟΥ</span></b><br />
<div class="contentpaneopen_text" id="elxisarticle187">
Ένας κλέφτης κατόρθωσε να κλέψει δύο ράβδους χρυσού από τον βασιλιά. Καθώς τον κυνηγούσαν οι φρουροί, βρέθηκε μπροστά σε μία γέφυρα, με μία πινακίδα που έγραφε ότι το μέγιστο βάρος που μπορούσε να αντέξει ήταν 80 κιλά. Δυστυχώς ο ίδιος ζύγιζε 76 κιλά και η κάθε μία από τις ράβδους 3 κιλά. Μήπως είχε έρθει η ώρα να αποχωριστεί τη μία ράβδο;<br />
<br />
(Απάντηση: Ο κλέφτης μπόρεσε να περάσει και τις δύο ράβδους ταυτόχρονα απέναντι, κάνοντας ένα ζογκλερικό κόλπο: Πέταξε τη μία ψηλά και άρχισε να διασχίζει τη γέφυρα. Λίγο πριν την ξαναπιάσει, πέταξε ψηλά την άλλη, κ.ο.κ., μέχρι που πέρασε και με τις δύο.) <br />
<br /></div>
<div class="contentpaneopen_text">
</div>
<div class="contentpaneopen_text">
</div>
<div class="contentpaneopen_text">
</div>
<div class="contentpaneopen_text">
<b><span style="color: blue; font-size: large;">2. ΕΣΥ ΚΑΙ Η ΜΗΤΕΡΑ ΣΟΥ</span></b></div>
<div class="contentpaneopen_text">
</div>
<div class="contentpaneopen_text">
<span lang="EL" style="mso-bidi-font-size: 10.0pt;"><span style="color: black; font-family: "verdana";">Πως είναι δυνατόν να σταθείς πίσω ακριβώς από την μητέρα σου κι εκείνη ακριβώς πίσω από σένα ;</span></span> <br />
<div class="MsoNormal" style="margin: 0px 15px; text-align: justify;">
<span lang="EL" style="mso-bidi-font-size: 10.0pt;"><span style="font-family: "verdana";"><span style="color: black;"> </span></span></span></div>
</div>
<span style="color: black;">( Απάντηση : θα σταθείτε πλάτη με πλάτη ).</span><br />
<br />
<div style="border-bottom: medium none; border-color: initial; border-left: medium none; border-right: medium none; border-style: none; border-top: medium none; border-width: medium;">
<br /></div>
<b><span style="color: blue; font-size: large;">3. ΟΙ ΠΑΡΤΙΔΕΣ ΣΚΑΚΙ</span></b><br />
<div style="border-bottom: medium none; border-color: initial; border-left: medium none; border-right: medium none; border-style: none; border-top: medium none; border-width: medium;">
<br /></div>
<div class="MsoBodyText2" style="border-bottom: medium none; border-color: initial; border-left: medium none; border-right: medium none; border-style: none; border-top: medium none; border-width: medium; margin: 0px 15px;">
<span lang="EL" style="mso-ansi-language: EL;"><span style="color: navy; font-family: "verdana"; font-size: x-small;"><b></b></span></span><span lang="EL" style="mso-bidi-font-size: 10.0pt;"><span style="color: black; font-family: "verdana";">Ο Χρήστος κι ο Λάμπρος έπαιζαν σκάκι. Έπαιξαν συνολικά 7 παρτίδες. Κάθε ένας απ αυτούς έκανε τον ίδιο αριθμό νικών και καμία παρτίδα από όσες έπαιξαν δεν έληξε ισόπαλη.<span style="mso-bidi-font-size: 10.0pt; mso-spacerun: yes;"> </span>Είναι αυτό δυνατό ;</span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="border-bottom: medium none; border-color: initial; border-left: medium none; border-right: medium none; border-style: none; border-top: medium none; border-width: medium; margin: 0px 15px; text-align: justify;">
<span lang="EL" style="mso-bidi-font-size: 10.0pt;"><span style="font-family: "verdana";"><span style="color: black;"> </span></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="border-bottom: medium none; border-color: initial; border-left: medium none; border-right: medium none; border-style: none; border-top: medium none; border-width: medium; margin: 0px 15px; text-align: justify;">
<span lang="EL" style="mso-bidi-font-size: 10.0pt;"><span style="color: black;"><span style="font-family: "verdana";"> Απάντηση :</span><span style="font-family: "verdana";"> Ναι, αν δεν έπαιζαν μεταξύ τους.</span></span></span><br />
<br />
<br />
<br />
<span style="color: blue; font-family: "verdana"; font-size: large;"><b>4. ΤΑ ΔΙΔΥΜΑ</b></span><br />
<br />
<br />
<span style="font-family: "verdana";"></span><br />
<div class="MsoBodyText2" style="margin: 0px 15px;">
<span style="color: black;"><span lang="EL" style="mso-ansi-language: EL;"><span style="font-family: "verdana";"><span style="mso-ansi-language: EL;"><img border="0" height="75" src="http://www.junior.gr/main/images/j0078622.gif" style="float: left;" width="37" /></span></span></span><span lang="EL" style="mso-bidi-font-size: 10.0pt;"><span style="font-family: "verdana";">Είναι γνωστό πως ότι ημέρα πέσουν τα Χριστούγεννα την ίδια μέρα πέφτει και η Πρωτοχρονιά. Κι όμως το 1939 τα Χριστούγεννα έπεσαν Δευτέρα και η Πρωτοχρονιά Κυριακή. Πως έγινε αυτό ;</span></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin: 0px 15px; text-align: justify;">
<span lang="EL" style="mso-bidi-font-size: 10.0pt;"><span style="font-family: "verdana";"><span style="color: black;"> </span></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin: 0px 15px; text-align: justify;">
<span lang="EL" style="mso-bidi-font-size: 10.0pt;"><span style="color: black; font-family: "verdana";"> <<</span><span style="color: black;"><span style="font-family: "verdana";"> <span style="font-size: x-small;">Κάθε χρονιά τα Χριστούγεννα και η Πρωτοχρονιά πέφτουν διαφορετικές ημέρες. Είναι τα Χριστούγεννα και η Πρωτοχρονιά της επόμενης χρονιάς που πέφτουν πάντα την ίδια μέρα. </span></span><span style="font-family: "verdana";"><span style="font-size: x-small;">>> </span></span></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin: 0px 15px; text-align: justify;">
<span lang="EL" style="mso-bidi-font-size: 10.0pt;"><span style="font-family: "verdana";"><span style="color: black;"> </span></span></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="border-bottom: medium none; border-color: initial; border-left: medium none; border-right: medium none; border-style: none; border-top: medium none; border-width: medium; margin: 0px 15px; text-align: justify;">
<b><span style="color: blue; font-size: large;">5. ΤΟ ΑΝΟΙΓΜΑ ΤΗΣ ΓΩΝΙΑΣ</span></b><br />
<br />
<br />
<span lang="EL"><span style="color: black; font-family: "verdana";">Αν κοιτάξουμε μια γωνία με ένα μεγεθυντικό φακό που μεγεθύνει τα πάντα κατά 3 φορές και την βρούμε να είναι 45 μοίρες πόσες μοίρες θα είναι αν την δούμε χωρίς τον φακό ;</span></span><br />
<br />
<div class="MsoBodyText" style="margin-left: 15px; margin-right: 15px; mso-list: l0 level1 lfo1; tab-stops: list 36.0pt; text-align: justify;">
<span lang="EL" style="mso-bidi-font-size: 10.0pt;"><span style="font-family: "verdana";"><span style="color: black;"> Απάντηση :</span></span></span><span lang="EL" style="mso-bidi-font-size: 10.0pt;"><span style="font-family: "verdana";"><span style="color: black;"> Το άνοιγμα μιας γωνίας δεν επηρεάζεται από καμία μεγέθυνση. ( Θεωρία ομοίων τριγώνων).</span></span></span></div>
<div class="MsoBodyText" style="margin-left: 15px; margin-right: 15px; mso-list: l0 level1 lfo1; tab-stops: list 36.0pt; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoBodyText" style="margin-left: 15px; margin-right: 15px; mso-list: l0 level1 lfo1; tab-stops: list 36.0pt; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoBodyText" style="margin-left: 15px; margin-right: 15px; mso-list: l0 level1 lfo1; tab-stops: list 36.0pt; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoBodyText" style="margin-left: 15px; margin-right: 15px; mso-list: l0 level1 lfo1; tab-stops: list 36.0pt; text-align: justify;">
<span lang="EL" style="mso-bidi-font-size: 10.0pt;"><span style="color: blue; font-family: "verdana"; font-size: large;"><b>6. ΤΟ ΒΑΔΙΣΜΑ ΠΑΤΕΡΑ - ΓΙΟΥ</b></span></span></div>
<div class="MsoBodyText" style="margin-left: 15px; margin-right: 15px; mso-list: l0 level1 lfo1; tab-stops: list 36.0pt; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoBodyText" style="margin-left: 15px; margin-right: 15px; mso-list: l0 level1 lfo1; tab-stops: list 36.0pt; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoBodyText" style="margin-left: 15px; margin-right: 15px; mso-list: l0 level1 lfo1; tab-stops: list 36.0pt; text-align: justify;">
<span lang="EL" style="mso-bidi-font-size: 10.0pt;"><span lang="EL"><span style="color: black; font-family: "verdana";">Ένας μπαμπάς ξεκινάει με το παιδί του μια βόλτα. Ξεκινούν και οι δύο με το δεξί πόδι πρώτο. Ο μπαμπάς κάνει δύο βήματα σε κάθε «κύκλο» βαδίσματος ενώ το παιδάκι του τρία. Πότε θα βγάλουν και οι δύο το αριστερό τους πόδι ταυτόχρονα μπροστά ;</span></span></span></div>
<div class="MsoBodyText" style="margin-left: 15px; margin-right: 15px; mso-list: l0 level1 lfo1; tab-stops: list 36.0pt; text-align: justify;">
<a href="https://www.blogger.com/blogger.g?blogID=7730717435979339231" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"></a><br />
<span style="font-family: "verdana";"> << Ποτέ. Σε κάθε «μονό» κύκλο ο μπαμπάς θα βγάζει το δεξί και το παιδί το αριστερό. Σε κάθε «ζυγό» κύκλο θα βγάζουν και οι δύο το δεξί.<span style="mso-spacerun: yes;"> </span><span style="mso-spacerun: yes;">>></span></span><br />
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>7. ΤΑ ΑΤΑΚΤΑ ΑΔΕΡΦΙΑ ΚΑΙ Η ΕΦΗΜΕΡΙΔΑ</b></span><br />
<br />
<br />
<span lang="EL"><span style="color: black; font-family: "verdana";">Ο Τάκης κι ο Μάκης, δύο άτακτα αγόρια τσακώνονταν για μια σελίδα από την εφημερίδα. Η μητέρα τους για να τους τιμωρήσει τους έβαλε να στέκονται όρθιοι πατώντας πάνω στην εφημερίδα στραμμένοι ο ένας απέναντι στον άλλον. Παρ’ όλο που η σελίδα της εφημερίδας δεν σκίστηκε ο Τάκης δεν μπορούσε να δει τον αδελφό του. Πως γίνεται ;</span></span><br />
<br />
<div class="MsoBodyText" style="margin-left: 15px; margin-right: 15px; mso-list: l0 level1 lfo1; tab-stops: list 36.0pt; text-align: justify;">
<span lang="EL" style="mso-bidi-font-size: 10.0pt;"><span style="font-family: "verdana";"><span style="color: black;"> << Η μητέρα είχε βάλει την εφημερίδα κάτω από την χαραμάδα μιας πόρτας. Και τα δύο αγόρια πατούσαν πάνω της απέναντι το ένα στο άλλο αλλά με την πόρτα κλειστή δεν μπορούσαν να δουν ο ένας τον άλλον. >></span></span></span></div>
<br />
<br />
<br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;">8. ΤΑ ΧΑΠΙΑ</span></b><br />
<br />
<br />
<span lang="EL"><span style="color: black; font-family: "verdana";">Αν ο γιατρός σας σας δώσει 3 χάπια και σας πει να τα πάρετε με μισή ώρα διαφορά το ένα από το άλλο, πόση ώρα θα περάσει μέχρι να τα πάρετε και τα τρία ;</span></span><br />
<br />
<div class="MsoBodyText" style="margin-left: 15px; margin-right: 15px; mso-list: l0 level1 lfo1; tab-stops: list 36.0pt; text-align: justify;">
<span lang="EL" style="mso-bidi-font-size: 10.0pt;"><span style="font-family: "verdana";"><span style="color: black;"> << Μία ώρα. Μισή μεταξύ πρώτο και δεύτερου και άλλη μισή μεταξύ δεύτερου και τρίτου<span style="mso-spacerun: yes;"> >></span></span></span></span><span lang="EL" style="mso-bidi-font-size: 10.0pt; mso-spacerun: yes;"><span style="font-family: "times new roman";"><br />
</span></span><span style="color: black;"> <span lang="EL" style="mso-bidi-font-size: 10.0pt; mso-spacerun: yes;"><span style="font-family: "times new roman";"> </span></span></span></div>
<div class="MsoBodyText" style="margin-left: 15px; margin-right: 15px; mso-list: l0 level1 lfo1; tab-stops: list 36.0pt; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoBodyText" style="margin-left: 15px; margin-right: 15px; mso-list: l0 level1 lfo1; tab-stops: list 36.0pt; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoBodyText" style="margin-left: 15px; margin-right: 15px; mso-list: l0 level1 lfo1; tab-stops: list 36.0pt; text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><span lang="EL" style="mso-bidi-font-size: 10.0pt; mso-spacerun: yes;"><b>9. ΟΙ ΚΑΛΤΣΕΣ</b></span></span></div>
<div class="MsoBodyText" style="margin-left: 15px; margin-right: 15px; mso-list: l0 level1 lfo1; tab-stops: list 36.0pt; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoBodyText" style="margin-left: 15px; margin-right: 15px; mso-list: l0 level1 lfo1; tab-stops: list 36.0pt; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoBodyText" style="margin-left: 15px; margin-right: 15px; mso-list: l0 level1 lfo1; tab-stops: list 36.0pt; text-align: justify;">
<span style="color: black;"><span lang="EL" style="mso-bidi-font-size: 10.0pt; mso-spacerun: yes;"><span style="font-family: "verdana";"><span style="color: black;">Σε ένα συρτάρι έχετε 12 ζευγάρια άσπρες και 12 ζευγάρια μαύρες κάλτσες. Χωρίς να<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>βλέπετε, πόσες κάλτσες πρέπει να τραβήξετε για να είστε σίγουροι πως έχετε στα χέρια σας τουλάχιστον ένα ζευγάρι όμοιες κάλτσες ? </span></span></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin: 0px 15px;">
<span lang="EL" style="mso-ansi-language: EL;"><span style="font-family: "verdana";"><span style="color: black;"> </span></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin: 0px 15px;">
<span lang="EL" style="mso-ansi-language: EL;"><span style="color: black;"><span style="font-family: "verdana";"><<</span><span style="font-family: "verdana";"> </span><span style="font-family: "verdana";">3 κάλτσες.</span><span style="font-family: "verdana";"> </span><span style="font-family: "verdana";">>> </span></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin: 0px 15px;">
<b><span lang="EL" style="mso-ansi-language: EL;"><span style="color: navy; font-family: "verdana"; font-size: x-small;"> </span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin: 0px 15px;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin: 0px 15px;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin: 0px 15px;">
<b><span lang="EL" style="mso-ansi-language: EL;"><span style="color: navy; font-family: "verdana"; font-size: large;">10. ΟΙ ΤΑΞΙΔΙΩΤΕΣ </span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin: 0px 15px;">
<span style="font-family: "verdana";"><span style="color: black;">Τρεις ταξιδιώτες φτάνουν σε ένα ξενοδοχείο. Ο υπάλληλος τους ενημερώνει ότι πρέπει να πληρώσει καθένας τους από 10.000 δραχμές, άρα σύνολο 30.000 δραχμές και οι τρεις μαζί. Αργότερα όμως ο υπάλληλος του ξενοδοχείου συνειδητοποιεί ότι έκανε λάθος και έπρεπε να χρεώσει μόνον 25.000 δραχμές αντί για 30.000. Δίνει λοιπόν 5.000 δραχμές στον αχθοφόρο για να τις επιστρέψει στους ταξιδιώτες. Ο πονηρός αχθοφόρος επιστρέφει μόνον 1.000 δραχμές σε καθέναν από τους ταξιδιώτες και κρατά για τον εαυτό του τις υπόλοιπες 2.000 δραχμές. Άρα οι τρεις ταξιδιώτες ξόδεψαν 27.000 δραχμές και ο αχθοφόρος κράτησε 2.000 δραχμές. Τι απέγιναν οι 1.000 δραχμές μέχρι τις 30.000 που αρχικά ξόδεψαν οι τρεις ταξιδιώτες ? </span></span><br />
<div class="MsoNormal" style="margin: 0px 15px;">
<span lang="EL" style="mso-ansi-language: EL;"><span style="font-family: "verdana";"><span style="color: black;"> </span></span></span></div>
<div style="margin: 0px 15px;">
<span style="color: black;"><span lang="EL" style="mso-ansi-language: EL; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-font-family: Times New Roman; mso-fareast-language: EN-US;"><span style="font-family: "verdana";"><< </span><span style="font-family: "verdana";">Δεν λείπουν 1.000 δραχμές. Οι τρεις ταξιδιώτες ξόδεψαν 25.000 για το ξενοδοχείο και 2.000 για τον αχθοφόρο…! </span><span style="font-family: "verdana";">>></span></span> </span></div>
<br /></div>
</div>
<div class="MsoBodyText" style="margin-left: 15px; margin-right: 15px; mso-list: l0 level1 lfo1; tab-stops: list 36.0pt; text-align: justify;">
</div>
</div>
</div>
</div>
</div>
</div>
<!-- Blogger automated replacement: "https://images-blogger-opensocial.googleusercontent.com/gadgets/proxy?url=http%3A%2F%2F1.bp.blogspot.com%2F_52hIIZBMqP8%2FRt3vj_F-UII%2FAAAAAAAAAMI%2F7SMUqQQ3il8%2Fs320%2FLW441.jpg&container=blogger&gadget=a&rewriteMime=image%2F*" with "https://1.bp.blogspot.com/_52hIIZBMqP8/Rt3vj_F-UII/AAAAAAAAAMI/7SMUqQQ3il8/s320/LW441.jpg" -->Αλέξανδρος Μόσχοςhttp://www.blogger.com/profile/04357778829560813366noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7730717435979339231.post-42557352394147509102011-01-23T01:29:00.000-08:002018-03-22T09:55:29.405-07:00ON LINE ΨΗΦΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΤΗΝ ΤΑΞΗ.<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<b><span style="color: blue; font-size: large;"><br /></span></b>
<b><span style="color: blue; font-size: large;"><br /></span></b>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://2.bp.blogspot.com/-xb6kjV-o_Bc/Uwi_yim6xeI/AAAAAAAABF8/qjt5MFFBj8w/s1600/de.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="66" src="https://2.bp.blogspot.com/-xb6kjV-o_Bc/Uwi_yim6xeI/AAAAAAAABF8/qjt5MFFBj8w/s1600/de.png" width="320" /></a></div>
<b><span style="color: blue; font-size: large;"><br /></span></b>
<b><span style="color: blue; font-size: large;">Εδώ </span></b><span style="color: blue; font-size: large; font-weight: bold;">θα παρουσιαστούν μαθήματα μαθηματικών για χρήση on line στην σχολική τάξη. </span><b><span style="color: blue; font-size: large;">Πρόκειται για ψηφιακή διδασκαλία μαθηματικών που περιέχει ρεαλιστικά προβλήματα , παιχνίδια , πειράματα , χρήση λογισμικών , σύνδεση με το ίντερνετ και ότι άλλο απαιτηθεί για τη διδασκαλία μιας συγκεκριμένης διδακτικής ενότητας. </span></b><br />
<br />
<br />
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><b style="background-color: orange;">Μάθημα 1</b></span><br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><b style="background-color: orange;"><br /></b></span>
<span style="background-color: orange;"><span style="color: blue; font-size: large;"><b>ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ</b></span>.</span><br />
<br />
<br />
<br />
<span style="color: #cc0000; font-size: large;"><b><i>1. Πρόβλημα.</i></b></span><b style="font-size: x-large;"><i><span style="color: #cc0000;">( Συζητάμε στην τάξη).</span></i></b><br />
<div>
</div>
<a href="http://4.bp.blogspot.com/-PiHWe-LJYtk/UwipCDbjLxI/AAAAAAAABFY/R1dln7pkKh4/s1600/img149+(3).jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="200" src="https://4.bp.blogspot.com/-PiHWe-LJYtk/UwipCDbjLxI/AAAAAAAABFY/R1dln7pkKh4/s1600/img149+(3).jpg" width="135" /></a><span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><b><i>Η Ελένη πήγε στο σούπερ μάρκετ. Ήθελε ν' αγοράσει δύο τετράδια κι έναν χάρακα για το σχολείο της.Το κάθε τετράδιο κοστίζει από 3,5 ευρώ και ένa σετ με χάρακες 5 ευρώ.Πόσα ρέστα θα πάρει από ένα δεκάευρο που είχε μαζί της;</i></b></span><br />
<span style="font-size: large;"> </span><b style="font-size: x-large;"> </b><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;">Τι παράξενο παρατηρείτε στη λύση του προβλήματος;</span><br />
<span style="font-size: large;">Τι απάντηση θα δίνατε; Ποιο είναι το τελικό αποτέλεσμα;</span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="color: #cc0000; font-size: large;"><b><i>2. Παιχνίδι.</i></b></span><br />
<b><i><span style="font-size: large;"><br /></span><span style="color: #cc0000; font-size: large;">Α. Προσέξτε και λύστε τα παρακάτω προβλήματα :</span></i></b><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<br />
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<a href="http://3.bp.blogspot.com/-L_Gi-zLSdPs/UwipXwjGJYI/AAAAAAAABFg/Htvnsqg84ig/s1600/img078+(2).jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="118" src="https://3.bp.blogspot.com/-L_Gi-zLSdPs/UwipXwjGJYI/AAAAAAAABFg/Htvnsqg84ig/s1600/img078+(2).jpg" width="200" /></a><span style="font-size: large;"><i><b>Ο
Νίκος και η Κατερίνα παίζουν ένα παιχνίδι. Στο πρώτο ο Νίκος κέρδισε με 18
πόντους την φίλη του. Στο δεύτερο έχασε με 23. Ποιος είναι ο νικητής και
με πόσους πόντους διαφορά;<o:p></o:p></b></i></span></div>
<b><span style="font-size: large;"><i><br /></i></span>
</b><br />
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><i><b>Ο
Νίκος και η Κατερίνα παίζουν ένα παιχνίδι. Στο πρώτο ο Νίκος έχασε με 8 πόντους από την φίλη του. Στο δεύτερο έχασε πάλι με 11. Ποιος είναι ο νικητής και με πόσους πόντους διαφορά;</b></i></span><span style="font-size: medium;"><o:p></o:p></span></div>
<br />
<span style="color: #cc0000; font-size: large;"><b><i>Β. Παίζουμε ένα παιχνίδι :</i></b></span><span style="font-size: large;"> </span><br />
<span style="font-size: large;">Χωριστείτε σε ομάδες δύο ατόμων. Ο καθένας ας βάλει παρόμοια προβλήματα στον άλλον. Αν απανταέι σωστά κερδίζει 10 βαθμούς αν όχι χάνει 5. Παίξτε αρκετές φορές καταγράφοντας τους βαθμούς.Νικητής αναδεικνύεται όποιος συγκεντρώσει το μεγαλύτερο σκορ.</span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="color: #cc0000; font-size: large;"><b><i>3. Πρόβλημα</i></b></span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<br />
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<a href="http://2.bp.blogspot.com/-N8p8xIQxWqc/UwiqJyG_JwI/AAAAAAAABFs/kPeeF5OCi78/s1600/img119+(2).jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="200" src="https://2.bp.blogspot.com/-N8p8xIQxWqc/UwiqJyG_JwI/AAAAAAAABFs/kPeeF5OCi78/s1600/img119+(2).jpg" width="137" /></a><span style="font-size: large;">Ο
Πέτρος βρίσκεται στο αυτοκίνητο του πατέρα του καθ’ οδόν για το σπίτι του. Ο
πατέρας του ανοίγει το ραδιόφωνο και μετά βίας ακούν τα στατιστικά του αγώνα
ΠΑΟΚ – ΑΡΗΣ που μεταδιδόταν Ο αγώνας μόλις είχε τελειώσει! : Ο Άρης έβαλε 2 ελεύθερες βολές λιγότερες
από τον ΠΑΟΚ , 5 δίποντα περισσότερα και 3 τρίποντα λιγότερα. Ποιος νίκησε και
με πόσους πόντους διαφορά;</span><span style="font-size: medium;"><o:p></o:p></span></div>
<br />
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<span style="font-size: large;"><span style="color: #cc0000;"><b><i>4. Ο βάτραχος.</i></b></span></span><br />
<span style="font-size: large;"><span style="color: #cc0000;"><b><i><br /></i></b></span></span>
<b><i><span style="font-size: large;">Για βοήθεια και διαπραγμάτευση ανοίξτε το παρακάτω</span><span style="font-size: large;"> αρχείο : </span></i></b><b><span style="color: blue; font-size: large;"><a href="https://drive.google.com/file/d/0BxbKSKHiz6zaSTFYWk1WZWNBZ3c/edit?usp=sharing"><i>Sketchpad : "Ο βάτραχος στο πηγάδι".</i></a></span></b><b><i> </i></b><br />
<div>
<b><i><br /></i></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<!--[if gte vml 1]><v:shapetype
id="_x0000_t75" coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:preferrelative="t"
path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" filled="f" stroked="f">
<v:stroke joinstyle="miter"/>
<v:formulas>
<v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"/>
<v:f eqn="sum @0 1 0"/>
<v:f eqn="sum 0 0 @1"/>
<v:f eqn="prod @2 1 2"/>
<v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"/>
<v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"/>
<v:f eqn="sum @0 0 1"/>
<v:f eqn="prod @6 1 2"/>
<v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"/>
<v:f eqn="sum @8 21600 0"/>
<v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"/>
<v:f eqn="sum @10 21600 0"/>
</v:formulas>
<v:path o:extrusionok="f" gradientshapeok="t" o:connecttype="rect"/>
<o:lock v:ext="edit" aspectratio="t"/>
</v:shapetype><v:shape id="_x0000_s1026" type="#_x0000_t75" style='position:absolute;
left:0;text-align:left;margin-left:-9pt;margin-top:14.7pt;width:109.85pt;
height:252pt;z-index:1'>
<v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\user\LOCALS~1\Temp\msohtml1\01\clip_image001.emz"
o:title=""/>
<w:wrap type="square"/>
</v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><b><span style="font-size: large;"><o:p></o:p></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Ένας βάτραχος βρίσκεται εγκλωβισμένος στον πυθμένα
ενός πηγαδιού. Θέλει να σκαρφαλώσει στον τοίχο του πηγαδιού για να βρεθεί στην
επιφάνεια. Δεν του φτάνει όμως αυτό. Πρέπει να συνεχίσει την πορεία του
σκαρφαλώνοντας τον τοίχο του βασιλικού κάστρου που βρίσκεται πάνω από το
πηγάδι. Το δράμα του όμως είναι ότι τη μέρα καταφέρνει να ανεβεί <st1:metricconverter productid="5 μέτρα" w:st="on">5 μέτρα</st1:metricconverter> από τα 18 που έχει
το πηγάδι , τη νύχτα όμως αποκοιμιέται και πέφτει <st1:metricconverter productid="2 μέτρα" w:st="on">2 μέτρα</st1:metricconverter>. Το κάστρο έχει
ύψος <st1:metricconverter productid="16 μέτρα" w:st="on">1<span lang="EN-US">6</span> μέτρα</st1:metricconverter>. Μόλις
φτάσει στο κάστρο θα ξεγλιστρήσει στο δωμάτιο της πριγκίπισσας. Αν καταφέρει να
πάρει ένα φιλί θα μεταμορφωθεί στον πρίγκιπα που ήταν κάποτε πριν τον τιμωρήσει
η κακιά μάγισσα.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
</div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<span style="font-size: large;"> Bρείτε τη θέση του βατράχου σε διάφορες στιγμές :</span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<br /></div>
<table align="left" border="1" cellpadding="0" cellspacing="0" class="MsoTableGrid" style="border-collapse: collapse; border: none; margin-left: 6.75pt; margin-right: 6.75pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-insideh: .5pt solid windowtext; mso-border-insidev: .5pt solid windowtext; mso-padding-alt: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; mso-table-anchor-horizontal: margin; mso-table-anchor-vertical: paragraph; mso-table-left: center; mso-table-lspace: 9.0pt; mso-table-rspace: 9.0pt; mso-table-top: 2.6pt; mso-yfti-tbllook: 480;">
<tbody>
<tr>
<td style="border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 121.95pt;" valign="top" width="163"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<b><span style="font-size: large;">Χρονική στιγμή<o:p></o:p></span></b></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 121.95pt;" valign="top" width="163"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<b><span style="font-size: large;"> Πράξη<o:p></o:p></span></b></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 121.95pt;" valign="top" width="163"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<b><span style="font-size: large;"> Αποτέλεσμα<o:p></o:p></span></b></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 121.95pt;" valign="top" width="163"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: large;">1<sup>ο</sup> σούρουπο<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 121.95pt;" valign="top" width="163"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 121.95pt;" valign="top" width="163"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 121.95pt;" valign="top" width="163"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: large;">1<sup>ο</sup> πρωί <o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 121.95pt;" valign="top" width="163"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 121.95pt;" valign="top" width="163"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 121.95pt;" valign="top" width="163"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: large;">2<sup>ο</sup> σούρουπο<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 121.95pt;" valign="top" width="163"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 121.95pt;" valign="top" width="163"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 121.95pt;" valign="top" width="163"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: large;">2<sup>ο</sup> πρωί<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 121.95pt;" valign="top" width="163"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 121.95pt;" valign="top" width="163"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 121.95pt;" valign="top" width="163"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: large;">3<sup>ο</sup> σούρουπο<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 121.95pt;" valign="top" width="163"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 121.95pt;" valign="top" width="163"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 121.95pt;" valign="top" width="163"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: large;">3<sup>ο</sup> πρωί<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 121.95pt;" valign="top" width="163"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 121.95pt;" valign="top" width="163"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
</tr>
</tbody></table>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<br />
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<span style="font-size: large;"><br /></span><span style="font-size: large;"><br /></span>
<br />
<br />
<span style="font-size: large;"><span style="color: #cc0000;"><b><br /></b></span></span>
<span style="font-size: large;"><span style="color: #cc0000;"><b><br /></b></span></span>
<span style="font-size: large;"><span style="color: #cc0000;"><b>5. Video. </b></span><b><span style="color: #cc0000;"><i>Συζητάμε στη τάξη.</i></span></b></span><br />
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: #cc0000;"><i><br /></i></span></b></span>
<span style="font-size: large;">Προσέξτε τα παρακάτω video.Ποιο τρόπο χειρισμού για τις προσθέσεις ρητών αριθμών προτείνουν; </span><br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;"><br /></span></b>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.youtube.com/embed/cxTMFaIZa38?feature=player_embedded' frameborder='0'></iframe></div>
<div class="" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.youtube.com/embed/8NdYQM9nM2E?feature=player_embedded' frameborder='0'></iframe></div>
<b><span style="color: blue; font-size: large;"><br /></span></b>
<b><span style="color: blue; font-size: large;"><br /></span></b>
<a href="https://www.blogger.com/blogger.g?blogID=7730717435979339231" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"></a><a href="https://www.blogger.com/blogger.g?blogID=7730717435979339231" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"></a><span style="font-size: large;"><span style="color: #cc0000; font-weight: bold;">6.</span><span style="color: blue; font-weight: bold;"> </span> <span style="color: #cc0000;"><i><b>Sketchpad.</b></i></span><i><b><span style="color: #cc0000;">Συζητάμε στην τάξη.</span></b></i></span><br />
<span style="font-size: large;">Ανοίξτε το παρακάτω αρχείο και μελετήστε την εξουδετέρωση των φορτίων.Ποιον κανόνα για την πρόσθεση</span><span style="font-size: large;"> ρητών προτείνει; </span><br />
<b><span style="font-size: large;"><i style="color: blue;"><a href="https://drive.google.com/file/d/0BxbKSKHiz6zaQ3BmT0p5Rld3WjQ/edit?usp=sharing">Sketchpad : "Εξουδετέρωση φορτίων". </a></i><br /><br /><br /><br /><span style="color: #cc0000;">7. To θερμόμετρο.</span><br /><br />Με τη βοήθεια του παρακάτω θεμομέτρου να υπολογίσετε τα αθροίσματα :</span></b><br />
<b><span style="font-size: large;"><br /></span></b>
<b><span style="font-size: large;">-3 + 4 = -3 + 8 = -3 + 2= </span></b><br />
<b><span style="font-size: large;"><br /></span></b>
<b><span style="font-size: large;">-3 + 6 = -3 + 3 = -3 + 1 =</span></b><br />
<b><span style="font-size: large;"><br /></span></b>
<br />
<a href="http://1.bp.blogspot.com/-KTJaw8GXRlk/Uwim28YXwEI/AAAAAAAABFM/X6uFTnhL2JA/s1600/10-01-2013+08;52;26AM.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" height="155" src="https://1.bp.blogspot.com/-KTJaw8GXRlk/Uwim28YXwEI/AAAAAAAABFM/X6uFTnhL2JA/s1600/10-01-2013+08;52;26AM.JPG" width="400" /></a><b><span style="color: blue; font-size: large;"><br /></span></b>
<b><span style="color: blue; font-size: large;"><br /></span></b>
<b><span style="color: blue; font-size: large;"><br /></span></b><br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;"><br /></span></b>
<b><span style="color: blue; font-size: large;"><br /></span></b>
<br />
<span style="color: #990000;"> </span><span style="color: blue; font-size: large;"><b style="background-color: orange;">Μάθημα 2</b></span><br />
<span style="color: blue;"><b><br /></b></span>
<span style="color: blue; font-size: large;"><b style="background-color: orange;">ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ.</b></span><br />
<br />
<br />
<br />
<span style="color: #cc0000; font-size: large;"><b><i>1. Σχεδιάζω στο πρόχειρο και μετρώ!</i></b></span><br />
<span style="font-size: large;"><span style="color: #990000;"><b><i><br /></i></b></span></span>
<span style="font-size: large;">Στο πρόχειρο τετράδιό σας σχεδιάστε 2 οξυγώνια , 2 αμβλυγώνια και 2 ορθογώνια τρίγωνα. Μετρήστε τις γωνίες του κάθε τριγώνου με μοιρογνωμόνιο.Υπολογίστε το άθροισμα των γωνιών του και συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα :</span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<br />
<table border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" class="MsoNormalTable" style="border-collapse: collapse; margin-left: 5.4pt; mso-padding-alt: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; mso-table-layout-alt: fixed;">
<tbody>
<tr>
<td style="background: #CCCCCC; border-right: none; border: solid navy 1.0pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 86.4pt;" valign="top" width="115"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;"> <o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-right: none; border: solid navy 1.0pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 108.0pt;" valign="top" width="144"><div class="MsoNormal">
<b><span style="font-size: 14.0pt;">
Οξυγώνιο <o:p></o:p></span></b></div>
<div class="MsoNormal">
<b><span style="font-size: 14.0pt;"> τρίγωνο<o:p></o:p></span></b></div>
</td>
<td style="border-right: none; border: solid navy 1.0pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 117.0pt;" valign="top" width="156"><div class="MsoNormal">
<b><span style="font-size: 14.0pt;">
Ορθογώνιο <o:p></o:p></span></b></div>
<div class="MsoNormal">
<b><span style="font-size: 14.0pt;"> τρίγωνο<o:p></o:p></span></b></div>
</td>
<td style="border: solid navy 1.0pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 118.5pt;" valign="top" width="158"><div class="MsoNormal">
<b><span style="font-size: 14.0pt;">
Αμβλυγώνιο<o:p></o:p></span></b></div>
<div class="MsoNormal">
<b><span style="font-size: 14.0pt;"> τρίγωνο<o:p></o:p></span></b></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-bottom: solid navy 1.0pt; border-left: solid navy 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-top-alt: solid navy 1.0pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 86.4pt;" valign="top" width="115"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<b><span style="font-size: 14.0pt;">Α<o:p></o:p></span></b></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid navy 1.0pt; border-left: solid navy 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-top-alt: solid navy 1.0pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 108.0pt;" valign="top" width="144"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid navy 1.0pt; border-left: solid navy 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-top-alt: solid navy 1.0pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 117.0pt;" valign="top" width="156"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-top: none; border: solid navy 1.0pt; mso-border-top-alt: solid navy 1.0pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 118.5pt;" valign="top" width="158"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-bottom: solid navy 1.0pt; border-left: solid navy 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-top-alt: solid navy 1.0pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 86.4pt;" valign="top" width="115"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<b><span style="font-size: 14.0pt;">Β<o:p></o:p></span></b></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid navy 1.0pt; border-left: solid navy 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-top-alt: solid navy 1.0pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 108.0pt;" valign="top" width="144"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid navy 1.0pt; border-left: solid navy 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-top-alt: solid navy 1.0pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 117.0pt;" valign="top" width="156"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-top: none; border: solid navy 1.0pt; mso-border-top-alt: solid navy 1.0pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 118.5pt;" valign="top" width="158"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="background: #CCFFFF; border-bottom: solid navy 1.0pt; border-left: solid navy 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-top-alt: solid navy 1.0pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 86.4pt;" valign="top" width="115"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<b><span style="font-size: 14.0pt;">Α + Β + Γ<o:p></o:p></span></b></div>
</td>
<td style="background: #CCFFFF; border-bottom: solid navy 1.0pt; border-left: solid navy 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-top-alt: solid navy 1.0pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 108.0pt;" valign="top" width="144"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="background: #CCFFFF; border-bottom: solid navy 1.0pt; border-left: solid navy 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-top-alt: solid navy 1.0pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 117.0pt;" valign="top" width="156"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="background: #CCFFFF; border-top: none; border: solid navy 1.0pt; mso-border-top-alt: solid navy 1.0pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 118.5pt;" valign="top" width="158"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
</tr>
</tbody></table>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;">Τι παρατηρείτε;</span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="color: #cc0000; font-size: large;"><b><i>2. Διερευνώντας στο Geogebra.</i></b></span><br />
<span style="font-size: large;"><span style="color: #cc0000;"><i><b><br /></b></i></span></span>
<span style="font-size: large;">Ανοίξτε ένα αρχείο Geogebra.</span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;">Βήμα 1 : Σχηματίστε ένα τρίγωνο ΑΒΓ.</span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;">Βήμα 2 : Μετρήστε τις γωνίες του</span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;">Βήμα 3 : Υπολογίστε το άθροιμα Α+Β+Γ.</span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;">Βήμα 4 : Μετακινήστε τις κορυφές του τριγώνου σε διαφορετικές θέσεις και καταγράψτε τις νέες γωνίες Α, Β,Γ καθώς και το άθροισμα Α+Β+Γ.</span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<br />
<table border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" class="MsoNormalTable" style="border-collapse: collapse; margin-left: 62.25pt; mso-padding-alt: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; mso-table-layout-alt: fixed;">
<tbody>
<tr>
<td style="border-right: none; border: solid navy 1.0pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 77.4pt;" valign="top" width="103"><div class="MsoNormal">
<b><span style="font-size: 14.0pt;">
Α<o:p></o:p></span></b></div>
</td>
<td style="border-right: none; border: solid navy 1.0pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 81.0pt;" valign="top" width="108"><div class="MsoNormal">
<b><span style="font-size: 14.0pt;">
Β<o:p></o:p></span></b></div>
</td>
<td style="border-right: none; border: solid navy 1.0pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 72.0pt;" valign="top" width="96"><div class="MsoNormal">
<b><span style="font-size: 14.0pt;">
Γ<o:p></o:p></span></b></div>
</td>
<td style="border: solid navy 1.0pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 100.5pt;" valign="top" width="134"><div class="MsoNormal">
<b><span style="font-size: 14.0pt;">
Α + Β + Γ<o:p></o:p></span></b></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-bottom: solid navy 1.0pt; border-left: solid navy 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-top-alt: solid navy 1.0pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 77.4pt;" valign="top" width="103"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid navy 1.0pt; border-left: solid navy 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-top-alt: solid navy 1.0pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 81.0pt;" valign="top" width="108"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid navy 1.0pt; border-left: solid navy 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-top-alt: solid navy 1.0pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 72.0pt;" valign="top" width="96"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-top: none; border: solid navy 1.0pt; mso-border-top-alt: solid navy 1.0pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 100.5pt;" valign="top" width="134"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-bottom: solid navy 1.0pt; border-left: solid navy 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-top-alt: solid navy 1.0pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 77.4pt;" valign="top" width="103"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid navy 1.0pt; border-left: solid navy 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-top-alt: solid navy 1.0pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 81.0pt;" valign="top" width="108"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid navy 1.0pt; border-left: solid navy 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-top-alt: solid navy 1.0pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 72.0pt;" valign="top" width="96"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-top: none; border: solid navy 1.0pt; mso-border-top-alt: solid navy 1.0pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 100.5pt;" valign="top" width="134"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-bottom: solid navy 1.0pt; border-left: solid navy 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-top-alt: solid navy 1.0pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 77.4pt;" valign="top" width="103"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid navy 1.0pt; border-left: solid navy 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-top-alt: solid navy 1.0pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 81.0pt;" valign="top" width="108"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid navy 1.0pt; border-left: solid navy 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-top-alt: solid navy 1.0pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 72.0pt;" valign="top" width="96"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-top: none; border: solid navy 1.0pt; mso-border-top-alt: solid navy 1.0pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 100.5pt;" valign="top" width="134"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-bottom: solid navy 1.0pt; border-left: solid navy 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-top-alt: solid navy 1.0pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 77.4pt;" valign="top" width="103"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid navy 1.0pt; border-left: solid navy 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-top-alt: solid navy 1.0pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 81.0pt;" valign="top" width="108"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid navy 1.0pt; border-left: solid navy 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-top-alt: solid navy 1.0pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 72.0pt;" valign="top" width="96"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-top: none; border: solid navy 1.0pt; mso-border-top-alt: solid navy 1.0pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 100.5pt;" valign="top" width="134"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
</tr>
</tbody></table>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;">Τι παρατηρείτε;</span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="color: #cc0000; font-size: large;"><b><i>3. Video.Συζητάμε στην τάξη.</i></b></span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;">Πρoσέξτε την πειραματική απόδειξη για το άθροισμα των γωνιών τριγώνου στο παρακάτω video.Περιγράψτε τι ακριβώς έγινε και με ποιον τρόπο αποδείχτηκε.</span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="color: #cc0000; font-size: large;"><b><i>4. Κατασκευή 1.</i></b></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal">
<b><u><span style="color: blue; font-size: large;"><i>Υλικά<o:p></o:p></i></span></u></b></div>
<div class="MsoNormal">
<b><span style="color: blue; font-size: large;"><i>Ένα λευκό φύλλο
χαρτιού.<o:p></o:p></i></span></b></div>
<div class="MsoNormal">
<b><span style="color: blue; font-size: large;"><i>Ένα στυλό.<o:p></o:p></i></span></b></div>
<div class="MsoNormal">
<b><span style="color: blue; font-size: large;"><i>Ένας χάρακας<o:p></o:p></i></span></b></div>
<div class="MsoNormal">
<b><span style="color: blue; font-size: large;"><i>Ένα ψαλίδι.<o:p></o:p></i></span></b></div>
<div class="MsoNormal">
<b><span style="color: blue; font-size: large;"><i>Ένα ζιλοτέιπ.</i></span><o:p></o:p></b></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><b>Α.</b> Σ΄ ένα φύλλο
χαρτί σχεδιάστε ένα τρίγωνο ΑΒΓ. Ονοματίστε στο εσωτερικό του τις <b> </b>γωνίες
του με αριθμούς 1 , 2 , 3. Κόψτε μ΄ένα
ψαλίδι το τρίγωνο γύρω-γύρω.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"> </span><span style="font-size: large;"> </span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<span style="font-size: large;"><b>Β</b>. Κόψτε τις τρεις γωνίες (1) , ( 2) , (3)</span><span style="font-size: large;"> </span><span style="font-size: large;"> </span><span style="font-size: large;"> </span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<span style="font-size: large;">Κολλήστε
τις με ζιλοτέιπ στον παρακάτω κενό χώρο
κατά τρόπο ώστε να είναι <b> </b>διαδοχικές.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<span style="font-size: large;"><b>Γ.</b> Τι γωνία σχηματίζουν και οι
τρεις μαζί; :<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<b><span style="font-size: large;"> </span></b><span style="font-size: large;">Ποια είναι η τιμή του
αθροίσματος</span><b style="font-size: x-large;"> : </b><b style="font-size: x-large;"><span lang="EN-US">A</span></b><b style="font-size: x-large;"> + </b><b style="font-size: x-large;"><span lang="EN-US">B</span></b><b style="font-size: x-large;"> + Γ </b></div>
<br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="color: #cc0000; font-size: large;"><b><i>5. Κατασκευή 2</i></b></span><br />
<span style="color: #990000; font-size: large;"><b><br /></b></span>
<span style="color: blue; font-size: large;"><i><b>Υλικά </b></i></span><br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><i><b><br /></b></i></span>
<span style="color: blue; font-size: large;"><i><b>Πρόχειρο τετράδιο</b></i></span><br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><i><b>Ριζόχαρτο ( λεπτό , διαφανές χαρτί ιχνογραφίας).</b></i></span><br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><i><b>Μολύβι.</b></i></span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<br />
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: large;"><b>Α.</b> Στο πρόχειρό σας τετράδιο σχεδιάστε ένα τρίγωνο ΑΒΓ.<span lang="EN-US"><o:p></o:p></span></span></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: large;"><span lang="EN-US"> </span> </span></div>
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 326.25pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><b>Β</b>. Με το
διαφανές χαρτί ( ριζόχαρτο) που σας έδωσα ζωγραφίστε ( παρτιτούρα) τις
τρεις γωνίες του. Μεταφέρετε στη
συνέχεια τις γωνίες στην ευθεία γωνία <span lang="EN-US">xx</span>΄ του
παρακάτω σχήματος έτσι ώστε να έχουν κοινή αρχή το σημείο Ο και να είναι
διαδοχικές.<o:p></o:p></span></div>
<br />
<div class="MsoNormal" style="tab-stops: 326.25pt; text-align: justify;">
<br /></div>
<span style="font-size: large;">Γ. Τι παρατηρείτε ; </span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span><span style="font-size: large;"><br /><br /><span style="color: blue;"><b style="background-color: orange;">Μάθημα 3</b></span></span><br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><b><br /></b></span>
<span style="color: blue; font-size: large;"><b style="background-color: orange;">Όμοια τρίγωνα.</b></span><br />
<br />
<span style="color: #cc0000; font-size: large;"><b>1. Κατασκευή</b></span><br />
<span style="color: #cc0000; font-size: large;"><b><br /></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><i>Υλικά</i></b></span><br />
<span style="font-size: large;"><b><i><br /></i></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><i>Κόλλες Α4</i></b></span><br />
<span style="font-size: large;"><b><i>Ζιλοτέιπ</i></b></span><br />
<span style="font-size: large;"><b><i>Μοιρογνωμόνιο</i></b></span><br />
<span style="font-size: large;"><b><i>Φωτοτυπικό μηχάνημα του σχολείου.</i></b></span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><b><i>Βήμα 1 :</i></b> Σε ένα χαρττί Α4 σχεδιάστε ένα τρίγωνο ΑΒΓ.</span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><b><i>Βήμα 2 :</i></b> Πηγαίνετε στο φωτοτυπικό μηχάνημα του σχολείου σας και βγάλετε φωτοτυπίες του σχήματος με σμίκρυνση : 93% , 71% , 50% και 25%.</span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><b><i>Βήμα 3 </i></b>: Κολλήστε με ζιλοτέιπ τις φωτοτυπίες στον πίνακα της τάξης.</span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><b><i>Βήμα 4 : </i></b> Μετρήστε με ένα μοιρογνωμόνιο τις γωνίες όλων των τριγώνων. Τι παρατηρείτε;</span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><b><i>Βήμα 5 </i></b>: Μετρήστε τις πλευρές των τριγώνων. Βρείτε για κάθε ζευγάρι τριγώνων τους λόγους των πλευρών του. Τι παρατηρείτε;Τι σχέση έχει ο λόγος ομοιότητας με τα ποσοστά σμίκρυνσης που έκανε το φωτοτυπικό μηχάνημα;</span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="color: #cc0000; font-size: large;"><b>2. Ιστορικά προβλήματα στα όμοια τρίγωνα.</b></span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<br />
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<b><span style="font-size: 14.0pt;">Δραστηριότητα
1 </span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;"> </span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<o:p></o:p><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://4.bp.blogspot.com/-ubvx3wKXKtU/UwzWAmlo_lI/AAAAAAAABGU/flhPCxp6_ps/s1600/25-03-2013+09;44;51AM.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="640" src="https://4.bp.blogspot.com/-ubvx3wKXKtU/UwzWAmlo_lI/AAAAAAAABGU/flhPCxp6_ps/s1600/25-03-2013+09;44;51AM.JPG" width="528" /></a></div>
<span style="font-size: large;"><br /></span><span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><b>Δραστηριότητα 2</b></span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: 14pt;"><!--[if gte vml 1]><v:shapetype id="_x0000_t75"
coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:preferrelative="t" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe"
filled="f" stroked="f">
<v:stroke joinstyle="miter"/>
<v:formulas>
<v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"/>
<v:f eqn="sum @0 1 0"/>
<v:f eqn="sum 0 0 @1"/>
<v:f eqn="prod @2 1 2"/>
<v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"/>
<v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"/>
<v:f eqn="sum @0 0 1"/>
<v:f eqn="prod @6 1 2"/>
<v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"/>
<v:f eqn="sum @8 21600 0"/>
<v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"/>
<v:f eqn="sum @10 21600 0"/>
</v:formulas>
<v:path o:extrusionok="f" gradientshapeok="t" o:connecttype="rect"/>
<o:lock v:ext="edit" aspectratio="t"/>
</v:shapetype><v:shape id="_x0000_i1025" type="#_x0000_t75" style='width:513pt;
height:225pt'>
<v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\user\LOCALS~1\Temp\msohtml1\01\clip_image001.jpg"
o:title="25-03-2013 09;46;16AM" croptop="24927f" cropbottom="21647f"/>
</v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--></span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://1.bp.blogspot.com/-WA-L8f7nypc/UwzWfHHxoNI/AAAAAAAABGc/2MtN6a4-Vrk/s1600/25-03-2013+09;41;52AM.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="347" src="https://1.bp.blogspot.com/-WA-L8f7nypc/UwzWfHHxoNI/AAAAAAAABGc/2MtN6a4-Vrk/s1600/25-03-2013+09;41;52AM.JPG" width="400" /></a></div>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="color: blue; font-size: large;"><i><b>Σε συνεργασία με τον καθηγητή τεχνολογίας δημιουργούμε παρόμοιες μακέτες για την αναπαράσταση των ιστορικών αυτών μεθόδων υπολογισμού.</b></i></span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><b>Δραστηριότητα 3</b> </span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;">Πως ο Θαλής υπολόγισε το ύψος της πυραμίδας;</span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://3.bp.blogspot.com/-pxDw_W_KIn8/UwzZpk0tgHI/AAAAAAAABG4/cvwSvCvcmVw/s1600/23-02-2013+06;31;14PM.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="377" src="https://3.bp.blogspot.com/-pxDw_W_KIn8/UwzZpk0tgHI/AAAAAAAABG4/cvwSvCvcmVw/s1600/23-02-2013+06;31;14PM.JPG" width="400" /></a></div>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: #cc0000;"><br /></span></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: #cc0000;"><br /></span></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: #cc0000;">3. Διαβάζοντας από το " Θεώρημα του παπαγάλου" του Ντενί Γκετζ. (Μαθηματική Λογοτεχνία).</span></b></span><br />
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: #cc0000;"><br /></span></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: #cc0000;"><br /></span></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: #cc0000;">Απόσπασμα 1</span></b></span><br />
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: #cc0000;"><br /></span></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: #cc0000;"><br /></span></b></span>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<b><span style="color: #cc0000;"><b style="color: blue;"><i>" Ο Θαλής συνέλαβε λοιπόν την ιδέα : η σχέση που έχω με τη σκιά μου , είναι η ίδια με αυτήν που έχει η πυραμίδα με τη δική της σκιά.Στη συνέχεια συμπέρανε : Τη στιγμή που η σκιά μου θα είναι ίση με το ύψος μου , η σκιά της πυραμίδας θα είναι ίση με το δικό της ύψος.Ιδού η Ιδέα. Για το εγχείρημα αυτό χρειαζόταν έναν βοηθό.Ο φελάχος δέχτηκε να βοηθήσει.Την άλλη μέρα ο φελάχος κάθισε κάτω από τη τεράστια σκιά της πυραμίδας.Ο Θαλής σχεδιάσε στην άμμο έναν κύκλο ίσο με το ύψος του και τοποθετήθηκε στο κέντρο και κορδώθηκε ώστε να είναι εντελώς ίσιος.Ύστερα κάρφωσε το βλέμμα του στην άκρη της σκιάς του.Μόλις η σκιά άγγιξε την άκρη του κύκλου , δηλαδή τη στιγμή που η σκιά του έγινε ίση με το ύψος του άφησε την προκαθορισμένη συνθηματική φωνή.Ο φελάχος που παραμόνευε έσπευσε να φυτέψει ένα πάσσαλο στο σημείο που έφτανε η άκρη της σκιάς της πυραμίδας.Ο Θαλής έτρεξε προς τον πάσσαλο.Με ένα τεντωμένο σχοινί από τη βάση της πυραμίδας μέχρι τον πάσσαλο μέτρησαν τη σκιά της πυραμίδας άρα και το ύψος της!</i></b></span></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><span style="color: #cc0000;"><b style="color: blue;"><i>Ο Θαλης έβαλε σε εφαρμογή ένα μεγαλοφυιές σχέδιο : Αφού δεν μπορώ να μετρήσω το ύψος που χάνεται στους ουρανούς , θα μετρήσω τη σκιά που είναι πεσμένη στο έδαφος. Με το "μικρό" θα μετρήσω το " μεγάλο" , με το "προσιτό " το "απρόσιτο" , με το " κοντινό" το " μακρινό".</i></b></span></b></div>
<br />
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: #cc0000;"><br /></span></b></span><span style="font-size: large;"><b><span style="color: #cc0000;">Απόσπασμα 2</span></b></span><br />
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: #cc0000;"><br /></span></b></span>
<b><span style="color: blue;"><i>"Τους τύπους πρέπει να τους κάνεις να μιλάνε .Αν θέλεις να μάθεις τι κρύβουν ανέκρινέ τους. Ο τύπος της ομοιότητας του Θαλή τι θέλει να μας πει; Πίσω από την ομοιότητα υπάρχει η ΜΟΡΦΗ. Όλα τα όμοια αντικείμενα έχουν την ίδια μορφή σε διαφορετικό μέγεθος. Διατήρηση των αναλογιών (ίσων λόγων) σημαίνει διατήρηση της μορφής. Θα μπορούσαμε να πούμε ότι αν διατηρήσουμε ίσες τις αναλογίες και αλλάξουμε τις διαστάσεις αυτό που διατηρείται είναι η μορφή, υπάρχει τότε η ομοιότητα. Ο Θαλής ανέπτυξε ένα από τα κοσμήματα των ελληνικών μαθηματικών την επιστήμη των αναλογιών".</i></span></b><br />
<span style="font-size: large;"><span style="font-size: small;"><br /></span></span>
<br />
<span style="font-size: large;"><span style="color: #cc0000;"><b>Αφορμές για συζήτηση</b></span></span><br />
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: #cc0000;"><br /></span></b></span>
<span style="font-size: large;"><b>α. Ποιο ήταν το σχέδιο για τον υπολογισμό του ύψους της πυραμίδας από τον Θαλή;</b></span><br />
<span style="font-size: large;"><b><br /></b></span>
<span style="font-size: large;"><b>β. Τι σημαίνει η έκφραση;:</b></span><br />
<div style="text-align: justify;">
<b style="color: blue;"><i><span style="font-size: large;">"Αφού δεν μπορώ να μετρήσω το ύψος που χάνεται στους ουρανούς , θα μετρήσω τη σκιά που είναι πεσμένη στο έδαφος";</span></i></b></div>
<b style="font-size: x-large;"><span style="color: #cc0000;"></span><span style="color: #cc0000;"></span></b><span style="font-size: large;"><b><br />γ. Τι σημαίνει η έκφραση : <span style="color: blue;">"</span></b></span><b><span style="color: blue; font-size: large;"><i>Διατήρηση των αναλογιών (ίσων λόγων) σημαίνει διατήρηση της μορφής".;</i></span></b><span style="font-size: large;"><b><br /><br /><br /><span style="color: #cc0000;">4. Βιογραφία του Θαλή και video..</span></b></span><br />
<span style="font-size: large;"><b><br /></b></span>
<span style="font-size: large;"><br />Μπείτε στο<b> </b></span><a href="http://mathmosxos.blogspot.gr/2011/01/blog-post.html">http://mathmosxos.blogspot.gr/2011/01/blog-post.html</a> <span style="font-size: large;">και βρείτε το αρχείο σε Power Point όνομα : "Θαλής Μιλήσιος" για να δείτε ενδιαφέροντα βιογραφία του ανθρώπου που καταγράφεται ως ο πρώτος μαθηματικός στην ιστορία τους.<b><br /><br />Στην ίδια σελίδα βρείτε ένα ενδιφέρον video με τα προβλήματα που απασχόλησαν το Θαλή.</b></span><br />
<span style="font-size: large;"><b><br /></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><br /></b></span><span style="color: #cc0000; font-size: large;"><b>5. Μεταφορά προβλήματος στην πραγματικότητα.</b></span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<br />
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9pt; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: large;">Δραστηριότητα 1<o:p></o:p></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9pt; text-align: justify;">
<b><i><span style="font-size: large;">Κατασκευή
υψομετρητή<o:p></o:p></span></i></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9pt; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9pt; text-align: justify;">
<i><span style="font-size: large;"><b>Υλικά </b><o:p></o:p></span></i></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9pt; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><i><b>Ένα
χαρτόνι<o:p></o:p></b></i></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><i><b>Χαρτί
μιλιμετρέ<o:p></o:p></b></i></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><i><b>Κλωστή<o:p></o:p></b></i></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><i><b>Κουμπί<o:p></o:p></b></i></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><i><b>Πινέζα
ή καρφί<o:p></o:p></b></i></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><i><b>Καλαμάκι
</b></i><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9pt; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9pt; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Να
κατασκευάσετε τον παρακάτω υψομετρητή :<o:p></o:p></span></div>
<br />
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9pt; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://1.bp.blogspot.com/-1JakxPNNGUg/UwzYMrxKCMI/AAAAAAAABGo/W1qWLwEl13g/s1600/07-02-2013+09;05;57PM.JPG" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="326" src="https://1.bp.blogspot.com/-1JakxPNNGUg/UwzYMrxKCMI/AAAAAAAABGo/W1qWLwEl13g/s1600/07-02-2013+09;05;57PM.JPG" width="400" /></a></div>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b>
<b><span style="color: blue;"><br /></span></b></span><br />
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></span>
<br />
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<b><span style="font-size: large;">Δραστηριότητα 2<o:p></o:p></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<br /></div>
<br />
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<span style="font-size: large;">Κρατάμε
τον υψομετρητή με τέτοιο τρόπο ώστε μέσα από το καλαμάκι να βλέπουμε την κορυφή
της σημαίας. </span><span style="font-size: medium;"><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://2.bp.blogspot.com/-L8j9WHPZJ9U/UwzY1xPYLWI/AAAAAAAABGw/VLFd8KdUq1Q/s1600/%CE%91%CE%BD%CF%84%CE%AF%CE%B3%CF%81%CE%B1%CF%86%CE%BF+%CE%B1%CF%80%CF%8C+07-02-2013+09;05;57PM.JPG" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="302" src="https://2.bp.blogspot.com/-L8j9WHPZJ9U/UwzY1xPYLWI/AAAAAAAABGw/VLFd8KdUq1Q/s1600/%CE%91%CE%BD%CF%84%CE%AF%CE%B3%CF%81%CE%B1%CF%86%CE%BF+%CE%B1%CF%80%CF%8C+07-02-2013+09;05;57PM.JPG" width="400" /></a></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></span>
<br />
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<span style="font-size: large;">Τα
τρίγωνα ΔΕΖ και ΑΒΓ είναι όμοια γιατί : </span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<span style="font-size: large;">Άρα
έχουν τις πλευρές ……………………………………………</span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<span style="font-size: large;">Δηλαδή
:</span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<span style="font-size: large;">Πως
μπορούμε να βρούμε το ύψος της σημαίας;<o:p></o:p></span></div>
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></span><span style="color: #cc0000; font-size: large;"><b>6. Geogebra.</b></span><br />
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b>
<b><span style="color: blue;">Μπείτε στο : <a href="http://mosxosyliko.blogspot.com/">Διδακτικό υλικό μαθηματικών </a> και επιλέξτε το αρχείο :</span></b></span><br />
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b>
<b><span style="color: blue;">Όμοια τρίγωνα.</span></b></span><br />
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b>
<b>Μελετήστε την ισότητα των γωνιών και την αναλογία των πλευρών ομοίων τριγώνων με τη βοήθεια της διεύρυνσης στο λογισμικό.</b></span><br />
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></span><span style="color: #cc0000; font-size: large;"><b>7. Αρχεία σε Sketchpad.</b></span><br />
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;">Μπείτε στο : <a href="http://mosxosyliko.blogspot.com/">Διδακτικό υλικό μαθηματικών </a> και επιλέξτε τα αρχεία :</span></b></span><br />
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;">α. Ύψος δέντρου με όμοια τρίγωνα.</span></b></span><br />
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;">β.Ύψος στύλου στο μεσαίωνα.</span></b></span><br />
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;">γ. Πλάτος λίμνης.</span></b></span><br />
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></span>
<span style="font-size: large;"><b>Μελετήστε τα ιστορικά θέματα με τη βοήθεια της θεωρίας των ομοίων τριγώνων.</b></span><br />
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /><br /><span style="background-color: orange;">Μάθημα 4</span></span></b></span><br />
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><span style="background-color: orange; color: blue;">Εφαπτομένη γωνίας.</span></b></span><br />
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></span>
<br />
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></span>
<span style="color: #cc0000; font-size: large;"><b>1. Ιστορικά στοιχεία τριγωνομετρίας.</b></span><br />
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></span>
<span style="font-size: large;">Πηγαίνετε στο </span><span style="font-size: x-small;"><a href="http://mathmosxos.blogspot.gr/2011/01/blog-post.html">http://mathmosxos.blogspot.gr/2011/01/blog-post.html</a></span><span style="font-size: large;"> και επιλέξτε το αρχείο Power Point : "Ιστορικά στοιχεία τριγωνομετρίας" , για να βρείτε μερικά εισαγωγικά στοιχεία για την αναγκαιότητα εισαγωγής της τριγωνομετρίας , τα προβλήματα που ήρθε να επιλύσει και την ιστορική της εξέλιξη στο διάβα των αιώνων.</span><span style="font-size: large;"><b><br /></b></span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="color: #cc0000; font-size: large;"><b>2. Video.Συζητάμε στην τάξη.</b></span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;">Παρακολουθείστε το παρακάτω video : "Μαθηματικά ναυσιπλοϊα".</span><br />
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<object class="BLOGGER-youtube-video" classid="clsid:D27CDB6E-AE6D-11cf-96B8-444553540000" codebase="http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=6,0,40,0" data-thumbnail-src="https://ytimg.googleusercontent.com/vi/AGCUm_jWtt4/0.jpg" height="266" width="320"><param name="movie" value="https://youtube.googleapis.com/v/AGCUm_jWtt4&source=uds" /><param name="bgcolor" value="#FFFFFF" /><param name="allowFullScreen" value="true" /><embed width="320" height="266" src="https://youtube.googleapis.com/v/AGCUm_jWtt4&source=uds" type="application/x-shockwave-flash" allowfullscreen="true"></embed></object></div>
<div class="" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="color: #cc0000; font-size: large;"><b><br /></b></span>
<span style="color: #cc0000; font-size: large;"><b><br /></b></span>
<span style="color: #cc0000; font-size: large;"><b>Αφορμές για συζήτηση ( με τη βοήθεια του αρχείου Power Point και του video).</b></span></div>
<div class="" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="color: #cc0000; font-size: large;"><b><br /></b></span></div>
<div class="" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>α. Με αφορφή ποιων αναγκών γεννήθηκε η τριγωνομετρία;</b></span></div>
<div class="" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>β. Ποια η σχέση της τριγωνομετρίας με την ναυσιπλοϊα και την αστρονομία;</b></span></div>
<div class="" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<a href="http://2.bp.blogspot.com/-u73Ox6C8gA8/Uw4GMAvj5fI/AAAAAAAABH8/g5RHVbEHuPI/s1600/09-02-2013+06;44;37PM.JPG" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="157" src="https://2.bp.blogspot.com/-u73Ox6C8gA8/Uw4GMAvj5fI/AAAAAAAABH8/g5RHVbEHuPI/s1600/09-02-2013+06;44;37PM.JPG" width="320" /></a><span style="color: blue; font-size: large;"><b>γ. Τι ήταν η σφαιρική τριγωνομετρία;</b></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://1.bp.blogspot.com/-o_6nAiNLj-k/Uw4GXxlaNLI/AAAAAAAABIE/auzz82z96UA/s1600/img237.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="195" src="https://1.bp.blogspot.com/-o_6nAiNLj-k/Uw4GXxlaNLI/AAAAAAAABIE/auzz82z96UA/s1600/img237.jpg" width="200" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<a href="http://4.bp.blogspot.com/-7j0qTJxQvpU/Uw4EvhGnV_I/AAAAAAAABHo/hFOB9ZNILsY/s1600/10-02-2013+05;30;21PM.JPG" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="162" src="https://4.bp.blogspot.com/-7j0qTJxQvpU/Uw4EvhGnV_I/AAAAAAAABHo/hFOB9ZNILsY/s1600/10-02-2013+05;30;21PM.JPG" width="200" /></a><span style="color: blue; font-size: large;"><b>δ. Τι ήταν οι αστρολάβοι;</b></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="" style="clear: both; text-align: justify;">
<a href="http://3.bp.blogspot.com/-K66OqSL6igo/Uw4FBDuKC1I/AAAAAAAABHw/ByroS6JWoWs/s1600/10-02-2013+05;31;57PM.JPG" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="118" src="https://3.bp.blogspot.com/-K66OqSL6igo/Uw4FBDuKC1I/AAAAAAAABHw/ByroS6JWoWs/s1600/10-02-2013+05;31;57PM.JPG" width="200" /></a><span style="color: blue; font-size: large;"><b>ε. Τι αξιοθαύμαστο είχε ο μηχανισμός Αντικυθήρων;</b></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<b><span style="color: #cc0000; font-size: large;">2. Sketchpad και ιστορικά μαθηματικά προβλήματα.</span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<span style="font-size: 19px;"><b><br /></b></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<b style="font-size: 19px;">Μπείτε στο <a href="http://mosxosyliko.blogspot.com/">Διδακτικό υλικό μαθηματικών</a> και επιλέξτε τα αρχεία :</b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<b style="font-size: 19px;"><br /></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<b style="font-size: 19px;"><span style="color: blue;">α. Ύψος δέντρου.</span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<b style="font-size: 19px;"><span style="color: blue;">β. Υπολογισμός ύψους κτιρίου.</span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<b style="font-size: 19px;"><br /></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<b style="font-size: 19px;">Μελετήστε τα ιστορικά αυτά προβλήματα με τη βοήθεια της εφαπτομένης.</b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<b style="font-size: 19px;"><br /></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<b style="font-size: 19px;"><br /></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<b><span style="color: #cc0000; font-size: large;">3. Μεταφορά προβλήματος στην πραγματικότητα</span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<b><span style="color: #cc0000; font-size: large;"><i> Υπολογισμός του ύψους του σχολείου μας.</i></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<b style="font-size: 19px;"><br /></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -18.0pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -18.0pt;">
<b><i><span style="font-size: 14.0pt;"> Κατασκευή
γωνιόμετρου.<o:p></o:p></span></i></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -18.0pt;">
<span style="font-size: 14.0pt;"> </span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -18.0pt;">
<b><i><span style="font-size: 14pt;"><u> </u> <u>Υλικά
<o:p></o:p></u></span></i></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -18.0pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -18.0pt;">
<span style="font-size: 14.0pt;"> Ένα
ορθογώνιο χαρτόνι.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -18.0pt;">
<span style="font-size: 14.0pt;"> Μια
φωτοτυπία ενός μοιρογνωμονίου.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -18.0pt;">
<span style="font-size: 14.0pt;"> Ένα
νήμα.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -18.0pt;">
<span style="font-size: 14.0pt;"> Ένα
κουμπί.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -18.0pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -18.0pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -18.0pt;">
<span style="font-size: 14.0pt;"> Σχεδιάστε
ένα γωνιόμετρο όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα :<o:p></o:p></span><br />
<span style="font-size: 14.0pt;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<span style="font-size: 14pt;"><!--[if gte vml 1]><v:shapetype id="_x0000_t75"
coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:preferrelative="t" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe"
filled="f" stroked="f">
<v:stroke joinstyle="miter"/>
<v:formulas>
<v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"/>
<v:f eqn="sum @0 1 0"/>
<v:f eqn="sum 0 0 @1"/>
<v:f eqn="prod @2 1 2"/>
<v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"/>
<v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"/>
<v:f eqn="sum @0 0 1"/>
<v:f eqn="prod @6 1 2"/>
<v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"/>
<v:f eqn="sum @8 21600 0"/>
<v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"/>
<v:f eqn="sum @10 21600 0"/>
</v:formulas>
<v:path o:extrusionok="f" gradientshapeok="t" o:connecttype="rect"/>
<o:lock v:ext="edit" aspectratio="t"/>
</v:shapetype><v:shape id="_x0000_i1025" type="#_x0000_t75" style='width:417.75pt;
height:160.5pt' filled="t">
<v:fill color2="black"/>
<v:imagedata src="file:///C:\Users\user\AppData\Local\Temp\msohtml1\01\clip_image001.jpg"
o:title=""/>
</v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<b style="font-size: 19px;"><br /></b>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://3.bp.blogspot.com/-Q0719quYPUA/Uw38tvf0a9I/AAAAAAAABHY/d9lhO5SilU4/s1600/img055.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="152" src="https://3.bp.blogspot.com/-Q0719quYPUA/Uw38tvf0a9I/AAAAAAAABHY/d9lhO5SilU4/s1600/img055.jpg" width="400" /></a></div>
<b style="font-size: 19px;"><br /></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<span style="font-size: medium;">Αρχικά χρειαζόμαστε ένα κομμάτι χαρτόνι σε σχήμα ορθογωνίου παραλληλογράμμου.΄Μετά φωτοτυπούμε ένα μοιρογνωμόνιο σε μεγένθυση 171%.Κόβουμε την φωτοτυπία του μοιρογνωμονίου στη μέση από 0 - 90 μοίρες.Στη συνέχεια κολλάμε το μέρος της φωτοτυπίας στην πάνω αριστερή γωνία του χαρτονιού , όπως φαίνεται στο προηγούμενο σχήμα.Κολλάμε στην άκρη μια κλωστή και στην άλλη της άκρη δένουμε ένα κουμπί , το οποίο λειτουργεί ως βαρίδιο.</span><br />
<span style="font-size: medium;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<b style="font-size: 19px;"><br /></b></div>
<span style="font-size: large;">Βγαίνουμε στο προαύλιο του σχολείου. Η κάθε ομάδα αποτελείται από 3 άτομα. </span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><b><i>1. Χειριστής γωνιομέτρου.</i></b></span><br />
<span style="font-size: large;"><b><i>2. Κατραγραφέας.</i></b></span><br />
<span style="font-size: large;"><b><i>3. Μετρητής.</i></b></span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;">Ο χειριστής στέκεται ακίνητος σε μια θέση και στοχεύει την κορυφή του κτιρίου.Ο καταγραφέας καταγράφει την γωνία που υποδεικνύει το νήμα.Ο μετρητής με τη βοήθεια του καταγραφέα μετρούν την οριζόντια απόσταση από το σημείο που στέκεται ο χειριστής μέχρι τη βάση του σχολείου.</span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<br />
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -18.0pt;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;"> Καταγράψτε τις μετρήσεις που κάνατε στο προαύλιο της
τάξης.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -18.0pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -18.0pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -18.0pt;">
<br /></div>
<table border="1" cellpadding="0" cellspacing="0" class="MsoTableGrid" style="border-collapse: collapse; border: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-insideh: .5pt solid windowtext; mso-border-insidev: .5pt solid windowtext; mso-padding-alt: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; mso-yfti-tbllook: 480;">
<tbody>
<tr>
<td style="border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 243.9pt;" valign="top" width="325"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;">Απόσταση
από τη βάση του σχολείου<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 243.9pt;" valign="top" width="325"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;">Γωνία
ύψους<o:p></o:p></span></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 243.9pt;" valign="top" width="325"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 243.9pt;" valign="top" width="325"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
</tr>
</tbody></table>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -18.0pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -18.0pt;">
<span style="font-size: 14.0pt;"> Σχεδιάστε ένα πρόχειρο σχήμα με το σχολείο τη θέση που σταθήκατε και με τα δεδομένα που μετρήσατε , υ</span><span style="font-size: 14pt;">πολογίστε
το ύψος του σχολείου σας.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -18.0pt;">
<span style="font-size: 14.0pt;"><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -18.0pt;">
<br /></div>
<br />
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -18.0pt;">
<span lang="EN-US" style="font-size: 14.0pt; mso-ansi-language: EN-US;"><br /></span></div>
<span style="color: #cc0000; font-size: large;"><b>4. Ιστορική αναφορά.</b></span><br />
<b style="font-size: x-large;"><span style="color: #cc0000;"><i>Ο τετράντας του Ίππαρχου.</i></span></b><br />
<b style="font-size: x-large;"><span style="color: #cc0000;"><i><br /></i></span></b>
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;">Η κατασκευή του γωνιόμετρου που κάναμε προηγουμένως στηρίζεται στον περίφημαο "Τετράντα του Ίππαρχου" ,που βέβαια είχε πολλές χρήσεις στην αστρονομία κια τη γεωγραφία.Παρακάτω βλέπουμε μερικά στοιχεία από το κείμενο του κ. Κοτσανά που έχει λειτουργικές αναπαράστεις πολλών αρχαιοελληνικών εφευρέσεων της ελληνιστικής εποχής.</span></b></span><br />
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></span>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://2.bp.blogspot.com/-uDkJtF0-WzE/Uw21006XRVI/AAAAAAAABHI/tIg9BZe5j44/s1600/24-03-2013+10;09;53PM.JPG" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="640" src="https://2.bp.blogspot.com/-uDkJtF0-WzE/Uw21006XRVI/AAAAAAAABHI/tIg9BZe5j44/s1600/24-03-2013+10;09;53PM.JPG" width="419" /></a></div>
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></span><br />
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></span><span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></span><span style="color: #cc0000; font-size: large;"><b><br /></b></span><br />
<span style="color: #cc0000; font-size: large;"><b><br /></b></span>
<span style="color: #cc0000; font-size: large;"><b><br /></b></span>
<span style="color: #cc0000; font-size: large;"><b><br /></b></span>
<span style="color: #cc0000; font-size: large;"><b><br /></b></span>
<span style="color: #cc0000; font-size: large;"><b><br /></b></span>
<span style="color: #cc0000; font-size: large;"><b><br /></b></span>
<span style="color: #cc0000; font-size: large;"><b><br /></b></span>
<span style="color: #cc0000; font-size: large;"><b>5. Κατασκευή τυπολογίου στο Excel.</b></span><br />
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></span>
<span style="font-size: large;">Τυπολόγια πού μπορούν να υπολογίζουν τις
τετραγωνικές ρίζες θετικών ακεραίων αριθμών ,τους τριγωνομετρικούς αριθμούς
μιας γωνίας κ.α , μπορούμε να κατασκευάσουμε στο Excel. Η μία στήλη περιέχει τα ορίσματα και η άλλη την
μαθηματική συνάρτηση χρησιμοποιώντας εντολές όπως <span lang="EN-US">sin</span>( <span lang="EN-US">RADIANS</span>(<span lang="EN-US">A</span>4)) ή tan</span><span style="font-size: large;">( </span><span lang="EN-US" style="font-size: large;">RADIANS</span><span style="font-size: large;">(</span><span lang="EN-US" style="font-size: large;">A</span><span style="font-size: large;">4)) κ.α</span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span><span style="color: blue; font-size: large;">.</span><span style="color: blue; font-size: large;"><b>Ανοίξτε ένα αρχείο Excel κια δημιουργείστε ένα τυπολόγιο που να δίνει την εφαπτομένη μιας γωνίας από 0 - 89 μοίρες</b></span><br />
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></span>
<br />
<table align="left" border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" class="MsoNormalTable" style="border-collapse: collapse; margin-left: 6.75pt; margin-right: 6.75pt; mso-padding-alt: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; mso-table-anchor-horizontal: page; mso-table-anchor-vertical: paragraph; mso-table-left: 119.05pt; mso-table-lspace: 9.0pt; mso-table-rspace: 9.0pt; mso-table-top: 8.05pt; width: 308px;">
<tbody>
<tr style="height: 25.5pt; mso-yfti-firstrow: yes; mso-yfti-irow: 0;">
<td nowrap="" style="border: solid windowtext 1.0pt; height: 25.5pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 48.0pt;" width="64"><div align="center" class="MsoNormal" style="mso-element-anchor-horizontal: page; mso-element-anchor-vertical: paragraph; mso-element-frame-hspace: 9.0pt; mso-element-left: 119.1pt; mso-element-top: 8.05pt; mso-element-wrap: around; mso-element: frame; mso-height-rule: exactly; mso-hyphenate: auto; text-align: center;">
<b><span style="font-family: "arial"; mso-fareast-language: EL;">X<o:p></o:p></span></b></div>
</td>
<td nowrap="" style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; height: 25.5pt; mso-border-bottom-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-right-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 60.9pt;" valign="bottom" width="81"><div class="MsoNormal">
<b><span style="font-family: "arial"; mso-fareast-language: EL;">ημ(x)<o:p></o:p></span></b></div>
</td>
<td nowrap="" style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; height: 25.5pt; mso-border-bottom-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-right-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 60.9pt;" valign="bottom" width="81"><div class="MsoNormal">
<b><span style="font-family: "arial"; mso-fareast-language: EL;">συν(x)<o:p></o:p></span></b></div>
</td>
<td nowrap="" style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; height: 25.5pt; mso-border-bottom-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-right-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 60.9pt;" valign="bottom" width="81"><div class="MsoNormal">
<b><span style="font-family: "arial"; mso-fareast-language: EL;">εφ(x)<o:p></o:p></span></b></div>
</td>
</tr>
<tr style="height: 12.75pt; mso-yfti-irow: 1;">
<td nowrap="" style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; height: 12.75pt; mso-border-bottom-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-right-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 48.0pt;" width="64"><div align="center" class="MsoNormal" style="mso-element-anchor-horizontal: page; mso-element-anchor-vertical: paragraph; mso-element-frame-hspace: 9.0pt; mso-element-left: 119.1pt; mso-element-top: 8.05pt; mso-element-wrap: around; mso-element: frame; mso-height-rule: exactly; mso-hyphenate: auto; text-align: center;">
<span style="font-family: "arial"; mso-fareast-language: EL;">0<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td nowrap="" style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; height: 12.75pt; mso-border-bottom-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-right-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 60.9pt;" valign="bottom" width="81"><div align="right" class="MsoNormal" style="mso-element-anchor-horizontal: page; mso-element-anchor-vertical: paragraph; mso-element-frame-hspace: 9.0pt; mso-element-left: 119.1pt; mso-element-top: 8.05pt; mso-element-wrap: around; mso-element: frame; mso-height-rule: exactly; mso-hyphenate: auto; text-align: right;">
<span style="font-family: "arial"; mso-fareast-language: EL;">0<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td nowrap="" style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; height: 12.75pt; mso-border-bottom-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-right-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 60.9pt;" valign="bottom" width="81"><div align="right" class="MsoNormal" style="mso-element-anchor-horizontal: page; mso-element-anchor-vertical: paragraph; mso-element-frame-hspace: 9.0pt; mso-element-left: 119.1pt; mso-element-top: 8.05pt; mso-element-wrap: around; mso-element: frame; mso-height-rule: exactly; mso-hyphenate: auto; text-align: right;">
<span style="font-family: "arial"; mso-fareast-language: EL;">1<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td nowrap="" style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; height: 12.75pt; mso-border-bottom-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-right-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 60.9pt;" valign="bottom" width="81"><div align="right" class="MsoNormal" style="mso-element-anchor-horizontal: page; mso-element-anchor-vertical: paragraph; mso-element-frame-hspace: 9.0pt; mso-element-left: 119.1pt; mso-element-top: 8.05pt; mso-element-wrap: around; mso-element: frame; mso-height-rule: exactly; mso-hyphenate: auto; text-align: right;">
<span style="font-family: "arial"; mso-fareast-language: EL;">0<o:p></o:p></span></div>
</td>
</tr>
<tr style="height: 12.75pt; mso-yfti-irow: 2;">
<td nowrap="" style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; height: 12.75pt; mso-border-bottom-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-right-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 48.0pt;" width="64"><div align="center" class="MsoNormal" style="mso-element-anchor-horizontal: page; mso-element-anchor-vertical: paragraph; mso-element-frame-hspace: 9.0pt; mso-element-left: 119.1pt; mso-element-top: 8.05pt; mso-element-wrap: around; mso-element: frame; mso-height-rule: exactly; mso-hyphenate: auto; text-align: center;">
<span style="font-family: "arial"; mso-fareast-language: EL;">1<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td nowrap="" style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; height: 12.75pt; mso-border-bottom-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-right-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 60.9pt;" valign="bottom" width="81"><div align="right" class="MsoNormal" style="mso-element-anchor-horizontal: page; mso-element-anchor-vertical: paragraph; mso-element-frame-hspace: 9.0pt; mso-element-left: 119.1pt; mso-element-top: 8.05pt; mso-element-wrap: around; mso-element: frame; mso-height-rule: exactly; mso-hyphenate: auto; text-align: right;">
<span style="font-family: "arial"; mso-fareast-language: EL;">0,017452<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td nowrap="" style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; height: 12.75pt; mso-border-bottom-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-right-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 60.9pt;" valign="bottom" width="81"><div align="right" class="MsoNormal" style="mso-element-anchor-horizontal: page; mso-element-anchor-vertical: paragraph; mso-element-frame-hspace: 9.0pt; mso-element-left: 119.1pt; mso-element-top: 8.05pt; mso-element-wrap: around; mso-element: frame; mso-height-rule: exactly; mso-hyphenate: auto; text-align: right;">
<span style="font-family: "arial"; mso-fareast-language: EL;">0,999848<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td nowrap="" style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; height: 12.75pt; mso-border-bottom-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-right-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 60.9pt;" valign="bottom" width="81"><div align="right" class="MsoNormal" style="mso-element-anchor-horizontal: page; mso-element-anchor-vertical: paragraph; mso-element-frame-hspace: 9.0pt; mso-element-left: 119.1pt; mso-element-top: 8.05pt; mso-element-wrap: around; mso-element: frame; mso-height-rule: exactly; mso-hyphenate: auto; text-align: right;">
<span style="font-family: "arial"; mso-fareast-language: EL;">0,017455<o:p></o:p></span></div>
</td>
</tr>
<tr style="height: 12.75pt; mso-yfti-irow: 3;">
<td nowrap="" style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; height: 12.75pt; mso-border-bottom-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-right-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 48.0pt;" width="64"><div align="center" class="MsoNormal" style="mso-element-anchor-horizontal: page; mso-element-anchor-vertical: paragraph; mso-element-frame-hspace: 9.0pt; mso-element-left: 119.1pt; mso-element-top: 8.05pt; mso-element-wrap: around; mso-element: frame; mso-height-rule: exactly; mso-hyphenate: auto; text-align: center;">
<span style="font-family: "arial"; mso-fareast-language: EL;">2<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td nowrap="" style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; height: 12.75pt; mso-border-bottom-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-right-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 60.9pt;" valign="bottom" width="81"><div align="right" class="MsoNormal" style="mso-element-anchor-horizontal: page; mso-element-anchor-vertical: paragraph; mso-element-frame-hspace: 9.0pt; mso-element-left: 119.1pt; mso-element-top: 8.05pt; mso-element-wrap: around; mso-element: frame; mso-height-rule: exactly; mso-hyphenate: auto; text-align: right;">
<span style="font-family: "arial"; mso-fareast-language: EL;">0,034899<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td nowrap="" style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; height: 12.75pt; mso-border-bottom-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-right-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 60.9pt;" valign="bottom" width="81"><div align="right" class="MsoNormal" style="mso-element-anchor-horizontal: page; mso-element-anchor-vertical: paragraph; mso-element-frame-hspace: 9.0pt; mso-element-left: 119.1pt; mso-element-top: 8.05pt; mso-element-wrap: around; mso-element: frame; mso-height-rule: exactly; mso-hyphenate: auto; text-align: right;">
<span style="font-family: "arial"; mso-fareast-language: EL;">0,999391<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td nowrap="" style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; height: 12.75pt; mso-border-bottom-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-right-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 60.9pt;" valign="bottom" width="81"><div align="right" class="MsoNormal" style="mso-element-anchor-horizontal: page; mso-element-anchor-vertical: paragraph; mso-element-frame-hspace: 9.0pt; mso-element-left: 119.1pt; mso-element-top: 8.05pt; mso-element-wrap: around; mso-element: frame; mso-height-rule: exactly; mso-hyphenate: auto; text-align: right;">
<span style="font-family: "arial"; mso-fareast-language: EL;">0,034921<o:p></o:p></span></div>
</td>
</tr>
<tr style="height: 12.75pt; mso-yfti-irow: 4;">
<td nowrap="" style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; height: 12.75pt; mso-border-bottom-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-right-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 48.0pt;" width="64"><div align="center" class="MsoNormal" style="mso-element-anchor-horizontal: page; mso-element-anchor-vertical: paragraph; mso-element-frame-hspace: 9.0pt; mso-element-left: 119.1pt; mso-element-top: 8.05pt; mso-element-wrap: around; mso-element: frame; mso-height-rule: exactly; mso-hyphenate: auto; text-align: center;">
<span style="font-family: "arial"; mso-fareast-language: EL;">3<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td nowrap="" style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; height: 12.75pt; mso-border-bottom-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-right-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 60.9pt;" valign="bottom" width="81"><div align="right" class="MsoNormal" style="mso-element-anchor-horizontal: page; mso-element-anchor-vertical: paragraph; mso-element-frame-hspace: 9.0pt; mso-element-left: 119.1pt; mso-element-top: 8.05pt; mso-element-wrap: around; mso-element: frame; mso-height-rule: exactly; mso-hyphenate: auto; text-align: right;">
<span style="font-family: "arial"; mso-fareast-language: EL;">0,052336<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td nowrap="" style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; height: 12.75pt; mso-border-bottom-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-right-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 60.9pt;" valign="bottom" width="81"><div align="right" class="MsoNormal" style="mso-element-anchor-horizontal: page; mso-element-anchor-vertical: paragraph; mso-element-frame-hspace: 9.0pt; mso-element-left: 119.1pt; mso-element-top: 8.05pt; mso-element-wrap: around; mso-element: frame; mso-height-rule: exactly; mso-hyphenate: auto; text-align: right;">
<span style="font-family: "arial"; mso-fareast-language: EL;">0,99863<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td nowrap="" style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; height: 12.75pt; mso-border-bottom-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-right-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 60.9pt;" valign="bottom" width="81"><div align="right" class="MsoNormal" style="mso-element-anchor-horizontal: page; mso-element-anchor-vertical: paragraph; mso-element-frame-hspace: 9.0pt; mso-element-left: 119.1pt; mso-element-top: 8.05pt; mso-element-wrap: around; mso-element: frame; mso-height-rule: exactly; mso-hyphenate: auto; text-align: right;">
<span style="font-family: "arial"; mso-fareast-language: EL;">0,052408<o:p></o:p></span></div>
</td>
</tr>
<tr style="height: 12.75pt; mso-yfti-irow: 5;">
<td nowrap="" style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; height: 12.75pt; mso-border-bottom-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-right-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 48.0pt;" width="64"><div align="center" class="MsoNormal" style="mso-element-anchor-horizontal: page; mso-element-anchor-vertical: paragraph; mso-element-frame-hspace: 9.0pt; mso-element-left: 119.1pt; mso-element-top: 8.05pt; mso-element-wrap: around; mso-element: frame; mso-height-rule: exactly; mso-hyphenate: auto; text-align: center;">
<span style="font-family: "arial"; mso-fareast-language: EL;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td nowrap="" style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; height: 12.75pt; mso-border-bottom-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-right-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 60.9pt;" valign="bottom" width="81"><div align="right" class="MsoNormal" style="mso-element-anchor-horizontal: page; mso-element-anchor-vertical: paragraph; mso-element-frame-hspace: 9.0pt; mso-element-left: 119.1pt; mso-element-top: 8.05pt; mso-element-wrap: around; mso-element: frame; mso-height-rule: exactly; mso-hyphenate: auto; text-align: right;">
<span style="font-family: "arial"; mso-fareast-language: EL;">0,069756<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td nowrap="" style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; height: 12.75pt; mso-border-bottom-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-right-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 60.9pt;" valign="bottom" width="81"><div align="right" class="MsoNormal" style="mso-element-anchor-horizontal: page; mso-element-anchor-vertical: paragraph; mso-element-frame-hspace: 9.0pt; mso-element-left: 119.1pt; mso-element-top: 8.05pt; mso-element-wrap: around; mso-element: frame; mso-height-rule: exactly; mso-hyphenate: auto; text-align: right;">
<span style="font-family: "arial"; mso-fareast-language: EL;">0,997564<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td nowrap="" style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; height: 12.75pt; mso-border-bottom-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-right-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 60.9pt;" valign="bottom" width="81"><div align="right" class="MsoNormal" style="mso-element-anchor-horizontal: page; mso-element-anchor-vertical: paragraph; mso-element-frame-hspace: 9.0pt; mso-element-left: 119.1pt; mso-element-top: 8.05pt; mso-element-wrap: around; mso-element: frame; mso-height-rule: exactly; mso-hyphenate: auto; text-align: right;">
<span style="font-family: "arial"; mso-fareast-language: EL;">0,069927<o:p></o:p></span></div>
</td>
</tr>
<tr style="height: 12.75pt; mso-yfti-irow: 6;">
<td nowrap="" style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; height: 12.75pt; mso-border-bottom-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-right-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 48.0pt;" width="64"><div align="center" class="MsoNormal" style="mso-element-anchor-horizontal: page; mso-element-anchor-vertical: paragraph; mso-element-frame-hspace: 9.0pt; mso-element-left: 119.1pt; mso-element-top: 8.05pt; mso-element-wrap: around; mso-element: frame; mso-height-rule: exactly; mso-hyphenate: auto; text-align: center;">
<span style="font-family: "arial"; mso-fareast-language: EL;">5<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td nowrap="" style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; height: 12.75pt; mso-border-bottom-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-right-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 60.9pt;" valign="bottom" width="81"><div align="right" class="MsoNormal" style="mso-element-anchor-horizontal: page; mso-element-anchor-vertical: paragraph; mso-element-frame-hspace: 9.0pt; mso-element-left: 119.1pt; mso-element-top: 8.05pt; mso-element-wrap: around; mso-element: frame; mso-height-rule: exactly; mso-hyphenate: auto; text-align: right;">
<span style="font-family: "arial"; mso-fareast-language: EL;">0,087156<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td nowrap="" style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; height: 12.75pt; mso-border-bottom-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-right-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 60.9pt;" valign="bottom" width="81"><div align="right" class="MsoNormal" style="mso-element-anchor-horizontal: page; mso-element-anchor-vertical: paragraph; mso-element-frame-hspace: 9.0pt; mso-element-left: 119.1pt; mso-element-top: 8.05pt; mso-element-wrap: around; mso-element: frame; mso-height-rule: exactly; mso-hyphenate: auto; text-align: right;">
<span style="font-family: "arial"; mso-fareast-language: EL;">0,996195<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td nowrap="" style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; height: 12.75pt; mso-border-bottom-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-right-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 60.9pt;" valign="bottom" width="81"><div align="right" class="MsoNormal" style="mso-element-anchor-horizontal: page; mso-element-anchor-vertical: paragraph; mso-element-frame-hspace: 9.0pt; mso-element-left: 119.1pt; mso-element-top: 8.05pt; mso-element-wrap: around; mso-element: frame; mso-height-rule: exactly; mso-hyphenate: auto; text-align: right;">
<span style="font-family: "arial"; mso-fareast-language: EL;">0,087489<o:p></o:p></span></div>
</td>
</tr>
<tr style="height: 12.75pt; mso-yfti-irow: 7;">
<td nowrap="" style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; height: 12.75pt; mso-border-bottom-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-right-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 48.0pt;" width="64"><div align="center" class="MsoNormal" style="mso-element-anchor-horizontal: page; mso-element-anchor-vertical: paragraph; mso-element-frame-hspace: 9.0pt; mso-element-left: 119.1pt; mso-element-top: 8.05pt; mso-element-wrap: around; mso-element: frame; mso-height-rule: exactly; mso-hyphenate: auto; text-align: center;">
<span style="font-family: "arial"; mso-fareast-language: EL;">6<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td nowrap="" style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; height: 12.75pt; mso-border-bottom-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-right-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 60.9pt;" valign="bottom" width="81"><div align="right" class="MsoNormal" style="mso-element-anchor-horizontal: page; mso-element-anchor-vertical: paragraph; mso-element-frame-hspace: 9.0pt; mso-element-left: 119.1pt; mso-element-top: 8.05pt; mso-element-wrap: around; mso-element: frame; mso-height-rule: exactly; mso-hyphenate: auto; text-align: right;">
<span style="font-family: "arial"; mso-fareast-language: EL;">0,104528<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td nowrap="" style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; height: 12.75pt; mso-border-bottom-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-right-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 60.9pt;" valign="bottom" width="81"><div align="right" class="MsoNormal" style="mso-element-anchor-horizontal: page; mso-element-anchor-vertical: paragraph; mso-element-frame-hspace: 9.0pt; mso-element-left: 119.1pt; mso-element-top: 8.05pt; mso-element-wrap: around; mso-element: frame; mso-height-rule: exactly; mso-hyphenate: auto; text-align: right;">
<span style="font-family: "arial"; mso-fareast-language: EL;">0,994522<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td nowrap="" style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; height: 12.75pt; mso-border-bottom-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-right-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 60.9pt;" valign="bottom" width="81"><div align="right" class="MsoNormal" style="mso-element-anchor-horizontal: page; mso-element-anchor-vertical: paragraph; mso-element-frame-hspace: 9.0pt; mso-element-left: 119.1pt; mso-element-top: 8.05pt; mso-element-wrap: around; mso-element: frame; mso-height-rule: exactly; mso-hyphenate: auto; text-align: right;">
<span style="font-family: "arial"; mso-fareast-language: EL;">0,105104<o:p></o:p></span></div>
</td>
</tr>
<tr style="height: 12.75pt; mso-yfti-irow: 8;">
<td nowrap="" style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; height: 12.75pt; mso-border-bottom-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-right-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 48.0pt;" width="64"><div align="center" class="MsoNormal" style="mso-element-anchor-horizontal: page; mso-element-anchor-vertical: paragraph; mso-element-frame-hspace: 9.0pt; mso-element-left: 119.1pt; mso-element-top: 8.05pt; mso-element-wrap: around; mso-element: frame; mso-height-rule: exactly; mso-hyphenate: auto; text-align: center;">
<span style="font-family: "arial"; mso-fareast-language: EL;">7<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td nowrap="" style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; height: 12.75pt; mso-border-bottom-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-right-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 60.9pt;" valign="bottom" width="81"><div align="right" class="MsoNormal" style="mso-element-anchor-horizontal: page; mso-element-anchor-vertical: paragraph; mso-element-frame-hspace: 9.0pt; mso-element-left: 119.1pt; mso-element-top: 8.05pt; mso-element-wrap: around; mso-element: frame; mso-height-rule: exactly; mso-hyphenate: auto; text-align: right;">
<span style="font-family: "arial"; mso-fareast-language: EL;">0,121869<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td nowrap="" style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; height: 12.75pt; mso-border-bottom-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-right-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 60.9pt;" valign="bottom" width="81"><div align="right" class="MsoNormal" style="mso-element-anchor-horizontal: page; mso-element-anchor-vertical: paragraph; mso-element-frame-hspace: 9.0pt; mso-element-left: 119.1pt; mso-element-top: 8.05pt; mso-element-wrap: around; mso-element: frame; mso-height-rule: exactly; mso-hyphenate: auto; text-align: right;">
<span style="font-family: "arial"; mso-fareast-language: EL;">0,992546<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td nowrap="" style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; height: 12.75pt; mso-border-bottom-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-right-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 60.9pt;" valign="bottom" width="81"><div align="right" class="MsoNormal" style="mso-element-anchor-horizontal: page; mso-element-anchor-vertical: paragraph; mso-element-frame-hspace: 9.0pt; mso-element-left: 119.1pt; mso-element-top: 8.05pt; mso-element-wrap: around; mso-element: frame; mso-height-rule: exactly; mso-hyphenate: auto; text-align: right;">
<span style="font-family: "arial"; mso-fareast-language: EL;">0,122785<o:p></o:p></span></div>
</td>
</tr>
<tr style="height: 12.75pt; mso-yfti-irow: 9;">
<td nowrap="" style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; height: 12.75pt; mso-border-bottom-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-right-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 48.0pt;" width="64"><div align="center" class="MsoNormal" style="mso-element-anchor-horizontal: page; mso-element-anchor-vertical: paragraph; mso-element-frame-hspace: 9.0pt; mso-element-left: 119.1pt; mso-element-top: 8.05pt; mso-element-wrap: around; mso-element: frame; mso-height-rule: exactly; mso-hyphenate: auto; text-align: center;">
<span style="font-family: "arial"; mso-fareast-language: EL;">8<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td nowrap="" style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; height: 12.75pt; mso-border-bottom-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-right-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 60.9pt;" valign="bottom" width="81"><div align="right" class="MsoNormal" style="mso-element-anchor-horizontal: page; mso-element-anchor-vertical: paragraph; mso-element-frame-hspace: 9.0pt; mso-element-left: 119.1pt; mso-element-top: 8.05pt; mso-element-wrap: around; mso-element: frame; mso-height-rule: exactly; mso-hyphenate: auto; text-align: right;">
<span style="font-family: "arial"; mso-fareast-language: EL;">0,139173<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td nowrap="" style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; height: 12.75pt; mso-border-bottom-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-right-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 60.9pt;" valign="bottom" width="81"><div align="right" class="MsoNormal" style="mso-element-anchor-horizontal: page; mso-element-anchor-vertical: paragraph; mso-element-frame-hspace: 9.0pt; mso-element-left: 119.1pt; mso-element-top: 8.05pt; mso-element-wrap: around; mso-element: frame; mso-height-rule: exactly; mso-hyphenate: auto; text-align: right;">
<span style="font-family: "arial"; mso-fareast-language: EL;">0,990268<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td nowrap="" style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; height: 12.75pt; mso-border-bottom-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-right-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 60.9pt;" valign="bottom" width="81"><div align="right" class="MsoNormal" style="mso-element-anchor-horizontal: page; mso-element-anchor-vertical: paragraph; mso-element-frame-hspace: 9.0pt; mso-element-left: 119.1pt; mso-element-top: 8.05pt; mso-element-wrap: around; mso-element: frame; mso-height-rule: exactly; mso-hyphenate: auto; text-align: right;">
<span style="font-family: "arial"; mso-fareast-language: EL;">0,140541<o:p></o:p></span></div>
</td>
</tr>
<tr style="height: 12.75pt; mso-yfti-irow: 10;">
<td nowrap="" style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; height: 12.75pt; mso-border-bottom-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-right-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 48.0pt;" width="64"><div align="center" class="MsoNormal" style="mso-element-anchor-horizontal: page; mso-element-anchor-vertical: paragraph; mso-element-frame-hspace: 9.0pt; mso-element-left: 119.1pt; mso-element-top: 8.05pt; mso-element-wrap: around; mso-element: frame; mso-height-rule: exactly; mso-hyphenate: auto; text-align: center;">
<span style="font-family: "arial"; mso-fareast-language: EL;">9<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td nowrap="" style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; height: 12.75pt; mso-border-bottom-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-right-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 60.9pt;" valign="bottom" width="81"><div align="right" class="MsoNormal" style="mso-element-anchor-horizontal: page; mso-element-anchor-vertical: paragraph; mso-element-frame-hspace: 9.0pt; mso-element-left: 119.1pt; mso-element-top: 8.05pt; mso-element-wrap: around; mso-element: frame; mso-height-rule: exactly; mso-hyphenate: auto; text-align: right;">
<span style="font-family: "arial"; mso-fareast-language: EL;">0,156434<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td nowrap="" style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; height: 12.75pt; mso-border-bottom-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-right-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 60.9pt;" valign="bottom" width="81"><div align="right" class="MsoNormal" style="mso-element-anchor-horizontal: page; mso-element-anchor-vertical: paragraph; mso-element-frame-hspace: 9.0pt; mso-element-left: 119.1pt; mso-element-top: 8.05pt; mso-element-wrap: around; mso-element: frame; mso-height-rule: exactly; mso-hyphenate: auto; text-align: right;">
<span style="font-family: "arial"; mso-fareast-language: EL;">0,987688<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td nowrap="" style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; height: 12.75pt; mso-border-bottom-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-right-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 60.9pt;" valign="bottom" width="81"><div align="right" class="MsoNormal" style="mso-element-anchor-horizontal: page; mso-element-anchor-vertical: paragraph; mso-element-frame-hspace: 9.0pt; mso-element-left: 119.1pt; mso-element-top: 8.05pt; mso-element-wrap: around; mso-element: frame; mso-height-rule: exactly; mso-hyphenate: auto; text-align: right;">
<span style="font-family: "arial"; mso-fareast-language: EL;">0,158384<o:p></o:p></span></div>
</td>
</tr>
<tr style="height: 12.75pt; mso-yfti-irow: 11; mso-yfti-lastrow: yes;">
<td nowrap="" style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; height: 12.75pt; mso-border-bottom-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-right-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 48.0pt;" width="64"><div align="center" class="MsoNormal" style="mso-element-anchor-horizontal: page; mso-element-anchor-vertical: paragraph; mso-element-frame-hspace: 9.0pt; mso-element-left: 119.1pt; mso-element-top: 8.05pt; mso-element-wrap: around; mso-element: frame; mso-height-rule: exactly; mso-hyphenate: auto; text-align: center;">
<span style="font-family: "arial"; mso-fareast-language: EL;">10<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td nowrap="" style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; height: 12.75pt; mso-border-bottom-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-right-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 60.9pt;" valign="bottom" width="81"><div align="right" class="MsoNormal" style="mso-element-anchor-horizontal: page; mso-element-anchor-vertical: paragraph; mso-element-frame-hspace: 9.0pt; mso-element-left: 119.1pt; mso-element-top: 8.05pt; mso-element-wrap: around; mso-element: frame; mso-height-rule: exactly; mso-hyphenate: auto; text-align: right;">
<span style="font-family: "arial"; mso-fareast-language: EL;">0,173648<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td nowrap="" style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; height: 12.75pt; mso-border-bottom-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-right-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 60.9pt;" valign="bottom" width="81"><div align="right" class="MsoNormal" style="mso-element-anchor-horizontal: page; mso-element-anchor-vertical: paragraph; mso-element-frame-hspace: 9.0pt; mso-element-left: 119.1pt; mso-element-top: 8.05pt; mso-element-wrap: around; mso-element: frame; mso-height-rule: exactly; mso-hyphenate: auto; text-align: right;">
<span style="font-family: "arial"; mso-fareast-language: EL;">0,984808<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td nowrap="" style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; height: 12.75pt; mso-border-bottom-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-right-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 60.9pt;" valign="bottom" width="81"><div align="right" class="MsoNormal" style="mso-element-anchor-horizontal: page; mso-element-anchor-vertical: paragraph; mso-element-frame-hspace: 9.0pt; mso-element-left: 119.1pt; mso-element-top: 8.05pt; mso-element-wrap: around; mso-element: frame; mso-height-rule: exactly; mso-hyphenate: auto; text-align: right;">
<span style="font-family: "arial"; mso-fareast-language: EL;">0,176327<o:p></o:p></span></div>
</td>
</tr>
</tbody></table>
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></span><br />
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></span><span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></span>
<br />
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Πιο απλή είναι η κατασκευή τυπολογίων με χρήση μεταβολέα κύλισης ,γιατί
απαιτεί μόνο δύο κελιά. Από την <b><i>Προβολή
– Γραμμές εργαλείων – Φόρμες</i></b> επιλέγουμε τη <b><i>Γραμμή κύλισης</i></b> από το
κινούμενο εικονίδιο που βγαίνει στη οθόνη. Εμφανίζεται τότε ένα αντικείμενο .</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><o:p> </o:p>Σε κάποιο διπλανό κελί γράφουμε τον αριθμό 1.Με δεξί κλικ πάνω στο
αντικείμενο της γραμμής κύλισης επιλέγουμε την : <b><i>Μορφοποίηση στοιχείου ελέγχου</i></b>. Εκεί καθορίζουμε την <b><i>ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή , τη προσαύξηση</i></b>
καθώς και τη <b><i>Σύνδεση κελιού</i></b>.
Συνδέουμε τη γραμμή κύλισης ,με το κελί στο οποίο γράψαμε τον αριθμό 1.Παρατηρούμε
τότε ότι καθώς πατάμε τα βελάκια πάνω κάτω στη γραμμή κύλισης ο αριθμός στο
διπλανό κελί αλλάζει τιμή με προσαύξηση όση καθορίσαμε στη μορφοποίηση.Σε
διπλανό κελί πληκτρολογούμε την εντολή πχ </span><span style="font-size: large;"><span style="font-size: large;"> =tan</span><span style="font-size: large;">( </span><span lang="EN-US" style="font-size: large;">RADIANS</span><span style="font-size: large;">(</span><span lang="EN-US" style="font-size: large;">A</span><span style="font-size: large;">4))</span> αν θέλουμε να υπολογίζουμε την εφαπτομένη μκιας γωνίας. Α4 είναι το κελί που έχει τον αρχικό αριθμό 1.Τότε κάθε φορά που
πατάμε το βελάκι στη γραμμή κύλισης αλλάζει ο αριθμός στο κελί Α4 αλλά και η
ένδειξη της εφαπτομένης στο διπλανό κελί. Έτσι με δύο κελιά και μια γραμμή
κύλισης έχουμε ένα γρήγορο τυπολόγιο με κίνηση. </span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><o:p></o:p></span></div>
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;">Δημιουργείστε με αυτόν τον τρόπο ένα τυπολόγιο με τις εφαπτομένες γωνιών , χρησιμοποιώντας μόνο δύο κελιά του Excel.</span></b></span><br />
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><span style="background-color: orange; color: blue;">Μάθημα 5</span></b></span><br />
<span style="font-size: large;"><b><span style="background-color: orange; color: blue;"><br /></span></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><span style="background-color: orange; color: blue;"><br /></span></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><span style="background-color: orange; color: blue;">Εμβαδόν κύκλου.</span></b></span><br />
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></span><span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: #cc0000;">1</span>. <span style="color: #cc0000;">Ανοίξτε το παρακάτω αρχείο Power Point :</span></b></span><br />
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;"><a href="https://drive.google.com/file/d/0BxbKSKHiz6zaaHI3bm81aU9jWWc/edit?usp=sharing">Απόδειξη τύπου εμβαδού και υπολογισμός του σε κυκλικά σχήματα της πραγματικότητας.</a></span></b></span><br />
<span style="font-size: large;"><b><br /></b></span><span style="font-size: large;"><b><br /></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: #cc0000;">2.</span> <span style="color: #cc0000;">Παρακολουθήστε το παρακάτω video.</span> </b></span><br />
<span style="font-size: large;"><b><br /></b></span>
<span style="font-size: large;"><b>Πως δικαιολογείται ο τύπος του εμβαδού ενό κύκλου;</b></span><br />
<span style="font-size: large;"><b><br /></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><br /></b></span>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.youtube.com/embed/YokKp3pwVFc?feature=player_embedded' frameborder='0'></iframe></div>
<span style="font-size: large;"><b><br /></b></span><span style="font-size: large;"><b><br /><span style="color: #990000;">3. Kατασκευή</span></b></span><br />
<span style="font-size: large;"><b><br /></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><i>Υιλικά</i></b></span><br />
<span style="font-size: large;"><b><i><br /></i></b>
<b><i>Ένα φύλλο χαρτί.</i></b></span><br />
<span style="font-size: large;"><b><i>Ένας διαβήτης.</i></b></span><br />
<span style="font-size: large;"><b><i>Ένας χάρακας.</i></b></span><br />
<span style="font-size: large;"><b><i>Ένα ψαλίδι.</i></b></span><br />
<span style="font-size: large;"><b><br /></b>
<b><br /></b>
<i>Βήμα 1ο :Σε ένα φύλλο χαρτί σχεδιάστε ένα κύκλο με τη βοήθεια ενός διαβήτη.</i></span><br />
<span style="font-size: large;"><i><br /></i>
<i>Βήμα 2ο : Σχεδιάστε με έναν χάρακα 2 κάθετες διαμέτρους του κύκλου.</i></span><br />
<span style="font-size: large;"><i><br /></i>
<i>Βήμα 3ο : Φέρτε άλλες δύο διαμέτρους που διχοτομούν τα τεταρτοκύκλια.</i></span><br />
<span style="font-size: large;"><i><br /></i>
<i>Βήμα 4ο : Κόψτε με το ψαλίδι τους 8 κυκλικούς τομείς που </i></span><br />
<i><span style="font-size: large;">σχηματίστηκαν.</span></i><br />
<span style="font-size: large;"><i><br /></i>
<i>Βήμα 5ο : Τοποθετήστε στο θρανίο σας τους κυκλικούς τομείς όπως δείχνει η παρακάτω εικόνα :</i></span><br />
<span style="font-size: large;"><i><br /></i>
<i><br /></i>
</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://2.bp.blogspot.com/-L7HIhOkJJho/Uz2sLk3EqWI/AAAAAAAABKM/KrNUkszvnXQ/s1600/img052.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><span style="font-size: large;"><img border="0" height="165" src="https://2.bp.blogspot.com/-L7HIhOkJJho/Uz2sLk3EqWI/AAAAAAAABKM/KrNUkszvnXQ/s1600/img052.jpg" width="320" /></span></a></div>
<span style="font-size: large;"><i><br /></i>
<i><br /></i>
<i>Βήμα 5ο : Λαμβάνοντας υπόψιν το αρχείο Power Point και το παραπάνω video που είδαμε πως μπορούμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν ενός κύκλου;</i></span><br />
<span style="font-size: large;"><b><br /></b></span><span style="color: #cc0000; font-size: large;"><b>4. Μέθοδος Αρχιμήδη.</b></span><br />
<span style="font-size: large;"><b><br /></b></span>
<span style="font-size: large;"><b>Ας δούμε στο παρακάτω φύλλο εργασίας την μέθοδο του Αρχιμήδη για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός κύκλου.</b></span><br />
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><b><a href="https://drive.google.com/file/d/0BxbKSKHiz6zabFl5eXVmbE1jcU0/edit?usp=sharing">Μέθοδος Αρχιμήδη</a></b></span><br />
<span style="font-size: large;"><b><br /></b></span><span style="font-size: large;"><b><br /></b></span><span style="color: #cc0000; font-size: large;"><b>5. Αρχείο Sketchpad.</b></span><br />
<span style="font-size: large;"><b><br /></b></span>
<span style="color: blue; font-size: large;"><b><a href="https://drive.google.com/file/d/0BxbKSKHiz6zaeDlGUmQ5blNBTDQ/edit?usp=sharing">Μέθοδος Αρχιμήδη.</a></b></span><br />
<span style="font-size: large;"><b><br /></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><br /></b></span><span style="color: #990000; font-size: large;"><b>6. Power Point </b></span><br />
<span style="font-size: large;"><b><br /></b></span>
<span style="color: blue; font-size: large;"><b><a href="https://drive.google.com/file/d/0BxbKSKHiz6zaNDdNaUNRX1ZKZ1k/edit?usp=sharing">Ιστορικό μαθηματικό πρόβλημα από τους Αρχαίους Αιγυπτίους.</a></b></span><br />
<span style="font-size: large;"><b><br /></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><br /></b></span>
<span style="font-size: large;"><b>Με βάση αυτό <span style="color: #990000;">συζητάμε στην τάξη :</span></b></span><br />
<span style="font-size: large;"><b><br /></b></span>
<span style="font-size: large;"><b>α. Ποια προσεγγιστική τιμή έδιναν στον αριθμό π πο αρχαίοι Αιγύπτιοι;</b></span><br />
<span style="font-size: large;"><b><br /></b></span>
<span style="font-size: large;"><b>β. Διαβάστε το ιστορικό σημείωμα στη σελίδα 189 του βιβλίου σας και μελετήστε ιστορικά τις προσεγγίσεις που έδιναν στον αριθμό π οι επιστήμονες.</b></span><br />
<span style="font-size: large;"><b><br /></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><br /></b></span>
<span style="font-size: large;"><b>γ. </b></span><span style="font-family: "symbol"; text-indent: -18pt;"><span style="font-size: medium;">·</span><span style="font-family: "times new roman";"><span style="font-size: 7pt;"> </span><b><span style="font-size: 7pt;"> </span><span style="font-size: large;">
</span></b></span></span><span style="text-indent: -18pt;"><b><span style="font-size: large;">Τι το περίεργο κρύβει το παρακάτω ποίημα;</span></b></span><br />
<div style="margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm; margin-left: 35.45pt; margin-right: 0cm; margin-top: 5.0pt; mso-line-height-alt: 10.75pt;">
<b><span style="font-size: large;"><i><span style="font-family: "arial";">«Αεί
ο Θεός ο μέγας γεωμετρεί</span></i><i><span style="font-family: "arial";"><br />
το κύκλου μήκος ίνα
ορίση διαμέτρω<br />
παρήγαγεν αριθμόν
απέραντον<br />
και ον φευ! ουδέποτε
όλον θνητοί θα εύρωσι».<o:p></o:p></span></i></span></b></div>
<div style="margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm; mso-line-height-alt: 10.75pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: large;"><b><i> (
<span style="color: blue;"><u>Υπόδειξη </u></span>: </i>Ο αριθμός των γραμμάτων κάθε λέξης </b></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: large;"><b> αντιστοιχεί διαδοχικά με ένα </b><b> ψηφίο του αριθμού
π).</b></span></div>
<span style="font-size: large;"><b><br /></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><br /></b></span>
<span style="font-size: large;"><b>δ. </b></span><span style="text-indent: -18pt;"><b><span style="font-size: large;">Ποια συμβολή έχει ο Η/Υ στον υπολογισμό του π;</span></b></span><br />
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 36.0pt; mso-hyphenate: none; mso-list: l0 level1 lfo1; tab-stops: list 36.0pt; text-indent: -18.0pt;">
<span style="background-color: black; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; border: 1pt none black; font-size: 0pt; padding: 0cm;"> </span><span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;"><o:p></o:p></span></div>
<span style="font-size: large;"><b><br /></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><br /></b></span><span style="color: #cc0000; font-size: large;"><b>7. Ιστορικά στοιχεία για τον αριθμό π.</b></span><br />
<span style="font-size: large;"><b><br /></b></span>
<span style="font-size: large;"><b>Συνδεόμαστε με το ιστολόγιό μου στην ανάρτηση : ΛΙΓΗ ΙΣΤΟΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ και βρίσκουμε ιστορικά στοιχεία για τον αριθμό π.</b></span><br />
<span style="font-size: large;"><b><br /></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><br /></b></span><span style="font-size: large;"><b><span style="color: #990000;">8</span><span style="color: #cc0000;">.</span> </b></span><b style="color: #990000; font-size: x-large;">Power Point </b><br />
<span style="font-size: large;"><b><br /></b></span>
<span style="color: blue; font-size: large;"><b><a href="https://drive.google.com/file/d/0BxbKSKHiz6zaUVRtVl9udUxWYUE/edit?usp=sharing">Παραδείγματα υπολογισμού του εμβαδού κύκλου.</a></b></span><br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><br /></span>
<span style="color: blue; font-size: large;"><br /></span><span style="color: blue; font-size: large;"><br /></span>
<span style="color: blue; font-size: large;"><br /></span>
<span style="color: #990000; font-size: large;"><b style="background-color: orange;">Μάθημα 6</b></span><br />
<span style="color: #990000; font-size: large;"><b><br /></b></span>
<span style="color: #990000; font-size: large;"><b style="background-color: orange;">Δραστηριότητες στα ποσοστά.</b></span><br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><br /></span>
<span style="color: blue; font-size: large;"><br /></span>
<span style="color: blue; font-size: large;"><br /></span>
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>1. Γεωμετρικό μοντέλο.</b></span><br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><br /></span>
<br />
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<span style="font-size: 14.0pt;">Α. Να
βρείτε το 8% του 400.Αξιοποιήστε το παρακάτω τετράγωνο<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<br /></div>
<table border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" class="MsoNormalTable" style="border-collapse: collapse; margin-left: 109.8pt; mso-padding-alt: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; mso-table-layout-alt: fixed;">
<tbody>
<tr>
<td style="background: yellow; border-right: none; border: solid black 1.0pt; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="layout-grid-mode: char; tab-stops: 15.0cm; text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="background: yellow; border-right: none; border: solid black 1.0pt; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="layout-grid-mode: char; tab-stops: 15.0cm; text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="background: yellow; border-right: none; border: solid black 1.0pt; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="layout-grid-mode: char; tab-stops: 15.0cm; text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="background: yellow; border-right: none; border: solid black 1.0pt; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="layout-grid-mode: char; tab-stops: 15.0cm; text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="background: yellow; border-right: none; border: solid black 1.0pt; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="layout-grid-mode: char; tab-stops: 15.0cm; text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="background: yellow; border-right: none; border: solid black 1.0pt; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.8pt;" valign="top" width="26"><div class="MsoNormal" style="layout-grid-mode: char; tab-stops: 15.0cm; text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="background: yellow; border-right: none; border: solid black 1.0pt; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="background: yellow; border-right: none; border: solid black 1.0pt; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-right: none; border: solid black 1.0pt; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border: solid black 1.0pt; mso-border-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.0pt;" valign="top" width="25"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.8pt;" valign="top" width="26"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-top: none; border: solid black 1.0pt; mso-border-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.0pt;" valign="top" width="25"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.8pt;" valign="top" width="26"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-top: none; border: solid black 1.0pt; mso-border-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.0pt;" valign="top" width="25"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.8pt;" valign="top" width="26"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-top: none; border: solid black 1.0pt; mso-border-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.0pt;" valign="top" width="25"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.8pt;" valign="top" width="26"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-top: none; border: solid black 1.0pt; mso-border-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.0pt;" valign="top" width="25"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.8pt;" valign="top" width="26"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-top: none; border: solid black 1.0pt; mso-border-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.0pt;" valign="top" width="25"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.8pt;" valign="top" width="26"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-top: none; border: solid black 1.0pt; mso-border-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.0pt;" valign="top" width="25"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.8pt;" valign="top" width="26"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-top: none; border: solid black 1.0pt; mso-border-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.0pt;" valign="top" width="25"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.8pt;" valign="top" width="26"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-top: none; border: solid black 1.0pt; mso-border-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.0pt;" valign="top" width="25"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.8pt;" valign="top" width="26"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-top: none; border: solid black 1.0pt; mso-border-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.0pt;" valign="top" width="25"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
</tr>
</tbody></table>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<span style="font-size: 14.0pt;">Το
ένα τετραγωνάκι οπτικοποιεί το 1% και αντιστοιχεί στον αριθμό <o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<span style="font-size: 14.0pt;">Το
85 οπτικοποιείται με τα 8 χρωματισμένα τετραγωνάκια άρα ισούται με</span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<br /></div>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<br />
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<span style="font-size: 14.0pt;">Β. Το
8% ενός αριθμού είναι 32.Ποιος είναι ο αριθμός;<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<br /></div>
<table border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" class="MsoNormalTable" style="border-collapse: collapse; margin-left: 112.8pt; mso-padding-alt: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; mso-table-layout-alt: fixed;">
<tbody>
<tr>
<td style="background: yellow; border-right: none; border: solid black 1.0pt; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="layout-grid-mode: char; tab-stops: 15.0cm; text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="background: yellow; border-right: none; border: solid black 1.0pt; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="layout-grid-mode: char; tab-stops: 15.0cm; text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="background: yellow; border-right: none; border: solid black 1.0pt; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="layout-grid-mode: char; tab-stops: 15.0cm; text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="background: yellow; border-right: none; border: solid black 1.0pt; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="layout-grid-mode: char; tab-stops: 15.0cm; text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="background: yellow; border-right: none; border: solid black 1.0pt; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="layout-grid-mode: char; tab-stops: 15.0cm; text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="background: yellow; border-right: none; border: solid black 1.0pt; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.8pt;" valign="top" width="26"><div class="MsoNormal" style="layout-grid-mode: char; tab-stops: 15.0cm; text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="background: yellow; border-right: none; border: solid black 1.0pt; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="background: yellow; border-right: none; border: solid black 1.0pt; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-right: none; border: solid black 1.0pt; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border: solid black 1.0pt; mso-border-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.0pt;" valign="top" width="25"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.8pt;" valign="top" width="26"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-top: none; border: solid black 1.0pt; mso-border-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.0pt;" valign="top" width="25"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.8pt;" valign="top" width="26"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-top: none; border: solid black 1.0pt; mso-border-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.0pt;" valign="top" width="25"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.8pt;" valign="top" width="26"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-top: none; border: solid black 1.0pt; mso-border-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.0pt;" valign="top" width="25"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.8pt;" valign="top" width="26"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-top: none; border: solid black 1.0pt; mso-border-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.0pt;" valign="top" width="25"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.8pt;" valign="top" width="26"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-top: none; border: solid black 1.0pt; mso-border-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.0pt;" valign="top" width="25"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.8pt;" valign="top" width="26"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-top: none; border: solid black 1.0pt; mso-border-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.0pt;" valign="top" width="25"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.8pt;" valign="top" width="26"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-top: none; border: solid black 1.0pt; mso-border-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.0pt;" valign="top" width="25"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.8pt;" valign="top" width="26"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-top: none; border: solid black 1.0pt; mso-border-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.0pt;" valign="top" width="25"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.8pt;" valign="top" width="26"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-top: none; border: solid black 1.0pt; mso-border-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.0pt;" valign="top" width="25"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
</tr>
</tbody></table>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<span style="font-size: 14.0pt;">Το
ένα τετραγωνάκι (1%) ισούται με </span><br />
<span style="font-size: 14.0pt;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<span style="font-size: 14.0pt;">Όλος
ο αριθμός ισούται με</span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<span style="font-size: 14.0pt;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<span style="font-size: 14.0pt;">Γ. Χρησιμοποιήστε
τα παρακάτω ορθογώνια για να βρείτε :<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<span style="font-size: 14.0pt;"> Το
12% του 300<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<br /></div>
<table border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" class="MsoNormalTable" style="border-collapse: collapse; margin-left: 112.8pt; mso-padding-alt: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; mso-table-layout-alt: fixed;">
<tbody>
<tr>
<td style="background: white; border-right: none; border: solid black 1.0pt; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="layout-grid-mode: char; tab-stops: 15.0cm; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="background: white; border-right: none; border: solid black 1.0pt; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="layout-grid-mode: char; tab-stops: 15.0cm; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="background: white; border-right: none; border: solid black 1.0pt; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="layout-grid-mode: char; tab-stops: 15.0cm; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="background: white; border-right: none; border: solid black 1.0pt; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="layout-grid-mode: char; tab-stops: 15.0cm; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="background: white; border-right: none; border: solid black 1.0pt; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="layout-grid-mode: char; tab-stops: 15.0cm; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="background: white; border-right: none; border: solid black 1.0pt; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.8pt;" valign="top" width="26"><div class="MsoNormal" style="layout-grid-mode: char; tab-stops: 15.0cm; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="background: white; border-right: none; border: solid black 1.0pt; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="background: white; border-right: none; border: solid black 1.0pt; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-right: none; border: solid black 1.0pt; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border: solid black 1.0pt; mso-border-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.0pt;" valign="top" width="25"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.8pt;" valign="top" width="26"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-top: none; border: solid black 1.0pt; mso-border-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.0pt;" valign="top" width="25"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.8pt;" valign="top" width="26"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-top: none; border: solid black 1.0pt; mso-border-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.0pt;" valign="top" width="25"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.8pt;" valign="top" width="26"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-top: none; border: solid black 1.0pt; mso-border-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.0pt;" valign="top" width="25"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.8pt;" valign="top" width="26"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-top: none; border: solid black 1.0pt; mso-border-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.0pt;" valign="top" width="25"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.8pt;" valign="top" width="26"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-top: none; border: solid black 1.0pt; mso-border-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.0pt;" valign="top" width="25"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.8pt;" valign="top" width="26"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-top: none; border: solid black 1.0pt; mso-border-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.0pt;" valign="top" width="25"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.8pt;" valign="top" width="26"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-top: none; border: solid black 1.0pt; mso-border-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.0pt;" valign="top" width="25"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.8pt;" valign="top" width="26"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-top: none; border: solid black 1.0pt; mso-border-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.0pt;" valign="top" width="25"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.8pt;" valign="top" width="26"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-top: none; border: solid black 1.0pt; mso-border-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.0pt;" valign="top" width="25"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
</tr>
</tbody></table>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<span style="font-size: 14.0pt;"> Το
23% του 550<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<br /></div>
<table border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" class="MsoNormalTable" style="border-collapse: collapse; margin-left: 112.8pt; mso-padding-alt: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; mso-table-layout-alt: fixed;">
<tbody>
<tr>
<td style="background: white; border-right: none; border: solid black 1.0pt; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="layout-grid-mode: char; tab-stops: 15.0cm; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="background: white; border-right: none; border: solid black 1.0pt; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="layout-grid-mode: char; tab-stops: 15.0cm; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="background: white; border-right: none; border: solid black 1.0pt; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="layout-grid-mode: char; tab-stops: 15.0cm; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="background: white; border-right: none; border: solid black 1.0pt; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="layout-grid-mode: char; tab-stops: 15.0cm; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="background: white; border-right: none; border: solid black 1.0pt; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="layout-grid-mode: char; tab-stops: 15.0cm; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="background: white; border-right: none; border: solid black 1.0pt; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.8pt;" valign="top" width="26"><div class="MsoNormal" style="layout-grid-mode: char; tab-stops: 15.0cm; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="background: white; border-right: none; border: solid black 1.0pt; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="background: white; border-right: none; border: solid black 1.0pt; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-right: none; border: solid black 1.0pt; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border: solid black 1.0pt; mso-border-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.0pt;" valign="top" width="25"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.8pt;" valign="top" width="26"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-top: none; border: solid black 1.0pt; mso-border-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.0pt;" valign="top" width="25"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.8pt;" valign="top" width="26"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-top: none; border: solid black 1.0pt; mso-border-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.0pt;" valign="top" width="25"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.8pt;" valign="top" width="26"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-top: none; border: solid black 1.0pt; mso-border-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.0pt;" valign="top" width="25"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.8pt;" valign="top" width="26"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-top: none; border: solid black 1.0pt; mso-border-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.0pt;" valign="top" width="25"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.8pt;" valign="top" width="26"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-top: none; border: solid black 1.0pt; mso-border-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.0pt;" valign="top" width="25"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.8pt;" valign="top" width="26"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-top: none; border: solid black 1.0pt; mso-border-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.0pt;" valign="top" width="25"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.8pt;" valign="top" width="26"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-top: none; border: solid black 1.0pt; mso-border-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.0pt;" valign="top" width="25"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.8pt;" valign="top" width="26"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-top: none; border: solid black 1.0pt; mso-border-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.0pt;" valign="top" width="25"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.8pt;" valign="top" width="26"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 17.8pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-top: none; border: solid black 1.0pt; mso-border-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 19.0pt;" valign="top" width="25"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
</tr>
</tbody></table>
<br />
<br />
<br />
<br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;">2. Ποσοστό - Λόγος - κλάσμα.</span></b><br />
<div>
<br /></div>
<div>
<br />
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<span style="font-size: 14.0pt;"> </span><b style="text-align: justify;"><span lang="EN-US" style="font-size: 14.0pt; mso-ansi-language: EN-US;"> </span></b><b style="text-align: justify;"><span style="font-size: 14.0pt;">Δραστηριότητα
1</span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -18.0pt; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -18.0pt; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -18.0pt;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;"> Να
συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα :<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<table border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" class="MsoNormalTable" style="border-collapse: collapse; mso-padding-alt: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; mso-table-layout-alt: fixed;">
<tbody>
<tr style="height: 12.85pt; mso-yfti-firstrow: yes; mso-yfti-irow: 0;">
<td style="border-right: none; border: solid black 1.0pt; height: 12.85pt; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 90.65pt;" valign="top" width="121"><div class="MsoNormal" style="layout-grid-mode: char; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: 14.0pt;">Ποσοστό<o:p></o:p></span></b></div>
</td>
<td style="border-right: none; border: solid black 1.0pt; height: 12.85pt; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 99.0pt;" valign="top" width="132"><div class="MsoNormal" style="layout-grid-mode: char; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: 14.0pt;">Λόγος<o:p></o:p></span></b></div>
</td>
<td style="border-right: none; border: solid black 1.0pt; height: 12.85pt; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 90.0pt;" valign="top" width="120"><div class="MsoNormal" style="layout-grid-mode: char; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: 14.0pt;">Κλάσμα<o:p></o:p></span></b></div>
</td>
<td style="border: solid black 1.0pt; height: 12.85pt; mso-border-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 99.0pt;" valign="top" width="132"><div class="MsoNormal" style="layout-grid-mode: char; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: 14.0pt;">Δεκαδικός<o:p></o:p></span></b></div>
</td>
</tr>
<tr style="height: 26.35pt; mso-yfti-irow: 1;">
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; height: 26.35pt; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 90.65pt;" valign="top" width="121"><div class="MsoNormal" style="layout-grid-mode: char; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: 14.0pt;"> 30%<o:p></o:p></span></b></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; height: 26.35pt; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 99.0pt;" valign="top" width="132"><div class="MsoNormal" style="layout-grid-mode: char; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; height: 26.35pt; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 90.0pt;" valign="top" width="120"><div class="MsoNormal" style="layout-grid-mode: char; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="layout-grid-mode: char; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-top: none; border: solid black 1.0pt; height: 26.35pt; mso-border-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 99.0pt;" valign="top" width="132"><div class="MsoNormal" style="layout-grid-mode: char; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr style="height: 26.35pt; mso-yfti-irow: 2;">
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; height: 26.35pt; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 90.65pt;" valign="top" width="121"><div class="MsoNormal" style="layout-grid-mode: char; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; height: 26.35pt; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 99.0pt;" valign="top" width="132"><div class="MsoNormal" style="layout-grid-mode: char; text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;"> 5 στα 100<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; height: 26.35pt; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 90.0pt;" valign="top" width="120"><div class="MsoNormal" style="layout-grid-mode: char; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="layout-grid-mode: char; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-top: none; border: solid black 1.0pt; height: 26.35pt; mso-border-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 99.0pt;" valign="top" width="132"><div class="MsoNormal" style="layout-grid-mode: char; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr style="height: 25.75pt; mso-yfti-irow: 3;">
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; height: 25.75pt; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 90.65pt;" valign="top" width="121"><div class="MsoNormal" style="layout-grid-mode: char; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; height: 25.75pt; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 99.0pt;" valign="top" width="132"><div class="MsoNormal" style="layout-grid-mode: char; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; height: 25.75pt; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 90.0pt;" valign="top" width="120"><div class="MsoNormal" style="layout-grid-mode: char; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-top: none; border: solid black 1.0pt; height: 25.75pt; mso-border-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 99.0pt;" valign="top" width="132"><div class="MsoNormal" style="layout-grid-mode: char; text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;"> 0,15<o:p></o:p></span></div>
</td>
</tr>
<tr style="height: 25.75pt; mso-yfti-irow: 4;">
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; height: 25.75pt; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 90.65pt;" valign="top" width="121"><div class="MsoNormal" style="layout-grid-mode: char; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; height: 25.75pt; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 99.0pt;" valign="top" width="132"><div class="MsoNormal" style="layout-grid-mode: char; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; height: 25.75pt; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 90.0pt;" valign="top" width="120"><div class="MsoNormal" style="layout-grid-mode: char; text-align: justify;">
<span style="mso-text-raise: -9.5pt; position: relative; top: 9.5pt;"><!--[if gte vml 1]><v:shapetype
id="_x0000_t75" coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:preferrelative="t"
path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" filled="f" stroked="f">
<v:stroke joinstyle="miter"/>
<v:formulas>
<v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"/>
<v:f eqn="sum @0 1 0"/>
<v:f eqn="sum 0 0 @1"/>
<v:f eqn="prod @2 1 2"/>
<v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"/>
<v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"/>
<v:f eqn="sum @0 0 1"/>
<v:f eqn="prod @6 1 2"/>
<v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"/>
<v:f eqn="sum @8 21600 0"/>
<v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"/>
<v:f eqn="sum @10 21600 0"/>
</v:formulas>
<v:path o:extrusionok="f" gradientshapeok="t" o:connecttype="rect"/>
<o:lock v:ext="edit" aspectratio="t"/>
</v:shapetype><v:shape id="_x0000_i1025" type="#_x0000_t75" style='width:12pt;
height:30.75pt' o:ole="" filled="t">
<v:fill color2="black"/>
<v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\user\LOCALS~1\Temp\msohtml1\01\clip_image001.wmz"
o:title=""/>
</v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--></span><!--[if gte mso 9]><xml>
<o:OLEObject Type="Embed" ShapeID="_x0000_i1025" DrawAspect="Content"
ObjectID="_1458105133">
</o:OLEObject>
</xml><![endif]--><span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;"><o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-top: none; border: solid black 1.0pt; height: 25.75pt; mso-border-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 99.0pt;" valign="top" width="132"><div class="MsoNormal" style="layout-grid-mode: char; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr style="height: 25.75pt; mso-yfti-irow: 5; mso-yfti-lastrow: yes;">
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; height: 25.75pt; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 90.65pt;" valign="top" width="121"><div class="MsoNormal" style="layout-grid-mode: char; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="layout-grid-mode: char; text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;"> 2,4%<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; height: 25.75pt; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 99.0pt;" valign="top" width="132"><div class="MsoNormal" style="layout-grid-mode: char; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid black 1.0pt; border-left: solid black 1.0pt; border-right: none; border-top: none; height: 25.75pt; mso-border-bottom-alt: solid black .5pt; mso-border-left-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 90.0pt;" valign="top" width="120"><div class="MsoNormal" style="layout-grid-mode: char; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-top: none; border: solid black 1.0pt; height: 25.75pt; mso-border-alt: solid black .5pt; mso-border-top-alt: solid black .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 99.0pt;" valign="top" width="132"><div class="MsoNormal" style="layout-grid-mode: char; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
</tr>
</tbody></table>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -18.0pt; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -18.0pt; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -18.0pt; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -18.0pt; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -18.0pt; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -18.0pt; text-align: justify;">
<b><span lang="EN-US" style="font-size: 14.0pt; mso-ansi-language: EN-US;"> </span></b><b><span style="font-size: 14.0pt;">Δραστηριότητα
2<o:p></o:p></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -18.0pt; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -18.0pt; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -18.0pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;"> Να
συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα :<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -18.0pt; text-align: justify;">
<br /></div>
<table align="left" border="1" cellpadding="0" cellspacing="0" class="MsoTableGrid" style="border-collapse: collapse; border: none; margin-left: 6.75pt; margin-right: 6.75pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-insideh: .5pt solid windowtext; mso-border-insidev: .5pt solid windowtext; mso-padding-alt: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; mso-table-anchor-horizontal: page; mso-table-anchor-vertical: paragraph; mso-table-left: 147.6pt; mso-table-lspace: 9.0pt; mso-table-rspace: 9.0pt; mso-table-top: 11.7pt; mso-yfti-tbllook: 480;">
<tbody>
<tr>
<td style="border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 86.4pt;" valign="top" width="115"><div class="MsoNormal" style="mso-element-anchor-horizontal: page; mso-element-anchor-vertical: paragraph; mso-element-frame-hspace: 9.0pt; mso-element-left: 147.65pt; mso-element-top: 11.7pt; mso-element-wrap: around; mso-element: frame; mso-height-rule: exactly; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-element-anchor-horizontal: page; mso-element-anchor-vertical: paragraph; mso-element-frame-hspace: 9.0pt; mso-element-left: 147.65pt; mso-element-top: 11.7pt; mso-element-wrap: around; mso-element: frame; mso-height-rule: exactly; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: 14.0pt;">Ποσοστό<o:p></o:p></span></b></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 81.0pt;" valign="top" width="108"><div class="MsoNormal" style="mso-element-anchor-horizontal: page; mso-element-anchor-vertical: paragraph; mso-element-frame-hspace: 9.0pt; mso-element-left: 147.65pt; mso-element-top: 11.7pt; mso-element-wrap: around; mso-element: frame; mso-height-rule: exactly; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-element-anchor-horizontal: page; mso-element-anchor-vertical: paragraph; mso-element-frame-hspace: 9.0pt; mso-element-left: 147.65pt; mso-element-top: 11.7pt; mso-element-wrap: around; mso-element: frame; mso-height-rule: exactly; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: 14.0pt;">1200<o:p></o:p></span></b></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 99.0pt;" valign="top" width="132"><div class="MsoNormal" style="mso-element-anchor-horizontal: page; mso-element-anchor-vertical: paragraph; mso-element-frame-hspace: 9.0pt; mso-element-left: 147.65pt; mso-element-top: 11.7pt; mso-element-wrap: around; mso-element: frame; mso-height-rule: exactly; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-element-anchor-horizontal: page; mso-element-anchor-vertical: paragraph; mso-element-frame-hspace: 9.0pt; mso-element-left: 147.65pt; mso-element-top: 11.7pt; mso-element-wrap: around; mso-element: frame; mso-height-rule: exactly; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: 14.0pt;">850<o:p></o:p></span></b></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 72.0pt;" valign="top" width="96"><div class="MsoNormal" style="mso-element-anchor-horizontal: page; mso-element-anchor-vertical: paragraph; mso-element-frame-hspace: 9.0pt; mso-element-left: 147.65pt; mso-element-top: 11.7pt; mso-element-wrap: around; mso-element: frame; mso-height-rule: exactly; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-element-anchor-horizontal: page; mso-element-anchor-vertical: paragraph; mso-element-frame-hspace: 9.0pt; mso-element-left: 147.65pt; mso-element-top: 11.7pt; mso-element-wrap: around; mso-element: frame; mso-height-rule: exactly; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: 14.0pt;">2500<o:p></o:p></span></b></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 86.4pt;" valign="top" width="115"><div class="MsoNormal" style="mso-element-anchor-horizontal: page; mso-element-anchor-vertical: paragraph; mso-element-frame-hspace: 9.0pt; mso-element-left: 147.65pt; mso-element-top: 11.7pt; mso-element-wrap: around; mso-element: frame; mso-height-rule: exactly; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-element-anchor-horizontal: page; mso-element-anchor-vertical: paragraph; mso-element-frame-hspace: 9.0pt; mso-element-left: 147.65pt; mso-element-top: 11.7pt; mso-element-wrap: around; mso-element: frame; mso-height-rule: exactly; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: 14.0pt;"> </span></b><span style="font-size: 14.0pt;">30%<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 81.0pt;" valign="top" width="108"><div class="MsoNormal" style="mso-element-anchor-horizontal: page; mso-element-anchor-vertical: paragraph; mso-element-frame-hspace: 9.0pt; mso-element-left: 147.65pt; mso-element-top: 11.7pt; mso-element-wrap: around; mso-element: frame; mso-height-rule: exactly; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 99.0pt;" valign="top" width="132"><div class="MsoNormal" style="mso-element-anchor-horizontal: page; mso-element-anchor-vertical: paragraph; mso-element-frame-hspace: 9.0pt; mso-element-left: 147.65pt; mso-element-top: 11.7pt; mso-element-wrap: around; mso-element: frame; mso-height-rule: exactly; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 72.0pt;" valign="top" width="96"><div class="MsoNormal" style="mso-element-anchor-horizontal: page; mso-element-anchor-vertical: paragraph; mso-element-frame-hspace: 9.0pt; mso-element-left: 147.65pt; mso-element-top: 11.7pt; mso-element-wrap: around; mso-element: frame; mso-height-rule: exactly; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 86.4pt;" valign="top" width="115"><div class="MsoNormal" style="mso-element-anchor-horizontal: page; mso-element-anchor-vertical: paragraph; mso-element-frame-hspace: 9.0pt; mso-element-left: 147.65pt; mso-element-top: 11.7pt; mso-element-wrap: around; mso-element: frame; mso-height-rule: exactly; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-element-anchor-horizontal: page; mso-element-anchor-vertical: paragraph; mso-element-frame-hspace: 9.0pt; mso-element-left: 147.65pt; mso-element-top: 11.7pt; mso-element-wrap: around; mso-element: frame; mso-height-rule: exactly; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 81.0pt;" valign="top" width="108"><div class="MsoNormal" style="mso-element-anchor-horizontal: page; mso-element-anchor-vertical: paragraph; mso-element-frame-hspace: 9.0pt; mso-element-left: 147.65pt; mso-element-top: 11.7pt; mso-element-wrap: around; mso-element: frame; mso-height-rule: exactly; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 99.0pt;" valign="top" width="132"><div class="MsoNormal" style="mso-element-anchor-horizontal: page; mso-element-anchor-vertical: paragraph; mso-element-frame-hspace: 9.0pt; mso-element-left: 147.65pt; mso-element-top: 11.7pt; mso-element-wrap: around; mso-element: frame; mso-height-rule: exactly; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-element-anchor-horizontal: page; mso-element-anchor-vertical: paragraph; mso-element-frame-hspace: 9.0pt; mso-element-left: 147.65pt; mso-element-top: 11.7pt; mso-element-wrap: around; mso-element: frame; mso-height-rule: exactly; text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;"> 150<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 72.0pt;" valign="top" width="96"><div class="MsoNormal" style="mso-element-anchor-horizontal: page; mso-element-anchor-vertical: paragraph; mso-element-frame-hspace: 9.0pt; mso-element-left: 147.65pt; mso-element-top: 11.7pt; mso-element-wrap: around; mso-element: frame; mso-height-rule: exactly; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 86.4pt;" valign="top" width="115"><div class="MsoNormal" style="mso-element-anchor-horizontal: page; mso-element-anchor-vertical: paragraph; mso-element-frame-hspace: 9.0pt; mso-element-left: 147.65pt; mso-element-top: 11.7pt; mso-element-wrap: around; mso-element: frame; mso-height-rule: exactly; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-element-anchor-horizontal: page; mso-element-anchor-vertical: paragraph; mso-element-frame-hspace: 9.0pt; mso-element-left: 147.65pt; mso-element-top: 11.7pt; mso-element-wrap: around; mso-element: frame; mso-height-rule: exactly; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 81.0pt;" valign="top" width="108"><div class="MsoNormal" style="mso-element-anchor-horizontal: page; mso-element-anchor-vertical: paragraph; mso-element-frame-hspace: 9.0pt; mso-element-left: 147.65pt; mso-element-top: 11.7pt; mso-element-wrap: around; mso-element: frame; mso-height-rule: exactly; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 99.0pt;" valign="top" width="132"><div class="MsoNormal" style="mso-element-anchor-horizontal: page; mso-element-anchor-vertical: paragraph; mso-element-frame-hspace: 9.0pt; mso-element-left: 147.65pt; mso-element-top: 11.7pt; mso-element-wrap: around; mso-element: frame; mso-height-rule: exactly; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 72.0pt;" valign="top" width="96"><div class="MsoNormal" style="mso-element-anchor-horizontal: page; mso-element-anchor-vertical: paragraph; mso-element-frame-hspace: 9.0pt; mso-element-left: 147.65pt; mso-element-top: 11.7pt; mso-element-wrap: around; mso-element: frame; mso-height-rule: exactly; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="mso-element-anchor-horizontal: page; mso-element-anchor-vertical: paragraph; mso-element-frame-hspace: 9.0pt; mso-element-left: 147.65pt; mso-element-top: 11.7pt; mso-element-wrap: around; mso-element: frame; mso-height-rule: exactly; text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;"> 1000<o:p></o:p></span></div>
</td>
</tr>
</tbody></table>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -18.0pt; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -18.0pt; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -18.0pt; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -18.0pt; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -18.0pt; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -18.0pt; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -18.0pt; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -18.0pt; text-align: justify;">
<b><span lang="EN-US" style="font-size: 14.0pt; mso-ansi-language: EN-US;"><br /></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -18.0pt; text-align: justify;">
<b><span lang="EN-US" style="font-size: 14.0pt; mso-ansi-language: EN-US;"><br /></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -18.0pt; text-align: justify;">
<b><span lang="EN-US" style="font-size: 14.0pt; mso-ansi-language: EN-US;"><br /></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -18.0pt; text-align: justify;">
<b><span lang="EN-US" style="font-size: 14.0pt; mso-ansi-language: EN-US;"><br /></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -18.0pt; text-align: justify;">
<b><span lang="EN-US"><span style="font-size: medium;"> </span><span style="color: blue; font-size: large;">3. Δρατηριότητες</span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -18.0pt; text-align: justify;">
<b><span lang="EN-US" style="font-size: 14.0pt; mso-ansi-language: EN-US;"><br /></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -18.0pt; text-align: justify;">
<b><span lang="EN-US" style="font-size: 14.0pt; mso-ansi-language: EN-US;"> </span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -18.0pt; text-align: justify;">
<b><span lang="EN-US" style="font-size: 14.0pt; mso-ansi-language: EN-US;"> </span><span lang="EN-US"><span style="font-size: large;">Δρατηριότητα 1</span></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -18.0pt; text-align: justify;">
<b><span lang="EN-US" style="font-size: 14.0pt; mso-ansi-language: EN-US;"><br /></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -18.0pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;"> Στον παρακάτω πίνακα φαίνονται το σύνολο των πολιτών
στα χωριά Α,Β,Γ,Δ και οι ψήφοι που πήραν
οι αντίστοιχοι πρόεδροι που εκλέχτηκαν στις εκλογές τοπικής αυτοδιοίκησης σε
μια κοινότητα. Να συμπληρώσετε τον πίνακα με τα ποσοστά κάθε προέδρου.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -18.0pt; text-align: justify;">
<br /></div>
<table border="1" cellpadding="0" cellspacing="0" class="MsoTableGrid" style="border-collapse: collapse; border: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-insideh: .5pt solid windowtext; mso-border-insidev: .5pt solid windowtext; mso-padding-alt: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; mso-yfti-tbllook: 480;">
<tbody>
<tr>
<td style="border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 112.95pt;" valign="top" width="151"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;">Υποψήφιοι<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 112.95pt;" valign="top" width="151"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;">Ψηφίσαντες<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 112.95pt;" valign="top" width="151"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;">Ψήφοι
του<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;"> εκλεγμένου προέδρου<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 112.95pt;" valign="top" width="151"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;">Ποσοστό<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;">Εκλογής
κάθε<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;"> προέδρου<o:p></o:p></span></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 112.95pt;" valign="top" width="151"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;"> Α<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 112.95pt;" valign="top" width="151"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;">585<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 112.95pt;" valign="top" width="151"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;"> 354<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 112.95pt;" valign="top" width="151"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 112.95pt;" valign="top" width="151"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;"> Β<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 112.95pt;" valign="top" width="151"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;">3460<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 112.95pt;" valign="top" width="151"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;">1802<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 112.95pt;" valign="top" width="151"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 112.95pt;" valign="top" width="151"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;"> Γ<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 112.95pt;" valign="top" width="151"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;">456<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 112.95pt;" valign="top" width="151"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;">312<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 112.95pt;" valign="top" width="151"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 112.95pt;" valign="top" width="151"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;"> <o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;"> Δ<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 112.95pt;" valign="top" width="151"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;">1295<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 112.95pt;" valign="top" width="151"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;">823<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 112.95pt;" valign="top" width="151"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
</tr>
</tbody></table>
<br />
<br />
<br />
<br />
<b><span style="font-size: large;">Δρατηριότητα 2</span></b></div>
<div>
<br />
<br />
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -18.0pt; text-align: justify;">
</div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -18.0pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;"> </span><span style="font-size: 14pt; text-align: left;">Η
κατανομή του πληθυσμού της Ελλάδας κατά την απογραφή του 1981 , φαίνε </span><span style="font-size: 14pt; text-align: left;">στον παρακάτω πίνακα. Να τον συμπληρώσετε.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -18.0pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: 14pt; text-align: left;"> </span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<br /></div>
<table border="1" cellpadding="0" cellspacing="0" class="MsoTableGrid" style="border-collapse: collapse; border: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-insideh: .5pt solid windowtext; mso-border-insidev: .5pt solid windowtext; mso-padding-alt: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; mso-yfti-tbllook: 480;">
<tbody>
<tr>
<td style="border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;"> %<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;"> Πληθυσμός<o:p></o:p></span></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">Αστικός<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;"> 58<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">Ημιαστικός<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">Αγροτικός <o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;"> 30<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">ΣΥΝΟΛΟ <o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;"> 9.600.000<o:p></o:p></span></div>
</td>
</tr>
</tbody></table>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -18.0pt; text-align: justify;">
<b><span lang="EN-US" style="font-size: 14.0pt; mso-ansi-language: EN-US;"><br /></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -18.0pt; text-align: justify;">
<b><span lang="EN-US" style="font-size: 14.0pt; mso-ansi-language: EN-US;"><br /></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -18.0pt; text-align: justify;">
<b><span lang="EN-US" style="font-size: 14.0pt; mso-ansi-language: EN-US;"><br /></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -18.0pt; text-align: justify;">
<b><span lang="EN-US" style="font-size: 14.0pt; mso-ansi-language: EN-US;"> Δρατηριότητα 3</span></b><br />
<b><span lang="EN-US" style="font-size: 14.0pt; mso-ansi-language: EN-US;"><br /></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -18.0pt; text-align: justify;">
<b><span lang="EN-US" style="font-size: 14.0pt; mso-ansi-language: EN-US;"> </span></b><span style="font-size: 14pt; text-align: left;">Σ’</span><span style="font-size: 14pt; text-align: left;"> </span><span style="font-size: 14pt; text-align: left;">ένα αθλητικό σύλλογο είναι γραμμένοι 64
αθλητές. Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα:</span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -18.0pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: 14pt; text-align: left;"><br /></span></div>
<table border="1" cellpadding="0" cellspacing="0" class="MsoTableGrid" style="border-collapse: collapse; border: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-insideh: .5pt solid windowtext; mso-border-insidev: .5pt solid windowtext; mso-padding-alt: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; mso-yfti-tbllook: 480;">
<tbody>
<tr>
<td style="border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">Αριθμός αθλητών<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;"> %<o:p></o:p></span></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">Ποδόσφαιρο<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;"> 14<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">Στίβος<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;"> 10<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">Μπάσκετ<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;"> 16<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">Βόλεϊ<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
</tr>
</tbody></table>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -18.0pt; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -18.0pt; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -18.0pt; text-align: justify;">
<b><span lang="EN-US" style="font-size: 14.0pt; mso-ansi-language: EN-US;"><br /></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -18.0pt; text-align: justify;">
<b><span lang="EN-US" style="font-size: 14.0pt; mso-ansi-language: EN-US;"> Δραστηριότητα 4 </span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -18.0pt; text-align: justify;">
<b><span lang="EN-US" style="font-size: 14.0pt; mso-ansi-language: EN-US;"> </span></b><span style="font-size: 14pt;">Ο παρακάτω πίνακας περιγράφει τα αποτελέσματα μια
έρευνας που καταγράφει τα ποσοστά του πλαστικού που απορρίπτεται , καίγεται ή ανακυκλώνεται κατά διάρκεια ενός έτους στην Ολλανδία. Να συμπληρώσετε τον πίνακα:</span><br />
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt; text-align: justify;">
<br /></div>
<table border="1" cellpadding="0" cellspacing="0" class="MsoTableGrid" style="border-collapse: collapse; border: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-insideh: .5pt solid windowtext; mso-border-insidev: .5pt solid windowtext; mso-padding-alt: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; mso-yfti-tbllook: 480;">
<tbody>
<tr>
<td style="border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;"> Τόνοι πλαστικού<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;"> %<o:p></o:p></span></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;">Απορρίπτεται<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;"> 74<o:p></o:p></span></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;">Καίγεται<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;"> 209<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;">Ανακυκλώνεται.<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;">ΣΥΝΟΛΟ<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;"> 4560<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
</tr>
</tbody></table>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -18.0pt; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -18.0pt; text-align: justify;">
<b><span lang="EN-US" style="font-size: 14.0pt; mso-ansi-language: EN-US;"><br /></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<span style="font-size: 14.0pt;"> </span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
</div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<span style="font-size: medium;"> </span><b><span style="color: blue; font-size: large;">4. Πείραμα </span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<span style="font-size: 14.0pt;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<span style="font-size: 14.0pt;"> </span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -18.0pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;">Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα στην διάρκεια μιας
εβδομάδας. Μετρήστε τον αριθμό των ωρών που αντιστοιχούν σε κάθε δραστηριότητα
σας ανά ημέρα της εβδομάδας.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<table border="1" cellpadding="0" cellspacing="0" class="MsoTableGrid" style="border-collapse: collapse; border: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-insideh: .5pt solid windowtext; mso-border-insidev: .5pt solid windowtext; mso-padding-alt: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; mso-yfti-tbllook: 480;">
<tbody>
<tr>
<td style="border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 111.3pt;" valign="top" width="148"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 35.85pt;" valign="top" width="48"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;">Δ<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 37.5pt;" valign="top" width="50"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;">Τ<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 61.6pt;" valign="top" width="82"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;">Τ<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 61.6pt;" valign="top" width="82"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;">Π<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 61.6pt;" valign="top" width="82"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;">Π<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 61.6pt;" valign="top" width="82"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;">Σ<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 61.6pt;" valign="top" width="82"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;">Κ<o:p></o:p></span></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 111.3pt;" valign="top" width="148"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;">Διάβασμα<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 35.85pt;" valign="top" width="48"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 37.5pt;" valign="top" width="50"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 61.6pt;" valign="top" width="82"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 61.6pt;" valign="top" width="82"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 61.6pt;" valign="top" width="82"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 61.6pt;" valign="top" width="82"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 61.6pt;" valign="top" width="82"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 111.3pt;" valign="top" width="148"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;">Αθλητισμός<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 35.85pt;" valign="top" width="48"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 37.5pt;" valign="top" width="50"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 61.6pt;" valign="top" width="82"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 61.6pt;" valign="top" width="82"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 61.6pt;" valign="top" width="82"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 61.6pt;" valign="top" width="82"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 61.6pt;" valign="top" width="82"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 111.3pt;" valign="top" width="148"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;">Παρέα με φίλους<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 35.85pt;" valign="top" width="48"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 37.5pt;" valign="top" width="50"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 61.6pt;" valign="top" width="82"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 61.6pt;" valign="top" width="82"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 61.6pt;" valign="top" width="82"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 61.6pt;" valign="top" width="82"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 61.6pt;" valign="top" width="82"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 111.3pt;" valign="top" width="148"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;">τηλεόραση<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 35.85pt;" valign="top" width="48"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 37.5pt;" valign="top" width="50"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 61.6pt;" valign="top" width="82"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 61.6pt;" valign="top" width="82"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 61.6pt;" valign="top" width="82"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 61.6pt;" valign="top" width="82"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 61.6pt;" valign="top" width="82"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 111.3pt;" valign="top" width="148"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;">έξοδος<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 35.85pt;" valign="top" width="48"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 37.5pt;" valign="top" width="50"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 61.6pt;" valign="top" width="82"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 61.6pt;" valign="top" width="82"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 61.6pt;" valign="top" width="82"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 61.6pt;" valign="top" width="82"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 61.6pt;" valign="top" width="82"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 111.3pt;" valign="top" width="148"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;">ύπνος<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 35.85pt;" valign="top" width="48"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 37.5pt;" valign="top" width="50"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 61.6pt;" valign="top" width="82"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 61.6pt;" valign="top" width="82"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 61.6pt;" valign="top" width="82"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 61.6pt;" valign="top" width="82"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 61.6pt;" valign="top" width="82"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 111.3pt;" valign="top" width="148"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;">Υπόλοιπος χρόνος<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 35.85pt;" valign="top" width="48"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 37.5pt;" valign="top" width="50"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 61.6pt;" valign="top" width="82"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 61.6pt;" valign="top" width="82"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 61.6pt;" valign="top" width="82"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 61.6pt;" valign="top" width="82"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 61.6pt;" valign="top" width="82"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
</tr>
</tbody></table>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;">Στο τέλος της εβδομάδας μετρήστε το συνολικό χρόνο
σε κάθε δραστηριότητα και υπολογίστε το ποσοστό του χρόνου που ξοδεύεται σε
κάθε δραστηριότητα. Αν κάποια δραστηριότητα που θεωρείται χρήσιμη για τη υγεία
ή την ανάπτυξή σας εμφανίζει μικρό ποσοστό ή αντίστροφα μια μη χρήσιμη
ενασχόληση σας απασχολεί μεγάλο ποσοστό τότε κάτι πρέπει να διορθώσετε στις
συνήθειες σας.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<table border="1" cellpadding="0" cellspacing="0" class="MsoTableGrid" style="border-collapse: collapse; border: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-insideh: .5pt solid windowtext; mso-border-insidev: .5pt solid windowtext; mso-padding-alt: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; mso-yfti-tbllook: 480;">
<tbody>
<tr>
<td style="border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 164.2pt;" valign="top" width="219"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 164.2pt;" valign="top" width="219"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;">Ώρες την εβδομάδα<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 164.25pt;" valign="top" width="219"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;">Ποσοστό<o:p></o:p></span></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 164.2pt;" valign="top" width="219"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;">Διάβασμα<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 164.2pt;" valign="top" width="219"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 164.25pt;" valign="top" width="219"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 164.2pt;" valign="top" width="219"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;">Αθλητισμός<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 164.2pt;" valign="top" width="219"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 164.25pt;" valign="top" width="219"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 164.2pt;" valign="top" width="219"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;">Παρέα με φίλους<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 164.2pt;" valign="top" width="219"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 164.25pt;" valign="top" width="219"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 164.2pt;" valign="top" width="219"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;">Τηλεόραση<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 164.2pt;" valign="top" width="219"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 164.25pt;" valign="top" width="219"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 164.2pt;" valign="top" width="219"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;">Έξοδος<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 164.2pt;" valign="top" width="219"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 164.25pt;" valign="top" width="219"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 164.2pt;" valign="top" width="219"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;">Ύπνος<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 164.2pt;" valign="top" width="219"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 164.25pt;" valign="top" width="219"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 164.2pt;" valign="top" width="219"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;">Υπόλοιπος χρόνος<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 164.2pt;" valign="top" width="219"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 164.25pt;" valign="top" width="219"><div class="MsoNormal" style="mso-hyphenate: none; text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
</tr>
</tbody></table>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
</div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;">Παρόμοια δραστηριότητα αφορά τον υπολογισμό του
ποσοστού διαφορών ειδών διατροφής ( όσπρια , λαχανικά , κρέας , αλλαντικά ,
ζυμαρικά , </span><span lang="EN-US" style="font-size: 14.0pt; mso-ansi-language: EN-US; mso-bidi-font-weight: bold;">fast</span><span lang="EN-US" style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;"> </span><span lang="EN-US" style="font-size: 14.0pt; mso-ansi-language: EN-US; mso-bidi-font-weight: bold;">food</span><span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;"> κλπ) στο εβδομαδιαίο
τραπέζι.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<b><span style="color: blue; font-size: large;">5. Απόκομμα εφημερίδας.</span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<b><span style="color: blue; font-size: large;"><br /></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 19px;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<span style="font-size: 14.0pt;">Το
παρακάτω απόσπασμα είναι παρμένο από ημερήσια εφημερίδα. <o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<i>«Η ανεργία στην Ελλάδα αυξήθηκε το<o:p></o:p></i></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<i> τελευταίο τρίμηνο από 17% στο
21%. <o:p></o:p></i></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<i>Από αυτούς ένα ποσοστό 64,7% <o:p></o:p></i></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<i>ήταν καπνιστές το προηγούμενο τρίμηνο.<o:p></o:p></i></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<i> Έρευνα έδειξε ότι το ποσοστό
αυτό μειώθηκε στο <o:p></o:p></i></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<i>46,3% του συνόλου των ανέργων στον τελευταίο μήνα»<o:p></o:p></i></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<span style="font-size: 14.0pt;">Αφού
το μελετήσετε προσεκτικά επεξεργαστείτε τα παρακάτω ζητήματα :<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;">Αν
θεωρήσουμε τον πληθυσμό της Ελλάδας περίπου 11.000.000 <o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;">Α)
πόσοι ήταν οι άνεργοι το προηγούμενο τρίμηνο και πόσοι τώρα;<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;">Β)
πόσοι άνεργοι καπνιστές υπήρχαν το προηγούμενο τρίμηνο και πόσοι σήμερα;<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;">Γ)
πόσοι άνεργοι σταμάτησαν το κάπνισμα το τελευταίο τρίμηνο;<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;">Δ)
Η μείωση αυτή των καπνιστών – ανέργων νομίζετε ότι οφείλετε στην
συνειδητοποίηση από μέρους τους των σοβαρών κινδύνων του καπνίσματος στην
ανθρώπινη υγεία ή υπάρχουν άλλοι λόγοι;<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;">Ε)
Μπορούμε να συμπεράνουμε ότι αυτή η σημαντική μείωση καπνιστών αντανακλά μια
γενικότερη τάση όλου του πληθυσμού;<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;">ΣΤ)
Τι ποσοστό του συνολικού πληθυσμού είναι οι μη-καπνιστές άνεργοι σήμερα;<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;">Ζ)
Ποιο ποσοστό του συνολικού πληθυσμού ήταν οι άνεργοι καπνιστές το προηγούμενο
τρίμηνο και ποιο είναι σήμερα;<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 19px;"><b><span style="color: blue;">6. Πρόβλημα πραγματικής κατάστασης.</span></b></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 19px;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 19px;"><br /></span></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
Μια οικογένεια αποτελείται από τον πατέρα , τη μητέρα και
τα δύο αδέρφια. Αποφασίζουν να πάνε το καλοκαίρι εκδρομή στην Πάρο. Ψάχνοντας
στο διαδίκτυο βρίσκουν μια διαφημιστική καταχώρηση του ξενοδοχείου «ΠΑΡΟΣ» το
οποίο βρίσκεται σε καλή και εύκολη τοποθεσία. Η καταχώρηση φαίνεται παρακάτω:</div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoBodyText">
<br /></div>
<div class="MsoBodyText">
<!--[if mso & !supportInlineShapes & supportFields]><span
style='mso-ansi-language:#0400'><span style='mso-element:field-begin'></span><span
style='mso-spacerun:yes'> </span>SHAPE <span style='mso-element:field-separator'></span></span><![endif]--><!--[if gte vml 1]><v:group
id="_x0000_s1026" style='width:386.15pt;height:265.05pt;
mso-wrap-distance-left:0;mso-wrap-distance-right:0;
mso-position-horizontal-relative:char;mso-position-vertical-relative:line'
coordsize="7722,5300">
<o:lock v:ext="edit" text="t"/>
<v:rect id="_x0000_s1027" style='position:absolute;width:7722;height:5300;
v-text-anchor:middle' filled="f" stroked="f">
<v:stroke joinstyle="round"/>
</v:rect><v:shapetype id="_x0000_t202" coordsize="21600,21600" o:spt="202"
path="m,l,21600r21600,l21600,xe">
<v:stroke joinstyle="miter"/>
<v:path gradientshapeok="t" o:connecttype="rect"/>
</v:shapetype><v:shape id="_x0000_s1028" type="#_x0000_t202" style='position:absolute;
left:45;top:28;width:7676;height:5271;v-text-anchor:middle' strokeweight=".26mm">
<v:fill color2="black"/>
<v:textbox style='mso-rotate-with-shape:t'>
<![if !mso]>
<table cellpadding=0 cellspacing=0 width="100%">
<tr>
<td><![endif]>
<div>
<p class=MsoNormal>
<b style='mso-bidi-font-weight:normal'><span
style='mso-spacerun:yes'> </span>ΞΕΝΟΔΟΧΕΙΟ : «ΠΑΡΟΣ»<o:p></o:p></b></p>
<p class=MsoNormal>
<o:p> </o:p></p>
<p class=MsoNormal>
<o:p> </o:p></p>
<p class=MsoNormal>
<b style='mso-bidi-font-weight:normal'>Οι τιμές μας
είναι οι καλύτερες της αγοράς. Επωφεληθείτε τώρα !<o:p></o:p></b></p>
<p class=MsoNormal>
<o:p> </o:p></p>
<p class=MsoNormal>
<o:p> </o:p></p>
<p class=MsoNormal>
<b style='mso-bidi-font-weight:normal'>Τιμή ανά άτομο
ανά βραδιά<span style='mso-spacerun:yes'> </span>σάουνα ανά
βραδιά<span style='mso-spacerun:yes'> </span>σκύλος<span
style='mso-spacerun:yes'> </span></b><b style='mso-bidi-font-weight:
normal'><span lang=EN-US style='mso-ansi-language:EN-US'>internet</span> <o:p></o:p></b></p>
<p class=MsoNormal>
<o:p> </o:p></p>
<p class=MsoNormal>
<b style='mso-bidi-font-weight:normal'><span
style='mso-spacerun:yes'> </span>8 ευρώ<span
style='mso-spacerun:yes'> </span>6
ευρώ<span style='mso-spacerun:yes'> </span>7 ευρώ<span
style='mso-spacerun:yes'> </span>4 ευρώ.<o:p></o:p></b></p>
<p class=MsoNormal>
<o:p> </o:p></p>
<p class=MsoNormal>
<o:p> </o:p></p>
<p class=MsoNormal>
<b style='mso-bidi-font-weight:normal'>Στο πρώτο παιδί
γίνεται έκπτωση 10% ανά βραδιά.<o:p></o:p></b></p>
<p class=MsoNormal>
<b style='mso-bidi-font-weight:normal'>Στο δεύτερο
παιδί 20% έκπτωση. <o:p></o:p></b></p>
<p class=MsoNormal>
<b style='mso-bidi-font-weight:normal'>Στο τρίτο παιδί
30%.<o:p></o:p></b></p>
<p class=MsoNormal>
<b style='mso-bidi-font-weight:normal'>Από τέσσερα και
πάνω δωρεάν.<o:p></o:p></b></p>
<p class=MsoNormal>
<b style='mso-bidi-font-weight:normal'>Το διάστημα από
20/8 έως 31/10 γίνεται συνολική έκπτωση κατά 18%.<o:p></o:p></b></p>
</div>
<![if !mso]></td>
</tr>
</table>
<![endif]></v:textbox>
</v:shape><v:line id="_x0000_s1029" style='position:absolute;flip:y' from="345,1214"
to="7093,1241" strokeweight=".26mm">
<v:stroke joinstyle="miter"/>
</v:line><v:line id="_x0000_s1030" style='position:absolute;flip:y' from="330,1722"
to="7003,1826" strokeweight=".26mm">
<v:stroke joinstyle="miter"/>
</v:line><v:line id="_x0000_s1031" style='position:absolute' from="3044,1288"
to="3044,3746" strokeweight=".26mm">
<v:stroke joinstyle="miter"/>
</v:line><v:line id="_x0000_s1032" style='position:absolute' from="5399,1214"
to="5412,3642" strokeweight=".26mm">
<v:stroke joinstyle="miter"/>
</v:line><v:line id="_x0000_s1033" style='position:absolute' from="6734,1273"
to="6792,3596" strokeweight=".26mm">
<v:stroke joinstyle="miter"/>
</v:line><v:line id="_x0000_s1034" style='position:absolute;flip:y' from="6859,1199"
to="7548,1213" strokeweight=".26mm">
<v:stroke joinstyle="miter"/>
</v:line><v:line id="_x0000_s1035" style='position:absolute;flip:y' from="6905,1692"
to="7533,1735" strokeweight=".26mm">
<v:stroke joinstyle="miter"/>
</v:line><v:line id="_x0000_s1036" style='position:absolute' from="7551,1182"
to="7609,3730" strokeweight=".26mm">
<v:stroke joinstyle="miter"/>
</v:line><v:line id="_x0000_s1037" style='position:absolute;flip:x' from="140,1243"
to="439,1243" strokeweight=".26mm">
<v:stroke joinstyle="miter"/>
</v:line><v:line id="_x0000_s1038" style='position:absolute;flip:x' from="80,1827"
to="364,1827" strokeweight=".26mm">
<v:stroke joinstyle="miter"/>
</v:line><v:line id="_x0000_s1039" style='position:absolute' from="140,1227"
to="154,3581" strokeweight=".26mm">
<v:stroke joinstyle="miter"/>
</v:line><v:line id="_x0000_s1040" style='position:absolute;flip:y' from="156,3613"
to="7594,3656" strokeweight=".26mm">
<v:stroke joinstyle="miter"/>
</v:line><v:line id="_x0000_s1041" style='position:absolute;flip:y' from="6726,1181"
to="6726,1361" strokeweight=".26mm">
<v:stroke joinstyle="miter"/>
</v:line><w:wrap type="none"/>
<w:anchorlock/>
</v:group><![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><!--[if gte vml 1]><v:shapetype
id="_x0000_t75" coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:preferrelative="t"
path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" filled="f" stroked="f">
<v:stroke joinstyle="miter"/>
<v:formulas>
<v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"/>
<v:f eqn="sum @0 1 0"/>
<v:f eqn="sum 0 0 @1"/>
<v:f eqn="prod @2 1 2"/>
<v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"/>
<v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"/>
<v:f eqn="sum @0 0 1"/>
<v:f eqn="prod @6 1 2"/>
<v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"/>
<v:f eqn="sum @8 21600 0"/>
<v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"/>
<v:f eqn="sum @10 21600 0"/>
</v:formulas>
<v:path o:extrusionok="f" gradientshapeok="t" o:connecttype="rect"/>
<o:lock v:ext="edit" aspectratio="t"/>
</v:shapetype><![endif]--><!--[if mso & !supportInlineShapes & supportFields]><v:shape
id="_x0000_i1025" type="#_x0000_t75" style='width:386.15pt;height:265.05pt'/><span
style='mso-element:field-end'></span><![endif]--></div>
<div class="MsoBodyText">
<o:p> </o:p><b> ΞΕΝΟΔΟΧΕΙΟ : «ΠΑΡΟΣ»</b></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<b>Οι τιμές μας είναι οι
καλύτερες της αγοράς. Επωφεληθείτε τώρα !<o:p></o:p></b></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<b>Τιμή ανά άτομο ανά
βραδιά σάουνα ανά βραδιά σκύλος </b><b><span lang="EN-US">internet</span> <o:p></o:p></b></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<b> 8 ευρώ 6
ευρώ 7 ευρώ 4 ευρώ.<o:p></o:p></b></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<b>Στο πρώτο παιδί
γίνεται έκπτωση 10% ανά βραδιά.<o:p></o:p></b></div>
<div class="MsoNormal">
<b>Στο δεύτερο παιδί 20%
έκπτωση. <o:p></o:p></b></div>
<div class="MsoNormal">
<b>Στο τρίτο παιδί 30%.<o:p></o:p></b></div>
<div class="MsoNormal">
<b>Από τέσσερα και πάνω
δωρεάν.<o:p></o:p></b></div>
<div class="MsoNormal">
<b>Το διάστημα από 20/8
έως 31/10 γίνεται συνολική έκπτωση κατά 18%.<o:p></o:p></b></div>
<div class="MsoBodyText">
<o:p><br /></o:p></div>
<div class="MsoBodyText">
<o:p><br /></o:p></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
Η οικογένεια αποφασίζει τελικά να προτιμήσει το
συγκεκριμένο ξενοδοχείο. Θα μεταβεί στην Πάρο το πρωί της 14 Αυγούστου και θα
αναχωρήσει το μεσημέρι της 25/8. Θα κάνει χρήσει μόνο του διαδικτύου όλες τις
μέρες διαμονής της. Ποιο είναι ο κόστος διαμονής τους στο ξενοδοχείο για το
συγκεκριμένο διάστημα;</div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<b><span style="color: blue; font-size: large;">7. Ποσοστά και καταπολέμηση του ρατσισμού.</span></b></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
</div>
<div class="MsoBodyText" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">Τα παρακάτω στοιχεία δείχνουν
τον τρόπο καταμερισμού της γης μεταξύ λευκών
και μαύρων στη Νότιο Αφρική το 1981. η χώρα αυτή έχει έκταση 1.223.410
τ.χιλ.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<table border="1" cellpadding="0" cellspacing="0" class="MsoTableGrid" style="border-collapse: collapse; border: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-insideh: .5pt solid windowtext; mso-border-insidev: .5pt solid windowtext; mso-padding-alt: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; mso-yfti-tbllook: 480;">
<tbody>
<tr>
<td style="border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">Εκατομμύρια κάτοικοι<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">Ποσοστό %
γης<o:p></o:p></span></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">Μαύροι<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;"> 18<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;"> 13<o:p></o:p></span></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">Λευκοί <o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;"> 4 <o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;"> 87<o:p></o:p></span></div>
</td>
</tr>
</tbody></table>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<span style="font-size: 14.0pt;">Α.
Σε πόσα τετραγωνικά χιλιόμετρα ζούσαν οι μαύροι κάτοικοι της νότιας Αφρικής και
σε πόσα οι λευκοί ;<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<br /></div>
<table border="1" cellpadding="0" cellspacing="0" class="MsoTableGrid" style="border-collapse: collapse; border: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-insideh: .5pt solid windowtext; mso-border-insidev: .5pt solid windowtext; mso-padding-alt: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; mso-yfti-tbllook: 480;">
<tbody>
<tr>
<td style="border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">Εκατομμύρια κάτοικοι<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">Τετραγωνικά χιλιόμετρα<o:p></o:p></span></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">Μαύροι<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;"> 18<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;"> <o:p></o:p></span></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">Λευκοί <o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;"> 4 <o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
</tr>
</tbody></table>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<span style="font-size: 14.0pt;">Β. Ποιο ποσοστό του πληθυσμού της χώρας αποτελεί το λευκό και ποιο ποσοστό το μαύρο
στοιχείο.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
</div>
<table border="1" cellpadding="0" cellspacing="0" class="MsoTableGrid" style="border-collapse: collapse; border: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-insideh: .5pt solid windowtext; mso-border-insidev: .5pt solid windowtext; mso-padding-alt: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; mso-yfti-tbllook: 480;">
<tbody>
<tr>
<td style="border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">Ποσοστό % πληθυσμού<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">Ποσοστό %
γης<o:p></o:p></span></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">Μαύροι<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;"> <o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;"> 13<o:p></o:p></span></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">Λευκοί <o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;"> <o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;"> 87<o:p></o:p></span></div>
</td>
</tr>
</tbody></table>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;">Γ. Με βάση τα προηγούμενα ερωτήματα και
γνωρίζοντας το σκληρό καθεστώς
απαρτχάιντ που επικρατούσε εκείνη την εποχή στην Νότιο Αφρική προβληματιστείτε αναφορικά με </span><span style="font-size: 14pt;">το</span><span style="font-size: 14pt;">
</span><span style="font-size: 14pt;">συμπέρασμα</span><span style="font-size: 14pt;"> </span><span style="font-size: 14pt;">που βγαίνει από την
κατανομή του πληθυσμού σε σχέση με την έκταση που καταλαμβάνει κάθε ομάδα
πληθυσμού;</span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: 14pt;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;">Δ. Ποια θα ήταν η ορθολογικότερη κατανομή της γης ανά
ομάδα με βάση τον πληθυσμό τους;<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -9.0pt; text-align: justify;">
<br /></div>
<table border="1" cellpadding="0" cellspacing="0" class="MsoTableGrid" style="border-collapse: collapse; border: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-insideh: .5pt solid windowtext; mso-border-insidev: .5pt solid windowtext; mso-padding-alt: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; mso-yfti-tbllook: 480;">
<tbody>
<tr>
<td style="border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 133.8pt;" valign="top" width="178"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">Ποσοστό % <o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">πληθυσμού<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 185.4pt;" valign="top" width="247"><div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;"> Υποθετική ορθολογική κατανομή ποσοστού <o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;"> % γης<o:p></o:p></span></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">Μαύροι<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 133.8pt;" valign="top" width="178"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;"> <o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 185.4pt;" valign="top" width="247"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 159.6pt;" valign="top" width="213"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">Λευκοί <o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 133.8pt;" valign="top" width="178"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 185.4pt;" valign="top" width="247"><div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;"> <o:p></o:p></span></div>
</td>
</tr>
</tbody></table>
<br />
<br />
<br />
<br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;">7 Ποσοστά και άλγεβρα</span></b></div>
<div>
<br /></div>
<div>
<span style="font-size: large;">Σκεφτείτε και απαντήστε:</span></div>
<div>
<br /></div>
<div>
<br /></div>
<div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;">Α. Ένα
ποσό Χ είναι το 10% του Υ .Το Υ είναι τα ……. % του Χ.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;">Β. Ο Νίκος υπολογίζει την τελική τιμή με Φ.Π.Α 23% ενός
ποσού α χωρίς τον φόρο με τον πολλαπλασιασμό : 1,23 ∙ α. Επίσης την τελική τιμή
με έκπτωση 30% ενός ποσού α με τον πολλαπλασιασμό 0,7 ∙ α. Έχει δίκιο;<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;">Γ. Η Μαρία πήρε πέρυσι αύξηση στο μισθό της 10%. Φέτος
όμως της ανακοινώθηκε ότι θα έχει μείωση κατά 10%. Δεν πειράζει , σκέφτηκε η
Μαρία ,ήρθα στα λεφτά που έπαιρνα πρόπερσι; Είχε δίκιο;<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;">Δ. </span><span style="font-size: 14pt; text-align: left;">Ο
Νίκος πήρε πέρυσι αύξηση 12% στην δουλειά του και φέτος επιπλέον αύξηση 8%. Η
συνολική αύξηση στα δύο χρόνια είναι 20%;</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 14pt; text-align: left;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;">Ε. Ένα προϊόν πωλείται 150 ευρώ. Στην τιμή δεν
συμπεριλαμβάνεται ο Φ.Π.Α 23%. Στην περίοδο εκπτώσεων γίνεται έκπτωση 30% στην
τιμή του. Ο υπάλληλος του καταστήματος ισχυρίζεται ότι αν υπολογίσει πρώτα την
τιμή με Φ.Π.Α και μετά κάνει την έκπτωση ή πρώτα κάνει έκπτωση στα 150 ευρώ και
μετά υπολογίσει τον Φ.Π.Α το αποτέλεσμα είναι ίδιο. Έχει δίκιο;<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;"><br /></span>
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>8. Ποσοστά και γεωμετρία</b></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://www.blogger.com/blogger.g?blogID=7730717435979339231" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"></a></div>
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;">1. Ο Γιάννης θέλει να φυτέψει διάφορα λαχανικά κι
όσπρια στο κήπο του που έχει σχήμα ορθογωνίου παραλληλογράμμου. Σχεδιάστε ένα
ορθογώνιο που αναπαριστά τον κήπο. Χρησιμοποιώντας το σχήμα πως θα το διαιρούσε
ώστε το 50% να είναι τα μπιζέλια , το 25% τα φασόλια , το 15% το καλαμπόκι και
το 10% τα καρότα.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<table align="left" cellpadding="0" cellspacing="0">
<tbody>
<tr>
<td height="4" width="23"></td>
</tr>
<tr>
<td></td>
<td></td>
</tr>
</tbody></table>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<!--[if gte vml 1]><v:rect id="_x0000_s1026"
style='position:absolute;left:0;text-align:left;margin-left:18pt;margin-top:3.85pt;
width:378pt;height:3in;z-index:1'/><![endif]--><!--[if !vml]-->
<!--[endif]--><span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;"> </span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br clear="ALL" /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -36.0pt;">
<b style="font-size: 14pt;"> 2. </b><b>Xρωματίστε το 74% του παρακάτω σχήματος με κίτρινο και το 18% με μπλε.</b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -36.0pt; text-align: justify;">
<br /></div>
<table border="1" cellpadding="0" cellspacing="0" class="MsoTableGrid" style="border-collapse: collapse; border: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-insideh: .5pt solid windowtext; mso-border-insidev: .5pt solid windowtext; mso-padding-alt: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; mso-yfti-tbllook: 480;">
<tbody>
<tr>
<td style="border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 46.05pt;" valign="top" width="61"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 46.05pt;" valign="top" width="61"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 46.05pt;" valign="top" width="61"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 46.05pt;" valign="top" width="61"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 46.1pt;" valign="top" width="61"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 46.1pt;" valign="top" width="61"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 46.1pt;" valign="top" width="61"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 46.1pt;" valign="top" width="61"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 46.1pt;" valign="top" width="61"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 46.1pt;" valign="top" width="61"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 46.05pt;" valign="top" width="61"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 46.05pt;" valign="top" width="61"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 46.05pt;" valign="top" width="61"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 46.05pt;" valign="top" width="61"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 46.1pt;" valign="top" width="61"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 46.1pt;" valign="top" width="61"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 46.1pt;" valign="top" width="61"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 46.1pt;" valign="top" width="61"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 46.1pt;" valign="top" width="61"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 46.1pt;" valign="top" width="61"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 46.05pt;" valign="top" width="61"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 46.05pt;" valign="top" width="61"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 46.05pt;" valign="top" width="61"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 46.05pt;" valign="top" width="61"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 46.1pt;" valign="top" width="61"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 46.1pt;" valign="top" width="61"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 46.1pt;" valign="top" width="61"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 46.1pt;" valign="top" width="61"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 46.1pt;" valign="top" width="61"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 46.1pt;" valign="top" width="61"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 46.05pt;" valign="top" width="61"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 46.05pt;" valign="top" width="61"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 46.05pt;" valign="top" width="61"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 46.05pt;" valign="top" width="61"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 46.1pt;" valign="top" width="61"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 46.1pt;" valign="top" width="61"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 46.1pt;" valign="top" width="61"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 46.1pt;" valign="top" width="61"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 46.1pt;" valign="top" width="61"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 46.1pt;" valign="top" width="61"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 46.05pt;" valign="top" width="61"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 46.05pt;" valign="top" width="61"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 46.05pt;" valign="top" width="61"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 46.05pt;" valign="top" width="61"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 46.1pt;" valign="top" width="61"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 46.1pt;" valign="top" width="61"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 46.1pt;" valign="top" width="61"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 46.1pt;" valign="top" width="61"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 46.1pt;" valign="top" width="61"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 46.1pt;" valign="top" width="61"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
</tr>
</tbody></table>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -36.0pt; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: -36.0pt; text-align: justify;">
<br />
<br />
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
</div>
<div class="MsoNormal">
<br />
<span style="background-color: orange; color: #cc0000; font-size: large;"><b>Mάθημα 7 </b></span><br />
<br />
<b><span style="background-color: orange; color: #cc0000; font-size: large;">Η έννοια του εμβαδού επίπεδων σχημάτων.</span></b><br />
<br />
<br />
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>1. Sketchpad.</b></span><br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><b><br /></b></span>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"> Mπείτε στο ιστολόγιό μου : " Διδακτικό υλικό μαθηματικών" στην διεύθυνση : <a href="http://mosxosyliko.blogspot.com/">mosxosyliko.blogspot.com</a> και ανοίξτε το αρχείο Sketchpad με τίτλο : "Εμβαδά 1.1".</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><span style="color: blue;"><b><i>Σκεφτείτε :</i></b></span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">1.Τι είναι εμβαδόν;</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">2.Ποια σχήματα έχουν εμβαδόν;</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">3.Πως μετρήσαμε τα εμβαδά;</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">4.Τι ρόλο παίζει η μονάδα μέτρησης στον υπολογισμό του εμβαδού;</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: blue;"><span style="font-size: large;">2.</span><span style="font-size: large;"> </span><b style="font-size: x-large; text-align: left;">Sketchpad.</b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Mπείτε στο ιστολόγιό μου : " Διδακτικό υλικό μαθηματικών" στην διεύθυνση : <a href="http://mosxosyliko.blogspot.com/">mosxosyliko.blogspot.com</a> και ανοίξτε το αρχείο Sketchpad με τίτλο :</span><span style="font-size: large;"> " Τετραγωνισμός πολυγώνου".</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;">Σκεφτείτε :</span></b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Γιατί το πολύγωνο έχει το ίδιο εμβαδόν με το τετράγωνο;</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Πώς δημιουργούνται ισεμβαδικά σχήματα;</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;">3. Κατασκευή παζλ</span></b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><i>Υλικά </i></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><i><br /></i></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><i>Ένα φύλλο χαρτί.</i></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><i>Ένα χάρακα.</i></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><i>Ένα μολύβι.</i></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><i>Ένα ψαλίδι.</i></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Βήμα 1 : Σχεδιάστε τέσσερα ίσα ορθογώνια τρίγωνα στο φύλλο χαρτί. </span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Βήμα 2 : Με το ψαλίδι κόψτε τα περιμετρικά.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Βήμα 3 : Χρησιμοποιήστε τα ως κομμάτια ενός παζλ για να κατασκευάσετε με αυτά : ένα τετράγωνο , ένα ορθογώνο. ένα πλάγιο παραλληλόγραμμο , ένα τραπέζιο.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><span style="color: blue;"><b>Σκεφτείτε :</b></span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Τι σχέση έχουν τα εμβαδά των σχημάτων που σχηματίσατε και γιατί;</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;">4. Sketchpad.</span></b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Mπείτε στο ιστολόγιό μου : " Διδακτικό υλικό μαθηματικών" στην διεύθυνση : <a href="http://mosxosyliko.blogspot.com/">mosxosyliko.blogspot.com</a> και ανοίξτε το αρχείο Sketchpad με τον τίτλο : "Τα αγροτεμάχια με το ίδιο σχήμα" και διαπραγματευτείτε την δραστηριότητα.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;">5. Sketchpad</span></b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<a href="https://www.blogger.com/blogger.g?blogID=7730717435979339231" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"></a><span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"> Mπείτε στο ιστολόγιό μου : " Διδακτικό υλικό μαθηματικών" στην διεύθυνση : <a href="http://mosxosyliko.blogspot.com/">mosxosyliko.blogspot.com</a> και ανοίξτε το αρχείο Sketchpad με τίτλο : "Εμβαδά 1.1".</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Aσχοληθείτε με την επιλογή εγγράφου 7.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;">Σκεφτείτε :</span></b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Πως θα υπολογίσουμε το εμβαδόν του "ψαριού";</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #990000; font-size: large;"><b style="background-color: orange;">Mάθημα 8 </b></span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="color: #990000; font-size: large;"><b style="background-color: orange;">Μέτρηση κυλίνδρου.</b></span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>1. Κατασκευή.</b></span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><i>Υλικά </i></span><br />
<span style="font-size: large;"><i><br /></i></span>
<span style="font-size: large;"><i>Ενα φύλλο χαρτί Α4.</i></span><br />
<span style="font-size: large;"><i><br /></i></span>
<span style="font-size: large;"><i>Πάρτε μια κόλλα Α4 και διπλώστε της μετατρέποντάς την σε ρολό που μοιάζει με κύλινδρο.</i></span><br />
<span style="font-size: large;"><i><br /></i></span>
<span style="color: blue; font-size: large;"><i><b>Σκεφτείτε :</b></i></span><br />
<span style="font-size: large;"><i><br /></i></span>
<span style="font-size: large;">1. Αν ξεδιπλώσουμε τον : " κύλινδρο" η κόλλα Α4 τι σχέση έχει με την παράλευρη επιφάνεια του;</span><br />
<span style="font-size: large;">2. Το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας του κυλίνδρου , τι σχέση έχει με το εμβαδόν της κόλλας Α4;</span><br />
<span style="font-size: large;">3. Με το εμβαδόν ποιου σχήματος ισούται το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας του κυλίνδρου;</span><br />
<span style="font-size: large;">4. Ποιος τύπος δίνει το εμβαδόν της παράπλευρης επιφάνειας του κυλίνδρου;</span><br />
<i style="font-size: x-large;"><br /></i>
<i style="font-size: x-large;"><br /></i>
<span style="color: blue; font-size: large;"><i><b>2. Πείραμα.</b></i></span><br />
<span style="font-size: large;"><i><br /></i></span>
<span style="font-size: large;"><i><br /></i></span>
<span style="font-size: large;"><i>Υλικά </i></span><br />
<span style="font-size: large;"><i><br /></i></span>
<span style="font-size: large;"><i>Ένας ογκομετρικός κύλινδρος από το εργαστήριο χημείας.</i></span><br />
<span style="font-size: large;"><i>Ένα κυλλινδρικό δοχείο ( π.χ βάζο μαγειρικής)</i></span><br />
<span style="font-size: large;"><i>1 μπουκάλι νερό.</i></span><br />
<span style="font-size: large;"><i><br /></i></span>
<span style="font-size: large;">Βήαμ 1 : Υπολογίστε τον όγκο του κυλλινδρικού δοχείου μετρώντας τα κατάλληλα δεδομένα και χρησιμοποιώντας τον κατάλληλο μαθηματικό τύπο.</span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;">Βήμα 2 : Ρίξτε νερό στο δοχείο μέχρι να γεμίσει.</span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;">Βήμα 3 : Αδειάστε στο νερό στον ογκομετρικό κύλινδρο και μετρήστε πόσα ml είναι ο όγκος του;</span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;">Βήμα 4 : </span><i>(Επιβεβαιώνω πειραματικά). </i><span style="font-size: large;">Η παραπάνω μέτρηση συμφωνεί με τον αλγεβρικό υπολογισμό; </span><br />
<span style="font-size: large;"><i><br /></i></span>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>3. Πρόβλημα χωρίς επαρκή δεδομένα.</b></span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;">Σας έδωσα 3 κυλλινδρικά δοχεία ( βαρέλια) αποθήκευσης λαδιού.</span><br />
<span style="font-size: large;">Χρησιμοιήστε όλες τις κατάλληλες μετρήσεις και υπολογισμούς ώστε να διαπιστώσετε την ποσότητα λίτρων λαδιού που μπορούν να αποθηκεύσουν.</span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span><span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>4. Πείραμα.</b></span><br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><b><br /></b></span>
<span style="color: blue; font-size: large;"><b><br /></b></span>
<span style="font-size: large;"><i>Υλικά</i></span><br />
<span style="font-size: large;"><i><br /></i></span>
<span style="font-size: large;"><i>Ένα κυλινδρικό δοχείο ( π.χ ένα βάζο μαγειρικής)</i></span><br />
<span style="font-size: large;"><i>Μικρές πλαστικές μπαλίτσες που αναπηδούν.</i></span><br />
<span style="font-size: large;"><i>1 μπουκάλι νερό.</i></span><br />
<span style="font-size: large;"><i>Ένας ογκομετρητής.</i></span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;">Τοποθετήστε όσες μπαλίτσες μπορείτε στο δοχείο.</span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>Διαπραγματευτείτε τα εξής ερωτήματα :</b></span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;">1. Πόσος είναι ο όγκος του χώρου που μένει κενός και καλύπτεται από τον αέρα στο δοχείο;</span><br />
<span style="font-size: large;">2. Τι ποσοστό του συνολικού όγκου του δοχείου καλύπτει ο αέρας;</span><br />
<span style="font-size: large;">3. Επιβεβαιώστε ρίχνοντας όσο νερό χωράει στο δοχείο και μετρώντας τον με τη βοήθεια του ογκομετρητή.</span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="color: #990000; font-size: large;"><b style="background-color: orange;">Mάθημα 9 </b></span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="color: #990000; font-size: large;"><b style="background-color: orange;">Η έννοια του κλάσματος.</b></span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>1 Sketchpad </b></span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;">Mπείτε στο ιστολόγιό μου : " Διδακτικό υλικό μαθηματικών" στην διεύθυνση : <a href="http://mosxosyliko.blogspot.com/">mosxosyliko.blogspot.com</a> και ανοίξτε το αρχείο Sketchpad με τίτλο : "Η έννοια του κλάσματος".</span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;">2. Πείραμα </span></b></span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<br />
<div class="MsoNormal" style="margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm; margin-left: 9.0pt; margin-right: 90.0pt; margin-top: 0cm;">
<span style="font-size: large;"><i>Υλικά </i></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm; margin-left: 9.0pt; margin-right: 90.0pt; margin-top: 0cm;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm; margin-left: 9.0pt; margin-right: 90.0pt; margin-top: 0cm;">
<span style="font-size: large;"><i>Ένα πλαστικό μπουκάλι εμφιαλωμένου
νερού <st1:metricconverter productid="0,5 λίτρου" w:st="on">0,5 λίτρου</st1:metricconverter>.</i></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm; margin-left: 9.0pt; margin-right: 90.0pt; margin-top: 0cm;">
<span style="font-size: large;"><i>Ένας μαρκαδόρος.</i></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm; margin-left: 9.0pt; margin-right: 90.0pt; margin-top: 0cm;">
<span style="font-size: large;"><i>Ένας χάρακας.</i></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm; margin-left: 9.0pt; margin-right: 90.0pt; margin-top: 0cm;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm; margin-left: 9.0pt; margin-right: 90.0pt; margin-top: 0cm;">
<b><span style="font-size: 14.0pt;">Βήμα 1<sup>ο</sup></span></b><span style="font-size: 14.0pt;"> : Παίρνουμε το μπουκάλι και κόβουμε ελαφρά τη πάνω οριζόντια
επιφάνειά του ώστε να έχει άνοιγμα.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm; margin-left: 9.0pt; margin-right: 90.0pt; margin-top: 0cm;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm; margin-left: 9.0pt; margin-right: 90.0pt; margin-top: 0cm;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm; margin-left: 9.0pt; margin-right: 90.0pt; margin-top: 0cm;">
<b><span style="font-size: 14.0pt;">Βήμα 2<sup>ο</sup></span></b><span style="font-size: 14.0pt;"> : Θέλουμε να χωρίσουμε τον όγκο του σε 5 ίσα μέρη.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm; margin-left: 9.0pt; margin-right: 90.0pt; margin-top: 0cm;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm; margin-left: 9.0pt; margin-right: 90.0pt; margin-top: 0cm;">
<span style="font-size: 14.0pt;">Πόσα
εκατοστά είναι το μήκος του μπουκαλιού;<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm; margin-left: 9.0pt; margin-right: 90.0pt; margin-top: 0cm;">
<span style="font-size: 14.0pt;">Πόσα
εκατοστά θα είναι το 1/5 <span style="mso-text-raise: -12.0pt; position: relative; top: 12.0pt;"><!--[if gte vml 1]><v:shapetype id="_x0000_t75" coordsize="21600,21600"
o:spt="75" o:preferrelative="t" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" filled="f"
stroked="f">
<v:stroke joinstyle="miter"/>
<v:formulas>
<v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"/>
<v:f eqn="sum @0 1 0"/>
<v:f eqn="sum 0 0 @1"/>
<v:f eqn="prod @2 1 2"/>
<v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"/>
<v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"/>
<v:f eqn="sum @0 0 1"/>
<v:f eqn="prod @6 1 2"/>
<v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"/>
<v:f eqn="sum @8 21600 0"/>
<v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"/>
<v:f eqn="sum @10 21600 0"/>
</v:formulas>
<v:path o:extrusionok="f" gradientshapeok="t" o:connecttype="rect"/>
<o:lock v:ext="edit" aspectratio="t"/>
</v:shapetype><v:shape id="_x0000_i1025" type="#_x0000_t75" style='width:13.5pt;
height:36.75pt' o:ole="">
<v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\user\LOCALS~1\Temp\msohtml1\01\clip_image001.wmz"
o:title=""/>
</v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--></span><!--[if gte mso 9]><xml>
<o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.DSMT4" ShapeID="_x0000_i1025"
DrawAspect="Content" ObjectID="_1458151046">
</o:OLEObject>
</xml><![endif]-->; <o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm; margin-left: 9.0pt; margin-right: 90.0pt; margin-top: 0cm;">
<span style="font-size: 14.0pt;">Χωρίστε
το μπουκάλι σε 5 ίσα μέρη .<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm; margin-left: 9.0pt; margin-right: 90.0pt; margin-top: 0cm;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm; margin-left: 9.0pt; margin-right: 90.0pt; margin-top: 0cm;">
<b><span style="font-size: 14.0pt;">Βήμα 3<sup>ο</sup> :<o:p></o:p></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm; margin-left: 9.0pt; margin-right: 90.0pt; margin-top: 0cm;">
<span style="font-size: 14.0pt;">Βρίσκω
πόσα </span><span lang="EN-US" style="font-size: 14.0pt; mso-ansi-language: EN-US;">ml</span><span style="font-size: 14.0pt;"> αντιστοιχεί στο κάθε 1/5<span style="mso-text-raise: -12.0pt; position: relative; top: 12.0pt;"><!--[if gte vml 1]><v:shape id="_x0000_i1026"
type="#_x0000_t75" style='width:13.5pt;height:36.75pt' o:ole="">
<v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\user\LOCALS~1\Temp\msohtml1\01\clip_image001.wmz"
o:title=""/>
</v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--></span><!--[if gte mso 9]><xml>
<o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.DSMT4" ShapeID="_x0000_i1026"
DrawAspect="Content" ObjectID="_1458151047">
</o:OLEObject>
</xml><![endif]-->.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm; margin-left: 9.0pt; margin-right: 90.0pt; margin-top: 0cm;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm; margin-left: 9.0pt; margin-right: 90.0pt; margin-top: 0cm;">
<span style="font-size: 14.0pt;">Με
τον μαρκαδόρο γράφω τα </span><span lang="EN-US" style="font-size: 14.0pt; mso-ansi-language: EN-US;">ml</span><span style="font-size: 14.0pt;"> που
αντιστοιχούν σε κάθε γραμμή του 1/5 <span style="mso-text-raise: -12.0pt; position: relative; top: 12.0pt;"><!--[if gte vml 1]><v:shape id="_x0000_i1027" type="#_x0000_t75"
style='width:13.5pt;height:36.75pt' o:ole="">
<v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\user\LOCALS~1\Temp\msohtml1\01\clip_image001.wmz"
o:title=""/>
</v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--></span><!--[if gte mso 9]><xml>
<o:OLEObject Type="Embed" ProgID="Equation.DSMT4" ShapeID="_x0000_i1027"
DrawAspect="Content" ObjectID="_1458151048">
</o:OLEObject>
</xml><![endif]-->πάνω στο μπουκάλι.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm; margin-left: 9.0pt; margin-right: 90.0pt; margin-top: 0cm;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm; margin-left: 9.0pt; margin-right: 90.0pt; margin-top: 0cm;">
<span style="font-size: 14.0pt;">Ο
ογκομετρητής είναι έτοιμος!<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm; margin-left: 9.0pt; margin-right: 90.0pt; margin-top: 0cm;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm; margin-left: 9.0pt; margin-right: 90.0pt; margin-top: 0cm;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm; margin-left: 9.0pt; margin-right: 90.0pt; margin-top: 0cm;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm; margin-left: 9.0pt; margin-right: 90.0pt; margin-top: 0cm;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm; margin-left: 9.0pt; margin-right: 90.0pt; margin-top: 0cm;">
<b><span style="color: blue; font-size: large;">3. Δραστηριότητες : Το κλασμα ως ποσοστό.</span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm; margin-left: 9.0pt; margin-right: 90.0pt; margin-top: 0cm;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm; margin-left: 9.0pt; margin-right: 90.0pt; margin-top: 0cm;">
<span style="font-size: 14pt;"><!--[if gte vml 1]><v:shapetype id="_x0000_t75"
coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:preferrelative="t" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe"
filled="f" stroked="f">
<v:stroke joinstyle="miter"/>
<v:formulas>
<v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"/>
<v:f eqn="sum @0 1 0"/>
<v:f eqn="sum 0 0 @1"/>
<v:f eqn="prod @2 1 2"/>
<v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"/>
<v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"/>
<v:f eqn="sum @0 0 1"/>
<v:f eqn="prod @6 1 2"/>
<v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"/>
<v:f eqn="sum @8 21600 0"/>
<v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"/>
<v:f eqn="sum @10 21600 0"/>
</v:formulas>
<v:path o:extrusionok="f" gradientshapeok="t" o:connecttype="rect"/>
<o:lock v:ext="edit" aspectratio="t"/>
</v:shapetype><v:shape id="_x0000_i1025" type="#_x0000_t75" style='width:297pt;
height:102.75pt'>
<v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\user\LOCALS~1\Temp\msohtml1\01\clip_image001.emz"
o:title=""/>
</v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--></span></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;">Εκφράστε με κλάσμα τις παρακάτω εκφράσεις :<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 36pt; text-indent: -18pt;">
<span style="font-family: "symbol"; font-size: 14.0pt;">·<span style="font-family: "times new roman"; font-size: 7pt;">
</span></span><!--[endif]--><span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;">3 στους 5 Έλληνες καπνίζουν.</span><span lang="EN-US" style="font-size: 14.0pt; mso-ansi-language: EN-US; mso-bidi-font-weight: bold;"> </span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 36pt; text-indent: -18pt;">
<span lang="EN-US" style="font-size: 14.0pt; mso-ansi-language: EN-US; mso-bidi-font-weight: bold;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 36pt; text-indent: -18pt;">
<!--[if !supportLists]--><span style="font-family: "symbol"; font-size: 14.0pt;">·</span><span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;">2 στους 3 μαθητές παρακολουθούν εξωσχολικές δραστηριότητες. <o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 36pt; text-indent: -18pt;">
<!--[if !supportLists]--><span style="font-family: "symbol"; font-size: 14.0pt;">·<span style="font-family: "times new roman"; font-size: 7pt;">
</span></span><!--[endif]--><span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;">Ο Γκάλης πέτυχε σε εκείνον τον αγώνα 8 στα 11 τρίποντα. </span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14pt;"> </span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 36pt; text-indent: -18pt;">
<!--[if !supportLists]--><span style="font-family: "symbol"; font-size: 14.0pt;">·<span style="font-family: "times new roman"; font-size: 7pt;">
</span></span><!--[endif]--><span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;">Το ποσοστό επιτυχίας του Γκάλη ήταν 65% στα δίποντα.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 36pt; text-indent: -18pt;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 36pt; text-indent: -18pt;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 36pt; text-indent: -18pt;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 36pt; text-indent: -18pt;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 36pt; text-indent: -18pt;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>4. Δραστηριότητες : Το κλάσμα ως διαίρεση μερισμού.</b></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 36pt; text-indent: -18pt;">
<br />
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 36pt; text-indent: -18pt;">
<span lang="EN-US" style="font-size: 14pt;"><!--[if gte vml 1]><v:shapetype id="_x0000_t75" coordsize="21600,21600"
o:spt="75" o:preferrelative="t" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" filled="f"
stroked="f">
<v:stroke joinstyle="miter"/>
<v:formulas>
<v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"/>
<v:f eqn="sum @0 1 0"/>
<v:f eqn="sum 0 0 @1"/>
<v:f eqn="prod @2 1 2"/>
<v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"/>
<v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"/>
<v:f eqn="sum @0 0 1"/>
<v:f eqn="prod @6 1 2"/>
<v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"/>
<v:f eqn="sum @8 21600 0"/>
<v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"/>
<v:f eqn="sum @10 21600 0"/>
</v:formulas>
<v:path o:extrusionok="f" gradientshapeok="t" o:connecttype="rect"/>
<o:lock v:ext="edit" aspectratio="t"/>
</v:shapetype><v:shape id="_x0000_i1025" type="#_x0000_t75" style='width:110.25pt;
height:226.5pt'>
<v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\user\LOCALS~1\Temp\msohtml1\01\clip_image001.jpg"
o:title="img072 (5)"/>
</v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;"> Πως
θα μοιράσουμε;<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 36.0pt; mso-list: l0 level1 lfo1; tab-stops: list 36.0pt; text-indent: -18.0pt;">
<!--[if !supportLists]--><span style="font-family: "symbol"; font-size: 14.0pt;">·<span style="font-family: "times new roman"; font-size: 7pt;">
</span></span><!--[endif]--><span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;">2 μήλα σε 3 παιδιά;</span><span style="font-size: 14.0pt; mso-ansi-language: EN-US; mso-bidi-font-weight: bold;"> </span><span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;"><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 36pt; text-indent: -18pt;">
</div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18.0pt;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;"> ( <b><i><u>Υπόδειξη</u></i></b>
: Χωρίστε κάθε μήλο σε όσα ίσα μέρη χρειάζεται).<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 18.0pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<span lang="EN-US" style="font-size: 14.0pt; mso-ansi-language: EN-US; mso-bidi-font-weight: bold;"> </span><span style="font-family: "symbol"; font-size: 14pt; text-indent: -18pt;">·<span style="font-family: "times new roman"; font-size: 7pt;">
</span></span><span style="font-size: 14pt; text-indent: -18pt;">3 πορτοκάλια σε 5 παιδιά;</span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14pt; text-indent: -18pt;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 36.0pt; mso-list: l0 level1 lfo1; tab-stops: list 36.0pt; text-indent: -18.0pt;">
<!--[if !supportLists]--><span style="font-family: "symbol"; font-size: 14.0pt;">·<span style="font-family: "times new roman"; font-size: 7pt;">
</span></span><!--[endif]--><span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;">3 σοκολάτες σε 4 παιδιά;<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 36.0pt; mso-list: l0 level1 lfo1; tab-stops: list 36.0pt; text-indent: -18.0pt;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 36.0pt; mso-list: l0 level1 lfo1; tab-stops: list 36.0pt; text-indent: -18.0pt;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 36.0pt; mso-list: l0 level1 lfo1; tab-stops: list 36.0pt; text-indent: -18.0pt;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 36.0pt; mso-list: l0 level1 lfo1; tab-stops: list 36.0pt; text-indent: -18.0pt;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 36.0pt; mso-list: l0 level1 lfo1; tab-stops: list 36.0pt; text-indent: -18.0pt;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;"><b><span style="color: blue;">5. Δραστηριότητες : Το κλάσμα ως λόγος ευθυγράμμων τμημάτων.</span></b></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 36.0pt; mso-list: l0 level1 lfo1; tab-stops: list 36.0pt; text-indent: -18.0pt;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;"><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 36.0pt; mso-list: l0 level1 lfo1; tab-stops: list 36.0pt; text-indent: -18.0pt;">
<span style="font-size: 14pt; text-indent: -18pt;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 36.0pt; mso-list: l0 level1 lfo1; tab-stops: list 36.0pt; text-indent: -18.0pt;">
<span style="font-size: 14pt; text-indent: -18pt;"><b><i>Δραστηριότητα 1</i></b></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 36.0pt; mso-list: l0 level1 lfo1; tab-stops: list 36.0pt; text-indent: -18.0pt;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 36.0pt; mso-list: l0 level1 lfo1; tab-stops: list 36.0pt; text-indent: -18.0pt;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;">Ποιος
είναι ο λόγος του ύψους του πρώτου ορόφου προς το συνολικό ύψος της
πολυκατοικίας;<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 36.0pt; mso-list: l0 level1 lfo1; tab-stops: list 36.0pt; text-indent: -18.0pt;">
</div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;">Ποιος
ο λόγος του ύψους του τρίτου ορόφου προς το συνολικό ύψος;<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 36.0pt; mso-list: l0 level1 lfo1; tab-stops: list 36.0pt; text-indent: -18.0pt;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://4.bp.blogspot.com/-jSXHWeQczcs/Uz74VdOiOXI/AAAAAAAABKk/wzR0RwLyVBc/s1600/img251.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="320" src="https://4.bp.blogspot.com/-jSXHWeQczcs/Uz74VdOiOXI/AAAAAAAABKk/wzR0RwLyVBc/s1600/img251.jpg" width="152" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 36.0pt; mso-list: l0 level1 lfo1; tab-stops: list 36.0pt; text-indent: -18.0pt;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 36.0pt; mso-list: l0 level1 lfo1; tab-stops: list 36.0pt; text-indent: -18.0pt;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;"><b><i>Δραστηριότητα 2</i></b></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 36.0pt; mso-list: l0 level1 lfo1; tab-stops: list 36.0pt; text-indent: -18.0pt;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 36.0pt; mso-list: l0 level1 lfo1; tab-stops: list 36.0pt; text-indent: -18.0pt;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 36.0pt; mso-list: l0 level1 lfo1; tab-stops: list 36.0pt; text-indent: -18.0pt;">
<!--[if !supportLists]--><span style="font-family: "symbol"; font-size: 14.0pt;">·<span style="font-family: "times new roman"; font-size: 7pt;">
</span></span><!--[endif]--><span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;">Ποιο κλάσμα εκφράζει το λόγο του ύψους του καταρτιού προς το ύψος όλου του πλοίου;<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 36.0pt; mso-list: l0 level1 lfo1; tab-stops: list 36.0pt; text-indent: -18.0pt;">
</div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 36.0pt; mso-list: l0 level1 lfo1; tab-stops: list 36.0pt; text-indent: -18.0pt;">
<!--[if !supportLists]--><span style="font-family: "symbol"; font-size: 14.0pt;">·<span style="font-family: "times new roman"; font-size: 7pt;">
</span></span><!--[endif]--><span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;">Ποιο κλάσμα εκφράζει το λόγο του ύψους του σκάφους προς όλο το ύψος του
πλοίου;<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 36.0pt; mso-list: l0 level1 lfo1; tab-stops: list 36.0pt; text-indent: -18.0pt;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://1.bp.blogspot.com/--UZgy_VXDl0/Uz75PSR6wfI/AAAAAAAABKw/6OVdUoVtHr0/s1600/img093.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="320" src="https://1.bp.blogspot.com/--UZgy_VXDl0/Uz75PSR6wfI/AAAAAAAABKw/6OVdUoVtHr0/s1600/img093.jpg" width="300" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="color: #990000; font-size: large;"><b style="background-color: orange;">Mάθημα 10 </b></span><br />
<span style="color: #990000; font-size: large;"><b><br /></b></span>
<span style="color: #990000; font-size: large;"><b style="background-color: orange;">Εισαγωγή μονοτονίας στο γυμνάσιο.</b></span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<br />
<div class="MsoNormal" style="margin-right: -9.15pt;">
<b><span style="font-size: 14.0pt;">Πρόβλημα 1 </span></b><span style="font-size: 14.0pt;">:</span>
<b>Έ</b><b><span style="font-size: 14.0pt;">να
κερί έχει μήκος <st1:metricconverter productid="10,5 cm" w:st="on">10,5 <span lang="EN-US">cm</span></st1:metricconverter>. Αν
το ανάψουμε μειώνεται το ύψος του κατά 1</span></b><b><span lang="EN-US" style="font-size: 14.0pt; mso-ansi-language: EN-US;">cm</span></b><b><span style="font-size: 14.0pt;"> κάθε 2 </span></b><b><span lang="EN-US" style="font-size: 14.0pt; mso-ansi-language: EN-US;">sec</span></b><b><span style="font-size: 14.0pt;">.<o:p></o:p></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: -9.15pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: -9.15pt;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;">Α. Ποια συνάρτηση περιγράφει
την εξάρτηση του ύψους του κεριού συναρτήσει του χρόνου;<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: -9.15pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: -9.15pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: -9.15pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: -9.15pt;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;">Β. Συμπληρώστε τον παρακάτω
πίνακα τιμών :<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: -9.15pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: -9.15pt;">
<br /></div>
<table border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" class="MsoNormalTable" style="border-collapse: collapse; margin-left: 2.75pt; mso-padding-alt: 2.75pt 2.75pt 2.75pt 2.75pt; mso-table-layout-alt: fixed;">
<tbody>
<tr style="height: 25.15pt; mso-yfti-firstrow: yes; mso-yfti-irow: 0;">
<td style="height: 25.15pt; padding: 2.75pt 2.75pt 2.75pt 2.75pt; width: 86.9pt;" valign="top" width="116"><div class="a">
<b><span style="font-size: 14.0pt;">Χρόνος </span></b><b><span lang="EN-US" style="font-size: 14.0pt; mso-ansi-language: EN-US;">t <o:p></o:p></span></b></div>
</td>
<td style="height: 25.15pt; padding: 2.75pt 2.75pt 2.75pt 2.75pt; width: 50.8pt;" valign="top" width="68"><div class="a">
<b><span style="font-size: 14.0pt;">0<o:p></o:p></span></b></div>
</td>
<td style="height: 25.15pt; padding: 2.75pt 2.75pt 2.75pt 2.75pt; width: 31.15pt;" valign="top" width="42"><div class="a">
<b><span style="font-size: 14.0pt;">1<o:p></o:p></span></b></div>
</td>
<td style="height: 25.15pt; padding: 2.75pt 2.75pt 2.75pt 2.75pt; width: 44.3pt;" valign="top" width="59"><div class="a">
<b><span style="font-size: 14.0pt;">2<o:p></o:p></span></b></div>
</td>
<td style="height: 25.15pt; padding: 2.75pt 2.75pt 2.75pt 2.75pt; width: 47.85pt;" valign="top" width="64"><div class="a">
<b><span style="font-size: 14.0pt;">3<o:p></o:p></span></b></div>
</td>
<td style="height: 25.15pt; padding: 2.75pt 2.75pt 2.75pt 2.75pt; width: 34.75pt;" valign="top" width="46"><div class="a">
<b><span style="font-size: 14.0pt;">4<o:p></o:p></span></b></div>
</td>
<td style="height: 25.15pt; padding: 2.75pt 2.75pt 2.75pt 2.75pt; width: 43.15pt;" valign="top" width="58"><div class="a">
<b><span style="font-size: 14.0pt;">5<o:p></o:p></span></b></div>
</td>
<td style="height: 25.15pt; padding: 2.75pt 2.75pt 2.75pt 2.75pt; width: 37.15pt;" valign="top" width="50"><div class="a">
<b><span style="font-size: 14.0pt;">6<o:p></o:p></span></b></div>
</td>
<td style="height: 25.15pt; padding: 2.75pt 2.75pt 2.75pt 2.75pt; width: 47.65pt;" valign="top" width="64"><div class="a">
<b><span style="font-size: 14.0pt;">8<o:p></o:p></span></b></div>
</td>
</tr>
<tr style="height: 35.65pt; mso-yfti-irow: 1; mso-yfti-lastrow: yes;">
<td style="height: 35.65pt; padding: 2.75pt 2.75pt 2.75pt 2.75pt; width: 86.9pt;" valign="top" width="116"><div class="a">
<b><span style="font-size: 14.0pt;">Ύψος υ <o:p></o:p></span></b></div>
</td>
<td style="height: 35.65pt; padding: 2.75pt 2.75pt 2.75pt 2.75pt; width: 50.8pt;" valign="top" width="68"><div class="a">
<b><span style="font-size: 14.0pt;">10,5<o:p></o:p></span></b></div>
</td>
<td style="height: 35.65pt; padding: 2.75pt 2.75pt 2.75pt 2.75pt; width: 31.15pt;" valign="top" width="42"><div class="a">
<b><span style="font-size: 14.0pt;">10<o:p></o:p></span></b></div>
</td>
<td style="height: 35.65pt; padding: 2.75pt 2.75pt 2.75pt 2.75pt; width: 44.3pt;" valign="top" width="59"><div class="a">
<br /></div>
</td>
<td style="height: 35.65pt; padding: 2.75pt 2.75pt 2.75pt 2.75pt; width: 47.85pt;" valign="top" width="64"><div class="a">
<br /></div>
</td>
<td style="height: 35.65pt; padding: 2.75pt 2.75pt 2.75pt 2.75pt; width: 34.75pt;" valign="top" width="46"><div class="a">
<br /></div>
</td>
<td style="height: 35.65pt; padding: 2.75pt 2.75pt 2.75pt 2.75pt; width: 43.15pt;" valign="top" width="58"><div class="a">
<br /></div>
</td>
<td style="height: 35.65pt; padding: 2.75pt 2.75pt 2.75pt 2.75pt; width: 37.15pt;" valign="top" width="50"><div class="a">
<br /></div>
</td>
<td style="height: 35.65pt; padding: 2.75pt 2.75pt 2.75pt 2.75pt; width: 47.65pt;" valign="top" width="64"><div class="a">
<br /></div>
</td>
</tr>
</tbody></table>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: -9.15pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 0.85pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 0.85pt;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;">Γ. Σχεδιάστε τη γραφική
παράσταση της παραπάνω συνάρτησης <o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 0.85pt;">
<br /></div>
<table border="1" cellpadding="0" cellspacing="0" class="MsoTableGrid" style="border-collapse: collapse; border: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-insideh: .5pt solid windowtext; mso-border-insidev: .5pt solid windowtext; mso-padding-alt: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; mso-yfti-tbllook: 480;">
<tbody>
<tr>
<td style="border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-left: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border-top: none; border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
<td style="border-bottom: solid windowtext 1.0pt; border-left: none; border-right: solid windowtext 1.0pt; border-top: none; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-left-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-top-alt: solid windowtext .5pt; padding: 0cm 5.4pt 0cm 5.4pt; width: 18.0pt;" valign="top" width="24"><div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
</td>
</tr>
</tbody></table>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 0.85pt;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 0.85pt;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 0.85pt;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;">Δ. Συμπληρώστε τα παρακάτω
κενά :<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 0.85pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 0.85pt;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;">Καθώς αυξάνεται ο χρόνος το
ύψος του κεριούς<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 0.85pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 0.85pt;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;">Πρόκειται για …………………………………<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 0.85pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 0.85pt;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;">Η γραφική παράσταση έχει
……………………<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 0.85pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 0.85pt;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;">Ε. Ο Δημήτρης ισχυρίζεται ότι αν διπλασιάσουμε
το χρόνο το ύψος γίνεται μισό. Ισχύει αυτός ο ισχυρισμός; Αν όχι τι συμβαίνει
με το ύψος όταν διπλασιάσουμε το χρόνο;<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 0.85pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 0.85pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 0.85pt;">
<span style="font-size: 14.0pt; mso-bidi-font-weight: bold;">2. Οι παρακάτω γραφικές
παρατάσεις δείχνουν την μεταβολή του ύψους των αγοριών με την μεταβολή της ηλικίας τους<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;"><!--[if gte vml 1]><v:shapetype
id="_x0000_t75" coordsize="21600,21600" o:spt="75" o:preferrelative="t"
path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" filled="f" stroked="f">
<v:stroke joinstyle="miter"/>
<v:formulas>
<v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"/>
<v:f eqn="sum @0 1 0"/>
<v:f eqn="sum 0 0 @1"/>
<v:f eqn="prod @2 1 2"/>
<v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"/>
<v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"/>
<v:f eqn="sum @0 0 1"/>
<v:f eqn="prod @6 1 2"/>
<v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"/>
<v:f eqn="sum @8 21600 0"/>
<v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"/>
<v:f eqn="sum @10 21600 0"/>
</v:formulas>
<v:path o:extrusionok="f" gradientshapeok="t" o:connecttype="rect"/>
<o:lock v:ext="edit" aspectratio="t"/>
</v:shapetype><v:shape id="_x0000_i1025" type="#_x0000_t75" style='width:456.75pt;
height:318pt'>
<v:imagedata src="file:///C:\DOCUME~1\user\LOCALS~1\Temp\msohtml1\01\clip_image001.jpg"
o:title="img002"/>
</v:shape><![endif]--><!--[if !vml]--><!--[endif]--><o:p></o:p></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://4.bp.blogspot.com/-I3yv_412t-Y/Uz79gP_mIJI/AAAAAAAABK8/zoGpGhAfRak/s1600/img002.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="222" src="https://4.bp.blogspot.com/-I3yv_412t-Y/Uz79gP_mIJI/AAAAAAAABK8/zoGpGhAfRak/s1600/img002.jpg" width="320" /></a></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">Α. Τι μπορούμε να
συμπεράνουμε για την εξάρτηση ύψους – ηλικίας;<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">Καθώς αυξάνεται η ηλικία ποια
μεταβολή έχουμε στο ύψος;<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">Β. Συμπληρώστε τα κενά <o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;"> Οι γραφικές παραστάσεις έχουν ……………………… πορεία.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">Η συνάρτηση ύψους – ηλικίας
είναι ……………………<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">Γ. Προβληματιστείτε <o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">Μπορούμε να ισχυριστούμε ότι
τα μεγέθη ύψος , ηλικία είναι ανάλογα;<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 0.85pt;">
<b><span style="font-size: 14.0pt;">Πρόβλημα 3 . Σε
ποια περίπτωση έχουμε αύξουσα και σε ποια φθίνουσα συνάρτηση:<o:p></o:p></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 0.85pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 0.85pt;">
<br /></div>
<table border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" class="MsoNormalTable" style="border-collapse: collapse; margin-left: 2.75pt; mso-padding-alt: 2.75pt 2.75pt 2.75pt 2.75pt; mso-table-layout-alt: fixed;">
<tbody>
<tr style="height: 24.95pt; mso-yfti-firstrow: yes; mso-yfti-irow: 0;">
<td style="height: 24.95pt; padding: 2.75pt 2.75pt 2.75pt 2.75pt; width: 86.5pt;" valign="top" width="115"><div class="a" style="layout-grid-mode: char; margin-left: .85pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;">χ<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="height: 24.95pt; padding: 2.75pt 2.75pt 2.75pt 2.75pt; width: 72.05pt;" valign="top" width="96"><div class="a" style="layout-grid-mode: char; margin-left: .85pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;"> </span><span lang="EN-US" style="font-size: 14.0pt; mso-ansi-language: EN-US;">-1<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="height: 24.95pt; padding: 2.75pt 2.75pt 2.75pt 2.75pt; width: 61.3pt;" valign="top" width="82"><div class="a" style="layout-grid-mode: char; margin-left: .85pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;"> </span><span lang="EN-US" style="font-size: 14.0pt; mso-ansi-language: EN-US;">0<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="height: 24.95pt; padding: 2.75pt 2.75pt 2.75pt 2.75pt; width: 76.9pt;" valign="top" width="103"><div class="a" style="layout-grid-mode: char; margin-left: .85pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;"> </span><span lang="EN-US" style="font-size: 14.0pt; mso-ansi-language: EN-US;">2<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="height: 24.95pt; padding: 2.75pt 2.75pt 2.75pt 2.75pt; width: 64.2pt;" valign="top" width="86"><div class="a" style="layout-grid-mode: char; margin-left: .85pt; text-align: justify;">
<span lang="EN-US" style="font-size: 14.0pt; mso-ansi-language: EN-US;">3<o:p></o:p></span></div>
</td>
</tr>
<tr style="height: 26.35pt; mso-yfti-irow: 1; mso-yfti-lastrow: yes;">
<td style="height: 26.35pt; padding: 2.75pt 2.75pt 2.75pt 2.75pt; width: 86.5pt;" valign="top" width="115"><div class="a" style="layout-grid-mode: char; margin-left: .85pt; text-align: justify;">
<span lang="EN-US" style="font-size: 14.0pt; mso-ansi-language: EN-US;">y<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="height: 26.35pt; padding: 2.75pt 2.75pt 2.75pt 2.75pt; width: 72.05pt;" valign="top" width="96"><div class="a" style="layout-grid-mode: char; margin-left: .85pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;"> </span><span lang="EN-US" style="font-size: 14.0pt; mso-ansi-language: EN-US;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="height: 26.35pt; padding: 2.75pt 2.75pt 2.75pt 2.75pt; width: 61.3pt;" valign="top" width="82"><div class="a" style="layout-grid-mode: char; margin-left: .85pt; text-align: justify;">
<span lang="EN-US" style="font-size: 14.0pt; mso-ansi-language: EN-US;">5<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="height: 26.35pt; padding: 2.75pt 2.75pt 2.75pt 2.75pt; width: 76.9pt;" valign="top" width="103"><div class="a" style="layout-grid-mode: char; margin-left: .85pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;"> </span><span lang="EN-US" style="font-size: 14.0pt; mso-ansi-language: EN-US;">13<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="height: 26.35pt; padding: 2.75pt 2.75pt 2.75pt 2.75pt; width: 64.2pt;" valign="top" width="86"><div class="a" style="layout-grid-mode: char; margin-left: .85pt; text-align: justify;">
<span lang="EN-US" style="font-size: 14.0pt; mso-ansi-language: EN-US;">32<o:p></o:p></span></div>
</td>
</tr>
</tbody></table>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 0.85pt;">
<br />
<br />
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-left: 0.85pt;">
<br /></div>
<table border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" class="MsoNormalTable" style="border-collapse: collapse; margin-left: 2.75pt; mso-padding-alt: 2.75pt 2.75pt 2.75pt 2.75pt; mso-table-layout-alt: fixed;">
<tbody>
<tr style="height: 24.5pt; mso-yfti-firstrow: yes; mso-yfti-irow: 0;">
<td style="height: 24.5pt; padding: 2.75pt 2.75pt 2.75pt 2.75pt; width: 88.75pt;" valign="top" width="118"><div class="a" style="layout-grid-mode: char; margin-left: .85pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;">χ<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="height: 24.5pt; padding: 2.75pt 2.75pt 2.75pt 2.75pt; width: 72.55pt;" valign="top" width="97"><div class="a" style="layout-grid-mode: char; margin-left: .85pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;">-1<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="height: 24.5pt; padding: 2.75pt 2.75pt 2.75pt 2.75pt; width: 72.55pt;" valign="top" width="97"><div class="a" style="layout-grid-mode: char; margin-left: .85pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;">0<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="height: 24.5pt; padding: 2.75pt 2.75pt 2.75pt 2.75pt; width: 75.0pt;" valign="top" width="100"><div class="a" style="layout-grid-mode: char; margin-left: .85pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;">2<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="height: 24.5pt; padding: 2.75pt 2.75pt 2.75pt 2.75pt; width: 60.55pt;" valign="top" width="81"><div class="a" style="layout-grid-mode: char; margin-left: .85pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;">3<o:p></o:p></span></div>
</td>
</tr>
<tr style="height: 24.5pt; mso-yfti-irow: 1; mso-yfti-lastrow: yes;">
<td style="height: 24.5pt; padding: 2.75pt 2.75pt 2.75pt 2.75pt; width: 88.75pt;" valign="top" width="118"><div class="a" style="layout-grid-mode: char; margin-left: .85pt; text-align: justify;">
<span lang="EN-US" style="font-size: 14.0pt; mso-ansi-language: EN-US;">y<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="height: 24.5pt; padding: 2.75pt 2.75pt 2.75pt 2.75pt; width: 72.55pt;" valign="top" width="97"><div class="a" style="layout-grid-mode: char; margin-left: .85pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;">6<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="height: 24.5pt; padding: 2.75pt 2.75pt 2.75pt 2.75pt; width: 72.55pt;" valign="top" width="97"><div class="a" style="layout-grid-mode: char; margin-left: .85pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;">5<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="height: 24.5pt; padding: 2.75pt 2.75pt 2.75pt 2.75pt; width: 75.0pt;" valign="top" width="100"><div class="a" style="layout-grid-mode: char; margin-left: .85pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;">-3<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="height: 24.5pt; padding: 2.75pt 2.75pt 2.75pt 2.75pt; width: 60.55pt;" valign="top" width="81"><div class="a" style="layout-grid-mode: char; margin-left: .85pt; text-align: justify;">
<span style="font-size: 14.0pt;">-22<o:p></o:p></span></div>
</td>
</tr>
</tbody></table>
<div class="MsoNormal">
<b style="text-indent: 0cm;"><span style="font-size: 7pt; font-weight: normal;"><br /></span></b></div>
<div class="MsoNormal">
<b style="text-indent: 0cm;"><span style="font-size: 7pt; font-weight: normal;"><br /></span></b></div>
<div class="MsoNormal">
<b style="text-indent: 0cm;"><span style="font-size: 7pt; font-weight: normal;"><br /></span></b></div>
<div class="MsoNormal">
<b style="text-indent: 0cm;"><span style="font-size: 7pt; font-weight: normal;"><br /></span></b></div>
<div class="MsoNormal">
<b style="text-indent: 0cm;"><span style="font-size: 7pt; font-weight: normal;"><br /></span></b></div>
<div class="MsoNormal">
<b style="text-indent: 0cm;"><span style="font-size: 7pt; font-weight: normal;"><br /></span></b></div>
<div class="MsoNormal">
<b style="text-indent: 0cm;"><span style="font-size: 7pt; font-weight: normal;"> </span></b><b style="text-indent: 0cm;">Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω αλληλεξαρτήσεις ως
αύξουσες ή φθίνουσες. Ποιες είναι αναλογικές και ποιες αντιστρόφως αναλογικές;</b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: -9.15pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: -9.15pt;">
α. Μεταβολή του εμβαδού τετραγώνου συναρτήσει
της πλευράς του</div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: -9.15pt;">
Β. Μεταβολή
του εμβαδού κύκλου συναρτήσει της ακτίνας</div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: -9.15pt;">
γ. Μεταβολή
της αξίας μήλων συναρτήσει του βάρους τους.</div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: -9.15pt;">
δ. Μεταβολή
της ταχύτητας ενός αυτοκινήτου που φρενάρει συναρτήσει του χρόνου.</div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: -9.15pt;">
ε. Μεταβολή
της ταχύτητας ενός αεροπλάνου που προσγειώνεται συναρτήσει του χρόνου.</div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: -9.15pt;">
στ. Μεταβολή
της χρέωσης μιας τηλεφωνικής ομιλίας συναρτήσει του χρόνου ομιλίας αν χρεώνεται
πάγιο.</div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: -9.15pt;">
ζ. Χρέωση
ταξί συναρτήσει των χιλιομέτρων κίνησης <span lang="EN-US">i</span> . αν χρεώνει σημαία. , <span lang="EN-US">ii</span>. Αν δεν χρεώνει σημαία..</div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: -9.15pt;">
η. Το
διάστημα που διανύει ένα αντικείμενο κατά την ελεύθερη πτώση συναρτήσει του
χρόνου.</div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: -9.15pt;">
θ. Ο όγκος
ενός κυλλινδρικού κουτιού με σταθερό ύψος συναρτήσει της ακτίνας βάσης.</div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: -9.15pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: -9.15pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: -9.15pt;">
3<b>.
Αντιστοιχίστε <o:p></o:p></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: -9.15pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: -9.15pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: -9.15pt;">
<b>ΣΤΗΛΗ
1
ΣΤΗΛΗ 2<o:p></o:p></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: -9.15pt;">
α. αύξηση
ενός μεγέθους <span lang="EN-US">i</span> αύξουσα αλληλεξάρτηση</div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: -9.15pt;">
με την
αύξηση ενός άλλου</div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: -9.15pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: -9.15pt;">
β. Μείωση
ενός μεγέθους <span lang="EN-US">ii</span>. Φθίνουσα αλληλεξάρτηση</div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: -9.15pt;">
με τη μείωση
του άλλου.</div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: -9.15pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: -9.15pt;">
γ. Μείωση
ενός μεγέθους</div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: -9.15pt;">
με την αύξηση του άλλου.</div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: -9.15pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: -9.15pt;">
δ. Αύξηση
ενός μεγέθους </div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: -9.15pt;">
με την
μείωση του άλλου</div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: -9.15pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: -9.15pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin: 0cm -9.15pt 0.0001pt 0cm; text-indent: 0cm;">
<b><span style="font-size: 14.0pt;"><span style="font-size: 7pt; font-weight: normal;"> </span></span></b><!--[endif]--><b><span style="font-size: 14.0pt;">Χαρακτηρίστε
ως σωστές ή λανθασμένες τις παρακάτω προτάσεις :<o:p></o:p></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: -9.15pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: -9.15pt;">
α. Κάθε
αύξουσα αλληλεξάρτηση εκφράζει αναλογικότητα.</div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: -9.15pt;">
β. Δύο
ανάλογα ποσά έχουν αύξουσα αλληλεξάρτηση.</div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: -9.15pt;">
γ. Δύο
αντιστρόφως ανάλογα ποσά έχουν αύξουσα αλληλεξάρτηση.</div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: -9.15pt;">
δ. Κάθε
φθίνουσα αλληλεξάρτηση οδηγεί σε αντιστρόφως ανάλογα ποσά.</div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: -9.15pt;">
ε. Δεν
υπάρχουν αύξουσες αλληλεξαρτήσεις εκτός από τα ανάλογα ποσά.</div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: -9.15pt;">
στ. Όταν ένα
μέγεθος αυξάνεται με την αύξηση ενός άλλου έχουμε αναλογικότητα.</div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: -9.15pt;">
ζ. Όταν ένα
μέγεθος μειώνεται με την αύξηση του άλλου έχουμε φθίνουσα αλληλεξάρτηση.</div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: -9.15pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: -9.15pt;">
<b style="text-indent: 0cm;"><span style="font-size: 14.0pt;"><br /></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: -9.15pt;">
<b style="text-indent: 0cm;"><span style="font-size: 14.0pt;"><br /></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: -9.15pt;">
<b style="text-indent: 0cm;"><span style="font-size: 14.0pt;">Να
επιλέξετε τη σωστή ( ή τις σωστές )
απάντηση ( απαντήσεις ):</span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: -9.15pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin: 0cm -9.15pt 0.0001pt 0cm; text-indent: 0cm;">
<!--[if !supportLists]-->I.<span style="font-size: 7pt;">
</span><!--[endif]-->Όταν ένα μέγεθος αυξάνεται με τη αύξηση ενός άλλου :</div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: -9.15pt;">
α. Φθίνουσα αλληλεξάρτηση , β. Ανάλογα μεγέθη γ. Αύξουσα αλληλεξάρτηση δ. Αντιστρ. Ανάλογα.</div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: -9.15pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: -9.15pt;">
ΙΙ. Όταν ένα
μέγεθος μειώνεται με την αύξηση ενός
άλλου :</div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: -9.15pt;">
α. Φθίνουσα αλληλεξάρτηση , β. Ανάλογα μεγέθη γ. Αύξουσα αλληλεξάρτηση δ. Αντιστρ. Ανάλογα.</div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: -9.15pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: -9.15pt;">
ΙΙΙ. Όταν οι
τιμές ενός μεγέθους πολλαπλασιάζονται με τον ίδιο αριθμό που πολλαπλασιάζονται
οι τιμές ενός άλλου :</div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: -9.15pt;">
α. Φθίνουσα αλληλεξάρτηση , β. Ανάλογα μεγέθη γ. Αύξουσα αλληλεξάρτηση δ. Αντιστρ. Ανάλογα.</div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: -9.15pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: -9.15pt;">
Ι<span lang="EN-US">V</span>. Όταν οι τιμές ενός μεγέθους διαιρούνται με
τον ίδιο αριθμό που πολλαπλασιάζονται οι τιμές </div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: -9.15pt;">
ενός άλλου :</div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: -9.15pt;">
α. Φθίνουσα αλληλεξάρτηση , β. Ανάλογα μεγέθη γ. Αύξουσα αλληλεξάρτηση δ. Αντιστρ. Ανάλογα.</div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: -9.15pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: -9.15pt;">
<span lang="EN-US">V</span>. Όταν οι τιμές ενός μεγέθους διαιρούνται με
το τετράγωνο του αριθμού που πολλαπλασιάζονται οι τιμές ενός άλλου :</div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: -9.15pt;">
α. Φθίνουσα αλληλεξάρτηση , β. Ανάλογα μεγέθη γ. Αύξουσα αλληλεξάρτηση δ. Αντιστρ. Ανάλογα.</div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: -9.15pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin: 0cm -9.15pt 0.0001pt 0cm; text-indent: 0cm;">
<!--[if !supportLists]-->VI.<span style="font-size: 9px;"> </span>Όταν οι τιμές ενός μεγέθους πολλαπλασιάζονται με το
τετράγωνο του αριθμού που πολλαπλασιάζονται οι τιμές ενός άλλου :</div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: -9.15pt;">
α. Φθίνουσα αλληλεξάρτηση , β. Ανάλογα μεγέθη γ. Αύξουσα αλληλεξάρτηση δ. Αντιστρ. Ανάλογα.</div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: -9.15pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin: 0cm -9.15pt 0.0001pt 0cm; text-indent: 0cm;">
<!--[if !supportLists]-->VII.<span style="font-size: 7pt;">
</span><!--[endif]-->Όταν ένα μέγεθος μειώνεται με τη μείωση του άλλου :</div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: -9.15pt;">
α. Φθίνουσα αλληλεξάρτηση , β. Ανάλογα μεγέθη γ. Αύξουσα αλληλεξάρτηση δ. Αντιστρ. Ανάλογα.</div>
<div class="MsoNormal">
</div>
<div class="MsoNormal" style="margin-right: -9.15pt;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal">
<b><span style="background-color: orange; color: #990000; font-size: large;">Μάθημα 11</span></b></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="background-color: orange; font-size: 14pt;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="color: #990000; font-size: large;"><b style="background-color: orange;">Οι παράλληλες ευθείες στη ζωή μας.</b></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="color: #990000; font-size: large;"><b style="background-color: orange;"><br /></b></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="color: #990000; font-size: large;"><b style="background-color: orange;"><br /></b></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;">Aνοίξτε το παρακάτω αρχείο Power Point :</span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;"><span style="color: #cc0000;"><b><a href="https://drive.google.com/file/d/0BxbKSKHiz6zaZDdDSzZieElPT1k/edit?usp=sharing">Παράλληλες ευθείες.</a></b></span></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;"><span style="color: #cc0000;"><br /></span></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 14.0pt;"><span style="color: #cc0000;"><br /></span></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 19px;"><span style="color: blue;"><b>Με τη βοήθεια του σκεφτείτε :</b></span></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="color: #cc0000;"><span style="font-size: 19px;"><br /></span></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="color: #cc0000;"><span style="font-size: 19px;"><br /></span></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 19px;"><b><i>Τι θα συνέβαινε αν ..... </i></b></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="color: #cc0000;"><span style="font-size: 19px;"><br /></span></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 19px;">1. ...... οι διαγραμμίσεις των αυτοκινητόδρομων δεν ήταν παράλληλες;</span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 19px;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 19px;">2. ....... οι γραμμές που διαχωρίζουν τις γραμμές κίνησης των αθλητών δρόμου στον στίβο δεν ήταν παράλληλες;</span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 19px;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 19px;">3 .................. οι γραμμές του τετραδίου σας δεν ήταν παράλληλες;</span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 19px;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 19px;">4. ................οι σιδηροτροχιές των τρένων δεν ήταν παράλληλες;</span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 19px;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 19px;">5. Πως χρησιμοποιεί τα χιονοπέδιλα ένας σκιέρ για να κινηθεί και πώς για να φρενάρει;</span><br />
<span style="font-size: 19px;"><br /></span>
<span style="font-size: 19px;"><br /></span>
<span style="font-size: 19px;"><br /></span>
<span style="color: #990000; font-size: large;"><b style="background-color: orange;">Μάθημα 12</b></span><br />
<span style="color: #990000; font-size: large;"><b><br />
<span style="background-color: orange;">Πυθαγόρειο θεώρημα.</span></b></span><br />
<span style="font-size: 19px;"><br /></span>
<span style="font-size: 19px;"><br /></span>
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>1. Πείραμα.</b></span><br />
<span style="font-size: 19px;"><br /></span>
<span style="font-size: 19px;">Σας έδωσα μερικά χρωματισμένα κομμάτια. Ένα κόκκινο τετράγωνο , ένα πράσινο κια ένα μπλε τριγωνάκι και ένα πορτοκαλί τετράπλευρο. Χρησιμοποιήστε τα για να σχηματίσετε με αυτά το μεγάλο άσπρο τετράγωνο της υποτείνουσας του ορθογωνίου τριγώνου.</span><br />
<span style="font-size: 19px;"><br /></span>
<span style="font-size: 19px;"><br /></span>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://www.blogger.com/blogger.g?blogID=7730717435979339231" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="" /></a></div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://1.bp.blogspot.com/-aFAX400PmTg/Uz-w83zxq-I/AAAAAAAABLQ/NXs362XF2Bk/s1600/img018.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="320" src="https://1.bp.blogspot.com/-aFAX400PmTg/Uz-w83zxq-I/AAAAAAAABLQ/NXs362XF2Bk/s1600/img018.jpg" width="253" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>2. Sketchpad.</b></span><br />
<span style="font-size: 19px;"><br /></span>
<span style="font-size: large;">Mπείτε στο ιστολόγιό μου : " Διδακτικό υλικό μαθηματικών" στην διεύθυνση : </span><a href="http://mosxosyliko.blogspot.com/" style="font-size: x-large;">mosxosyliko.blogspot.com</a><span style="font-size: large;"> και ανοίξτε το αρχείο Sketchpad με τίτλο : "Πυθαγόρειο 1"</span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;">Δείτε εκεί τη λύση του παζλ.</span><br />
<span style="font-size: large;">Διαπιστώστε το πυθαγόρειο με τη βοήθεια του λογισμικού.</span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>3. Εικόνα.</b></span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>Συζητάμε στη τάξη.</b></span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;">Τι διαπιστώνουμε από την παρακάτω εικόνα;</span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://2.bp.blogspot.com/-zIWvndDwytQ/Uz-zgXFo1SI/AAAAAAAABLc/7jyxfNKIpbQ/s1600/250px-Pythagorean_theorem.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://2.bp.blogspot.com/-zIWvndDwytQ/Uz-zgXFo1SI/AAAAAAAABLc/7jyxfNKIpbQ/s1600/250px-Pythagorean_theorem.jpg" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>4. Sketchpad.</b></span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;">Mπείτε στο ιστολόγιό μου : " Διδακτικό υλικό μαθηματικών" στην διεύθυνση : </span><a href="http://mosxosyliko.blogspot.com/" style="font-size: x-large;">mosxosyliko.blogspot.com</a><span style="font-size: large;"> και ανοίξτε τα αρχεία Sketchpad με τίτλο : "Πυθαγόρειο 2" , "Πυθαγόρειο 3" , "Πυθαγόρειο 4".</span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;">5. Geogebra.</span></b></span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;">Mπείτε στο ιστολόγιό μου : " Διδακτικό υλικό μαθηματικών" στην διεύθυνση : </span><a href="http://mosxosyliko.blogspot.com/" style="font-size: x-large;">mosxosyliko.blogspot.com</a><span style="font-size: large;"> και ανοίξτε το αρχείο Geogebra με τίτλο : "Πυθαγόρειο θεώρημα".</span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;">6. Geogebra.</span></b></span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;">Mπείτε στο ιστολόγιό μου : " Διδακτικό υλικό μαθηματικών" στην διεύθυνση : </span><a href="http://mosxosyliko.blogspot.com/" style="font-size: x-large;">mosxosyliko.blogspot.com</a><span style="font-size: large;"> και ανοίξτε το αρχείο Geogebra με τίτλο : "Πυθαγόρειο και γενίκευση".</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">Μελετήστε τη γενίκευση του πυθαγορείου σε οξυγώνιο και αμβλυγώνιο τρίγωνο.</span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;">7. Sketchpad.</span></b></span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;">Mπείτε στο ιστολόγιό μου : " Διδακτικό υλικό μαθηματικών" στην διεύθυνση : </span><a href="http://mosxosyliko.blogspot.com/" style="font-size: x-large;">mosxosyliko.blogspot.com</a><span style="font-size: large;"> και ανοίξτε το αρχείο Sketchpad με τίτλο :" Iστορία Πυθαγορείου θεωρήματος"</span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;">Παρακολουθούμε την ιστορία του πυθαγορείου θεωρήματος από τους Αρχαίους Αιγυπτίους μέχρι τη σχολή του Πυθαγόρα.</span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;">8. Video</span></b></span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;">Συνδεόμαστε με την ανάρτηση : <a href="http://mathmosxos.blogspot.gr/2011/01/blog-post.html">ΛΙΓΗ ΙΣΤΟΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ </a> και παρακολουθούμε το ντοκιμανταίρ :"Πυθαγόρειος ο Σάμιος από την τότε ΕΤ3.</span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;">9. Πείραμα.</span></b></span><br />
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><br /></span>
<br />
<div class="MsoPlainText">
<b><i><span style="font-size: 14pt;">Ιστορική αναφορά<o:p></o:p></span></i></b></div>
<div class="MsoPlainText">
<br /></div>
<div class="MsoPlainText">
<span style="font-size: 14pt;"> Οι Αρχαίοι Αιγύπτιοι χρησιμοποιούν το πυθαγόρειο θεώρημα έστω ασυνείδητα ή
εμπειρικά. Αυτό φαίνεται από τους λεγόμενους : « αρπεδονάπτες».
Ετυμολογικά ο όρος αυτός αποτελείται από τις λέξεις αρπεδόπη και άπτειν. Ερμηνύεται
ως σκηνοφορείς. Είχαν σκοινί που έχει 13
κόμπους σε ίσες μεταξύ τους αποστάσεις. Φτιάχνοντας με το σκοινί τρίγωνο με πλευρές 3 , 4 , 5
κόμπων σε κάθε πλευρά έλεγχαν αν μια γωνία είναι ορθή. Γνώριζαν δηλαδή ότι
τρίγωνο με μήκη πλευρών 3, 4, 5 είναι ορθογώνιο.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoPlainText">
<br /></div>
<div class="MsoPlainText">
<span style="font-size: 14pt;"><br /></span></div>
<div class="MsoPlainText">
<b><span style="font-size: 14pt;"> Πείραμα<o:p></o:p></span></b></div>
<div class="MsoPlainText">
<br /></div>
<div class="MsoPlainText">
<i><span style="font-size: 14pt;"> Υλικά.<o:p></o:p></span></i></div>
<div class="MsoPlainText">
<br /></div>
<div class="MsoPlainText">
<i><span style="font-size: 14pt;"> 1. Κόντρα πλακέ<o:p></o:p></span></i></div>
<div class="MsoPlainText" style="margin-left: 36.0pt; mso-list: l0 level1 lfo1; tab-stops: list 36.0pt; text-indent: -18.0pt;">
<!--[if !supportLists]--><i><span lang="EN-US" style="font-size: 14pt;">2.<span style="font-size: 7pt; font-style: normal;"> </span></span></i><!--[endif]--><i><span style="font-size: 14pt;"> Ένα σκοινί</span></i><i><span lang="EN-US" style="font-size: 14pt;"><o:p></o:p></span></i></div>
<div class="MsoPlainText" style="margin-left: 36.0pt; mso-list: l0 level1 lfo1; tab-stops: list 36.0pt; text-indent: -18.0pt;">
<!--[if !supportLists]--><i><span lang="EN-US" style="font-size: 14pt;">3.<span style="font-size: 7pt; font-style: normal;"> </span></span></i><!--[endif]--><i><span style="font-size: 14pt;">3 καρφιά</span></i><i><span lang="EN-US" style="font-size: 14pt;"><o:p></o:p></span></i></div>
<div class="MsoPlainText">
<br /></div>
<div class="MsoPlainText">
<br /></div>
<div class="MsoPlainText">
<span style="font-size: 14pt;">Πάρτε ένα σκοινί. Κάντε 13 κόμπους σε ίσες
αποστάσεις. Πως μπορείτε να χρησιμοποιήστε αυτή την κατασκευή για να σχεδιάσετε
μια ορθή γωνία;<o:p></o:p></span></div>
<br />
<div class="MsoPlainText">
<br /></div>
<div class="MsoPlainText">
<span style="font-size: 14pt;">Πάνω στο κόντρα πλακέ τοποθετήστε τρία καρφιά
ώστε να σχηματίζουν ορθογώνιο τρίγωνο. Για το σκοπό αυτό χρησιμοποιήστε το
σκοινί με τους 13 κόμπους.<o:p></o:p></span></div>
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
</div>
</div>
</div>
<div>
</div>
</div>
Αλέξανδρος Μόσχοςhttp://www.blogger.com/profile/04357778829560813366noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7730717435979339231.post-8407833900720745392011-01-23T01:27:00.000-08:002018-03-22T09:56:50.436-07:00ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΤΕΙΑ<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<br />
<br />
<img alt="Προβολή εικόνας πλήρους μεγέθους" border="0" src="http://t3.gstatic.com/images?q=tbn:7CU30kcFQbzcTM:http://www.plakitsa.net/wp-content/uploads/2008/05/laugh-with-me-49499-255x300.jpg" height="200" style="border-bottom: 1px solid; border-left: 1px solid; border-right: 1px solid; border-top: 1px solid; margin-top: 10px;" width="171" /><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<strong><span style="background-color: #cfe2f3; color: blue; font-family: "courier new" , "courier" , monospace; font-size: large;">Γιατί όλοι γελάμε στην ίδια γλώσσα ...</span></strong><br />
<div style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none;">
<span style="background-color: #cfe2f3;"><br /></span></div>
<div style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none;">
<strong><span style="background-color: #cfe2f3; color: blue; font-family: "courier new" , "courier" , monospace; font-size: large;">... τώρα και στην μαθηματική.</span></strong><a href="http://www.plakitsa.net/wp-content/uploads/2008/05/laugh-with-me-49499-255x300.jpg" id="thumbnail" style="clear: left; cssfloat: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><strong><span style="color: blue; font-family: "courier new" , "courier" , monospace; font-size: large;"></span></strong></a><strong><span style="background-color: white; color: blue; font-size: large;"></span></strong><br />
<br />
<br />
<strong><span style="background-color: white; color: blue; font-size: large;"> <a href="http://www.google.gr/imgres?imgurl=http://iparxei-mageia.pblogs.gr/files/91235-lucky_luke.jpg&imgrefurl=http://iparxei-mageia.pblogs.gr/2008/00/ti-me-kanei-na-skaw-sta-gelia-blogopaihnido.html&usg=__WRUAA6kBSiUqJcp41ZoTDPWQRfo=&h=692&w=669&sz=62&hl=el&start=47&zoom=1&um=1&itbs=1&tbnid=mzaTCNSoamq3_M:&tbnh=139&tbnw=134&prev=/images%3Fq%3D%25CE%25B3%25CE%25AD%25CE%25BB%25CE%25B9%25CE%25B1%26start%3D40%26um%3D1%26hl%3Del%26sa%3DN%26ndsp%3D20%26tbs%3Disch:1" id="apf6"><img src="http://t3.gstatic.com/images?q=tbn:mzaTCNSoamq3_M:http://iparxei-mageia.pblogs.gr/files/91235-lucky_luke.jpg" height="139" id="ipfmzaTCNSoamq3_M:" style="border-bottom: #ccc 1px solid; border-left: #ccc 1px solid; border-right: #ccc 1px solid; border-top: #ccc 1px solid; padding-bottom: 1px; padding-left: 1px; padding-right: 1px; padding-top: 1px; vertical-align: bottom;" width="134" /></a></span></strong></div>
<div style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none;">
<strong><u><span style="background-color: white; color: blue; font-size: large;"></span></u></strong></div>
<div style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none;">
<div style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none;">
<br /></div>
</div>
<div style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none;">
<br /></div>
<div style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none;">
<div style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none;">
<br /></div>
</div>
<div style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none;">
<div style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none;">
</div>
</div>
<div style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><strong><em> " Τα πιο σοβαρά πράγματα τα είπαμε στ΄ αστεία".</em></strong></span><br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><strong> <span style="color: #990000;"><em>Στίχος τραγουδιού.</em></span></strong></span><br />
<strong><span style="color: #990000; font-size: large;"><em></em></span></strong><br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<br />
<br /></div>
<div style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><strong> <img border="0" src="http://users.otenet.gr/~digiavri/kin%20mat.gif" height="104" width="175" /> </strong></span><br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><strong><br /></strong></span>
<span style="color: blue; font-size: large;"><strong><br /></strong></span>
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><strong><br /></strong></span>
<span style="color: blue; font-size: large;"><strong><br /></strong></span>
<span style="color: blue; font-size: large;"><strong> Το "Σ' αγαπώ" στα μαθηματικά.</strong></span><br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><strong><br /></strong></span>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://4.bp.blogspot.com/-t_wuPCDxfvs/U1u-ZaYQXQI/AAAAAAAABQk/B6keRG79m9w/s1600/maths1.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="147" src="https://4.bp.blogspot.com/-t_wuPCDxfvs/U1u-ZaYQXQI/AAAAAAAABQk/B6keRG79m9w/s1600/maths1.gif" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://1.bp.blogspot.com/-c6vgOnaX-E8/U1u-ezsAujI/AAAAAAAABQs/oioNGEf7uUU/s1600/maths2.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="147" src="https://1.bp.blogspot.com/-c6vgOnaX-E8/U1u-ezsAujI/AAAAAAAABQs/oioNGEf7uUU/s1600/maths2.gif" width="320" /></a></div>
<span style="color: blue; font-size: large;"><strong><br /></strong></span><span style="color: blue; font-size: large;"><strong><br /></strong></span>
<span style="color: blue; font-size: large;"><strong><br /></strong></span>
<span style="color: blue; font-size: large;"><strong> Α΄ </strong></span><span style="color: blue; font-size: large;"><strong>ΜΑΘΗ <span style="color: red;">(ΜΑ)</span> ΤΙΚΕΣ </strong></span><span style="color: blue; font-size: large;"><strong> ΓΕΛΟΙΟΓΡΑΦΙΕΣ </strong></span><br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><strong> Ή ΑΣΤΕΙΕΣ - ΠΑΡΑΞΕΝΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ</strong></span><br />
<br />
<br />
<strong><span style="color: blue; font-size: large;">Τα μαθηματικά της καρδιάς.</span></strong><br />
<br />
<br />
<img height="320" src="https://1.bp.blogspot.com/_qgKKqDD63Ec/TFFaL9sEbAI/AAAAAAAABaE/EJKuL459U8U/s320/r_izw5ujj4qz3qv5vo47ki.jpg" width="308" /><br />
<br />
<strong><span style="color: blue;">Γραφική παράσταση της παραπάνω εξίσωση</span></strong><br />
<br />
<br />
<br />
<a href="http://cloudconnected.pblogs.gr/files/f/215457-kyr17.jpg" title="kyr17.jpg"><img alt="kyr17.jpg" src="http://cloudconnected.pblogs.gr/files/215457-kyr17.jpg" height="117" style="height: 256px; margin: 10px 0px; width: 437px;" width="200" /></a><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<img alt="Ρολόι Για Μαθηματικούς" src="http://www.funnypics.gr/images/roloi-gia-mathimatikous.jpg" height="240" width="320" /><br />
<strong>Ρολόι δώρο για τα γενέθλια ενός μαθηματικού!</strong><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<img src="http://5465.pblogs.gr/files/42833-%CE%95%CE%A5%CE%9A%CE%9B%CE%95%CE%99%CE%94%CE%97%CE%A3%20%CE%93%CE%95%CE%9B%CE%99%CE%9F.jpg" height="320" width="317" /><br />
<br />
<img height="173" src="https://3.bp.blogspot.com/_pigOeuaBMTo/TIDXQ791vZI/AAAAAAABKuA/33D8R46s6CQ/s320/tanea.jpg" width="320" /><br />
<br />
<br />
<br />
<a href="http://www.blogger.com/profile.forum?mode=viewprofile&u=4"><img alt="" src="http://r16.imgfast.net/users/1611/18/08/13/avatars/4-76.gif" height="200" width="178" /></a><br />
<br />
<strong><em><span style="color: blue;">Θα μπορούσε να είναι και </span></em></strong><br />
<strong><em><span style="color: blue;">πρόβλημα μαθηματικών :</span></em></strong><br />
<strong><em><span style="color: black;">Πόσο είναι το εμβαδόν του </span></em></strong><br />
<strong><em><span style="color: black;">βατράχου; Το τετράγωνο έχει</span></em></strong><br />
<strong><em><span style="color: black;">πλευρά 20cm.</span></em></strong><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.youtube.com/embed/XZHim74k7CA?feature=player_embedded' frameborder='0'></iframe></div>
<br />
<br />
<span style="color: blue;"><b>Μια νύχτα πριν το τεστ στα μαθηματικά!</b></span><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<strong><span style="font-size: large;"><span style="color: blue;">B΄ ΑΠΟ ΓΡΑΠΤΑ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ</span><span style="color: blue;">.</span></span></strong><br />
<br /></div>
<div style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none;">
<br />
<br />
<strong><span style="color: blue; font-size: large;">1. ΤΟ ΑΥΤΑΠΟΔΕΙΚΤΟ.</span></strong><br />
<br />
<img src="http://gmargari.files.wordpress.com/2006/09/WindowsLiveWriter/791a82241e70_D249/blonde_equation_thumb23.jpg?w=368&h=262" /><br />
<br />
<br />
<br />
<strong><span style="color: blue; font-size: large;">2. ΜΗΝ ΚΡΕΜΑΣΤΕΙΤΕ ΚΙΟΛΑΣ!</span></strong><br />
<br />
<img src="http://vasbouras.files.wordpress.com/2009/01/cf83ceaccf81cf89cf83ceb70001.jpg" height="339" width="336" /><br />
<br />
<br />
<br />
<strong><span style="color: blue; font-size: large;">3. ΕΤΣΙ ΑΝΤΙΛΑΜΒΑΝΟΝΤΑΙ ΟΙ ΜΑΘΗΤΕΣ ΤΑ ΟΡΙΑ!</span></strong><br />
<br />
<br />
<img alt="limes" border="0" src="http://www.sgoc.de/Pics/limes.gif" height="122" width="209" /><br />
<br />
<div class="" style="clear: both; text-align: center;">
<b style="color: blue; font-size: x-large;">4. Εύθυμοι μαθηματικοί τύποι.</b></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<img height="320" src="https://kadosanakyklosis.files.wordpress.com/2013/04/265880-n1158945028_30163783_8139.jpg" style="text-align: left;" width="315" /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.youtube.com/embed/BzjF5yBOLI4?feature=player_embedded' frameborder='0'></iframe><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="color: blue;"><b> Μια περίεργη διαίρεση σε ελληνική κωμωδία.</b></span></div>
<a href="http://www.google.gr/imgres?imgurl=http://dionysus.funnyexam.com/content/1584/resized/sideways5.jpg%3F1236738855&imgrefurl=http://examsos.yooblog.gr/2009/06/27/1012&usg=__H5oAjep_9rJs3_AUOYMh89SYI78=&h=410&w=499&sz=16&hl=el&start=262&zoom=1&itbs=1&tbnid=NL6u4dWsraLjUM:&tbnh=107&tbnw=130&prev=/images%3Fq%3D%25CE%25BC%25CE%25B1%25CE%25B8%25CE%25B7%25CE%25BC%25CE%25B1%25CF%2584%25CE%25B9%25CE%25BA%25CE%25AC%26start%3D260%26hl%3Del%26sa%3DN%26gbv%3D2%26ndsp%3D20%26tbs%3Disch:1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"></a><a href="http://www.google.gr/imgres?imgurl=http://dionysus.funnyexam.com/content/1584/resized/sideways5.jpg%3F1236738855&imgrefurl=http://examsos.yooblog.gr/2009/06/27/1012&usg=__H5oAjep_9rJs3_AUOYMh89SYI78=&h=410&w=499&sz=16&hl=el&start=262&zoom=1&itbs=1&tbnid=NL6u4dWsraLjUM:&tbnh=107&tbnw=130&prev=/images%3Fq%3D%25CE%25BC%25CE%25B1%25CE%25B8%25CE%25B7%25CE%25BC%25CE%25B1%25CF%2584%25CE%25B9%25CE%25BA%25CE%25AC%26start%3D260%26hl%3Del%26sa%3DN%26gbv%3D2%26ndsp%3D20%26tbs%3Disch:1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"></a><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<strong><span style="color: blue; font-size: large;">Γ΄ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΝΕΚΔΟΤΑ</span></strong></div>
<div style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none;">
<br /></div>
<div style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none;">
<strong><u><span style="background-color: white; color: blue; font-size: large;">21-9 -2010</span></u></strong></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">1. Στις εξετάσεις, ένας μαθητής που δεν μπορούσε να λύσει την άσκηση των μαθηματικών, γράφει στην κόλλα: «Αυτή την άσκηση μόνο ο Θεός μπορεί να τη λύσει»! </span><span style="font-size: large;"><br />
Και ο καθηγητής απαντά : <br />
- Ο Θεός παίρνει άριστα κι εσύ απορρίπτεσαι! </span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">2. </span><span style="font-family: TimesNewRomanPS-BoldMT;"><span style="font-family: TimesNewRomanPS-BoldMT;"><span style="font-size: large;">Πώς πλένουν οι μαθηματικοί τα πιάτα;</span></span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"> Πλένουν ένα και λένε: «ομοίως και τα άλλα».</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
<br />
<br /></div>
<div align="justify" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">3. </span><span style="font-family: TimesNewRomanPS-BoldMT;"><span style="font-family: TimesNewRomanPS-BoldMT;"><span style="font-size: large;">Ποια η διαφορά μαθηματικού και αστυνομικού;</span></span></span></div>
<div align="justify" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"> <strong>Απάντηση </strong>: Ο μαθηματικός θέλει να τετραγωνίσει τον </span></div>
<div align="justify" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"> κύκλο, ενώ ο </span><span style="font-size: large;">αστυνομικόςνα κυκλώσει το τετράγωνο.</span></div>
<div align="justify" style="text-align: justify;">
<br />
<br />
<br /></div>
<span style="font-family: TimesNewRomanPS-BoldMT; font-size: x-small;"><span style="font-family: TimesNewRomanPS-BoldMT; font-size: x-small;"></span></span><br />
<div align="left">
<span style="font-size: large;">4. Πώς οι μαθηματικοί κόβουν ένα δέντρο;</span></div>
<span style="font-size: large;"> Το υψώνουν στο τετράγωνο και φεύγουν οι ρίζες.</span><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<span style="font-size: large;">5. Πόσοι μαθηματικοί χρειάζονται για να αλλάξουν μια λάμπα </span><br />
<span style="font-size: large;"> στην αίθουσα διδασκαλίας ;</span><br />
<span style="font-size: large;"> <strong>Απάντηση</strong> : Κανένας. Το αφήνουν ως άσκηση στους </span><br />
<span style="font-size: large;"> μαθητές</span><span style="font-size: large;"> τους.</span><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<span style="font-size: large;">6. <strong>Μαθηματικός </strong>: Πόσο κάνει Γιώργο 8 - 8;</span><br />
<span style="font-size: large;"> <strong>Γιώργος </strong> : Εεεεε! Δεν ξέρω κύριε.</span><br />
<span style="font-size: large;"> <strong>Μαθηματικός </strong>: Σκέψου καλύτερα . Αν έχεις 8 κεράσια και </span><br />
<span style="font-size: large;"> φας</span><span style="font-size: large;"> και τα 8 τι θα σου μείνει;</span><br />
<span style="font-size: large;"> <strong>Γιώργος </strong>: Κατάλαβα κύριε. 8-8 μας κάνει 8 κουκούτσια!</span><br />
<br />
<br />
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><strong>7. ΑΝΕΚΔΟΤΑ ΜΕ ΠΟΝΤΙΟΥΣ</strong></span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">Πως πέθανε ο τελευταίος Πόντιος εφευρέτης;</span><br />
<span style="font-size: large;"><strong>Απάντηση </strong>: Του καρφώθηκε μια ιδέα στο κεφάλι.</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">Πως πέθανε ο τελευταίος Πόντιος μαθηματικός;</span><br />
<span style="font-size: large;"><strong>Απάντηση </strong>: Χάθηκε στο άπειρο.</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">Πως πέθανε ο τελευταίος Πόντιος μαθητής;</span><br />
<span style="font-size: large;"><strong>Απάντηση</strong> : Σκοτώθηκε στο διάβασμα.</span><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">8. <strong>Καθηγητής </strong>: Κώστα μπορείς να βρεις τον άγνωστο χ ;</span></div>
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"> <strong>Κώστας </strong>: Αν Κύριε βρω εγώ τον άγνωστο χ εσείς μπορείτε να βρείτε</span><span style="font-size: large;"> τον άγνωστο στρατιώτη;</span></div>
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><strong>9. ΕΝΑ ΦΙΛΟΛΟΓΙΚΟ ΑΝΕΚΔΟΤΟ!!!</strong></span></div>
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><strong> (για να μην μας πουν ρατσιστές )</strong></span></div>
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Στην β΄ γυμνασίου στο μάθημα της Ιλιάδας γράφουν τεστ. Μια απλή ερώτηση κατανόησης του κειμένου διατυπώνεται ως εξής ;</span></div>
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">" Τι δώρο χάρισε ο Αγαμέμνονας στον Αχιλλέα; "</span></div>
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Οπρώτος μαθητής γνώριζε την απάντηση. Αυτός που ήταν πίσω του τον σκουντά επίμονα να τον βοηθήσει. Έτσι του λέει :</span></div>
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">- "Άρμα ".</span></div>
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Εκείνος μη</span><span style="font-size: large;">ν ακούγοντας καλά γράφει :</span></div>
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">" Ο Αγαμέμνονας χάρισε στον Αχιλλέα ένα άρωμα".</span></div>
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Αυτός που βρισκόταν πιο πίσω από τον δεύτερο τον σκουντά με τη σειρά του για βοήθεια και παίρνει την απάντηση :</span></div>
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">- " 'Αρωμα ".</span></div>
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Ο τρίτος φίλος της παρέας για μην τον καταλάβουν ότι αντέγραψε αποφάσισε να το αλλάξει λίγο και γράφει :</span></div>
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: justify;">
" <span style="font-size: large;">Ο Αγαμέμνονας χάρισε στον Αχιλλέα μια κωλώνια".</span></div>
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><strong>10 . Ο ΣΠΑΣΙΚΛΑΣ Ο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ</strong></span></div>
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Ένας γεωλόγος ,ένας φυσικός και ένας μαθηματικός επιβιβάζονται σε ένα νησί που πρωτοανακαλύφθηκε. Ξαφνικά βλέπουν μπροστά τους ένα μαύρο πρόβατο. Σπεύδουν τότε και οι τρεις μέσα από το πρίσμα της δικής τους επιστήμης να βγάλουν το συμπέρασμα τους.</span></div>
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Ο γεωλόγος είπε :</span></div>
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">" Σε αυτό το νησί ζουν μαύρα πρόβατα".</span></div>
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Τον διορθώνει ο φυσικός :</span></div>
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">" Λάθος. Σε αυτό το νησί ζει ένα πρόβατο μαύρο".</span></div>
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Και ο μαθηματικός στο τέλος βάζει τα πράγματα στη θέση τους ;</span></div>
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">" Λάθος. Αν θέλουμε να είμαστε απόλυτα ακριβείς απέναντι σ΄ αυτό που βλέπουμε μπορούμε να πούμε ότι σ΄ αυτό το νησί ζει ένα πρόβατο που η μια πλευρά του είναι μαύρη".</span></div>
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">11. <strong><em>Ο Χριστός</em></strong> : Πέτρο y = x2</span></div>
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"> <strong><em>Πέτρος </em></strong>: Τι είναι αυτό Κύριε;</span></div>
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"> <strong><em>Χριστός </em></strong>: Μια παραβολή Πέτρε, Πέτρε! </span></div>
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"> <strong><em>Πέτρος </em></strong>: Μια παραβολή με ψυχή στο τετράγωνο , Κύριε !</span></div>
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">12. Στατιστική είναι η επιστήμη σύμφωνα με την οποία αν βάλεις τα πόδια σου στο φούρνο και το κεφάλι σου στο ψυγείο, κατά μέσο όρο θα είσαι μια χαρά.</span></div>
<br />
<br />
<br />
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><strong>13. ΞΑΝΑ ΟΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΚΑΙ Η ΛΑΜΠΑ</strong></span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">Πόσοι μαθηματικοί χρειάζονται να αλλάξουν μια λάμπα;</span><br />
<span style="font-size: large;">Απάντηση : Κανείς. Όλοι όμως γνωρίζουν να αποδείξουν ότι είναι δυνατόν να αλλαχθεί η λάμπα.</span><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: justify;">
<strong><span style="color: blue; font-size: large;">14. Το θεώρημα της γάτας</span></strong></div>
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><strong><em><u>Το θεώρημα της γάτας</u></em></strong> : Οι γάτες έχουν 9 ουρές.</span></div>
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br />
<strong>Απόδειξη </strong>: Καμία γάτα δεν έχει 8 ουρές. Μια γάτα έχει μια περισσότερη ουρά από καμία γάτα. Άρα μια γάτα έχει 8+1 = 9 ουρές. Ο.Ε.Δ ( όπερ έδει δείξαι = αυτό που θέλαμε να αποδείξουμε).</span></div>
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">15 Δύο φίλοι κάνουν ένα ταξίδι με αερόστατο. Κάποια στιγμή αρχίζει να βρέχει. Σε πολύ λίγο η βροχή γίνεται καταιγίδα και το αερόστατο κομμάτια. Πυξίδες και χάρτες χάνονται. Οι δύο φίλοι κρατιούνται από κάτι σκοινιά και καταφέρνουν να προσγειωθούν σώοι και αβλαβείς σε ένα λιβάδι. Η καταιγίδα έχει πια σταματήσει και περίπου στο κέντρο του λιβαδιού μπορούν να διακρίνουν έναν άντρα να διαβάζει. Πάνε λοιπόν προς το μέρος του και τον ρωτάνε:<br />
- "Συγνώμη, μήπως ξέρετε που βρισκόμαστε;"<br />
Ο άντρας κοιτάει για λίγο γύρω του, σκέφτεται και λέει:<br />
- "Βρίσκεστε στη μέση ενός λιβαδιού."<br />
Οι φίλοι τον ευχαριστούν και φεύγουν. Όταν απομακρύνονται κάπως, λέει ο ένας στον άλλο:<br />
- "Αυτός ήταν μαθηματικός!"<br />
- "Που το κατάλαβες;" ρωτάει ο άλλος.<br />
- "Πρώτον σκέφτηκε πριν απαντήσει και δεύτερον έδωσε μια σωστή απάντηση με ακρίβεια, που όμως δε μας χρησιμεύει σε τίποτα!"</span></div>
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<span style="font-size: large;">16. Ήταν ένας μαθηματικός, ένας φυσικός κι ένας χημικός και ήθελαν να περάσουν από τη μία όχθη του ποταμού στην άλλη.<br />
Πάνε λοιπόν, βρίσκουν το βαρκάρη και ξεκινάνε. Μετά από λίγα λεπτά ρωτάει ο μαθηματικός το βαρκάρη:<br />
-Ξέρετε τίποτα από Μαθηματικά;<br />
-Όχι, λέει ο βαρκάρης. <br />
-Κρίμα χάνετε το 1/8 της ζωής σας, λέει ο μαθηματικός.<br />
Απορεί ο βαρκάρης, αλλά συνεχίζει την πορεία του. Μετά από λίγο ρωτάει ο φυσικός το βαρκάρη:<br />
-Ξέρετε τίποτα από Φυσική;<br />
-Όχι, λέει ο βαρκάρης, εγώ ένας απλός βαρκάρης είμαι. <br />
-Κρίμα χάνετε το 1/4 της ζωής σας, λέει ο φυσικός.<br />
Νευριάζει λίγο ο βαρκάρης, αλλά συνεχίζει. Μετά από λίγο το ρωτάει κι ο γιατρός:<br />
-Ξέρετε τίποτα από Ιατρική;<br />
-Όχι άνθρωπε μου πού να ξέρω εγώ από Ιατρική; <br />
-Κρίμα χάνετε το 1/2 της ζωής σας, λέει ο γιατρός.Νευριάζει τότε πολύ ο βαρκάρης, αναποδογυρίζει τη βάρκα, τους πετάει και τους τρεις στο νερό και τους λέει:<br />
-Ξέρετε τίποτα από κολύμπι; <br />
Λένε και οι τρεις μαζί:<br />
-Όχι! <br />
-Κρίμα! Xάνετε όλη σας τη ζωή!! </span><br />
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<br />
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">17. <strong>Ερμηνεία λέξεων που θα ακούσετε από ένα μαθηματικό:<br />
<br />
ΠΡΟΦΑΝΩΣ</strong> = Έχει 7 πίνακες απόδειξη και βαριέμαι να τη γράψω<br />
<br />
<strong>ΤΕΤΡΙΜΜΕΝΟ</strong> = Άμα δεν ξέρεις να το βγάζεις αυτό, είσαι σε λάθος τμήμα<br />
<br />
<strong>ΧΩΡΙΣ ΒΛΑΒΗ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟΤΗΤΑΣ</strong> = Τώρα σιγά μην κάθομαι να σου εξηγώ τα πάντα, βρές τα υπόλοιπα και τις συνέπειες μόνος σου<br />
<br />
<strong>ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΕΥΚΟΛΑ ΝΑ ΔΕΙΞΟΥΜΕ</strong>= …αλλά θα μας πάρει περίπου δύο βδομάδες και -πάλι- βαριέμαι<br />
<br />
<strong>ΑΥΤΟ ΕΛΕΓΞΤΕ ΤΟ ΜΟΝΟΙ ΣΑΣ</strong> = Ρε πόσο μα πόσο βαριέμαι. Άσε που δεν είμαι σίγουρος για το τι θα βγεί..</span></div>
<br />
<span style="font-size: large;"><strong>ΛΥΣΤΕ ΤΟ ΜΟΝΟΙ ΣΑΣ ΣΤΟ ΠΡΟΧΕΙΡΟ</strong> : Η βαρεμάδα μου είναι σε προχωρημένη κατάσταση.Λύστε εσείς να ηρεμήσω εγώ.</span><br />
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div align="justify" class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div align="justify" class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: center;">
</div>
<span style="font-size: large;">18 Ανοιξε καινούργιο εστιατόριο στη σελήνη! Πολύ ελαφρύ φαγητό, αλλά καθόλου ατμόσφαιρα.</span><br />
<br />
<br />
<span style="font-size: large;">19. Γιατί τα μαθηματικά είναι λυπημένα;</span><br />
<span style="font-size: large;"><strong>Απάντηση</strong> : Γιατί έχουν έχουν πολλά προβλήματα και μερικά είναι άλυτα.</span><br />
<br />
<br />
<span style="font-size: large;">20. <strong>Ερώτηση </strong>: Τι είναι η πρόταση : " Σαρανταπέντε μάστορες και εξήντα μαθητάδες;"</span><br />
<span style="font-size: large;"><strong>Απάντηση φιλολόγου</strong> : Στίχος από δημοτικό ποίημα"</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;"> -> </span><br />
<span style="font-size: large;"><strong>Απάντηση μαθηματικού</strong> : Έστω το διάνυσμα α = μάστορες και το </span><br />
<span style="font-size: large;">-></span><br />
<span style="font-size: large;">β = μαθητάδες . Άρα η πρόταση γίνεται :</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;"> -> -></span><br />
<span style="font-size: large;">45 α + 60 β. Πρόκειται δηλαδή για έναν γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων.</span><br />
<br />
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><strong>21. KAI ΛΙΓΗ ΙΣΤΟΡΙΑ ΝΕΩΤΕΡΩΝ ΧΡΟΝΩΝ</strong></span><br />
<br />
<span style="color: teal;"><span style="color: black; font-size: large;">Ο Μπίλ είναι στο σχολείο </span></span><br />
<span style="color: teal;"><span style="color: black; font-size: large;">και η δασκάλα κάνει ερωτήσεις στην ιστορία. </span></span><br />
<strong><span style="color: magenta;"><span style="color: black; font-size: large;">Δασκάλα:</span></span></strong><br />
<span style="color: #06c99f;"><span style="color: black; font-size: large;">Τι λέμε Γερμανική κατοχή παιδί μου!</span></span><br />
<strong><span style="color: blue;"><span style="color: black; font-size: large;">Μπίλ:</span></span></strong><br />
<span style="color: #06c99f;"><span style="color: black; font-size: large;">Το συνολικό χρόνο, </span></span><br />
<span style="color: #06c99f;"><span style="color: black; font-size: large;">που έχει η Γερμανική ομάδα, </span></span><br />
<span style="color: #06c99f;"><span style="color: black; font-size: large;">στα πόδια της τη μπάλα κυρία! </span></span><br />
<strong><span style="color: magenta;"><span style="color: black; font-size: large;">Δασκάλα:</span></span></strong><br />
<span style="color: #33cccc;"><span style="color: black; font-size: large;">Απαράδεκτος! </span></span><br />
<span style="color: #06c99f;"><span style="color: black; font-size: large;">Να ρωτήσεις στο σπίτι τη γιαγιά σου </span></span><br />
<span style="color: #06c99f;"><span style="color: black; font-size: large;">και να μας το πεις αύριο!</span></span><br />
<strong><span style="color: teal;"><span style="color: black; font-size: large;">Την άλλη μέρα στο σχολείο …</span></span></strong><br />
<strong><span style="color: magenta;"><span style="color: black; font-size: large;">Δασκάλα:</span></span></strong><br />
<span style="color: #06c99f;"><span style="color: black; font-size: large;">Μπιλ ρώτησες τη γιαγιά σου; </span></span><br />
<span style="color: blue;"><span style="color: black; font-size: large;"><strong>Μπίλ:</strong></span></span><br />
<span style="color: #06c99f;"><span style="color: black; font-size: large;">Ναι κυρία! </span></span><br />
<strong><span style="color: magenta;"><span style="color: black; font-size: large;">Δασκάλα:</span></span></strong><br />
<span style="color: #06c99f;"><span style="color: black; font-size: large;">Και τι σου είπε;</span></span><br />
<span style="color: blue;"><span style="color: black; font-size: large;"><strong>Μπίλ:</strong></span></span><br />
<span style="color: #06c99f;"><span style="color: black; font-size: large;"><<Άστο παιδάκι μου! </span></span><br />
<span style="color: #06c99f;"><span style="color: black; font-size: large;">Καλύτερα να μη το μάθεις ποτέ σου!>></span></span><br />
<a href="http://blogs.sch.gr/x11k10/files/2010/06/080218-petran.jpg" title="080218-petran.jpg"><span style="color: black;"></span></a><br />
<br />
<br />
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><strong>22. Η ΣΥΜΦΩΝΙΑ</strong></span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">Ο γιος του παπά της ενορίας, μόλις πήρε την άδεια οδήγησής του, και ρώτησε τον πατέρα του αν θα μπορούσε πλέον να οδηγεί το αμάξι της οικογένειας. Ο παπάς μόλις το ακούει αυτό του λέει: <br />
- Ακου γιε μου, θα κάνουμε μια συμφωνία: Όταν περάσεις όλα τα μαθήματα που χρωστάς στη σχολή σου, βγάλεις το σκουλαρίκι και κόψεις τα μαλλιά σου, θα σου δώσω το αμάξι. <br />
<br />
Περνάει λοιπόν κανένα δίμηνο, και ο γιος ξαναρωτάει τον πατέρα του για το αμάξι, οπότε ο πατέρας του του λέει: - Ξέρεις γιε μου, είμαι πολύ περήφανος για σένα! Στην εξεταστική πέρασες όλα τα μαθήματα, έβγαλες το σκουλαρίκι, αλλά δεν έκοψες τα μαλλιά σου! <br />
- Ξέρεις μπαμπά... απαντάει ο γιος, το ξανασκέφτηκα αυτό με τα μαλλιά, και είδα ότι και ο ίδιος ο Χριστός και οι μαθητές του είχαν μακριά μαλλιά...<br />
Και συμπληρώνει ο πατέρας του: <br />
- ...Ναι, και όπου πήγαιναν, πήγαιναν με τα πόδια</span><br />
<br />
<br />
<span style="font-size: large;">23. <strong><em>Καθηγητής</em></strong> : Πόσο κάνει 6 φορές το 7;</span><br />
<span style="font-size: large;"> <strong><em>Μαθητής</em></strong> : 42 </span><br />
<span style="font-size: large;"> <strong><em>Καθηγητής</em></strong> : Πολύ ωραία! 7 φορές το 6 ;</span><br />
<span style="font-size: large;"> <strong><em>Μαθητής</em></strong> : 24.</span><br />
<span style="font-size: large;"><br />
</span><span style="font-size: large;">24. Τι λέει το μηδέν όταν συναντάει το οκτώ;</span><br />
<span style="font-size: large;"> <strong><em>Απάντηση</em></strong> 1 : Ωραίο καπέλο ! </span><br />
<span style="font-size: large;"> <b><i>Απάντηση 2</i></b> : Ωραία η ζώνη σου !</span><br />
<br />
<br />
<span style="font-size: large;">25. Τι λέει το μηδέν στο έξι;</span><br />
<span style="font-size: large;"><strong><em>Απάντηση </em></strong>: Πετάει μια τρίχα σου!</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">26. Τι λέει το μηδέν στο δέκα;</span><br />
<span style="font-size: large;"><strong><em>Απάντηση</em></strong>: Πάρτο απόφαση δεν σε θέλει. Μην τρέχεις πίσω του συνέχεια ( από το 1)!</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">27. Τι διαφορά έχει το 9 από το μηδέν;</span><br />
<span style="font-size: large;">Απάντηση : Ένα πόδι!</span><br />
<br />
<br />
<span style="font-size: large;">28. Ποια διαφορά έχει ένας μαθηματικός από μία μεγάλη πίτσα;</span><br />
<span style="font-size: large;"><strong><em>Απάντηση :</em></strong> Η μεγάλη πίτσα μπορεί να φαγωθεί από μια οικογένεια 4 ατόμων. Ο μαθηματικός δεν τρώγεται με τίποτα!</span><br />
<br />
<br />
<span style="font-size: large;">29. Πως μαλώνει ένας μαθηματικός το παιδί του;</span><br />
<span style="font-size: large;"><strong><em>Απάντηση</em></strong> : Σου το είπα ν φορές. Θα σου το πω ν+1 φορές ...</span><br />
<br />
<br />
<span style="font-size: large;">30. Μια γυναίκα ζητά να τις πουν πόσο χρονών νομίζουν ότι είναι.</span><br />
<span style="font-size: large;"> Ένας λοιπόν πετάγεται και της λέει :</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">_ 18 μου φαίνεσαι αν δω τα μάτια σου , 19 αν προσέξω το πρόσωπό σου , 20 αν σταθώ στο σώμα σου. Και επειδή έχεις και τα τρία πρόσθεσε να βρεις την ηλικία σου!</span><br />
<br />
<br />
<span style="font-size: large;">31 <strong><span style="color: blue;"> ΤΟ ΠΥΘΑΓΩΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ</span></strong></span><br />
<span style="font-size: large;"><strong><span style="color: blue;"> ΣΤΗΝ ΚΡΗΤΙΚΗ ΚΤΗΝΟΤΡΟΦΙΚΗ ΔΙΑΛΕΚΤΟ</span></strong>.</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;"><strong><em>Το τεσσαράγωνο της αποκατιανής τεντώστρας ορθοστεκούμενου τριγώνου πατσίζει με τη σούμα των καρέ των δύο παϊδιών που στέκονται σούζα και κοπανιούνται κατακούτελα.</em></strong></span><br />
<br />
<br />
<br />
<em><span style="font-size: large;"><strong>32. Καθηγητής :</strong> Τι είναι η εξίσωση : 0χ = 0 ;</span></em><br />
<em><span style="font-size: large;"><strong>Αλλοδαπός μαθητής :</strong> Διαβατήριο , Κύριε!</span></em><br />
<em><span style="font-size: large;"><strong>Καθηγητής :</strong> Τι λες παιδί μου! Ταυτότητα είναι .</span></em><br />
<em><span style="font-size: large;"><strong>Αλλοδαπός μαθητής :</strong> Εντάξει , το ίδιο είναι. Εγώ και με ταυτότητα και με διαβατήριο περνάω τα σύνορα.</span></em><br />
<br />
<br />
<em><span style="font-size: large;"><strong>33. Kαθηγητής</strong> : Να μοιράσετε 14 κύβους ζάχαρης σε τρία ποτήρια φραπέ , ώστε σε κάθε ποτήρι να βάλετε περιττό αριθμό κύβων.</span></em><br />
<em><span style="font-size: large;"><strong>Μαθητής :</strong> 1 , 1 , 12.</span></em><br />
<em><span style="font-size: large;"><strong>Καθηγητής </strong>: Μα το 12 δεν είναι περιττό.</span></em><br />
<em><span style="font-size: large;"><strong>Μαθητής</strong> : Μα πως δεν είναι; Αφού είναι περιττό να ρίξουμε 12 κύβους ζάχαρης στο ίδιο ποτήρι καφέ.</span></em><br />
<br />
<br />
<span style="font-size: large;"><b>34.</b> <i>Πως γελάνε οι μαθηματικοί;</i></span><br />
<span style="font-size: large;"><i> Απάντηση : χχ΄ </i></span><br />
<span style="font-size: large;"><i><br /></i></span>
<span style="font-size: large;"><i><b>35</b>. Γιατί οι μαθηματικοί πάνε στην εκκλησία;</i></span><br />
<span style="font-size: large;"><i> Για να μελετήσουν την ακολουθία.</i></span><br />
<span style="font-size: large;"><i><br /></i></span>
<span style="font-size: large;"><i><b>36.</b> Γιατί οι μαθηματικοί παρακολουθούν τις μέλισσες;</i></span><br />
<span style="font-size: large;"><i> Για να τις προσθέσουν κατά μέλι.</i></span><br />
<span style="font-size: large;"><i><br /></i></span><span style="font-size: large;"><i>37. Λέει ένα βιβλίο μαθηματικών σε ένα άλλο :</i></span><br />
<span style="font-size: large;"><i> - Άσε μου φτάνουν τα δικά μου προβλήματα!</i></span><br />
<span style="font-size: large;"><i><br /></i></span>
<span style="font-size: large;"><i>38. Ο κύκλος δεν έχει αρχή ούτε τέλος , εκτός αν σταματήσουμε το </i></span><br />
<span style="font-size: large;"><i> διαβήτη.</i></span><br />
<span style="font-size: large;"><i><br /></i></span>
<span style="font-size: large;"><i>39. Ποια είναι η "μαύρη τρύπα " του πολλαπλασιασμού;</i></span><br />
<span style="font-size: large;"><i> <b>Απάντηση</b> : το συμβολο "επί".</i></span><br />
<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.youtube.com/embed/dMdTBep3W9c?feature=player_embedded' frameborder='0'></iframe></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="color: blue;"><b>Ο Goofy δάσκαλος.</b></span></div>
<br />
<br />
<span style="font-size: large;"><strong></strong></span></div>
Αλέξανδρος Μόσχοςhttp://www.blogger.com/profile/04357778829560813366noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7730717435979339231.post-10768187865009859332011-01-23T01:22:00.030-08:002018-03-22T10:18:14.722-07:00ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΙ - ΠΕΡΙΟΔΙΚΑ<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<h2 class="contentheading" style="text-align: justify;">
</h2>
<h2 class="contentheading" style="text-align: justify;">
<span style="color: blue;"></span> <a class="image" href="http://www.blogger.com/wiki/File:IMO_logo.svg"><img alt="" class="thumbimage" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/17/IMO_logo.svg/220px-IMO_logo.svg.png" height="151" width="220" /></a></h2>
<h2 class="contentheading" style="text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: small;">Το σήμα των Διεθνών μαθηματικών Ολυμπιάδων.</span></h2>
<div class="contentheading" style="text-align: justify;">
<span style="color: blue;"><b><i><br /></i></b></span>
<strong><em><span style="color: blue;">Με στόχο την ευγενή άμιλλα . . .</span></em></strong></div>
<div class="contentheading" style="text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"> </span><br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><br /></span>
<b><u><span style="color: #cc0000;"><span style="font-family: "arial"; font-size: 11pt;">75<sup>ος</sup> Πανελλήνιος
Μαθητικός Διαγωνισμός
(Π.Μ.Δ.) στα </span><span style="font-family: "arial"; font-size: 11pt;"> </span><span style="font-family: "arial"; font-size: 11pt;">Μαθηματικά</span><span style="font-family: "arial"; font-size: 11pt;"> </span><span style="font-family: "arial"; font-size: 11pt;">«Ο ΘΑΛΗΣ» - 2014</span></span></u></b><br />
<div class="MsoNormal" style="line-height: 150%; margin: 0cm 2.15pt 0.0001pt -14.2pt; text-indent: 36pt;">
<span style="font-family: "arial"; font-size: 11.0pt; line-height: 150%;"><br /></span>
<br />
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: "arial"; font-size: 11.0pt; line-height: 150%;">Η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία (Ε. Μ. Ε.) διοργανώνει τον 75</span><sup><span lang="EN-US" style="font-family: "arial"; font-size: 11.0pt; line-height: 150%;">o</span></sup><span style="font-family: "arial"; font-size: 11.0pt; line-height: 150%;"> Πανελλήνιο Μαθητικό </span><span style="font-family: "arial"; font-size: 11pt; line-height: 150%; text-indent: 36pt;">Διαγωνισμό (Π. Μ. Δ.),
</span><b style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 150%; text-indent: 36pt;">«Ο ΘΑΛΗΣ»</b><span style="font-family: "arial"; font-size: 11pt; line-height: 150%; text-indent: 36pt;">, στα Μαθηματικά, το </span><b style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 150%; text-indent: 36pt;">Σάββατο 1 Νοεμβρίου</b><span style="font-family: "arial"; font-size: 11pt; line-height: 150%; text-indent: 36pt;"> </span><b style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 150%; text-indent: 36pt;">2014 και </b><b style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 150%; text-indent: 36pt;">ώρα </b><b style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 150%; text-indent: 36pt;">9.00 π.μ</b></div>
<div style="text-align: left;">
<span style="font-family: "arial"; font-size: 11pt; line-height: 150%; text-indent: 36pt;">Ο
διαγωνισμός απευθύνεται στους μαθητές </span><b style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 150%; text-indent: 36pt;">των Β΄ και Γ΄ τάξεων των Γυμνασίων,</b><span style="font-family: "arial"; font-size: 11pt; line-height: 150%; text-indent: 36pt;">
</span><b style="font-family: Arial; font-size: 11pt; line-height: 150%; text-indent: 36pt;">όλων </b><span style="font-family: "arial"; font-size: 11pt;"><b>των τάξεων των Γενικών Λυκείων και </b><b>των Επαγγελματικών Λυκείων. </b>Οι δηλώσεις </span><span style="font-family: "arial"; font-size: 11pt;">συμμετοχής των
ενδιαφερομένων θα υποβληθούν στο σχολείο που φοιτούν</span><b style="font-family: Arial; font-size: 11pt;">, μέχρι και την 24<sup>η</sup> </b><b style="font-family: Arial; font-size: 11pt;">Οκτωβρίου 2014.</b></div>
</div>
<br />
<br />
<b style="color: blue; font-size: x-large;"><br /></b>
<b style="color: blue; font-size: x-large;"> ΜΕΤΑΛΛΙΑ ΦΙΛΝΤΣ :</b><br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;"> ΤΑ ΒΡΑΒΕΙΑ ΝΟΜΠΕΛ </span><span style="color: blue; font-size: large;"> ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ.</span></b><br />
<br />
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"></span></div>
<h2 align="justify">
<span style="color: black; font-size: small;"><h2 align="justify">
<div style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; font-weight: normal; line-height: 19.1875px; margin-bottom: 0.5em; margin-top: 0.4em; text-align: start;">
<a href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0c/FieldsMedalFront.jpg/250px-FieldsMedalFront.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0c/FieldsMedalFront.jpg/250px-FieldsMedalFront.jpg" height="191" width="200" /></a></div>
</h2>
Το Νόμπελ των μαθηματικών θεωρείται το μετάλλιο Φιλντς που θεσμοθετήθηκε στη δεκαετία του 1930 από τον καναδό μαθηματικό Τζον Φιλντς και περιλαμβάνει και αντίστοιχου ύψους χρηματικό έπαθλο με τα Νόμπελ. Θεωρείται η ύψιστη αναγνώριση για έναν μαθηματικό, και μόνο ένας, ο ιδιόρυθμος ερημίτης Ρώσος μαθηματικός Γκριγκόρι Πέλερμαν, που έλυσε μετά από εκατό χρόνια την υπόθεση του Πουανκαρέ στην αλγεβρική τοπολογία, αρνήθηκε και το βραβείο και τα χρήματα, αν και πάμφτωχος.<br />
Η απόδειξη από τον αινιγματικό ρώσο μαθηματικό Perelman Grigory, στην εδώ και εκατό χρόνια άλυτη Εικασία του Πουανκαρέ , προκάλεσε στον επιστημονικό κόσμο μια αίσθηση και όχι μόνο λόγω της δυσκολίας της εργασίας. Τον Αύγουστο του 2006, ο ρώσος Perelman έγινε το πρώτο πρόσωπο που αρνήθηκε το μετάλλιο Fields, την υψηλότερη τιμή στα μαθηματικά.<br />
Φαίνεται επίσης πιθανόν να αρνηθεί ένα βραβείο 1.000.000 δολαρίων που του προσφέρθηκε από ένα αμερικανικό Ίδρυμα Μαθηματικών, επειδή δεν θεωρεί τους κριτές άξιους να κρίνουν τον ίδιο. Ο Perelman λέγεται ότι περιφρονεί την αυτοδιαφήμιση και περιγράφεται ότι απομονώνεται από την υπόλοιπη μαθηματική κοινότητα.<br />
Κι όπως λέει ένας συνάδελφος του δεν ενδιαφέρεται για χρήματα. Το μεγάλο βραβείο για αυτόν ήταν να αποδείξει το θεώρημα.</span></h2>
<div align="justify">
<br /></div>
<h2 class="contentheading" style="text-align: justify;">
<em><span style="color: black;"><span style="color: blue;">Το Μουντιάλ των μαθηματικών. Χρυσό για το Έλληνα φοιτητή</span>.</span></em></h2>
<h2 class="contentheading" style="text-align: justify;">
<span style="color: black; font-size: small;">Ο Γιώργος Σακελλάρης από το Βόλο, τριτοετής φοιτητής του τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Αθηνών, κονταροχτυπήθηκε στον παγκόσμιο πανεπιστημιακό μαθηματικό διαγωνισμό με αριστούχους φοιτητές που σπουδάζουν στα μεγαλύτερα και καλύτερα πανεπιστήμια του κόσμου -ανάμεσα σ’ αυτά και το Χάρβαρντ- και κατάφερε να ανέβει στο πιο ψηλό σκαλί του βάθρου. Επικράτησε μεταξύ 480 αριστούχων από ολόκληρο τον κόσμο αποδεικνύοντας την αγάπη του για τα Μαθηματικά, στα οποία έδειξε ιδιαίτερη κλίση από τα πρώτα του μαθητικά χρόνια. Το Πανεπιστήμιο Αθηνών θα τον βραβεύσει για τη διάκρισή του σε ειδική εκδήλωση την Τετάρτη, παρουσία συγγενών, φίλων και συμφοιτητών του, που από την πρώτη στιγμή πίστεψαν στις δυνατότητές του και στάθηκαν στο πλευρό του.<br />
<br />
Εκτός όμως από τα Μαθηματικά, ο Γιώργος αγαπά και την μουσική: είναι απόφοιτος του Μουσικού Σχολείου Βόλου και παίζει πιάνο και κιθάρα, ενώ έχει πτυχίο στην αρμονία και δίπλωμα βυζαντινής μουσικής. Στον ελάχιστο ελεύθερο χρόνο που του απομένει φροντίζει να διασκεδάζει με φίλους του, όπως άλλωστε και όλα τα παιδιά της ηλικίας του. </span></h2>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div>
<span style="color: black; font-size: small;"><br /></span></div>
<div class="contentheading">
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>Πέντε μετάλλια και μια εύφημο μνεία στην Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα<br /><br />Βρισκόμαστε στην 25η θέση ανάμεσα σε 103 χώρες</b></span><br />
<h3 class="post-title entry-title" style="font-family: "trebuchet ms", trebuchet, sans-serif; margin: 0.75em 0px 0px; position: relative;">
</h3>
<div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="background-color: #9fc5e8;"><br /></span></div>
</div>
<br />
Ένα Χρυσό, ένα αργυρό, τρία Χάλκινα μετάλλια και μια εύφημο μνεία έφεραν οι Έλληνες Μαθητές από την 53η Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα, η οποία διοργανώθηκε στην πόλη Mar del Plata της Αργεντινής από τις 4 έως τις 16 Ιουλίου.<br />
<br />
Οι νικητές του διαγωνισμού είναι:<br />
Λώλας Παναγιώτης Χρυσό Μετάλλιο<br />
Δημάκης Παναγιώτης Αργυρό Μετάλλιο<br />
Μουσάτωβ Αλέξανδρος Χάλκινο Μετάλλιο<br />
Σκιαδόπουλος Αθηναγόρας Χάλκινο Μετάλλιο<br />
Τσίνας Κωνσταντίνος Χάλκινο Μετάλλιο<br />
Τσαμπασίδης Ζαχαρίας Εύφημη Μνεία<br />
<br />
<br />
<br />
<b><span style="color: blue;">12 ΧΡΟΝΟ ΕΛΛΗΝΟΠΟΥΛΟ ΣΑΡΩΣΕ ΣΤΗΝ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΟΥ ΕΓΙΝΕ ΣΤΗΝ ΤΟΥΡΚΙΑ!</span></b><br />
Αναρτήθηκε από τον/την <a href="http://olympia.gr/">olympiada</a> στο Ιουλίου 2, 2013<br />
<br />
<img height="320" src="https://lh3.googleusercontent.com/proxy/kQomou141ktydV1pFvQNKjbIR9ljE3dLjwjE5jNwF5DpYX0zKsgYXHGQ-lOOOk-CBx1FUjoz3TYja1ozv6q2QJV-Z24PaqqO6DAl5mYAVQ" width="240" /><br />
Υπεύθυνος: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΑΛΕΞΑΝΔΡΑ ΤΖΑΒΕΛΛΑ</div>
<div class="contentheading">
<br />
<div style="text-align: justify;">
«Ενα δυνατό μυαλό στα 20 του χρόνια μπορεί να ασχολείται με τα μαθηματικά, στα 30 με τη φιλοσοφία και στα 40 με την πολιτική». Για τους 12χρονους δεν είχε πει κάτι ο Βρετανός μαθηματικός και φιλόσοφος, Μπέρτραντ Ράσελ. Κι όμως ο Δημήτρης Μελάς, ο νεαρότερος Ελληνας που διακρίθηκε ποτέ σε Βαλκανική Ολυμπιάδα Μαθηματικών, είναι μαθητής της Στ’ Δημοτικού.</div>
<div style="text-align: justify;">
Δημήτρης Μελάς, ο νεαρότερος Ελληνας που διακρίθηκε ποτέ στη διοργάνωση Ηταν φαβορί</div>
<div style="text-align: justify;">
«Πήγα εκεί για να γράψω το καλύτερο και τα κατάφερα» δηλώνει στην «Ε» ο νεαρός Δημήτρης, άρτι αφιχθείς από την Τουρκία. Μπορεί ο ίδιος να λέει «δεν περίμενα ότι θα κερδίσω», όσοι τον ξέρουν, όμως, τον θεωρούσαν φαβορί. Τα τελευταία χρόνια, διακρίνεται συνεχώς σε διαγωνισμούς που απευθύνονται σε μαθητές Γυμνασίου, όντας ο ίδιος μαθητής Δημοτικού.</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="text-align: left;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="text-align: left;">Ο Κωνσταντίνος Τσίνας θα εκπροσωπήσει την Ελλάδα στην Διεθνή Ολυμπιακή Ομάδα Μαθηματικών στην Κολομβία</span></div>
Αρθρογράφος: trikalanews<br />
ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΝΗΜΕΡΩΣΗ 10:16<br />
<br />
<a href="http://static1.trikalanews.gr/assets/media/PICTURES/2012/trikala01/35015.jpg"><img src="https://lh5.googleusercontent.com/proxy/rAhy5kdKl9afX4AvTuo_IT2Wv2sqOChHZFoCy-tlr2P8ZhuamN9DE5HnO1i0XvKxtyVOFEr8YNhjfEaF1JGDIuaEbEt7mAmS9W70n8pTzUMiIBD1WPWCHit5DCWLDPl0NU4EzQuyTg" /></a><br />
<br />
Ο Κωνσταντίνος Τσίνας, μαθητής της Γ’ Τάξης του 1ου ΓΕΛ Τρικάλων προκρίθηκε σε όλες τις φάσεις των Πανελλήνιων Μαθητικών Διαγωνισμών στα Μαθηματικά για μαθητές Λυκείου που πραγματοποιήθηκαν κατά το σχολικό έτος 2012-13. <br />
Μετά την διάκρισή του στην 30η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα όπου κατέκτησε το Χρυσό Μετάλλιο, πέρασε 3ος στην τελική κατάταξη για την Εθνική Ολυμπιακή Ομάδα Μαθηματικών και θα εκπροσωπήσει την Ελλάδα μαζί με άλλους μαθητές στην 54η Διεθνή Ολυμπιάδα ( Ι.Μ.Ο) που θα πραγματοποιηθεί στην πόλη Santa Marta της Κολομβίας από 18 έως 28 Ιουλίου.<br />
<br />
<br />
<br />
<span style="color: blue;"><strong> <span style="font-size: large;"> 27η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα </span></strong></span><br />
<div class="article-content">
<div style="text-align: center;">
<strong><span style="color: blue; font-size: large;">Τέσσερα νέα Ελληνικά Μετάλλια <br />
στην 27η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα </span></strong></div>
</div>
<br /></div>
<div class="article-content">
<strong><br />
<span style="color: #cc0000;"></span></strong><br />
Ολοκληρώθηκε η <strong>27η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα</strong> που πραγματοποιήθηκε στη Μολδαβία από 2 έως 8 Μαΐου, με τη συμμετοχή των καλύτερων μαθητών της Νοτιοανατολικής Ευρώπης στα Μαθηματικά.<br />
<br />
Οι έλληνες μαθητές μέλη της ελληνικής ομάδας, συνεχίζοντας τη μεγάλη παράδοση των επιτυχιών των ελληνικών ομάδων στις Βαλκανικές και Διεθνείς Μαθηματικές Ολυμπιάδες, διακρίθηκαν σ΄ αυτή τη διοργάνωση. Συγκεκριμένα:<br />
<br />
<table align="center" border="0" style="width: 50%;"><tbody>
<tr><td><strong>Ταρατόρης Ευάγγελος</strong></td><td><strong>Αργυρό Μετάλλιο</strong></td></tr>
<tr><td><strong>Τσαμπασίδης Χάρης</strong></td><td><strong>Χάλκινο Μετάλλιο</strong></td></tr>
<tr><td><strong>Βλάχος Γεώργιος</strong></td><td><strong>Χάλκινο Μετάλλιο</strong></td></tr>
<tr><td><strong>Μπραζιτίκος Κωνσταντίνος</strong></td><td><strong>Χάλκινο Μετάλλιο</strong></td></tr>
</tbody></table>
<span style="color: blue;"> </span><br />
<br /></div>
<h2 class="contentheading">
<span style="color: blue;"></span> <span style="color: blue;">14η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα Νέων.</span></h2>
<div class="article-content">
<div style="text-align: left;">
<br />
Ολοκληρώθηκε η <strong>14η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα Νέων</strong> που πραγματοποιήθηκε στο Ramnicu Valcea της Ρουμανίας από 18 έως 22 Ιουνίου 2010 με τη συμμετοχή των καλύτερων μαθητών των χωρών της Νοτιοανατολικής Ευρώπης στα Μαθηματικά.</div>
<div style="text-align: left;">
<br />
Τέσσερις ακόμη έλληνες μαθητές, συνέχισαν τη μεγάλη παράδοση των επιτυχιών των ελληνικών ομάδων στις Βαλκανικές και Διεθνείς Μαθηματικές Ολυμπιάδες και διακρίθηκαν σ΄ αυτή τη διοργάνωση. Συγκεκριμένα:</div>
<table align="center" border="0" style="width: 100%;"><tbody>
<tr><td><strong>Λώλας Παναγιώτης</strong></td><td>Εκπ/ρια Τρικάλων Αθηνά</td><td><strong>Αργυρό Μετάλλιο</strong></td></tr>
<tr><td><strong>Κωνσταντινίδου Ειρήνη</strong></td><td>3ο Γυμνάσιο Θέρμης</td><td><strong>Χάλκινο Μετάλλιο</strong></td></tr>
<tr><td><strong>Μάλλιος Ελευθέριος</strong></td><td>1ο Γυμνάσιο Άρτας</td><td><strong>Χάλκινο Μετάλλιο</strong></td></tr>
<tr><td><strong>Σφακιανάκης Κων/νος</strong></td><td>2ο Γυμνάσιο Ηρακλείου</td><td><strong>Χάλκινο Μετάλλιο</strong></td></tr>
</tbody></table>
<div style="text-align: left;">
<br /></div>
</div>
<br />
<br />
<br />
<div id="ja-contentwrap">
<div id="ja-content">
<h3 class="post-title entry-title" style="font-family: Philosopher; font-size: 21px; margin: 0px; position: relative;">
<span style="background-color: orange; color: #990000;"><br /></span></h3>
<h3 class="post-title entry-title" style="font-family: Philosopher; font-size: 21px; margin: 0px; position: relative;">
<span style="background-color: orange; color: #990000;">36 Ασκήσεις Γεωμετρίας από Βαλκανικές Μαθηματικές Ολυμπιάδες</span></h3>
<h2 class="contentheading">
<div class="moduletable_menu" style="font-size: medium; font-weight: normal; text-align: justify;">
<div class="post-header" style="background-color: #ffe599; color: #38761d; font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, sans-serif; font-size: 14px; line-height: 1.6; margin: 0px 0px 1.5em; text-align: start;">
<div class="post-header-line-1">
</div>
</div>
<div class="post-body entry-content" id="post-body-3734627402630107448" style="background-color: #ffe599; color: #333333; font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, sans-serif; font-size: 16px; line-height: 1.4; position: relative; text-align: start; width: 458px;">
<div class="MsoNormal">
<b><span class="Apple-style-span" style="color: #0b5394;"> ΑΣΚΗΣΗ 1<sup>η</sup></span></b><br />
<div style="border: 1pt solid windowtext; padding: 1pt 4pt;">
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span style="font-family: "sylfaen" , serif;">Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ευθεία ε που διέρχεται από το έκκεντρο και τέμνει τον εγγεγραμμένο κύκλο στα σημεία Δ και Ε και τον περιγεγραμμένο κύκλο στα σημεία </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">F</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> και </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">G</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> (</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">D</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> ανάμεσα στα σημεία </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">F</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> και </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">G</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">). Να αποδείξετε ότι</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> (</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">DF</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">)(</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">EG</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">) >= ρ<sup>2</sup></span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">, όπου ρ η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου. Να εξετάσετε πότε ισχύει η </span><span class="Apple-style-span" style="font-family: "sylfaen" , serif;">ισότητα; </span></div>
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;"><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">3</span><sup><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">rd</span></sup><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;"> </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">Balkan</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;"> </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">Mathematical Olympiad </span></span><span lang="EN-GB" style="font-family: "sylfaen" , serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;">1986</span><span class="Apple-style-span" style="color: #00b050;"><o:p></o:p></span></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="color: #cc0000;">
<b><span style="color: #0070c0;"><br /></span></b>
<b><span style="color: #0070c0;">ΑΣΚΗΣΗ 2<sup>η</sup><o:p></o:p></span></b></div>
<div style="border: 1pt solid windowtext; padding: 1pt 4pt;">
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span style="font-family: "sylfaen" , serif;">Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και Ρ σημείο του επιπέδου του τριγώνου τέτοιο ώστε τα τρίγωνα ΡΑΒ, ΡΒΓ και ΡΓΑ να έχουν την ίδια περίμετρο και το ίδιο εμβαδόν. Να αποδείξετε ότι:<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span style="font-family: "sylfaen" , serif;">α) αν το σημείο Ρ είναι εσωτερικό σημείο του τριγώνου ΑΒΓ, τότε το τρίγωνο είναι ισόπλευρο<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span style="font-family: "sylfaen" , serif;">β) αν το σημείο Ρ είναι εξωτερικό σημείο του τριγώνου ΑΒΓ, τότε το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.<span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;"><o:p></o:p></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;"><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">3</span><sup><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">rd</span></sup><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;"> </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">Balkan</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;"> </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">Mathematical</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;"> </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">Olympiad</span></span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;"> 1986</span><span class="Apple-style-span" style="color: #00b050;"><o:p></o:p></span></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="color: #cc0000;">
<b><span style="color: #0070c0;"><br /></span></b>
<b style="line-height: 1.4;"><span style="color: #0070c0;">ΑΣΚΗΣΗ 3<sup>η</sup></span></b></div>
<div style="border: 1pt solid windowtext; padding: 1pt 4pt;">
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span style="font-family: "sylfaen" , serif;">Δύο κύκλοι Κ<sub>1</sub>, Κ<sub>2</sub> με κέντρα Ο<sub>1</sub>, Ο<sub>2</sub> και ακτίνες 1 και<span style="position: relative; top: 3pt;"><v:shapetype coordsize="21600,21600" filled="f" id="_x0000_t75" o:preferrelative="t" o:spt="75" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" stroked="f"><v:stroke joinstyle="miter"><v:formulas><v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0"><v:f eqn="sum @0 1 0"><v:f eqn="sum 0 0 @1"><v:f eqn="prod @2 1 2"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth"><v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @0 0 1"><v:f eqn="prod @6 1 2"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth"><v:f eqn="sum @8 21600 0"><v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight"><v:f eqn="sum @10 21600 0"></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:formulas><v:path gradientshapeok="t" o:connecttype="rect" o:extrusionok="f"><o:lock aspectratio="t" v:ext="edit"></o:lock></v:path></v:stroke></v:shapetype><v:shape id="_x0000_i1025" o:ole="" style="height: 17.25pt; width: 18.75pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata o:title="" src="file:///C:\Users\sok\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image001.wmz"></v:imagedata></v:shape></span>αντιστοίχως τέμνονται στα σημεία Α και Β. Έστω ΑΓ μία χορδή του κύκλου της οποίας το μέσο βρίσκεται στον κύκλο Κ<sub>1</sub>. Να βρεθεί το μήκος της χορδής ΑΓ.<span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;"><o:p></o:p></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;"><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">4</span><sup><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">th</span></sup><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;"> </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">Balkan</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;"> </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">Mathematical</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;"> </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">Olympiad</span></span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;"> 1987</span><span class="Apple-style-span" style="color: #00b050;"><o:p></o:p></span></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="color: #cc0000;">
<b><span style="color: #0070c0;"><br /></span></b>
<b><span style="color: #0070c0;">ΑΣΚΗΣΗ 4<sup>η</sup><o:p></o:p></span></b></div>
<div style="border: 1pt solid windowtext; padding: 1pt 4pt;">
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span style="font-family: "sylfaen" , serif;">Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ΓΗ, ΓΛ και ΓΜ είναι το ύψος, η διχοτόμος και η διάμεσος του τριγώνου. Αν ισχύει:</span><span class="Apple-style-span" style="font-family: "sylfaen" , serif;"> </span></div>
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://1.bp.blogspot.com/-Y0QNWqSWshA/TV_efdXYckI/AAAAAAAADYc/xwxvatlK_Qc/s1600/%25CE%25BF%25CE%25BF%25CE%25BF%25CE%25BF%25CE%25BF%25CE%25BF.png" imageanchor="1" style="color: #2a7700; margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-decoration: none;"><img border="0" src="https://1.bp.blogspot.com/-Y0QNWqSWshA/TV_efdXYckI/AAAAAAAADYc/xwxvatlK_Qc/s1600/%25CE%25BF%25CE%25BF%25CE%25BF%25CE%25BF%25CE%25BF%25CE%25BF.png" style="border: none; position: relative;" /></a></div>
<span class="Apple-style-span" style="font-family: "sylfaen" , serif;">να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;"><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">5</span><sup><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">th</span></sup><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">Balkan</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;"> </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">Mathematical</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;"> </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">Olympiad</span></span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;"> 1988</span><span class="Apple-style-span" style="color: #00b050;"><o:p></o:p></span></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="color: #cc0000;">
<b><span style="color: #0070c0;"><br /></span></b>
<b><span style="color: #0070c0;">ΑΣΚΗΣΗ 5<sup>η</sup><o:p></o:p></span></b></div>
<div style="border: 1pt solid windowtext; padding: 1pt 4pt;">
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span style="font-family: "sylfaen" , serif;">Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ε μία ευθεία που τέμνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Β<sub>1</sub> και Γ<sub>1</sub> αντιστοίχως , έτσι ώστε η κορυφή Α και το βαρύκεντρο </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">G</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> του τριγώνου να ανήκουν στο ίδιο ημιεπίπεδο που ορίζεται από την ευθεία<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> ε. Να αποδείξετε ότι</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> (ΒΒ<sub>1 </sub></span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">G</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">Γ<sub>1</sub>) + (ΓΓ<sub>1</sub></span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">G</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">Β<sub>1</sub>) >= <span style="position: relative; top: 12pt;"><v:shape id="_x0000_i1028" o:ole="" style="height: 30pt; width: 12pt;" type="#_x0000_t75"><v:imagedata o:title="" src="file:///C:\Users\sok\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image004.wmz"></v:imagedata></v:shape></span>(ΑΒΓ). </span><span class="Apple-style-span" style="font-family: "sylfaen" , serif;">Να εξετάσετε πότε ισχύει η ισότητα.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;"><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">6</span><sup><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">th</span></sup><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;"> </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">Balkan</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;"> </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">Mathematical</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;"> </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">Olympiad</span></span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;"> 1989</span><span class="Apple-style-span" style="color: #00b050;"><o:p></o:p></span></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="color: #cc0000;">
<b><span style="color: #0070c0;"><br /></span></b>
<b><span style="color: #0070c0;">ΑΣΚΗΣΗ 6<sup>η</sup><o:p></o:p></span></b></div>
<div style="border: 1pt solid windowtext; padding: 1pt 4pt;">
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span style="font-family: "sylfaen" , serif;">Έστω Α<sub>1</sub>Β<sub>1</sub>Γ<sub>1</sub> το ορθικό τρίγωνο ενός οξυγωνίου τριγώνου ΑΒΓ και Α<sub>2</sub> , Β<sub>2</sub> και Γ<sub>2</sub> τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο Α<sub>1</sub>Β<sub>1</sub>Γ<sub>1</sub> , με τις πλευρές του. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες του </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">Euler</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> των τριγώνων Α<sub>2</sub>Β<sub>2</sub>Γ<sub>2</sub> και ΑΒΓ ταυτίζονται.<span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;"><o:p></o:p></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;"><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">7</span><sup><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">th</span></sup><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;"> </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">Balkan</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;"> </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">Mathematical</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;"> </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">Olympiad</span></span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;"> 1990</span><span class="Apple-style-span" style="color: #00b050;"><o:p></o:p></span></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="color: #cc0000;">
<b><span style="color: #0070c0;"></span></b><br />
<a href="https://www.blogger.com/blogger.g?blogID=7730717435979339231" name="more"></a><b><span style="color: #0070c0;">ΑΣΚΗΣΗ 7<sup>η</sup><o:p></o:p></span></b></div>
<div style="border: 1pt solid windowtext; padding: 1pt 4pt;">
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span style="font-family: "sylfaen" , serif;">Έστω οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και Μ τυχαίο σημείο του τόξου ΑΒ (που δεν περιλαμβάνει το σημείο Γ) του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου .Από το σημείο Μ φέρουμε κάθετη στην ακτίνα ΟΑ που τέμνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Κ και Λ αντιστοίχως. Επίσης από το Μ φέρουμε κάθετη στην ακτίνα ΟΒ που τέμνει τις πλευρές ΑΒ και ΒΓ στα σημεία Ν και Ρ αντιστοίχως. Αν ΚΛ = ΜΝ, να αποδείξετε ότι: γωνΜΛΡ =γωνΓ.<span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;"><o:p></o:p></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;"><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">8</span><sup><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">th</span></sup><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">Balkan</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;"> </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">Mathematical</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;"> </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">Olympiad</span></span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;"> 1991</span><span class="Apple-style-span" style="color: #00b050;"><o:p></o:p></span></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="color: #cc0000;">
<b><span style="color: #0070c0;"><br /></span></b>
<b><span style="color: #0070c0;">ΑΣΚΗΣΗ 8<sup>η</sup><o:p></o:p></span></b></div>
<div style="border: 1pt solid windowtext; padding: 1pt 4pt;">
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span style="font-family: "sylfaen" , serif;">Έστω τρίγωνο </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">ABC</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> και </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">D</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">, Ε και </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">F</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> τυχαία σημεία των πλευρών του </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">BC</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">, </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">CA</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> και ΑΒ αντιστοίχως. Αν το τετράπλευρο Α</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">FD</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">Ε είναι εγγράψιμο σε κύκλο</span><span class="Apple-style-span" style="font-family: "sylfaen" , serif;"> </span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://3.bp.blogspot.com/-8_4Z4K583wQ/TV_ex_HbUiI/AAAAAAAADYg/sP8LkM4yhVY/s1600/%25CE%25BF%25CE%25BF%25CE%25BF%25CE%25BF%25CE%25BF%25CE%25BF.png" imageanchor="1" style="color: #2a7700; margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-decoration: none;"><img border="0" src="https://3.bp.blogspot.com/-8_4Z4K583wQ/TV_ex_HbUiI/AAAAAAAADYg/sP8LkM4yhVY/s1600/%25CE%25BF%25CE%25BF%25CE%25BF%25CE%25BF%25CE%25BF%25CE%25BF.png" style="border: none; position: relative;" /></a></div>
<span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;"><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">9th Balkan</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;"> </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">Mathematical</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;"> </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">Olympiad</span></span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;"> 1992</span></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="color: #cc0000;">
<b><span style="color: #0070c0;"><br /></span></b>
<b><span style="color: #0070c0;">ΑΣΚΗΣΗ 9<sup>η</sup><o:p></o:p></span></b></div>
<div style="border: 1pt solid windowtext; padding: 1pt 4pt;">
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span style="font-family: "sylfaen" , serif;">Οι κύκλοι </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">C</span><sub><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">1</span></sub><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">, </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">C</span><sub><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">2</span></sub><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> με κέντρα Ο<sub>1 </sub>, Ο<sub>2</sub> εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο Τ .Έστω ο κύκλος </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">C</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> με κέντρο Ο που εφάπτεται των κύκλων </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">C</span><sub><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">1</span></sub><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> και </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">C</span><sub><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">2</span></sub><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> στα σημεία Α και Β αντιστοίχως έτσι ώστε τα κέντρα Ο<sub>1</sub> και Ο<sub>2</sub> να βρίσκονται στο εσωτερικό του κύκλου </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">C</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">. Η κοινή εφαπτομένη των κύκλων </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">C</span><sub><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">1</span></sub><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> και </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">C</span><sub><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">2</span></sub><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> στο σημείο Τ τέμνει τον κύκλο </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">C</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> στα σημεία Κ και Λ .Αν Δ το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΚΛ, να αποδείξετε ότι : γωνΟ<sub>1</sub>ΟΟ<sub>2</sub> =γωνΑΔΒ. <span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;"><o:p></o:p></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;"><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">10</span><sup><span lang="EN-GB" style="font-family: "sylfaen" , serif;">th</span></sup><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">Balkan</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;"> </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">Mathematical</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;"> </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">Olympiad</span></span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;"> 1993</span><span class="Apple-style-span" style="color: #00b050;"><o:p></o:p></span></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="color: #cc0000;">
<b><span style="color: #0070c0;"><br /></span></b>
<b><span style="color: #0070c0;">ΑΣΚΗΣΗ 10<sup>η</sup><o:p></o:p></span></b></div>
<div style="border: 1pt solid windowtext; padding: 1pt 4pt;">
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span style="font-family: "sylfaen" , serif;">Έστω Α και Β τα σημεία τομής των πλευρών κύκλων </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">C</span><sub><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">1</span></sub><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">: (Ο<sub>1</sub>, ρ<sub>1</sub>) και </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">C</span><sub><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">2</span></sub><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> : (Ο<sub>2</sub>, ρ<sub>2</sub>) με ρ<sub>1</sub> < ρ<sub>2</sub> και γωνΟ<sub>1</sub>ΑΟ<sub>2</sub><span style="position: relative; top: 5pt;"> </span>= 90<sup>0</sup> . Η ευθεία Ο<sub>1</sub>Ο<sub>2</sub>τέμνει τον κύκλο </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">C</span><sub><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">1</span></sub><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> στα σημεία </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">C</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> και </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">D</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> και τον κύκλο </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">C</span><sub><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">2</span></sub><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> στα σημεία </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">E</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> και </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">F</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">. Το σημείο Ε βρίσκεται μεταξύ των σημείων </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">C</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> και</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">D</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> και το σημείο </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">D</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> μεταξύ των σημείων Ε και </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">F</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> . Η ΒΕ τέμνει τον κύκλο </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">C</span><sub><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">1</span></sub><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> στο σημείο Κ και την </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">AC</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> στο σημείο Μ, ενώ η </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">BD</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> τέμνει τον κύκλο </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">C</span><sub><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">2</span></sub><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> στο σημείο </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">L</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> και την </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">AF</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> στο Ν. </span><span class="Apple-style-span" style="font-family: "sylfaen" , serif;">Να αποδείξετε ότι:</span></div>
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://2.bp.blogspot.com/-M10gjME8Kgw/TV_fGQlL-tI/AAAAAAAADYk/6JqW5qeRVME/s1600/%25CE%25BF%25CE%25BF%25CE%25BF%25CE%25BF%25CE%25BF%25CE%25BF.png" imageanchor="1" style="color: #2a7700; margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-decoration: none;"><img border="0" src="https://2.bp.blogspot.com/-M10gjME8Kgw/TV_fGQlL-tI/AAAAAAAADYk/6JqW5qeRVME/s1600/%25CE%25BF%25CE%25BF%25CE%25BF%25CE%25BF%25CE%25BF%25CE%25BF.png" style="border: none; position: relative;" /></a></div>
<span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;">12th Balkan Mathematical Olympiad 1995</span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="color: #cc0000;">
<b><span style="color: #0070c0;"><br /></span></b>
<b><span style="color: #0070c0;">ΑΣΚΗΣΗ 11<sup>η</sup></span></b></div>
<div style="border: 1pt solid windowtext; padding: 1pt 4pt;">
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span style="font-family: "sylfaen" , serif;">Έστω κυρτό τετράπλευρο </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">ABC</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> με γων</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">ABC</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">+ γων</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">BCD</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;"> </span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">< 180<sup>0</sup> και Ε το σημείο τομής των ευθειών ΑΒ και </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">CD</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">. Να αποδείξετε ότι γων</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">ABC</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">=γων</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">ADC</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif; position: relative; top: 3pt;"> </span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">, αν και μόνο αν<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;"> AC<sup>2</sup> = (CD)(CE) – (AB)(AE). <span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;"><o:p></o:p></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;"><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">Bulgarian</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;"> </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">Mathematical</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;"> </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">Olympiad</span></span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;"> 1996</span><span class="Apple-style-span" style="color: #00b050;"><o:p></o:p></span></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="color: #cc0000;">
<b><span style="color: #0070c0;"><br /></span></b>
<b><span style="color: #0070c0;">ΑΣΚΗΣΗ 12<sup>η</sup><o:p></o:p></span></b></div>
<div style="border: 1pt solid windowtext; padding: 1pt 4pt;">
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span style="font-family: "sylfaen" , serif;">Δύο κύκλοι </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">C</span><sub><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">1</span></sub><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> και </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">C</span><sub><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">2</span></sub><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> με κέντρα Ο<sub>1</sub> και Ο<sub>2</sub> αντιστοίχως εφάπτονται εξωτερικά στο σημείο </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">C</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">. Ένας τρίτος κύκλος </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">C</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> με κέντρο </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">O</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> εφάπτεται εξωτερικά με τους κύκλους </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">C</span><sub><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">1</span></sub><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> και </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">C</span><sub><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">2</span></sub><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> στα σημεία </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">M</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> και </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">N</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> αντιστοίχως. Έστω </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">l</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> η κοινή εφαπτομένη των κύκλων </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">C</span><sub><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">1</span></sub><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> και </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">C</span><sub><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">2</span></sub><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> στο σημείο </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">C</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> και </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">AB</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> η διάμετρος του κύκλου </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">C</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">.</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">A</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">ν η ευθεία </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">l</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> είναι κάθετη στην ΑΒ (τα σημεία Ο<sub>1</sub> και Α ανήκουν στο ίδιο ημιεπίπεδο που ορίζεται από την ευθεία </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">l</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">), να αποδείξετε ότι οι ευθείες ΑΟ<sub>2</sub>, ΒΟ<sub>1</sub> και </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">l</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> διέρχονται από το ίδιο σημείο.<span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;"><o:p></o:p></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;">Bulgarian Mathematical Olympiad 1996 Round 3 </span><span class="Apple-style-span" style="color: #00b050;"> <o:p></o:p></span></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="color: #cc0000;">
<b><span style="color: #0070c0;"><br /></span></b>
<b><span style="color: #0070c0;">ΑΣΚΗΣΗ</span></b><b><span lang="EN-US" style="color: #0070c0;"> 13</span><sup><span style="color: #0070c0;">η</span></sup></b><b><span style="color: #0070c0;"><span lang="EN-US"><o:p></o:p></span></span></b></div>
<div style="border: 1pt solid windowtext; padding: 1pt 4pt;">
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span style="font-family: "sylfaen" , serif;">Έστω Ο και </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">G</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> το περίκεντρο και το κέντρο βάρους του τριγώνου ΑΒΓ αντιστοίχως. Αν </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">R</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου και ρ η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο ΑΒΓ, να αποδείξετε ότι:<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://3.bp.blogspot.com/-_YwAxTXGPvU/TV_felG8GtI/AAAAAAAADYo/OJOi_9vEYXk/s1600/%25CE%25BF%25CE%25BF%25CE%25BF%25CE%25BF%25CE%25BF%25CE%25BF.png" imageanchor="1" style="color: #2a7700; margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-decoration: none;"><img border="0" src="https://3.bp.blogspot.com/-_YwAxTXGPvU/TV_felG8GtI/AAAAAAAADYo/OJOi_9vEYXk/s1600/%25CE%25BF%25CE%25BF%25CE%25BF%25CE%25BF%25CE%25BF%25CE%25BF.png" style="border: none; position: relative;" /></a></div>
<span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000; font-family: "sylfaen" , serif;"><span class="Apple-style-span" style="font-size: xx-small;">13th</span> Balkan Mathematical Olympiad 1996</span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="color: #cc0000;">
<b><span style="color: #0070c0;"><br /></span></b>
<b><span style="color: #0070c0;">ΑΣΚΗΣΗ 14<sup>η</sup><o:p></o:p></span></b></div>
<div style="border: 1pt solid windowtext; padding: 1pt 4pt;">
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span style="font-family: "sylfaen" , serif;">Έστω </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">ABCDE</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> κυρτό πεντάγωνο και </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">M</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">, </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">N</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">, </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">P</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">, </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">Q</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">, </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">R</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> τα μέσα των πλευρών </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">AB</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">, </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">BC</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">, </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">CD</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">, </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">DE</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">, </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">EA</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> αντιστοίχως. Αν τα τμήματα </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">AP</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">,</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">BQ</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">, </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">CR</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">, </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">DM</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> διέρχονται από το ίδιο σημείο Ο, να αποδείξετε ότι και το ΕΝ διέρχεται από το σημείο Ο.<span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;"><o:p></o:p></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;"><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">13</span><sup><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">th</span></sup><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;"> </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">Balkan</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;"> </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">Mathematical</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;"> </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">Olympiad</span></span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;"> 1996</span><span class="Apple-style-span" style="color: #00b050;"><o:p></o:p></span></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="color: #cc0000;">
<b><span style="color: #0070c0;"><br /></span></b>
<b><span style="color: #0070c0;">ΑΣΚΗΣΗ 15<sup>η</sup><o:p></o:p></span></b></div>
<div style="border: 1pt solid windowtext; padding: 1pt 4pt;">
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span style="font-family: "sylfaen" , serif;">9 σημεία είναι τοποθετημένα μέσα σε ένα τετράγωνο πλευράς 1. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν 3 σημεία από αυτά τέτοια ώστε το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζουν να μην είναι μεγαλύτερο του 1/8<span style="position: relative; top: 12pt;"> </span>.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;">1<sup>st</sup> Balkan Junior Mathematical Olympiad </span></span><span lang="EN-GB" style="font-family: "sylfaen" , serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;">1997</span><span class="Apple-style-span" style="color: #00b050;"><o:p></o:p></span></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="color: #cc0000;">
<b><span style="color: #0070c0;"><br /></span></b>
<b><span style="color: #0070c0;">ΑΣΚΗΣΗ 16<sup>η</sup><o:p></o:p></span></b></div>
<div style="border: 1pt solid windowtext; padding: 1pt 4pt;">
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span style="font-family: "sylfaen" , serif;">Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και Ι το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου του. Αν Δ, Ε είναι τα μέσα των ΑΒ και ΑΓ και οι ΒΙ και ΓΙ τέμνουν την ΔΕ στα σημεία Κ και Λ αντιστοίχως, να αποδείξετε ότι:<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> ΑΙ + ΒΙ + ΓΙ > ΒΓ + ΚΛ .<span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;"><o:p></o:p></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;">1<sup>st</sup> Balkan Junior Mathematical Olympiad </span></span><span lang="EN-GB" style="font-family: "sylfaen" , serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;">1997</span><span class="Apple-style-span" style="color: #00b050;"><o:p></o:p></span></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="color: #cc0000;">
<b><span style="color: #0070c0;"><br /></span></b>
<b><span style="color: #0070c0;">ΑΣΚΗΣΗ 17<sup>η</sup><o:p></o:p></span></b></div>
<div style="border: 1pt solid windowtext; padding: 1pt 4pt;">
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span style="font-family: "sylfaen" , serif;">Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές α, β, γ και </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">R</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου. Αν ισχύει<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span style="font-family: "sylfaen" , serif;">α<span style="position: relative; top: 6pt;"><v:shape id="_x0000_i1032" o:ole="" style="height: 20.25pt; width: 27pt;" type="#_x0000_t75"> <v:imagedata o:title="" src="file:///C:\Users\sok\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image008.wmz"></v:imagedata></v:shape></span>= </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">R</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">(β + γ), </span><span class="Apple-style-span" style="font-family: "sylfaen" , serif;">να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ. </span></div>
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;">1<sup>st</sup> Balkan Junior Mathematical Olympiad </span></span><span lang="EN-GB" style="font-family: "sylfaen" , serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;">1997</span><span class="Apple-style-span" style="color: #00b050;"><o:p></o:p></span></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="color: #cc0000;">
<b><span style="color: #0070c0;"><br /></span></b>
<b><span style="color: #0070c0;">ΑΣΚΗΣΗ 18<sup>η</sup><o:p></o:p></span></b></div>
<div style="border: 1pt solid windowtext; padding: 1pt 4pt;">
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span style="font-family: "sylfaen" , serif;">Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒ</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">CD</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> και Ο εσωτερικό σημείο του τετραπλεύρου , τέτοιο ώστε:<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> ΟΑ<sup>2</sup> + ΟΒ<sup>2</sup> + Ο</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">C</span><sup><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">2</span></sup><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> + Ο</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">D</span><sup><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">2</span></sup><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> = 2Ε<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span style="font-family: "sylfaen" , serif;">όπου Ε το εμβαδόν του τετραπλεύρου ΑΒ</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">CD</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒ</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">CD</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> είναι τετράγωνο με κέντρο το σημείο Ο.<span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;"><o:p></o:p></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;"><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">14</span><sup><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">th</span></sup><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;"> </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">Balkan</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;"> </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">Mathematical</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;"> </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">Olympiad</span></span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;"> 1997</span><span class="Apple-style-span" style="color: #00b050;"><o:p></o:p></span></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="color: #cc0000;">
<b><span style="color: #0070c0;"><br /></span></b>
<b><span style="color: #0070c0;">ΑΣΚΗΣΗ 19<sup>η</sup><o:p></o:p></span></b></div>
<div style="border: 1pt solid windowtext; padding: 1pt 4pt;">
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span style="font-family: "sylfaen" , serif;">Έστω κυρτό πεντάγωνο ΑΒΓΔΕ με ΑΒ = ΑΕ = 1 και γων</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">ABC</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">=γων</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">DEA</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">= 90<sup>0</sup> και </span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">Β</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">C</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> + </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">D</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">Ε =1. Να βρεθεί το εμβαδόν του πενταγώνου .</span></div>
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;">2<sup>nd</sup> Balkan Junior Mathematical Olympiad </span></span><span lang="EN-GB" style="font-family: "sylfaen" , serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;">1998</span><span class="Apple-style-span" style="color: #00b050;"><o:p></o:p></span></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="color: #cc0000;">
<b><span style="color: #0070c0;"><br /></span></b>
<b><span style="color: #0070c0;">ΑΣΚΗΣΗ 20<sup>η</sup><o:p></o:p></span></b></div>
<div style="border: 1pt solid windowtext; padding: 1pt 4pt;">
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span style="font-family: "sylfaen" , serif;">Έστω τετράπλευρο </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">ABCD</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> τέτοιο ώστε </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">AD</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> = </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">CD</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> και γων</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">DAB</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">=γων</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">ABC</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif; position: relative; top: 3pt;"> </span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">< 90<sup>0</sup> . </span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">Η ευθεία που διέρχεται από το σημείο</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">D</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> και από το μέσο της πλευράς </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">BC</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> τέμνει την ευθεία ΑΒ στο σημείο Ε. Να αποδείξετε ότι γων</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">BEC</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">=γων</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">DAC</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif; position: relative; top: 3pt;"> </span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;">XLVII Bulgarian Mathematical Olympiad 1998 Round 3</span><span class="Apple-style-span" style="color: #00b050;"><o:p></o:p></span></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="color: #cc0000;">
<b><span style="color: #0070c0;"><br /></span></b>
<b><span style="color: #0070c0;">ΑΣΚΗΣΗ 21<sup>η</sup><o:p></o:p></span></b></div>
<div style="border: 1pt solid windowtext; padding: 1pt 4pt;">
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span style="font-family: "sylfaen" , serif;">Έστω κυρτό τετράπλευρο εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο, </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">R</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">), το Ο είναι εσωτερικό σημείο του τετραπλεύρου. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τετραπλεύρου του οποίου οι κορυφές είναι οι προβολές του σημείου τομής των διαγωνίων του στις πλευρές του τετραπλεύρου δεν μπορεί να ξεπεράσει το ½(</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">ABCD</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">)<span style="position: relative; top: 12pt;"> </span>.<span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;"><o:p></o:p></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;">Bulgarian Mathematical Olympiad 1999 Round 3 </span><span class="Apple-style-span" style="color: #00b050;"><o:p></o:p></span></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="color: #cc0000;">
<b><span style="color: #0070c0;"><br /></span></b>
<b><span style="color: #0070c0;">ΑΣΚΗΣΗ</span></b><b><span style="color: #0070c0;"> <span lang="EN-US">22</span></span><sup><span style="color: #0070c0;">η</span></sup></b><b><span style="color: #0070c0;"><span lang="EN-US"><o:p></o:p></span></span></b></div>
<div style="border: 1pt solid windowtext; padding: 1pt 4pt;">
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span style="font-family: "sylfaen" , serif;">Έστω οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">G</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> το βαρύκεντρο του. Από το</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">G</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> φέρουμε τις κάθετες </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">GM</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">, </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">GP</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> και </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">GN</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> προς στις πλευρές ΑΒ, ΑΓ και ΒΓ αντιστοίχως. </span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">Να</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> </span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">αποδείξετε</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> </span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">ότι</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">:</span></div>
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://3.bp.blogspot.com/-Da9N1qBiuhE/TV_fzkEUEJI/AAAAAAAADYs/ANlNs1lxCp4/s1600/%25CE%25BF%25CE%25BF%25CE%25BF%25CE%25BF%25CE%25BF%25CE%25BF.png" imageanchor="1" style="color: #2a7700; margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-decoration: none;"><img border="0" src="https://3.bp.blogspot.com/-Da9N1qBiuhE/TV_fzkEUEJI/AAAAAAAADYs/ANlNs1lxCp4/s1600/%25CE%25BF%25CE%25BF%25CE%25BF%25CE%25BF%25CE%25BF%25CE%25BF.png" style="border: none; position: relative;" /></a></div>
<span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000; font-family: "sylfaen" , serif;"><span class="Apple-style-span" style="font-size: xx-small;">16th</span> Balkan Mathematical Olympiad 1999</span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="color: #cc0000;">
<b><span style="color: #0070c0;"><br /></span></b>
<b><span style="color: #0070c0;">ΑΣΚΗΣΗ 23<sup>η</sup><o:p></o:p></span></b></div>
<div style="border: 1pt solid windowtext; padding: 1pt 4pt;">
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span style="font-family: "sylfaen" , serif;">Ένα ημικύκλιο με διάμετρο </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">EF</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> πάνω στην πλευρά </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">BC</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> ενός τριγώνου </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">ABC</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> εφάπτεται στις πλευρές ΑΒ και </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">AC</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> στα σημεία </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">Q</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">και </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">P</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> αντιστοίχως. Να αποδείξετε ότι το σημείο τομής Κ των ΕΡ και </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">FQ</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> βρίσκεται πάνω στο ύψος του τριγώνου </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">ABC</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> από την κορυφή </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">A</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">.<span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;"><o:p></o:p></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;"><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">4<sup>th</sup> </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;"> </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">Balkan Junior Mathematical Olympiad 2000</span></span><span lang="EN-US" style="color: #00b050; font-family: "sylfaen" , serif;"></span><span lang="EN-GB" style="color: #00b050; font-family: "sylfaen" , serif;"><o:p></o:p></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="color: #cc0000;">
<b><span style="color: #0070c0;"><br /></span></b>
<b><span style="color: #0070c0;">ΑΣΚΗΣΗ 24<sup>η</sup><o:p></o:p></span></b></div>
<div style="border: 1pt solid windowtext; padding: 1pt 4pt;">
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span style="font-family: "sylfaen" , serif;">Έστω τρίγωνο </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">ABC</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> εγγεγραμμένο σε κύκλο. Αν </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">D</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> το σημείο τομής της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">A</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> με την ευθεία</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">BC</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">, </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">E</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> το σημείο τομής της εφαπτόμενης του κύκλου στο σημείο</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">B</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> με την ευθεία </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">CA</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> και </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">F</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> το σημείο τομής της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">C</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> με την ευθεία </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">AB</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">, τότε να αποδείξετε ότι τα σημεία </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">D</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">, </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">E</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> και </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">F</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> είναι συνευθειακά.<span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;"><o:p></o:p></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;"><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">FYROM</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;"> </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">Mathematical</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;"> </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">Olympiad</span></span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;"> 2001</span><span class="Apple-style-span" style="color: #00b050;"><o:p></o:p></span></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="color: #cc0000;">
<b><span style="color: #0070c0;"><br /></span></b>
<b><span style="color: #0070c0;">ΑΣΚΗΣΗ 25<sup>η</sup><o:p></o:p></span></b></div>
<div style="border: 1pt solid windowtext; padding: 1pt 4pt;">
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span style="font-family: "sylfaen" , serif;">Έστω κυρτό πολύγωνο με 1415 πλευρές το οποίο έχει περίμετρο 2001. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν τρεις κορυφές του πολυγώνου που σχηματίζουν τρίγωνο με εμβαδόν μικρότερο του 1.<span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;"><o:p></o:p></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;">5<sup>th</sup> Balkan Junior Mathematical Olympiad </span></span><span lang="EN-GB" style="font-family: "sylfaen" , serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;">2001</span><span class="Apple-style-span" style="color: #00b050;"><o:p></o:p></span></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="color: #cc0000;">
<b><span style="color: #0070c0;"><br /></span></b>
<b><span style="color: #0070c0;">ΑΣΚΗΣΗ 26<sup>η</sup><o:p></o:p></span></b></div>
<div style="border: 1pt solid windowtext; padding: 1pt 4pt;">
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span style="font-family: "sylfaen" , serif;">Δύο κύκλοι με διαφορετικές ακτίνες τέμνονται στα σημεία Α και Β. Αν ΜΝ και </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">ST</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> είναι οι κοινές εφαπτόμενες των δύο κύκλων, όπου Μ, </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">S</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> ανήκουν στον ένα κύκλο και Ν, Τ ανήκουν στον άλλο, να αποδείξετε ότι τα ορθόκεντρα Η<sub>1</sub>, Η<sub>2</sub>, Η<sub>3</sub> και Η<sub>4</sub> των τριγώνων ΑΜΝ, </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">AST</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">, </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">BMN</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> και </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">BST</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> αντιστοίχως, είναι κορυφές ορθογωνίου.<span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;"><o:p></o:p></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;"><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">19</span><sup><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">th</span></sup><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;"> </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">Balkan</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;"> </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">Mathematical</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;"> </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">Olympiad</span></span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;"> 2002</span><span class="Apple-style-span" style="color: #00b050;"><o:p></o:p></span></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="color: #cc0000;">
<b><span style="color: #0070c0;"><br /></span></b>
<b><span style="color: #0070c0;">ΑΣΚΗΣΗ 27<sup>η</sup><o:p></o:p></span></b></div>
<div style="border: 1pt solid windowtext; padding: 1pt 4pt;">
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span class="postbody"><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">Έστω τρίγωνο </span></span><span class="postbody"><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">ABC</span></span><span class="postbody"><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> και τα σημεία </span></span><span class="postbody"><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">D</span></span><span class="postbody"><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> και </span></span><span class="postbody"><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">E</span></span><span class="postbody"><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> επί των ευθειών </span></span><span class="postbody"><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">CB</span></span><span class="postbody"><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">και </span></span><span class="postbody"><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">CA</span></span><span class="postbody"><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> τέτοια ώστε: <o:p></o:p></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span class="postbody"><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> </span></span><span class="postbody"><span lang="EN-GB" style="font-family: "sylfaen" , serif;">CD</span></span><span class="postbody"><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> = </span></span><span class="postbody"><span lang="EN-GB" style="font-family: "sylfaen" , serif;">CE</span></span><span class="postbody"><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> = ½ (</span></span><span class="postbody"><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">AC</span></span><span class="postbody"><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> +</span></span><span class="postbody"><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">BC</span></span><span class="postbody"><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">) .<o:p></o:p></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span class="postbody"><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">Αν Η είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου </span></span><span class="postbody"><span lang="EN-GB" style="font-family: "sylfaen" , serif;">A</span></span><span class="postbody"><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">BC</span></span><span class="postbody"><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> και </span></span><span class="postbody"><span lang="EN-GB" style="font-family: "sylfaen" , serif;">P</span></span><span class="postbody"><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> το μέσο του τόξου ΑΒ του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου Α</span></span><span class="postbody"><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">BC</span></span><span class="postbody"><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;"> </span></span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">, να αποδείξετε ότι η ευθεία </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">DE</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> διχοτομεί το ευθύγραμμο τμήμα </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">HP</span><span class="postbody"><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">.<span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;"><o:p></o:p></span></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;"><span class="gensmall"><span lang="EN-GB" style="font-family: "sylfaen" , serif;">Serbia and Monten</span></span><span class="gensmall"><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">e</span></span><span class="gensmall"><span lang="EN-GB" style="font-family: "sylfaen" , serif;">gro Mathematical Olympiad 2003 </span></span></span><span lang="EN-GB" style="color: #00b050; font-family: "sylfaen" , serif;"><o:p></o:p></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="color: #cc0000;">
<b><span style="color: #0070c0;"><br /></span></b>
<b><span style="color: #0070c0;">ΑΣΚΗΣΗ 28<sup>η</sup><o:p></o:p></span></b></div>
<div style="border: 1pt solid windowtext; padding: 1pt 4pt;">
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span style="font-family: "sylfaen" , serif;">Έστω τρίγωνο Α</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">BC</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> με </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">AB</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> ≠ </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">AC</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> και έστω </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">D</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> το σημείο τομής της εφαπτομένης του περιγεγραμμένου του κύκλου στο σημείο Α με την ευθεία </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">CB</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">. Αν Ε και </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">F</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> είναι σημεία των μεσοκαθέτων των πλευρών </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">AB</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> και </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">AC</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> τέτοια ώστε οι ΒΕ , </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">BC</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;"> </span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">κάθετες και </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">CF</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">, </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">BC</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;"></span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">επίσης κάθετες, να αποδείξετε ότι τα σημεία </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">D</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">, </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">E</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> και </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">F</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> είναι συνευθειακά. <span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;"><o:p></o:p></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;"><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">20</span><sup><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">th</span></sup><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;"> </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">Balkan</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;"> </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">Mathematical</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;"> </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">Olympiad</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;"> </span></span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;">2003</span><span class="Apple-style-span" style="color: #00b050;"><o:p></o:p></span></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="color: #cc0000;">
<b><span style="color: #0070c0;"><br /></span></b>
<b><span style="color: #0070c0;">ΑΣΚΗΣΗ 29<sup>η</sup><o:p></o:p></span></b></div>
<div style="border: 1pt solid windowtext; padding: 1pt 4pt;">
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span style="font-family: "sylfaen" , serif;">Έστω τρίγωνο </span><span lang="DE" style="font-family: "sylfaen" , serif;">ABC</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> και </span><span lang="DE" style="font-family: "sylfaen" , serif;">D</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> σημείο της πλευράς </span><span lang="DE" style="font-family: "sylfaen" , serif;">BC</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">. Αν </span><span lang="DE" style="font-family: "sylfaen" , serif;">E</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> και </span><span lang="DE" style="font-family: "sylfaen" , serif;">F</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">είναι τα ίχνη των καθέτων από το σημείο </span><span lang="DE" style="font-family: "sylfaen" , serif;">D</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> στις </span><span lang="DE" style="font-family: "sylfaen" , serif;">AB</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> και </span><span lang="DE" style="font-family: "sylfaen" , serif;">AC</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">αντιστοίχως και </span><span lang="DE" style="font-family: "sylfaen" , serif;">P</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> το σημείο τομής των ευθειών </span><span lang="DE" style="font-family: "sylfaen" , serif;">BF</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> και </span><span lang="DE" style="font-family: "sylfaen" , serif;">CE</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">, να αποδείξετε ότι το </span><span lang="DE" style="font-family: "sylfaen" , serif;">AP</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> είναι ύψος του τριγώνου </span><span lang="DE" style="font-family: "sylfaen" , serif;">ABC</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">, αν και μόνο αν η </span><span lang="DE" style="font-family: "sylfaen" , serif;">AD</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> είναι διχοτόμος του τριγώνου </span><span lang="DE" style="font-family: "sylfaen" , serif;">ABC</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">.<span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;"><o:p></o:p></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;">Romanian Junior Mathematical Olympiad 2004 </span><span class="Apple-style-span" style="color: #00b050;"><o:p></o:p></span></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="color: #cc0000;">
<b><span style="color: #0070c0;"><br /></span></b>
<b><span style="color: #0070c0;">ΑΣΚΗΣΗ</span></b><b><span style="color: #0070c0;"> <span lang="EN-US">30</span></span><sup><span style="color: #0070c0;">η</span></sup></b><b><span style="color: #0070c0;"><span lang="EN-US"><o:p></o:p></span></span></b></div>
<div style="border: 1pt solid windowtext; padding: 1pt 4pt;">
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span style="font-family: "sylfaen" , serif;">Έστω οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραμμένο σε κύκλο </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">C</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> .Η εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο Α τέμνει την προέκταση της πλευράς ΒΓ στο σημείο Ρ. Αν</span><span class="Apple-style-span" style="font-family: "sylfaen" , serif;"> Μ είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΡ, </span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">R</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> το σημείο τομής του ΜΒ με τον κύκλο και </span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">S</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> το σημείο τομής του </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">PR</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> με τον κύκλο (διαφορετικό από το </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">R</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">),</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">να</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"></span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">αποδείξετε</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> </span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">ότι</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> </span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">ΑΡ//RC.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;">9<sup>th</sup> Balkan Junior Mathematical Olympiad 2</span></span><span lang="EN-GB" style="font-family: "sylfaen" , serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;">005</span><span class="Apple-style-span" style="color: #00b050;"><o:p></o:p></span></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="color: #cc0000;">
<b><span style="color: #0070c0;"><br /></span></b>
<b><span style="color: #0070c0;">ΑΣΚΗΣΗ 31<sup>η</sup><o:p></o:p></span></b></div>
<div style="border: 1pt solid windowtext; padding: 1pt 4pt;">
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span style="font-family: "sylfaen" , serif;">Έστω παραλληλόγραμμο </span><span class="postbody"><span lang="EN-GB" style="font-family: "sylfaen" , serif;">ABCD</span></span><span class="postbody"><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> και Μ, Ν,</span></span><span class="postbody"><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">P</span></span><span class="postbody"><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> και </span></span><span class="postbody"><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">Q</span></span><span class="postbody"><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> τα μέσα των πλευρών του </span></span><span class="postbody"><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">AB</span></span><span class="postbody"><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">, </span></span><span class="postbody"><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">BC</span></span><span class="postbody"><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">, </span></span><span class="postbody"><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">CA</span></span><span class="postbody"><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> και </span></span><span class="postbody"><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">DA</span></span><span class="postbody"><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> αντιστοίχως. Αν ενώσουμε τις κορυφές του παραλληλογράμμου με τα σημεία Μ, Ν, </span></span><span class="postbody"><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">P</span></span><span class="postbody"><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> και </span></span><span class="postbody"><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">Q</span></span><span class="postbody"><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">τότε σχηματίζεται ένα οκτάγωνο , του οποίου να βρείτε το εμβαδόν συναρτήσει του εμβαδού του παραλληλογράμμου</span></span><span class="postbody"><span lang="EN-GB" style="font-family: "sylfaen" , serif;">ABCD</span></span><span class="postbody"><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">.</span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span class="gensmall"><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;">Albanian Mathematical Olympiad </span></span></span><span class="gensmall"><span lang="EN-GB" style="font-family: "sylfaen" , serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;">Selection Team Test 2005 </span><span class="Apple-style-span" style="color: #00b050;"><o:p></o:p></span></span></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="color: #cc0000;">
<b><span style="color: #0070c0;"><br /></span></b>
<b><span style="color: #0070c0;">ΑΣΚΗΣΗ 32<sup>η</sup><o:p></o:p></span></b></div>
<div style="border: 1pt solid windowtext; padding: 1pt 4pt;">
<div class="MsoNormal" style="border: none; color: #cc0000; padding: 0cm;">
<span style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;">Έστω δύο κύκλοι </span><span lang="EN-US" style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;">C</span><sub><span style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;">1</span></sub><span style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;"> , </span><span lang="EN-US" style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;">C</span><sub><span style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;">2</span></sub><span style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;"> που τέμνονται στα σημεία Α και Β. Η εφαπτομένη του κύκλου </span><span lang="EN-US" style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;">C</span><sub><span style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;">2</span></sub><span style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;"> στο σημείο Α τέμνει τον κύκλο </span><span lang="EN-US" style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;">C</span><sub><span style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;">1</span></sub><span style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;">στο σημείο </span><span lang="EN-US" style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;">C</span><span style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;"> και η εφαπτομένη του κύκλου </span><span lang="EN-US" style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;">C</span><sub><span style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;">1</span></sub><span style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;"> στο σημείο Α τέμνει τον κύκλο </span><span lang="EN-US" style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;">C</span><sub><span style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;">2</span></sub><span style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;"> στο σημείο </span><span lang="EN-US" style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;">D</span><span style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;">. </span><span lang="EN-US" style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;">M</span><span style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;">ία ευθεία από το σημείο Α στο εσωτερικό της γωνίας </span><span lang="EN-US" style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;">CAD</span><span lang="EN-US" style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif; position: relative; top: 3pt;"> </span><span style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;">τέμνει τους κύκλους </span><span lang="EN-US" style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;">C</span><sub><span style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;">1</span></sub><span style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;">, </span><span lang="EN-US" style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;">C</span><sub><span style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;">2</span></sub><span style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;"> στα σημεία Ν και Μ αντιστοίχως και τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου </span><span lang="EN-US" style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;">ACD</span><span style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;"> στο σημείο Ρ. Να αποδείξετε ότι ΑΜ = ΝΡ.</span><span class="postbody1"><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"><o:p></o:p></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;"><span lang="EN-GB" style="font-family: "sylfaen" , serif;">Romanian</span><span lang="EN-GB" style="font-family: "sylfaen" , serif;"> </span><span lang="EN-GB" style="font-family: "sylfaen" , serif;">J</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">unior </span><span lang="EN-GB" style="font-family: "sylfaen" , serif;">Mathematical</span><span lang="EN-GB" style="font-family: "sylfaen" , serif;"> </span><span lang="EN-GB" style="font-family: "sylfaen" , serif;">Olympiad</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;"> 2005</span></span><span class="postbody1" style="color: #cc0000;"><span lang="EN-US" style="color: #00b050; font-family: "sylfaen" , serif;"><o:p></o:p></span></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="color: #cc0000;">
<b><span style="color: #0070c0;"><br /></span></b>
<b><span style="color: #0070c0;">ΑΣΚΗΣΗ</span></b><b><span lang="EN-US" style="color: #0070c0;"> 33</span><sup><span style="color: #0070c0;">η</span></sup></b><b><span style="color: #0070c0;"><span lang="EN-US"><o:p></o:p></span></span></b></div>
<div style="border: 1pt solid windowtext; padding: 1pt 4pt;">
<div class="MsoNormal" style="border: none; color: #cc0000; padding: 0cm;">
<span style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;">Έστω τρίγωνο </span><span lang="EN-US" style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;">ABC</span><span style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;"> και Μ σημείο της πλευράς </span><span lang="EN-US" style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;">BC</span><span style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;"> τέτοιο ώστε</span><span lang="EN-US" style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;">BM</span><span style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;">:</span><span lang="EN-US" style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;">BC</span><span style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;"> = </span><span lang="EN-US" style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;">k</span><span lang="EN-US" style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif; position: relative; top: 12pt;"> </span><span style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;">, Ν σημείο της πλευράς </span><span lang="EN-US" style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;">CA</span><span style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;"> τέτοιο ώστε </span><span lang="EN-US" style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;">CN</span><span style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;">:</span><span lang="EN-US" style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;">CA</span><span style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;">=</span><span lang="EN-US" style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;">l</span><span style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;">(</span><span lang="EN-US" style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;">el</span><span style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;">) και Ρ σημείο της πλευράς ΑΒ τέτοιο ώστε </span><span lang="EN-US" style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;">AP</span><span style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;">:</span><span lang="EN-US" style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;">AB</span><span style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;"> =</span><span lang="EN-US" style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;">m</span><span style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;">. Αν </span><span lang="EN-US" style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;">D</span><span style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;"> είναι το σημείο τομής των </span><span lang="EN-US" style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;">AM</span><span style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;"> και </span><span lang="EN-US" style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;">BN</span><span style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;">, </span><span lang="EN-US" style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;">E</span><span style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;"> το σημείο τομής των </span><span lang="EN-US" style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;">BN</span><span style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;"> και</span><span lang="EN-US" style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;">CP</span><span style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;">, </span><span lang="EN-US" style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;">F</span><span style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;"> είναι το σημείο τομής των </span><span lang="EN-US" style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;">CP</span><span style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;"> και </span><span lang="EN-US" style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;">AM</span><span style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;"> και </span><span lang="EN-US" style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;">k</span><span style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;"> + </span><span lang="EN-US" style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;">l</span><span style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;"> + </span><span lang="EN-US" style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;">m</span><span style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;"> = 1, να αποδείξετε ότι:</span></div>
<div class="MsoNormal" style="border: none; line-height: 13.5pt; padding: 0cm;">
<span style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;"> </span><span lang="EN-US" style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;">(DEF</span><span lang="EN-GB" style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;">) =</span><span lang="EN-US" style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;"> (BMD) + (CNE) + (APF) .</span><span lang="EN-GB" style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;"> </span><br />
<span lang="EN-GB" style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;"></span><span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;"><span lang="EN-GB" style="font-family: "sylfaen" , serif;">Moldov</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">i</span><span lang="EN-GB" style="font-family: "sylfaen" , serif;">a</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">n Mathematical Olympiad </span><span lang="EN-GB" style="font-family: "sylfaen" , serif;">2005</span></span><span lang="EN-GB" style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;"><o:p></o:p></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="color: #cc0000;">
<b><span style="color: #0070c0;"><br /></span></b>
<b><span style="color: #0070c0;">ΑΣΚΗΣΗ 34<sup>η</sup></span></b><b><span style="color: #0070c0; font-family: "sylfaen" , serif;"><o:p></o:p></span></b></div>
<div style="border: 1pt solid windowtext; padding: 1pt 4pt;">
<div class="MsoNormal" style="border: none; color: #cc0000; padding: 0cm;">
<span style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;">Έστω </span><span lang="EN-US" style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;">G</span><span style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;"> το βαρύκεντρο τριγώνου </span><span lang="EN-US" style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;">ABC</span><span style="color: black; font-family: "sylfaen" , serif;"> .Να αποδείξετε ότι:<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<div class="separator" style="clear: both; color: #cc0000; text-align: center;">
<a href="http://1.bp.blogspot.com/-00iPAzFKGJY/TV_gIgOV79I/AAAAAAAADYw/SurNRLv6WuA/s1600/%25CE%25BF%25CE%25BF%25CE%25BF%25CE%25BF%25CE%25BF%25CE%25BF.png" imageanchor="1" style="color: #2a7700; margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-decoration: none;"><img border="0" src="https://1.bp.blogspot.com/-00iPAzFKGJY/TV_gIgOV79I/AAAAAAAADYw/SurNRLv6WuA/s1600/%25CE%25BF%25CE%25BF%25CE%25BF%25CE%25BF%25CE%25BF%25CE%25BF.png" style="border: none; position: relative;" /></a></div>
<span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;"><span lang="EN-GB" style="font-family: "sylfaen" , serif;">Serbia & </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">Montenegro</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;"> </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">Mathematical</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;"> </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">Olympiad</span></span><span lang="EN-GB" style="font-family: "sylfaen" , serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;"> 2005</span></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="color: #cc0000;">
<b><span style="color: #0070c0;"><br /></span></b>
<b><span style="color: #0070c0;">ΑΣΚΗΣΗ</span></b><b><span style="color: #0070c0;"> <span lang="EN-US">35</span></span><sup><span style="color: #0070c0;">η</span></sup></b><b><span style="color: #0070c0;"></span></b><b><span lang="EN-US" style="color: #0070c0; font-family: "sylfaen" , serif;"><o:p></o:p></span></b></div>
<div style="border: 1pt solid windowtext; padding: 1pt 4pt;">
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span class="postdetails1"><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">Έστω οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒ</span></span><span class="postdetails1"><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">C</span></span><span class="postdetails1"><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;"> </span></span><span class="postdetails1"><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">περιγεγραμμένο σε κύκλο και έστω </span></span><span class="postdetails1"><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">D</span></span><span class="postdetails1"><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> και </span></span><span class="postdetails1"><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">E</span></span><span class="postdetails1"><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> τα σημεία επαφής με τις πλευρές ΑΒ και </span></span><span class="postdetails1"><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">AC</span></span><span class="postdetails1"><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">αντιστοίχως. </span></span><span class="postbody1"><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">Αν Χ και </span></span><span class="postbody1"><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">Y</span></span><span class="postbody1"><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> είναι τα σημεία τομής των διχοτόμων των γωνιών </span></span><span class="postbody1"><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">C</span></span><span class="postbody1"><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;"> </span></span><span class="postbody1"><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">και </span></span><span class="postbody1"><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">B</span></span><span class="postbody1"><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">με την ευθεία </span></span><span class="postbody1"><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">DE</span></span><span class="postbody1"><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> και Ζ το μέσο της Β</span></span><span class="postbody1"><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">C</span></span><span class="postbody1"><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο Χ</span></span><span class="postbody1"><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">Y</span></span><span class="postbody1"><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">Ζ είναι ισόπλευρο, αν και μόνο αν </span></span><span class="postbody1"><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">γωνΑ</span></span><span class="postbody1"><span style="font-family: "sylfaen" , serif; position: relative; top: 2pt;"> </span></span><span class="postbody1"><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">= 60<sup>0</sup>.</span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;"><span lang="EN-GB" style="font-family: "sylfaen" , serif;">22</span><sup><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">th</span></sup><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;"> </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">Balkan</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;"> </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">Mathematical</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;"> </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">Olympiad</span><span lang="EN-GB" style="font-family: "sylfaen" , serif;"> 2005</span></span><span class="postbody1" style="color: #cc0000;"><span lang="EN-GB" style="color: #00b050; font-family: "sylfaen" , serif;"><o:p></o:p></span></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="color: #cc0000;">
<b><span style="color: #0070c0;"><br /></span></b>
<b><span style="color: #0070c0;">ΑΣΚΗΣΗ</span></b><b><span lang="EN-US" style="color: #0070c0;"> 36</span><sup><span style="color: #0070c0;">η</span></sup></b><b><span style="color: #0070c0;"></span></b><b><span lang="EN-US" style="color: #0070c0; font-family: "sylfaen" , serif;"><o:p></o:p></span></b></div>
<div style="border: 1pt solid windowtext; padding: 1pt 4pt;">
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span style="font-family: "sylfaen" , serif;">Έστω ισοσκελές τρίγωνο </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">ABC</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> (ΑΒ = </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">AC</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">) με γων</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">BAC</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif; position: relative; top: 3pt;"> </span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">< 60<sup>0</sup> και </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">D</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">,</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">E</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;"> </span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">εσωτερικά σημεία της πλευράς </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">AC</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">, τέτοια ώστε </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">EB</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> = </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">ED</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> και γων</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">ABD</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">= γων</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">CBE</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif; position: relative; top: 3pt;"> </span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">. Αν οι διχοτόμοι των γωνιών </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">ACB</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"> και </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">BDC</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">τέμνονται στο σημείο Ο, να υπολογίσετε τη γωνία </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">COD</span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;">.<span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;"><o:p></o:p></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="border: none; padding: 0cm;">
<span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;"><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">Balkan</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;"> </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">Mathematical</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;"> </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">Olympiad</span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;"> </span><span lang="EN-US" style="font-family: "sylfaen" , serif;">junior</span></span><span style="font-family: "sylfaen" , serif;"><span class="Apple-style-span" style="color: #cc0000;"> 2006 </span><span class="Apple-style-span" style="color: #00b050;"><o:p></o:p></span></span></div>
</div>
</div>
<div style="clear: both;">
</div>
</div>
<div class="post-footer" style="background-color: #ffe599; color: #38761d; font-family: 'Trebuchet MS', Trebuchet, sans-serif; font-size: 14px; line-height: 1.6; margin: 0.5em 0px 0px; text-align: start;">
<div class="post-footer-line post-footer-line-1">
<span class="post-author vcard" style="margin-left: 0px; margin-right: 1em;">Αναρτήθηκε από <span class="fn"><a href="http://www.blogger.com/profile/05364191669604847034" rel="author" style="color: #2a7700; text-decoration: none;" title="author profile">Σωκράτης Δ. Ρωμανίδης </a></span></span><span class="post-timestamp" style="margin-left: -1em; margin-right: 1em;">στις <a class="timestamp-link" href="http://eisatopon.blogspot.gr/2011/02/36.html" rel="bookmark" style="color: #2a7700; text-decoration: none;" title="permanent link"><abbr class="published" style="border: none;" title="2011-02-19T17:11:00+02:00">19.2.11</abbr></a> στο </span><span class="post-icons" style="margin-right: 1em;"><span class="item-action"></span></span><a href="http://eisatopon.blogspot.gr/2011/02/36.html" style="line-height: 1.6;">http://eisatopon.blogspot.gr/2011/02/36.html</a></div>
</div>
<br />
<span style="color: #990000;"><strong style="text-align: left;"><span style="font-size: large;"><br /></span></strong></span>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #990000;"><strong style="text-align: left;"><span style="font-size: large;"><span style="background-color: #9fc5e8;"><strong style="font-size: medium;"><span style="font-size: large;">Θέματα</span></strong><span style="font-size: large; font-weight: normal;"><strong> πολλών προηγούμενων ετών στις διεθνείς μαθηματικές ολυμπιάδες θα βρείτε :</strong><strong> <a href="http://www.telemath.gr/mathematical_competitions/international_mathematical_olympiads/imo.php">εδώ.</a> </strong></span></span></span></strong></span></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #990000;"><span style="font-size: large; text-align: left;"><strong style="background-color: #9fc5e8;"><br /></strong></span></span></div>
</div>
<div class="moduletable_menu" style="font-size: medium; font-weight: normal;">
</div>
</h2>
<h2 class="contentheading" style="text-align: justify;">
<span style="color: #990000;"><strong style="background-color: #9fc5e8;"><span style="font-size: large;">Προτεινόμενα θέματα για συμμετοχή σε ελληνικούς μαθηματικούς διγωνισμούς θα βρείτε στην ίδια ιστοσελίδα :</span><span style="font-size: small;"><a href="http://www.telemath.gr/mathematical_competitions/telemath_suggestions/tlm1_archive.php">εδώ.</a> </span></strong></span></h2>
<div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #990000;"><strong><span style="background-color: #9fc5e8; font-size: small;"><br /></span></strong></span></div>
</div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="background-color: #9fc5e8;"><br /></span></div>
<div class="contentheading" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; color: black; font-family: 'Times New Roman'; font-size: medium; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: justify; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #990000; font-size: large;"><b><a href="http://www.hms.gr/apothema/?s=sb&i=4" style="background-color: #9fc5e8;">Θέματα βαλκανικών Ολυμπιάδων με τις λύσεις τους από την Ε.Μ.Ε.</a></b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="background-color: #9fc5e8;"><br /></span></div>
<h2 class="contentheading" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; font-family: 'Times New Roman'; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: justify; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="background-color: #9fc5e8; color: #990000; font-size: large;">Θέματα και λύσεις προηγούμενων ετών του διαγωνισμού της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας <a href="http://www.hms.gr/index.php?option=com_content&view=article&id=88&Itemid=25">εδώ.</a></span></h2>
<h2 class="contentheading" style="-webkit-text-stroke-width: 0px; font-family: 'Times New Roman'; font-style: normal; font-variant: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: justify; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<span style="background-color: #cfe2f3; color: #990000;"><br /></span></h2>
</div>
<div>
<span style="background-color: #cfe2f3; color: #990000;"><br /></span></div>
<h2 class="contentheading">
<span style="color: blue; font-size: large;"><strong>3. O διαγωνισμός Kangaroo (Καγκουρό ).</strong></span></h2>
<div class="article-content">
<div style="margin-bottom: 0cm;">
<br />
<br />
<div align="left" class="style20 style21">
Ο διαγωνισμός διαρκεί 1 ώρα και 30 λεπτά και είναι σε μορφή ερωτήσεων πολλαπλής επιλογής. <br />
<br />
Τα θέματα είναι, γενικά, βατά και δεν απαιτούν ιδιαίτερες γνώσεις μαθηματικών. Η ύλη που διδάχθηκαν οι μαθητές στην τάξη τους αρκεί για να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις του διαγωνισμού, στο επίπεδο που διαγωνίζεται ο εκάστοτε μαθητής. <br />
<br />
Οι περισσότερες ερωτήσεις είναι πρωτότυπες ενώ πολλές διατυπώνονται με διασκεδαστικό τρόπο. <br />
<br />
Υπάρχουν πέντε διαφορετικά επίπεδα θεμάτων ανάλογα με την τάξη του μαθητή. Είναι ως εξής:<br />
<br />
Επίπεδο 1: απευθύνεται σε μαθητές της Γ΄ και Δ΄ τάξης Δημοτικού,<br />
Επίπεδο 2: απευθύνεται σε μαθητές της Ε΄ και Στ΄ τάξης Δημοτικού,<br />
Επίπεδο 3: απευθύνεται σε μαθητές της Α΄ και Β΄ τάξης Γυμνασίου,<br />
Επίπεδο 4: απευθύνεται σε μαθητές της Γ΄ Γυμνασίου και Α΄ τάξης Λυκείου.<br />
Επίπεδο 5: απευθύνεται σε μαθητές της Β΄ και Γ΄ τάξης Λυκείου.<br />
<br />
Οι μαθητές καλούνται να απαντήσουν σε 30 ερωτήσεις (εκτός από το Επίπεδο 1 όπου οι ερωτήσεις είναι 24) κλιμακούμενης δυσκολίας. <br />
<br />
Οι πρώτες 10 ερωτήσεις (8 στη περίπτωση του Επιπέδου 1) είναι ιδιαίτερα εύκολες και βαθμολογούνται από 3 μονάδες η καθεμία. <br />
Οι επόμενες 10 ερωτήσεις (8 στη περίπτωση του Επιπέδου 1) είναι επίσης αρκετά εύκολες και βαθμολογούνται από 4 μονάδες η καθεμία.<br />
Οι τελευταίες 10 ερωτήσεις (8 στη περίπτωση του Επιπέδου 1) είναι κατά τι δυσκολότερες, χωρίς να είναι δύσκολες, και βαθμολογούνται από 5 μονάδες η καθεμία. <br />
<br />
Υπάρχει αρνητική βαθμολογία μίας μονάδας για κάθε εσφαλμένη απάντηση. Οι ερωτήσεις που αφήνονται αναπάντητες, δεν βαθμολογούνται. </div>
<div align="left" class="style20 style21">
<br /></div>
<div align="left" class="style20 style21">
Τα θέματα προβάλλουν στην εφαρμογή των μαθηματικών στην καθημερινή ανθρώπινη δραστηριότητα.<br />
<br />
Το Υπουργείο Παιδείας ενθαρρύνει τους μαθητές να συμμετέχουν σ΄ αυτό το διαγωνισμό και εκδίδει κάθε χρόνο σχετική εγκύκλιο προς τα σχολεία της χώρας.<br />
<br /></div>
<div align="left" class="style20 style21">
<br />
<table align="center" border="4" bordercolor="red"><tbody>
<tr><th>Ο επόμενος διαγωνισμός Καγκουρό θα διεξαχθεί το<span style="color: #990000;"> </span><a href="http://www.blogger.com/" style="color: yellow;"><span style="color: #990000;">Σάββατο 19 Μαρτίου 2011</span></a> στις 09.00 το πρωί. </th></tr>
</tbody></table>
<br />
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><strong>Η ιστοσελίδα του διαγωνισμού είναι η :</strong></span><span style="font-size: large;"> </span><a href="http://www.kangaroo.gr/"><span style="background-color: #ffe599; color: #cc0000;"><strong>http://www.kangaroo.gr/</strong></span></a></div>
<div align="left" class="style20 style21">
<span style="color: blue; font-size: large;"><strong>Δείγματα παλαιότερων θεμάτων θα βρείτε <a href="http://www.kangaroo.gr/previous.html"><span style="background-color: yellow; color: #cc0000;">εδώ.</span></a></strong></span></div>
<div align="left" class="style20 style21">
<br />
<br /></div>
</div>
</div>
<strong><span style="color: #990000; font-size: large;">Ενδεικτικά θα παρουσιάσω μερικά θέματα για να φανεί η φιλοσοφία τους :</span></strong><br />
<br />
<br />
1) Σε ένα ίσιο μονοπάτι φύτεψαν τριανταφυλλιές και από τις δύο πλευρές του. Η κάθε τριανταφυλλιά ήταν 2 μέτρα μακριά από τις διπλανές της. Αν το μονοπάτι είναι 20 μέτρα μήκος, πόσες τριανταφυλλιές φύτεψαν; A) 22 B) 20 Γ) 12 Δ) 11 E) 10<br />
<br />
2) Αν ο x είναι ακέραιος αριθμός μικρότερος του 0, ποιος από τους ακόλουθους είναι ο πιο μεγάλος; A) x +1 B) 2x Γ) −2x Δ) 6x +2 E) x − 2 <br />
<br />
3) Ένας περιηγητής περπάτησε για 2 ώρες μια διαδρομή που είχε την εξής μορφή: πρώτα ένα επίπεδο τμήμα, μετά ένα ανηφορικό και τέλος επιστροφή (πρώτα κατηφορίζοντας και μετά το επίπεδο τμήμα). Η ταχύτητά του ήταν 4 χλμ. ανά ώρα στο επίπεδο τμήμα, 3 χλμ. ανά ώρα στο ανηφορικό και 6 χλμ. ανά ώρα στο κατηφορικό. Πόσο είναι το μήκος της διαδρομής; <br />
Α) Δεν μπορούμε να συμπεράνουμε τίποτα , Β) 6 χλμ , Γ) 7,5 χλμ Δ) 8χλμ Ε) 10 χλμ<br />
<br />
<span style="color: blue;"><b>(Θέματα Α και Β γυμνασίου 2007) </b></span><br />
<br />
1) Ένας διεθνής οργανισμός έχει 32 μέλη. Κάθε χρόνο το πλήθος των μελών αυξάνει κατά 50% σε σύγκριση με την προηγούμενη χρονιά. Πόσα μέλη θα έχει ο οργανισμός σε τρία χρόνια; <br />
<br />
<br />
A) 182 B) 128 Γ) 108 Δ) 96 E) 80</div>
<div id="ja-content">
<br />
<div align="justify" style="text-align: justify;">
2) Δύο σχολεία παίρνουν μέρος στο ενδοσχολικό πρωτάθλημα πιγκ-πογκ. Κάθε σχολείο έχει από 5 αθλητές. Σε κάθε ματς παίζουν δύο αθλητές του ενός σχολείου εναντίον δύο αθλητών του άλλου σχολείου, και αυτό γίνεται με όλους τους δυνατούς τρόπους. Κάθε ζευγάρι από το ένα σχολείο αντιμετωπίζει κάθε ζευγάρι του άλλου σχολείου ακριβώς μία φορά. Σε πόσα ματς θα παίξει ο κάθε μαθητής; <br />
<br />
A) σε 10 ματς B) σε 20 ματς Γ) σε 30 ματς Δ) σε 40 ματς E) σε 50 ματς <br />
<br />
3) Σε ένα χωριό οι κάτοικοι έχουν ανά δύο διαφορετικό αριθμό από τρίχες στα μαλλιά του κεφαλιών τους (μπορεί να είναι και μηδέν). Κανένας δεν έχει ακριβώς 2007 τρίχες. Από όλους τους κατοίκους του χωριού, ο Γιάννης έχει τον μεγαλύτερο αριθμό από τρίχες στα μαλλιά του. Οι κάτοικοι του χωριού είναι περισσότεροι από τον αριθμό τριχών που έχει στα μαλλιά του ο Γιάννης. Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός κατοίκων που μπορεί να έχει το χωριό; <br />
<br />
A) 1 B) 2006 Γ) 2007 Δ) 2008 E) 2009 <br />
<br />
<span style="color: blue;"><b> ( Θέματα γ΄ γυμνασίου και Α΄λυκείου 2007)</b></span></div>
<br />
<br />
1) Στις εισαγωγικές εξετάσεις ενός Πανεπιστημίου, οι υποψήφιοι πρέπει να απαντήσουν σωστά σε τουλάχιστον 80% των ερωτήσεων. Μέχρι τώρα ο Πέτρος έχει ασχοληθεί με 15 ερωτήσεις. Δεν ήξερε τις απαντήσεις σε 5 από αυτές ενώ είναι βέβαιος ότι απάντησε σωστά στις υπόλοιπες 10. Αν απαντήσει σωστά όλες τις ερωτήσεις με τις οποίες δεν έχει ασχοληθεί ακόμη, τότε ο τελικός του βαθμός θα είναι ακριβώς 80%. Πόσες ερωτήσεις έχει το διαγώνισμα; <br />
<br />
A) 20 Β) 25 Γ) 30 Δ) 35 E) 40<br />
<br />
2) Δίνεται ένα τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς μήκους 1. Σχεδιάζουμε όλα τα δυνατά τετράγωνα τα οποία έχουν τουλάχιστον δύο κοινές κορυφές με το ΑΒΓΔ. Τότε το εμβαδόν της περιοχής που καλύπτεται από ένα ή περισσότερα από αυτά τα τετράγωνα είναι : A) 5 B) 6 Γ) 7 Δ) 8 E) 9 <br />
<br />
3) Ένα νησί κατοικείται από ιππότες και από κανίβαλους. Κάθε ιππότης λέει πάντα την αλήθεια και κάθε κανίβαλος λέει πάντα ψέματα. Κάποτε ζητήθηκε από έναν κάτοικο, που λεγόταν Α, να δώσει πληροφορίες για τον εαυτό του καθώς και για έναν δεύτερο κάτοικο του νησιού, που λεγόταν Β. Εκείνος απάντησε ότι τουλάχιστον ένας από τους Α και Β είναι ψεύτης. Ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις είναι αληθής; <br />
Α) Ο A δεν έχει την δυνατότητα να ισχυριστεί όσα είπε <br />
Β) Και οι δύο είναι ψεύτες. <br />
Γ) Και οι δύο είναι ιππότες. <br />
Δ) Ο A είναι ψεύτης και ο B είναι ιππότης. Ε) Ο B είναι ψεύτης και ο Α είναι ιππότης. <br />
<br />
4) Σε ένα χρηματοκιβώτιο υπάρχουν μερικά περιδέραια (τουλάχιστον δύο). Όλα τα περιδέραια έχουν το ίδιο πλήθος από διαμάντια (τουλάχιστον δύο) και το συνολικό πλήθος των διαμαντιών στο χρηματοκιβώτιο είναι πάνω από 200 αλλά κάτω από 300. Αν μας έλεγε κανείς το ακριβές πλήθος των διαμαντιών στο χρηματοκιβώτιο, τότε θα μπορούσαμε να συμπεράνουμε, χωρίς καμία αμφιβολία, και το ακριβές πλήθος των περιδέραιων. Πόσα είναι τα περιδέραια στο χρηματοκιβώτιο; <br />
<br />
A) 16 Β) 17 Γ) 19 Δ) 25 E) άλλη απάντηση <br />
<br />
<span style="color: blue;"><b>( Θέματα Β΄και Γ΄Λυκείου 2007)</b></span><br />
<div align="justify" style="text-align: justify;">
<div align="justify">
<div align="justify">
<div align="justify">
<div align="justify">
<div align="justify">
<br />
<br />
<br /></div>
</div>
</div>
</div>
</div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<strong><span style="color: blue; font-size: large;">4. Ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ PISA TOY OOSA.</span></strong></div>
</div>
</div>
<div class="moduletable_menu" style="text-align: justify;">
Πρόκειται για το παγκόσμιο διαγωνισμό Μαθηματικών <span class="highlight"><strong><span style="color: red;">PISA</span></strong></span> που διεξάγει ο ΟΟΣΑ σε 30 χώρες συμπεριλαμβανομένης και της Ελλάδας. Στα πλαίσια του διαγωνισμού PISA διεξάγεται στατιστική έρευνα που έχει σαν στόχο να βαθμολογήσει το επίπεδο της μαθηματικής παιδείας στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση σε κάθε χώρα χωριστά. Ο διαγωνισμός γίνεται κάθε τρία χρόνια. Τελευταία έγινε το έτος 2000 και συμμετείχε δειγματικός αριθμός Ελληνικών Σχολείων. <br />
<br />
<div class="moduletable_menu" style="text-align: justify;">
Δείγματα των θεμάτων του διαγωνισμού PISA θα βρείτε στο ιστολόγιο :<br />
<a href="http://blogs.sch.gr/mchalkou-p/2009/01/23/290/">http://blogs.sch.gr/mchalkou-p/2009/01/23/290/</a><br />
<br />
<br /></div>
<br />
<span style="color: blue;"><strong>Οι παραπάνω διαγωνισμοί είναι εγκεκριμμένοι από το ελληνικό Υπουργείο Παιδείας και διεξάγονται στην χώρα μας υπό την εποπτεία και οργάνωσή του.</strong></span><br />
<strong style="text-align: left;"><span style="color: blue;"><span style="font-size: large;"><span style="background-color: #cfe2f3;"><br /></span></span></span></strong>
</div>
<div class="moduletable_menu" style="text-align: justify;">
<span style="background-color: #cfe2f3;"><br /></span>
</div>
<div class="moduletable_menu" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="moduletable_menu" style="text-align: justify;">
<strong><span style="color: blue; font-size: large;">ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΕΡΙΟΔΙΚΑ ΤΗΣ Ε.Μ.Ε</span></strong></div>
<div class="moduletable_menu" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="moduletable_menu" style="text-align: justify;">
Η ελληνική μαθηματική εταιρεία εδώ και πολλά χρόνια εκδίδει μαθηματικά περιοδικά για μαθητές γυμνασίου και λυκείου. Η θεματική των περιοδικών αυτών περιέχει ασκήσεις από την ύλη του μαθήματος αλλά και σύγρονες εξελίξεις στην επιστήμη των μαθηματικών καθώς και στοιχεία από τη διδακτική τους , την ιστορία , την Παιδαγωγική , την ψυχολογία. Επίσης αναδεικνύονται εφαρμογές από την πληροφορική , διασκεδαστικά μαθηματικά , η μαγεία των αριθμών , έξυπνες ασκήσεις που απαιτούν ευρηματικότητα , σπαζοκεφαλιές , η άσκηση του μήνα κ.α.</div>
<div class="moduletable_menu" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="moduletable_menu" style="text-align: justify;">
Εκδίδονται τριών ειδών περιοδικά </div>
<div class="moduletable_menu" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="moduletable_menu" style="text-align: justify;">
<span style="color: blue;"><strong><em>α. Ο μικρός Ευκλείδης ( για μαθητές δημοτικού)</em></strong></span></div>
<div class="moduletable_menu" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="moduletable_menu" style="text-align: justify;">
<span style="color: blue;"><strong><em>β. Ευκλείδης α΄ ( για μαθητές γυμνασίου)</em></strong></span></div>
<div class="moduletable_menu" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="moduletable_menu" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="moduletable_menu" style="text-align: justify;">
<span style="color: blue;"><strong><em>γ. Ευκλείδης Β ( για μαθητές λυκείου).</em></strong></span></div>
<div class="moduletable_menu" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="moduletable_menu" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="moduletable_menu" style="text-align: justify;">
<strong><em><span style="color: blue;"></span></em></strong></div>
<div class="moduletable_menu" style="text-align: justify;">
<span style="color: blue;"><strong><em>Υπάρχει βέβαια και ο Ευκλείδης γ για μαθηματικούς.</em></strong></span></div>
<div class="moduletable_menu" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="moduletable_menu" style="text-align: justify;">
<span style="color: #990000;"><strong>Τα παραπάνω περιοδικά τυγχάνουν της έγκρισης του Υπουργείου Παιδείας.</strong></span></div>
<div class="moduletable_menu" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="moduletable_menu" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="moduletable_menu" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="moduletable_menu" style="text-align: justify;">
<span style="color: blue;"><strong>1. Πληροφορίες για τα περιοδικά της Ε.Μ.Ε , τιμοκατάλογος και τρόποι παραγγελίας <a href="http://www.didefth.gr/docs/pub_hms.pdf"><span style="background-color: yellow; color: #cc0000;">εδώ.</span></a></strong></span></div>
<div class="moduletable_menu" style="text-align: justify;">
<span style="color: blue;"><strong>2. Πλήρη ύλη από τεύχη των περιοδικών "Ευκλείδης" </strong></span><br />
<span style="color: blue;"><strong> κι όχι μόνο παρελθόντων ετών για </strong></span><span style="color: blue;"><strong>ηλεκτρονικό διάβασμα <a href="http://www.hms.gr/apothema/?s=sms"><span style="background-color: yellow; color: #cc0000;">εδώ.</span></a></strong></span><br />
<strong><span style="color: blue;"></span></strong></div>
<br />
<br />
<br />
<div class="moduletable_menu" style="text-align: justify;">
<span style="color: blue;"><strong>Άλλη έκδοση της Ε.Μ.Ε είναι η : " ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΝΗΜΕΡΩΣΗ ".</strong></span><br />
<span style="color: blue;"><strong><br /></strong></span></div>
<div class="moduletable_menu" style="text-align: justify;">
Αρχείο τευχών του περιοδικού θα βρείτε στην διεύθυνση : <a href="http://www.hms.gr/node/322">www.hms.gr/node/322</a></div>
<div class="moduletable_menu" style="text-align: justify;">
<br />
<br />
<h2 class="art-postheader">
<a href="http://www.hms.gr/node/156" jquery1333972244807="33" title="Αστρολάβος"><span style="color: #990000;">Αστρολάβος</span></a></h2>
<div class="art-postcontent">
Περιοδική έκδοση του Κέντρου Μαθηματικού & Εκπαιδευτικού Λογισμικού (ΚΜΕΛ) </div>
Αρχείο τευχών του θα βρείτε στην διεύθυνση : <a href="http://www.hms.gr/node/156">www.hms.gr/node/156</a><br />
<br />
<br />
<br />
<span style="font-size: large;"><span style="color: #990000;"><strong>" Απολλώνιος " : περιοδική έκδοση του παραρτήματος Ημαθίας Ε.Μ.Ε</strong></span>.</span><br />
<span style="font-size: large;"><br />
</span><img class="CSS_LIGHTBOX_SCALED_IMAGE_IMG" closure_uid_qq2wo="41" height="320" src="https://3.bp.blogspot.com/-SoBfvyfOCp0/Tb8MXnF6CdI/AAAAAAAAATU/W8AJGrCBVtE/s320/apolonios+1.jpg" style="height: 358px; width: 253px;" width="226" /><br />
<br />
Στην διεύθυνση : <a href="http://lisari.blogspot.com/2011/05/blog-post_2400.html">http://lisari.blogspot.com/2011/05/blog-post_2400.html</a> θα βρείτε σε ηλεκτρονική μορφή τα 4 πρώτα τεύχη του καθώς και πληροφορίες γαι την ύλη του και την συντακτική του επιτροπή.<br />
<br />
<br />
<strong style="color: #990000; font-size: x-large;"><br /></strong>
<strong style="color: #990000; font-size: x-large;">"Μαθηματικό Βήμα" : Έκδοση της κυπριακής Μαθηματικής Εταιρείας.</strong><br />
<br />
Η Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία έχει προβεί στην έκδοση ενδιαφέροντος περιοδικού με τίτλο : " Μαθηματικό Βήμα". Μπορείτε να διαβάσετε ηλεκτρονικά ορισμένα τεύχη του κάνοντας κλικ : <strong><span style="background-color: #f1c232; color: #990000; font-size: large;"><a href="http://www.enallax.com/PHP/all/exams.php?sortfield=exams.%60FROM%60&sortby=ASC&search_fd2=%C2%C7%CC%C1">εδώ.</a></span></strong><br />
<strong><span style="background-color: #f1c232; color: #990000; font-size: large;"></span></strong></div>
<div class="moduletable_menu" style="text-align: justify;">
<strong><span style="background-color: #f1c232; color: #990000; font-size: large;"><br />
</span></strong><span style="color: #cc0000; font-size: large;"> <strong>Ηλεκτρονικό περιοδικό : " Όπερ Έδει δείξε"</strong></span><br />
<br />
<span style="color: black;">Τελευταία εμφανίζονται στο διαδίκτυο και ηλεκτρονικά περιοδικά με μαθηματικό περιοεχόμενο.Ένα τέτοιο είναι το : " Όπερ Έδει Δείξαι " των μαθηματικών Γιάννη Απλακίδη και Νίκου Ζανταρίδη. Μπορείτε να το βρείτε στην ηλεκτρονική διεύθυνση <a href="http://www.operedidixe.gr/">:http://www.operedidixe.gr</a>/</span>.<br />
<br />
<br />
<br />
<h2 class="art-PostHeader">
<span style="color: #990000;"><em>Περιοδικό Quantum </em></span></h2>
Το <em>Quantun</em> έκλεισε την πρώτη περίοδο κυκλοφορίας του στα ελληνικά τον Αύγουστο του 2001.<br />
<br />
• Ένα από τα πλέον έγκυρα διεθνή εκπαιδευτικά/επιστημονικά περιοδικά, προσέφερε επί 8 χρόνια μέσα από τις σελίδες του την τεκμηριωμένη γνώση, αποκαλύπτοντας στο ελληνικό κοινό τη γοητεία των φυσικών επιστημών και των μαθηματικών. <br />
<br />
• Συνολικά κυκλοφόρησαν 44 τεύχη. Για όσο χρόνο θα υπάρχουν διαθέσιμα αντίτυπά τους, μπορείτε να τα προμηθεύεστε από το παρόν ηλεκτρονικό κατάστημα, από το βιβλιοπωλείο ή και από τα γραφεία των Εκδόσεων Κάτοπτρο. <br />
<br />
<img alt="Quantum Τ1-τ1" src="http://katoptro.gr/components/com_virtuemart/shop_image/product/Quantum___1___1_4b699eefe1c08.jpg" height="230" width="150" /><br />
<br />
<br />
Πατήστε <span style="color: #cc0000; font-size: large;"><b><a href="http://ph403.edu.physics.uoc.gr/quantum.php" style="background-color: orange;"><span style="color: #cc0000;">εδώ</span></a> </b></span>για να βρείτε σε μορφή αρχείων PDF τα 44 τεύχη του περιοδικού <em>Quantun που εκδόθηκαν κατά την περίοδο 1994-2001.</em><br />
<br />
<br />
<strong><span style="color: #cc0000; font-size: large;">Μαθηματικό περιοδικό "Το φ" </span></strong><br />
<br />
<div class="post-header">
<div class="post-header-line-1">
</div>
</div>
<div class="separator" dir="ltr" style="clear: both; text-align: center;" trbidi="on">
<a href="http://4.bp.blogspot.com/_rYAAmL_3M8w/TUcaFU68JPI/AAAAAAAAC5U/lYvLX-MbuAo/s1600/ex4.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 0em; margin-right: 1em;"><img border="0" closure_uid_7iyr2l="3" src="https://4.bp.blogspot.com/_rYAAmL_3M8w/TUcaFU68JPI/AAAAAAAAC5U/lYvLX-MbuAo/s1600/ex4.jpg" style="cursor: move;" /></a></div>
<div class="post-body entry-content" dir="ltr" style="text-align: justify;" trbidi="on">
<span class="Apple-style-span" style="font-family: "trebuchet ms" , sans-serif;">Το εκδίδει ο κ. Βασίλης Βισκαδουράκης, καθηγητής στο Πειραματικό Λύκειο της Ιωνιδείου Σχολής Πειραιά. Εκδίδεται μία φορά τον χρόνο. </span></div>
<div class="post-body entry-content" dir="ltr" style="text-align: justify;" trbidi="on">
<span class="Apple-style-span" style="font-family: "trebuchet ms" , sans-serif;">Ένα εξαιρετικό μαθηματικό περιοδικό, χρήσιμο για καθηγητές και μαθητές. Το συστήνουμε ανεπιφύλακτα</span></div>
<div class="post-body entry-content" dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<span class="Apple-style-span" style="font-family: "trebuchet ms" , sans-serif;">Στο "Φ" θα βρείτε:</span></div>
<div class="post-body entry-content" dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<span class="Apple-style-span" style="color: green; font-family: "trebuchet ms" , sans-serif; line-height: 19px;">ΣYNENTEYΞΕΙΣ</span></div>
<div class="post-body entry-content" dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<span class="Apple-style-span" style="color: green; font-family: "trebuchet ms" , sans-serif; line-height: 19px;">ΣΧΟΛΙΑ</span></div>
<div class="post-body entry-content" dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<span class="Apple-style-span" style="color: green; font-family: "trebuchet ms" , sans-serif; line-height: 19px;">ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΔΙΑ</span></div>
<div class="post-body entry-content" dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<span class="Apple-style-span" style="color: green; font-family: "trebuchet ms" , sans-serif; line-height: 19px;">ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΛΗ ΤΗΝ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑ</span></div>
<div class="post-body entry-content" dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<span class="Apple-style-span" style="color: green; font-family: "trebuchet ms" , sans-serif; line-height: 19px;">ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΑ ΑΡΘΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ</span></div>
<div class="post-body entry-content" dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<span class="Apple-style-span" style="color: green; font-family: "trebuchet ms" , sans-serif; line-height: 19px;">ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΚΕΣ ΣΕΛΙΔΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ</span></div>
<div class="post-body entry-content" dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<span class="Apple-style-span" style="color: green; font-family: "trebuchet ms" , sans-serif; line-height: 19px;">ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ- ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ</span></div>
<div class="post-body entry-content" dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<a href="http://www.blogger.com/" name="more"></a></div>
<div class="post-body entry-content" dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<span class="Apple-style-span" style="color: green; font-family: "trebuchet ms" , sans-serif; line-height: 19px;">ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΓΙΑ ΟΛΕΣ ΤΙΣ ΤΑΞΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΑΙ ΛΥΚΕΙΟΥ</span></div>
<div class="post-body entry-content" dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<span class="Apple-style-span" style="color: green; font-family: "trebuchet ms" , sans-serif; line-height: 19px;">ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ</span></div>
<div class="post-body entry-content" dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<span class="Apple-style-span" style="color: green; font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif; line-height: 19px;">ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ</span></div>
<div class="post-body entry-content" dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<span class="Apple-style-span" style="color: green; font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif; line-height: 19px;">ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ</span></div>
<div class="post-body entry-content" dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<span class="Apple-style-span" style="color: green; font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif; line-height: 19px;">ΛΥΚΕΙΟΥ</span></div>
<div class="post-body entry-content" dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<span class="Apple-style-span" style="color: green; font-family: "trebuchet ms" , sans-serif; line-height: 19px;">ΜΙΚΡΕΣ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ</span></div>
<div class="post-body entry-content" dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<span class="Apple-style-span" style="color: green; font-family: "trebuchet ms" , sans-serif; line-height: 19px;">ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΑ ΑΡΘΡΑ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ</span></div>
<div class="post-body entry-content" dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<span class="Apple-style-span" style="color: green; font-family: "trebuchet ms" , sans-serif; line-height: 19px;">ΑΡΘΡΑ ΣΤΗΝ ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ</span></div>
<div class="post-body entry-content" dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<span class="Apple-style-span" style="color: green; font-family: "trebuchet ms" , sans-serif; line-height: 19px;">ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΔΡΩΜΕΝΑ ΣΤΗΝ ΕΛΛΑΔΑ ΚΑΙ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ</span></div>
<div class="post-body entry-content" dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<span class="Apple-style-span" style="color: green; font-family: "trebuchet ms" , sans-serif; line-height: 19px;">ΔΙΚΤΥΟ-ΕΠΙΛΟΓΕΣ</span></div>
<div class="post-body entry-content" dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<span class="Apple-style-span" style="color: green; font-family: "trebuchet ms" , sans-serif; line-height: 19px;">ΒΙΒΛΙΟΠΑΡΟΥΣΙΕΣ ΚΑΙ ΒΙΒΛΙΟΠΑΡΟΥΣΙΑΣΕΙΣ</span></div>
<div class="post-body entry-content" dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<br /></div>
<div class="post-body entry-content" dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<br /></div>
<div class="date-posts" dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div class="post-outer">
<div class="post hentry">
<a href="http://www.blogger.com/" name="8724679345104735630"></a><br />
<h3 class="post-title entry-title">
<a href="http://www.mathematica.gr/icosidodecahedron7.pdf"><span style="color: #990000; font-size: large;">Μαθηματικό περιοδικό "Εικοσιδωδεκάεδρον"</span></a></h3>
</div>
</div>
</div>
<div class="post-body entry-content" dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<span style="color: black; font-family: "trebuchet ms";">Διαβάστε το 7ο τεύχος του μαθηματικού περιοδικού : " Εικοσιδωδεκάεδρον" στην διεύθυνση :<a href="http://dimarath.blogspot.com/2012/02/blog-post_6834.html">http://dimarath.blogspot.com/2012/02/blog-post_6834.html</a></span></div>
<div class="post-body entry-content" dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<span style="font-family: "trebuchet ms";">Περιέχονται θέματα και ασκήσεις Λυκείου. Πολλά θέματα αφορούν την Γ΄Λυκείου που δοκιμάζεται με τις πανελλήνιες εξετάσεις. Θα βρείτε όμως και θέματα άλγεβρας ή γεωμετρίας Α΄και Β΄λυκείου.</span></div>
<div class="post-body entry-content" dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<br /></div>
<div class="post-body entry-content" dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<br /></div>
<div class="post-body entry-content" dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<br /></div>
<span style="font-family: "trebuchet ms";"></span><br />
<div align="justify" class="post-body entry-content" dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
</div>
<br />
<div align="left" class="post-body entry-content" dir="ltr" style="margin-bottom: 0px; margin-top: 0px; text-align: left;" trbidi="on">
<b><span style="color: #990000; font-size: large;">ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ "ΕΡΕΥΝΑ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ" - ΤΕΥΧΟΣ 1ο</span></b></div>
<div class="post-body entry-content" dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<br />
<br />
<span style="font-size: 9pt;"></span><span style="font-size: 9pt;"></span><span style="font-size: 9pt;"></span></div>
<div class="post-body entry-content" dir="ltr" style="text-align: justify;" trbidi="on">
<strong><span style="font-size: x-small;">Παρουσίαση του περιοδικού : </span></strong>Το περιοδικό <i>ΕΡΕΥΝΑ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ </i>είναι το επίσημο περιοδικό της Ένωσης των Ερευνητών της Διδακτικής των Μαθηματικών (ΕΝΕΔΙΜ) και απευθύνεται στην ελληνική κοινότητα των επιστημόνων που ασχολούνται με τη μελέτη των φαινομένων και ζητημάτων της Μαθηματικής Εκπαίδευσης. Σκοπός του περιοδικού είναι να αποτελέσει βήμα για τη διεξαγωγή μελετών και ερευνών με επίκεντρο τη διδασκαλία και μάθηση των Μαθηματικών σε όλα τα επίπεδα, από την προσχολική μέχρι και την πανεπιστημιακή εκπαίδευση, καθώς και για την ανάπτυξη ενός γόνιμου και επιστημονικά τεκμηριωμένου λόγου που αφορά το χώρο της Μαθηματικής Εκπαίδευσης. Το περιοδικό φιλοδοξεί να καταστεί μέσο επικοινωνίας ανάμεσα στα μέλη της ελληνικής ερευνητικής και εκπαιδευτικής κοινότητας, τους ειδικούς επιστήμονες, τα στελέχη και τους φορείς όλων των βαθμίδων της εκπαίδευσης γενικά και, ειδικότερα, της Διδακτικής των Μαθηματικών, καθώς και ένα βήμα έκφρασης, δοκιμασίας και άσκησης για τους νέους ερευνητές.</div>
<div class="post-body entry-content" dir="ltr" style="text-align: justify;" trbidi="on">
<strong><span style="font-size: x-small;">Εκδοτική πολιτική</span></strong>Το περιοδικό θα δημοσιεύει άρθρα από ένα ευρύ φάσμα μελετών, όπως πειραματικές έρευνες, εθνογραφικές μελέτες, μελέτες περιπτώσεων, έρευνες–δράσης, επισκοπήσεις, θεωρητικές αναζητήσεις, κ.ά., με την προϋπόθεση ότι θα είναι υψηλών προδιαγραφών (θα πληρούν τα κριτήρια αξιολόγησης ενός επιστημονικού περιοδικού). Σε ειδικά τεύχη του Περιοδικού ή σε ειδικές περιπτώσεις είναι δυνατό να δημοσιεύονται και άρθρα που στοχεύουν στην εξοικείωση των εκπαιδευτικών της τάξης με το μοντέλο του δασκάλου-ερευνητή, όπως εργασίες που αναφέρονται σε πειραματισμούς στη σχολική τάξη, παρουσίαση παιδαγωγικής αξιοποίησης διδακτικών μέσων, εργαλείων και υλικών, καινοτόμες εφαρμογές εκπαιδευτικών, νεωτερισμοί στους οποίους συμμετέχουν και εκπαιδευτικοί, κλπ. Το περιοδικό θα εκδίδεται στην Ελληνική γλώσσα και θα περιλαμβάνει εκτενή περίληψη στην Αγγλική ή μια άλλη Ευρωπαϊκή γλώσσα. Θα κυκλοφορεί σε τρία τεύχη το χρόνο, ανά τετράμηνο.</div>
<div class="post-body entry-content" dir="ltr" style="text-align: justify;" trbidi="on">
<br />
Μπορείτε να συμπληρώσετε τη <a href="http://www.kedrosedu.com/files/site.pdf">φόρμα συνδρομής</a> και να την αποστείλετε συμπληρωμένη στο fax: 210 3302655<br />
<br />
<strong><span style="font-size: large;">Περιεχόμενα 3ου τεύχους:</span></strong>1. Ο νοερός αριθμητικός υπολογισμός κατά τη διαδικασία υπέρβασης της πρώτης δεκάδας: Στρατηγικές και επιδόσεις των μαθητών Αʼ και Βʼ τάξης δημοτικού σχολείου. Καραντζής Ι., Βεγιάννη Ε.<br />
<br />
2. Σχήματα δυναμικού χειρισμού γεωμετρικών κατασκευών και ανάπτυξη νοημάτων για λόγους και αναλογίες. Ψυχάρης Γ.<br />
<br />
3. Η αναπαράσταση της αριθμογραμμής στα σχολικά εγχειρίδια των μαθηματικών του δημοτικού σχολείου. Σκουμπουρδή Χ.<br />
<br />
<br />
<br />
<strong><span style="color: #990000; font-size: large;">Μαθηματικό Εκκρεμές</span></strong><br />
<strong><span style="color: #990000; font-size: large;"><br />
</span></strong>Περιοδικό ομάδας φοιτητών του Μαθηματικού Τμήματος του Πανεπιστημίου<br />
Αθηνών. Αρχείο τευχών θα βρείτε στην διεύθυνση :<br />
<a href="http://www.math.uoa.gr/web/activ/magaz/" target="_blank"><b>www.math.uoa.gr/web/activ/magaz/</b></a><br />
<br />
<br />
<br />
<strong><span style="color: #990000; font-size: large;">Ψηφιακό περιοδικό " Ο Πίνακας" </span></strong><br />
<br />
Μπορείτε να το δείτε στην παρακάτω διεύθυνση : <br />
<a href="http://www.telemath.gr/mathematical_magazine/index.php">http://www.telemath.gr/mathematical_magazine/index.php</a><br />
<br /></div>
</div>
</div>
<!-- Blogger automated replacement: "https://images-blogger-opensocial.googleusercontent.com/gadgets/proxy?url=http%3A%2F%2Fstatic1.trikalanews.gr%2Fassets%2Fmedia%2FPICTURES%2F2012%2Ftrikala01%2F35015_thumb1.jpg&container=blogger&gadget=a&rewriteMime=image%2F*" with "https://lh5.googleusercontent.com/proxy/rAhy5kdKl9afX4AvTuo_IT2Wv2sqOChHZFoCy-tlr2P8ZhuamN9DE5HnO1i0XvKxtyVOFEr8YNhjfEaF1JGDIuaEbEt7mAmS9W70n8pTzUMiIBD1WPWCHit5DCWLDPl0NU4EzQuyTg" --><!-- Blogger automated replacement: "https://images-blogger-opensocial.googleusercontent.com/gadgets/proxy?url=http%3A%2F%2Fs.enet.gr%2Fresources%2F2013-07%2F39-1--2-thumb-medium.jpg&container=blogger&gadget=a&rewriteMime=image%2F*" with "https://lh3.googleusercontent.com/proxy/kQomou141ktydV1pFvQNKjbIR9ljE3dLjwjE5jNwF5DpYX0zKsgYXHGQ-lOOOk-CBx1FUjoz3TYja1ozv6q2QJV-Z24PaqqO6DAl5mYAVQ" -->Αλέξανδρος Μόσχοςhttp://www.blogger.com/profile/04357778829560813366noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7730717435979339231.post-65578049348954501202011-01-23T01:18:00.000-08:002018-03-22T10:22:12.612-07:00ΛΙΓΗ ΙΣΤΟΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<b><span style="color: blue; font-size: large;"><i>" Παρουσιάζουμε τα μαθηματικά </i></span></b><b><span style="color: blue; font-size: large;"><i>σαν κανείς να μη τα δημιούργησε , σαν να μη γεννήθηκαν για να εξυπηρετήσουν συγκεκριμένες ανάγκες , σα να στεκόταν πάντα εκεί ακίνητα και στατικά όπως τα βουνά και τα ποτάμια "</i></span></b><br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><span style="font-size: large;"> </span><span style="font-size: small;">Από το μυθιστόρημα : " Το θεώρημα του παπαγάλου " του Ντενί Γκετζ</span></b><br />
<b><span style="color: blue;"><br /></span></b>
<br />
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><b><i> Η ετυμολογία των μαθηματικών</i></b></span><br />
<br />
<b><span style="color: #cc0000;">Μαθηματικά</span> :<i> Εμφανίζεται για πρώτη φορά ως λέξη που δηλώνει μια νέα επιστήμη στην αρχαία Ελλάδα. Προέρχεται από την ελληνική λέξη μάθημα.Πριν τους Έλληνες οι αρχαίοι λαοί όπως οι Αιγύπτιοι , οι Σουμέριοι , οι Κινέζοι κ.α. εκτελούσαν άτυπες μαθηματικές πράξεις με καθαρά χρηστικό και πρακτικό χαρακτήρα.Στην Αίγυπτο π.χ υπήρχαν οι γραφείς που μαζί με όλα τα γραφικά καθήκοντα μετρούσαν την έκταση των αγροτεμαχίων , υπολόγιζαν τους μήνες , έκαναν αστρολογικούς υπολογισμούς , επιλύαν προβλήματα καθημερινής ζωής. Όλα αυτά μέσα σε επαγγεματικά πλαίσια. Έτσι άτυπα έβρισκαν μαθηματικές μεθόδους που όμως περιοριζόταν σε υπολογιστικό χαρακτήρα με πρακτική αξία.Γι' αυτό τα μαθηματικά πριν τους Έλληνες τα θεωρούμε "άτυπα ή ασυνείδητα μαθηματικά"Με τον Θαλή στην αρχαία Ελλάδα εισάγεται η έννοια της απόδειξης και αναζητούνται συμπεράσματα που έχουν καθολική ισχύ και μπορούν να αποδειχτούν.Ο Θαλής θεωρείται ο πατέρας των μαθηματικών ή ο πρώτος μαθηματικός στην Ιστορία τους.Επίσης αναπτύσσονται από τον ίδιο τα αφηρημένα μαθηματικά που κινούνται σε δεύτερο επίπεδο αυτό της μεταγνώσης.Δημιούργησαν δηλαδή αφηρημένες θεωρίες που δεν έχουν υπολογιστική αξία ( θεωρία λόγων , ομοιότητα , ισότητα κ.α.) με την βοήθεια όμως των οποίων επιλύουμε πρακτικά προβλήματα ( μέτρηση του ύψους μιας πυραμίδας , την απόσταση ενός πλοίου από την ακτή κ.α). Επίσης στην αρχαία Ελλάδα εμφανίζονται για πρώτη φορά επαγγεγματίες μαθηματικοί ως μια χωριστή τάξη διανοουμένων που προάγουν την μαθηματική επιστήμη και ιδρύουν σχολές με μαθητές όπου τους διδάσκουν τη νέα επιστήμη : τα μαθηματικά.Ένα ενδιαφέρον παράδειγμα είναι η Πυθαγόρεια σχολή που έβγαλε σημαντικούς μαθηματικούς.Για πολλούς το ελληνικό θαύμα οφείλεται στις καινοτομίες της ελληνικής κοινωνίας όπως η δημοκρατία , το νόμισμα και το αλφάβητο που πρωτοεμφανίζονται τότε.</i></b><br />
<b><br /></b>
<b><span style="color: #cc0000;">Άλγεβρα :</span> <i>Προέρχεται από την αραβική λέξη al-jebr που σημαίνει μεταφορά στο άλλο μέλος. Χρωστάει δηλαδή την ονομασία της στην γνωστή διαδικασία της επίλυσης πρωτοβάθμιων εξισώσεων. Στην πραγματικότητα </i><i>al-jebr σημαίνει στα αραβικά "βάζω στη θέση του κάτι σπασμένο".Οι πρακτικοί ορθοπεδικοί στις μουσουλμανικές χώρες εκείνη την εποχή χτυπούσαν λίγο στα αριστερά και λίγο δεξιά το σπασμένο πόδι μέχρι να έρθει στη θέση του.Μετά το έδεναν με δύο σανίδες πάνω και κάτω.Ο μαθηματικός Χουαρίσμι λοιπόν παρομοίαζε την τεχνική αυτή των ορθοπεδικών με τη διαδικασία επίλυσης μιας εξίσωσης.Μετακινούμε τους γνωστούς και αγνώστους όρους αριστερά και δεξιά μέχρι να έρθει στη θέση του ο άγνωστος και να καταφέρουμε να τον αποκαλύψουμε.Οι δυτικοί έμποροι που είχαν συναλλαγές με τις αραβικές χώρες θαύμασαν τα κείμενα του Χουαρίσμι και τις μεθόδους του και τις έφεραν στην Ευρώπη.Τον 12ο ήδη αιώνα μ.Χ ο Χουαρίσμι ήταν μια διασημότητα στη Δύση.Από την παράφραση λοιπόν του </i><i><span style="color: blue;"><span style="color: black;">al-jebr που χρησιμοποίησε ο Άραβας μαθηματικός πήρε το όνομά της η άλγεβρα που εγκαινιάστηκε στις αραβικές χώρες και πέρασε στην Ευρώπη.Η άλγεβρα λοιπόν δεν γεννήθηκε στην Ελλάδα, γιατί απλόυστατα γεννήθηκε στη Βαγδάτη! Από τότε άνθισε με τους ευρωπαίους μαθηματικούς. Αρχικά ο Ταρτάλια και ο Cardano επιλύουν με ριζικά την τριτοβάθμια και τεταρτοβάθμια εξίσωση. Κατόπιν ο Abel και ο Γκαλουά αποδεικνύουν ότι οι εξισώσεις ανωτέρου του τετάρτου βαθμού δεν είναι επιλύσιμες με ριζικά. Τον 15ο και 16ο αιώνα εδραιώνεται ο αλγεβρικός λογισμός.Σύμβολα όπως : < , > από τον Τόμας Χάριοτ , = από τον Ρέκορντ , το σύμβολο της ρίζας από τον Ρούντολφ , του απείρου από τον Ουάλις , της δύναμης από τον Σικέ ενδυναμώνουν την άλγεβρα , ως μια χρήσιμη οικουμενική μέθοδο επίλυσης προβλημάτων και μοντελοποίησης της πραγματικότητας.Όταν τον 17ο αιώνα αναπτύσετται η αλγεβροποίση της γεωμετρίας με την ανακάλυψη της αναλυτικής γεωμετρίας από τους Φερμά και Ντεκάρτ αναδεικύεται η αξία της άλγεβρας που μπορεί να υποκαθιστά τη γεωμετρία. Η αρχαιοελληνική εμμονή στη γεωμετρία επηρεασμένη από την πλατωνική ιδεαλιστική αντίληψη υποκαθιστάται από την χρηστική υπεροχή της άλγεβρας στην επίλυση προβλημάτων και στην εφαρμογή στις επιστήμες.Ο νέος κλάδος των μαθηματικών με λίγους αιώνες ζωή παίρνει τη σκυτάλη και της αναγνωρίζεται το προβάδισμα.</span></span></i></b><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<b style="text-align: justify;"><i><span style="color: blue;"><span style="color: black;"> </span></span></i></b></div>
<b><span style="color: #cc0000;">Γεωμετρία</span><span style="color: blue;"> </span><span style="color: blue;">: <span style="color: black;">Ωφείλει</span></span><i> και πάλι την ονομασία της στους Έλληνες. Η μέτρηση της γης κατά κυριολεξία.Η ελληνική αρχαιότητα ήταν επηρεασμένη από την πλατωνική αντίληψη της ανωτερότητας της γεωμετρίας έναντι της αριθμητικής. Για τον Πλάτωνα που πίστευε στην αξία των ιδεών που βοηθούν στην τελείωση της ψυχής και στην αναζήτηση της αρμονίας και της αλήθειας η γεωμετρία ως μια επιστήμη εξαγωγής συμπερασμάτων βοηθούσε σε κατι τέτοιο. Έβλεπε δηλαδή με καλό μάτι την διανοητική ενασχόληση με την θεωρητική γεωμετρία που ακονίζει το νου,ενδυναμώνει τη λογική και αναζητεί τις γεωμετρικές αλήθειες.Η απαίτηση να αναζητούνται γεωμετρικές κατασκευές μόνο με χρήση κανόνα και διαβήτη ήταν πλατωνική άποψη , γιατί έτσι τα μαθηματικά γίνονται ένα εγκεφαλικό παιχνίδι λογικής ανύψωσης του ατόμου.Στα ελληνιστικά χρόνια με πρωτεργάτες τον Αρχιμήδη , τον Ήρωνα , τον Ιππία , τον Πτωλεμαίο κ.α η γεωμετρία χάνει τον θεωρητικό προσανατολισμό της και τον στατικό χαρακτήρα της.Μπαίνει για πρώτη φορά η κίνηση στη γεωμετρία.Σημεία που κινούνται , ευθείες που γλιστρούν και μετατοπίζονται, σχήματα που στρέφονται κ.α. Επίσης χρησιμοποιείται η γεωμετρία σε μηχανικές κατασκευές και έχουμε ένα τεχνολογικό θαύμα εκείνη την εποχή.Κατασκευάζεται η πρώτη ατμομηχανή από τον Ηρωνα , οι πολιορκητικές μηχανές από τον Αρχιμήδη , αστρολάβος από τον Πτολεμαίο κ.α.Η συμβολή της γεωμετρίας με τη νέα οπτική της είναι αξιόλογη.Η αναλυτική γεωμετρία τον 17ο μ.Χ αιώνα όπως προείπαμε ανέδειξε την υπεροχή της άλγεβρας και τα μαθηματικά ξέφυγαν από την μονοκρατορία της γεωμετρίας που στηριζόταν στη επίδραση του Πλάτωνα ανά τους αιώνες.Χωρίς να χάνει την αξία της η γεωμετρία που παραμένει κορωνίδα του μαθηματικού οικοδομήματος δεν μονωπολεί το μαθηματικό γίγνεσθαι.</i></b><br />
<b><br /></b>
<b><span style="color: #990000;">Σύγχρονα μαθηματικά: </span><i>Τα μαθηματικά στην Δυτική Ευρώπη μετά τον 12ο αιώνα γνώρισαν μεγάλη άνθιση. Αρχικά αναπτύχθηκε ο νέος κλάδος των μαθηματικών η άλγεβρα.Επιλύθηκαν οι εξισώσεις μέχρι 4ου βαθμού. Αποκορύφωμα στάθηκε η εμφάνιση και στερέωση του αλγεβρικού συμβολισμού τον 15- 16ο αιώνα.Το σημαντικό άλμα αποτέλεσε η ανακάλυψη της αναλυτικής γεωμετρίας τον 17ο αιώνα και η ανακάλυψη του διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού. Ο Νιούτον και ο Λάιμπνιτς μέσα από διαφορετικούς δρόμους ( ταχύτητα , πρόβλημα εφαπτομένης αντίστοιχα) θεωρούνται οι πρωτεργάτες του νέου κλάδου. Από τότε μελετώνται ποσότητες που πλησιάζουν άλλες χωρίς ποτέ να τις φτάνουν.Ακόμη καμπύλες , ακρότατα , μονοτονία. Υπολόγισαν εμβαδά καμπυλόγραμμμων χωρίων και μήκη καμπυλών με τη βοήθεια του ολοκληρώματος. Σε λίγο η παραγώγιση και η ολοκλήρωση θα γίνουν συνηθισμένες μαθηματικές πράξεις αντίστροφες μεταξύ τους όπως η τετραγωνική ρίζα και το τετράγωνο.Ακόμη στον ίδιο αιώνα πρωτοεμφανίζεται η θεωρία πιθανοτήτων στις επιστολές που αντάλλαξαν ο Φερμά με τον Πασκάλ και μελέτησαν την συνδυαστική.</i></b><br />
<i><b> Από τότε στα 1949 τα μαθηματικά αριθμούν 3400 διαφορετικούς κλάδους και στα σημερικνά χρόνια κυκλοφορούν 200.000 θεωρήματα κάθε χρόνο στα επιστημονικά περιοδικά όλου του κόσμου. Ο " μολυσμός αυτός της σκέψης" όπως αποκαλέστηκε αποκλείει να υπάρχει μαθηματικός που να γνωρίζει όλη αυτή την παραγωγή μαθηματικής πληροφορίας.Ιδανικός μαθηματικός στις μέρες μας δεν είναι αυτός που τα ξέρει όλα , κάτι το αδύνατο , αλλά όποιος έχει την ευφή ιδέα να καινοτομήσει στα μαθηματικά και να τα οδηγήσει σε νέους πρωτότυπους δρόμους.</b></i><br />
<i><b><br /></b></i>
<i><b><br /></b></i>
<i><b><br /></b></i>
<i><b><br /></b></i><span style="font-size: large;"><i><b><span style="color: #990000;">Σταχυολογήματα α</span></b></i><i><b><span style="color: #990000;">πό το βιβλίο : "Αρχαία μαθηματικά΄" της S. Cuomo.</span></b></i></span><br />
<div>
<i><b><span style="color: #990000;"><br /></span></b></i>
<i><b><span style="color: #990000;"><br /></span></b></i></div>
<i><b><span style="color: blue;">O Ηρόδοτος αναφέρει την αρχαιοαιγυπτιακή προέλευση της γεωμετρίας .Έτσι είναι ο πρώτος που αναφέρεται στην ιστορία των μαθηματικών. Συγκεκριμένα αναφέρει ότι ο Ραμψής αποφάσισε να παραχωρήσει σε όλους τους υπηκόους του πανομοιότυπα αγροτεμάχια τετράγωνα και με το ίδιο εμβαδόν. Έτσι όλοι οι υπήκοοι θα έπρεπε να πληρώνουν τον ίδιο φόρο.Όμως κάθε χρόνο οι πλημμύρες του Νείλου κατέστρεφαν κάποια χωράφια , διαβρώνοντας τα τμήματά τους.Ο Ραμψής έστελνε τους γραφείς να μετρήσουν αυτές τις απώλειες σε καλλιεργήσιμη έκταση , ώστε να μειωθεί οι φόρος.Έτσι δημιουργήθηκε η γεωμετρία που αφορούσε τη μέτρηση της γης. Ο Ηρόδοτος μάλιστα λέει : "Όταν διασπάστηκε η ισότητα οι άνθρωποι δημιούργησαν τη γεωμετρία"</span></b></i><br />
<div>
<i><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></i></div>
<i><b><span style="color: blue;">Οι Έλληνες μαθηματικοί εισήγαγαν την έρευνα των γενικών θεωρημάτων που έπρεπε να αποδειχθούν με τρόπο ώστε να είναι αντικειμενικά πειστικά.Με άλλα λόγια οι Αιγύπτιοι ήταν ικανοί να υπολογίζουν τον όγκο ενός κυλίνδρου και να βεβαιώνονται ότι το αποτέλεσμα ήταν σωστό ή τουλάχιστον κατάλληλο για τους συγκεκριμένους πρακτικούς σκοπούς τους. Οι Έλληνες βρήκαν τον γενικό τύπο για τον όγκο οποιουδήποτε κυλίνδρου και απέdειξαν ότι είναι σωστός. Οι πολιτικές συνθήκες και η δημόσια ζωή στην Αθήνα εκείνης της εποχής θεωρούντaι ως βασικός παράγοντας για τη δημιουργία αυτής της διαφοράς.</span></b></i><br />
<i><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></i>
<i><b><span style="color: blue;">Για τον Πλάτωνα τα μαθηματικά είχαν ιδιαίτερο ενδιαφέρον γιατί αν και ασχολούνται με αισθητά πράγματα αναφέρονται επίσης στο γενικό, στο αφηρημένο και στο αμετάβλητο. Για παράδειγμα μπορεί σε ένα λογαριασμό να ασχολούμαστε με τρία βόδια ή πέντε δάκτυλα αλλά με το "τρία" ή με το "πέντε" έχουμε περιττούς αριθμούς αεξάρτητους από τα αισθητά αντικείμενα.</span></b></i><br />
<i><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></i>
<i><b><span style="color: blue;">Ο Πλάτωνας θεωρούσε τα μαθηματικά αντικείμενα ως μοναδικές αληθινές ιδέες.Τα έβλεπε ενδιάμεσα μεταξύ των αισθητών αντικειμένων και των υπερτάτων ιδεών.Γι΄αυτό απέδιδε στην μαθηματική γνώση καθοριστικό ρόλο στην εκπαίδευση των νέων.</span></b></i><br />
<i><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></i>
<i><b><span style="color: blue;">Ο ίδιος ο Πλάτων επέκρινε τον Εύδοξο , τον Αρχύτα και τον Μέναιχμο που επιχειρούσαν να μεταθέσουν το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου στον χώρο των ενόργανων και μηχανικών κατασκευών και όχι στη χρήση της λογικής αλλά προσπαθούσαν να το επιλύσουν με οποιοδήποτε δυνατό τρόπο. Την εποχή εκείνη τα μαθηματικά ως λογική δομή συνδεόταν με τη φιλοσοφία και οι φιλόσοφοι είχαν την εποπτεία των μαθηματικών.</span></b></i><br />
<i><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></i>
<i><b><span style="color: blue;">Ο Αριστοτέλης δεν θεωρούσε τα μαθηματικά αντικείμενα ως ιδέες του πραγματικού κόσμου αλλά ως αφηρημένες ιδέες που περιγράφουν τα φυσικά αντικείμενα χωρίς να είναι αντικείμενα με αυτοτελή ύπαρξη.Ασχολήθηκε με την λογική δομή των μαθηματικών τα οποία χαρακτήριζε: "έξις αποδεικτική" (αποδεικτική συνήθεια). Eπίσης θεωρούσε ότι αντικείμενο μελέτης των μαθημτικών είναι το "καθ' όλον" κι όχι το "τυχαίο ον". Με τον όρο "καθ' όλον" εννοούσε τα συμπεράσματα που είχαν καθολική ισχύ και αποδεικνυόταν ότι ισχύουν πάντοτε σε όλες τις συνθήκες. Κάτι σαν τους σταθερούς νόμους της φύσης που διέπονται από μια αιτιοκρατία (ντετερμενισμό). "Τυχαίο ον" είναι οτιδήποτε ισχύει τυχαία σε μεμονωμένες και απροσδιόριστες συνθήκες χωρίς να έχει καθολική και αιτιοκρατική ισχύ. Για το Αριστοτέλη τα τυχαία φαινόμενα δεν αποτελούσαν αντικείμενο μελέτης της μαθηματικής επιστήμης.Για το λόγο αυτό η στατιστική και η θεωρία πιθανοτήτων δεν εμφανίστηκαν στα αρχαιοελληνικά μαθηματικά. Βρισκόταν έξω από τα πλαίσια της καθολικότητας και του αποδεικτικού συλλογισμού.</span></b></i><br />
<i><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></i>
<i><b><span style="color: blue;">O Aριστοτέλης διαιρεί τη θεωρητική φιλοσοφία σε τρεις βασικές κατηγορίες , τη φυσική , τα μαθηματικά και τη θεολογία. Κατα τόν ίδιο οι δυο πρώτες κατηγορίες πρέπει ονομαστούν εικασίες παρά γνώσεις. Μόνο τα μαθηματικά μπορούν να προσφέρουν ασφαλή και ακλόνητη γνώση σε όσους ασχολούνται μαζί τους , εφ' όσον αυτό γίνεται με επιμονή.</span></b></i><br />
<i><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></i>
<i><b><span style="color: blue;">Ένα πό τα σημαντικότερα στοιχεία των ελληνιστικών μαθηματικών είναι ότι επιτέλους έχουμε πλήρεις μαθηματικές πραγματείες αντί για αποσπασματική και έμμεση πληροφόρηση.</span></b></i><br />
<i><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></i>
<i><b><span style="color: blue;">Η μέθοδος της "απαγωγής σε άτοπο" αποδίδεται στον </span></b></i><i><b><span style="color: blue;">Πυθαγόρειο μαθηματικό Ιπποκράτη το Χίο.Είναι αυτός που τετραγώνισε μηνίσκους.Βρήκε δηλαδή τετράγωνα με εμβαδόν </span></b></i><i><b><span style="color: blue;">ίσο με </span></b></i><i><b><span style="color: blue;">μηνίσκους. Ήταν ο πρώτος τετραγωνισμός καμπυλόγραμμου σχήματος. Η μέθοδος αυτή γέννησε προσδοκίες για το μεγάλο άλυτο πρόβλημα της αρχαιότητας : τον τετραγωνισμό του κύκλου. Η μέθοδος της απαγωγής σε άτοπο αξιοποιήθηκε από τους Πυθαγόρειους για να αποδείξουν ότι η τετραγωνική ρίζα του 2 δεν είναι ρητός αριθμός.</span></b></i><br />
<i><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></i>
<i><b><span style="color: blue;"> Ο Ήρωνας ο Αλεξανδρεύς φημίζεται για τη κατασκευή ποικίλων μηχανών.Είναι η εποχή των ελληνιστικών μαθηματικών που παρατηρείται μια στροφή στην σύνδεση της γεωμετρίας με τη μηχανική. Απομακρυνόμαστε από τον θεωρητικό προσανατολισμό των μαθηματικών ιδεών όπως τις θεωρούσε ο Πλάτων. Ο Ήρων στα έργα του (Μηχανικά , Αυτόματα , Περί διόπτρας , Βελοποιικά , Πνευματικά) περιγράφει μηχανές για διάφορους σκοπούς : ανύψωση βαρών , μεγένθυνση τρισδιάστατων αντικειμένων , κόψιμο χοντρών ξύλων, στήριξη στέγης ,δημιουργία κουκλοθέατρου, σβήσιμο φωτιάς με υδραντλία , παραγωγή μουσικής.Ο κρυφός μηχανισμός κουκλοθέατρου κατασκευάζεται βάσει της στερεομετρίας.Η λειτουργία μιας αντλίας εξηγείται μέσω μιας έμμεσης γεωμετρικής απόδειξης. Τα Αυτόματα και τα Πνευματικά περιγράφουν αυτοκινούμενα αγάλματα του Διόνυσου ή απύθμενα κύπελλα από τα οποία αναβλύζει κρασί χωρίς διακοπή. Στο Περί Διόπτρας και στα Μετρικά περιγράφει λεπτομερειακά την κατασκευή μιας διόπτρας και μελετώνται οι πολυάριθμες χρήσεις της στην τοπογραφία , αστρονομία και τη μηχανική.</span></b></i><br />
<div>
<br /></div>
<div>
<i><b><span style="color: blue;">Ο Ήρωνας στο έργο του "Μετρικά" λέει : "οι παλιές περιγραφές μας διδάσκουν ότι η γεωμετρία ασχολείται με τη μέτρηση και διαίρεση της γης". Στην εποχή του η γεωμετρία καινοτομεί και συνδέται με τη μηχανική με θαυμαστά αποτελέσματα. Σε άλλο σημείο αποφαίνεται : " Σε ένα τέτοιο κόσμο η απόλυτη ακρίβεια δεν είναι δυνατή και συχνά πρέπει να αρκεστούμε στην καλύτερη προσέγγιση".</span></b></i><br />
<i><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></i>
<i><b><span style="color: blue;">Ο Ήρωνας με εριστική διάθεση στο έργο του Βελοποιικά δημιουργεί το πλαίσιο ανταγωνισμού μεταξύ της φιλοσοφίας και της μηχανικής.Η φιλοσοφία , ισχυρίζεται, χρησιμοποιεί συλλογισμούς οι οποίοι είναι απλές λέξεις ενώ η μηχανική μηχανές που μπορούμε να τις αγγίξουμε.</span></b></i><br />
<i><b><span style="color: blue;"><br /></span></b></i><i><b><span style="color: blue;"> Ο Διόφαντος θεωρείται από πολλoύς ο δημιουργός της άλγεβρας και συνεπώς βρίσκεται μπροστά από την εποχή του.Το έργο του "Αριθμητικά" δεν έχει λογική - συμπερασματική δομή.Ασχολείται με επίλυση συγκεκριμένων προβλημάτων. Επίσης ταξινομεί και οργανώνει τα προβλήματα και ομαδοποιεί προβλήματα με σαφή ομοιότητα στη σκέψη.Προάγει αυτό που ονομάζουμε αναλογική σκέψη στην επίλυση προβλημάτων. Σημαντικές καινοτομίες του Διόφαντου που δικαιολογούν την άποψη ότι ήταν μπροστά από την εποχή του ήταν οι ακόλουθες. Μελετά τις ακέραιες λύσεις εξισώσεων που ακόμη κια σήμερα φέρουν το όνομά του : "διοφαντικές εξισώσεις".</span></b></i><br />
<i><b><span style="color: blue;"> Επηρεασμένος από αυτόν , το έργο του οποίου μελέτησε , ο Φερμά τον 17ο αιώνα συνεχίζει το έργο του και διατυπώνει αρκετά θεωρήματα για τις ακέραιες λύσεις εξισώσεων. Σε αυτόν τον προβληματισμό ανήκει και το λεγόμενο τελευταίο θεώρημα του Φερμά που διατυπώνεται ως εξής :</span></b></i></div>
<b><i><span style="color: blue;"><span style="background-color: #9bdbeb; font-family: "verdana"; font-size: 10pt; text-align: left; text-indent: 74.80000305175781px;">Δεν υπάρχουν μη μηδενικές λύσεις (τριάδες) για μια οικογένεια παρόμοιων εξισώσεων της μορφής </span><span lang="EN-US" style="background-color: #9bdbeb; font-family: "verdana"; font-size: 10pt; text-align: left; text-indent: 74.80000305175781px;">a<sup>n</sup>+b<sup>n</sup>=c<sup>n</sup> , </span><span style="background-color: #9bdbeb; font-family: "verdana"; font-size: 10pt; text-align: left; text-indent: 74.80000305175781px;">όπου </span><span lang="EN-US" style="background-color: #9bdbeb; font-family: "verdana"; font-size: 10pt; text-align: left; text-indent: 74.80000305175781px;">n= </span><span style="background-color: #9bdbeb; font-family: "verdana"; font-size: 10pt; text-align: left; text-indent: 74.80000305175781px;">ακέραιος >2.</span></span></i></b><br />
<b><i><span style="color: blue;"><br /></span></i></b>
<span style="color: blue;"><b><i>ή πιο κομψά : "Δεν είναι δυνατόν να αναλύσουμε μια δύναμη ενός ακεραίου σε άθροισμα δύο ίδιων δυνάμεων δύο άλλων ακεραίων ,εκτός αν η δύναμη είναι τετράγωνο".</i></b></span><br />
<b><i><span style="color: blue;"><br /></span></i></b>
<b><i><span style="color: blue;">Ο Φερμά ισχυριζόταν ότι κατείχε μια απόδειξη του συγκεκριμένου θεωρήματος. Η απόδειξη αυτή όμως δεν βρέθηκε ποτέ! Από τότε παρέμενε ένα άλυτο πρόβλημα προς διερεύνηση. Τελικά μόλις στις 23 Ιουνίου του 1993 βρέθηκε η απόδειξη από τον Wiles καθηγητή του Πανεπιστημίου του Princeton της Αγγλίας και ανακοινώθηκε από τον ίδιο σε ένα μαθηματικό συνέδριο στο Πανεπιστήμιο του Cambridge. O Φερμά είχε δίκιο!</span></i></b><br />
<span style="color: blue;"><b><i> Επιστρέφοντας στον Διόφαντο οφείλουμε να συμπληρώσουμε ότι αναφέρει τους αρνητικούς αριθμούς , κάτι που αποτελεί πορωτοπορία για την εποχή του. Επίσης καταλήγει στους γνωστούς κανόνες προσήμων στον πολλαπλασιασμό ρητών αριθμών γράφοντας : "Λείψις επί λείψιν ποιεί ύπαρξιν. Λείψις επί ύπαρξις ποιεί λείψιν". Επίσης στον Διόφαντο βρίσκουμε για πρώτη φορά στην ιστορία των μαθηματικών τη χρήση αλγεβρικού συμβολισμού για την άγνωστη ποσότητα, τις δυνάμεις και τα πολυώνυμα. Ο συμβολισμός του βέβαια δεν είναι αυτός που επικρατεί σήμερα. Θεωρεί την άγνωστη ποσότητα :"ως περιέχουσα απροσδιόριστον ή μη ορισμένο πλήθος μονάδων". Την συμβολίζει με ς που αποτελεί το τελευταίο γράμμα της λέξης αριθμός.Γι' αυτό </i></b></span><b style="color: blue;"><i> και ο αλγεβρικός συμβολισμός του χαρακτηρίζεται ως συντομογραφικός.</i></b><br />
<div style="text-align: left; text-indent: 74.80000305175781px;">
<br /></div>
<div style="text-align: left; text-indent: 74.80000305175781px;">
<br /></div>
<i><b><span style="color: #990000;">Από το βιβλίο : "Αρχαία μαθηματικά΄" της S. Cuomo.</span></b></i><i><b><br /></b></i>
<i><b><br /></b></i>
<i><b><br /></b></i>
<br />
<i><b><br /></b></i>
<i><b><br /></b></i>
<span style="color: blue;"><b><i>" Η ύπαρξη της ανυπαρξίας ήταν μια μεγάλη λογική αντίφαση ".</i></b></span><br />
<b> </b><b>Για το μηδέν.</b><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<b><i><span style="color: #cc0000;">" Ξυνόν γαρ αρχή και πέρας επι κύκλου περιφερείας".</span></i></b><br />
<b><i><span style="color: #cc0000;">Δηλαδή : Σε κάθε κύκλο κάθε σημείο του είναι αρχή και τέλος.</span></i></b><br />
<b><i><span style="color: #cc0000;">Ηράκλειτος. Ίωνας φιλόσοφος. 544 - 684 π.Χ</span></i></b><br />
<br />
<span style="color: blue;"><i><b>" Λέγεται ότι το σύμβολο του μηδενός εφευρέθηκε στην Δυτική Ευρώπη όταν κάποιος παρακολουθούσε έναν γλάρο στον ουρανό να κάνει κύκλους και έτσι να παραμένει πάντα στο ίδιο σημείο που ξεκίνησε. Το μηδέν λοιπόν από</b></i></span> <span style="color: blue;"><b><i>τότε συμβολίζεται με έναν κύκλο σύμβολο της αέναης κίνησης στο ίδιο σημείο , στο πουθενά και στο τίποτα".</i></b></span><br />
<span style="color: blue;"><b><i></i></b></span></div>
<br />
<br />
<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: blue;"><b><i>" Ο τροφοσυλέκτης άνθρωπος όταν έγινε κτηνοτρόφος πρώτα έμαθε να αντιστοιχεί και μετά να μετράει. Αντιστοιχούσε σε κάθε ζώο που εξημέρωσε ένα πετραδάκι. 'Οσα ζώα είχε τόσα ήταν και τα πετραδάκια. Στο έδαφος έσκαψε μια λακούβα. Το πρωί έβγαζε τα ζώα να βοσκήσουν. Το βράδυ για κάθε ζώο που έβαζε μέσα στον περιφραγμένο χώρο, έβαζε συγχρόνως και ένα πετραδάκι στη λακούβα. </i></b></span><b><i><span style="color: blue;">Αν στο τέλος έμενε ένα τουλάχιστον πετραδάκι εκτός σήμαινε </span></i></b><b><i><span style="color: blue;">ότι κάποιο ζώο έλειπε! ".</span></i></b><br />
<br />
<br />
<b><i><span style="color: #990000;">" Ένας νάνος στο ψηλότερο σκαλί είναι πιο ψηλά από ένα γίγαντα στο χαμηλότερο". </span><span style="color: blue;">Τι σχέση μπορεί να έχει η παραπάνω φράση με τα μαθηματικά; Έστω ο αριθμός 149. Το ψηφίο 1 είναι νάνος σχετικά με τον μεγαλύτερό του τον γίγαντα 9. Κι όμως το ένα είναι ψηλότερα , έχει μεγαλύτερη αξία από το 9 στον προηγούμενο αριθμό. Αυτό συμβαίνει γιατί βρίσκεται σε ψηλότερο σκαλί ( στο σκαλί των εκατοντάδων) από το χαμηλότερο που βρίσκεται το 9 (στο σκαλί των μονάδων). Η φράση αυτή λοιπόν αναφέρεται στο θεσιακό σύστημα αρίθμησης. Οι Ευρωπαίοι έμποροι βρήκαν αυτό το αριθμητικό σύστημα στους Άραβες και εντυπωσιάστηκαν. Το μετέφεραν αμέσως στη Δύση και από τοτε επικράτησε παγκοσμίως.Σήμεμα το αποκαλούμε αραβικό σύστημα αρίθμησης. Το σωστότερο βέβαια θα ήταν να το αποκαλούσαμε ινδοαραβικό. Κι αυτό γιατί λησμονούμε ότι οι Άραβες το δανείστηκαν από τους Ινδούς. Οι Ινδοί λοιπόν ανακάλυψαν και πρωτοχρησιμοποίησαν το θεσιακό σύστημα αρίθμησης. Ας σκεφτούμε τώρα τι σημαίνει η φράση : "</span><span style="color: #990000;"> Η αξία εξαρτάται από τη θέση". </span><span style="color: blue;">Τι σημαίνει άραγε για την αξία ενός ανθρώπου στην κοινωνία αλλά και για την αξία ενός ψηφίου ανάλογα με τη θέση του σε ένα αριθμό;</span></i></b><br />
<b><i><span style="color: blue;"><br /></span></i></b>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<br />
<br />
<br />
<span style="color: blue;"><b><i>" Τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου με τη χρήση συντεταγμένων την οφείλουμε στον Ντεκάρτ ( Καρτέσιο). Λέγεται ότι βρισκόταν ξαπλωμένος στο κρεβάτι του και παρατηρούσε μια μίγα που πετούσε διαρκώς πάνω από το κεφάλι του. Του γεννήθηκε ο προβληματισμός να προσδιορίσει την θέση της , μια και άλλαζε συνέχεια. Διαπίστωσε ότι του χρειαζόταν τρεις αριθμοί. Ένας για την απόσταση της από το ταβάνι και δύο ακόμη για τις αποστάσεις της από δύο πλαϊνούς τοίχους. Επρόκειτο για την πρώτη σύλληψη των τριών συνταταγμένων σημείου του χώρου".</i></b></span><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<span style="color: blue;"><b><i>" H πιο αιμοβαμμένη θεωρία στα μαθηματικά είναι σίγουρα η θεωρία ομάδων του Galois. Μονομάχησε με δύο φίλους της αγαπημένης του </i>Stephanie. Η μονομαχία κατέληξε με το θάνατό του στα 21 του χρόνια. Σε γράμμα που απέστειλε νωρίτερα στον φίλο του Auguste Chevalier ο οποίος είχε στην κατοχή του χειρόγραφα της εργασίας του έγραφε :</b></span><br />
<br />
<div align="justify">
<span style="color: #990000;"><i><b>«Αγαπημένοι μου φίλοι!</b></i></span><br />
<span style="color: #990000;"><i><b>Προκλήθηκα από δύο πατριώτες – ήταν αδύνατον να αρνηθώ την πρόκληση. Σας ζητώ συγνώμη που δεν πήρα τη γνώμη κανενός σας. Οι αντίπaλοί μου, όμως μου ζήτησαν να δώσω το λόγο της τιμής μου ότι δεν θα ειδοποιήσω κανένα πατριώτη... Πεθαίνω, παντοτινά φίλος σας...</b></i></span></div>
<i><b><span style="color: blue;"></span></b></i><br />
<div align="justify">
<b><span style="color: #990000;"><i>.... Εσύ </i><span style="color: blue;"><span style="color: #990000;">Auguste Chevalier</span> <span style="color: #cc0000;">ν</span></span><i><span style="color: #cc0000;">α</span> ζητήσεις δημόσια από τον Jacobi ή τον Gauss να εκφέρουν τη γνώμη τους όχι πάνω στην ορθότητα, αλλά στη σημασία των θεωρημάτων. Ύστερα απ’αυτό, θα υπάρξουν ελπίζω μερικοί που θα θεωρήσουν ωφέλιμο γι’αυτούς να αποκρυπτογραφήσουν ό,τι περιέχεται σ’όλον αυτόν τον συρφετό».</i></span></b></div>
<div align="justify">
<br /></div>
<div align="justify">
<b><i><span style="color: black;"><span style="color: blue;">Αυτός ο «συρφετός» δεν περιείχε τίποτα λιγότερο από τη θεωρία ομάδων, το κλειδί της σύγχρονης άλγεβρας και της σύγχρονης γεωμετρίας. </span></span></i></b><br />
<b><i><span style="color: black;"><span style="color: blue;">Μετά από λίγες μέρες από το θάνατο του Galois , ο φίλος παρουσίaσε την εργασία του στην Γαλλική Ακαδημία Επιστημών. Αμέσως αναγνωρίστηκε η σημασία της και σήμερα διδάσκεται σε όλα τα μαθηματικά τμήματα πανεπιστημίων διεθνώς. Είναι η περιβόητη Θεωρία ομάδων του Galois ".</span></span></i></b><br />
<b><i><span style="color: black;"><span style="color: blue;"><br /></span></span></i></b>
<b><i><span style="color: black;"><span style="color: blue;">Ο Galois λέγεται ότι είχε μεγάλη έφεση στα μαθηματικά. Ένας δάσκαλός του είπε γι' αυτόν ότι : "έχει την μανία των μαθηματικών" , κι ένας άλλος : " κυνηγάει την πρωτοτυπία". Η θεωρία των ομάδων έφερε μια επανάστaση στα μαθηματικά γιατί δεν επικεντρώνεται πλέον στους αριθμούς , ούτε στις συναρτήσεις αλλά στις δομές. Την εργασία του έφερε στο προσκήνιο άλλες δύο φορές. Την πρώτη όταν πρόεδρος της Γαλλικής Ακαδημίας ήταν ο Φουριέ. Δεν πρόλαβε όμως να τη φέρει στην ολομέλεια γιατί πέθανε ο Φουριέ και η εργασία έμεινε στα συρτάρια. Την δεύτερη φορά ο </span></span></i></b><b><i><span style="color: black;"><span style="color: blue;">Galois έδωσε την εργασία στον διάδοχο του Φουριέ στον Πουανσόν. Εκείνος δεν κατάλaβε το πνεύμα της νέας εργασίας και έγραψε αρνητικά σχόλια. Δεν κατάλαβε το "καινούριο" που έφερνε η νέα θεωρία. Ο </span></span></i></b><b><i><span style="color: black;"><span style="color: blue;">Galois πλήρωσε το ότι ήταν μπροστά από την εποχή του. Η εργασία του αναγνωρίστηκε μετά θάνατον μόλις την έφερε στην Ακαδημία ο φίλος του. Ο </span></span></i></b><b><i><span style="color: black;"><span style="color: blue;">Galois έχει επίσης σημαντική συμμετοχή στην απόδειξη ότι οι εξισώσεις πέμπτου και άνω βαθμού δεν είναι επιλύσιμες με ριζικά. Θεωρείται ο βασιλιάς των μαθηματικών αντικειμένων που κυβερνούν την άλγεβρα του 20ου αιώνα. Εγκαινίασε τα λεγόμενα μοντέρνα μαθηματικά.</span></span></i></b></div>
<br />
<br />
<br />
<br />
<b><span style="color: blue;"><i> Tα τρία άλυτα προβλήματα της αρχαιότητας! Διπλασιασμός του κύβου , τριχοτόμηση γωνίας , τετραγωνισμός κύκλου. Όλα τα προβλήματα αυτά ξεκίνησαν ως γενίκευση κάποιων άλλων που είχαν επιλυθεί.</i></span></b><br />
<b><span style="color: blue;"><i> Τετραγωνισμός κύκλου. Να κατασκευαστεί δηλαδή με κανόνα και διαβήτη τετράγωνο που να να έχει εμβαδόν ίσο με δοθέντα κύκλο. Ο Ιπποκράτης ο Χίος κατάφερε να τετραγωνίσει μηνίσκους. Σε μια εποχή που ο τετραγωνισμός αφορούσε ευθύγραμμα σχήματα όπως ορθογώνια , παραλληλόγραμμα και τραπέζια , ο Ιπποκράτης τετραγώνισε καμπυλόγραμμο σχήμα. Γέννησε ξαφνικά τρελές ελπίδες για τον τετραγωνισμό του κύκλου. Αφού οι μηνίσκοι τετραγωνίζονται γιατί όχι και ο κύκλος;</i></span></b><br />
<b><span style="color: blue;"><i> Διπλασιασμός του κύβου. Να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη κύβος με διπλάσιο όγκο από ένα δοθέντα κύβο. Το πρόβλημα αυτό είναι γενίκευση του διπλασιασμού τετραγώνου : " Να κατασκευαστεί τετράγωνο με εμβαδόν διπλάσιο από ένα δοθέντα". Η λύση αυτού του προβλήματος είναι να κατασκευάσουμε τετράγωνο με πλευρά τη διαγώνιο του αρχικού τετραγώνου. Το νέο τετράγωνο έχει διπλάσιο εμβαδόν από το αρχικό.</i></span></b><br />
<b><span style="color: blue;"><i> Τριχοτόμηση γωνίας. Το πρόβλημα αυτό αποτελεί γενίκευση της τριχοτόμησης ευθύγραμμου τμήματος. Να χωριστεί δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα σε τρία ίσα μέρη. Η κατασκευή αυτή οφείλεται στον Θαλή με χρήση μιας βοηθητικής ημιευθείας και παράλληλων ευθειών. Επεκτάθηκε το πρόβλημα αυτό στην αναζήτηση δύο ημιευθειών που χωρίζουν μια γωνία σε τρία ίσα μέρη. Αφού το ευθύγραμμο τμήμα τριχοτομείται γιατί όχι και η γωνία;</i></span></b><br />
<b><span style="color: blue;"><i><br /></i></span></b>
<br />
<b><span style="color: blue;"><i><br /></i></span></b><b><span style="color: blue;"><i><br /></i></span></b>
<b><span style="color: blue;"><i> Την εποχή εκείνη οι Έλληνες και οι Αιγύπτιοι πίστευαν ότι όλα τα προβλήματα έχουν λύση. Δεν μπορούσαν να φανταστούν ότι υπάρχουν προβλήματα άλυτα και ακόμη περισσότερο ότι μπορούμε να αποδείξουμε το αδύνατο της λύσης τους. Αργότερα λοιπόν αποδείχθηκε ότι η τριχοτόμηση μιας γωνίας , ο διπλασιασμός του κύβου και ο τετραγωνισμός του κύκλου με κανόνα διαβήτη ανήκουν στην κατηγορία των άλυτων προβλημάτων . Είναι άλυτα όχι γιατί εμείς δεν μπορούμε να τα επιλύσουμε όπως νόμιζαν οι αρχαίοι , αλλά γιατί αποδείχθηκε με σαφή τρόπο ότι είναι αδύνατο να λυθούν. </i></span></b><br />
<b><span style="color: blue;"><i> Το αδύνατο αυτών των κατασκευών στηρίχθηκε στην διαπίστωση ότι όλες αυτές οι γεωμετρικές κατασκευές συνδέονται με άρρητους αριθμούς που δεν είναι αλγεβρικοί αλλά υπερβατικοί. Αλγεβρικοί είναι εκείνοι οι άρρητοι που αποτελούν ρίζες μιας εξίσωσης με ακέραιους συντελεστές. Ο ρίζα 2 για παράδειγμα είναι αλγεβρικός γιατί είναι ρίζα της εξίσωσης: χ2 -2 =0. Ο π όμως είναι υπεβατικός γιατί δεν υπάρχει εξίσωση με ακέραιους συντελεστές που να έχει ρίζα το π. Ο τετραγωνισμός λοιπόν του κύκλου με κανόνα και διαβήτη είναι αδύνατος γιατί ο αριθμός π δεν είναι αλγεβρικός!</i></span></b><br />
<b><span style="color: blue;"><i><br /></i></span></b><b><span style="color: blue;"><i><br /></i></span></b>
<b><span style="color: blue;"><i><br />Οι πίνακες των χορδών από τον Ίππαρχο και τον Πτολεμαίο είναι τα πρώτα παραδείγματα συναρτήσεων στην ιστορία των μαθηματικών. Τριγωνομετρικών συναρτήσεων.Αργότερα οι Ινδοί αντικατέστησαν τους πίνακες χορδών με πίνακες ημιτόνων, που ήταν πιο εύχρηστοι.Το ημίτονο δεν είναι τίποτα άλλο από το μισό μιας χορδής ενός μοναδιαίου κύκλου. Η λέξη προέρχεται από το σανσκριτικό ζίβα που μεταφράζει την ελληνική έκφραση "χορδή τόξου" που χρησιμοποίησε ο Ίππαρχος. Στα αραβικά έγινε τζίμπα και στα λατινικά sinus. Ο πρώτος μαθηματικός που συνέταξε πίνακες ημιτόνων κι όχι χορδών ήταν ο Άραβας Αλ - Χουαρίσμι.Ο </i></span></b><b style="color: blue;"><i>Αλ - Χασίμπ δημιούργησε τις εφαπτομένες. Ο Θαλής θα υπολόγιζε κατευθείαν το ύψος της πυραμίδας του Χέοπα αν διέθετε πίνακες εφαπτομένων. Δεν διέθετε όμως ... Γι' αυτό στηρίχθηκε στην θεωρία ομοιότητας.</i></b><br />
<b><span style="color: blue;"><i><br /></i></span></b><b><span style="color: blue;"><i><br /></i></span></b>
<b><span style="color: blue;"><i><br /></i></span></b>
<b><span style="color: blue;"><i>Μια μέρα του 1742 ο μαθηματικός Κρίστιαν Γκόλντμπαχ έστειλε μια επιστολή στον Όιλερ , όπου έγραφε : "Κάθε άρτιος αριθμός διαφορετικός του 2 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων αριθμών. Για παράδειγμα : 16 = 13 + 3 , 30 = 23 + 7". Πέρασαν δυόμισι αιώνες από τότε και εξακολουθούμε να μη γνωρίζουμε αν αυτή πρόταση , γνωστή ως εικασία του </i></span></b><b><span style="color: blue;"><i>Γκόλντμπαχ , είναι αληθής.</i></span></b><br />
<b><span style="color: blue;"><i><br /></i></span></b>
<b><span style="color: blue;"><i><br /></i></span></b><b><span style="color: blue;"><i>Ένα σημείο Μ του επιπέδου με σαφή γεωμετρική υπόσταση μεταμορφώνεται με το μαγικό ραβδί των Φερμά και Ντεκάρτ σε ένα ζευγάρι αριθμών. Ακατα μακατα .... και το σημείο έγινε (x,y).Είναι μια πραγματική επανάσταση! Το γεωμετρικό σημείο πήρε αλγεβρική μορφή. Η καθαρή γεωμετρία έχει πια εξοβελιστεί. Το ίδιο συμβαίνει με τις γεωμετρικές καμπύλες. Η εξίσωσή τους γίνεται το αλγεβρικό τους όνομα!</i></span></b><br />
<b><span style="color: blue;"><i><br /></i></span></b><b><span style="color: blue;"><i><br /></i></span></b>
<b><span style="color: blue;"><i><br /></i></span></b>
<b><span style="color: blue;"><i><br /></i></span></b><b><span style="color: blue;"><i>Το σύμβολο"= " της ισότητας οφείλεται στον μαθηματικό και γιατρό Ρέκορντ στα 1557. Το "x" του πολλαπλασιασμού είναι επινόηση του Άγγλου Ουίλλιαμ Ούγκρεντ στα 1631.Τα σύμβολα "<" , ">" επινόηση του Άγγλου Τομας Χάρριοτ.Το σύμβολο της τετραγωνικής ρίζας από τον Γερμανό Ρούντολφ στα 1525. Το σύμβολο του απείρου από τον Άγγλο Τζον Ουάλλις. Ο συμβολισμός των δυνάμεων από τον Γάλλο Νικολά Συκέ τον 15ο αιώνα. Ο Ντεκάρτ τέλος συμβόλιζε με τα αρχικά μικρά γράμματα της αγγλικής αλφαβήτου , a, b , c , ... τους γνωστούς και με τα μικρά αλλά τελευτία γράμματα της αλφαβήτου. .. x , y , z τους αγνώστους. Σε αυτήν την παράδοση χρωστάμε τον σημερινό συμβολισμό του αλφα χι τετράγωνο και βήτα χι και γάμα ίσον με μηδέν.</i></span></b><br />
<b><span style="color: blue;"><i><br /></i></span></b>
<b><span style="color: blue;"><i><br /></i></span></b>
<b><span style="color: blue;"><i><br /></i></span></b>
<br />
<b><span style="color: blue;"><i><br /></i></span></b>
<span style="font-size: large;"><u><i><span style="color: #cc0000;"><b>Σταχυολογήματα από το "Θεώρημα του παπαγάλου" (Βιβλίο του Ντένι Γκετζ)</b></span></i></u></span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<b><span style="color: blue;"><span style="color: #cc0000;">1. </span>Ο
Θαλής προσπάθησε να μετρήσει το ύψος των πυραμίδων της Αιγύπτου. Η
σκέψη του ήταν αρχικά ότι όταν η σκιά του γίνει ίση με το ύψος του τότε
και η σκιά της πυραμίδας θα ισούται με το ύψος της. Έστειλε έναν Αιγύπτιο στη βάση της πυραμίδας.Όταν υπολόγισε ότι η σκιά του έχει μήκος ίσο με το ύψος του ζήτησε από τον Αιγύπτιο να μετρήσει τη σκιά της πυραμίδας.</span></b><br />
<b><span style="color: blue;"><span style="color: #990000;"><i>"Αφού δεν μπορώ να μετρήσω το ύψος που χάνεται στους ουρανούς θα μετρήσω τη σκιά που είναι πεσμένη στο έδαφος" , σκέφτηκε.</i></span></span></b><br />
<b><span style="color: blue;"><span style="color: #990000;"><i><br /></i></span></span></b>
<b><i><span style="color: #990000;">2</span><span style="color: blue;">. Ο
Θαλής για πρώτη φορά στα μαθηματικά προσπάθησε να αποδείξει
ισχυρισμούς που ισχύουν καθολικά , πάντα. Τον ενδιέφεραν ιδιότητες που
ικανοποιούνται από μία απειρία αντικειμένων. Η πρώτη απόδειξη στην
Ιστορία των μαθηματικών ήταν δική του και αφορούσε ότι η διάμετρος
χωρίζει τον κύκλο σε δύο ίσα τόξα τα ημικύκλια. Κάθε διάμετρος κάθε κύκλου τον χωρίζει σε δύο ίσα μέρη. Αναζητούσε αποδείξεις που ισχύουν πάντοτε σε μιa απειρία αντικειμένων του ίδιου είδους.</span></i></b><br />
<b><span style="color: #990000;"><i><span style="color: blue;"> </span>" Δεν υπάρχει ούτε ένα τόσο δα μικρό
, παράνομο και κρυμμένο κυκλάκι κάπου στον κόσμο που να έκανε αντάρτικο
και να μην ικανοποιεί το θεώρημα του. Είναι τόσο σκληρό αυτό σχεδόν
φασιστικό. Κι όμως τίποτα δεν μπορεί αν ξεφύγει από ένα θεώρημα ...!"</i></span></b><br />
<b><span style="color: blue;"><i><span style="color: blue;"> Στον ίδιο αποδίδονται κι άλλες αποδείξεις όπως ότι οι κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες ή ότι οι προσκείμενες στη βάση γωνίες ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες. Αντίθετα η απόδειξη ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου ισούται με 180 μοίρες αποδίδεται ιστορικά στον Πυθαγόρα.</span></i></span></b><br />
<br />
<b><i>3.
"Ισοσκελές τρίγωνο είναι αυτό που έχει δύο ίσες πλευρές. Δύο ίσα σκέλη, όπως λέει το όνομά του δηλαδή δύο ίσα
πόδια.Έτσι σκαληνό τρίγωνο είναι αυτό που έχει άνισες πλευρές άρα τα σκέλη του δεν είναι ίσα.Το σκαλήνό τρίγωνο δεν έχει ίσο μήκος ποδιών όπως το ισοσκελές. Είναι λοιπόν ένα κουτσό τρίγωνο.Φανταστείτε μια
άσκηση μαθηματικών που θα ξεκινούσε :</i></b><br />
<b><i>" Δίνεται ένα κουτσό τρίγωνο..." και θα αναφερόταν στο σκαληνό.</i></b><br />
<b><i><br /></i></b>
<b><i>4. "Δεν υπάρχει εξίσωση χωρίς ισότητα. Ούτε δημοκρατία..."</i></b><br />
<b><i><br /></i></b>
<b><i>5.
"Οι αριθμοί στους αρχαίους Έλληνες διανοητές άρχιζαν από το δύο.Το
μηδέν (ουδέν) έδειχνε ανυπαρξία , άρα δεν ήταν αριθμός. Το ένα φανέρωνε
την ύπαρξη ενός αντικειμένου. Από το δύο και μετά μετρούνταν η ποσότητα δηλαδή άρχιζαν οι αριθμοί." Ο Αρχύτας ο Ταραντίνος ενέταξε για πρώτη φορά το ένα ως αριθμό ισότιμο με τους άλλους και θεώρησε ότι η αρίθμηση ξεκινά από το ένα.</i></b><br />
<span style="color: #cc0000;"><b><i><br /></i></b></span>
<span style="color: #cc0000;"><b><i>6. <span style="color: blue;">Τα
όμοια τρίγωνα έχουν τη ίδια μορφή αν και σε διαφορετικό
μέγεθος(σμίκρυνση-μεγέθυνση). Χαρακτηριστική ιδιότητα των όμοιων
σχημάτων είναι ότι έχουν ανάλογες πευρές.</span></i></b></span><br />
<b><i>"Η διατήρηση των αναλογιών σημαίνει διατήρηση της μορφής". </i></b><br />
<b><i><span style="color: blue;"> Όταν δηλαδή διατηρείται η αναλογία των πλευρών δύο σχημάτων τα σχήματα έχουν παρόμοια μορφή ( είναι δηλαδή όμοια) απλά σε διαφορετικό μέγεθος.</span></i></b><br />
<span style="color: #cc0000;"><b><i><br /></i></b></span>
<span style="color: #cc0000;"><b><i>7. <span style="color: black;">"Το μηδέν μετατρέπει την αρνητική απάντηση : ΔΕΝ ΕΧΕΙ ΤΙΠΟΤΑ στην θετική : ΕΧΕΙ ΜΗΔΕΝ. Την αρνητική απάντηση : ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ στην θετικη : ΕΙΝΑΙ ΜΗΔΕΝ".</span></i></b></span><br />
<br />
<span style="color: #cc0000;"><b><i>8. <span style="color: black;">"Αν το μηδέν είναι το τίποτα , οι αρνητικοί αριθμοί είναι λιγότερο από το τίποτα."</span></i></b></span><br />
<span style="color: #cc0000;"><b><i><br /></i></b></span>
<span style="color: #cc0000;"><b><i>9. <span style="color: black;">"Το μηδέν είναι:</span></i></b></span><br />
<b><i> αδύναμο στην πρόσθεση</i></b><br />
<b><i> παντοδύναμο στον πολλαπλασιασμό</i></b><br />
<b><i> απαγορευμένο στη διαίρεση</i></b><br />
<b><i> εκκεντρικό στις δυνάμεις."</i></b><br />
<br />
<span style="color: #cc0000;"><b><i>10. <span style="color: black;">"Η πιθανότητα είναι παγιδευμένη ανάμεσα στο μηδέν και το ένα. Μοιάζει με μια κούπα καφέ με γάλα με διαφορετικές αναλογίες των δύο συστατικών του.. Ενα φλιτζάνι καφέ έχει μαύρο χρώμα και συμβολίζει το αδύνατο με πιθανότητα μηδέν.Ένα φλιτζάνι γάλα με άσπρο χρώμα είναι το βέβαιο με πιθανότητα ένα. Αναμιγνύοντας το καφέ με το γάλα φτιάχνουμε ένα μίγμα σε αποχρώσεις του καφέ. Αν βάλουμε λιγότερο γάλα έχουμε σκούρο χρώμα δηλαδή πιθανότητα
κοντά στο μηδέν. Αν βάλουμε περισσότερο γάλα το χρώμα ανοίγει και
πλησιάζει στο άσπρο δηλαδή η πιθανότητα πλησιάζει το ένα."</span></i></b></span><br />
<span style="color: #cc0000;"><b><i><br /></i></b></span>
<span style="color: #cc0000;"><b><i><br /></i></b></span>
<span style="color: #cc0000;"><b><i>11. <span style="color: black;">"Θηριοδαμαστής του αγνώστου σημαίνει αυτόν που καταπιάνεται να λύσει μια εξίσωση."</span></i></b></span><br />
<span style="color: #cc0000;"><b><i><br /></i></b></span>
<span style="color: #cc0000;"><b><i>12. <span style="color: black;">"Μιγαδικοί αρθμοί ονομάστηκαν γιατί είναι μιγάδες. Είναι δηλαδή απόγονοι ενός πραγματικού κι ενός φανταστικού αριθμού."</span></i></b></span><br />
<span style="color: #cc0000;"><b><i><br /></i></b></span>
<span style="color: #cc0000;"><b><i>13.
"<span style="color: black;">Στα αραβικά κασρ σημαίνει σπασμένο και είναι ο αραβικός όρος για το
κλάσμα. Από τότε πέρασε η παράδοση στη Δύση να επιλέγεται ο όρος
σπασμένο στη κάθε γλώσσα για να αποδώσει την έννοια του κλάσματος.
Άλλωστε και το 'κλάσμα' στα αρχαία σημαίνει κάτι που έσπασε σε
κομμάτια.Θυμόμαστε την έκφαση του ευαγγελιστή που περιγράφει τον Μυστικό
Δείπνο :' έκλασε ο Ιησούς τον άρτο...' , τον έσπασε δηλαδή σε κομμάτια
και μοίρασε τα κλάσματα στους μαθητές"</span></i></b></span><br />
<span style="color: #cc0000;"><b><i><br /></i></b></span>
<span style="color: #cc0000;"><b><i>14 <span style="color: black;">Το σύμβολο = που δηλώνει την ισότητα ανακαλύφθηκε από τον Ρέκορντ στα 1557. Όταν τον ρώτησαν γιατί επέλεξε το συγκεκριμένο σύμβολο είπε ότι περιέχει δύο δίδυμες παράλληλες γραμμές. Τι πιο πανομοιότυπο (ίσο) λοιπόν από δύο δίδυμα;"</span></i></b></span><br />
<span style="color: #cc0000;"><b><i><span style="color: black;"><br /></span></i></b></span>
<b><i><span style="color: #990000;">15.</span><span style="color: black;"> </span><span style="color: black;">Η αριθμητική είναι η επιστήμη των ακεραίων αριθμών , ενώ η άλγεβρα η επιστήμη των εξισώσεων.</span></i></b><br />
<b><i><span style="color: black;"><br /></span></i></b>
<b><i><span style="color: black;"><br /></span></i></b>
<b><i><span style="color: #990000;">16.</span><span style="color: blue;"> </span>Ο λογάριθμος του γινομένου ισούται με το άθροισμα των λογαρίθμων :</i></b><br />
<b><i> </i></b><b><i>log(xy) = logx + logy. </i></b><b><i>Θέλεις πολλαπλασιασμό; Σου κάνω πρόσθεση.Καθώς οι μηχανισμοί της πόσθεσης είναι απλούστεροι των αντίστοιχων του πολλαπλασιασμού , οι ωφέλειες είνaι σημαντικές. Ο λογάριθμος λειτουργεί ως αποπολλαπλασιαστής. Παρομοίως για να κάνεις διαίρεση αρκεί να κάνεις αφαίρεση : log(x/y) = logx - logy.</i></b><br />
<b><i><span style="color: black;"><br /></span></i></b>
<span style="color: #cc0000;"><b><i><span style="color: black;"><br /></span></i></b></span>
<b><i><span style="color: #990000;">17.</span><span style="color: black;"> </span><span style="color: black;">"</span><span style="color: black;">Καμιά μαθηματική πρόταση δεν πρέπει να γίνεται δεκτή χωρίς απόδειξη. Αυτός είναι ο άγραφος νόμος που θέσπισαν για τον εαυτό τους οι Έλληνες μαθηματικοί.Πώς όμως αποδεικνύουμε μια πρόταση; Συμπεραίνοντάς την από κάποια άλλη που γνωρίζουμε ότι είναι αληθής. Φαύλος κύκλος! Οι μαθηματικοί είναι λοιπόν καταδικασμένοι να δαγκώνουν την ουρά τους;Πώς θα σπάσουμε αυτόν τον κύκλο; Απαιτείται μια σωστή θεμελίωση. Είναι το αντίτιμο μιας μηχανής που στη συνέχεια θα δουλεύει σωστά και θα παρέχει αλήθειες. Ύστερα από μια σωστή θεμελίωση ο μηχανισμός θα συνεχίσει να δουλεύει με τη δική του δυναμική. Επομένως δεν μπορούμε να βγούμε από τον φαύλο κύκλο, παρά μόνο αν αποδεχθούμε στην εκκίνηση μερικές αλήθειες χωρίς απόδειξη.Τις θεσπίζουμε a priori μια για πάντα. Με τον τρόπο αυτόδούλεψε ο Ευκλείδης. Πρώτα θέσπισε ορισμούς και αμέσως μετά έρχονατι τα αιτήματα και τα αξιώματα.Τα πρώτα θεσπίζουν a priori ότι ορισμένες κατασκευές είναι δυνατές.Τα δεύτερα είναι κοινές έννοιες , δεκτές από όλους , αρχές της σκέψης που κανένας δεν αισθάνεται την ανάγκη να αμφισβητήσει την εγκυρότητά τους".</span></i></b><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: blue;"><br />
</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: blue;"> <b><span style="font-family: "courier new" , "courier" , monospace; font-size: large;">Η γνώμη μου</span></b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><span style="color: blue; font-size: large;">Ιστορία μαθηματικών και η Διδακτική αξιοποίησή της</span></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<b>Έχει γίνει πολύ συζήτηση για την διδακτική αξιοποίηση της Ιστορίας των Μαθηματικών. Της έχουν αναγνωρίσει πολλά πλεονεκτήματα όπως ο εξανθρωπισμός της μαθηματικής παιδείας , η ανάδειξη του κοινωνικού χαρακτήρα των μαθηματικών , η ελκυστικότητα της κ.α</b></div>
<div style="text-align: justify;">
<b>Είναι σίγουρα θετικό που στο τέλος των κεφαλαίων ή ενδιάμεσα στο τέλος μιας παραγράφου υπάρχουν ιστορικά σημειώματα.</b></div>
<div style="text-align: justify;">
<b>Κατά την άποψη μου όμως η μετοχή της Ιστορίας θα μπορούσε να είναι πιο ουσιαστική παρά διακοσμητική. Αυτό θα γινόταν αν στην αρχή κάθε κεφαλαίου ή και παραγράφου αν ήταν δυνατόν θα υπήρχε ιστορική επισκόπηση τη ς νέας έννοιας.</b></div>
<div style="text-align: justify;">
<b>Με τον τρόπο αυτό οι μαθητές πρέπει να δουν για ποιους λόγους και ποιες ανάγκες ξεκίνησε η εισαγωγή της νέας έννοιας. Ποια προβλήματα ήρθε να λύσει και σε ποια εποχή. Επίσης από ποια εξελικτικά στάδια πέρασε μέχρι την σημερινή της μορφή. Τέλος ποιοι μαθηματικοί συνέβαλαν στην θεμελίωσή της . Προωθείται έτσι η κοινωνική διάσταση των μαθηματικών , η σχέση τους με τα πραγματικά προβλήματα καθώς και η επίπονη εξελικτική τους πορεία.</b></div>
<div style="text-align: justify;">
<b>Συνήθως διδάσκουμε τις έννοιες φορμαλιστικά ξεκομένα από το κοινωνικό γίγνεσθαι που τις γέννησε .Επίσης πάντα με την τελική τους μορφή που έχει όμως στην πλάτη της μια πορεία αλλαγών πολλών αιώνων. Παρατηρείται αυτό που η διδακτική φαινομενολογία οναμάζει αντιδιδακτική αντιστροφή. Προηγείται δηλαδή το αποτέλεσμα της αιτίας και της πορείας.</b></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><span style="color: blue; font-size: large;">Πράδειγμα 1 : Ολοκληρώματα</span></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<b>Ξεκινούμε την διδασκαλία του ολοκληρώματος με τον αυστηρό ορισμό του αόριστου από τον Riemann. Προϊόν δηλαδή του 19ου αιώνα όπου κυριαρχούσε ο φορμαλισμός και η αναζήτηση των τυποκρατικών θεμελίων των μαθηματικών. Το ολοκήρωμα όμως δεν ξεκίνησε έτσι. Πρέπει να δούμε την προσπάθεια του Αρχιμήδη από την αρχαιότητα κιόλας να υπολογίσει τα εμβαδά παραβολικών χωρίων. Κατόπιν τον 17ο - 18 αιώνα που στην προσπάθεια να υπολογιστούν εμβαδά αναπτύχθηκαν οι πρώτοι κανόνες ορισμένου ολοκληρώματος με σημαντικό πρωτεργάτη τον Euler. Και τέλος να φτάσουμε στον 19ο αιώνα , αιώνα της θεωρίας και της φιλοσοφίας όπου ορίζεται πέον αυστηρά. Ο Riemann όμως γνώριζε την ιστορική πορεία του ολοκληρώματος όταν το όριζε αυστηρά , οι μαθητές πως όχι;</b></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><span style="color: blue; font-size: large;">Παράδειγμα 2 : Τριγωνομετρία</span></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<b>Δεν μπορούμε να διδάσκουμε τριγωνομετρία χωρίς τα ιστορικά προβλήματα της μέτρησης του ύψους πανύψηλου δέντρου ή ψηλού γενικά αντικειμένου. Απλούστατα γιατί από εκεί ξεκίνησε . Αυτή είναι η αιτία που την γέννησε.</b></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><span style="color: blue; font-size: large;">Παράδειγμα 3 : Όμοια τρίγωνα</span></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<b>Δεν μπορούμε να διδάσκουμε όμοια τρίγωνα χωρίς τα ιστορικά προβλήματα του Θαλή όπως :</b></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<b>Μέτρηση ύψους πυραμίδας</b></div>
<div style="text-align: justify;">
<b>Μέτρηση ύψους δέντρου με το ραβδί και τη σκιά.</b></div>
<div style="text-align: justify;">
<b>Μέτρηση της απόστασης πλοίου από την ακτή.</b></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<b>Μόσχος Αλέξανδρος</b><br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<br />
<span style="font-size: large;"><span style="color: #cc0000;"><b>Κάνοντας κλικ παρακάτω θα δείτε μια εργασία μου με θέμα την διδακτική αξιοποίηση της Ιστορίας των μαθηματικών στην καθημερινή μάχιμη διδασκαλία.</b></span></span><br />
<b><br /></b>
<br />
<a href="https://drive.google.com/file/d/0BxbKSKHiz6zabGVwNXZ3OVB5XzQ/edit?usp=sharing"><b><span style="font-size: large;"><span style="color: blue;">Κλικ εδώ για την εργασία.</span></span></b></a><br />
<br />
<br />
<br />
<h2>
<span style="background-color: #cfe2f3; color: #990000; font-size: large;"><span class="mw-headline"></span>Παρακάτω θα βρείτε σε μορφή Power Point ιστορικά στοιχεία σε διάφορα μαθηματικά πεδία γνώσης.</span></h2>
<div>
<span style="background-color: #cfe2f3; color: #990000; font-size: large;"><br /></span></div>
<div>
<b><a href="https://docs.google.com/file/d/0BxbKSKHiz6zaZmpBUHdnbmlmcTg/edit?usp=sharing" style="background-color: #ffe599;">Η περιπέτεια του ανθρώπου να μετρά.</a></b><br />
<span style="background-color: #ffe599;"><br /></span>
<a href="https://docs.google.com/file/d/0BxbKSKHiz6zaZDNjZzBNSGxQMkU/edit?usp=sharing" style="background-color: #ffe599;">Η χιονονιφάδα , η μέλισσα και τα κανονικά πολύγωνα.</a></div>
<h2>
<span style="font-size: small;"><a href="https://docs.google.com/file/d/0BxbKSKHiz6zaTWFMTXljZm1sS2s/edit?usp=sharing" style="background-color: #ffe599;">Ιστορική παρουσίαση μαγικών τετραγώνων </a></span></h2>
<div>
<a href="https://docs.google.com/file/d/0BxbKSKHiz6zaaTVKWGVwSGI4U0k/edit?usp=sharing" style="background-color: #ffe599;">Ιστορία των αρνητικών αριθμών</a><br />
<br />
<span style="background-color: #ffe599;"><a href="https://docs.google.com/file/d/0BxbKSKHiz6zaLWxNcXo3V0M4Rnc/edit?usp=sharing">Ιστορική παρουσίαση τετραγωνικών ριζών</a></span><br />
<br />
<span style="background-color: #ffe599;"><a href="https://docs.google.com/file/d/0BxbKSKHiz6zaWlNZZzd6eDhCdnc/edit?usp=sharing">Στοιχεία του Ευκλείδη</a></span><br />
<br />
<a href="https://docs.google.com/file/d/0BxbKSKHiz6zacGlGSnU0bF9yTjA/edit?usp=sharing"><span style="background-color: #fff2cc;">Ι</span><span style="background-color: #ffe599;">στορικά προβλήματα στην επίλυση εξισώσεων</span></a><br />
<br />
<span style="background-color: #ffe599;"><a href="https://docs.google.com/file/d/0BxbKSKHiz6zaXzNxTzFWbXExVjQ/edit?usp=sharing">Ιστορία των άρρητων αριθμών</a></span></div>
<div>
<span style="background-color: #ffe599;"><br /></span></div>
<div>
<a href="https://docs.google.com/file/d/0BxbKSKHiz6zaOWdkbzBTQ1RVbkk/edit?usp=sharing" style="background-color: #ffe599;">Ιστορικά στοιχεία τριγωνομετρίας.</a><br />
<br /></div>
<div>
<a href="https://docs.google.com/file/d/0BxbKSKHiz6zacW96SFl1c3YxMEk/edit?usp=sharing" style="background-color: #ffe599;">Ιστορικά στοιχεία στο πυθαγόρειο θεώρημα.</a><br />
<br />
<span style="background-color: #ffe599;"><a href="https://docs.google.com/file/d/0BxbKSKHiz6zaTThlelJwWmdydDg/edit?usp=sharing">Ιστορική εξέλιξη του αριθμού π</a></span></div>
<div>
<span style="background-color: #ffe599;"><br /></span></div>
<div>
<a href="https://docs.google.com/file/d/0BxbKSKHiz6zaUXZsY2ZYU1R1NGM/edit?usp=sharing" style="background-color: #ffe599;">Ο πρώτος συμβολισμός στην Άλγεβρα.</a><br />
<br />
<a href="https://docs.google.com/file/d/0BxbKSKHiz6zaR2lFSEszYms2RDg/edit?usp=sharing" style="background-color: #ffe599;">Θαλής ο Μιλήσιος</a><br />
<span style="background-color: #ffe599;"><br /></span>
<a href="https://docs.google.com/file/d/0BxbKSKHiz6zaRnlSNDNNLXFjaU0/edit?usp=sharing" style="background-color: #ffe599;">Παντογράφος</a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<br />
<b style="color: blue;"> </b><br />
<b style="color: blue;">Bιογραφίες αρχαίων Ελλήνων μαθηματικών μπορείτε να βρείτε </b><b><span style="background-color: orange; color: #cc0000;"><a href="http://www.edutv.gr/deyterobathmia/videos/32-epistimi-texnologia/?start=24">εδώ</a></span></b><b style="color: blue;"> από video της Εκπαιδευτικής Τηλεόρασης της ΕΡΤ.</b><br />
<b style="color: blue;"> </b>
<b style="color: blue;"><br /></b>
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><b> ΘΕΜΑΤΙΚΟΣ ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ</b></span><br />
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>Εδώ μπορείτε να βρείτε τα εξής θέματα Ιστορίας των μαθηματικών </b></span><span style="color: blue; font-size: large;"><b>με την παρακάτω σειρά :</b></span><br />
<br />
<b><span style="color: #cc0000;">1. Η εξέλιξη των αριθμών</span></b><br />
<b><span style="color: #cc0000;">2. Η εμφάνιση της μεταβλητής</span></b><br />
<b><span style="color: #cc0000;">3. Το μηδέν και η άγνοια</span></b><br />
<b><span style="color: #cc0000;">4. Οι αρνητικοί αριθμοί</span></b><br />
<b><span style="color: #cc0000;">5. Η ιστορία του π</span></b><br />
<b><span style="color: #cc0000;">6. Ο αριθμός i - H απαρχή των μιγαδικών αριθμών.</span></b><br />
<b><span style="color: #cc0000;">7 . Η ιστορία των εξισώσεων ( σύνδεση με ιστοσελίδα)</span></b><br />
<b><span style="color: #cc0000;">8. Ιστορία του λογαρίθμου</span></b><br />
<b><span style="color: #cc0000;">9 Ο ασύλληπτος e</span></b><br />
<b><span style="color: #cc0000;">10. Ελληνικά μαθηματικά</span></b><br />
<b><span style="color: #cc0000;">11 Κωνσταντίνος Καραθεωδορής</span></b><br />
<b><span style="color: #cc0000;">12. Θαλής ο Μιλήσιος</span></b><br />
<b><span style="color: #cc0000;">13 Στοιχεία του Ευκλείδη</span></b><br />
<b><span style="color: #cc0000;">14 Πειραματική γεωμετρία (σύνδεση με ιστοσελίδα)</span></b><br />
<b><span style="color: #cc0000;">15 Μη ευκλείδειες γεωμετρίες ( σύνδεση με ιστοσελίδα )</span></b><br />
<b><span style="color: #cc0000;">16 Τα 3 άλυτα προβλήματα της ελληνικής αρχαιότητας</span></b><br />
<b><span style="color: #cc0000;">17. Ιστορικά προβλήματα γεωμετρίας του Θαλή Μιλήσιου.</span></b><br />
<b><span style="color: #cc0000;"> ( σύνδεση με ιστοσελίδα )</span></b><br />
<b><span style="color: #cc0000;">18. Ιστορία του πυθαγωρείου θεωρήματος ( σύνδεση με ιστοσελίδα )</span></b><br />
<b><span style="color: #cc0000;">19. Συνοπτική ιστορία της τριγωνομετρίας.</span></b><br />
<b><span style="color: #cc0000;">20. Συνοπτική ιστορία των αρχαιοελληνικών μαθηματικών.</span></b><br />
<b><span style="color: #cc0000;">21. Πίνακας ανάπτυξης των μαθηματικών.</span></b><br />
<b><span style="color: #cc0000;">22. Η ανθρωπολογία των μαθηματικών.</span></b><br />
<b><span style="color: #cc0000;"> Αλφαβητικός κατάλογος κυριότερων μαθηματικών.</span></b><br />
<br />
<span style="color: #cc0000;"><br />
</span><br />
<span style="color: blue;"><b><span style="font-size: large;"><span style="color: blue;">1.</span> Η ΕΞΕΛΙΞΗ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ</span></b></span><br />
<br />
<br />
<div align="left">
</div>
<div align="justify">
Ο άνθρωπος χρειάστηκε <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">1.000.000 </span></span>χρόνια για να οδηγηθεί στην αφηρημένη έννοια των αριθμών<span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">. </span></span><br />
<div align="justify">
Ο <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">Homo sapiens (300.000 </span></span>χρόνια πριν<span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">) </span></span>κάνει μια μικρή αρίθμηση με κλαδιά<span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">. </span></span><br />
<div align="justify">
Ο <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">Homo sapiens sapiens (100.000 </span></span>χρόνια πριν<span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">) </span></span>χρησιμοποιεί κάποιες αριθμητικές λέξεις<span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">. </span></span><br />
<div align="justify">
Οι κυνηγοί<span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">-</span></span>τροφοσυλλέκτες <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">(70.000-20.000 </span></span>χρόνια πριν<span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">) </span></span>καταλάβαιναν την απλή πρόσθεση<span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">, </span></span>τον πολλαπλασιασμό και την αφαίρεση<span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">. </span></span>Το μοίρασμα της τροφής τους σημαίνει ότι κατανοούσαν τη διαίρεση<span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">. </span></span><br />
<div align="justify">
Η παλαιότερη ένδειξη αριθμητικής καταγραφής βρέθηκε στη Σουαζιλάνδη της Νότιας Αφρικής και είναι μια περόνη μπαμπουίνου με <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">29 </span></span>εμφανείς εγκοπές που χρονολογείται από το <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">35.000 </span></span>π<span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">.</span></span>Χ<span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">. </span></span>Μοιάζει με τα <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">«</span></span>ημερολογιακά ραβδιά<span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">» </span></span>που ακόμα χρησιμοποιούν στη Ναμίμπια για να καταγράφουν την παρέλευση του χρόνου<span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">. </span></span>Άλλα κόκαλα<span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">, </span></span>της νεολιθικής περιόδου<span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">, </span></span>έχουν βρεθεί στη Δυτική Ευρώπη<span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">. </span></span>Μια κερκίδα λύκου που βρέθηκε στην Τσεχία και χρονολογείται από το <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">30.000 </span></span>π<span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">.</span></span>Χ<span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">. </span></span>φέρει <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">55 </span></span>εγκοπές σε δύο σειρές ανά πέντε<span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">, </span></span>οι οποίες μάλλον αποτελούν καταγραφή θηραμάτων<span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">. </span></span><br />
<div align="justify">
<span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";"> </span></span><span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">Οι Σουμέριοι </span></span>ζύγιζαν<span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">, </span></span>υπολόγιζαν τη γη σε <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">«</span></span>σαρ<span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">», </span></span>μετρούσαν τα υγρά σε <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">«</span></span>κα<span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">», </span></span>χρησιμοποιούσαν κλάσματα και είχαν σύστημα αριθμών με βάση το <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">60. </span></span>π<span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">.</span></span>Χ<span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">. </span></span><span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";"> </span></span><br />
<div align="justify">
<div align="justify">
<div align="justify">
Το αριθμητικό τους σύστημα είχε ως βάση το <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">60 , </span></span>ήταν μη ψηφιακό<span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">, </span></span>θεσιακό<span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">, </span></span>χωρίς υποδιαστολή και χωρίς μηδέν<span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">. </span></span>Υποστηρίζεται ότι γνωρίζανε και το δεκαδικό σύστημα<span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">. </span></span><br />
<div align="justify">
Το εξηνταδικό σύστημα των Βαβυλωνίων έχει επιβιώσει μέχρι σήμερα στο μέτρημα του χρόνου<span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">. </span></span>Έτσι π<span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">.</span></span>Χ<span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">. </span></span>όταν οι Βαβυλώνιοι ήθελαν να εκφράσουν τον αριθμό <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">75, </span></span>έλεγαν <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">«1,15», </span></span>όπως κι εμείς σήμερα τα <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">75 </span></span>λεπτά τα εκφράζουμε σαν <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">1 </span></span>ώρα και <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">15 </span></span>λεπτά<span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">. </span></span>π<span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">.</span></span>Χ<span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">. </span></span><span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">Οι Αιγύπτιοι </span></span>χρησιμοποιούν σύστημα αριθμών με βάση το <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">10.</span></span></div>
<br />
<div align="justify">
<span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">Στο βαβυλωνιακό</span></span>, <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">το αιγυπτιακό</span></span>, <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">το ρωμαϊκό και πολλά άλλα αριθμητικά συστήματα της αρχαιότητας το τρία παριστάνεται ως ΙΙΙ</span></span>. <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";"></span></span><span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">, </span></span><span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">επειδή κάθε φορά που συμπληρώνονται δέκα μονάδες δημιουργείται μια μονάδα ανωτέρας τάξης</span></span>. <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">Οι αριθμοί από το </span></span>0 <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">μέχρι το </span></span>9 <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">είναι μονοψήφιοι</span></span>. <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">Ο αριθμός </span></span>10 <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">γράφεται ως ένα και μηδέν δηλαδή μια μονάδα ανωτέρας τάξης </span></span>(<span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">δεκάδα</span></span>) <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">και καμιά απλή μονάδα</span></span>. <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";"></span></span><span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">, </span></span><span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">γιατί η αξία του κάθε ψηφίου καθορίζεται από τη θέση του μέσα στον αριθμό</span></span>. <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">Έτσι στο </span></span>4737 <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">από δεξιά προς τα αριστερά η αξία αυξάνεται</span></span>. <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";"></span></span>(<span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">δέκατα</span></span>, <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">εκατοστά</span></span>, <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">χιλιοστά</span></span>, …) <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">τότε η </span></span><span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">υποδιαστολή </span></span><span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">μας δείχνει που σταματούν οι ακέραιες μονάδες και που αρχίζουν οι κλασματικές</span></span>. <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";"></span></span>31,2 <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">από το </span></span>3,12 <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">είναι η υποδιαστολή</span></span>. <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";"></span></span><span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">, </span></span><span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">αφού απαιτούνται </span></span>60 <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">απλές μονάδες για να δημιουργήσουν μια μονάδα ανωτέρας τάξεως</span></span>, <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">μια εξηντάδα</span></span>. <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">Με εξήντα εξηντάδες </span></span>(3.600 <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">απλές μονάδες</span></span>) <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">φτιάχνουμε μια μονάδα ανωτέρας τάξεως</span></span>, <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">μια τρισχιλιοεξακοσάδα</span></span>, <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">κ</span></span>.<span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">ο</span></span>.<span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">κ Έτσι ο αριθμός </span></span>125 <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">απαρτίζεται από δύο </span></span>(<span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">δύο εξηντάδεις</span></span>=120) <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">και το πέντε </span></span>(<span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">πέντε μονάδες</span></span>), <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">ενώ ο αριθμός </span></span>634 <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">απαρτίζεται από το δέκα </span></span>(<span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">δέκα εξηντάδες</span></span>=600) <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">και το </span></span>24 (24 <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">μονάδες</span></span>). <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">μ</span></span>.<span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">Χ</span></span>. </div>
<div align="justify">
2852<span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">π</span></span>.<span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">Χ</span></span>. <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">Ο Κινέζικος πολιτισμός </span></span><span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">χρησιμοποιεί σύστημα αριθμών με βάση το </span></span>60. <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">Κάνανε αστρονομικούς υπολογισμούς </span></span>1500 <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">χρόνια πριν από τους αρχαίους Έλληνες</span></span>. <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";"></span></span>, <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">αόριστες εξισώσεις</span></span>, <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">αρνητικούς αριθμούς.</span></span></div>
<div align="justify">
<span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">Οι Ίνκας </span></span><span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">έφτιαξαν ένα αριθμητικό σύστημα με βάση το </span></span>10, <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">για να παρακολουθούν τις καθημερινές δραστηριότητες του μεγάλου πληθυσμού τους </span></span>(<span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">Μέσα σε </span></span>200 <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">χρόνια είχαν πληθυσμό </span></span>6-12.000.000 <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">άτομα</span></span>). </div>
<div align="justify">
<span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">Οι Μάγια </span></span><span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">είχαν αριθμητικό σύστημα εικοσαδικό</span></span>, <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">μη ψηφιακό</span></span>, <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">θεσμικό και με ειδικό σύμβολο για το μηδέν</span></span>. <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">Το εικοσαδικό σύστημα οφείλεται ενδεχομένως στη χρήση των δαχτύλων τόσο των χεριών όσο και των ποδιών</span></span>, <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">για τη στοιχειώδη μέτρηση</span></span>.<br />
<span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">Οι Ινδοί </span></span><span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">έχουν το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης</span></span>, <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">το οποίο χρησιμοποιείται παγκοσμίως και το οποίο διέδωσαν οι Άραβες</span></span>. <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";"></span></span><span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">Άραβες </span></span><span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">μαθηματικοί ήταν ο αλ Χβαρίσμι </span></span>(780-850 <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">μ</span></span>.<span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">Χ</span></span>.), <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">πατέρας της Άλγεβρας</span></span>, <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">τίτλο που διεκδικεί από το δικό μας Διόφαντο και ο Πέρσης ποιητής και αστρονόμος Ομάρ Χαγιάμ </span></span>(1048-1131 <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">μ</span></span>.<span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">Χ</span></span>.) <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";"></span></span>(1180-1250 <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">μ</span></span>.<span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">Χ</span></span>.). <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">Για να τα υιοθετήσουν όμως οι Ευρωπαίοι χρειάστηκαν ακόμα </span></span>400 <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">χρόνια</span></span>. <sup> </sup><br />
<sup> <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">Τα επιτεύγματα των </span></span><span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">Ελλήνων</span></span>, <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">για </span></span>1000 <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">χρόνια επισκιάζουν όλα τα πνευματικά επιτεύγματα των επόμενων </span></span>1500 <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">ετών</span></span>. <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">Οι Έλληνες όμως στηρίχτηκαν στις παλαιότερες αρχαίες κοινωνίες των Βαβυλωνίων και Αιγυπτίων</span></span>. <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";"></span></span>10: <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">το Ηρωδιανό ή Αττικό και το Ιωνικό ή Αλεξανδρινό</span></span>. <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">Δε χρησιμοποιούσαν τιμές θέσεις όπως έκανα οι Βαβυλώνιοι και όπως γίνεται σήμερα</span></span>. <span style="font-family: "arial" , "arial";"><span style="font-family: "arial" , "arial";">Επίσης δε χρησιμοποιούσαν το μηδέν και τα κλάσματα</span></span>.</sup><br />
<br />
<br />
<span style="font-size: large;"><sup><img border="0" src="http://www.foundalis.com/dep/sci/Sieve_of_Eratosthenes.gif" height="321" width="400" /></sup></span></div>
<b><span style="color: red;">" Το κόσκινο του Ερατοσθένη" για τον </span></b><br />
<b><span style="color: red;"> υπολογισμό</span></b><b><span style="color: red;"> των πρώτων αριθμών.</span></b><br />
<br />
<br />
<br />
<div align="justify">
</div>
<div align="justify">
</div>
<div align="justify">
</div>
<div align="justify">
</div>
<div align="justify">
<br />
<a href="http://1.bp.blogspot.com/-VAo4FNr3ui0/TZIdNOBdUCI/AAAAAAAAEXg/qaQoTTFrSVM/s1600/d78b1.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://1.bp.blogspot.com/-VAo4FNr3ui0/TZIdNOBdUCI/AAAAAAAAEXg/qaQoTTFrSVM/s1600/d78b1.gif" /></a><br />
<br />
<b><span style="color: #cc0000;">Το τρίγωνο του Pascal.</span></b><br />
<br />
<br />
<br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;">2. Η ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΓΙΑ ΠΡΩΤΗ ΦΟΡΑ ΤHΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ</span></b></div>
<div align="justify">
</div>
<div align="justify">
</div>
<div align="justify">
Για πρώτη φορά χρησιμοποιήθηκε γράμμα για να παραστήσει ζητούμενο αριθμό από τον Διόφαντο στα 250 π.Χ στο έργο του : " Αριθμητικά ". Διατύπωσε και έλυσε ένα πρόβλημα χρησιμοποίώντας το γράμμα ( ανάποδο ς ).</div>
<div align="justify">
</div>
<div align="justify">
Γράφει :</div>
<div align="justify">
" Τον επιταχθέντα αριθμόν διελείν εις δύο αριθμούς εν υπεροχή τη δοθείσει.Έστω δει ο ρ , η δε υπεροχή Μμ , ευρείν τους αριθμούς...".</div>
<div align="justify">
</div>
<div align="justify">
Δηλ : Δοθέντος αριθμού να διαιρεθεί σε δυο άλλουςπου έχουν δοθείσα διαφορά. Έστω ότιο δοθείς αριθμός είναι ο 100 η δε διαφορά 40. Να βρεθούν οι δύο αριθμοί.</div>
<div align="justify">
Και συνεχίζει :</div>
<div align="justify">
" Τετάχθω ο ελάσσων ςα ο άρα μείζων έσται ς α Μμ συναμφότεροιάρα γίνονται ςβμμ δέδονται δε Μρ.Μ άρα ρ ίσαι εισιν ςβ Μμ".</div>
<div align="justify">
</div>
<div align="justify">
Το γράμμα ς που ο διόφαντος για πρώτη φορά χρησιμοποιεί έχει τελείως διαφορετικό νόημα από τα άλλα γράμματα.Συμβολίζει τον ζητούμενο αριθμό.Έναν συγκεκριμένο αλλά άγνωστο αριθμό.Οι μ ,ρ ,β συμβολίζουν αριθμούς σύμφωνα με την αρχαιοελληνική γραφή αριθμών.<br />
<br />
<br />
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>3. Tο μηδέν και η άγνοια</b></span><br />
<br />
Ήταν ο μεγάλος φιλόσοφος Λούντβιχ Bιττγκενστάϊν που είχε γράψει πως τα όρια της γλώσσας είναι και τα όρια της γνώσης μας για τον κόσμο.<br />
Tο ίδιο ισχύει και για την τελειότερη ίσως γλώσσα που εφηύρε ο άνθρωπος, τα μαθηματικά. Tα όρια της φαντασίας μας ήταν και τα όρια της γλώσσας μας. Γι' αυτό και στα αριθμητικά συστήματα των αρχαίων Eλλήνων (α, β, γ, δ, στ, ...) και των Λατίνων (I,II, III, IV...) δεν υπήρξε ποτέ το στοιχείο μηδέν. Για το κυρίαρχο ρεύμα της αρχαιοελληνικής φιλοσοφίας, που συνοψίστηκε από τον Aριστοτέλη το κενό δεν μπορούσε να υπάρξει – ή όπως θα μπορούσε να λεχθεί: η μη ύπαρξη απλώς δεν υπήρχε. H ύπαρξη της ανυπαρξίας ήταν μια τεράστια λογική αντίφαση. Αρα δεν υπήρχε και κανένας λόγος να απεικονιστεί... αυτό που δεν υπήρχε. Aντίθετα για τις ανατολικές φιλοσοφίες, που τράβηξαν άλλους δρόμους και η πλήρης ανυπαρξία ήταν ζητούμενο της ανθρώπινης ύπαρξης, το μηδέν υπήρχε και μπορούσε – ή καλύτερα, έπρεπε – να απεικονιστεί.Φαντάζει παράδοξο ίσως πως κοινωνίες ολόκληρες πορεύτηκαν χωρίς την έννοια του μηδενός, μαθηματικά συστήματα στήθηκαν χωρίς αυτό το μαγικό στρογγυλό σύμβολο. <br />
Οι Βαβυλώνιοι ήταν οι πρώτοι που χρησιμοποίησαν τον μηδέν όχι όμως ως αριθμό αλλά ως δείκτη.<br />
Οι Έλληνες παρά την πρωτοποριακή θεώρηση που έκαναν στα Μαθηματικά δεν είδαν τον μηδέν ούτε ως αριθμό ούτε ως σύμβολο δείκτη για τη θέση των άλλων. Οι αριθμοί που ήταν αναγκαίο να έχουν όνομα ήταν εκείνοι που χρησιμοποιούσαν οι έμποροι και όχι οι μαθηματικοί. Υπήρχαν όμως και εξαιρέσεις και οι εξαιρέσεις αυτές ήταν οι μαθηματικοί αστρονόμοι. Μπορεί ορισμένοι ιστορικοί να υποστήριξαν ότι οι Έλληνες χρησιμοποίησαν το γράμμα όμικρον – αρχικό της λέξης ΟΥΔΕΝ - ως σύμβολο του μηδενός αλλά ο Neugebauer απέρριψε την εικασία υποστηρίζοντας πλην των άλλων ότι οι Έλληνες χρησιμοποιούσαν το όμικρον ως τον αριθμό 70. Πάντως έναν αιώνα μετά Χριστόν, ο Κλαύδιος Πτολεμαίος χρησιμοποιεί το βαβυλωνιακό μηδέν ως δείκτη.<br />
Η ιδέα του μηδενός δείκτη θα κάνει την επανεμφάνισή της στην Ινδία ενώ το έτος 500 ο Aryabhata θα παρουσιάσει ένα σύστημα καταγραφής των αριθμών που θυμίζει το σημερινό αλλά ο μηδέν ως αριθμός δεν υπάρχει. <br />
ΤΟ ΜΗΔΕΝ ΕΡΧΕΤΑΙ ΣΤΗΝ ΕΥΡΩΠΗ. Το 12ο αιώνα μ.Χ. το μηδέν ήρθε και στην Ευρώπη, ύστερα από 600 χρόνια καθυστέρησης! Οι Άραβες, επηρεασμένοι από τους Ινδούς, υιοθέτησαν αμέσως το σύστημά τους και το διέδωσαν στους γύρω λαούς, προσθέτοντας μάλιστα σε αυτό το θαυμαστό λογισμό δικές τους ανακαλύψεις, ιδιαίτερα σημαντικές. Με την επέκτασή τους στην Ευρωπαϊκή ήπειρο, μετέφεραν και αυτές τις μεθόδους τους. Ο Σαμανίδης Μοχάμεντ Ίμπν Μουσσά αλ-Χοβαρεσμί (από το όνομα του οποίου προέκυψε ο όρος αλγόριθμος) έγραψε δύο δοκίμια τα οποία μεταφέρθηκαν στη Δύση. Όμως κάθε εχέφρων και ορθά σκεπτόμενος Ευρωπαίος που ήθελε να χρησιμοποιήσει ή να μεταδώσει την εκπληκτική αυτή γνώση, χρειαζόταν πολύ περισσότερα από αυτά τα δύο βιβλία. Έπρεπε να βρει έναν τρόπο να αντιμετωπίσει τον τρομακτικό συντηρητισμό της δυτικής θρησκείας που έστελνε στη πυρά όποιον τολμούσε να χρησιμοποιήσει τα σύμβολα των «απίστων», δηλαδή τους αριθμούς 1 έως 9. Τα εμπόδια που όρθωσε ο παραλογισμός του θρησκευτικού συντηρητισμού της Ευρώπης διατηρήθηκαν ως το τέλος του Μεσαίωνα και άρχισαν να αίρονται με τις σταυροφορίες από τις οποίες οι Δυτικοί κατακτητές γύρισαν επηρεασμένοι από την παιδεία των Αράβων. Λίγους αιώνες αργότερα, τα γαλλικά και τα γερμανικά πανεπιστήμια, στα οποία μέχρι τον 14ο και τον 15ο αιώνα μ.Χ. μόλις και μετά βίας διδάσκονταν πρόσθεση και αφαίρεση, την περίοδο 1804 - 1851 (Αναγέννηση) χρησιμοποιούσαν πλέον σταθερά το ινδικοαραβικό σύστημα αριθμητικής, που τελικά θριάμβευσε.<br />
<br />
<br />
<br /></div>
</div>
</div>
</div>
</div>
</div>
</div>
</div>
</div>
</div>
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>4.</b></span> <span style="color: blue; font-size: large;"><b> Οι αρνητικοί αριθμοί</b></span><br />
<div style="text-align: justify;">
<br />
Από την μελέτη της ιστορίας των μαθηματικών μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι οι αρνητικοί αριθμοί παρά τη γνώση τους δεν νομιμοποιήθηκαν πριν περάσουν αρκετοί αιώνες! Οι αρχαίοι Αιγύπτιοι δεν αναφέρουν τους αρνητικούς αριθμούς. Αντίθετα, οι Έλληνες τους γνώριζαν, με κύριο εκφραστή το Διόφαντο. Τα ελληνικά γεωμετρικά θεωρήματα περιέχουν κανόνες για αρνητικά μεγέθη. Ο Βραχμαγκούπτα αναφέρει τους κανόνες των προσήμων. Όμως οι αρνητικοί αριθμοί δεν "νομιμοποιήθηκαν" αφού δεν θεωρούνταν λύσεις εξισώσεων. Οι Κινέζοι επίσης, δεν αντιμετώπιζαν προβλήματα στους υπολογισμούς θετικών και αρνητικών αφού χρησιμοποιούσαν τον άβακα με δύο ομάδες ράβδων (κόκκινες για τους θετικούς και μαύρες για τους αρνητικούς) (Boyer & Merzbach, 1997).<br />
Η πρώτη εισαγωγή των σημερινών συμβόλων έγινε μόλις το 1489 και στην αρχή χρησιμοποιήθηκαν για να χρεώσουν πλεόνασμα ή έλλειψη των αποθηκών. Η πρώτη συστηματική προσπάθεια εμπέδωσης και μελέτης χρεώνεται στον Cardano Conjectandi στο έργο του Ars. Magna, η δε οριστική τους θεμελίωση επιτεύχθηκε στο 19ο αιώνα με τις συνολοθεωρητικές -αλγεβρικές μεθόδους που γνωρίζουμε (Boyer & Merzbach, 1997 </div>
<br />
<br />
<br />
<div align="justify">
<sup><span style="font-family: "arial";"><b><span style="color: blue; font-size: large;">5. Η ιστορία του π</span></b></span></sup><br />
<sup><span style="font-family: "arial";"><b><span style="color: blue; font-size: large;"></span></b></span></sup></div>
<div align="justify">
<sup><span style="font-family: "arial";"><b><span style="color: blue; font-size: large;"><i></i></span></b><br />
<br />
<br />
<br />
Όταν οι αρχαίοι Βαβυλώνιοι άρχισαν να χτίζουν την πόλη - λέει ο θρύλος- ασχολήθηκαν ιδιαίτερα με τη γεωμετρία. Ήδη από τον 20ό αι. π.Χ. διαπίστωσαν ότι όταν η περιφέρεια οποιουδήποτε κύκλου διαιρείται δια της διαμέτρου του, και το αποτέλεσμα είναι πάντοτε περίπου τρία. Υπολόγισαν μάλιστα την τιμή αυτού του λόγου στα 25/8, τα οποία απέχουν μόλις κατά 0,5% της πραγματικής τιμής του. Πολύ λιγότερο ακριβής είναι η άλλη από τις αρχαιότερες τιμές του η, που συναντάμε στη Βίβλο (Βασιλέων Α, 7, 23), σύμφωνα με την οποία η κυκλική λίμνη του οίκου του Σολομώντα είχε διάμετρο δέκα πήχεις και περιφέρεια τριάντα πήχεις, τοποθετώντας την τιμή ακριβώς στο τρία.<br />
Μία από τις αρχαιότερες και ακριβέστερες τιμές είναι αυτή του αιγυπτίου γραφέα Αχμές. Την έχει καταγράψει σε έναν πάπυρο του Μέσου Βασιλείου, περίπου το 1650 π.Χ., αντιγράφοντας ουσιαστικά έναν ακόμη αρχαιότερο πάπυρο. Ο Αχμές περιέγραψε το π ως το αποτέλεσμα της διαίρεσης του 256 διά του 81, δηλαδή 3,160.<br />
Εκείνος όμως ο οποίος θεωρείται ότι ήταν ο πρώτος που προσέγγισε τον υπολογισμό π σε μια πιο θεωρητική βάση ήταν ο Αρχιμήδης, γι' αυτό και το π είναι γνωστό και ως σταθερά του Αρχιμήδη. Κινέζοι, Ινδοί και Πέρσες σοφοί προσπάθησαν όλοι να υπολογίσουν τη σταθερά αυτή. Ωστόσο, το όνομα με το οποίο τη γνωρίζουμε σήμερα της δόθηκε το 1706, όταν ο ουαλλός μαθηματικός Γουίλιαμ Τζόουνς πρότεινε να ονομαστεί η σταθερά του Αρχιμήδη με το ελληνικό γράμμα π, από τη λέξη "περιφέρεια".<br />
Ωστόσο, οι μεγάλες δυσκολίες με το π τότε δεν είχαν ακόμη αρχίσει. Το 1761 ο Γιόχαν Λάμπερτ απέδειξε ότι το π είναι άρρητος αριθμός. Με απλά λόγια αυτό σημαίνει ότι δεν μπορεί να εκφραστεί ως κλάσμα δύο ακέραιων αριθμών. Στο σχολείο τα παιδιά μαθαίνουν ότι το π είναι περίπου 22/7, η τιμή αυτή είναι όμως και πάλι κατά προσέγγιση, γιατί το π βρίσκεται εκτός μαθηματικής λογικής.<br />
Η δεύτερη μεγάλη ανακάλυψη σημειώθηκε το 1882, όταν ο Φέρντιναντ φον Λίντεμαν απέδειξε ότι το π είχε μία ακόμη ασυνήθιστη ιδιότητα: ήταν υπερβατικός αριθμός. Στη μαθηματική ορολογία αυτό σημαίνει ότι δεν αποτελεί τη ρίζα καμιάς αλγεβρικής εξίσωσης με ρητούς συντελεστές.<br />
Στη μη μαθηματική ορολογία αυτό σημαίνει ότι το π αποτελεί την απόδειξη του παλαιού ρητού ότι δεν μπορεί κανείς να τετραγωνίσει τον κύκλο. Δεν μπορεί δηλαδή κανείς, χρησιμοποιώντας μόνο έναν κανόνα και έναν διαβήτη, να φτιάξει ένα τετράγωνο που να έχει ακριβώς το ίδιο εμβαδόν με έναν δεδομένο κύκλο.<br />
Η κομψότητα της φύσης του π συνοψίζεται όμως στις τόσες προσπάθειες που έχουν γίνει και εξακολουθούν να γίνονται για τη συμπλήρωση των αριθμών του. Η επίμονη αναζήτηση ξεκίνησε ίσως με τον γερμανό μαθηματικό Λούντολφ βαν Τσόιλεν, ο οποίος γύρω στο 1600 υπολόγισε τα πρώτα 35 δεκαδικά ψηφία του π. Ηταν τόσο υπερήφανος γι᾿ αυτό το έργο, στο οποίο αφιέρωσε μεγάλο μέρος της ζωής του, που ζήτησε να γράψουν τα 35 ψηφία στην επιτύμβια στήλη του. Εξίσου επίμονος, ο Γουίλιαμ Σανκς αφιέρωσε από την πλευρά του 20 χρόνια στους υπολογισμούς προχωρώντας το π στα 707 δεκαδικά ψηφία. Δυστυχώς το επίτευγμα του υπέστη τεράστιο πλήγμα όταν οι πρώτο ψηφιακοί υπολογιστές ανακάλυψαν ότι είχε κάνει λάθος στο 528ο δεκαδικό ψηφίο, αχρηστεύοντας όλα τα επόμενα.<br />
Η επέκταση του π στο άπειρο έχει επίσης επανειλημμένως προσελκύσει το ενδιαφέρον των συγγραφέων επιστημονικής φαντασίας. Ο σπουδαίος αμερικανός αστρονόμος Καρλ Σαγκάν στο βιβλίο του "Επαφή" έκρυψε την υπογραφή των εξωγήινων μέσα στα δήθεν τυχαία ψηφία του π, τα οποία στην πραγματικότητα δεν ακολουθούν κάποια συγκεκριμένη διάταξη.<br />
"Ηταν πολύ πονηρό, γιατί αυτό δεν γίνεται" λέει ο καθηγητής Στιούαρτ. "Δεν μπορείς να τακτοποιήσεις το π σε συγκεκριμένη ακολουθία. Ήταν ένα ωραίο απατηλό τέχνασμα εκ μέρους του Σαγκάν. Υπό μίαν έννοιαν ούτε ο ίδιος ο Θεός δεν θα μπορούσε να βρει μια ακολουθία μέσα στο π", πρσοθέτει.</span></sup><br />
<sup><span style="font-family: "arial";"></span></sup></div>
<sup><span style="font-family: "arial";"></span></sup></div>
<br />
<sup><span style="font-family: "arial";"><img src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2a/Pi-unrolled-720.gif/355px-Pi-unrolled-720.gif" /></span></sup><br />
<br />
<div align="justify" style="text-align: justify;">
</div>
<div align="justify" style="text-align: justify;">
<sup><span style="font-family: "arial";"><span style="font-size: large;"></span><br />
<span style="color: #990000;"><i><span style="font-size: large;"><b>Αεί ο Θεός ο μέγας γεωμετρεί<br />
το κύκλου μήκος ίνα ορίση διαμέτρω<br />
παρήγαγεν αριθμόν απέραντον<br />
και ον φευ! ουδέποτε όλον θνητοί θα εύρωσι.</b></span></i></span><br />
<br />
<b><span style="font-size: large;">Αν γράφουμε τους αριθμούς των γραμμάτων που περιέχει κάθε λέξη του πίήματος έχουμε τα πρώτα 22 δεκαδικά ψηφία του π. </span></b></span></sup><b> </b></div>
<div style="text-align: justify;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="text-align: justify;"> </span></div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>6. Ο αριθμός i - H απαρχή των μιγαδικών αριθμών</b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Ο γιωτ έκανε μια πρώιμη εμφάνιση στη σκηνή της Ιστορίας των Μαθηματικών, τον 16ο αιώνα κατά την εποχή που οι Ιταλοί μαθηματικοί προσπαθούν να βρουν τρόπους για τη λύση τριτοβάθμιων εξισώσεων όπως η x^3 + x = 2.<br />
Το 1572 ο Rafaello Bombelli, ο τελευταίος μεγάλος μαθηματικός της Bologna, παρουσίασε το βιβλίο του Algebra, στο οποίο μελετώντας τις τετραγωνικές ρίζες διάφορων αριθμών σκόνταψε σε ένα αναπάντητο ερώτημα: «Ποια είναι η τετραγωνική ρίζα του αρνητικού αριθμού -1» ; Η λύση γι αυτόν ήταν να «δημιουργήσει» έναν καινούριο αριθμό και θα είναι εξ ορισμού η απάντηση στο ερώτημα «ποια είναι η τετραγωνική ρίζα της αρνητικής μονάδας;».</div>
<div style="text-align: justify;">
<span id="more-1770"></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
Βέβαια θα μπορούσε κανείς να αντιτάξει ότι «τέτοιου είδους αριθμός δεν κυκλοφορεί στις γειτονιές της Πραγματικότητας». Όμως υπάρχει αλήθεια αριθμός που να έχει πραγματική υπόσταση; βλέπουμε κανένα 2; πιάνουμε κανένα 14; ακούμε κανένα -5; επομένως όλοι οι αριθμοί είναι κατ’ ουσίαν «φανταστικοί».<br />
Εξάλλου μία ανάλογη απάντηση σε διαφορετικό βέβαια ερώτημα είχε δοθεί από τους Ινδούς μαθηματικούς πριν από αρκετούς αιώνες. Ήταν τότε που η ανάγκη για μία απάντηση στο ερώτημα «με τι ισούται η διαφορά 1-2 ; » είχε οδηγήσει στην επινόηση των αρνητικών αριθμών .<br />
Στη συγκεκριμένη περίπτωση της τετραγωνικής ρίζας του «-1 » μία σημασιακή διεύρυνση της έννοιας αριθμός θα μπορούσε να είναι τέτοια ώστε να χωρέσει και το καινούριο πλάσμα της ανθρώπινης αφαιρετικής σκέψης. Και αυτό συνέβη. Ο Bombelli «έσπρωξε» στο παλκοσένικο της ιστορίας των Μαθηματικών αριθμούς όπως ο R[Om. 9] -στον οποίο το R παριστάνει την τετραγωνική ρίζα και το m το πρόσημο «μείον» και τον οποίο θα συμβολίζαμε σήμερα με Ö(0-9) – .<br />
Ο αλλόκοτος αυτός αριθμός, γέννημα θρέμμα της Ευρώπης, που χαρακτηρίστηκε από τον Descartes «imaginaire» – στην ελληνική γλώσσα «φανταστικός»- έκανε την εμφάνισή του χωρίς να συμβολίζεται με κάποιο γενικώς αποδεκτό σύμβολο. Ο φανταστικός αριθμός γεννήθηκε λοιπόν τον 16ο αιώνα και απέκτησε τον δικό του «παγκόσμιο» συμβολισμό με το γράμμα i τον 18ο αιώνα ύστερα από πρόταση του Euler.<br />
Επόμενο ήταν η δημιουργία ενός νέου συνόλου αριθμών -υποσύνολοτου οποίου είναι το R-, το C, δηλαδή αυτό των μιγαδικών. Οι αριθμοί αυτοί έχουν τη μορφή χ + yi, με τους χ και y να ανήκουν στο R. Οι γνωστοί σε όλους μας λοιπόν πραγματικοί αριθμοί προκύπτουν μηδενίζοντας το φανταστικό μέρος των μιγαδικών, δηλαδή το y, παίρνοντας τη μορφή χ + 0*i = x. Aνίστοιχα οι φανταστικοί προκύπτουν με μηδενισμό του πραγματικού μέρους των μιγαδικών. Αναδιατυπώνουμε λοιπόν, με μαθηματική χροιά, όλοι οι αριθμοί είναι μιγαδικοί!<br />
Το πρόβλημα βέβαια που δημιουργήθηκε είναι ότι όλοι αυτοί οι φανταστικοί και οι μιγαδικοί αριθμοί δεν έχουν θέση στην ευθεία των πραγματικών αριθμών. Οι μαθηματικοί όμως ξεπέρασαν και αυτή τη δυσκολία δημιουργώντας, την ευθεία των φανταστικών αριθμών κάθετη στην ευθεία των πραγματικών αριθμών και από τότε, ενώ οι πραγματικοί εξακολουθούν να κυκλοφορούν στη δική τους ευθεία, οι φανταστικοί «ζουν» πάνω στην άλλη. Όσο για τους μιγαδικούς, αυτοί ζουν στο επίπεδο των δύο αυτών ευθειών.<br />
Οι μιγαδικοί αριθμοί έχουν, μεταξύ άλλων, σημαντικές εφαρμογές στη λύση διαφορικών εξισώσεων αλλά και στη μελέτη διάφορων φυσικών προβλημάτων οπτικής, κυματικής, κβαντομηχανικής και ηλεκτρονικής<br />
<br />
<br />
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>7. Ιστορία των εξισώσεων : <a href="http://www.math.uoa.gr/me/dipl/dipl_Synodinou.Ifigeneia.pdf"><span style="background-color: yellow; color: #cc0000;">εδώ</span></a></b></span><br />
<b></b><br />
<div style="text-align: justify;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
</div>
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><span style="color: blue;"><b> 8.</b></span></span> <b><span style="color: blue; font-size: large;">ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΟΥ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥ</span></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Τον <span class="keyword">16</span><span class="keyword"><sup>ο</sup></span> – <span class="keyword">17ο</span> <span class="keyword">αιώνα </span>παρατηρήθηκε μια σημαντική ανάπτυξη της <span class="keyword">επιστημονικής γνώσης </span>σε όλους τους κλάδους. Οι <span class="keyword">ανακαλύψεις </span>των <span class="keyword">νέων χωρών</span>, ο <span class="keyword">γύρος </span>του <span class="keyword">κόσμου </span>από τον <span class="keyword">Μαγγελάνο </span>και η <span class="keyword">ανάπτυξη </span>του <span class="keyword">ναυτικού εμπορίου </span>δημιούργησαν την ανάγκη παραγωγής <span class="keyword">χαρτών </span>(<span class="keyword">Gerhard Mercator</span>, <span class="keyword">1596</span>). Η εισβολή των <span class="keyword">μαθηματικών </span>στην <span class="keyword">αστρονομία </span>και στη <span class="keyword">φυσική </span>μετά τον <span class="keyword">Κοπέρνικο</span>, τον <span class="keyword">Γαλιλαίο </span>και τον <span class="keyword">Κέπλερ </span>καθώς και το πλήθος των <span class="keyword">δεδομένων </span>που προέκυψαν προς επεξεργασία στις προαναφερόμενες <span class="keyword">επιστήμες</span>, απαιτούσαν από τους <span class="keyword">επιστήμονες </span>τη διεκπεραίωση <span class="keyword">περίπλοκων υπολογισμών</span>. Έπρεπε να επινοηθούν τρόποι που θα τους απάλλασσαν από αυτό το βάρος. Και επειδή είναι ευκολότερο να προσθέτουμε παρά να πολλαπλασιάζουμε, βρέθηκε τρόπος μετατροπής της πρόσθεσης σε πολλαπλασιασμό , ο <span class="keyword">λογάριθμος</span>.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
O <span class="keyword">John Napier </span>(<span class="keyword">1550</span>-<span class="keyword">1617</span>), <span class="keyword">8</span><span class="keyword"><sup>ος</sup></span> <span class="keyword">Λόρδος του </span><span class="keyword">Merchistoun</span><span class="keyword"> </span>στη <span class="keyword">Σκωτία</span>, γνωστός για τα <span class="keyword">θρησκευτικού </span>περιεχομένου βιβλία του, ήταν ο πρώτος που, δεχόμενος την πρόκληση <span class="keyword">μετατροπής </span>μιας πράξης σε μια άλλη πιο απλή, παρατήρησε τη σχέση των όρων μιας γεωμετρικής προόδου και των αντίστοιχων εκθετών τους, που ακολουθούν αριθμητική πρόοδο.</div>
<div style="text-align: justify;">
Ο<span class="keyword"> </span><span class="keyword">Napier </span>παίρνοντας ως βάση τον αριθμό <span class="keyword">1-10</span><span class="keyword"><sup>-7</sup></span><span class="keyword"> </span>υποστήριξε ότι κάθε <span class="keyword">θετικός αριθμός Ν</span> μπορεί να γραφεί ως <span class="keyword">Ν=10</span><span class="keyword"><sup>7</sup></span><span class="keyword">(1-10</span><span class="keyword"><sup>-7</sup></span><span class="keyword">)</span><span class="keyword"><sup>L</sup></span>.</div>
<div style="text-align: justify;">
Έτσι έχουμε τον πρώτο ορισμό του <span class="keyword">Νεπέριου λογάριθμου</span>: <span class="keyword">L</span><span class="keyword">=</span><span class="keyword">Nap log</span><span class="keyword">Ν</span>.</div>
<div style="text-align: justify;">
Επί <span class="keyword">20 χρόνια </span>συμπλήρωνε τους διαδοχικούς όρους της <span class="keyword">γεωμετρικής </span>προόδου που κατασκεύασε συγκεντρώνοντας τους τελικά στο έργο του <span class="keyword">Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio</span>.</div>
<div style="text-align: justify;">
<img class="imgl" src="http://www.epmagazine.org/storage/98/gregorius-saint-vincent.aspx" /> </div>
<div style="text-align: justify;">
<span class="keyword">Παρατήρηση</span>: Εδώ εμφανίζεται και για πρώτη φορά η τιμή της ακολουθίας </div>
<div style="text-align: justify;">
<img src="http://www.epmagazine.org/storage/98/img2.aspx" /> όταν το <span class="keyword">ν</span> είναι πάρα πολύ μεγάλο, ως <span class="keyword">βάση </span>για <span class="keyword">λογαρίθμους</span>.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Το χρήμα είναι μαθηματικά</div>
<div style="text-align: justify;">
Τον <span class="keyword">17</span><span class="keyword"><sup>ο</sup></span><span class="keyword"> αιώνα </span>κάποιος ανώνυμος έμπορος ή τοκογλύφος παρατήρησε μια παράξενη συμπεριφορά στην αύξηση του <span class="keyword">τόκου </span>στις <span class="keyword">τραπεζικές συναλλαγές</span>, που στηρίζονται σε <span class="keyword">ανατοκισμό </span>με ετήσιο επιτόκιο διαιρεμένο σε <span class="keyword">ν</span> ίσα μέρη, όταν ο αριθμός <span class="keyword">ν</span> είναι πάρα πολύ μεγάλος. Ας παρακολουθήσουμε το <span class="keyword">φαινόμεν</span>ο:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Η συνήθης τραπεζική μέθοδος αύξησης του δανειζόμενου <span class="keyword">κεφαλαίου </span>είναι ο:</div>
<div style="text-align: justify;">
Ανατοκισμός</div>
<div style="text-align: justify;">
Έστω ότι καταθέτουμε <span class="keyword">€ Κ </span>σε ένα λογαριασμό που αποδίδει <span class="keyword">ε%</span> <span class="keyword">ετήσιο επιτόκιο </span>και ανατοκίζεται κάθε χρόνο.</div>
<div style="text-align: justify;">
Τέλος του <span class="keyword">1</span><span class="keyword"><sup>ου</sup></span><span class="keyword"> έτους</span>:<img src="http://www.epmagazine.org/storage/98/img4.aspx" /> </div>
<div style="text-align: justify;">
Τέλος του <span class="keyword">Ν</span><span class="keyword"><sup>ου</sup></span><span class="keyword"> έτους</span>:<img src="http://www.epmagazine.org/storage/98/img6.aspx" /> </div>
<div style="text-align: justify;">
Άλλη συνήθης τραπεζική συναλλαγή είναι ο:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Ανατοκισμός ν φορές τον χρόνο με ετήσιο επιτόκιο διαιρεμένο σε ν ίσα μέρη</div>
<div style="text-align: justify;">
Δηλαδή, αν καταθέσουμε <span class="keyword">€ 100 </span>σε ένα λογαριασμό που αποδίδει <span class="keyword">5%</span> και τοκίζεται κάθε χρόνο:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Τέλος του 1<sup>ου</sup> έτους: € 105,00<span class="keyword"></span></div>
<div style="text-align: justify;">
Αν καταθέτουμε <span class="keyword">€100 </span>σε ένα λογαριασμό που αποδίδει <span class="keyword">5%</span> τον χρόνο και </div>
<div style="text-align: justify;">
ανατοκίζεται κάθε εξάμηνο σε ένα χρόνο ανατοκίζεται δύο (2) φορές με επιτόκιο <span class="keyword">2,5%</span></div>
<div style="text-align: justify;">
Τέλος 1<sup>ου</sup> έτους: 105,06 </div>
<div style="text-align: justify;">
ανατοκίζεται κάθε τρίμηνο σε ένα χρόνο ανατοκίζεται τέσσερις (4) φορές με επιτόκιο <span class="keyword">1,66%</span></div>
<div style="text-align: justify;">
Τέλος 1<sup>ου</sup> έτους: 105,09 €</div>
<div style="text-align: justify;">
ανατοκίζεται κάθε <span class="keyword">μήνα </span>σε ένα χρόνο ανατοκίζεται δώδεκα (12) φορές με επιτόκιο </div>
<div style="text-align: justify;">
<span class="keyword">0,416%</span>.</div>
<div style="text-align: justify;">
Τέλος 1<sup>ου</sup> έτους: 105,12 €</div>
<div style="text-align: justify;">
ανατοκίζεται κάθε ημέρα σε ένα χρόνο ανατοκίζεται τριακόσιες εξήντα </div>
<div style="text-align: justify;">
πέντε (365) φορές με επιτόκιο <span class="keyword">0,0137 %</span></div>
<div style="text-align: justify;">
Τέλος 1<sup>ου</sup> έτους: 105,19 €</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Έστω ότι ο ανατοκισμός γίνεται <span class="keyword">ν</span> φορές τον χρόνο. <span class="keyword">Για κάθε περίοδο μετατροπής </span>ως <span class="keyword">επιτόκιο θεωρείται </span>το <span class="keyword">ετήσιο επιτόκιο </span>διαιρεμένο με τον <span class="keyword">ν</span>, δηλαδή <img src="http://www.epmagazine.org/storage/98/img8.aspx" /> %.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Τέλος <span class="keyword">1</span><span class="keyword"><sup>ου</sup></span><span class="keyword"> έτους</span>:<img src="http://www.epmagazine.org/storage/98/img10.aspx" /> </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Παρατήρηση: Το <span class="keyword">τελικό κεφάλαιο </span>για <span class="keyword">περίοδο μετατροπής </span>πάρα πολύ μικρή, π.χ. <img src="http://www.epmagazine.org/storage/98/img12.aspx" /> / <img src="http://www.epmagazine.org/storage/98/img14.aspx" /> , δεν ξεπερνά το <span class="keyword">2,72 </span>του αρχικού κεφαλαίου.</div>
<div style="text-align: justify;">
Παρατηρούμε ότι ο τύπος <img src="http://www.epmagazine.org/storage/98/img16.aspx" /> πλησιάζει μια τιμή χωρίς να τη φτάνει και αυτή είναι ο αριθμός <span class="keyword">e</span>. Τότε λέμε ότι η ακολουθία με τύπο <img src="http://www.epmagazine.org/storage/98/img16.aspx" /> έχει όριο τον αριθμό <span class="keyword">e</span>.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Το e ως όριο</div>
<div style="text-align: justify;">
Ο <span class="keyword">αριθμός </span><span class="keyword">e</span>, όπως διαπιστώσαμε, είναι όριο της <span class="keyword">ακολουθίας</span>.</div>
<div style="text-align: justify;">
Αλλά, αφού για μεγάλες τιμές του <span class="keyword">ν</span> η τιμή του <img src="http://www.epmagazine.org/storage/98/img11.aspx" /> θα είναι σχεδόν μηδέν,</div>
<div style="text-align: justify;">
έχουμε: <img src="http://www.epmagazine.org/storage/98/img21.aspx" /> </div>
<div style="text-align: justify;">
<span class="keyword">Συνεπώς </span><img src="http://www.epmagazine.org/storage/98/img22.aspx" /> </div>
<div style="text-align: justify;">
Ο τετραγωνισμός της υπερβολής</div>
<div style="text-align: justify;">
O <span class="keyword">Gregorius</span><span class="keyword"> </span><span class="keyword">de</span> <span class="keyword">Saint</span><span class="keyword">-</span><span class="keyword">Vincent</span><span class="keyword"> </span>(<span class="keyword">1584</span>-<span class="keyword">1667</span>), στην προσπάθεια <span class="keyword">τετραγωνισμού </span>της <span class="keyword">υπερβολής</span>, διαπιστώνει ότι, αν οι τετμημένες της <span class="keyword">γραφικής παράστασης </span>της <span class="keyword">συνάρτησης </span>μεταβάλλονται με <span class="keyword">γεωμετρική πρόοδο</span>, τότε το εμβαδόν που βρίσκεται μεταξύ του άξονα των τετμημένων και της υπερβολής μεταβάλλεται με αριθμητική πρόοδο..</div>
<div style="text-align: justify;">
Όταν το e συναντά το φ: Λογαριθμική έλικα</div>
<div style="text-align: justify;">
Ο <span class="keyword">Jacob Bernoulli </span>(<span class="keyword">1654</span>-<span class="keyword">1705</span>) μελέτησε τη <span class="keyword">λογαριθμική έλικα </span>και την ονόμασε <span class="keyword">spira</span><span class="keyword"> </span><span class="keyword">mirabilis</span><span class="keyword"> </span>λόγω των σπανίων <span class="keyword">μαθηματικών </span>ιδιοτήτων της, που την καθιστούν, μετά τον κύκλο, το πιο προσφιλές διακοσμητικό <span class="keyword">μοτίβο</span>.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Η <span class="keyword">λογαριθμική έλικα </span>περιγράφεται ως <span class="keyword">καμπύλη </span>με αφετηρία ένα σημείο (τον <span class="keyword">πόλο</span>) και ανελίσσεται με τρόπο ώστε η απόσταση των σημείων της από το <span class="keyword">πόλο </span>να αυξάνει με γεωμετρική πρόοδο, εφόσον η γωνία περιστροφής αυξάνει με αριθμητική πρόοδο. Κάθε ευθεία που διέρχεται από τον πόλο τέμνει την <span class="keyword">έλικα </span>υπό την ίδια γωνία.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<b style="mso-bidi-font-weight: normal;"><span style="color: blue; font-family: "comic sans ms"; mso-bidi-font-size: 24.0pt;"><span style="font-size: large;">Οι λογάριθμοι</span> </span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="color: black; font-family: "comic sans ms"; mso-bidi-font-size: 12.0pt;">Η ιδέα των λογαρίθμων γεννήθηκε πιθανόν από τους αστρονόμους οι οποίοι έπρεπε να πολλαπλασιάζουν και να διαιρούν πολύπλοκες τριγωνομετρικές ποσότητες. Στο μεταξύ οι πίνακες με τους αριθμούς και τις δυνάμεις έδειχναν ότι ο πολλαπλασιασμός στον ένα πίνακα αντιστοιχούσε σε πρόσθεση στον άλλο.<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>Στην<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>αυγή του 17<sup>ου</sup> αιώνα ο <span class="SpellE">σκωτσέζος</span> </span><span lang="EN-GB" style="font-family: "comic sans ms"; mso-ansi-language: EN-GB; mso-bidi-font-size: 12.0pt;">John</span><span lang="EN-GB" style="font-family: "comic sans ms"; mso-bidi-font-size: 12.0pt;"> </span><span lang="EN-GB" style="font-family: "comic sans ms"; mso-ansi-language: EN-GB; mso-bidi-font-size: 12.0pt;">Napier</span><span lang="EN-GB" style="font-family: "comic sans ms"; mso-bidi-font-size: 12.0pt;"> </span><span style="font-family: "comic sans ms"; mso-bidi-font-size: 12.0pt;">ή </span><span class="SpellE"><span lang="EN-US" style="font-family: "comic sans ms"; mso-ansi-language: EN-US; mso-bidi-font-size: 12.0pt;">Neper</span></span><span lang="EN-US" style="font-family: "comic sans ms"; mso-bidi-font-size: 12.0pt;"> </span><span style="font-family: "comic sans ms"; mso-bidi-font-size: 12.0pt;">είχε την ιδέα της δημιουργίας ενός πίνακα λογαρίθμων ο οποίος θα διευκόλυνε τους πολλαπλασιασμούς<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>οποιωνδήποτε ποσοτήτων ανάγοντάς τους σε προσθέσεις. <span style="mso-spacerun: yes;"> </span>Το 1617 δημοσίευσε τον σχετικό πίνακα<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>και το όνομά του δημιούργησε αργότερα τον όρο “<span class="SpellE">νεπέριοι</span> λογάριθμοι”. <span style="mso-spacerun: yes;"> </span></span><span style="color: black; font-family: "comic sans ms"; mso-bidi-font-size: 12.0pt;"></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "comic sans ms"; mso-bidi-font-size: 12.0pt;">Σήμερα η έννοια <span style="mso-spacerun: yes;"> </span>λογάριθμος έχει διαφοροποιηθεί σε σχέση με εκείνη που πρότεινε <span class="SpellE">Οο</span> </span><span class="SpellE"><span lang="EN-US" style="font-family: "comic sans ms"; mso-ansi-language: EN-US; mso-bidi-font-size: 12.0pt;">Neper</span></span><span style="font-family: "comic sans ms"; mso-bidi-font-size: 12.0pt;">. </span><span lang="EN-US" style="font-family: "comic sans ms"; mso-ansi-language: EN-US; mso-bidi-font-size: 12.0pt;">O</span><span lang="EN-US" style="font-family: "comic sans ms"; mso-bidi-font-size: 12.0pt;"> </span><span style="font-family: "comic sans ms"; mso-bidi-font-size: 12.0pt;">λογάριθμος ενός αριθμού<span class="GramE">,<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>όπως</span> λόγου χάρη ο 50,<span style="mso-spacerun: yes;"> </span>είναι ο ΕΚΘΕΤΗΣ τον οποίο πρέπει να έχει </span><span lang="EN-US" style="font-family: "comic sans ms"; mso-ansi-language: EN-US; mso-bidi-font-size: 12.0pt;">o</span><span lang="EN-US" style="font-family: "comic sans ms"; mso-bidi-font-size: 12.0pt;"> </span><span style="font-family: "comic sans ms"; mso-bidi-font-size: 12.0pt;">αριθμός </span><span lang="EN-US" style="font-family: "comic sans ms"; mso-ansi-language: EN-US; mso-bidi-font-size: 12.0pt;">e</span><span lang="EN-US" style="font-family: "comic sans ms"; mso-bidi-font-size: 12.0pt;"> </span><span style="font-family: "comic sans ms"; mso-bidi-font-size: 12.0pt;">( βάση ) ώστε να είναι ίσος με 50.<span style="mso-spacerun: yes;"> </span></span><span class="SpellE"><span lang="EN-US" style="font-family: "comic sans ms"; mso-ansi-language: EN-US; mso-bidi-font-size: 12.0pt;">e</span><sup><span lang="EN-US" style="font-family: "comic sans ms"; mso-ansi-language: EN-US;">ln</span></sup></span><sup><span style="font-family: "comic sans ms";">50</span></sup><span style="font-family: "comic sans ms"; mso-bidi-font-size: 12.0pt;"> = 50.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="color: blue;"><span style="font-size: large;"><span style="font-family: "comic sans ms";"> <b>9. ο</b></span><b><span style="font-family: "comic sans ms";"> «ασύλληπτος» αριθμός </span><span style="color: blue; font-family: "comic sans ms";">e</span></b></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><b><i><span style="color: blue; font-family: "comic sans ms"; mso-bidi-font-size: 12.0pt;"><span style="mso-spacerun: yes;"></span></span></i></b></span><br />
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
</div>
<span style="color: blue; font-family: "comic sans ms";"><b><i><span style="font-size: large;"></span></i>Ενδιαφέροντα στοιχεία για τον αριθμό του Εuler :<span style="background-color: yellow; color: #cc0000;"> </span><a href="http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%91%CF%81%CE%B9%CE%B8%CE%BC%CF%8C%CF%82_e_(%CE%BC%CE%B1%CE%B8%CE%B7%CE%BC%CE%B1%CF%84%CE%B9%CE%BA%CE%AC)"><span style="background-color: yellow; color: #cc0000;">εδώ</span></a> κι <a href="http://users.sch.gr/kassetas/ed0math23.htm"><span style="background-color: yellow; color: #cc0000;">εδώ</span></a></b></span> </div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
</div>
<div align="justify" style="text-align: justify;">
<div align="justify">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<br /></div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="background-color: #ffe599; color: #cc0000;"></span></div>
<div class="text" style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<div align="left">
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>10.</b> <b>Ελληνικά Μαθη<i><span style="font-size: large;"><span style="color: blue;"><span style="font-family: TimesNewRomanPS-BoldItalicMT;">μ</span><span style="font-family: TimesNewRomanPS-BoldItalicMT;">ατικά</span></span></span></i> :<span style="background-color: yellow; color: #cc0000;"> </span><a href="http://users.sch.gr/dimandres/files/arthra/antilipseis.pdf"><span style="background-color: yellow; color: #cc0000;">εδώ </span></a></b></span></div>
<div align="left">
<span style="font-family: TimesNewRomanPS-BoldItalicMT;"> </span><span style="font-family: "timesnewromanpsmt";"> </span><br />
<div style="text-align: justify;">
</div>
<br /></div>
</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<b><span style="color: blue; font-size: large;">11 Κωνσταντίνος Καραθεοδωρής</span></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<img height="200" src="https://2.bp.blogspot.com/_f8OA_RWmN6A/TJdKhfXTarI/AAAAAAAAACc/IgzT2a1fbI4/s200/caratheodory1.jpg" width="151" /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: blue;"><b> Κωνσταντίνος Καραθεοδωρής</b>. </span><br />
<span style="color: blue;"> (</span><a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%92%CE%B5%CF%81%CE%BF%CE%BB%CE%AF%CE%BD%CE%BF" title="Βερολίνο">Βερολίνο</a><span style="color: blue;">, </span><a href="http://www.blogger.com/wiki/13_%CE%A3%CE%B5%CF%80%CF%84%CE%B5%CE%BC%CE%B2%CF%81%CE%AF%CE%BF%CF%85" title="13 Σεπτεμβρίου">13 Σεπτεμβρίου</a><span style="color: blue;"> </span><a href="http://www.blogger.com/wiki/1873" title="1873">1873</a><span style="color: blue;"> – </span><a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%9C%CF%8C%CE%BD%CE%B1%CF%87%CE%BF" title="Μόναχο">Μόναχο</a><span style="color: blue;">, </span><a href="http://www.blogger.com/wiki/2_%CE%A6%CE%B5%CE%B2%CF%81%CE%BF%CF%85%CE%B1%CF%81%CE%AF%CE%BF%CF%85" title="2 Φεβρουαρίου">2 Φεβρουαρίου</a><span style="color: blue;"> </span><a href="http://www.blogger.com/wiki/1950" title="1950">1950</a><span style="color: blue;">)</span></div>
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: center;">
Αξιόλογος διεθνώς Έλληνας μαθηματικός των αρχών του 20ου αιώνα (γνωστό το θεώρημα Καραθεοδωρή στην θεωρία μέτρου ). Προσωπικός φίλος και συνεργάτης του Αϊστάιν. Ο τελευταίος εκφράστηκε με κολακευτικά λόγια για τον Έλληνα μαθηματικό. Σώζεται αλληλογραφία μεταξύ των δύο κορυφαίων επιστημόνων. Εκεί φαίνεται ο θαυμασμός του Αϊστάιν για τον Καραθεοδωρή.</div>
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: justify;">
<b><i><span style="color: #990000;">" Αν θέλετε να μπείτε στον κόπο να μου εξηγήσετε ακόμα και τους κανονικούς μετασχηματισμούς θα βρείτε έναν ευγνώμονα και ευσυνείδητο ακροατή. Αν όμως λύσετε και το πρόβλημα των κλειστών γραμμών του χρόνου, θα σταθώ μπροστά σας με σταυρωμένα χέρια. Πίσω από αυτό υπάρχει κρυμμένο κάτι που είναι αντάξιο του ιδρώτα των καλυτέρων."</span></i></b></div>
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: justify;">
<span style="color: #990000;"><br />
</span></div>
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: justify;">
<b><i>— <span style="color: blue;">Επιστολή του </span></i><a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%86%CE%BB%CE%BC%CF%80%CE%B5%CF%81%CF%84_%CE%91%CF%8A%CE%BD%CF%83%CF%84%CE%AC%CE%B9%CE%BD" title="Άλμπερτ Αϊνστάιν"><i><span style="color: blue;">Αϊνστάιν</span></i></a><i><span style="color: blue;"> προς τον Καραθεοδωρή, </span></i><a href="http://www.blogger.com/wiki/1916" title="1916"><i><span style="color: blue;">1916</span></i></a></b></div>
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: justify;">
<b>Στην παρακάτω ιστοσελίδα φίλων του Καραθεοδωρή θα βρείτε πολλά στοιχεία για τη ζωή και το έργο του : </b><b><a href="http://www.karatheodori.gr/">http://www.karatheodori.gr/</a></b></div>
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<br />
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
<span style="font-size: large;"><span class="header-s2" style="color: blue;"><b>12. ΘΑΛΗΣ ο ΜΙΛΗΣΙΟΣ</b></span> </span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div class="s2" style="text-align: justify;">
'Eζησε στο διάστημα (640-546 π.Χ.). θεωρείται ο πατέρας των μαθηματικών. σε αυτόν η μαθηματική επιστήμη χρωστά την πρώτη απόδειξη. Θεμελίωσε την αποδεικτική μέθοδο. Η πρώτη απόδειξη στην ιστορία των μαθηματικών οφείλετε σ΄αυτόν και αφορά την πρόταση :<br />
" Η διάμετρος ενός κύκλου τον χωρίζει σε δύο ίσα μέρη".</div>
<div class="s2" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<ul></ul>
</div>
<div class="s2">
Οι ενασχολήσεις αυτές οδήγησαν στην ανάπτυξη της Ελληνικής Θεωρητικής Γεωμετρίας και στην απόσπασή της από το σύνολο των εμπειρικών γνώσεων των τεχνών της ζωής. </div>
<div class="s2">
( από την ιστοσελίδα <a href="http://www.telemath.gr/"><span style="background-color: #ffe599; color: #cc0000;">http://www.telemath.gr/</span></a> ).<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
</div>
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<br />
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: center;">
<b><span style="font-size: large;">13. ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ</span></b></div>
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: justify;">
Μετά τον θάνατο του Μ. Αλεξάνδρου ένας από τους διαδόχους του ο Πτωλεμαίος όρισε ως πρωτεύουσα της μακεδονικής αυτοκρατορίας την Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου. Στην Αλεξάνδρεια γεννήθηκε ο σπουδαίος έλληνας μαθηματικός Ευκλείδης ο Αλεξανδρεύς. Πιθανώς φοίτησε στην Ακαδημία του Πλάτωνα στην Αθήνα. Όταν επί Πτωλεμαίου ιδρύθηκε το Πανεπιστήμιο της Αλεξάνδρειας ο Ευκλείδης ορίστηκε ως καθηγητής και στέλεχος του. Με αφορμή τα νέα του καθήκοντα συγγράφει το περίφημο βιβλίο γεωμετρίας : Τα στοιχεία του Ευκλείδη. Το βιβλίο αποτελείται από 13 μέρη ( κεφάλαια). Συνενώνει τις μέχρι τότε γνώσεις στην γεωμετρία. Το σημαντικότερο όμως είναι η αξιωματική θεμελίωση του εγχειριδίου. Αποτελεί τον πρώτο αξιόλογο τρόπο επιστημονικής συγκρότησης της γεωμετρίας. Αυτό κάνει τα στοιχεία του Ευκλείδη ένα από τα σημαντικότερα βιβλία γεωμετρικής σκέψης. Στην περίοδο της αναγέννησης τυγχάνει πολλαπλών εκδόσεων και συστηματικής μελέτης. Το λεγόμενο πέμπτο αξίωμα του Ευκλείδη μελετάται ως προς την ανεξαρτησία του. Από εδώ αργότερα θα πηγάσουν οι λεγόμενες μη - ευκλείδειες γεωμετρίες.</div>
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: justify;">
Είναι το δεύτερο βιβλίο μετά την βίβλο που έχει εκδοθεί σε περισσότερα αντίτυπα παγκοσμίως όλους τους αιώνες. Για το λόγο αυτό χαρακτηρίζεται ως : Η βίβλος των μαθηματικών.</div>
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: justify;">
Ας δούμε μερικά αποσπάσματα από το αρχαίο κείμενο :</div>
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<h3>
<a href="http://www.blogger.com/" name="2"></a>α΄ [1]. Σημεῖόν ἐστιν, οὗ μέρος οὐθέν.</h3>
<h3>
β΄ [2]. Γραμμὴ δὲ μῆκος ἀπλατές.</h3>
<h3>
<a href="http://www.blogger.com/" name="4"></a>ια΄ [11]. Ἀμβλεῖα γωνία ἐστὶν ἡ μείζων ὀρθῆς.</h3>
<h3>
ιε΄ [15]. Κύκλος ἐστὶ σχῆμα ἐπίπεδον ὑπὸ μιᾶς γραμμῆς περιεχόμενον [ἣ καλεῖται περιφέρεια], πρὸς ἣν ἀφ' ἑνὸς σημείου τῶν ἐντὸς τοῦ σχήματος κειμένων πᾶσαι αἱ προσπίπτουσαι εὐθεῖαι [πρὸς τὴν τοῦ κύκλου περιφέρειαν] ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.</h3>
<h3>
<a href="http://www.blogger.com/" name="13"></a>ις΄ [16]. Κέντρον δὲ τοῦ κύκλου τὸ σημεῖον καλεῖται.</h3>
<h3>
<a href="http://www.blogger.com/" name="14"></a>ιζ΄ [17]. Διάμετρος δὲ τοῦ κύκλου ἐστὶν εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου ἠγμένη καὶ περατουμένη ἐφ' ἑκάτερα τὰ μέρη ὑπὸ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας, ἥτις καὶ δίχα τέμνει τὸν κύκλον.</h3>
<h3>
ιη΄ [18]. Ἡμικύκλιον δέ ἐστι τὸ περιεχόμενον σχῆμα ὑπό τε τῆς διαμέτρου καὶ τῆς ἀπολαμβανομένης ὑπ' αὐτῆς περιφερείας. κέντρον δὲ τοῦ ἡμικυκλίου τὸ αὐτό, ὃ καὶ τοῦ κύκλου ἐστίν.</h3>
<h3>
<a href="http://www.blogger.com/" name="20"></a><a href="http://www.blogger.com/" name="a"></a><a href="http://www.blogger.com/" name="23"></a>κβ΄ [22]. Τῶν δὲ τετραπλεύρων σχημάτων τετράγωνον μέν ἐστιν, ὃ ἰσόπλευρόν τέ ἐστι καὶ ὀρθογώνιον, ἑτερόμηκες δέ, ὃ ὀρθογώνιον μέν, οὐκ ἰσόπλευρον δέ, ῥόμβος δέ, ὃ ἰσόπλευρον μέν, οὐκ ὀρθογώνιον δέ, ῥομβοειδὲς δὲ τὸ τὰς ἀπεναντίον πλευράς τε καὶ γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ἔχον, ὃ οὔτε ἰσόπλευρόν ἐστιν οὔτε ὀρθογώνιον: τὰ δὲ παρὰ ταῦτα τετράπλευρα τραπέζια καλείσθω.</h3>
<h3>
κγ΄ [23]. Παράλληλοί εἰσιν εὐθεῖαι, αἵτινες ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ οὖσαι καὶ ἐκβαλλόμεναι εἰς ἄπειρον ἐφ' ἑκάτερα τὰ μέρη ἐπὶ μηδέτερα συμπίπτουσιν ἀλλήλαις.</h3>
<br />
<a href="http://www.physics.ntua.gr/~mourmouras/euclid/book1/postulate4.html"><span style="color: black;">δ΄.[4]<br />
Ἐὰν δύο τρίγωνα τὰς δύο πλευρὰς [ταῖς] δυσὶ πλευραῖς ἴσας ἔχῃ ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ τὴν γωνίαν τῇ γωνίᾳ ἴσην ἔχῃ τὴν ὑπὸ τῶν ἴσων εὐθειῶν περιεχομένην, καὶ τὴν βάσιν τῇ βάσει ἴσην ἕξει, καὶ τὸ τρίγωνον τῷ τριγώνῳ ἴσον ἔσται, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, ὑφ' ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν.</span></a><br />
<br />
<a href="http://www.physics.ntua.gr/~mourmouras/euclid/book1/postulate5.html"><span style="color: black;">ε΄.[5]<br />
Τῶν ἰσοσκελῶν τριγώνων αἱ πρὸς τῇ βάσει γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν, καὶ προσεκβληθεισῶν τῶν ἴσων εὐθειῶν αἱ ὑπὸ τὴν βάσιν γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις ἔσονται.</span></a><br />
<br />
<br />
<br />
<b><span style="font-size: large;"> <span style="color: blue;">Εκτεταμένα αποσπάσματα των Στοιχείων βρίσκουμε <a href="http://www.physics.ntua.gr/~mourmouras/euclid/common/indexelements.html"><span style="background-color: yellow; color: #cc0000;">εδώ:</span></a></span></span></b><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<br />
<br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;">14 Πειραματική γεωμετρία</span></b><br />
<br />
<span style="color: blue;"><b>Ενδιαφέροντα ιστορικά στοιχεία για την πειραματική γεωμετρία και την κατασκευή εργαλείων καθώς και για την διδακτική τους αξιοποίηση με μορφή δραστηριοτήτων υπαρχουν <a href="http://www.eled.uowm.gr/mathslife/arxeia%20selidas/dim%20allon/Peiramatikigeometry_small.pdf"><span style="background-color: yellow; color: #cc0000; font-size: large;">εδώ.</span> </a></b></span><br />
<br />
<br />
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>15. Μη ευκλείδειες γεωμετρίες</b></span><br />
<br />
<br />
<b><i><span style="color: #cc0000; font-size: large;">Ο μύθος του Ευκλείδη.</span></i></b><br />
<br />
<b><i><span style="color: blue; font-size: large;">" Η ευκλείδεια γεωμετρία περιέχει τις μόνες αληθινές εποπτείες γιατί ταιριάζει απόλυτα με την εμπειρική μας πραγματικότητα".</span></i></b><br />
<br />
<br />
<br />
<img border="0" src="http://www.foundalis.com/dep/sci/Non-Euclidean_HyperbolicParaboloid.gif" height="250" width="184" /><br />
<b>Υπερβολικό παραβολοειδές.</b><br />
<br />
<br />
<img border="0" src="http://www.foundalis.com/dep/sci/Non-Euclidean_Pseudosphere.gif" height="250" width="200" /><br />
<br />
<span lang="el"><b> <span lang="el">Ψευδοσφαίρα<i>.</i></span></b></span><br />
<br />
<br />
<span style="color: #cc0000;"><br />
<b></b></span>"<span style="color: #cc0000; font-size: large;"><b> Καμμία γεωμετρία δεν είναι περισσότερο αληθινή. Είναι απλά πιο βολική ".<br />
<span style="font-size: small;">Ανρί Πουανκαρέ. Γάλλος μαθηματικός</span></b></span><br />
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><span style="color: blue; font-size: large;">Οι πρωτοπόροι των μη ευκλείδειων γεωμετριών :</span></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><span style="color: #cc0000; font-size: large;"><img border="0" src="http://www.foundalis.com/dep/sci/Bolyai.jpg" height="243" width="200" /></span></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><span style="color: #cc0000; font-size: large;"><span style="color: black; font-size: small;"> János Bolyai</span> </span></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><span style="color: #cc0000; font-size: large;"> <img border="0" src="http://www.foundalis.com/dep/sci/Lobachevsky.jpg" height="243" width="179" /> </span></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><span style="color: #cc0000; font-size: large;"><span style="color: black; font-size: small;"> N. I. Lobachevsky</span> </span></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><span style="color: #cc0000; font-size: large;"><img border="0" src="http://www.foundalis.com/dep/sci/Riemann.jpg" height="212" width="188" /></span></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #cc0000; font-size: large;"><b> <span style="color: black; font-size: small;">Bernhard Riemann</span></b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΣΥΝΔΕΣΕΙΣ</b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<b>1.<span style="color: blue;"> Eνδιαφέρον ντοκιμαντέρ για την χρήση των μη ευκλείδειων γεωμετριών στην μελέτη του σύμπαντος υπάρχει από την εκπομπή της ΕΤ3 : " Το Σύμπαν που αγάπησα" με τον Επίκουρο καθηγητή αστροφυσικής Μάνο Δανέζη. Παρακολουθείστε το video :</span></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<b> <object class="BLOGGER-youtube-video" classid="clsid:D27CDB6E-AE6D-11cf-96B8-444553540000" codebase="http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=6,0,40,0" data-thumbnail-src="http://i.ytimg.com/vi/lr-mGJXm_Cs/0.jpg" height="266" width="320"><param name="movie" value="http://www.youtube.com/v/lr-mGJXm_Cs?f=videos&c=google-webdrive-0&app=youtube_gdata" /><param name="bgcolor" value="#FFFFFF" /><embed width="320" height="266" src="http://www.youtube.com/v/lr-mGJXm_Cs?f=videos&c=google-webdrive-0&app=youtube_gdata" type="application/x-shockwave-flash"></embed></object></b><br />
<b><br /></b></div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<sup><span style="font-family: "arial";"><br />
</span></sup></div>
<div style="text-align: justify;">
2. <span style="color: blue;"><b>Εμπεριστατωμένη διατριβή στην ιστορία των μη ευκλείδειων γεωμετριών <a href="http://www.math.uoa.gr/me/dipl/dipl_kotsobou.pdf"><span style="background-color: yellow; color: #cc0000;">εδώ</span></a></b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
3. <span style="color: blue;"><b>Αρκετά στοιχεία και <a href="http://www.foundalis.com/dep/sci/E2B_gr.htm"><span style="background-color: yellow; color: #cc0000;">εδώ</span></a></b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<br />
<div align="justify" style="text-align: justify;">
<b><span style="color: blue; font-size: large;"> 16. ΤΑ 3 ΑΛΥΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ </span></b></div>
<div align="justify" style="text-align: justify;">
<b><span style="color: blue; font-size: large;"> ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΑΣ</span></b></div>
<div align="justify" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" class="postentry" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
Όταν οι αρχαίοι Έλληνες ήθελαν να λύσουν ένα πρόβλημα προσπαθούσαν αρχικά να το λύσουν κάνοντας χρήση των πιο απλών καμπυλών, των κύκλων και των ευθειών δηλαδή χρησιμοποιώντας μόνο κανόνα και διαβήτη. Όταν λοιπόν δεν μπορούσαν να λύσουν κάποιο πρόβλημα με αυτές της συνθήκες τότε το θεωρούσαν <b><span style="color: red;">άλυτο</span></b> και προσπαθούσαν να το λύσουν κάνοντας χρήση άλλων πιο πολύπλοκων καμπυλών. Έτσι τα “3 Άλυτα Μαθηματικά Προβλήματα Της Αρχαιότητας” <b>δεν μπορούν να λυθούν με κανόνα και διαβήτη</b> άλλα <span style="text-decoration: underline;">υπάρχουν αρκετές λύσεις αιτών με άλλες καμπύλες</span>.</div>
<h3 align="justify" class="postentry" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<a href="http://www.blogger.com/" name="1"></a></h3>
<div align="justify" class="postentry" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
Το δήλιο πρόβλημα ή ο διπλασιασμός του κύβου απασχόλησε τους αρχαίους Έλληνες γεωμέτρες και η αναζήτηση λύσεων, οδήγησε σε μια έντονη ανάπτυξη της Γεωμετρίας.</div>
<div align="justify" class="postentry" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
Το δήλιο πρόβλημα απόκτησε δημοσιότητα όταν το ανέφερε, σε μια τραγωδία o βασιλιάς της Κρήτης Μίνως διαμαρτυρόμενος γιατί το κενοτάφιο, που προοριζόταν για το γυιό του Γλαύκο, ήταν πολύ μικρό για βασιλικό μνημείο και απαιτούσε το διπλασιασμό του όγκου του χωρίς να αλλάξει το κυβικό του σχήμα. Πανελλήνια γνωστό όμως έγινε το πρόβλημα αυτό όταν αναφέρθηκε από το μαντείο του Δήλιου Απόλλωνα, όταν δηλαδή ρωτήθηκε το μαντείο, τι πρέπει να κάνουν για να απαλλαγούν από το λοιμό που μάστιζε το νησί Δήλο, απάντησε ότι τούτο θα συμβεί αν διπλασιάσουν τον κυβικό βωμό του Απόλλωνα. Έτσι το πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου πέρασε στην ιστορία με το όνομα “Δήλιο πρόβλημα”.</div>
<div align="justify" class="postentry" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
Οι λύσεις που δόθηκαν στο πρόβλημα, κατά την ελληνική αρχαιότητα, σώθηκαν και φθάσανε σε μάς από τον σχολιαστή των έργων του Αρχιμήδη Ευτόκιο (6 αι. μ.χ). Αυτός σχολιάζοντας ανάλογο πρόβλημα του Αρχιμήδη και τη μέθοδο που αυτός χρησιμοποίησε για να το λύσει, δίνει όλες τις λύσεις παρεμβολής που του ήταν τότε γνωστές από παλαιότερες συγγραφές. </div>
<h3 style="text-align: justify;">
<a href="http://www.blogger.com/" name="2"></a></h3>
<div style="text-align: justify;">
Σήμερα δεν γνωρίζουμε κάτω από ποιες συνθήκες τέθηκε το πρόβλημα της τριχοτόμησης γωνίας στην ελληνική αρχαιότητα. Ξέρουμε όμως ότι αποτελούσε το ένα από τα τρία μεγάλα προβλήματα μετά το Δήλιο και τον τετραγωνισμό του κύκλου. Ουσιαστικά το πρόβλημα έγκειται στην τριχοτόμηση οξείας γωνίας, διότι αν είναι αμβλεία αφαιρούμε απο αυτήν την ορθή που μπορεί να τριχοτομηθεί με χάρακα και διαβήτη. Η τριχοτόμηση όμως μιάς οξείας γωνίας είναι αδύνατο να πραγματοποιηθεί μόνο με χάρακα και διαβήτη γιατί η εξίσωση που την εκφράζει είναι τρίτου βαθμού χωρίς να μπορεί να αναχθεί σε δευτέρου. Πράγματι από τη τριγωνομετρία μας είναι γνωστή η σχέση στην οποία αν θέσουμε εφ3θ=α και εφθ=x και κάνουμε τις πράξεις θα φθάσουμε στη x<sup><span style="font-size: x-small;">3</span></sup>-3αx<sup><span style="font-size: x-small;">2</span></sup>-3x+α=0 που είναι η εξίσωση της τριχοτόμησης. Η κατασκευή με χάρακα και διαβήτη των ριζών αυτής της εξίσωσης είναι δυνατή μόνο αν μπορεί αυτή να αναλυθεί σε δύο παράγοντες, ένα πρωτοβάθμιο και ένα δευτεροβάθμιο, όμως αυτό αποδείχθηκε μόλις το 1837, ότι είναι αδύνατο. </div>
<div align="justify" style="text-align: justify;">
Οι αρχαίοι Έλληνες γεωμέτρες όταν οι προσπάθειές τους με το χάρακα και το διαβήτη δεν απέδωσαν, στράφηκαν σε άλλες καμπύλες εκτός του κύκλου και σε άλλες μεθόδους. Το πρώτο αποτέλεσμα αυτής της προσπάθειας ήταν η επινόηση από τον Ιππία τον Ηλείο της πρώτης καμπύλης στην ελληνική Γεωμετρία, μετά την περιφέρεια, της τετραγωνίζουσας, με τη βοήθεια της οποίας έδωσε και τη πρώτη λύση του προβλήματος.</div>
<div align="justify" style="text-align: justify;">
Οι γνωστότεροι αρχαίοι γεωμέτρες που ασχοληθήκανε με το πρόβλημα της τριχοτόμησης της γωνίας ειναι :</div>
<div align="justify" style="text-align: justify;">
<ul>
<li>Ο Ιππίας ο Ηλείος (περίπου 430 π.χ)</li>
<li><a href="http://www.telemath.gr/mathematical_ancient_times/ancient_greek_mathematicians/archimedes_syrakoysios.php"><span style="color: #b26a16;">Ο Αρχιμήδης</span></a> (287-212 π.χ)</li>
<li><a href="http://www.telemath.gr/mathematical_ancient_times/ancient_greek_mathematicians/nikomedes.php"><span style="color: #c86c00;">Ο Νικομήδης</span></a> (περίπου 200 π.χ)</li>
<li><a href="http://www.telemath.gr/mathematical_ancient_times/ancient_greek_mathematicians/pappos_alexandrinos.php"><span style="color: #c86c00;">Ο Πάππος ο Αλεξανδρινός</span></a> (3ος αι. μ.χ)</li>
</ul>
</div>
<h3 align="justify" style="text-align: justify;">
<a href="http://www.blogger.com/" name="3"></a></h3>
<div align="justify" style="text-align: justify;">
Η μέτρηση του εμβαδού του περικλειομένου από κάποιο σχήμα, ήταν σε όλους τους λαούς, από την εποχή που ακόμη η γεωμετρία ήταν εμπειρικής μορφής, βασική επιδίωξη όλων των γεωμετρών. Από τη στιγμή που διαλέξανε σαν μονάδα μέτρησης των εμβαδών, το τετράγωνο με πλευρά τη μονάδα μήκους, αυτόματα τέθηκε και το πρόβλημα του τετραγωνισμού των διαφόρων σχημάτων.</div>
<div align="justify" style="text-align: justify;">
Αρχικά “τετραγωνίστηκαν” δηλαδή προσδιορίστηκε το εμβαδόν τους, τα ορθογώνια, τα τρίγωνα, τα παραλληλόγραμμα και ορισμένα πολύγωνα. Μετά από αυτό ήταν φυσικό να επιδιωχθεί και ο τετραγωνισμός σχημάτων περικλειομένων από καμπύλες γραμμές και πρώτου από όλα του κύκλου. Ο τετραγωνισμός του κύκλου, το τρίτο από τα μεγάλα προβλήματα της αρχαιότητας, απασχόλησε πολλούς ερευνητές για πολλούς αιώνες και υπήρξε το μεγάλο εμπόδιο πάνω στο οποίο σκόνταψαν μεγάλα ονόματα.</div>
<div align="justify" style="text-align: justify;">
Η απαίτηση του προβλήματος είναι να κατασκευαστεί τετράγωνο ισοδύναμο με δοσμένο κύκλο, αν δηλαδή είναι R η ακτίνα του κύκλου και x η ζητούμενη πλευρά του τετραγώνου, πρέπει να αληθεύει η σχέση , όπου π ο λόγος του μήκους της περιφέρειας προς το μήκος της διαμέτρου του κύκλου. Παρόλο που εμπειρικά είχε διαπιστωθεί ότι ο λόγος π της περιφέρειας προς τη διάμετρο διατηρείται σταθερός, ωστόσο η κατασκευή αυτού του λόγου και όταν ακόμη η Γεωμετρία εφοδιασμένη με την απόδειξη είχε γίνει επιστήμη, στάθηκε αδύνατη. Υπήρξαν κατασκευές του π μεγαλοφυείς κατά τη σύλληψη όχι όμως πραγματοποιημένες σύμφωνα με την απαίτηση του “χάρακα και του διαβήτη” που έθεταν τότε. Παράλληλα έγιναν μεγαλειώδεις προσπάθειες υπολογισμού της τιμής του π, οι οποίες με πρωτεργάτη τον <a href="http://www.telemath.gr/mathematical_ancient_times/ancient_greek_mathematicians/archimedes_syrakoysios.php"><span style="color: #b26a16;">Αρχιμήδη</span></a>, έδωσαν ένδοξα αποτελέσματα.</div>
<div align="justify" style="text-align: justify;">
Ο πρώτος που ασχολήθηκε με τον τετραγωνισμό του κύκλου είναι οΑναξαγόρας ο Κλαζομένιος (500-428 π.χ) δάσκαλος και φίλος του Περικλή. Στη συνέχεια ασχολήθηκαν οι <a href="http://www.telemath.gr/mathematical_ancient_times/ancient_greek_mathematicians/ippokrates_chios.php"><span style="color: #c86c00;">Ιπποκράτης ο Χίος</span></a> (470- 400 π.χ) ο σοφιστήςΑντιφών ο Αθηναίος (περί το 430 π.χ) ο επίσης σοφιστής Βρύσων ο Ηρακλειώτης σύγχρονος του Αντιφώντα. Ουσιαστική ώθηση στο πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου, δόθηκε από τον σοφιστή Ιππία τον Ηλείο (β’ μισό του 5ου αι. π.χ) και από τους Πάππο (3ος αι. μ.χ) και τον Δεινόστρατο (4ος αι. π.χ) αδελφό του <a href="http://www.telemath.gr/mathematical_ancient_times/ancient_greek_mathematicians/menaichmos_prokonnesios.php"><span style="color: #c86c00;">Μέναιχμου</span></a>.</div>
<div align="justify" style="text-align: justify;">
Ο Ιάμβλιχος (250-325 μ.χ) αναφέρει ότι τον τετραγωνισμό του κύκλου κατόρθωσαν :</div>
<div align="justify" style="text-align: justify;">
<ul>
<li><a href="http://www.telemath.gr/mathematical_ancient_times/ancient_greek_mathematicians/archimedes_syrakoysios.php"><span style="color: #b26a16;">O Αρχιμήδης</span></a> (267-212 π.χ) με τη βοήθεια της “Έλικας”.</li>
<li><a href="http://www.telemath.gr/mathematical_ancient_times/ancient_greek_mathematicians/nikomedes.php"><span style="color: #c86c00;">Ο Νικομήδης</span></a> (περίπου 200 π.χ) με την καμπύλη που ονομαζόταν “ιδίως τετραγωνίζουσα”.</li>
<li><a href="http://www.telemath.gr/mathematical_ancient_times/ancient_greek_mathematicians/apollonios_pergaios.php"><span style="color: #c86c00;">Ο Απολλώνιος</span></a> (265-170 π.χ) με την καμπύλη που ονόμαζε ο ίδιος “αδελφή της κοχλοειδούς” που ήταν όμως ίδια με την καμπύλη του <a href="http://www.telemath.gr/mathematical_ancient_times/ancient_greek_mathematicians/nikomedes.php"><span style="color: #c86c00;">Νικομήδη</span></a>.</li>
<li>Ο Κάρπος με κάποια καμπύλη την οποία ονομάζει απλά “εκ διπλής κινήσεως προερχομένη”.</li>
</ul>
</div>
<div align="justify" style="text-align: justify;">
Και άλλοι πολλοί !!</div>
<div align="justify" style="text-align: justify;">
Πηγή: telemath.gr</div>
<div align="justify" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" style="text-align: justify;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
</div>
<div align="justify" style="text-align: justify;">
<b><span style="color: blue; font-size: large;">17 Ιστορικά προβλήματα γεωμετρίας του Θαλή Μιλήσιου.</span></b><br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;"></span></b></div>
<div align="justify" style="text-align: justify;">
<br />
<b><span style="color: blue;">Ενδιαφέρον άρθρο στην διδακτική αξιοποίηση των ιστορικών προβλημάτων του Θαλή </span></b><b><span style="color: blue;"> <a href="http://grmath4.phpnet.us/mathimatikoi/thalis/Thalis.pdf"><span style="background-color: yellow; color: #cc0000;">εδώ</span></a>.</span></b></div>
<div align="justify" style="text-align: justify;">
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<br />
<br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;">18. IΣΤΟΡΙΑ ΤΟΥ ΠΥΘΑΓΩΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ</span></b><br />
<br />
<b><span style="color: blue;">Μπορείτε να βρείτε εμπεριστατωμένη ιστορία του πυθαγωρείου θεωρήματος <a href="http://www.math.uoc.gr/~jplatis/pythagoras.pdf"><span style="background-color: yellow; color: #cc0000;">εδώ.</span></a></span></b></div>
<div align="justify" style="text-align: justify;">
<div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<div style="margin: 0px; text-align: justify; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: blue; font-size: large;">19. Συνοπτική ιστορία της τριγωνομετρίας <a href="http://users.sch.gr/kassetas/ed0math6Trig.htm"><span style="background-color: yellow; color: #cc0000;">εδώ.</span></a></span></b></div>
<div style="margin: 0px; text-align: justify; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
<div style="margin: 0px; text-align: justify; word-spacing: 0px;">
<b> </b><br />
<br />
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>20. Συνοπτική ιστορία των αρχαιοελληνικών μαθηματικών </b></span></div>
<span style="color: blue;"><b> από το κλασσικό βιβλίο " Σύντομη ιστορία των μαθηματικών " του Dirk J Stuik : <a href="http://www.mathsforyou.gr/arthra/Sintomi_istoria_mathimatikon.pdf"><span style="background-color: yellow; color: #cc0000; font-size: large;">εδώ.</span></a></b></span><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br /></div>
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<b><u><span style="color: #cc3300; font-family: "georgia"; font-size: medium;">21. ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ</span></u></b> </div>
</div>
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
</div>
<div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: grey;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: medium;">3000-2000 π.Χ</span></span></b> </div>
</div>
<div align="center">
<table border="1" cellpadding="0" cellspacing="10" style="width: 552px;"><tbody>
<tr><td width="22%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: #cc6633;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Αίγυπτος</span></span></b> </div>
</div>
</td><td width="78%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<span style="color: green;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Εμφάνιση ιερογλυφικών αριθμών<br />
Κατασκευή πυραμίδων</span></span> </div>
</div>
</td></tr>
<tr><td width="22%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
</div>
</div>
<div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: #cc6633;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Κίνα</span></span></b> </div>
</div>
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: "georgia";"><br />
</span></div>
</td><td width="78%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<span style="color: green;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Πραγματεία Μεταθέσεων<br />
Πραγματεία αριθμητικής σε 9 κεφάλαια ( υπολογισμοί εμβαδών)</span></span> </div>
</div>
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
<div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<span style="color: green;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Προσέγγιση της τιμής του π</span></span> </div>
</div>
</td></tr>
<tr><td width="22%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: #cc6633;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Μεσοποταμία</span></span></b> </div>
</div>
</td><td width="78%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<span style="color: green;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Εμφάνιση σφηνοειδούς γραφής των αριθμών</span></span> </div>
</div>
</td></tr>
</tbody></table>
</div>
<div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: grey;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: medium;">2000-1000 π.Χ</span></span></b> </div>
</div>
<div align="center">
<table border="1" cellpadding="0" cellspacing="10" style="width: 552px;"><tbody>
<tr><td width="22%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: #cc6633;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Αίγυπτος</span></span></b> </div>
</div>
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
</td><td width="78%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<span style="color: green;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Πάπυροι Rhind και Μόσχας<br />
Υπολογισμοί όγκων και εμβαδών</span></span> </div>
</div>
</td></tr>
<tr><td width="22%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: #cc6633;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Μεσοποταμία</span></span></b> </div>
</div>
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
</td><td width="78%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<span style="color: green;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Υπολογισμοί εμβαδών και "επίλυση" εξισώσεων β΄ βαθμού</span></span> </div>
</div>
</td></tr>
</tbody></table>
</div>
<div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: grey;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: medium;">1000-500 π.Χ</span></span></b> </div>
</div>
<div align="center">
<table border="1" cellpadding="0" cellspacing="10" style="width: 552px;"><tbody>
<tr><td width="22%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: #cc6633;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Ελλάδα</span></span></b> </div>
</div>
</td><td width="78%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<span style="color: green;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Θαλής. Έννοια απόδειξης, Αποδεικτική Γεωμετρία<br />
Πυθαγόρας -Πυθαγόρειοι. Θεωρία Αριθμών, γεωμετρία, μουσική κλίμακα</span></span> </div>
</div>
</td></tr>
<tr><td width="22%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: #cc6633;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Ινδία</span></span></b> </div>
</div>
</td><td width="78%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<span style="color: green;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Υπολογισμός τετραγωνικών ριζών</span></span> </div>
</div>
</td></tr>
</tbody></table>
</div>
<div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: grey;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: medium;">500-300 π.Χ</span></span></b> </div>
</div>
<div align="center">
<table border="1" cellpadding="0" cellspacing="10" style="width: 552px;"><tbody>
<tr><td width="22%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: #cc6633;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Ελλάδα</span></span></b> </div>
</div>
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: "georgia";"><br />
</span></div>
</td><td width="78%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<span style="color: green;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Οινοπίδης ο Χίος: Γεωμετρία<br />
Ιπποκράτης ο Χίος: Τετραγωνισμός<br />
Ζήνων ο Ελεάτης: Παράδοξα κίνησης ( που περικλείουν έννοιες συνέχειας και ορίου)<br />
Λεύκιππος: Ατομική θεωρία<br />
Αντιφών: Μέθοδος εξάντλησης<br />
Ιππίας ο Ηλείος: Τετραγωνισμός<br />
Θεόδωρος ο Κηρυναίος: Ασύμμετρους αριθμούς<br />
Δημόκριτος: Ατομική Θεωρία, Γεωμετρία<br />
Αρχύτας: Αναλογίες<br />
Πλάτων: Θεμελίωση Μαθηματικών<br />
Θεαίτητος: Γεωμετρία<br />
Εύδοξος: Αναλογίες<br />
Μέναιχμος: Κωνικές<br />
Δεινόστρατος: Τετραγωνίζουσα<br />
Αριστοτέλης: Λογική<br />
Ευκλείδης: Στοιχεία, Δεδομένα, Φαινόμενα</span></span> </div>
</div>
</td></tr>
</tbody></table>
</div>
<div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: grey;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: medium;">300-0 π.Χ</span></span></b> </div>
</div>
<div align="center">
<table border="1" cellpadding="0" cellspacing="10" style="width: 552px;"><tbody>
<tr><td width="22%"> <br />
<div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: #cc6633;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Ελλάδα</span></span></b> </div>
</div>
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: "georgia";"><br />
</span></div>
</td><td width="78%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<span style="color: green;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Αρίσταρχος: Πρώτη διατύπωση της θεωρίας του ηλιοκεντρικού συστήματος<br />
Ερατοσθένης: Πρώτοι αριθμοί, Γεωδαισία<br />
Απολλώνιος: Κωνικές<br />
Αρχιμήδης: Γεωμετρία, Αρχές απειροστικού λογισμού, Θεωρητική φυσική, Εφαρμογές<br />
Ίππαρχος: Αστρονομία, Τριγωνομετρία<br />
Σωσιγένης: Δημιουργία Ιουλιανού ημερολογίου</span></span> </div>
</div>
</td></tr>
<tr><td width="22%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: #cc6633;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Κίνα</span></span></b> </div>
</div>
</td><td width="78%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<span style="color: green;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Τετραγωνικές, κυβικές ρίζες. Γραμμικές εξισώσεις</span></span> </div>
</div>
</td></tr>
</tbody></table>
</div>
<div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: grey;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: medium;">0-200 μ.Χ</span></span></b> </div>
</div>
<div align="center">
<table border="1" cellpadding="0" cellspacing="10" style="width: 552px;"><tbody>
<tr><td width="22%"> <br />
<div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: #cc6633;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Ελλάδα</span></span></b> </div>
</div>
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: "georgia";"><br />
</span></div>
</td><td width="78%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<span style="color: green;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Ήρων ο Αλεξανδρεύς: Γεωδαισία, Μαθηματικά, Εφαρμογές<br />
Σερήνος: Κυλινδρικές τομές<br />
Νικόμαχος: Θεωρία Αριθμών<br />
Θέων ο Σμυρναίος: Θεωρία Αριθμών<br />
Κλαύδιος Πτολεμαίος: Αστρονομία, Τριγωνομετρία, Γεωδαισία</span></span> </div>
</div>
</td></tr>
<tr><td width="22%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: #cc6633;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Κίνα</span></span></b> </div>
</div>
</td><td width="78%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<span style="color: green;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Αστρονομία, Γεωμετρία</span></span> </div>
</div>
</td></tr>
</tbody></table>
</div>
<div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: grey;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: medium;">200-400 μ.Χ</span></span></b> </div>
</div>
<div align="center">
<table border="1" cellpadding="0" cellspacing="10" style="width: 552px;"><tbody>
<tr><td width="22%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: #cc6633;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Ελλάδα</span></span></b> </div>
</div>
</td><td width="78%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<span style="color: green;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Διόφαντος: Άλγεβρα, Θεωρία Αριθμών<br />
Πάππος: Γεωμετρία<br />
Ιαμβλίχος: Θεωρία Αριθμών<br />
Θέων ο Αλεξανδρεύς: Γεωμετρία</span></span> </div>
</div>
</td></tr>
<tr><td width="22%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: #cc6633;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Κίνα</span></span></b> </div>
</div>
</td><td width="78%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<span style="color: green;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Liu Hui: Τεχνικές μέτρησης. Αριθμητική</span></span> </div>
</div>
</td></tr>
</tbody></table>
</div>
<div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: grey;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: medium;">400-800 μ.Χ</span></span></b> </div>
</div>
<div align="center">
<table border="1" cellpadding="0" cellspacing="10" style="width: 552px;"><tbody>
<tr><td width="23%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: #cc6633;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Ελλάδα</span></span></b> </div>
</div>
</td><td width="77%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<span style="color: green;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Υπατία: Γεωμετρία, Αστρονομία<br />
Πρόκλος: Γεωμετρία</span></span> </div>
</div>
</td></tr>
<tr><td width="23%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: #cc6633;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Μεξικό</span></span></b> </div>
</div>
</td><td width="77%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<span style="color: green;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Ανάπτυξη της αρίθμησης και αστρονομίας των Maya</span></span> </div>
</div>
</td></tr>
<tr><td width="23%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: #cc6633;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Μέση Ανατολή</span></span></b> </div>
</div>
</td><td width="77%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<span style="color: green;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Με τον Χαρούν αλ Ρασίντ , προστάτη των Μαθηματικών, (βασίλευσε 786-808) αρχίζει η αραβική εποχή, αμάλγαμα δύο κόσμων (ελληνικού - αραβικού)</span></span> </div>
</div>
</td></tr>
<tr><td width="23%"><div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: #cc6633;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Ινδία</span></span></b></div>
</td><td width="77%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<span style="color: green;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Aryabhata και Τριγωνομετρία<br />
Brahmagupta και απροσδιόριστη ανάλυση, ανάπτυξη του ινδοαραβικού συστήματος αρίθμησης</span></span> </div>
</div>
</td></tr>
<tr><td width="23%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: #cc6633;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Ιταλία</span></span></b> </div>
</div>
</td><td width="77%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<span style="color: green;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Boethius: Γεωμετρία και Θεωρία Αριθμών</span></span> </div>
</div>
</td></tr>
<tr><td width="23%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: #cc6633;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Κίνα</span></span></b> </div>
</div>
</td><td width="77%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<span style="color: green;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Αριθμητική, Μέτρηση κύκλου, Εξισώσεις 3ου βαθμού, Αστρονομία</span></span> </div>
</div>
</td></tr>
</tbody></table>
</div>
<div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: grey;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: medium;">800-1000 μ.Χ</span></span></b> </div>
</div>
<div align="center">
<table border="1" cellpadding="0" cellspacing="10" style="width: 552px;"><tbody>
<tr><td width="23%"> <br />
<div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: #cc6633;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Μέση Ανατολή</span></span></b> </div>
</div>
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: "georgia";"><br />
</span></div>
</td><td width="77%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<span style="color: green;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">al Khowârismi: Άλγεβρα<br />
Honein ibn Ishâq: Ελληνικά Μαθηματικά<br />
Tâbt ibn Qurra: Κωνικές, Ελληνικά Μαθηματικά<br />
Abû Kâmil: Γεωμετρία, Άλγεβρα<br />
Al Nairizi: Γεωμετρία<br />
Αβικέννας: Γεωμετρία, Αριθμητική</span></span> </div>
</div>
</td></tr>
<tr><td width="23%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: #cc6633;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Ινδία</span></span></b> </div>
</div>
</td><td width="77%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<span style="color: green;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Mahâvira: Αριθμητική, Άλγεβρα</span></span> </div>
</div>
</td></tr>
<tr><td width="23%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: #cc6633;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Ισπανία</span></span></b> </div>
</div>
</td><td width="77%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<span style="color: green;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Gerbert (Sylvester II): Αριθμητική</span></span> </div>
</div>
</td></tr>
</tbody></table>
</div>
<div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: grey;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: medium;">1000-1200 μ.Χ</span></span></b> </div>
</div>
<div align="center">
<table border="1" cellpadding="0" cellspacing="10" style="width: 552px;"><tbody>
<tr><td width="23%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: #cc6633;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Βυζάντιο</span></span></b> </div>
</div>
</td><td width="77%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<span style="color: green;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Μιχαήλ Ψελλός: Αστρονομία</span></span> </div>
</div>
</td></tr>
<tr><td width="23%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: #cc6633;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Περσία</span></span></b> </div>
</div>
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
</td><td width="77%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<span style="color: green;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Ομάρ Καγιάμ: Γεωμετρική λύση κυβικών εξισώσεων, αίτημα των παραλλήλων, θεωρία αναλογιών</span></span> </div>
</div>
</td></tr>
<tr><td width="23%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: #cc6633;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Ινδία</span></span></b> </div>
</div>
</td><td width="77%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<span style="color: green;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Al Biruni: Σφαιρική τριγωνομετρία<br />
Bhâskara: Άλγεβρα</span></span> </div>
</div>
</td></tr>
<tr><td width="23%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: #cc6633;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Ισπανία</span></span></b> </div>
</div>
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
</td><td width="77%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<span style="color: green;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Αραβικά έργα μεταφράζονται σε λατινικά<br />
Abraham ben Ezra: Συνδυαστική</span></span> </div>
</div>
</td></tr>
<tr><td width="23%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: #cc6633;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Ιταλία</span></span></b> </div>
</div>
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
</td><td width="77%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<span style="color: green;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Μεταφράσεις αραβικών έργων στα λατινικά (Πλάτων του Tivoli, Gerardo της Gremoma)</span></span> </div>
</div>
</td></tr>
<tr><td width="23%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: #cc6633;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Κίνα</span></span></b> </div>
</div>
</td><td width="77%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<span style="color: green;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Αριθμητική</span></span> </div>
</div>
</td></tr>
</tbody></table>
</div>
<div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: grey;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: medium;">1200-1400 μ.Χ</span></span></b> </div>
</div>
<div align="center">
<table border="1" cellpadding="0" cellspacing="10" style="width: 552px;"><tbody>
<tr><td width="23%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: #cc6633;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Αγγλία</span></span></b> </div>
</div>
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
</td><td width="77%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<span style="color: green;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Μελέτη κίνησης, επιτάχυνσης<br />
Calculatores</span></span> </div>
</div>
</td></tr>
<tr><td width="23%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
</div>
</div>
<div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
</div>
</div>
<div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: #cc6633;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Βυζάντιο</span></span></b> </div>
</div>
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: "georgia";"><br />
</span></div>
</td><td width="77%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<span style="color: green;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Ιωάννης Παχυμέρης: Περί των τεσσάρων μαθημάτων<br />
Παχυμερούς μεγάλου διδασκάλου: (Αριθμητική, μουσική, Γεωμετρία, Αστρονομία)<br />
Μάξιμος Πλανούδης: Θεωρία Αριθμών<br />
Εμμανουήλ Μοσχόπουλος: Μαγικά τετράγωνα<br />
Νικόλαος Ραβδάς: Αριθμητική, Γεωμετρία</span></span> </div>
</div>
</td></tr>
<tr><td width="23%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: #cc6633;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Γαλλία</span></span></b> </div>
</div>
</td><td width="77%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<span style="color: green;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">O Jordanus και προχωρημένη Άλγεβρα</span></span> </div>
</div>
</td></tr>
<tr><td width="23%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: #cc6633;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Ιταλία</span></span></b> </div>
</div>
</td><td width="77%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<span style="color: green;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Leonardo της Πίζας (FIbonacci): Άλγεβρα, Αριθμητική, Γεωμετρία ( εισαγωγή αραβικών γνώσεων)</span></span> </div>
</div>
</td></tr>
<tr><td width="23%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: #cc6633;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Κίνα</span></span></b> </div>
</div>
</td><td width="77%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<span style="color: green;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων</span></span> </div>
</div>
</td></tr>
<tr><td width="23%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: #cc6633;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Περού</span></span></b> </div>
</div>
</td><td width="77%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<span style="color: green;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Κίπους: ( κόμβοι σε σχοινιά ) για μέτρηση</span></span> </div>
</div>
</td></tr>
<tr><td width="23%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: #cc6633;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Περσία</span></span></b> </div>
</div>
</td><td width="77%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<span style="color: green;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Nasir al Din Tusi και τριγωνομετρία</span></span> </div>
</div>
</td></tr>
</tbody></table>
</div>
<div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: grey;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: medium;">1400-1600 μ.Χ</span></span></b> </div>
</div>
<div align="center">
<table border="1" cellpadding="0" cellspacing="10" style="width: 552px;"><tbody>
<tr><td width="23%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: #cc6633;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Αγγλία</span></span></b> </div>
</div>
</td><td width="77%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<span style="color: green;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Τριγωνομετρία</span></span> </div>
</div>
</td></tr>
<tr><td width="23%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: #cc6633;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Γαλλία</span></span></b> </div>
</div>
</td><td width="77%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<span style="color: green;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Ο Vieta και ο αλγεβρικός συμβολισμός</span></span> </div>
</div>
</td></tr>
<tr><td width="23%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: #cc6633;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Γερμανία</span></span></b> </div>
</div>
</td><td width="77%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<span style="color: green;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Reichenmeisters: Προοπτική (Durer)</span></span> </div>
</div>
</td></tr>
<tr><td width="23%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: #cc6633;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Ιταλία</span></span></b> </div>
</div>
</td><td width="77%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<span style="color: green;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Αλγεβρική επίλυση εξισώσεων 3ου βαθμού (Ferrari, Tartaglia, Carnano ). Γεωμετρία, Γεωμετρική προοπτική</span></span> </div>
</div>
</td></tr>
<tr><td width="23%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: #cc6633;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Ινδία</span></span></b> </div>
</div>
</td><td width="77%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<span style="color: green;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Υπολογισμοί ημx , συνx</span></span> </div>
</div>
</td></tr>
<tr><td width="23%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: #cc6633;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Κάτω Χώρες</span></span></b> </div>
</div>
</td><td width="77%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<span style="color: green;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Stevin και τα δεκαδικά κλάσματα</span></span> </div>
</div>
</td></tr>
<tr><td width="23%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: #cc6633;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Πορτογαλία</span></span></b> </div>
</div>
</td><td width="77%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<span style="color: green;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">N. Nuñez (Άλγεβρα, Γεωμετρία, Ναυσιπλοΐα</span></span> </div>
</div>
</td></tr>
</tbody></table>
</div>
<div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: grey;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: medium;">1600-1700 μ.Χ</span></span></b> </div>
</div>
<div align="center">
<table border="1" cellpadding="0" cellspacing="10" style="width: 552px;"><tbody>
<tr><td width="23%"> <br />
<div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: #cc6633;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Ευρώπη</span></span></b> </div>
</div>
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: "georgia";"><br />
</span></div>
</td><td width="77%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<span style="color: green;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Kepler, Newton: Ουράνια μηχανική<br />
Descartes-Fermat: Δημιουργία Αναλυτικής Γεωμετρίας<br />
Napier, Briggs: Ανακάλυψη λογαρίθμων<br />
Girard-Descartes: Θεωρία εξισώσεων<br />
Pascal-Fermat: Θεωρία πιθανοτήτων<br />
Fermat-Pascal: Θεωρία Αριθμών<br />
Pascal-Desargues: Προβολική Γεωμετρία<br />
Newton-Leibniz: Δημιουργία απειροστικού λογισμού<br />
Γαλιλαίος: Γεωμετρία, Αστρονομία, Μηχανική<br />
Huygens: Γεωμετρία, Φυσική, Αστρονομία, Θεωρία πιθανοτήτων.</span></span> </div>
</div>
</td></tr>
<tr><td width="23%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: #cc6633;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Κίνα</span></span></b> </div>
</div>
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<span style="font-family: "georgia";"><br />
</span></div>
</td><td width="77%"><div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<span style="color: green;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Ο Mateo Ricci μεταφράζει τα στοιχεία του Ευκλείδη στα κινέζικα.</span></span> </div>
</div>
</td></tr>
</tbody></table>
</div>
<div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: grey;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: medium;">1700-1800 μ.Χ</span></span></b> </div>
</div>
<div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<span style="color: green;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Ανάπτυξη τεχνικής για την επίλυση διαφορικών εξισώσεων (Euler, D`Alembert, Clairaut, Bernoulli, Lagrange)-Προσπάθεια αυστηρής θεμελίωσης του απειροστικού λογισμού (D`Alembert, Euler, Lagrange)-Θεωρία πιθανοτήτων (Bernoulli, de Moivre, Bayes, Laplace )-Eπίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων (Lagrange, Ruffini)-Γεωμετρία: Μελέτη Καμπυλών (Euler, Clairaut, Monge, Dupin)-Λογισμός Μεταβολών (Euler, Lagrange)</span></span> </div>
</div>
<div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: grey;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: medium;">1800-1900 μ.Χ</span></span></b> </div>
</div>
<div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<span style="color: green;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Αλγεβρική Θεωρία αριθμών-Θεωρία Galois-Ομάδες και Σώματα-Quaternions και οι μη μεταθετικές άλγεβρες-Θεωρία Πινάκων-Η αριθμητικοποίηση της ανάλυσης-Διαφορική Γεωμετρία-Μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες-Προβολική Γεωμετρία-Διανυσματική Ανάλυση-Θεμελίωση της Γεωμετρίας-Μαθηματική Λογική-Θεωρία πιθανοτήτων-Θεωρία Συναρτήσεων</span></span> </div>
</div>
<div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: grey;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: medium;">1900-1999 μ.Χ</span></span></b> </div>
</div>
<div align="center">
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<span style="color: green;"><span style="font-family: "georgia"; font-size: small;">Θεωρία Συνόλων-Ανάπτυξη της Τοπολογίας-Αυστηρή Θεμελίωση της Θεωρίας Πιθανοτήτων-Επίδραση των Η/Υ στα Μαθηματικά-Αλγεβροποίηση των Μαθηματικών-Επίλυση ανοιχτών προβλημάτων (το τελευταίο θεώρημα του Fermat, το πρόβλημα των 4 χρωμάτων)-Η γένεση της ομάδας N. Bourbaki-Η δημιουργία καινούριων κλάδων και θεωριών (συναρτησιακή ανάλυση, τανυστική ανάλυση, ολική διαφορική γεωμετρία, κυβερνητική, θεωρία γραφημάτων, θεωρία κατηγοριών, θεωρία κατανομών, θεωρία solitons κ.α)</span></span> </div>
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<br /></div>
<div align="center" style="margin: 0px; word-spacing: 0px;">
<b><span style="color: blue;"> </span></b><br />
<b><span style="color: blue;"> <span style="font-size: large;"> </span></span></b> </div>
</div>
<br />
<br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;">22. Η ανθρωπολογία των μαθηματικών</span></b></div>
<div align="justify" style="text-align: justify;">
<b><span style="color: blue; font-size: large;"> Αλφαβητικός κατάλογος κυριότερων μαθηματικών.</span></b><br />
<br />
<br />
<b><span style="color: #cc0000; font-size: large;"><i>Σε όποια ονόματα υπάρχει φωτογραφία γίνεται σύνδεση με την Βικιπαίδεια. Κάντε κλικ πάνω στο όνομα και βρείτε βιογραφικά του στοιχεία.</i></span></b></div>
<div align="justify" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" style="text-align: justify;">
<span class="mw-headline" id=".CE.91"><span style="font-size: large;"><b>Α</b></span></span></div>
<div align="justify" style="text-align: justify;">
<ul>
<li><a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%9D%CE%B9%CE%BB%CF%82_%CE%A7%CE%AD%CE%BD%CF%81%CE%B9%CE%BA_%CE%86%CE%BC%CF%80%CE%B5%CE%BB" title="Νιλς Χένρικ Άμπελ"><b><span style="color: #0645ad;">Νιλς Χένρικ Άμπελ</span></b></a></li>
<li><a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%9D%CE%B9%CE%BA%CF%8C%CE%BB%CE%B1%CE%BF%CF%82_%CE%91%CF%81%CF%84%CE%B5%CE%BC%CE%B9%CE%AC%CE%B4%CE%B7%CF%82" title="Νικόλαος Αρτεμιάδης"><b><span style="color: #0645ad;">Νικόλαος Αρτεμιάδης</span></b></a></li>
<li></li>
<li><a href="http://www.tsene.com/wp-content/uploads/archimedes.jpg" id="thumbnail"><img alt="Προβολή εικόνας πλήρους μεγέθους" src="http://t2.gstatic.com/images?q=tbn:SiZK7LHFGl-qUM:http://www.tsene.com/wp-content/uploads/archimedes.jpg" height="79" style="border-bottom: 1px solid; border-left: 1px solid; border-right: 1px solid; border-top: 1px solid; float: left; margin: 10px 10px 0px;" width="65" /></a><a href="http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%91%CF%81%CF%87%CE%B9%CE%BC%CE%AE%CE%B4%CE%B7%CF%82" title="Αρχιμήδης"><b><span style="color: #0645ad;">Αρχιμήδης</span></b></a></li>
</ul>
</div>
<div align="justify" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" style="text-align: justify;">
<ul>
<li><a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%86%CF%84%CF%84%CE%B1%CE%BB%CE%BF%CF%82_%CE%BF_%CE%A1%CF%8C%CE%B4%CE%B9%CE%BF%CF%82" title="Άτταλος ο Ρόδιος"><b><span style="color: #0645ad;">Άτταλος ο Ρόδιος</span></b></a></li>
<li><a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%91%CF%85%CF%84%CF%8C%CE%BB%CF%85%CE%BA%CE%BF%CF%82_%CE%BF_%CE%A0%CE%B9%CF%84%CE%B1%CE%BD%CE%B1%CE%AF%CE%BF%CF%82" title="Αυτόλυκος ο Πιταναίος"><b><span style="color: #0645ad;">Αυτόλυκος ο Πιταναίος</span></b></a></li>
</ul>
</div>
<h2 align="justify" style="text-align: justify;">
<span class="mw-headline" id=".CE.92">Β</span></h2>
<div align="justify" style="text-align: justify;">
<ul>
<li><a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%9B%CE%B5%CF%8C%CE%BD_%CE%92%CE%B1%CE%BB%CF%81%CE%AC%CF%82" title="Λεόν Βαλράς"><b><span style="color: #0645ad;">Λεόν Βαλράς</span></b></a></li>
<li><a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%88%CE%BD%CF%84%CE%BF%CF%85%CE%B1%CF%81%CE%BD%CF%84_%CE%92%CE%AF%CF%84%CE%B5%CE%BD" title="Έντουαρντ Βίτεν"><b><span style="color: #0645ad;">Έντουαρντ Βίτεν</span></b></a></li>
</ul>
</div>
<br />
<ul>
<li><span style="color: #0b5394;"><b><a href="http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/PictDisplay/Weierstrass.html" target="_blank"><img border="1" src="http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Thumbnails/Weierstrass.jpg" height="109" /></a>Καρλ Βάιστρας (1815-1897) </b></span><a href="http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Weierstrass.html" onclick="javascript:win1('../Mathematicians/Weierstrass',550,800); return false;"><span style="color: #0b5394;"><b>Weierstrass</b></span></a><span style="color: #0b5394;"><b> </b></span></li>
</ul>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<ul>
<li><span style="color: #0b5394;"><b><u><a href="http://2.bp.blogspot.com/_z2PAcGDbwHI/S98bRhr2YFI/AAAAAAAAAb4/PZcbw-VaL9o/s1600/BIET.jpg" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img alt="" border="0" height="200" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5467118460565086290" src="https://2.bp.blogspot.com/_z2PAcGDbwHI/S98bRhr2YFI/AAAAAAAAAb4/PZcbw-VaL9o/s200/BIET.jpg" style="float: left; height: 161px; margin: 0pt 10px 10px 0pt; width: 159px;" width="197" /></a><a href="http://mathstam.blogspot.com/2010/05/blog-post_1937.html">Φρανσουά Βιέτ</a></u></b></span></li>
</ul>
</div>
<h2 align="justify" style="text-align: justify;">
<span style="color: #0b5394;"> </span></h2>
<h2 align="justify" style="text-align: justify;">
<span style="color: #0b5394;"></span> </h2>
<h2 align="justify" style="text-align: justify;">
<span style="color: #0b5394;"></span> </h2>
<h2 align="justify" style="text-align: justify;">
<span style="color: #0b5394;"></span> </h2>
<h2 align="justify" style="text-align: justify;">
<span class="mw-headline" id=".CE.93" style="color: blue;"></span> </h2>
<h2 align="justify" style="text-align: justify;">
<span class="mw-headline" style="color: blue;"></span> </h2>
<h2 align="justify" style="text-align: justify;">
<span class="mw-headline" style="color: blue;">Γ</span></h2>
<div align="justify" style="text-align: justify;">
<span style="color: blue;"><a href="http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%95%CE%B2%CE%B1%CF%81%CE%AF%CF%83%CF%84_%CE%93%CE%BA%CE%B1%CE%BB%CE%BF%CF%85%CE%AC">Γκαλουά</a></span><br />
<br />
<br /></div>
<div align="justify" style="text-align: justify;">
<ul><a href="http://4.bp.blogspot.com/--QA8gPDmnoo/UwHETIfLusI/AAAAAAAABEA/Qa_wOUBTMnM/s1600/image0000462B.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="200" src="https://4.bp.blogspot.com/--QA8gPDmnoo/UwHETIfLusI/AAAAAAAABEA/Qa_wOUBTMnM/s1600/image0000462B.jpg" width="160" /></a>
<li><a href="http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%9A%CE%B1%CF%81%CE%BB_%CE%A6%CF%81%CE%AF%CE%BD%CF%84%CF%81%CE%B9%CF%87_%CE%93%CE%BA%CE%AC%CE%BF%CF%85%CF%82">Γκάους</a></li>
</ul>
</div>
<div align="justify" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" style="text-align: justify;">
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br /></div>
<ul>
<li><a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%86%CE%BD%CF%84%CF%81%CE%B9%CE%BF%CF%85_%CE%93%CE%BF%CF%85%CE%AC%CE%B9%CE%BB%CF%82" title="Άντριου Γουάιλς"><b><span style="color: #0645ad;">Άντριου Γουάιλς</span></b></a></li>
<li><a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%9A%CF%89%CE%BD%CF%83%CF%84%CE%B1%CE%BD%CF%84%CE%AF%CE%BD%CE%BF%CF%82_%CE%93%CE%BF%CF%8D%CE%B4%CE%B1%CF%82" title="Κωνσταντίνος Γούδας"><b><span style="color: #0645ad;">Κωνσταντίνος Γούδας</span></b></a></li>
<li><a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%93%CE%B5%CE%BC%CE%AF%CE%BD%CE%BF%CF%82_%CE%BF_%CE%A1%CF%8C%CE%B4%CE%B9%CE%BF%CF%82" title="Γεμίνος ο Ρόδιος"><b><span style="color: #0645ad;">Γεμίνος ο Ρόδιος</span></b></a></li>
</ul>
<br />
<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://2.bp.blogspot.com/-l-EM_JLy2G0/UwHEgdoqPTI/AAAAAAAABEI/kGTThxIuW2c/s1600/200px-Kurt_g%C3%B6del.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="200" src="https://2.bp.blogspot.com/-l-EM_JLy2G0/UwHEgdoqPTI/AAAAAAAABEI/kGTThxIuW2c/s1600/200px-Kurt_g%C3%B6del.jpg" width="157" /></a></div>
<ul>
<li><div class="r">
</div>
<a href="http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%9A%CE%BF%CF%85%CF%81%CF%84_%CE%93%CE%BA%CE%AD%CE%BD%CF%84%CE%B5%CE%BB" title="Κουρτ Γκέντελ"><span style="color: #0645ad;"><b>Κουρτ Γκέντελ</b></span></a></li>
</ul>
<h2 align="justify" style="text-align: justify;">
</h2>
<h2 align="justify" style="text-align: justify;">
</h2>
<h2 align="justify" style="text-align: justify;">
</h2>
<h2 align="justify" style="text-align: justify;">
</h2>
<h2 align="justify" style="text-align: justify;">
</h2>
<h2 align="justify" style="text-align: justify;">
<span class="mw-headline"></span> </h2>
<h2 align="justify" style="text-align: justify;">
<span class="mw-headline">Δ</span></h2>
<div align="justify" style="text-align: justify;">
<ul>
<li><a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%94%CE%B9%CE%BF%CE%BA%CE%BB%CE%AE%CF%82_%CE%BF_%CE%91%CE%BB%CE%B5%CE%BE%CE%B1%CE%BD%CE%B4%CF%81%CE%B5%CF%8D%CF%82" title="Διοκλής ο Αλεξανδρεύς"><b><span style="color: #0645ad;">Διοκλής ο Αλεξανδρεύς</span></b></a></li>
</ul>
</div>
<br />
<h2 align="justify" style="text-align: justify;">
<a href="https://www.blogger.com/blogger.g?blogID=7730717435979339231" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"></a>
<span class="mw-headline" id=".CE.95">Ε</span></h2>
<div align="justify" style="text-align: justify;">
<ul>
<li><b><span style="color: #0645ad;"><a href="http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%95%CF%81%CE%B1%CF%84%CE%BF%CF%83%CE%B8%CE%AD%CE%BD%CE%B7%CF%82_%CE%BF_%CE%9A%CF%85%CF%81%CE%B7%CE%BD%CE%B1%CE%AF%CE%BF%CF%82" title="Ερατοσθένης ο Κυρηναίος">Ερατοσθένης ο Κυρηναίος</a></span></b></li>
</ul>
</div>
<div align="justify" style="text-align: justify;">
<br />
<b><span style="color: #0b5394;"> <span id="goog_1122987717"></span><span id="goog_1122987718"></span> <span id="goog_1122987699"></span><span id="goog_1122987700"></span><span id="goog_1122987701"></span><span id="goog_1122987702"></span><span id="goog_1122987703"></span><span id="goog_1122987704"></span><span id="goog_1122987705"></span><span id="goog_1122987706"></span><span id="goog_1122987707"></span><span id="goog_1122987708"></span><span id="goog_1122987709"></span><span id="goog_1122987710"></span><span id="goog_1122987711"></span><span id="goog_1122987712"></span><span id="goog_1122987713"></span><span id="goog_1122987714"></span><span id="goog_1122987715"></span><span id="goog_1122987716"></span>Πολ Έρντος</span></b></div>
<div align="justify" style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<a href="http://www.google.gr/imgres?imgurl=http://www.focusmag.gr/articles/pictures/34995306/euclid.jpg&imgrefurl=http://www.fourakis-kea.com/forum/viewtopic.php%3Ff%3D18%26t%3D1262%26start%3D10&usg=__GaSiYiVLUmJxnYeGx8PKXnaHw-w=&h=311&w=262&sz=28&hl=el&start=22&zoom=1&itbs=1&tbnid=0SdGO0yMdqisOM:&tbnh=117&tbnw=99&prev=/images%3Fq%3D%25CE%25B5%25CF%2585%25CE%25BA%25CE%25BB%25CE%25B5%25CE%25AF%25CE%25B4%25CE%25B7%26start%3D20%26hl%3Del%26sa%3DN%26gbv%3D2%26ndsp%3D20%26tbs%3Disch:1"><img height="117" src="data:image/jpg;base64,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" style="border-bottom: #ccc 1px solid; border-left: #ccc 1px solid; border-right: #ccc 1px solid; border-top: #ccc 1px solid; padding-bottom: 1px; padding-left: 1px; padding-right: 1px; padding-top: 1px; vertical-align: bottom;" width="99" /></a><a href="http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%95%CF%85%CE%BA%CE%BB%CE%B5%CE%AF%CE%B4%CE%B7%CF%82" title="Ευκλείδης"><b><span style="color: #0645ad;">Ευκλείδης</span></b></a></div>
<h2 style="text-align: justify;">
</h2>
<h2 style="text-align: justify;">
<span class="mw-headline" id=".CE.97">Η</span></h2>
<div style="text-align: justify;">
<ul>
<li><a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%89%CF%81%CF%89%CE%BD" title="Ήρων"><b><span style="color: #0645ad;">Ήρων</span></b></a></li>
</ul>
</div>
<h2>
</h2>
<h2>
<span class="mw-headline" id=".CE.98">Θ</span></h2>
<br />
<a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%98%CE%AD%CF%89%CE%BD_%CE%BF_%CE%91%CE%BB%CE%B5%CE%BE%CE%B1%CE%BD%CE%B4%CF%81%CE%B5%CF%8D%CF%82" title="Θέων ο Αλεξανδρεύς"><b><span style="color: #0645ad;">Θέων ο Αλεξανδρεύς</span></b></a><br />
<br />
<a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%98%CE%B5%CE%B1%CE%BD%CF%8E_%CE%B7_%CE%98%CE%BF%CF%85%CF%81%CE%AF%CE%B1" title="Θεανώ η Θουρία"><b><span style="color: #0645ad;">Θεανώ η Θουρία</span></b></a><br />
<br />
<span style="color: blue;"><a href="http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%98%CE%B1%CE%BB%CE%AE%CF%82"><img height="101" src="data:image/jpg;base64,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" style="border-bottom: #ccc 1px solid; border-left: #ccc 1px solid; border-right: #ccc 1px solid; border-top: #ccc 1px solid; padding-bottom: 1px; padding-left: 1px; padding-right: 1px; padding-top: 1px; vertical-align: bottom;" width="91" />Θαλής ο Μιλήσιος</a></span><br />
<h2>
<span style="color: blue;"> </span></h2>
<h2>
<span style="color: blue;"><span class="mw-headline" id=".CE.99">Ι</span></span></h2>
<ul>
<li><a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%8A%CF%80%CF%80%CE%B1%CF%81%CF%87%CE%BF%CF%82_%CE%BF_%CE%A1%CF%8C%CE%B4%CE%B9%CE%BF%CF%82" title="Ίππαρχος ο Ρόδιος"><b><span style="color: #0645ad;">Ίππαρχος ο Ρόδιος</span></b></a></li>
<li><a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%8A%CF%80%CF%80%CE%B1%CF%83%CE%BF%CF%82" title="Ίππασος"><b><span style="color: #0645ad;">Ίππασος</span></b></a></li>
<li><a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%99%CF%80%CF%80%CF%8C%CE%B4%CE%B1%CE%BC%CE%BF%CF%82_%CE%BF_%CE%9C%CE%B9%CE%BB%CE%AE%CF%83%CE%B9%CE%BF%CF%82" title="Ιππόδαμος ο Μιλήσιος"><b><span style="color: #0645ad;">Ιππόδαμος ο Μιλήσιος</span></b></a></li>
</ul>
<br />
<ul>
<li><a href="http://www.google.gr/imgres?imgurl=http://grmath4.phpnet.us/mathimatikoi/ipokratis_xios/ippocrates%2520chios_loroa_files/ippokrates_chios.gif&imgrefurl=http://grmath4.phpnet.us/mathimatikoi/ippocrates%2520chios_loria_m.htm&usg=__wLZcm4w3fqCcXvtej1qi57BrIb8=&h=184&w=151&sz=14&hl=el&start=2&zoom=0&itbs=1&tbnid=iHq-6TSF1TvWLM:&tbnh=102&tbnw=84&prev=/images%3Fq%3D%25CE%25B9%25CF%2580%25CE%25BF%25CE%25BA%25CF%2581%25CE%25AC%25CF%2584%25CE%25B7%25CF%2582%2B%25CE%25BF%2B%25CF%2587%25CE%25AF%25CE%25BF%25CF%2582%26hl%3Del%26gbv%3D2%26tbs%3Disch:1"><img height="102" src="data:image/jpg;base64,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" style="border-bottom: #ccc 1px solid; border-left: #ccc 1px solid; border-right: #ccc 1px solid; border-top: #ccc 1px solid; padding-bottom: 1px; padding-left: 1px; padding-right: 1px; padding-top: 1px; vertical-align: bottom;" width="84" /></a><a href="http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%99%CF%80%CF%80%CE%BF%CE%BA%CF%81%CE%AC%CF%84%CE%B7%CF%82_%CE%BF_%CE%A7%CE%AF%CE%BF%CF%82" title="Ιπποκράτης ο Χίος"><b><span style="color: #0645ad;">Ιπποκράτης ο Χίος</span></b></a></li>
</ul>
<h2>
</h2>
<h2>
<span class="mw-headline" id=".CE.9A">Κ</span></h2>
<ul>
<li><a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%9F%CE%BC%CE%AC%CF%81_%CE%9A%CE%B1%CE%B3%CE%B9%CE%AC%CE%BC" title="Ομάρ Καγιάμ"><b><span style="color: #0645ad;">Ομάρ Καγιάμ</span></b></a></li>
</ul>
<br />
<a href="http://www.google.gr/imgres?imgurl=http://3.bp.blogspot.com/_KCuHoU9QBUU/SYaXzIo65EI/AAAAAAAANSA/PSPw1XcKrIw/s1600/Image3-2.jpg&imgrefurl=http://tsimpidas.blogspot.com/2010/10/blog-post_4528.html&usg=__rAkmU6NJg6BXMsZg6NWrEZxnbLg=&h=878&w=726&sz=169&hl=el&start=2&zoom=1&itbs=1&tbnid=5ydhSHOl3usqIM:&tbnh=146&tbnw=121&prev=/images%3Fq%3D%25CE%25BA%25CE%25B1%25CF%2581%25CE%25B1%25CE%25B8%25CE%25B5%25CE%25BF%25CE%25B4%25CF%2589%25CF%2581%25CE%25AE%25CF%2582%26hl%3Del%26gbv%3D2%26tbs%3Disch:1"><img height="146" src="data:image/jpg;base64,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" style="border-bottom: #ccc 1px solid; border-left: #ccc 1px solid; border-right: #ccc 1px solid; border-top: #ccc 1px solid; padding-bottom: 1px; padding-left: 1px; padding-right: 1px; padding-top: 1px; vertical-align: bottom;" width="121" /></a><a href="http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%9A%CF%89%CE%BD%CF%83%CF%84%CE%B1%CE%BD%CF%84%CE%AF%CE%BD%CE%BF%CF%82_%CE%9A%CE%B1%CF%81%CE%B1%CE%B8%CE%B5%CE%BF%CE%B4%CF%89%CF%81%CE%AE" title="Κωνσταντίνος Καραθεοδωρή"><b><span style="color: #0645ad;">Κωνσταντίνος Καραθεοδωρή</span></b></a><br />
<ul>
<li><a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%9B%CE%B9%CE%BF%CF%8D%CE%B9%CF%82_%CE%9A%CE%AC%CF%81%CE%BF%CE%BB" title="Λιούις Κάρολ"><b><span style="color: #0645ad;">Λιούις Κάρολ</span></b></a></li>
</ul>
<br />
<ul>
<li> <span style="color: blue;"><b><a href="http://sfrang.blogspot.com/2010/06/augustin-louis-cauchy-17891857.html">Λουί Koσί</a></b></span></li>
</ul>
<div>
<span style="color: blue;"><br /></span></div>
<div>
<span style="color: blue;"><br /></span></div>
<a href="http://1.bp.blogspot.com/-vRhepcXvCfI/UwHDKi-S6WI/AAAAAAAABD0/5fPRjNsBJs0/s1600/225px-Georg_Cantor2.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="200" src="https://1.bp.blogspot.com/-vRhepcXvCfI/UwHDKi-S6WI/AAAAAAAABD0/5fPRjNsBJs0/s1600/225px-Georg_Cantor2.jpg" width="153" /></a><br />
<ul>
<li><b><span style="color: blue;"> <a href="http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%93%CE%BA%CE%AD%CE%BF%CF%81%CE%B3%CE%BA_%CE%9A%CE%B1%CE%BD%CF%84%CF%8C%CF%81"><span style="color: #0b5394;">Γκέοργκ Κάντορ</span></a></span></b></li>
</ul>
<h2>
<span style="color: #0b5394; font-size: small;"></span></h2>
<h2>
<span class="mw-headline" id=".CE.9B" style="color: #0b5394; font-size: small;"></span> </h2>
<h2>
<span class="mw-headline" style="color: #0b5394; font-size: small;"></span> </h2>
<h2>
</h2>
<h2>
</h2>
<div>
<br /></div>
<div>
<br /></div>
<h2>
</h2>
<h2>
</h2>
<h2>
</h2>
<span style="font-size: large;"><b><br /></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><br /></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><br /></b></span>
<b style="font-size: x-large;">Λ</b><br />
<span style="color: #0b5394;"><b><br /></b></span>
<span style="color: #0b5394;"><b>Άντα Λάβλεϊς</b></span><br />
<span style="color: #0b5394;"><b><br /></b></span>
<span style="color: #0b5394;"><b><br /></b></span>
<span style="color: #0b5394;"><b><br /></b></span>
<br />
<a href="http://www.google.gr/imgres?imgurl=http://4.bp.blogspot.com/_KCuHoU9QBUU/S6e4igKc8WI/AAAAAAAAfe0/IeIhnGWNOqM/s400/blog-portrait-pierre-simon-laplace.jpg&imgrefurl=http://lefobserver.blogspot.com/2010/03/pierre-simon-laplace.html&usg=__0C3SPzZL9BCztDSPbV0g1lnd0b8=&h=400&w=306&sz=31&hl=el&start=1&zoom=1&itbs=1&tbnid=jthB0NZKq7iz-M:&tbnh=124&tbnw=95&prev=/images%3Fq%3D%25CE%25BB%25CE%25B1%25CF%2580%25CE%25BB%25CE%25AC%25CF%2582%26hl%3Del%26gbv%3D2%26tbs%3Disch:1"><img height="124" src="data:image/jpg;base64,/9j/4AAQSkZJRgABAQAAAQABAAD/2wCEAAkGBhQSEBQUExQWFBUUFh0aFRYXFhgXGBgcFhwXGRUYFBYXHCYfFx0jGhgZHy8gJycqLC0sFSAxNTAqNSYsLCkBCQoKDgwOGg8PGiwlHiQuLCwpLTAsLCwsKjQ0LDUuMSwsKiwsLCwsKiw1NS8qLC0sKSwsKiw0LC0sLCwpLywpLP/AABEIAHwAXwMBIgACEQEDEQH/xAAcAAABBQEBAQAAAAAAAAAAAAAFAgMEBgcBAAj/xAA6EAACAQIEAwUFBQgDAQAAAAABAhEAAwQSITEFQXEGE1FhkSKBobHBBzJC0fAUI1JygpKi8bLC4ST/xAAaAQACAwEBAAAAAAAAAAAAAAAEBQECAwAG/8QAKREAAgIBAwMDAwUAAAAAAAAAAQIAEQMSITEEE0EiUcGBkdEFIyRhcf/aAAwDAQACEQMRAD8AzXhHCVf231E6D370Vv8AA7JGiFeg+VA+GcWyEIf4tDrzPOrxcIQQQuo9fWl2UurTdApEznGKA7BRAnam7bQdalcZuA3mygCIBgyCQNT+vCokUYu6iDnmKrtlta4qUu3bJMAEnwGprjOkgW9KS1un3wjoBnRl6qR8xSCKzuSRGO650gW6fZKay1YGRG8tLQV0rS7a1NzpbuE9iEUhrrZmmco0AO+vM1I7VWGa0VUSal4vGFbiP56jy2n60/xkwmbTx0pb3GJDGG6ABQmVshBIOhFdy0a7S2FzKyxJ3jnQlFpkr6luBstGopeVbD9mXALdrDi4yjvLstJEkLJCgTtsSeorJMtaX2U413mFYus3MOAqFTBIYGJBIBO9B9UTo2hfSKDk3ls4vh7bt3RVTmVtwJECZnlWP8V4b3V1lGqyY91X3jXEkwxV7awdSSSW0KxCgHzmqdj8Q15szGZ28NfChOnLDfxCOrC7DzAjW5ph0oqcLTBw2tHq8WkSAEp5LdSBhoNLFqra5FSDheI3FYLmJGaIgE/0yDRnit50txLgR/FIPPbahFtyjZlgHxj86Xi+K3GUywP9K/lUMtsKEIApTZg83CxliT1pxWqPNLGxNEEQeE+G4FrzhFEk+gA3JNbP2cwVi5hMlkomQw+UZlzALOpjPOhmd+lZnwTDBcOo/FiDr492gLEf1GB760nhxFnCwIEICY/ibwHl9BS7L6wSeOPyfiHYx2yB5q/89h8ykdsWL3MgJYJGZjCrJAOUDxgjmTrQ7FYdbFiy0s73icqkhVVRH4iDESBy+9Su2fGTaum2gEsilm57ZdP7aicaYvgsJdGuQFG/qiD/AHIfUVCqRoHgn4l2YMHPJA+ZJIExqDEwRBjxB1DDoTSO6qFwzipyKhMgNp85Hh056eBotlqcg0GoIp1CQrlmmmw5NT2SvW7VVV5OmVD9oietce5IP68KZubnrXgaZ6RMgx4ipqRhsMbhCD8Rj86jqKsvY/Ce010jRBp4T+o9axz5O2habdPi7uQLDdpQMUv8NlAo8JbX/oasHF+0KC2ADEsWIg7bD00+HlVPwQa9iO5U+1cYsPAZUYa+4k1eH7FYnIPZXNEMVZTIG25Hj4b0MqegKZq+T91nHFzMO2GPF3EfdKlFCmdzEkH40X7I2hicNdwx8yPIHUN7mE/7rvabsDxDvGuthrrKRqwKXDpzi2TAqL2Cd7WOykMpykEEEETrJB2j61fqV/jnTyNx9JHSvWcXwdvvAuHVkZ0Ih1nTzT/2rRhL2e2rDmP9ik9u+FEOuLtiAxAugbBtgT5Hb0pnsndBzg7LLKDzLCV8t6yfIM2EZRIbp2x5u1J2T9fnXUWi9i4i4ZRKliCzyyzmOp9NvdVZvY/K2u3Igg+7ShsdsaE1y49AuVG5uY8aSAQYOlavxvhq4WwXUZMglcpA21nbUzWc2mbFXGe9cyKqyzFSTHgoH3ifMjrTZMuoE+IGcdECRFFW3v2s4TKiyQCzEx96JYAc8oJ08jvFT7fZy02GcWUK3O7zi47gsdiBC6LO2njEzVZvcaL2xJjx6gQdPPShWIzkUNgd4WqnBdncjaGfsuv95xRCd8jEGJ10+k+/zIrf0swJA15xl1/uGvrXzX2QxLWMUt1QCVB0M6zuNPKfLyrX8P8AaZYiHW7bM/hKsPjHyrXIwDTHGh03LVjsZCNDAGQomBq5CjY8pmPKqPiMRlw66HMC9stEtlsjQFt4kqTyla7xr7QLN23kU3WZoyM4tLDKVddU13A+NBuOcTD4QlF9twwWX0TL97SYLM5JJ3oV9zvCF2G3MJWzauK6XCCl5QVBmPbHw10rPrWGbB4xrROmoUk6MrSRr6j3mi/Bcc37NaDAhrFzIZ5qwJtnzAIIqR9oKB+5xA0Iyz0YkGejD40D04OHKcR4ax9fH3jDqR3sQzLyN/zB7XiFdCB7KezOWfaPsyZ6wZ2FBblmWyEHbN5cgI8Z8aZxKAXWkgDKPmR+utcs4794zTpAA/QpomMqLWLe4rbNL2naKzibWR4cfdcGARuNPHTmOtBrn2eTae53hVSSbagSSu4Lnc9Kotzc9TWg9h+O37yvbIzd2ggyJ5xoedashxi1MGDBuZU8LxS4ga0TooI56hZyrPMAmYp2zw3TM2519daLcdsfu8RmXKQc6g7iW26xzqJbuSi/yj5AVkz7Wu3vCMQ1bNvXE5hFy5io+7v4nTlSuHYwFrxMEBoUHyABI9Kba9kRmmI+m3xoZwO7lfU77jcHqKlU1KxlmfSyrDD3JnTeRBA68/KR7qM2ri2sKmbVQxJYDOFktALCeYJnzNV+6+gPIeyNuhGvkxq1dgVBw2KyNDZl030ynQknb73pWWUUlyyG3AgSxjF9shswOWI8Q0jodG9aPdpY/Y3UmTkzdPun/kPhQfFy9zUEEtEhYA+m3OedSe1N3u8K0kkuQsnczqf8VNCOA2XHXNxknowvfFGBLfD7LWTcOcuV3LaA9ANp8am8Yw4uMjWAIVSugyrAMrEDxmqzh+I5BGvy+lSzxqRAEHx/0BTM4n1WIkXItbwVc3PU0Z7JcYOHxAJMIwyt4eRPQ/Og9zc9TXbKSwA5mKJYArRg67HaWTtjcLtnBhXA2Mhhvp8DTGDP7tal8S4ZIUDkBUezZKrlPKl4cMgAjLssjm5D4m2y+O/Qa/UelCkvFWBHI0XxAlj5Wz+vQUEuGjcQ9NQDKfXLHcxRI0GwJg84EEj0qZ2ZxjJbOTTvHM+6APmfWhOGvE218h85H0mnOC4t1xC2tCuc8tplpBobIlowENxZAMik+fmXe+R3ot/hDsTpHKPhpVe7ahjatg7Ixn3gAH4R76PYsRef+Y/Gm+0GFF21cXmRI6kBh/lSjp8mjIhMe9Ri7mFlEzQinLdNHUdK4lemnkI5d3PU1L4OUF5S5gDXYn5U1cTU9TSQuoqjC1Il0bSwMuxvpcOZWB6VG4ha1B8RVat3CplSQfKiR45cKCQpyiJI18NdaWHpWQgqdo3HWK6kMKM9bsS48zHzn5iq/eTU1YMHfLHMYBCmI/moLiB7R/W9HYr3BivLV2JLwinIAOYB/P5CpvCrf/02mPg3wDfnTKaW06H6n6UjvWBJDEEEgEGDzqrAsCPe5pjcIQT4oy48RxgRmYkAZqhr2lsOAM+UwB7SmDHgRNUzFYt7h9t2bqaTl094+Mz8hQ6fp6Aeo7w1/wBVyX6Bt/cdxtpRedVIZZMEbQdR6fSolsa05EGuIvte80yAoRSTZuf/2Q==" style="border-bottom: #ccc 1px solid; border-left: #ccc 1px solid; border-right: #ccc 1px solid; border-top: #ccc 1px solid; padding-bottom: 1px; padding-left: 1px; padding-right: 1px; padding-top: 1px; vertical-align: bottom;" width="95" /></a><a href="http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A0%CE%B9%CE%AD%CF%81_%CE%A3%CE%B9%CE%BC%CF%8C%CE%BD_%CE%9B%CE%B1%CF%80%CE%BB%CE%AC%CF%82" title="Πιέρ Σιμόν Λαπλάς"><b><span style="color: #0645ad;">Πιέρ</span></b></a><b><span style="color: #0645ad;"> Σιμόν Λαπλάς</span></b><br />
<div style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none;">
<br />
<br />
<br />
<br /></div>
<div style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none;">
</div>
<h2 style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none;">
<a href="http://1.bp.blogspot.com/-GF4d46iEMfk/UwHEpknmHjI/AAAAAAAABEQ/q4PXNsTHoKU/s1600/gottfried_wilhelm_von_leibniz.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="200" src="https://1.bp.blogspot.com/-GF4d46iEMfk/UwHEpknmHjI/AAAAAAAABEQ/q4PXNsTHoKU/s1600/gottfried_wilhelm_von_leibniz.jpg" width="158" /></a> <span style="color: blue; font-size: small;"><a href="http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%93%CE%BA%CF%8C%CF%84%CF%86%CF%81%CE%B9%CE%BD%CF%84_%CE%92%CE%AF%CE%BB%CF%87%CE%B5%CE%BB%CE%BC_%CE%9B%CE%AC%CE%B9%CE%BC%CF%80%CE%BD%CE%B9%CF%84%CF%82">Λάιμπνιτς</a></span></h2>
<h2>
<span class="mw-headline"></span> </h2>
<h2>
<span class="mw-headline"></span> </h2>
<div>
<br /></div>
<div>
<br /></div>
<div>
<br /></div>
<div>
<br /></div>
<div>
<br /></div>
<div>
<br /></div>
<div>
<br /></div>
<h2>
<span style="font-size: small;"> <a href="http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%96%CE%BF%CE%B6%CE%AD%CF%86_%CE%9B%CE%BF%CF%85%CE%AF_%CE%9B%CE%B1%CE%B3%CE%BA%CF%81%CE%AC%CE%BD%CE%B6"><span style="color: blue;"><img alt="Joseph Louis Lagrange.jpg" class="thumbimage" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/ff/Joseph_Louis_Lagrange.jpg/220px-Joseph_Louis_Lagrange.jpg" height="200" width="159" />Λ</span><span style="color: blue;">αγκράνζ</span></a></span></h2>
<br />
<br />
<br />
<br />
<h2>
<span class="mw-headline">Μ</span></h2>
<ul>
<li><a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%9C%CE%B7%CF%84%CF%81%CF%8C%CE%B4%CF%89%CF%81%CE%BF%CF%82_%CE%BF_%CE%A7%CE%AF%CE%BF%CF%82" title="Μητρόδωρος ο Χίος"><b><span style="color: #0645ad;">Μητρόδωρος ο Χίος</span></b></a></li>
<li><a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%9C%CF%80%CE%B5%CE%BD%CE%BF%CF%85%CE%AC_%CE%9C%CE%AC%CE%BD%CF%84%CE%B5%CE%BB%CE%BC%CF%80%CF%81%CE%BF%CF%84" title="Μπενουά Μάντελμπροτ"><b><span style="color: #0645ad;">Μπενουά Μάντελμπροτ</span></b></a></li>
<li><a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%A6%CF%81%CE%B1%CE%B3%CE%BA%CE%AF%CF%83%CE%BA%CE%BF%CF%82_%CE%9C%CF%80%CE%B1%CF%81%CF%8C%CE%BA%CE%B9%CE%BF%CF%82" title="Φραγκίσκος Μπαρόκιος"><b><span style="color: #0645ad;">Φραγκίσκος Μπαρόκιος</span></b></a></li>
<li><a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%95%CE%BF%CF%85%CF%84%CE%B6%CE%AD%CE%BD%CE%B9%CE%BF_%CE%9C%CF%80%CE%B5%CE%BB%CF%84%CF%81%CE%AC%CE%BC%CE%B9" title="Εουτζένιο Μπελτράμι"><b><span style="color: #0645ad;">Εουτζένιο Μπελτράμι</span></b></a></li>
</ul>
<br />
<a href="http://www.google.gr/imgres?imgurl=http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/74/Bernoulli_Nicolaus(II).jpeg/200px-Bernoulli_Nicolaus(II).jpeg&imgrefurl=http://el.wikipedia.org/wiki/%25CE%259D%25CE%25B9%25CE%25BA%25CF%258C%25CE%25BB%25CE%25B1%25CE%25BF%25CF%2585%25CF%2582_%25CE%2592%27_%25CE%259C%25CF%2580%25CE%25B5%25CF%2581%25CE%25BD%25CE%25BF%25CF%258D%25CE%25BB%25CE%25B9&usg=__r6iPOlv8GOrE70HM1_II3tk14ZM=&h=246&w=200&sz=11&hl=el&start=6&zoom=1&itbs=1&tbnid=-G023ZMB_uSiVM:&tbnh=110&tbnw=89&prev=/images%3Fq%3D%25CE%25BC%25CF%2580%25CE%25B5%25CF%2581%25CE%25BD%25CE%25BF%25CF%258D%25CE%25BB%25CE%25B9%26hl%3Del%26gbv%3D2%26tbs%3Disch:1"><img height="110" src="data:image/jpg;base64,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" style="border-bottom: #ccc 1px solid; border-left: #ccc 1px solid; border-right: #ccc 1px solid; border-top: #ccc 1px solid; padding-bottom: 1px; padding-left: 1px; padding-right: 1px; padding-top: 1px; vertical-align: bottom;" width="89" /></a><a href="http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%9D%CF%84%CE%AC%CE%BD%CE%B9%CE%B5%CE%BB_%CE%9C%CF%80%CE%B5%CF%81%CE%BD%CE%BF%CF%8D%CE%BB%CE%B9" title="Ντάνιελ Μπερνούλι"><b><span style="color: #0645ad;">Ντάνιελ Μπερνούλι</span></b></a><br />
<ul>
<li><a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%A6%CF%81%CE%AF%CE%BD%CF%84%CF%81%CE%B9%CF%87_%CE%92%CE%AF%CE%BB%CF%87%CE%B5%CE%BB%CE%BC_%CE%9C%CF%80%CE%AD%CF%83%CE%B5%CE%BB" title="Φρίντριχ Βίλχελμ Μπέσελ"><b><span style="color: #0645ad;">Φρίντριχ Βίλχελμ Μπέσελ</span></b></a></li>
<li><a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%A4%CF%8C%CE%BC%CE%B1%CF%82_%CE%9C%CF%80%CE%AD%CF%85%CE%B6" title="Τόμας Μπέυζ"><b><span style="color: #0645ad;">Τόμας Μπέυζ</span></b></a></li>
<li><a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%91%CE%B2%CF%81%CE%B1%CE%AC%CE%BC_%CE%BD%CF%84%CE%B5_%CE%9C%CE%BF%CF%85%CE%AC%CE%B2%CF%81" title="Αβραάμ ντε Μουάβρ"><b><span style="color: #0645ad;">Αβραάμ ντε Μουάβρ</span></b></a></li>
</ul>
<h2>
</h2>
<h2>
<span class="mw-headline" id=".CE.9D">Ν</span></h2>
<ul>
<li><b><span style="color: #0645ad;">Τζων Φορμπς Νας</span></b></li>
</ul>
<br />
<span style="color: #0b5394;"><a href="http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/PictDisplay/Napier.html" target="_blank"><img border="1" src="http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Thumbnails/Napier.jpg" height="109" /></a><a href="http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/el/John_Napier#Advances_in_mathematics"> <b>Τζον Νέπερ</b></a></span><br />
<br />
<br />
<br />
<div style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none;">
<a href="http://www.blogger.com/goog_1381785298" style="clear: left; cssfloat: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img height="110" src="data:image/jpg;base64,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" style="border-bottom: #ccc 1px solid; border-left: #ccc 1px solid; border-right: #ccc 1px solid; border-top: #ccc 1px solid; cursor: move; padding-bottom: 1px; padding-left: 1px; padding-right: 1px; padding-top: 1px; vertical-align: bottom;" unselectable="on" width="74" /></a><a href="http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%99%CF%83%CE%B1%CE%AC%CE%BA_%CE%9D%CE%B5%CF%8D%CF%84%CF%89%CE%BD"><b><span style="color: #0645ad;">Ισ</span></b><span style="color: #0645ad;"><b>αάκ Νεύτων</b></span></a></div>
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<span style="color: #0645ad;"><span style="color: blue;">Τ</span><b><span style="color: blue;">ζο</span>ν φον Νόιμαν</b></span><br />
<br />
<b><span style="color: #0645ad;"><a href="http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A1%CE%B5%CE%BD%CE%AD_%CE%9D%CF%84%CE%B5%CE%BA%CE%AC%CF%81%CF%84"><img height="124" src="data:image/jpg;base64,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" style="border-bottom: #ccc 1px solid; border-left: #ccc 1px solid; border-right: #ccc 1px solid; border-top: #ccc 1px solid; padding-bottom: 1px; padding-left: 1px; padding-right: 1px; padding-top: 1px; vertical-align: bottom;" width="101" />Ντεκάρτ</a></span></b><br />
<br />
<br />
<a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%A3%CE%B1%CF%81%CE%BB-%CE%95%CE%B6%CE%AD%CE%BD_%CE%9D%CF%84%CE%B5%CE%BB%CF%89%CE%BD%CE%B1%CE%AF" title="Σαρλ-Εζέν Ντελωναί"><b><span style="color: #0645ad;">Σαρλ-Εζέν Ντελωναί</span></b></a><br />
<br />
<br />
<div style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none;">
<b><span style="color: #0645ad;">Κρίστιαν Ντόπλερ</span></b></div>
<h2>
</h2>
<h2>
<img border="1" src="http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Thumbnails/D'Alembert.jpg" height="109" /> <span style="color: #0b5394; font-size: small;"><a href="http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%96%CE%B1%CE%BD_%CE%BB%CE%B5_%CE%A1%CE%BF%CE%BD%CF%84_%CE%BD%CF%84'_%CE%91%CE%BB%CE%B1%CE%BC%CF%80%CE%AD%CF%81">Ντ΄ Αλαμπέρ</a></span></h2>
<h2>
<span class="mw-headline" style="color: #0b5394; font-size: small;"></span> </h2>
<h2>
<span class="mw-headline">Ο</span></h2>
<ul>
<li><a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%9F%CE%B9%CE%BD%CE%BF%CF%80%CE%AF%CE%B4%CE%B7%CF%82_%CE%BF_%CE%A7%CE%AF%CE%BF%CF%82" title="Οινοπίδης ο Χίος"><b><span style="color: #0645ad;">Οινοπίδης ο Χίος</span></b></a></li>
</ul>
<br />
<ul>
<li style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none;"><img alt="Προβολή εικόνας πλήρους μεγέθους" height="80" src="https://t0.gstatic.com/images?q=tbn:htQY8Ydtc8hrgM:http://2.bp.blogspot.com/_jbrXIYiUK0A/TJPLMku-A3I/AAAAAAAABD8/VC1-j8QdQJM/s1600/Leonhard_Euler_2.jpg" style="border-bottom: 1px solid; border-left: 1px solid; border-right: 1px solid; border-top: 1px solid; float: left; margin: 10px 10px 0px;" width="64" /><span style="color: blue;"><a href="http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%9B%CE%AD%CE%BF%CE%BD%CE%B1%CF%81%CE%BD%CF%84_%CE%8C%CE%B9%CE%BB%CE%B5%CF%81">Όυλερ</a></span></li>
</ul>
<h2 style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none;">
</h2>
<h2>
</h2>
<h2>
</h2>
<h2>
<span class="mw-headline">Π</span></h2>
<ul>
<li><a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%91%CE%B8%CE%B1%CE%BD%CE%AC%CF%83%CE%B9%CE%BF%CF%82_%CE%A0%CE%B1%CF%80%CE%BF%CF%8D%CE%BB%CE%B7%CF%82" title="Αθανάσιος Παπούλης"><b><span style="color: #0645ad;">Αθανάσιος Παπούλης</span></b></a></li>
<li><a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%A0%CE%AC%CF%80%CF%80%CE%BF%CF%82" title="Πάππος"><b><span style="color: #0645ad;">Πάππος</span></b></a></li>
<li><a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%9C%CF%8C%CF%81%CE%B9%CF%84%CE%B6_%CE%A0%CE%B1%CF%82" title="Μόριτζ Πας"><b><span style="color: #0645ad;">Μόριτζ Πας</span></b></a></li>
</ul>
<br />
<br />
<span style="color: blue;"><a href="http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A0%CF%85%CE%B8%CE%B1%CE%B3%CF%8C%CF%81%CE%B1%CF%82"><img height="127" src="data:image/jpg;base64,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" style="border-bottom: #ccc 1px solid; border-left: #ccc 1px solid; border-right: #ccc 1px solid; border-top: #ccc 1px solid; padding-bottom: 1px; padding-left: 1px; padding-right: 1px; padding-top: 1px; vertical-align: bottom;" width="85" />Πυθαγόρας ο Σάμιος</a></span><br />
<br />
<br />
<br />
<a href="http://www.google.gr/imgres?imgurl=http://calitreview.com/images/int_Blaise_Pascal2.jpg&imgrefurl=http://www.zeitgeisthellas.gr/forum/showthread.php%3Fp%3D1899&usg=__rO3Xr8nCV6JF8oj5axS2SEfSrZs=&h=396&w=291&sz=76&hl=el&start=1&zoom=1&itbs=1&tbnid=VWnvI-Vrf8Mh4M:&tbnh=124&tbnw=91&prev=/images%3Fq%3D%25CE%25A0%25CE%25B1%25CF%2583%25CE%25BA%25CE%25AC%25CE%25BB%26hl%3Del%26gbv%3D2%26tbs%3Disch:1"><img height="124" src="data:image/jpg;base64,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" style="border-bottom: #ccc 1px solid; border-left: #ccc 1px solid; border-right: #ccc 1px solid; border-top: #ccc 1px solid; padding-bottom: 1px; padding-left: 1px; padding-right: 1px; padding-top: 1px; vertical-align: bottom;" width="91" /></a><b><span style="color: #0645ad;"><a href="http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%9C%CF%80%CE%BB%CE%B5%CE%B6_%CE%A0%CE%B1%CF%83%CE%BA%CE%AC%CE%BB" title="Μπλεζ Πασκάλ">Μπλεζ Πασκάλ</a></span></b><br />
<b><br /></b>
<b><br /></b>
<b><br /></b>
<br />
<ul>
<li><a href="http://www.google.gr/imgres?imgurl=http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Giuseppe_Peano.jpg/220px-Giuseppe_Peano.jpg&imgrefurl=http://el.wikipedia.org/wiki/%25CE%25A4%25CE%25B6%25CE%25BF%25CF%2585%25CE%25B6%25CE%25AD%25CF%2580%25CE%25B5_%25CE%25A0%25CE%25B5%25CE%25AC%25CE%25BD%25CE%25BF&usg=__4CG3KsmY_QNqNKdjOpoBXlmWfak=&h=262&w=220&sz=13&hl=el&start=1&zoom=1&itbs=1&tbnid=45XeOjB0U0hfkM:&tbnh=112&tbnw=94&prev=/images%3Fq%3D%25CF%2580%25CE%25B5%25CE%25B1%25CE%25BD%25CF%258C%26hl%3Del%26gbv%3D2%26tbs%3Disch:1"><img height="112" src="data:image/jpg;base64,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" style="border-bottom: #ccc 1px solid; border-left: #ccc 1px solid; border-right: #ccc 1px solid; border-top: #ccc 1px solid; padding-bottom: 1px; padding-left: 1px; padding-right: 1px; padding-top: 1px; vertical-align: bottom;" width="94" /></a><b><span style="color: #0645ad;"><a href="http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%A4%CE%B6%CE%BF%CF%85%CE%B6%CE%AD%CF%80%CE%B5_%CE%A0%CE%B5%CE%AC%CE%BD%CE%BF" title="Τζουζέπε Πεάνο">Τζουζέπε Πεάνο</a></span></b></li>
</ul>
<div>
<b><br /></b></div>
<br />
<ul>
<li><a href="http://www.google.gr/imgres?imgurl=http://3.bp.blogspot.com/_KCuHoU9QBUU/Sl9h9txLoOI/AAAAAAAAU2E/z7j2Q0uBM4U/s400/Poincare.jpg&imgrefurl=http://www.veriablogs.gr/2009/07/16/&usg=__2yhd7wjfdgDO_kFSU3yom0jt-mw=&h=388&w=283&sz=14&hl=el&start=8&zoom=1&itbs=1&tbnid=RqClBATJqZlP9M:&tbnh=123&tbnw=90&prev=/images%3Fq%3D%25CF%2580%25CE%25BF%25CF%2585%25CE%25B1%25CE%25BD%25CE%25BA%25CE%25B1%25CF%2581%25CE%25AD%26hl%3Del%26gbv%3D2%26tbs%3Disch:1"><img height="123" src="data:image/jpg;base64,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" style="border-bottom: #ccc 1px solid; border-left: #ccc 1px solid; border-right: #ccc 1px solid; border-top: #ccc 1px solid; padding-bottom: 1px; padding-left: 1px; padding-right: 1px; padding-top: 1px; vertical-align: bottom;" width="90" /></a><a href="http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%91%CE%BD%CF%81%CE%AF_%CE%A0%CE%BF%CF%85%CE%B1%CE%BD%CE%BA%CE%B1%CF%81%CE%AD" title="Ανρί Πουανκαρέ"><b><span style="color: #0645ad;">Ανρί Πουανκαρέ</span></b></a></li>
</ul>
<h2>
<span class="mw-headline" id=".CE.A1"></span> </h2>
<div>
<br /></div>
<h2>
<span class="mw-headline">Ρ</span></h2>
<ul>
<li><a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%A0%CE%BF%CF%83%CE%B5%CE%B9%CE%B4%CF%8E%CE%BD%CE%B9%CE%BF%CF%82_%CE%BF_%CE%A1%CF%8C%CE%B4%CE%B9%CE%BF%CF%82" title="Ποσειδώνιος ο Ρόδιος"><b><span style="color: #0645ad;">Ποσειδώνιος ο Ρόδιος</span></b></a></li>
<li><a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%A1%CE%B5%CE%B3%CE%B9%CE%BF%CE%BC%CE%BF%CE%BD%CF%84%CE%AC%CE%BD%CE%BF%CF%82" title="Ρεγιομοντάνος"><b><span style="color: #0645ad;">Ρεγιομοντάνος</span></b></a></li>
</ul>
<br />
<a href="http://www.google.gr/imgres?imgurl=http://www.imsc.res.in/~kapil/geometry/gromov/riemann.jpg&imgrefurl=http://chr1855.wordpress.com/2010/04/10/bernhard-riemann/&usg=__x8nq9Ar2yJravddGR6IxsuuzQJk=&h=246&w=225&sz=9&hl=el&start=1&zoom=1&itbs=1&tbnid=GUznaLLC7O6hCM:&tbnh=110&tbnw=101&prev=/images%3Fq%3D%25CE%25A1%25CE%25AF%25CE%25BC%25CE%25B1%25CE%25BD%26hl%3Del%26sa%3DX%26gbv%3D2%26tbs%3Disch:1"><img height="110" src="data:image/jpg;base64,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" style="border-bottom: #ccc 1px solid; border-left: #ccc 1px solid; border-right: #ccc 1px solid; border-top: #ccc 1px solid; padding-bottom: 1px; padding-left: 1px; padding-right: 1px; padding-top: 1px; vertical-align: bottom;" width="101" /></a><a href="http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%9C%CF%80%CE%AD%CF%81%CE%BD%CE%B1%CF%81%CE%BD%CF%84_%CE%A1%CE%AF%CE%BC%CE%B1%CE%BD" title="Μπέρναρντ Ρίμαν"><b><span style="color: #0645ad;">Μπέρναρντ Ρίμαν</span></b></a><br />
<h2>
<span class="mw-headline" id=".CE.A3"></span> </h2>
<div>
<br /></div>
<div>
<span style="font-size: large;"><b>Σ</b></span></div>
<div>
<span style="font-size: large;"><b><br /></b></span></div>
<ul>
<li><a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%95%CE%BC%CE%B9%CE%BB%CE%AF_%CE%BD%CF%84%CE%B9_%CE%A3%CE%B1%CF%84%CE%BB%CE%AD" title="Εμιλί ντι Σατλέ"><b><span style="color: #0645ad;">Εμιλί ντι Σατλέ</span></b></a></li>
<li><a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%93%CE%B9%CF%8C%CE%B6%CE%B5%CF%86_%CE%A3%CF%84%CE%AD%CF%86%CE%B1%CE%BD" title="Γιόζεφ Στέφαν"><b><span style="color: #0645ad;">Γιόζεφ Στέφαν</span></b></a></li>
<li><b><span style="color: #0645ad;">Ίαν Στιούαρτ</span></b></li>
<li><a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%A3%CF%89%CF%83%CE%B9%CE%B3%CE%AD%CE%BD%CE%B7%CF%82_%CE%BF_%CE%91%CE%BB%CE%B5%CE%BE%CE%B1%CE%BD%CE%B4%CF%81%CE%B5%CF%8D%CF%82" title="Σωσιγένης ο Αλεξανδρεύς"><b><span style="color: #0645ad;">Σωσιγένης ο Αλεξανδρεύς</span></b></a></li>
</ul>
<h2>
</h2>
<div>
<br /></div>
<h2>
<span class="mw-headline" id=".CE.A5">Υ</span></h2>
<ul>
<li><b><span style="color: #0645ad;">Υψικλής ο Αλεξανδρος</span></b></li>
</ul>
<br />
<br />
<b><span style="font-size: large;">Φ</span></b><br />
<a href="http://www.google.gr/imgres?imgurl=http://www.s9.com/images/portraits/9697_Fibonacci.jpg&imgrefurl=http://www.s9.com/Biography/Fibonacci&usg=__R2o5GsI-qtfCx6JWeh_fLMA-XuY=&h=326&w=268&sz=5&hl=el&start=4&zoom=1&itbs=1&tbnid=cJsOqvJTWZLU8M:&tbnh=118&tbnw=97&prev=/images%3Fq%3D%25CE%25A6%25CE%25B9%25CE%25BC%25CF%2580%25CE%25BF%25CE%25BD%25CE%25AC%25CF%2584%25CF%2583%25CE%25B9%26hl%3Del%26gbv%3D2%26tbs%3Disch:1"><img height="118" src="data:image/jpg;base64,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" style="border-bottom: #ccc 1px solid; border-left: #ccc 1px solid; border-right: #ccc 1px solid; border-top: #ccc 1px solid; padding-bottom: 1px; padding-left: 1px; padding-right: 1px; padding-top: 1px; vertical-align: bottom;" width="97" /></a><b><span style="color: #0645ad;"><a href="http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%9B%CE%B5%CE%BF%CE%BD%CE%AC%CF%81%CE%BD%CF%84%CE%BF_%CF%84%CE%B7%CF%82_%CE%A0%CE%AF%CE%B6%CE%B1%CF%82">Φιμπονάτσι</a></span></b><br />
<ul>
<li><a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%91%CE%B8%CE%B1%CE%BD%CE%AC%CF%83%CE%B9%CE%BF%CF%82_%CE%A6%CF%89%CE%BA%CE%AC%CF%82" title="Αθανάσιος Φωκάς"><b><span style="color: #0645ad;">Αθανάσιος Φωκάς</span></b></a></li>
<li><a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%91%CE%BD%CE%B1%CF%84%CF%8C%CE%BB%CE%B9_%CE%A6%CE%BF%CE%BC%CE%AD%CE%BD%CE%BA%CE%BF" title="Ανατόλι Φομένκο"><b><span style="color: #0645ad;">Ανατόλι Φομένκο</span></b></a></li>
</ul>
<br />
<a href="http://www.google.gr/imgres?imgurl=http://sfrang.com/photogr/blog/fourier.jpg&imgrefurl=http://sfrang.blogspot.com/2007_01_01_archive.html&usg=__IN4PAzaetoXhFl_UYIx7NLV6dzA=&h=400&w=350&sz=33&hl=el&start=4&zoom=1&itbs=1&tbnid=Cum7z08nzFkzWM:&tbnh=124&tbnw=109&prev=/images%3Fq%3D%25CE%25A6%25CE%25BF%25CF%2585%25CF%2581%25CE%25B9%25CE%25AD%26hl%3Del%26gbv%3D2%26tbs%3Disch:1"><img height="124" src="data:image/jpg;base64,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" style="border-bottom: #ccc 1px solid; border-left: #ccc 1px solid; border-right: #ccc 1px solid; border-top: #ccc 1px solid; padding-bottom: 1px; padding-left: 1px; padding-right: 1px; padding-top: 1px; vertical-align: bottom;" width="109" /></a><a href="http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%96%CE%BF%CE%B6%CE%AD%CF%86_%CE%A6%CE%BF%CF%85%CF%81%CE%B9%CE%AD" title="Ζοζέφ Φουριέ"><b><span style="color: #0645ad;">Ζοζέφ Φουριέ</span></b></a><br />
<ul>
<li><a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%93%CE%BA%CE%AD%CF%81%CF%87%CE%B1%CF%81%CE%BD%CF%84_%CE%A6%CF%81%CE%AC%CE%B9" title="Γκέρχαρντ Φράι"><b><span style="color: #0645ad;">Γκέρχαρντ Φράι</span></b></a></li>
</ul>
<h2>
<span class="editsection"></span> </h2>
<h2>
<span class="editsection"></span> </h2>
<h2>
<span class="editsection">Χ</span></h2>
<ul>
<li><a href="http://www.google.gr/imgres?imgurl=http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f9/David_Hilbert_1886.jpg/220px-David_Hilbert_1886.jpg&imgrefurl=http://el.wikipedia.org/wiki/%25CE%259D%25CF%2584%25CE%25AC%25CE%25B2%25CE%25B9%25CE%25BD%25CF%2584_%25CE%25A7%25CE%25AF%25CE%25BB%25CE%25BC%25CF%2580%25CE%25B5%25CF%2581%25CF%2584&usg=__bEmpAgbMOKVp8WU-CvhEll-RB9k=&h=311&w=220&sz=16&hl=el&start=3&zoom=1&itbs=1&tbnid=I6THm-WjmCiYtM:&tbnh=117&tbnw=83&prev=/images%3Fq%3D%25CE%25A7%25CF%258C%25CE%25BB%25CE%25BC%25CF%2580%25CE%25B5%25CF%2581%25CF%2584%26hl%3Del%26gbv%3D2%26tbs%3Disch:1"><img height="117" src="data:image/jpg;base64,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" style="border-bottom: #ccc 1px solid; border-left: #ccc 1px solid; border-right: #ccc 1px solid; border-top: #ccc 1px solid; padding-bottom: 1px; padding-left: 1px; padding-right: 1px; padding-top: 1px; vertical-align: bottom;" width="83" /></a><a href="http://el.wikipedia.org/wiki/%CE%9D%CF%84%CE%AC%CE%B2%CE%B9%CE%BD%CF%84_%CE%A7%CE%AF%CE%BB%CE%BC%CF%80%CE%B5%CF%81%CF%84" title="Ντάβιντ Χίλμπερτ"><b><span style="color: #0645ad;">Ντάβιντ Χίλμπερτ</span></b></a></li>
</ul>
<br />
<a href="http://www.blogger.com/wiki/%CE%9A%CF%81%CE%AF%CF%83%CF%84%CE%B9%CE%B1%CE%BD_%CE%A7%CF%8C%CF%85%CF%87%CE%B5%CE%BD%CF%82" title="Κρίστιαν Χόυχενς"><b><span style="color: #0645ad;">Κρίστιαν Χόυχενς</span></b></a><br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="background-color: yellow; color: #cc0000;"></span></div>
</div>
Αλέξανδρος Μόσχοςhttp://www.blogger.com/profile/04357778829560813366noreply@blogger.com3tag:blogger.com,1999:blog-7730717435979339231.post-68447843108041626042011-01-23T01:14:00.000-08:002015-04-03T14:41:04.177-07:00ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΝΕΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ.<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://1.bp.blogspot.com/-IolkMcOEmuY/Uu1AsauLl0I/AAAAAAAAA1s/lO25R6xxXow/s1600/bursa_700_x_494.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://1.bp.blogspot.com/-IolkMcOEmuY/Uu1AsauLl0I/AAAAAAAAA1s/lO25R6xxXow/s1600/bursa_700_x_494.jpg" height="225" width="320" /></a></div>
<br />
<div style="color: maroon; font-family: Verdana, Tahoma, Arial, Helvetica, 'sans serif'; font-size: 12px; text-align: justify; text-indent: 12pt;">
<br />
<br /></div>
<b><span style="color: blue;">Στο ιστολόγιό μου με τίτλο : </span><span style="color: #cc0000;">"<a href="http://mosxosyliko.blogspot.com/"> ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ "</a> </span><span style="color: blue;">θα βρείτε πληθώρα εφαρμογών (πάνω από 120) με χρήση Η/Υ. Συγκεκριμένα αρχεία σε Geogebra , Sketchpad και Power Point υπόσχονται μια διερευνητική και διαδραστική ανακάλυψη της μαθηματικής γνώσης. Συχνά αναζητούν την ιστορική αναφορά των μαθηματικών κι άλλοτε την παρουσίασή τους με ρεαλιστικά προβλήματα σε προσομοιωμένα περιβάλλοντα.</span></b><br />
<b><span style="color: blue;"><br /></span></b>
<b><span style="color: blue;">Τα video που θα βρείτε παρακάτω μπορούν να χρησιμοποιηθούν στην διδασκαλία των μαθηματικών για την εποπτική παρουσίαση των μαθηματικών εννοιών.Στοχεύουν στην ελκυστικότητα αλλά και στην καλύτερη κατανόηση.</span></b><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.youtube.com/embed/OgEGQYNjaVw?feature=player_embedded' frameborder='0'></iframe><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<b style="color: blue;">Πρόσθεση θετικών και αρνητικών αριθμών.</b></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="color: blue;"><b><br /></b></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="color: blue;"><b><br /></b></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="color: blue;"><b><br /></b></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.youtube.com/embed/2QyZ7cNts70?feature=player_embedded' frameborder='0'></iframe></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="color: blue;"><b>Πολλαπλασιασμός θετικών και αρνητικών αριθμών.</b></span></div>
<b><span style="color: blue;"><br /></span></b><b><span style="color: blue;"> </span></b><b><span style="color: blue;"><br /></span></b>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<b><span style="color: blue;"><br /></span></b>
<b><span style="color: blue;"><br /></span></b>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.youtube.com/embed/zwMVOQRFK9Y?feature=player_embedded' frameborder='0'></iframe></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="color: blue;"><b>Εξισώσεις με ζυγαριά!</b></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<b><span style="color: blue;"><br /></span></b>
<b><span style="color: #cc0000; font-size: large;">Οι Νέες Τεχνολογίες ως Εργαλείο κατανόησης βασικών εννοιών στα μαθηματικά.</span></b><br />
<b><span style="color: #cc0000; font-size: large;"><br /></span></b>
<br />
Την τελευταία δεκαετία, η µαθηµατική κοινότητα στην Ελλάδα έχει εντάξει τις νέες τεχνολογίες στη διαδικασία της µάθησης. Η όλη εκπαιδευτική διαδικασία έχει µπει σε µια δυναµική πορεία συνεχούς µετεξέλιξης. Το µοντέλο που κυριαρχούσε τα προηγούµενα χρόνια και ήταν συνυφασµένο µε αυταρχικές, πληροφοριακού τύπου και αποκοµµένες από την κοινωνική πραγµατικότηταεκπαιδευτικές αντιλήψεις, σταδιακά υποχωρεί και δίνει τη θέση του σε ένα καινούριο µοντέλο που χαρακτηρίζεται από σύγχρονες παιδαγωγικές και διδακτικές απόψεις (κατασκευή της γνώσης από τον ίδιο τον µαθητή, ενεργητική, βιωµατική, οµαδοσυνεργατική µάθηση, δραστηριότητες που συνδέονται µε την πραγµατική ζωή και έχουν νόηµα για τον µαθητή, διαθεµατικές µορφές σκέψης και έκφρασης, έντονη χρήση των Νέων Τεχνολογιών κτλ). Η διαδικασία της µάθησης δεν είναι πια µόνο µια απλή ενηµερωτική λειτουργία, αλλά επηρεάζεται από ένα σύνολο παραγόντων και οι µαθητές δεν φωτογραφίζουν απλώς την πραγµατικότητα αλλά τη µετασχηµατίζουν µε ένα τρόπο εξαρτώµενο από το επίπεδο της γνωστικής τους ανάπτυξης, από την προσωπικότητά τους και από πολλές πολιτιστικές, κοινωνικές, περιβαλλοντικές και οικονοµικές παραµέτρους. Έτσι οι νέες τεχνολογίες παίζουν κεντρικό ρόλο σε όλα τα στάδια της µαθησιακής διαδικασίας διότι από τη φύση και τη λειτουργία τους οι υπολογιστικές τεχνολογίες µπορούν να υποστηρίξουν και να συµβάλλουν στην ανάπτυξη διαφόρων τρόπων µάθησης (Κεκές & Μυλωνάκου-Κεκέ, 2001), όπως:<br />
• Μάθηση µέσα από την εικονική πράξη<br />
• Μάθηση µε αναστοχασµό<br />
• Μάθηση µέσα από µελέτη περιπτώσεων<br />
• Μάθηση µέσα από την εξερεύνηση<br />
• Τυχαία µάθηση<br />
Σύµφωνα µε τη διεθνή ερευνητική εµπειρία (Hoyles & Noss 1992, Kynigos 1992), αλλά και µε τις σύγχρονες φιλοσοφικές και παιδαγωγικές θέσεις (Olson 1987, Noss 1988) οι Νέες Τεχνολογίες µπορούν να δώσουν δυνατότητες που ήταν ανύπαρκτες µέχρι τώρα. Έτσι οι εφαρµογές των Νέων Τεχνολογιών της πληροφορίας και της επικοινωνίας είναι δυνατό να συνεισφέρουν στη βελτίωση και επαναπροσανατολισµό της διαδικασίας της µάθησης σε µια κατεύθυνση όπου η µάθηση θα γίνει ενεργητική και οι µαθητές (Παπαδόπουλος, 1999) θα:<br />
• πειραµατίζονται<br />
• αναζητούν, θα ανακαλύπτουν και θα χαίρονται τη γνώση<br />
• µαθαίνουν να συνεργάζονται, να είναι µεθοδικοί, να παίρνουν πρωτοβουλίες, να θέτουν<br />
στόχους, να επιχειρηµατολογούν, να σκέφτονται και να εκφράζονται ελεύθερα,<br />
• καλλιεργούν τις κλίσεις και τα ταλέντα τους,<br />
• αγαπούν τη µάθηση<br />
Έτσι οι Νέες Τεχνολογίες µας δίνουν τη δυνατότητα τη στατική εικόνα του βιβλίου να την µετατρέψουµε σε δυναµικό εργαλείο κατανόησης εννοιών. Στη δυνατότητα του Η/Υ να αποτελέσει ένα χρήσιµο εργαλείο για τους µαθητές στα πλαίσια των σύγχρονων εκπαιδευτικών αντιλήψεων συνηγορεί ένας µεγάλος αριθµός εργασιών (Solloway,1991, Αργύρης & Κυνηγός, 1991, Mercer 1993, Κοντογεώργος & Μαραγκός, 2001). Κατά την άποψη του Papert (1980) ο Υπολογιστής έχει τη δυνατότητα να γίνει το βασικότερο εργαλείο έκφρασης και διερεύνησης εννοιών. Έτσι οι εκπαιδευτικοί πρέπει να είναι ικανοί να σχεδιάσουν δραστηριότητες καθώς ψάχνουν τρόπους να βοηθήσουν τους µαθητές ώστε να επωφεληθούν από τη τεχνολογία χωρίς να παραµελούν τις µαθηµατικές αιτιολογήσεις. Οι εκπαιδευτικοί στόχοι για τη διδασκαλία των µαθηµατικών (N.C.T.M. 1991) προβάλλουν 4 οδηγίες για να βοηθήσουν τους εκπαιδευτικούς να δηµιουργήσουν µια ατµόσφαιρα στην οποία οι µαθητές θα συµµετέχουν ενεργά, στη µαθηµατική αιτιολόγηση και σκέψη. Σε αυτές τις υποδείξεις συµπεριλαµβάνεται και µία επιπλέον πρόταση: οι εκπαιδευτικοί θα πρέπει προσεκτικά να διαλέγουν µαθηµατικές εργασίες που να είναι αξιόλογες. Σύµφωνα µε τις παραπάνω προτάσεις, οι εργασίες που εµπλέκουν την τεχνολογία θα πρέπει να παρακινούν τους µαθητές έτσι ώστε να ανανεώνουν τις αιτιολογήσεις και τις δικαιολογήσεις τους, έτσι ώστε: <br />
1. Να κάνουν σύνδεση µεταξύ διαφορετικών αναπαραστάσεων <br />
2. Να γίνονται αισθητά τα αποτελέσµατα που προέρχονται από την τεχνολογία<br />
3. Να εναρµονίζουν τα τεχνολογικά αποτελέσµατα µε τις εικασίες τους<br />
4. Να κατασκευάζουν µία εικόνα µε τις δεδοµένες ιδιότητες.<br />
Όταν οι µαθητές εµπλέκονται σε τέτοιες δραστηριότητες, δεν συνεπάγεται οπωσδήποτε ότι αναπτύσσουν υψηλό επίπεδο µαθηµατικής αιτιολόγησης (Henningen & Stein 1997).Ο εκπαιδευτικός πρέπει, να επινοήσει τρόπους, δραστηριότητες πέρα από τις παραπάνω προτεινόµενες, ένα κατάλληλο δηλαδή περιβάλλον, για να επιτύχει τη µεγαλύτερη δυνατήσυµµετοχή του µαθητή στη διαδικασία αιτιολόγησης. Το να δηµιουργήσουν αυτές τις προϋποθέσεις δεν είναι εύκολο, διότι οι µαθητές και οι εκπαιδευτικοί µπορεί να έχουν διαφορετικές απόψεις για τους ρόλους του καθένα στην τάξη και κυρίως σε ένα τέτοιο υπολογιστικό περιβάλλον, καθώς µάλιστα οι εκπαιδευτικοί θα πρέπει να αναθεωρούν τους τρόπους διδασκαλίας τους, έτσι ώστε οι µαθητές να µπορούν να αναπτύξουν αιτιολογήσεις σε ένα υπολογιστικό περιβάλλον. Πρέπει επίσης να λαµβάνουν υπόψη τους τις θεωρίες και τα αποτελέσµατα της µαθηµατικής παιδαγωγικής έρευνας, έτσι ώστε να κατανοούν το εύρος των τρόπων µε τους οποίους οι µαθητές µπορούν να συλλάβουν τις έννοιες. Πρέπει να κατανοούν επίσης τον τρόπο µε τον οποίο επιδρά η τεχνολογία στη σύλληψη των εννοιών, καθώς και να συγκρίνουν τους τρόπους µε τους οποίους οι σκέψεις αυτές ωριµάζουν. Έτσι µε όλα αυτά οι εκπαιδευτικοί µπορούν να γίνουν πιο ικανοί να µάθουν να σχεδιάζουν διαφορετικού τύπου ερωτήσεις και να ακούν διαφορετικού είδους απαντήσεις όταν οι µαθητές δικαιολογούν τα<br />
αποτελέσµατα τους. Παρακάτω παραθέτουµε 3 δραστηριότητες που έχουν δοκιµαστεί στην τάξη και έχουν δώσει ικανοποιητικά αποτελέσµατα ως προς την κατανόηση των εννοιών για τις οποίες χρησιµοποιήθηκαν.<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<br />
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #cc0000; font-size: large;"><b>Διδακτικά Σενάρια και ΤΠΕ στα Μαθηματικά.</b></span><br />
<span style="color: #cc0000; font-size: large;"><b><br /></b></span>
<br />
Η ιδέα των διδακτικών σεναρίων (μετάφραση των educational scripts), έχει πολλές φορές απασχολήσει την κοινότητα της Διδακτικής των Μαθηματικών - και όχι μόνο των Μαθηματικών. Οι επιμορφώσεις των εκπαιδευτικών των τελευταίων ετών και ιδιαίτερα η Επιμόρφωση Β' επιπέδου, επανέφεραν το θέμα με έναν επιτακτικό τρόπο: τι ακριβώς είναι ένα διδακτικό σενάριο; Πως κατασκευάζεται; Πως χρησιμοποιείται; Τα ερωτήματα έρχονται και επανέρχονται, καθώς μάλιστα οι απόψεις των ερευνητών και διδασκόντων δε συγκλίνουν. Στην παρούσα προτείνουμε ένα είδος πρακτικού οδηγού για τη δημιουργία τέτοιων διδακτικών σεναρίων διδασκαλίας Μαθηματικών με τη χρήση ΤΠΕ. Ο οδηγός μας έχει προέλθει από τη σύνθεση απόψεων που ήδη έχουν διατυπωθεί στο παρελθόν (Κυνηγός, 2007), συμπεριλαμβανομένων και δικών μας. Επιπλέον, έχει δοκιμαστεί επανειλημμένως στη διδακτική πράξη. Πιο συγκεκριμένα, εκτός από τη σχετική βιβλιογραφική έρευνα, βασιστήκαμε και σε συγκεκριμένες επιμορφωτικές εμπειρίες, όπως της επιμόρφωσης εκπαιδευτικών σε δεξιότητες Πληροφορικής Α' και Β' επιπέδου, επί μακρύ χρονικό διάστημα, στην Αρχική Επιμόρφωση Εκπαιδευτικών (στα Περιφερειακά Κέντρα Επιμόρφωσης), επί σειρά ετών στα λεγόμενα προγράμματα Εξομείωσης και αλλού. Χαρακτηρίζουμε την προσέγγιση μας ως πρακτικό οδηγό γιατί απευθύνεται στους εκπαιδευτικούς, προσπαθεί να αποτελέσει ένα «εργαλείο» άμεσης χρήσης για την καθημερινή τους εργασία.Τρία είναι κατά την άποψη μας τα βασικά σημεία τα οποία πρέπει να προσεχθούν ιδιαίτερα στην εκπόνηση ενός τέτοιου οδηγού:(1) Η αποφυγή ενός κενού βερμπαλισμού: συχνά, τα προτεινόμενα μοντέλα σεναρίων περιλαμβάνουν τμήματα τα οποία συστηματικά καταλήγουν σε μια επανάληψη στερεοτύπων εκφράσεων - με αμφίβολη χρη- στικότητα. Τυπικό παράδειγμα αποτελεί η σχεδόν τελετουργική αναφορά σε «κονστρουκτιβιστικέςθεωρίες μάθησης» οι οποίες επαναλαμβάνονται στα σενάρια που παράγουν οι εκπαιδευτικοί, με ένα σχεδόνγραφειοκρατικό τρόπο. Δεν αμφισβητούμε βέβαια την αξία μιας ανάλυσης αυτού του επιπέδου. Ωστόσο, η σχεδόν αυτολεξεί αναπαραγωγή των ίδιων γλωσσικών στερεοτύπων στα σενάρια των εκπαιδευτικών, την καθιστά μάλλον ένα είδος τυπικής «υποχρέωσης» παρά πραγματική ανάλυση.(2) Η εφικτότητα και η χρηστικότητά του: τα διδακτικά σενάρια πρέπει να<br />
είναι εφικτά, να περιγράφουν καταστάσεις οι οποίες να είναι υλοποιήσιμες μέσα στο δεδομένο σχολικό χρόνο και τις δεδομένες σχολικές συνθήκες στις οποίες διεξάγεται το μάθημα. Επιπλέον, πρέπει η δημιουργία ενός σεναρίου να μην απαιτεί (τουλάχιστον σε μια πρώτη προσέγγιση) υπερβολική καταβολή προσπάθειας, ούτε και υπερβολικό χρόνο.(3) Το σημαντικότερο ίσως σημείο στη δημιουργία σεναρίων, αποτελεί η διαπραγμάτευση των «αδύνατων σημείων». Για παράδειγμα, με ποιο τρόπο δημιουργεί κανείς ένα καινούριο διδακτικό σενάριο για μια έννοια, κατασκευάζει δηλαδή ένα σενάριο ex nihilo;Ο πρακτικός οδηγός που προτείνουμε προσπαθεί να ενσωματώσει, μεταξύ άλλων, και τα στοιχεία αυτά.Ως διδακτικό σενάριο (διδακτική κατάσταση, στη Διδακτική των Μαθη<br />
ματικών, Brousseau, 1997) θεωρούμε την περιγραφή μιας διδασκαλίας με εστιασμένο γνωστικό(ά) αντικείμενο(α), εκπαιδευτικούς στόχους, διδακτικές αρχές και πρακτικές. Στα διδακτικά σενάρια, περιλαμβάνονται στοιχεία όπως η αλληλεπίδραση και οι ρόλοι των συμμετεχόντων, οι αντιλήψεις των μαθητών και τα ενδεχόμενα διδακτικά εμπόδια και γενικότερα όλα εκείνα τα στοιχεία που θεωρούνται σημαντικά στη σύγχρονη διδακτική θεωρία. Σε μια τέτοια διδασκαλία μπορούν να συνδυάζονται περισσότεροι διδακτικοί πόροι, όπως π.χ. περισσότερα του ενός λογισμικά, σημειώσεις, sites, όργανα (π.χ. εργαστηριακά, πίνακας, διαβήτης,...), προκειμένου να επιτευχθεί ένα μαθησιακό αποτέλεσμα.<br />
Έ να σενάριο μπορεί να έχει διάρκεια μιας ή περισσοτέρων διδακτικών ωρών και υλοποιείται, κατά κανόνα, μέσα από μια σειρά εκπαιδευτικών δραστηριοτήτων όπου η δομή και η ροή τους καθώς και οι ρόλοι διδάσκοντα-διδασκομένων (κατά περίπτωση μαθητές, σπουδαστές, αλλά και επιμορφούμενοι κλπ) και η αλληλεπίδρασή τους με τα όποια χρησιμοποιούμενα μέσα και υλικό, περιγράφονται στα πλαίσια του διδακτικού σεναρίου. Έ να διδακτικό σενάριο μπορεί επίσης να διαιρεθεί σε διδακτικές φάσεις, αλλά η περιγραφή τους ξεπερνάει τα όρια ενός πρακτικού οδηγού και έτσι, στα πλαίσια της παρούσας, δε θα αναφερθούμε ξανά στις φάσεις ενός σεναρίου. Η χρήση των Νέων Τεχνολογιών καθιστά ακόμη πιο αναγκαία την αποσαφήνιση του τι είναι σενάριο και ποιες οι βασικές του συνιστώσες. Η εμπειρία από τις ποικίλες επιμορφώσεις που έχουν λάβει χώρα σχετικά με τις Νέες Τεχνολογίες και ειδικότερα το πρόγραμμα Επιμόρφωσης Β' Επιπέδου για την ενσωμάτωση των Νέων Τεχνολογιών στη Διδακτική πρακτική, έχει αναδείξει την αναγκαιότητα για μια θεωρητική υποστήριξη του όρου «σενάριο». Αναφερόμαστε σε εκείνο το κοινό θεωρητικό υπόβαθρο που θα πρέπει να μοιράζονται επιμορφωτές-επιμορφούμενοι προκειμένου να καθίσταται λειτουργική μια προσπάθεια υλοποίησης ενός σεναρίου αφού θα πρέπει το «διάβασμα» ενός «συμβάντος» μέσα στην τάξη (για παράδειγμα μια λύση που προτείνει ένας μαθητής ή η χρήση ενός λογισμικού στη διδασκαλία) να περνά μέσα από το ίδιο οπτικό πρίσμα και για τα δυο«συμβαλλόμενα» μέρη.Στις επόμενες παραγράφους θα προσπαθήσουμε να σκιαγραφήσουμε το μοντέλο ενός σεναρίου για τη διδασκαλία των Μαθηματικών με τη συμβολή της τεχνολογίας παραθέτοντας όπου θεωρείται απαραίτητο συγκεκριμένα παραδείγματα προς την κατεύθυνση αυτή.<br />
<div class="MsoNormal" style="margin-bottom: 0.0001pt; text-indent: 21.3pt;">
<br /></div>
<br />
<span style="color: red;"><i><b>Στο παρακάτω αρχείο σε μορφή Power Point περιγράφεται η έννοια του διδακτικού σεναρίου και τα βασικά δομικά στοιχεία του.</b></i></span><br />
<br />
<b><span style="color: #cc0000;"><a href="https://drive.google.com/file/d/0BxbKSKHiz6zaT1JPNmFWX3FRT3M/edit?usp=sharing" style="background-color: orange;">Η έννοια του διδακτικού σεναρίου.</a></span></b></div>
<div align="center" style="text-align: center;">
<br /></div>
<div align="center" style="text-align: center;">
<br /></div>
<div align="center" style="text-align: center;">
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<object class="BLOGGER-youtube-video" classid="clsid:D27CDB6E-AE6D-11cf-96B8-444553540000" codebase="http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=6,0,40,0" data-thumbnail-src="https://ytimg.googleusercontent.com/vi/7_cC4rAxK0I/0.jpg" height="266" width="320"><param name="movie" value="https://youtube.googleapis.com/v/7_cC4rAxK0I&source=uds" /><param name="bgcolor" value="#FFFFFF" /><param name="allowFullScreen" value="true" /><embed width="320" height="266" src="https://youtube.googleapis.com/v/7_cC4rAxK0I&source=uds" type="application/x-shockwave-flash" allowfullscreen="true"></embed></object></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="color: blue;"><b>Εφαρμογή του πυθαγορείου θεωρήματος.</b></span></div>
<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="text-align: left;"> </span></div>
</div>
<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.youtube.com/embed/TlY-Sh9Rzas?feature=player_embedded' frameborder='0'></iframe></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="color: blue;"><b>Ο αριθμός π και το μήκος ενός κύκλου.</b></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<object class="BLOGGER-youtube-video" classid="clsid:D27CDB6E-AE6D-11cf-96B8-444553540000" codebase="http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=6,0,40,0" data-thumbnail-src="https://ytimg.googleusercontent.com/vi/35UQVcY0_qw/0.jpg" height="266" width="320"><param name="movie" value="https://youtube.googleapis.com/v/35UQVcY0_qw&source=uds" /><param name="bgcolor" value="#FFFFFF" /><param name="allowFullScreen" value="true" /><embed width="320" height="266" src="https://youtube.googleapis.com/v/35UQVcY0_qw&source=uds" type="application/x-shockwave-flash" allowfullscreen="true"></embed></object></div>
<br />
<span style="color: blue;"><b> Το πείραμα του Ερατοσθένη.</b></span><br />
<br />
<br />
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><b> ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΜΕ ΝΕΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ</b></span><br />
<br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;">Α. JAVA</span></b><br />
<br />
<br />
<b><span style="color: #990000;">Στο διαδίκτυο υπάρχουν πλούσιες διδακτικές εφαρμογές για διάφορα μαθηματικά θέματα με χρήση του ηλεκτρονικού υπολογιστή. Αρχικά θέλω να συστήσω τα λεγόμενα java που περιέχουν διαδραστικές παρουσιάσεις με κίνηση και γραφικά.</span></b><br />
<br />
<b><span style="color: #990000;">Τα java μπορείτε να τα εγκαταστήσετε από : <a href="http://www.java.com/"><span style="background-color: #ffe599; color: #cc0000;">http://www.java.com</span></a></span></b><br />
<b><br />
<span style="color: #990000;"></span></b><br />
<b>Εφαρμογές θα βρείτε στις παρακάτω συνδέσεις : </b><br />
<b><br />
</b><br />
<div style="text-align: justify;">
<b><span style="color: blue; font-size: large;">1.</span></b> <a href="http://www.walter-fendt.de/m14gr/">Στην ιστοσελίδα υπάρχουν πολλά java - applets <b><span style="color: blue;">για το άθροισμα γωνιών τριγώνου , εγγεγραμμένη - επίκεντρη γωνία , πυθαγώρειο θεώρημα , τριγωνομετρία , διανύσματα , πράξεις μιγαδικών κ.α </span></b></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><a href="http://www.ies.co.jp/math/java/geo/pythagoras.html"><span style="font-size: small;"></span></a><br />
<span style="font-size: small;">2. </span><a href="http://www.ies.co.jp/math/java/"><span style="font-size: small;">Ενδιαφέρουσα ξένη ιστοσελίδα με αξιόλογες java παρουσιάσεις μαθηματικών θεμάτων. Οι νέες τεχνολογίες στην διδακτική αξιοποίηση της κατανόησης των μαθηματικών</span></a><span style="font-size: small;"> . </span><br />
</span><br />
<span style="color: blue; font-size: large;"></span><br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><br /></span>
<span style="color: blue; font-size: large;"><br /></span>
<span style="color: blue; font-size: large;"><br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>Β ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ</b></span></span><span style="color: blue; font-size: large;"><br />
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΑ</b></span><br />
<br />
<span style="color: #cc0000;"><br /><b><span style="color: blue;">Eνδιαφέρουσα παρουσίαση της χρήσης των λογισμικών στην μαθηματική διδασκαλία μέσα στην τάξη στην παρακάτω ιστοσελίδα του pi-schools του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου για την επιμόρφωση των καθηγητών β΄επιπέδου</span></b><span style="color: blue;"> :</span><span style="background-color: yellow; color: #cc0000; font-size: large;"> </span><a href="http://www.pi-schools.gr/programs/epeaek_b_epipedo/epim_tpe/P2/pe03.pdf"><span style="background-color: yellow; color: #cc0000; font-size: large;">εδώ.</span></a><br />
<br />
<br />
<br />
<span style="background-color: white; color: blue; font-size: large;"><b>ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ ΛΟΓΙΣΜΙΚΩΝ</b></span></span></span><br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><span style="color: #cc0000;"><span style="background-color: white; color: blue; font-size: large;"><b><br /></b></span></span></span>
<br />
<a href="https://lh3.googleusercontent.com/proxy/DbvpwmTikPFz4iCq8_RaZb94bj1_7IiWLJjrzNt4kYxAvKt64UBTcrU7AXD-JYW6tnpQzhV8ZCDWvKrZI6HNmu-SnUKE1e3DTtJF22yIpYRIpRkHVT2xphr_jPBm3pw" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://www.homeschoolmath.net/reviews/images/6-leaved-pattern-sketchpad.gif" height="187" style="text-align: left;" width="200" /></a><span style="color: blue; font-size: large;"><span style="color: #cc0000;"><span style="background-color: white; color: blue; font-size: large;"><b><br /></b></span></span></span>
<span style="color: #cc0000;"><b><span style="font-size: large;">1</span>. </b></span><span style="color: red;"><span style="font-size: large;"><b><span style="color: #cc0000;">Τ</span>ο GSP – Geometer’s Sketchpad</b></span></span> είναι ένα ισχυρό εργαλείο για τη
διδασκαλία της Γεωμετρίας, της Άλγεβρας και της Τριγωνομετρίας.
Αποτελεί ένα διεθνώς δοκιμασμένο εργαλείο μάθησης για το οποίο υπάρχει πλούσια βιβλιογραφία και τεκμηρίωση.<br />
Το GSP – Geometer’s Sketchpad είναι ένα «ανοικτό» περιβάλλον ιδανικό για την οργάνωση δραστηριοτήτων <i>διερευνητικής μάθησης</i>.
Αξιοποιεί τις δυνατότητες των νέων τεχνολογιών λαμβάνοντας υπόψη τις
νέες τάσεις για διερευνητική προσέγγιση στη σχεδίαση του λογισμικού (με
πολλαπλές αναπαραστάσεις, άμεσο χειρισμό κ.τ.λ.). Με τις δυνατότητες
που διαθέτει βοηθά στην κατανόηση με ολοκληρωμένο τρόπο εννοιών και
διαδικασιών μέσα από την <i>επίλυση προβλημάτων</i> και τον <i>πειραματισμό.</i><br />
Οι δυνατότητές του GSP – Geometer’s Sketchpad είναι τόσο πολλές
που αν και αρχικά σχεδιάστηκε για τις ανάγκες της γυμνασιακής
εκπαίδευσης σήμερα συνιστάται η χρήση του από τις τελευταίες τάξεις του
Δημοτικού μέχρι τις τελευταίες τάξεις του Λυκείου. Οι δυνατότητες
αυτές το μετέτρεψαν σε ένα εκπαιδευτικό εργαλείο με απεριόριστο αριθμό
εφαρμογών. Αν και σχεδιάστηκε αρχικά για Γεωμετρία, σήμερα οι μαθητές
μπορούν να το χρησιμοποιήσουν για να εξερευνήσουν την Άλγεβρα, την
Τριγωνομετρία, την Τέχνη, την Επιστήμη και πολλά άλλα.<br />
Από την άποψη της παιδαγωγικής προσέγγισης το λογισμικό προσφέρει :<br />
· ένα θεματικό πλαίσιο το οποίο διευρύνει την φαντασία των
ενεργητικά ενασχολούμενων με αυτό δημιουργώντας κίνητρο για μάθηση.<br />
· την δυνατότητα ενεργητικής ενασχόλησης των μαθητών
παράλληλα εμπλουτίζει τις γνωστικές και μεταγνωστικές τους εικόνες
(μέσω της δυνατότητας σχεδίασης και κατασκευής δι-διάστατων
αντικειμένων που διαθέτει)<br />
· Αποτελείται από «εικόνες» οι οποίες παίζουν τον ρόλο
«φυσικών μεταφορών» ή/και «οπτικών αναπαραστάσεων» μαθηματικών εννοιών
με δυνατότητα διαβάθμισης της γνωστικής τους επεξεργασίας (π.χ.
διαισθητική, πρακτική και φορμαλιστική επεξεργασία εννοιών).<br />
· Η χρήση της γεωμετρίας γίνεται μέσω οπτικών και λεκτικών
κωδίκων οι οποίοι με την κατάλληλη διδακτική παρέμβαση (π.χ.
προτεινόμενη μέσα από ένα διδακτικό σενάριο, ή/και με την παρέμβαση του
καθηγητή) βοηθούν στην εποικοδόμηση μαθηματικών εννοιών.<br />
Η σημαντικότερη δυνατότητα του GSP – Geometer’s Sketchpad είναι τo
«direct manipulation», η δυνατότητα δηλαδή της άμεσης διαχείρισης των
μαθηματικών αντικειμένων και σχημάτων και η επεξεργασία τους ολιστικά
και από διαφορετικές οπτικές γωνίες. Ο καθηγητής / μαθητής, αφού
δημιουργήσει ένα σχήμα μπορεί να το μεγεθύνει, να το μετακινήσει, να
εξετάσει αν συμπίπτει με άλλο παρόμοιο, πράγμα που βέβαια δεν μπορεί να
γίνει με τους παραδοσιακούς τρόπους διδασκαλίας.<br />
Η δυνατότητα της κίνησης και της ταυτόχρονης παρακολούθησης της
αλλαγής των διαφόρων στοιχείων και μεγεθών του σχήματος, δίνει τη
δυνατότητα της χρήσης της «εικασίας» και του πειραματισμού στη διδακτική
πράξη, κάτι που έχει μεγάλη ανάγκη η διδακτική των Μαθηματικών.<br />
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><span style="color: #cc0000;">
</span></span>
<span style="color: blue; font-size: large;"><span style="color: #cc0000;"></span></span><br />
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><span style="color: #cc0000;"><span style="color: red;"><span style="font-size: large;"><b> To Geometer’s Sketchpad μπορείτε να το εγκαταστήσετε : <span style="color: #990000;"><span style="background-color: yellow;"><a href="http://e-yliko.gr/Lists/List40/DispForm.aspx?ID=30"><u>εδώ</u></a></span></span></b></span></span></span></span><br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><span style="color: #cc0000;"><span style="color: red;"><span style="font-size: large;"><b><span style="color: #990000;"><span style="background-color: yellow;"><br /></span></span></b></span></span></span></span>
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><span style="color: #cc0000;"><span style="color: red;"><span style="font-size: large;"><b> </b></span></span>2.
<b><span style="color: #cc0000;">Το <span style="background-color: #b6d7a8;">Cabri</span> μπορείτε να το εγκαταστήσετε από <a href="http://www.cabri.com/download-cabri-2-plus.html"><span style="background-color: yellow; color: #cc0000; font-size: large;">εδώ</span></a></span></b></span></span> </div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #cc0000;"><b> Οδηγίες του χρήσης<a href="http://blogs.sch.gr/makrib/files/2010/05/cabri.pdf"> <span style="background-color: yellow; color: #cc0000; font-size: large;">εδώ.</span></a> κι<a href="http://epimreth.wdfiles.com/local--files/odigiesprogr/manualcabri.pdf"> <span style="background-color: yellow; color: #cc0000; font-size: large;">εδώ.</span></a></b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="line-height: 150%;"> </span><br />
<div style="line-height: 150%; margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm;">
<br />
<br /></div>
<div style="line-height: 150%; margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm;">
<span style="color: black; font-size: 11.0pt; line-height: 150%;"> <span style="color: #cc0000;"><span style="font-size: large;"><b>3. Geogebra</b></span></span></span></div>
<div style="line-height: 150%; margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm;">
<br /></div>
<div style="line-height: 150%; margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm;">
<span style="color: black; font-size: 11.0pt; line-height: 150%;"> Βραβευμένο πρόγραμμα
που αναπτύχθηκε από τον του Αυστριακό μαθηματικό</span><span style="color: black;"> </span><a href="http://www.math.fau.edu/~mhohen/">Markus
Hohenwarter</a><span style="color: black;"> ως βοήθημα για την</span><span style="color: black;"> διδασκαλία των Μαθηματικών στα σχολεία. Πρόσφατα
έτυχε χορηγίας από την Αυστριακή Ακαδημία Επιστημών, την Αυστριακή κυβέρνηση και
το Εθνικό Ίδρυμα Επιστημών των ΗΠΑ για την περαιτέρω</span><span style="color: black;"> ανάπτυξή του. Γύρω από την Geogebra έχει δημιουργηθεί μία μεγάλη και
δραστήρια κοινότητα μαθηματικών από όλο τον κόσμο.</span><span style="color: black;"> Η Geogebra συνδυάζει χαρακτηριστικά προγραμμάτων
δυναμικής γεωμετρίας (</span><i>Geometer’s Sketchpad , Cabri, Cinderella EucliDraw,
WinGeom</i>) και προγραμμάτων γραφικών παραστάσεων (<i>Graphmat, WinPlot</i>).
Παρέχει τη δυνατότητα</div>
<div style="line-height: 150%; margin-bottom: .0001pt; margin: 0cm;">
δημιουργίας
δυναμικού φύλλου εργασίας σε μορφή ιστοσελίδας <i>(html). </i>Δημιουργεί
γραφικά σε γλώσσα Postcript (eps) αλλά αν τα
γραφικά του εξαχθούν (με την εντολή Export) σε μορφή png μπορούν να
εισαχθούν ως εικόνες σε έγγραφα του Μicrosoft Word
και άλλων εφαρμογών. Εξίσου καλά μπορούν να εισαχθούν με
Αντιγραφή-Επικόλληση.</div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
Η GeoGebra είναι ένα Περιβάλλον Δυναμικής Γεωμετρίας (ΠΔΓ). Τα ΠΔΓ αποτελούν τα πιο ευρέως χρησιμοποιούμενα λογισμικά στο χώρο της δευτεροβάθμιας μαθηματικής εκπαίδευσης. Ένα ΠΔΓ επιτρέπει στο χρήστη να δημιουργήσει γεωμετρικές κατασκευές παρόμοιες με αυτές που θα έκανε στο χαρτί, χρησιμοποιώντας γεωμετρικές και αλγεβρικές οντότητες (π.χ. σημεία, ευθείες, ευθύγραμμα τμήματα, κωνικές τομές, γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων κ.ά.) και να τις μεταχειριστεί δυναμικά. Σύμφωνα με τις Sinclair και Yurita (2008): το πιο χαρακτηριστικό γνώρισμα ενός ΠΔΓ είναι ο φαινομενικά συνεχής, εκτελούμενος σε πραγματικό χρόνο μετασχηματισμός που ονομάζεται σύρσιμο (dragging): δηλαδή, όταν τα στοιχεία ενός σχήματος κινούνται, αυτό το χαρακτηριστικό επιτρέπει στην κατασκευή να ανταποκρίνεται δυναμικά στις νέες συνθήκες ενώ διατηρεί τις αμετάβλητες ιδιότητες της δεδομένης κατασκευής. Κατά το σύρσιμο, οι δυναμικές εικόνες στην οθόνη είναι ακριβώς τόσο αυστηρές όσο οι βασικές μαθηματικές ιδιότητες που τις προσδιορίζουν (σ. 136).<br />
Η GeoGebra προσφέρει στο χρήστη μια σειρά από γεωμετρικά εργαλεία με τα οποία μπορεί να δημιουργήσει τις δικές του γεωμετρικές κατασκευές, ή ακόμα και καινούρια εργαλεία. Επίσης παρέχει μία εκτεταμένη λίστα συναρτήσεων, λογιστικό φύλλο και τη δυνατότητα αλγεβρικής διαχείρισης των αντικειμένων. Όμως, γιατί να χρησιμοποιήσει κανείς ένα ΠΔΓ στη διδασκαλία του; Μερικά από τα επιχειρήματα που αφορούν στην παιδαγωγική αξιοποίηση τέτοιου είδους λογισμικού είναι τα παρακάτω:<br />
1. Επιτρέπει στους μαθητές να ανακαλύψουν γεωμετρικές ιδιότητες των σχημάτων τους σέρνοντας με το ποντίκι, έτσι μαθαίνουν κάνοντας και όχι λαμβάνοντας παθητικά πληροφορίες.<br />
2. Επιτρέπει πολλαπλές αναπαραστάσεις μαθηματικών αντικειμένων (π.χ. συνάρτηση: γραφική παράσταση / σύνολο διατεταγμένων ζευγών / αντιστοίχιση στοιχείων δύο συνόλων).<br />
3. Δίνει τη δυνατότητα στους μαθητές που δεν τα καταφέρνουν με τον κανόνα και το διαβήτη να παράγουν σχήματα ακριβείας.<br />
4. Δίνει ευκαιρίες να δουλευτούν στην τάξη εργασίες με πραγματικά θέματα, σχετικά με την καθημερινότητα των μαθητών, τοποθετώντας τα σχολικά μαθηματικά στην πραγματικότητα.<br />
<br />
<span style="color: #cc0000;"><span style="font-size: large;"><b>To Geogebra μπορείτε να το εγκαταστήστε από <a href="http://www.geogebra.org/cms/"><span style="background-color: yellow;">εδώ.</span></a></b></span></span><br />
<span style="color: #cc0000;"><span style="font-size: large;"><b>Οδηγίες χρήσεις <a href="http://www.enallax.com/exams/geogebra/manual/geogreek.pdf"><span style="background-color: yellow;">εδώ.</span></a></b></span></span><br />
<br />
<br />
<br />
<b><span style="color: #cc0000;"><span style="color: blue; font-size: large;">4.</span> Χρήσιμο και εύκολο πρόγραμμα για την γραφική παράσταση συναρτήσεων , εξισώσεων καμπύλων ( π.χ κωνικών τομών ) , και ανισώσεων είναι το <span style="background-color: #b6d7a8;">Graphmatica </span>: </span></b><br />
<br />
<b>Εγκαταστήστε το από<a href="http://www.download3000.com/graphmatica-virus-report-2777.html"> <span style="background-color: yellow; color: #cc0000; font-size: large;">εδώ.</span></a></b><br />
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
<br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;">5.</span> Eπίσης μπορείτε να εγκαταστήσετε το <span style="background-color: #b6d7a8; color: #cc0000;">Αβάκιο</span> ελληνικό πρόγραμμα που περιέχει τον <span style="background-color: #b6d7a8; color: #cc0000;">Χελωνόκοσμο</span> ο </b><b>οποίος απαιτεί γνώσεις των εντολών της μαθηματικής γλώσσας προγραμματισμού Logo ,<span style="background-color: yellow; color: #cc0000; font-size: large;"> </span><a href="http://e-slate.cti.gr/"><span style="background-color: yellow; color: #cc0000; font-size: large;">εδώ.</span></a></b><br />
<br />
<span style="font-family: Verdana; font-size: 10pt;">Το «Αβάκιο E-Slate»
είναι ένα περιβάλλον βασισμένο στην αρχιτεκτονική Ψηφίδων για την
ανάπτυξη εκπαιδευτικών προϊόντων. Το λογισμικό προσφέρει στην
εκπαιδευτική κοινότητα εργαλεία σύνθεσης εκπαιδευτικών «Μικρόκοσμων»
(εστιασμένων εφαρμογών) για πειραματισμό και διερεύνηση φαινομένων,
εννοιών, υποθέσεων και συσχετισμών. Οι Μικρόκοσμοι απαρτίζονται από
διασυνδεόμενες Ψηφίδες. Οι Ψηφίδες παρέχονται ως μια βιβλιοθήκη
προκατασκευασμένων υπολογιστικών αντικειμένων, ειδικά σχεδιασμένων για
εκπαιδευτική χρήση. Η διασύνδεση και διαχείριση των ψηφίδων μπορεί να
γίνει με απλό τρόπο χωρίς προγραμματισμό, αλλά μπορεί και να
προγραμματιστεί μέσα από μια ειδικά σχεδιασμένη συμβολική γλώσσα
βασισμένη στη Logo.</span><br />
<br />
<br />
<b>Εγχειρίδιο χρήσης με οδηγίες <a href="http://etl.ppp.uoa.gr/_content/Anaptyxiako_ergo/mwd-senaria_Evreias_Xrisis.htm"><span style="background-color: yellow; color: #cc0000; font-size: large;">εδώ.</span></a></b><br />
<br />
<br />
<img border="0" src="http://e-slate.cti.gr/Microworlds/Turtleworlds_s.jpg" height="240" width="320" /><br />
<br /></div>
<div align="center" style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
<br />
<b><span style="color: blue;"><span style="font-size: large;">6. Τ</span>ο πρόγραμμα <span style="background-color: #b6d7a8; color: #cc0000;">Hot Potatoes</span> περιλαμβάνει ενδιαφέρουσες δυνατότητες δημιουργίας τεστ πολλαπλής επιλογής - σωστού λάθους - αντιστοίχισης στα μαθηματικά </span></b></div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
Μπορείτε να το εγκαταστήσετε από<span style="background-color: yellow; color: #cc0000; font-size: large;"> </span><a href="http://hotpot.uvic.ca/index.php#downloads"><span style="background-color: yellow; color: #cc0000; font-size: large;"><b>εδώ.</b></span></a></div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
Οδηγίες χρήσης του όπως και άλλες πληροφορίες γενικά για μαθηματικά λογισμικά υπάρχουν <span style="background-color: yellow; color: #cc0000; font-size: large;"><b>εδώ.</b></span></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
<br />
<span style="color: blue;"><span style="font-size: large;">7.</span></span> Πρόγραμμα πολυμεσικών εφαρμογών είναι το :<span style="background-color: #b6d7a8; color: #990000;"><b> Microwords Pro.</b></span> Περιέχει τις εντολές της Logo. Επίσης εικόνες , σχέδια , εφέ κίνησης , ήχους. Επιτρέπει έτσι τη δημιουργία σκηνικών που προσομοιώνουν πραγματικά προβλήματα με μαθηματικό ενδιαφέρον.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>8.</b></span> <span style="color: blue;"><b>Eνδιαφέρον πρόγραμμα πολυμεσικών εφαρμογών στα μαθηματικά είναι και το</b></span> <span style="background-color: #b6d7a8; color: #990000;"><b>Scratch.</b></span><br />
<br />
Με πρωταγωνιστή μια γάτα περιέχει οπτικοποιημένες τις εντολές της Logo για τη δημιουργία προγραμμάτων. Επίσης περιέχει πληθώρα " ενδυμασιών " , ήχων και εφε κίνησης. Επιτρέπει με τους τρόπους αυτούς οπυικοποίηση 'σεναρίων' για την παρουσίαση μαθηματικών προβλημάτων και διδακτικών εφαρμογών με χρήση εικόνας , κίνησης και ήχου. Αποτελεί παραλλαγή του Microwords Pro. Έχει όμως τα πλεονεκτήματα της πιο εύκολης χρήσης των εντολών της Lοgo και της άμεσης και δωρεάν πρόσβασης στο διαδίκτυο. Μπορείτε να το κατεβάσετε από <a href="http://scratch.mit.edu/download"><span style="background-color: yellow; color: #cc0000; font-size: large;"><b>εδώ.</b></span></a><br />
<b><br />
</b><br />
<br />
<br />
<img src="http://cdn.mashable.com/wp-content/uploads/2007/07/scratch-s.png" height="212" id="il_fi" style="padding-bottom: 8px; padding-right: 8px; padding-top: 8px;" width="320" /><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<b><span style="font-size: large;">9.</span></b> Το <span style="background-color: #b6d7a8; color: #990000;"><b>Function Probe</b></span> επίσης είναι χρήσιμο πρόγραμμα στην μελέτη των συναρτήσεων και προβλημάτων συναρτησιακών αλληλελεξαρτήσεων και μεταβολών.Πολυεποπτικό εργαλείο για τη σύγχρονη <b>άλγεβρα</b>, την <b>τριγωνομετρία </b>και την <b>ανάλυση</b>, που επιτρέπει τη διερεύνηση των συναρτήσεων και τη <b>μαθηματική μοντελοποίηση</b>.Περιέχει τρία ξεχωριστά εργαλεία: Το γράφημα , τον Πίνακα και την Αριθμομηχανή.Κάθε εργαλείο είναι ένα ξεχωριστό παράθυρο με τα δικά του στοιχεία λειτουργίας και ταυτόχρονα συνδέονται μεταξύ τους δημιουργώντας δυνατότητες πολλαπλών αναπαραστάσεων σε μαθηματικά μοντέλα.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<span style="color: #cc0000;"><b><span style="font-size: large;">Μπορείτε να εγκαταστήσετε το <span style="background-color: white;">Function Probe : <span style="background-color: yellow;"><span style="color: #cc0000;"><a href="http://etl.ppp.uoa.gr/pake/">εδώ.</a></span></span></span></span></b></span><br />
<span style="color: #cc0000;"><b><span style="font-size: large;"><span style="background-color: white;"><span style="background-color: yellow;"><span style="color: #cc0000;"><br /></span></span></span></span></b></span>
<span style="color: #cc0000;"><b><span style="font-size: large;"><span style="background-color: white;"><span style="background-color: yellow;"><span style="color: #cc0000;"></span></span><a href="http://xn--pxab0f./"><span style="background-color: yellow;"></span></a><span id="goog_1627260446"></span><span id="goog_1627260447"></span><br /></span></span></b></span>
<br />
<b><span style="font-size: large;">10.</span></b> Το <b><span style="background-color: #b6d7a8; color: #990000;">Μοdellus</span></b> είναι χρήσιμο για την μοντελοποίση προβλημάτων τόσο στα μαθηματικά , όσο και στη φυσική.<span lang="EL" style="font-family: 'Arial','sans-serif'; mso-bidi-font-family: 'Lohit Hindi';">Το
Modellus χρησιμοποιείται για να εισάγει την μοντελοποίηση μέσω
Ηλεκτρονικού Υπολογιστή (Η/Υ) επιτρέποντας την εύκολη και διαισθητική
δημιουργία μαθηματικών μοντέλων χρησιμοποιώντας μόνο βασικές μαθηματικές
γνώσεις, ώστε να υπάρχει η δυνατότητα της δημιουργίας διαδραστικών
προσομοιώσεων με αντικείμενα οι μαθηματικές ιδιότητες των οποίων,
καθορίζονται στο μοντέλο. Έτσι επιτρέπεται η διερεύνηση πολλαπλών
αναπαραστάσεων και δίνεται η δυνατότητα της ανάλυσης πειραματικών
δεδομένων με την μορφή εικόνων, προσομοιώσεων, διαγραμμάτων και πινάκων.
Το Modellus εστιάζει στην μοντελοποίηση αλλά και στην επεξήγηση των
μοντέλων. </span><br />
<br />
<span style="font-size: large;"><b><span style="background-color: #9fc5e8; color: #cc0000;"><span lang="EL" style="font-family: 'Arial','sans-serif';">To </span>Μοdellus μπορείτε να το εγκαταστήσετε : <a href="http://ode.google.com/p/modellus5/downloads/list?saved=1&ts=1344909271">εδώ.</a></span></b></span><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<b><span style="color: #cc0000;"> </span><span style="color: blue; font-size: large;">ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ </span></b><br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;"> ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΛΟΓΙΣΜΙΚΩΝ ( ΣΥΝΔΕΣΕΙΣ ).</span></b><br />
<br />
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>1.</b></span><span style="font-size: small;"> ( </span><a href="http://mathedutech.wordpress.com/tag/%CE%B4%CF%85%CE%BD%CE%B1%CE%BC%CE%B9%CE%BA%CE%AE-%CE%B3%CE%B5%CF%89%CE%BC%CE%B5%CF%84%CF%81%CE%AF%CE%B1/"><span style="font-size: small;">Μαθηματική εκπαίδευση και τεχνολογία. Εφαρμογές δυναμικής γεωμετρίας σε Geogebra και</span></a><span style="font-size: small;"> μαθηματικά βίντεο με διδακτικές παρουσίασεις από το εξωτερικό με χρήση των νέων τεχνολογιών στα μαθηματικά ).</span><br />
<span style="font-size: small;"><br />
</span><br />
<span style="font-size: small;"><span style="color: blue;"><b>2.</b></span> </span><a href="http://www.sonom.gr/applets.html"><span style="font-size: small;">Eφαρμογές για ψηφιακή τάξη με προγράμματα δυναμικής γεωμετρίας.</span></a><br />
<span style="font-size: small;"><br />
</span><br />
<b><span style="color: blue; font-size: small;">3.</span></b><a href="http://www.slu.edu/classes/maymk/GeoGebra/"><span style="font-size: small;">Applets σε geogebra.</span></a><br />
<span style="font-size: small;"><br />
</span><br />
<span style="font-size: small;"><b><span style="color: blue;">4.</span></b> </span><a href="http://mathschoolkomotini.blogspot.com/2010/02/geogebra.html"><span style="color: blue; font-size: small;">Εφαρμογές σε Geogebra.</span></a><br />
<span style="font-size: small;"><br />
</span><br />
<b><span style="color: blue; font-size: small;">5. </span></b><a href="http://www.youtube.com/watch?v=7Ww3xJayPOU"><span style="font-size: small;">H You Tube παρουσιάζει video με εφαρμογές geogebra</span></a><br />
<span style="font-size: small;"><br />
</span><br />
<span style="color: blue; font-size: small;"><b>6.</b></span><a href="http://www.e-yliko.gr/Lists/List40/DispForm.aspx?ID=30"><span style="font-size: small;"> Εφαρμογές σε Sketchpad από την εκπαιδευτική πύλη του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου e-yliko.</span></a><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://www.blogger.com/blogger.g?blogID=7730717435979339231" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"></a></div>
<span style="font-size: small;"><br />
</span><br />
<span style="font-size: small;"><span style="color: blue;">7.</span> </span><a href="http://www2.e-yliko.gr/htmls/analyk.aspx"><span style="font-size: small;">Παρομοίως κι εδώ.</span></a><br />
<span style="font-size: small;"><br />
</span><br />
<span style="font-size: small;"><b><span style="color: blue;">8</span></b>. </span><a href="http://www.youtube.com/watch?v=USyoT_Ha_bA"><span style="font-size: small;">H You Tube παρουσιάζει video με εφαρμογές Sketchpad</span></a><br />
<span style="font-size: small;"><br />
</span><br />
<span style="font-size: small;"><span style="color: blue;"><b>9.</b></span> </span><a href="http://www.dapontes.gr/index.php?option=com_content&task=view&id=139&Itemid=0"><span style="font-size: small;">Διδακτική εφαρμογή της έννοιας του κλάσματος σε Sketchpad.</span></a><br />
<span style="font-size: small;"><br />
</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="color: blue;"><b>10</b></span>.</span><a href="http://www.etpe.gr/files/proceedings/uploads1/p023.pdf"><span style="font-size: small;">Διδακτική εφαρμογή για τον ορισμό ορισμένου ολοκληρώματος σε Sketchpad.</span></a><span style="font-size: small;"><br />
</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><br />
</span><br />
<span style="background-color: #9fc5e8; font-size: small;"><span class="f"><span style="color: black;"><cite><b><span style="color: blue;">11</span></b>. </cite></span></span><span class="f"><span style="color: black;"><cite><a href="http://www.angelfire.com/ab3/GIANNNO/edu/subject/math.htm">Ιστοσελίδα γενικού ενδιαφέροντος που περιέχει και προτάσεις σε Η/Υ.</a></cite></span></span></span><span style="font-size: small;"><br />
</span><br />
<br />
<span style="background-color: white; color: black;"></span><br />
<span style="color: blue;"><a href="http://blogs.sch.gr/dyoin/">12. Ενδιαφέρουσες εφαρμογές Geogebra.</a></span><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<b><i><span style="color: blue; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: large;">ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΕΣ - ΣΥΝΔΕΣΕΙΣ</span></i></b><br />
<span style="background-color: #ffe599;"></span><br />
<br />
<br />
<br />
<span style="color: #cc0000; font-size: large;"><b>Εδώ μπορείτε επιπλέον να βρείτε χρήσιμες μαθηματικές ιστοσελίδες με χρήσιμο εκπαιδευτικό ή διασκεδαστικό υλικό μαθηματικών με ποικιλία δραστηριοτήτων , ασκήσεων , παιγνιδιών , σπαζοκεφαλιών κ.α</b></span><br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;"><i>Βέβαια σε κάθε επιμέρους ανάρτηση της αρχειοθήκης ιστολογίου θα βρείτε πολλές επιπλέον επιμέρους και εξιδικευμένες ιστοσελίδες σχετικές με το εκάστοτε θέμα. </i></span></b><br />
<br />
<b><span style="color: #cc0000; font-size: large;"><i>Κλικ και συνδεδείτε !</i></span></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #cc0000;"></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
<b><span style="color: #cc0000; font-size: large;"></span></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
<br />
<br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;">1. ΑΣΚΗΣΕΙΣ , ΦΥΛΛΑΔΙΑ</span></b><br />
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
1.<span style="font-size: small;"> </span><a href="http://www.mathimatikos.edu.gr/"><span style="font-size: small;">Συλλογή ασκήσεων και τυπολογίων για το γυμνάσιο και λύκειο.</span></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><br />
</span><br />
<span style="font-size: small;">2.</span><a href="http://users.otenet.gr/~serifis3/mathgymn.htm"><span style="font-size: small;">Υλικό με αρκετές ασκήσεις για τις τάξεις του γυμνασίου.</span></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><br />
</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">3. </span><a href="http://users.sch.gr//fergadioti/elm/index.php"><span style="font-size: small;">Ποικιλία ασκήσεων και θεμάτων για το λύκειο. Μπορεί εδώ ο μαθητής να βρει χρήσιμο υλικό για περαιτέρω εξάσκηση , καλύτερη εμπέδωση , ασφαλή επανάληψη.</span></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><br />
</span><br />
<span style="font-size: small;"><br />
</span><br />
<span style="font-size: small;">4. </span><a href="http://www.nsmavrogiannis.gr/"><span style="font-size: small;">Εξαιρετικές ασκήσεις για το Λύκειο και διαγωνίσματα</span></a><span style="font-size: small;">.</span><br />
<span style="font-size: small;"><br />
</span><br />
<span style="font-size: small;">5<span style="background-color: #9fc5e8;"> <a href="http://douligeris.com/?cat=6">Aσκήσεις από τον μαθηματικό Δουλγέρη.</a></span></span><br />
<span style="background-color: #9fc5e8; font-size: small;"><br />
</span><br />
<span style="background-color: #9fc5e8; font-size: small;"><span style="color: #cc0000;"><span style="color: black;">6. </span></span><span style="color: black;"> <a href="http://sites.google.com/site/mbouzalisabouzalis/Home">Ασκήσεις για το γυμνάσιο από τον μαθηματικό Μπουζάλη Μιχάλη.</a></span></span><br />
<br />
<span style="font-size: small;">7. </span><a href="http://www.mathsfinder.gr/b_lyk_math_kat_ask_p1.htm"><span style="font-size: small;">Σελίδα της μηχανής αναζήτησης Μαthfinder με αρκετές προτεινόμενες συλλογές ασκήσεων ή διαγωνισμάτων διαφόρων μαθηματικών .</span></a><br />
<span style="font-size: small;"><br />
</span><br />
<span style="font-size: small;">8. </span><a href="http://www.mathsfinder.gr/b_lyk_math_kat_ask_p1.htm"><span style="font-size: small;">Συλλογή ασκήσεων για τη Γ΄Λυκείου κατεύθυνσης.</span></a><br />
<span style="font-size: small;"><br />
</span><br />
<span style="font-size: small;">9. </span><a href="http://www.mathsforyou.gr/index.php?option=com_weblinks&view=category&id=41&Itemid=63"><span style="font-size: small;">Υλικό για την Γ΄ Λυκείου. Μεθοδολογία - λυμένες ασκήσεις - θέματα πανελληνίων εξετάσεων</span></a><span style="font-size: small;">.</span><br />
<span style="font-size: small;"><br />
</span><br />
<span style="font-size: small;">10. </span><a href="http://mathstolykeio.wordpress.com/"><span style="font-size: small;">Ασκήσεις για το Λύκειο</span></a><br />
<span style="font-size: small;"><br />
</span><br />
<span style="font-size: small;">11<span style="background-color: #9fc5e8;"> </span></span><a href="http://www.hms.gr/"><span style="background-color: #9fc5e8; color: blue; font-size: small;">http://www.hms.gr/</span></a><br />
<span style="font-size: small;"><a href="http://www.hms.gr/">Η ιστοσελίδα της Ελληνικής μαθηματικής Εταιρείας που εκτός από άλλα στοιχεία έχει πλόυσια συλλογή με ασκήσεις γυμνασίου - λυκείου ( βάση ασκήσεων) καθώς και επαναληπτικά θέματα Γ΄ Λυκείου</a></span></div>
<span style="font-size: small;"><br />
</span><br />
<span style="font-size: small;"><a href="http://lisari.blogspot.com/">12 Ενδιαφέρον ιστολόγιο του μαθηματικού Μάκη Χατζόπουλου με υλικό ασκήσεων , θεμάτων πανελληνίων και πληθώρα μαθηματικών κειμένων , διασκεδαστικών μαθηματικών γενικού ενδιαφέροντος. </a></span><br />
<br />
<br />
<span style="font-size: small;"></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>3. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΗ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗΣ</b></span><br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;"></span></b><br />
<br />
<div style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none;">
<div style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none;">
<div style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none;">
<a href="http://www.blogger.com/goog_666861713" style="clear: left; cssfloat: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" class="rg_i" src="http://t2.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcQ69xZi2Av4vnEQtoHmah4QBEZEGj7IpUpbQemuqsvKKFeVW3bc" data-src="http://t2.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcQ69xZi2Av4vnEQtoHmah4QBEZEGj7IpUpbQemuqsvKKFeVW3bc" data-sz="f" height="81" id="cH2K9MfO9trKnM:b" onload="this.style.display='inline';google.stb.csi.onTbn(0, this)" style="display: inline; height: 36px; width: 142px;" width="320" /></a><a href="http://www.mathsfinder.gr/sites_p3.htm" imageanchor="1" style="clear: left; cssfloat: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"></a></div>
</div>
</div>
</div>
</div>
<a href="http://www.blogger.com/blogger.g?blogID=7730717435979339231" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"></a><a href="http://www.blogger.com/blogger.g?blogID=7730717435979339231" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"></a><a href="http://www.blogger.com/blogger.g?blogID=7730717435979339231" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"></a><a href="http://www.mathsfinder.gr/sites_p3.htm">Σημαντική ιστοσελίδα της μαθηματικής μηχανής αναζήτησης <b>mathsfinder </b>που περιέχει κατάλογο χρήσιμων μαθηματικών ιστοσελίδων</a><br />
<div style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none;">
<div style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none;">
<br /></div>
</div>
<br />
<br />
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>4. ΤΑ ΒΙΒΛΙΑ ΤΟΥ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΥ </b></span><br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><b> ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ</b></span><br />
<div style="text-align: justify;">
1.<a href="http://www.pi-schools.gr/lessons/hellenic/">H ιστοσελίδα του ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟΥ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟΥ όπου μπορείτε να βρείτε όλα τα σχολικά βιβλία ( του Ο.Ε.Δ.Β ) του γυμνασίου και του Λυκείου</a>.<br />
<a href="http://www.pi-schools.gr/lessons/hellenic/"><span style="background-color: #ffe599; color: #cc0000;"><b>http://www.pi-schools.gr/lessons/hellenic/</b></span></a><br />
<br />
<br />
2. <a href="http://www.pi-schools.gr/lessons/mathematics/">Θα βρείτε και τις οδηγίες διδασκαλίας των μαθηματικών όπως δίνινται από το Παιδαγωγικό Ινστιτούτο και καθορίζονται από το αναλυτικό πρόγραμμα σπουδών</a>.<br />
<a href="http://www.pi-schools.gr/lessons/mathematics/"><b><span style="background-color: #ffe599; color: #cc0000;">http://www.pi-schools.gr/lessons/mathematics/</span></b></a><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;">5. ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΕΣ ΓΡΙΦΩΝ , ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ , </span></b><br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;"> ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ</span></b> <br />
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
1. <a href="http://www.blogger.com/goog_666861737"> Π</a><span style="font-size: small;"><a href="http://www.telemath.gr/">οικιλία γνώσεων , εφαρμογών , παιγνιδιών , ασκήσεων στα μαθηματικά καθώς και στην ιστορία των μαθηματικών. Επίσης βρίσκετε εδώ λυμένα πληθώρα θέματα που δόθηκαν κατά καιρούς σε ελληνικούς αλλά και σ ε διεθνής διαγωνισμούς. Θέματα διεθνών ολυμπιάδων</a>.</span><br />
<a href="http://www.telemath.gr/"><b><span style="background-color: #ffe599; color: #cc0000; font-size: small;">http://www.telemath.gr/</span></b></a><b><span style="background-color: #ffe599; color: #cc0000; font-size: small;"> </span></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
<br />
2.<span style="font-size: small;"> </span><a href="http://grmath4.phpnet.us/image.htm"><span style="font-size: small;">Χρήσιμη ιστοσελίδα για την ιστορία των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών</span></a><span style="font-size: small;"> .</span><br />
<span style="font-size: small;"><br />
</span><br />
<span style="font-size: small;"><br />3</span><a href="http://www.moschonas.gr/megaloi_mathimatikoi.htm"><span style="font-size: small;"> Ιστοσελίδα με χρήσιμες βιογραφίες μεγάλων μαθηματικών.</span></a><br />
<br />
<a href="http://www.google.gr/imgres?imgurl=http://www.antinews.gr/wp-content/uploads/2010/09/internet-marketing-.jpg&imgrefurl=http://www.antinews.gr/%3Fp%3D60671&usg=__TbJeA35OrbKuFdwJzC36oOm6vvI=&h=443&w=550&sz=49&hl=el&start=62&zoom=1&um=1&itbs=1&tbnid=b1be6bosvQq3mM:&tbnh=107&tbnw=133&prev=/images%3Fq%3D%25CE%25B4%25CE%25B9%25CE%25B1%25CE%25B4%25CE%25AF%25CE%25BA%25CF%2584%25CF%2585%25CE%25BF%26start%3D60%26um%3D1%26hl%3Del%26sa%3DN%26ndsp%3D20%26tbs%3Disch:1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"></a><span style="font-size: small;"><br />
</span><br />
<span style="background-color: #9fc5e8;"><span style="font-size: small;">4. </span><a href="http://www.mathematics.gr/"><span style="color: blue; font-size: small;">http://www.mathematics.gr/</span></a></span><br />
<br />
<span style="font-size: small;">5. </span><a href="http://www.foundalis.com/dep/sci/E2A_gr.htm"><span style="font-size: small;">Ενδιαφέρουσα ιστοσελίδα ιστορίας της επιστήμης</span></a><span style="font-size: small;">.</span><br />
<br />
<span style="font-size: small;">6. </span><a href="http://www.angelfire.com/ab3/GIANNNO/edu/subject/math.htm"><span style="font-size: small;">Παρουσίαση σημαντικών ιστοσελίδων. Περιέχονται προσωπικές ιστοσελίδες μαθηματικών από διαφορετικά σχολεία της χώρας με σκήσεις , φυλλάδια , διαγωνίσματα και εφαρμογές σε Η/Υ.</span></a><br />
<br />
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><span style="color: blue; font-size: large;">6. ΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ </span></b><b><span style="color: blue; font-size: large;">ΤΜΗΜΑΤΑ</span></b><br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;"> ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΩΝ.</span></b><br />
<br />
<br />
1. <a href="http://www.math.uoa.gr/web/greek/">Μαθηματικό τμήμα Πανεπιστημίου Αθηνών.</a><br />
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
2.<a href="http://www.math.auth.gr/">Μαθηματικό τμήμα Αριστοτελείου Πανεπιστιμίου Θεσσαλονίκης</a>.<br />
<br />
<br />
3. <a href="http://www.math.uoi.gr/">Μαθηματικό τμήμα Ιωαννίνων</a>.<br />
<br />
<br />
4.<a href="http://www.math.upatras.gr/"> Μαθηματικό τμήμα Πατρών</a>.<br />
<br />
<br />
5. <a href="http://www.math.uoc.gr:1080/">Μαθηματικό τμήμα Κρήτης.</a><br />
<br />
<br />
6. <a href="http://www.math.aegean.gr/in/index.htm">Μαθηματικό τμήμα Πανεπιστιμίου Αιγαίου</a>.<br />
<br />
<br />
7. <a href="http://www.teipir.gr/index.php?option=com_virtuemart&page=shop.browse&category_id=11&Itemid=27&vmcchk=1&Itemid=27">Μαθηματκό τμήμα ΤΕΙ Πειραιά.</a><br />
<br />
<b><br />
</b><br />
<br />
<br />
<br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;">7. ΕΝΔΙΑΦΕΡΟΥΣΕΣ ΕΛΛΗΝΙΚΕΣ </span></b><br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;"> ΚΑΙ ΞΕΝΕΣ ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΕΣ</span></b><br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;"><br />
</span></b><br />
<br />
<a href="http://www.mathematica.gr/"><span style="background-color: #ffe599; color: #cc0000;"><b>http://www.mathematica.gr</b></span></a><br />
<br />
<a href="http://www.mathsforyou.gr/"><b><span style="background-color: #ffe599; color: #cc0000;">http://www.mathsforyou.gr</span></b></a><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;">8. ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΕΣ ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΕΣ</span></b><br />
<br />
<b><span style="color: blue;"> 1. <a href="http://www.e-paideia.net/"><span style="background-color: #ffe599; color: #cc0000;">http://www.e-paideia.net/</span></a></span></b><br />
<br />
2. <a href="http://www.edra.gr/"><span style="background-color: #ffe599; color: #cc0000;"><b>http://www.edra.gr/</b></span></a><span style="background-color: #ffe599; color: #cc0000;"><b>?</b></span><br />
<a href="https://www.blogger.com/blogger.g?blogID=7730717435979339231" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"></a><a href="https://www.blogger.com/blogger.g?blogID=7730717435979339231" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"></a><br />
3. <a href="http://www.pi-schools.gr/"><span style="background-color: #ffe599; color: #cc0000;"><b>http://www.pi-schools.gr/</b></span></a><span style="background-color: #ffe599; color: #cc0000;"><b>?</b></span><br />
<br />
<br />
<br />
9.<b><span style="color: blue; font-size: large;"> ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ.</span></b><br />
<br />
4.<span style="background-color: #ffe599; color: #cc0000;"> </span><a href="http://www.e-selides.gr/"><span style="background-color: #ffe599; color: #cc0000;"><b>http://www.e-selides.gr/</b></span></a><span style="background-color: #ffe599; color: #cc0000;"><b>?</b></span><br />
<br />
5. <span style="background-color: #ffe599;"><a href="http://www.ekp.gr/"><span style="color: #cc0000;"><b>http://www.ekp.gr/</b></span></a><span style="color: #cc0000;"><b>?</b></span></span><br />
<br />
<span style="background-color: #ffe599; color: #cc0000;">6..<span style="color: #cc0000;"><b> </b></span><a href="http://www.e-kimolia.gr/"><span style="color: #cc0000;"><b>http://www.e-kimolia.gr/</b></span></a></span><br />
<span style="background-color: #9fc5e8; color: blue;">( Kαλή εκπαιδευτική πύλη για τα μαθηματικά).</span><br />
<br />
<br />
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>10. MAΘΗΜΑΤΙΚΑ ΒΙΝΤΕΟ </b></span><br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><b> ΑΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΤΑΞΗ.</b></span><br />
<br />
<a href="http://www.teachers.tv/mathematics"><span style="background-color: #ffe599; color: #990000;"><b>http://www.teachers.tv/mathematics</b></span></a><br />
<span style="background-color: yellow; color: #cc0000; font-size: large;"></span></div>
<img src="http://t2.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcQ69xZi2Av4vnEQtoHmah4QBEZEGj7IpUpbQemuqsvKKFeVW3bc" height="24" style="filter: alpha(opacity=30); left: 98px; mozopacity: 0.3; opacity: 0.3; position: absolute; top: 7574px; visibility: hidden;" width="96" /></div>
<!-- Blogger automated replacement: "https://images-blogger-opensocial.googleusercontent.com/gadgets/proxy?url=http%3A%2F%2Fwww.homeschoolmath.net%2Freviews%2Fimages%2F6-leaved-pattern-sketchpad.gif&container=blogger&gadget=a&rewriteMime=image%2F*" with "https://lh3.googleusercontent.com/proxy/DbvpwmTikPFz4iCq8_RaZb94bj1_7IiWLJjrzNt4kYxAvKt64UBTcrU7AXD-JYW6tnpQzhV8ZCDWvKrZI6HNmu-SnUKE1e3DTtJF22yIpYRIpRkHVT2xphr_jPBm3pw" -->Αλέξανδρος Μόσχοςhttp://www.blogger.com/profile/04357778829560813366noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7730717435979339231.post-11642766188740941602011-01-22T15:38:00.000-08:002017-02-04T07:19:11.373-08:00 ΕΡΓΑΣΙΕΣ ΣΕ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ.<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://4.bp.blogspot.com/-2F1dJdK69C8/Uu08oTusecI/AAAAAAAAA1E/USI91M8RU80/s1600/slide-image-1.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="135" src="https://4.bp.blogspot.com/-2F1dJdK69C8/Uu08oTusecI/AAAAAAAAA1E/USI91M8RU80/s1600/slide-image-1.jpg" width="400" /></a></div>
<b><span style="color: blue;"><br /></span></b>
<b><span style="color: blue;"><br /></span></b>
<b><span style="color: blue;"><br /></span></b><br />
<div style="text-align: justify;">
<b><span style="color: blue;"><b><span style="color: blue;">Στο πρώτο μέρος θα βρείτε εργασίες που αφορούν θέματα γενικής διδακτικής μαθηματικών (θεωρίες μάθησης , ρεαλιστικά μαθηματικά , βιωματική μάθηση , ομαδοσυνεργατική μέθοδος διδασκαλίας).</span></b></span></b></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<b><span style="color: blue;">Στο δεύτερο μέρος υπάρχουν εργασίες ειδικής διδακτικής που ασχολούνται με ζητήματα διδακτικής προσέγγισης συγκεκριμένων μαθηματικών εννοιών στο γυμνάσιο και στο λύκειο.</span></b></div>
<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-weight: bold;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><span style="color: blue;">Ξεκινάμε με σταχυολογήματα από το βιβλίο :"Θεωρία και πράξη στη διδασκαλία των μαθηματικών" της Ε. Κολέζα εκδόσεων Τόπος 2009. Αποτελούν για μένα ένα χρήσιμο και πρακτικό οδηγό για το σχεδιασμό των δραστηριοτήτων και γενικά της διδασκαλίας στην τάξη.</span></b></div>
<br />
<b><span style="color: blue;"><br /></span></b>
<b><span style="color: blue;"><br /></span></b>
<span style="color: #cc0000;"><b><i>1.Φαινομενολογική προσέγγιση - </i><i>μαθηματική προσέγγιση- </i> <i>διδακτική προσέγγιση</i></b></span><br />
<b><br /></b>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<b>Μια διδακτική πρόταση , δηλαδή ένα σενάριο διδασκαλίας μιας μαθηματικής έννοιας ή διαδικασίας , είναι το προϊόν τριών μορφών προσέγγισης</b></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Μιας φαινομενολογικής προσέγγισης</div>
<div style="text-align: justify;">
Μιας μαθηματικής προσέγγισης</div>
<div style="text-align: justify;">
Μιας διδακτικής προσέγγισης.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Κατά τη <span style="color: #cc0000;"><i>φαινομενολογική προσέγγιση</i></span><i> </i>κάποια από τα ερωτήματα που πρέπει να τίθενται από το δάσκαλο είναι :</div>
<div style="text-align: justify;">
α. Για την οργάνωση ποιων φαινομένων δημιουργήθηκε η συγκεκριμένη έννοια , σε ποια φαινόμενα μπορεί να επεκταθεί;</div>
<div style="text-align: justify;">
β. Σε ποιες καταστάσεις της φύσης ή της καθημερινής ζωής υπεισέρχεται η έννοια;</div>
<div style="text-align: justify;">
γ. Ποια προβλήματα από την καθημερινή ζωή , ή από τον χώρο των άλλων επιστημών , μπορεί να αντιμετωπίσει η συγκεκριμένη έννοια;</div>
<div style="text-align: justify;">
δ. Πως συνδέεται αυτή η έννοια με άλλες από τα μαθηματικά ή από άλλες επιστήμες;</div>
<div style="text-align: justify;">
Σύμφωνα με τη φαινομενολογική προσέγγιση , η διδασκαλία ενός μαθηματικού αντικειμένου ξεκινάει ενσωματώνοντας εκείνα τα φαινόμενα από το φυσικό κόσμο, την καθημαερινότητα και τις άλλες επιστήμες που επιδέχονται οργάνωση μέσω της συγκεκριμένης έννοιας,</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Κατά τη <i><span style="color: #cc0000;">μαθηματική προσέγγιση</span></i> της διδασκαλίας , πρέπει να προηγείται η καθαρά μαθηματική της ανάλυση.Αυτή η ανάλυση μας επιτρέπει να εντάξουμε την συγκεκριμένη έννοια σε ένα πλέγμα εννοιών και να δημιουργήσουμε τις κατάλληλα επιγμένες ερωτήσεις , ασκήσεις και προβλήματα για την κατανόηση των εννοιών και τη σύνδεση μεταξύ τους.Κατά την μαθηματική προσέγγιση είναι σημαντικό να αναδειχθεί η γενικότερη μαθηματική δομή στην οποία εντάσσεται η έννοια και να επιδιωχθούν όλες οι δυνατές συνδέσεις μεταξύ των δομικά συσχετιζομένων εννοιών. Για παράδειγμα όταν στόχος της διασκαλίας είναι η έννοια του εμβαδού , πρέπει σε μια πρώτη φάση να διαχωρίσουμε την έννοια από τον αλγόριθμο εύρεσης του εμβαδού.Το εμβαδόν ως έννοια συνδέεται με την έννοια της μέτρησης επιφάνειας , στην ευρύτερη περιοχή των πολλαπλασιαστικών δομών.Επίσης συνδέεται με την επιλογή μονάδων μέτρησης και με την ανάδειξη λειτουργικών σχέσεων των εμβαδών διαφόρων σχημάτων ( ισεμβαδικότητα , προσθετικός κανόνας εμβαδών κ.α.).</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Κατά τη <span style="color: #cc0000;">διδακτική προσέγγιση</span> ο δάσκαλος καλείται να επιλέξει το θεωρητικό πλαίσιο αναφοράς για να σχεδιάσει τη διδασκαλία του.Θα μπορούσε να επιλέξει ένα συνδυασμό θεωρητικών πλαισίων.Τέτοια πλαίσια που αποσκοπούν στην διδακτική αποτελεσματικότητα θα μπορούσαν να αποτελέσουν πρακτικές εφαρμογές από την ρεαλιστική εκπαίδευση με βάση τη θεωρία των ρεαλιστικών μαθηματικών. Ακόμη με βάση την αρχή της "καθοδηγούμενης επανεύρεσης" σύμφωνα με την οποία οι μαθητές εμπλέκονται και ανακαλύπτουν βαθμιαία τα τυπικά αφηρημένα μαθηματικά που εμπεριέχονται σε μια κατάσταση.Επίσης η ομαδοσυνεργαστική συγκρότηση της τάξης αποτελεί μια διδακτική κατάσταση.</div>
<div style="text-align: justify;">
Βασική υποχρέωση του δασκάλου αποτελεί η επιλογή κατάλληλων δραστηριοτήτων ώστε οι μαθητές να μπορέσουν να κατασκευάσουν την έννοια ή τη διαδικασία.Επίσης η ενίσχυση των στρατηγικών των μαθητών, κατά τη φάση της διευρεύνυσης.Επίσης η ενίσχυση των μορφών επικοινωνίας.Πρέπει τέλος να αναδεικνύεται το κοινό χαρακτηριστικό των δραστηριοτήτων ώστε να διατυπώνεται και να συμβολίζεται η έννοια ή η διαδικασία.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-weight: bold;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><span style="color: #cc0000;">2. Οριζόντια και κατακόρυφη μαθηματικοποίηση - Αφαίρεση και ματάβαση στο αφηρημένο.</span></b></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Τα μαθηματικά είναι η επιστήμη των δομών.Άρα η διδασκαλία τους στοχεύει στην κατανόηση αυτών των δομών μέσω των αντίστοιχων νοητικών σχημάτων. Οι μαθηματικές έννοιες κατασκευάζονται ως δομές μέσω μιας διαδικασίας αφαίρεσης. Με βάση αυτή οι εμπειρίες συνδέονται μεταξύ τους μέσα από τις ομοιότητες που εμπεριέχουν.Έτσι :</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
α. Στην πρώτη φάση αναγνωρίζονται τα κοινά χαρακκτηριστικά γνωρίσματα σε ποικίλες και διαφορετικές καταστάσεις.</div>
<div style="text-align: justify;">
β. Μετά η αναγνωριζόμενη ως ομοιότητα αφαιρείται από τις πραγματικές συνιστώσες και αναγνωρίζεται ως ένα αυτόνομο αφηρημένο οικοδόμημα.</div>
<div style="text-align: justify;">
γ. Τελικά το αυτόνομο αυτό αντικείμενο μεταστοιχειώνεται σε μαθηματική έννοια.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-weight: bold;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
Η κατασκευή του μαθηματικού αντικειμένου είναι μια διαδικασία μετάβασης από μια λειτουργική σε μια δομική αντίληψη του αντικειμένου.Οι μαθηματικοί καλούνται να απογυμνώσουν τα αντικείμενα από κάθε αισθητό , από οποιεσδήποτε πρακτικές και αισθητές προσμίξεις.Μέσω της μαθηματικής αφαίρεσης αφαιρούνται όλα αυτά τα άχρηστα υλικά και απομένει το αντικείμενο στην αφηρημένη δομή του.Μιλάμε για την μετάβαση στο αφηρημένο μέσω μιας διαδικασίας αφαίρεσης.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Σε σχέση με το προηγούμενο θεωρητικό πλαίσιο η οργάνωση της διδασκαλίας γίνεται σε τρία στάδια.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
α. Ανάπτυξη διαδικασιών , προβλημάτων και δραστηριοτήτων οικεία προς την καθημερινότητα μέσω των οποίων λειτουργεί το νεοπαραγόμενο μαθηματικό αντικείμενο.Καλούμαστε να αναδείξουμε δράσεις και επαναδράσεις για να διαφανεί η πολλαπλότητα λειτουργίας της μαθηματικής έννοιας σε διαφορετικά πραγματιστικά πλαίσια.</div>
<div style="text-align: justify;">
β. Ανάδειξη της ομοιότητας , των κοινών χαρακτηριστικών , της ίδιας δομής που υπάρχουν στα διφορετικά αυτά πλαίσια.Η σκόρπια γνώση ματατρέπεπαι σε μια σταθερή και επαναλαμβανόμενη δομή με σαφή και οριοθετημένα χαρακτηριστικά.</div>
<div style="text-align: justify;">
γ. Επικύρωση της δομής που παράχθηκε ως αυτόνομο μαθηματικό αντικείμενο με επιστημολογικά πλέον στοιχεία.Τελικά διατυπώνεται και συμβολίζεται η δομή αυτή με μαθηματικούς όρους.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Το πρώτο βήμα της διαδικασίας αυτής καλείται <i><b><span style="color: #cc0000;">οριζόντια μαθηματικοποίηση.</span> </b></i>Οι μαθητές διαπραγματεύονται σκόρπιες δράσεις χωριστά τη μία από την άλλη σε οριζόντιο επίπεδο.Το δεύτερο στάδιο συνίσταται στην αναγνώριση των δομικών ομοιότήτων των παραπάνω δράσεων και στην κατασκευή ενός νοητικού αντικειμένου κοινού σε όλες τις δραστηριότητες.Τα δύο τελευταία στάδια λοιπόν αποτελούν την<b><i><span style="color: #cc0000;"> κατακόρυφη μαθηματικοποίηση</span></i></b> γιατί προϋποθέτουν την κατακόρυφη σύγκριση των δράσεων για να αναγνωρισθεί η δομική ομοιότητά τους.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Δηλαδή η οριζόντια μαθηματικοποίηση αφορά την περιγραφή του πραγματικού πλαισίου του μαθηματικού προβλήματος και η κατακόρυφη μαθηματικοποίηση ως η περαιτέρω επεξεργασία του μαθηματικού θέματος.Στόχος της κατακόρυφης μαθηματικοποίσηης μέσα από την αναγνώριση της κοινής αφηρημένης δομής είναι η μεταστοιχείωσή της σε μαθηματικό αντικείμενο. Απαιτεί τη διαδικασία της αφαίρεσης και της μετάβασης στο αφηρημένο.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #cc0000;"><b><i>3. H μαθηματική ικανότητα</i></b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Η μαθηματική ικανότητα συγκροτείται από πέντε επιμέρους στοιχεία :</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Εννοιολογική κατανόηση</div>
<div style="text-align: justify;">
Διαδικαστική άνεση</div>
<div style="text-align: justify;">
Στρατηγική ικανότητα</div>
<div style="text-align: justify;">
Προσαρμοστικός συλλογισμός</div>
<div style="text-align: justify;">
Παραγωγική διάθεση.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><i><span style="color: #cc0000;">Εννοιολογική κατανόηση.</span></i></b> Ο όρος δηλώνει την κατανόηση των μαθηματικών εννοιών των διαδικασιών και των σχέσεων.Ένας σημαντικός δείκτης της εννοιολογικής κατανόησης είναι η ικανότητα κάποιου να αναπαριστά τις μαθηματικές καταστάσεις με διαφορετικούς τρόπους και να γνωρίζει πως οι διαφορετικές αναπαραστάσεις μπορούν να είναι χρήσιμες για διαφορετικούς λόγους.</div>
<div style="text-align: justify;">
Η εννοιολογική κατανόηση αναφέρεται σε μια ολοκληρωμένη και λειτουργική σύλληψη των μαθηματικών ιδεών.Μαθητές με εννοιολογική κατανόηση ξέρουν περισσότερα από μεμονωμένα γεγονότα και μεθόδους.Η διευκρίινιση των ορισμών είναι μια καλή δραστηριότητα που οδηγεί στην εννοιολογική κατανόηση.Επίσης η επιλογή των εντελώς απαραίτητων ιδιοτήτων που απαιτούνται στην λύση ενός προβλήματος.Η διαδικασία ανάπτυξης και διατύπωσης επιχειρημάτων ενισχύει την εννοιολογική κατανόηση.Η διαδιακασία αυτή παρακινείται μέσα από :</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
α. Συζήτηση ακραίων περιπτώσεων.</div>
<div style="text-align: justify;">
β. Έλεγχο μιας υπόθεσης με διάφορα παραδείγματα.</div>
<div style="text-align: justify;">
γ. Ανάδειξη των κοινών δομικών χαρακτηριστικών σε επιφανειακά διαφορετικά παραδείγματα.</div>
<div style="text-align: justify;">
δ. Διατύπωση ορισμών.</div>
<div style="text-align: justify;">
ε. Στην εύρεση γενικευμένων παραδειγμάτων ή ειδικών περιπτώσεων.</div>
<div style="text-align: justify;">
στ. Στην διερεύνηση μιας απόφανσης ή μιας λύσης.</div>
<div style="text-align: justify;">
ζ. Στην αναζήτηση αντιπαραδειγμάτων.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Κατανοώ σημαίνει έχω αφομοιώσει σε ένα κατάλληλο σχήμα σε μια γνωστική δομή.Η αφομοίωση αναφέρεται στη χρήση ενός υπάρχοντος σχήματος ,ενός δικτύου συνδεόμενων ιδεών. Κατ΄επέκταση η αφομοίωση των πληροφοριών σε ένα ακατάλληλο σχήμα θα καταστήσει την αφομοίωση των μεταγενέστερων ιδεών δυσκολότερη και σε μερικές περιπτώσεις αδύνατη.Η κατανόηση μπορεί να θεωρηθεί ως το μέτρο της ποιότητας και της ποσότητας των συνδέσεων που έχει μια ιδέα με τις υπάρχουσες ιδέες.Εξαρτάται δηλαδή από τη ύπαρξη των κατάλληλων ιδεών και τις προϋποθέσεις δημιουργίας νέων συνδέσεων.Η κατανόηση ενός ατόμου εξελίσσεται κατά μήκους ενός συνεχούς που στη μια άκρη είναι αυτό που ονομάζουμε<span style="color: #cc0000;"> <b style="font-style: italic;">συσχετιστική κατανόηση </b></span>και στην άλλη την <b><i><span style="color: #cc0000;">εργαλειακή κατανόηση</span></i></b>. Όταν ρωτάμε :"Το ξέρει ο μαθητής;" αναφερόμαστε στην εργαλειακή κατανόηση της ιδέας ως ένα απλό εργαλείο μαθηματικών.Όταν ρωτάμε :"Πόσο καλά το έχει κατανοήσει" αναφερόμαστε στην συσχετιστική κατανόηση.Την κατανόηση δηλαδή των μεγάλων ιδεών που δημιουργεί δίκτυα αλληλοσυσχετισμένων εννοιών. Είναι δηλαδή ο μαθητής σε θέση να προσεγγίζει την νέα έννοια με όλες και όσες άλλες μαθηματικές έννοιες με τις οποίες μπορεί να συνδεθεί και να συσχετιστεί στην θεωρία ή στην επίλυση προβλημάτων.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><i><span style="color: #cc0000;">Διαδικαστική άνεση</span></i></b> . Ο όρος δηλώνει την δεξιότητα στην εκτέλεση διαδικασιών , τεχνικών μεθόδων , αλγοριθμικών βημάτων ευέλικτα με ακρίβεια και αποτελεσματικότητα. Η γνώση για παράδειγμα των βημάτων επίλυσης μιας πρωτοβάθμιας εξίσωσης απαιτεί διαδικαστική άνεση ώστε ευέλικτα και αποτελεσματικά να μπορεί ο μαθητής να εκτελεί τα αλγοριθμικά βήματα που του διδάσκουμε.Μπορεί να μην κατανοεί γιατί τα κάνει ή που αποσκοπούν , στερείται δηλαδή εννοιολογικής κατανόησης εξασκείται όμως στην ικανότητα να αναπαράγει με ακρίβεια την τεχνική μέθοδο. Ο μαθητής είναι σε θέση να υπολογίζει εμβαδά σχημάτων μέσα από τους τύπους τους ( αλγοριθμική διαδικασία ) αλλά ίσως δεν κατανοεί σε βάθος την έννοια του εμβαδού ως μέτρηση επιφάνειας.Η μαθηματική ικανότητα που στηρίζεται σε ένα μόνο από τα δύο πόδια την εννοιολογική κατανόηση ή στην διαδικαστική άνεση είναι ανάπηρη.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><i><span style="color: #cc0000;">Στρτηγική ικανότητα.</span></i></b> Πρόκειται για την ικανότητα διατύπωσης αναπαράστασης και σχεδιαμού επίλυσης μαθηματικών προβλημάτων.Επίσης για την επιλογή της κατάλληλης στρατηγικής ή της καλύτερης αναπαράστασης ή της καλύτερης συμβολικής έκφρασης. Η στρατηγική ικανότητα με άλλα λόγια σχετίζεται με την επίλυση των προβλημάτων , με την κατάστρωση ενός σχεδίου επίλυσης , με την αναζήτση της βέλτιστης λύσης ή της λύσης με ποικίλους τρόπους.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><i><span style="color: #cc0000;">Προσαρμοστικός συλλογισμός.</span></i></b>Ο όρος δηλώνει την ικανότητα για λογική σκέψη , για αναστοχασμό , επεξήγηση , δικαιόλόγηση , αποδεικτική μέθοδο , επιχειρηματολογία.Περιλαμβάνει δηλαδή την τυπική μαθηματική εξήγηση , την δυνατότητα αποδεικτικών συλλογισμών και διαδικασιών. Ο συστηματικός δομημένος συλλογισμός είναι ιδιαίτερο χαρακτηριστικό γνώρισμα των μαθηματικών.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><i><span style="color: #cc0000;">Παραγωγική διάθεση.</span></i></b>Ο όρος δηλώνει την θετική στάση των μαθηματικών ως χρήσιμων και σημαντικών.Συνδέεται με μια πεποίθηση ως προς την αποτελεσματικότητά τους.Είναι δηλαδή η ικανότητα να βλέπεις ότι τα μαθηματικά είναι χρήσιμα και σημαντικά.Με την παραγωγική διάθεση αναδεικνύουμε την χρησιμότητα και την χρηστικότητα των μαθηματικών στη ζωή μας και ενισχύουμε την ικανότητα να χρησιμοποιούμε την μαθηματική γνώση σε καθημερινές πρακτικές καταστάσεις.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-weight: bold;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><i><span style="color: #cc0000;">4. Tα είδη κριτικής σκέψης.</span></i></b></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Κριτική σκέψη είναι η νοητική διαδικασία ενεργού πρόσληψης ανάλυσης , σύνθεσης , αξιολόγησης κια εφαρμογής πληροφοριών που παράγονται από παρατήρηση , εμπειρία , αναστοχασμό , συλλογισμό ή επικοινωνία και που λειτουργεί ως οδηγός για διαμόρφωση απόψεων και στάσεων για δράση. Πρόκειται για μια διανοητική διαδικασία εκτίμησης της αυθεντικότητας , της ακρίβειας ή της αξίας ενός γεγονότος που χαρακτηρίζεται από την ικανότητα επιδίωξης αιτιολογήσεων και εναλλακτικών προτάσεων, την ικανότητα αντίληψης της συνολικής κατάστασης και την ευελιξία στην αλλαγή άποψης με βάση συγκεκριμένα στοιχεία.</div>
<div style="text-align: justify;">
Έχει υποδειχθεί η αξία της διδασκαλίας κριτικών δεξιοτήτων όπως ο συλλογισμός , η λήψη απόφασης , η επίλυση προβλήματος.Τίθεται το ζήτημα ότι η κριτική σκέψη πρέπει να διδαχθεί ως ανεξάρτητη σειρά μαθημάτων ( διδασκαλία της κριτικής σκέψης).Ο στόχος μιας τέτοιας διδασκαλίας είναι να αποκτήσουν οι μαθητές κριτικό πνεύμα , μια διάθεση δηλαδή να σκέφτονται κριτικά σε ένα ευρύ φάσμα περιπτώσεων.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><i><span style="color: #cc0000;">Είδη κριτικής σκέψης.</span></i></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><i><span style="color: #cc0000;">α. Λήψη απόφασης.</span></i></b>Πρόκειται για την αντιπαράθεση μεταξύ διάφορων αναλύσεων και η τελική επιλογή της λύσης που οδηγεί σύντομα και αποτελεσματικά στη λύση του προβλήματος που μας απασχολεί.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><i><span style="color: #cc0000;">β. Στρατηγική ικανότητα.</span></i></b> Πρόκειται για την ικανότητα κατάστρωσης ενός σχεδίου ή ανάπτυξης μιας στρατηγικής για την επιλυση ενός προβλήματος.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><i><span style="color: #cc0000;">γ. Γενίκευση - Ειδίκευση</span></i></b>. Πρόκειται για για την εξέταση ειδικών περιπτώσεων ή την γενίκευση τους.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><i><span style="color: #cc0000;">δ. Τεκμηρίωση συμπερασμάτων.</span></i></b>Πρόκειται για την ανάπτυξη συλλογισμών και επιχειρημάτων για την δικαιολόγηση συμπερασμάτων.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><i><span style="color: #cc0000;">ε. Υπολογιστική κριτική σκέψη. </span></i></b>Αφορά όλες τις αλγοριθμικές διαδικασίες και τεχνικές μεθόδους επίλυσης στα μαθηματικά.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><i><span style="color: #cc0000;">στ. Μεταφραστική. </span></i></b>Καλύπτει τις δραστηριότες μετάφρασης μιας μορφής αναπαράστασης σε μια άλλη. Π,χ μετάφραση ενός πίνακα τιμών μιας συνάρτησης σε γραφική παράσταση , από λεκτική διατύπωση στον τύπο της ή από γραφική παράσταση σε πίνακα τιμών και στον τύπο.Άλλο παράδειγμα η μετάφραση από γλωσσική διατύπωση σε συμβολική μαθηματική έκφραση και αντίστροφα.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><i><span style="color: #cc0000;">ζ. Ομαδοποίησης.</span></i></b> Απαιτεί ταξινόμηση σύμφωνα με κάποιο κριτήριο.Π.χ αναζητούμε τετράπλευρα που είναι ισοσκελή τραπέζια στηριζόμενοι στις ιδιότητες ( κριτήρια) τους.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><i><span style="color: #cc0000;">η. Προβλεπτική</span></i></b>.Καλύπτει δραστηριότητες που ενεργοποιούν την ικανότητα του μαθητή για εικασίες και πρόβλεψη.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><i><span style="color: #cc0000;">θ. Ευρετική.</span></i></b> Καλύπτει δραστηριότητες που απαιτούν διερεύνηση , εξέταση επιμέρους περιπτώσεων , διατύπωση και έλεγχο υποθέσεων κ.α.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><i><span style="color: #cc0000;">ι. Δημιουργική.</span></i></b> Πρόκειται για δραστηριότητες που απαιτούν φαντασία , πρωτοτυπία και δημιουργία μέσω προσωπικού στυλ.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-weight: bold;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<b style="color: #cc0000;"><i>5. Είδη νοημοσύνης και γνωστικές διαδικασίες.</i></b></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Κατά την ταξινόμηση του Bloom οι <span style="color: #cc0000;"><b><i>γνωστικές διαδικασίες</i></b></span> με τις οποίες εμπλέκεται ένας μαθητής στα μαθηματικά είναι να μπορεί να :</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<i><b><span style="color: #cc0000;">α. Κατανοεί</span></b>.</i> Η κατανόηση χωρίζεται σε γνώση γεγονότων όταν αναφέρεται στην μαθηματική γνώση με τη μορφή γενικών πληροφοριών σαν εγκυκλοπαιδικές γνώσεις.Επίσης σε εννοιολογική και τέλος διαδικαστική γνώση όπως είδαμε προτύτερα στην περιγραφή της μαθηματικής ικανότητας.</div>
<div style="text-align: justify;">
<b><i><span style="color: #cc0000;">β. Εφαρμόζει </span></i></b>αυτά που κατανόησε σε μια πληθώρα περιπτώσεων που αυτό είναι εφικτό και απαραίτητο.</div>
<div style="text-align: justify;">
<b><i><span style="color: #cc0000;">γ. Αναλύει</span></i></b> τη γνώση που κατανόησε στα νοητικά βήματα που την απαρτίζουν.</div>
<div style="text-align: justify;">
<b><i><span style="color: #cc0000;">δ. Συνθέτει</span></i></b> τη γνώση από τα επιμέρους δομικά της βήματα.</div>
<div style="text-align: justify;">
<b><i><span style="color: #cc0000;">ε. Αξιολογεί </span></i></b>σε ποιες περιπτώσεις είναι χρήσιμη και αναγκαία η χρήση της γνώσης σε συγκεκριμένα προβλήματα.</div>
<div style="text-align: justify;">
<b><i><span style="color: #cc0000;">στ Δημιουργεί</span></i></b> γενικεύσεις και πρωτότυπες ιδέες με βάση τη γνώση που κατανόησε.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Σύμφωνα με τη θεωρία πολλαπλής νοημοσύνηςτου Gardner οι άνθρωποι μαθαίνουν με διαφορετικό τρόπο. Συγκεκριμένα μέσω οκτώ τύπων νοημοσύνης.Άλλοι μέσω αφήγησης ιστοριών , άλλοι ποσοτικά μέσω αριθμητικών δεδομένων , άλλοι αισθητικά μέσω μορφών τέχνης όπως η κίνηση , ο χορός ή η μουσική κ.α , άλλοι πρακτικά μέσω παρκτικών δραστηριοτήτων άλλοι κοινωνικά μέσω της ένταξης σε μια ομάδα.</div>
<div style="text-align: justify;">
Ιδιαίτερη αναφορά θα κάνουμε στη θεωρία για τις 3 νοημοσύνες του R.obert Sternberg</div>
<div style="text-align: justify;">
<b><i><span style="color: #cc0000;">Αναλυτική νοημοσύνη :</span></i></b> Θέλετε να ξέρετε τις πιο μικρές λεπτομέρειες για κάθε θέμα.</div>
<div style="text-align: justify;">
<b><i><span style="color: #cc0000;">Πρακτική νοημοσύνη </span></i></b>: Θέλετενα ξέρετε γιατί είναι σημαντικό και χρήσιμο αυτό που μαθαίνεται</div>
<div style="text-align: justify;">
<b><i><span style="color: #cc0000;">Δημιουργική νοημοσύνη: </span></i></b>Αισθάνεσθαι καλά όταν μπορείτε να ενσωματώνεται τη γνώση με το προσωπικό πρωτότυπο χώρο της φαντασίας μέσω της τέχνης ή γενικά της δημιουργίας.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Ο δάσκαλος πρέπει να γνωρίζει ότι κάθε μαθητής μαθαίνει με διαφορετικό τρόπο και ότι οι γνωστικές διαδικασίες που καλείται να έρθει σε επαφή δεν είναι μονοσήμαντες. Έτσι η κατάστρωση δραστηριοτήτων που λαμβάνει υπόψιν αυτή τη διαφορετικότητα είναι απαραίτητη για μια επιτυχή κατανόηση στη διδασκαλία των μαθηματικών. Ποτείνεται η χρήση βιωματικών δράσεων , ελευθερία της φαντασίας του μαθητή , δημιουργίας, σύνδεσης με την ιστορία των μαθηματικών και με τη τέχνη. Ακόμη η εμπλοκή των μαθητώσν σε διαδιικασίες εφαρμογής , ανάλυσης και σύνθεσης της γνώσης.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-weight: bold;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-weight: bold;"><br /></span></div>
<b><br /></b>
<b><span style="color: blue;"><br /></span></b>
<br />
<span style="color: #990000; font-size: large;"><b><span style="background-color: orange;">ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ : ΕΡΓΑΣΙΕΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ</span>.</b></span><br />
<span style="color: #990000; font-size: large;"><b><br /></b></span>
<br />
<div style="font-family: 'Droid Sans', 'Trebuchet MS', Verdana, sans-serif; line-height: 21px; text-align: justify;">
<b style="font-family: arial, sans-serif; line-height: 24px; text-indent: 36px;"><span style="color: #990000; font-size: large;">Θεωρίες μάθησης.</span></b></div>
<div style="font-family: 'Droid Sans', 'Trebuchet MS', Verdana, sans-serif; line-height: 21px; text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "droid sans" , "trebuchet ms" , "verdana" , sans-serif;"><span style="line-height: 21px;"><b>Συμπεριφορισμός</b></span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "droid sans" , "trebuchet ms" , "verdana" , sans-serif;"><span style="line-height: 21px;"><br /></span></span><span style="font-family: "droid sans" , "trebuchet ms" , "verdana" , sans-serif;"><span style="line-height: 21px;">Σύμφωνα με τους οπαδούς του συμπεριφορισμού (ή μπιχεβιορισμού - behaviorism), δεν </span></span><span style="font-family: "droid sans" , "trebuchet ms" , "verdana" , sans-serif; line-height: 21px;">έχουν σημασία οι εσωτερικές διεργασίες που λαμβάνουν χώρα κατά τη διάρκεια της </span><span style="font-family: "droid sans" , "trebuchet ms" , "verdana" , sans-serif; line-height: 21px;">μάθησης, αλλά οι αλλαγές που συμβαίνουν στην εμφανή συμπεριφορά του υποκειμένου, </span><span style="font-family: "droid sans" , "trebuchet ms" , "verdana" , sans-serif; line-height: 21px;">στο τι δηλαδή μπορεί να κάνει ο μαθητευόμενος ως αποτέλεσμα της κατάλληλης </span><span style="font-family: "droid sans" , "trebuchet ms" , "verdana" , sans-serif; line-height: 21px;">οργάνωσης του περιβάλλοντος της μάθησης. </span><span style="font-family: "droid sans" , "trebuchet ms" , "verdana" , sans-serif; line-height: 21px;">Ο σημαντικότερος μηχανισμός της μάθησης είναι, κατά τους συμπεριφοριστές, η </span><span style="font-family: "droid sans" , "trebuchet ms" , "verdana" , sans-serif; line-height: 21px;">ενίσχυση της επιθυμητής συμπεριφοράς (Ράπτης, Ράπτη 2001). Κλασικό παράδειγμα είναι </span><span style="font-family: "droid sans" , "trebuchet ms" , "verdana" , sans-serif; line-height: 21px;">το γνωστό πείραμα του Pavlov. Ο Ρώσος φυσιολόγος Pavlov έδινε τροφή σε ένα σκύλο </span><span style="font-family: "droid sans" , "trebuchet ms" , "verdana" , sans-serif; line-height: 21px;">καθημερινά, αφού χτυπούσε ένα καμπανάκι. Η προσφορά, δηλαδή, τροφής συνοδευόταν </span><span style="font-family: "droid sans" , "trebuchet ms" , "verdana" , sans-serif; line-height: 21px;">από ένα συγκεκριμένο ήχο. Μετά από πολλές επαναλήψεις της ίδιας διαδικασίας, ο </span><span style="font-family: "droid sans" , "trebuchet ms" , "verdana" , sans-serif; line-height: 21px;">Pavlov παρατήρησε πως ο σκύλος, μόλις άκουγε το γνωστό -πλέον- ήχο, είχε έκκριση </span><span style="font-family: "droid sans" , "trebuchet ms" , "verdana" , sans-serif; line-height: 21px;">σάλιου. </span><br />
<span style="font-family: "droid sans" , "trebuchet ms" , "verdana" , sans-serif; line-height: 21px;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "droid sans" , "trebuchet ms" , "verdana" , sans-serif;"><span style="line-height: 21px;"><b>Κοινωνικοπολιτισμικές θεωρήσεις για τη γνώση</b></span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "droid sans" , "trebuchet ms" , "verdana" , sans-serif;"><span style="line-height: 21px;"><br /></span></span><span style="font-family: "droid sans" , "trebuchet ms" , "verdana" , sans-serif;"><span style="line-height: 21px;">Σε αντίθεση με την ατομοκεντρική θεωρία του εποικοδομητισμού, άλλοι επιστήμονες, με </span></span><span style="font-family: "droid sans" , "trebuchet ms" , "verdana" , sans-serif; line-height: 21px;">πρωτοπόρο το Ρώσο Vygotsky, έχουν υποστηρίξει μια κοινωνικοκεντρική θεώρηση της </span><span style="font-family: "droid sans" , "trebuchet ms" , "verdana" , sans-serif; line-height: 21px;">ανάπτυξης, με βάση την οποία τονίζεται ο ρόλος που παίζουν οι κοινωνικο πολιτιστικοί </span><span style="font-family: "droid sans" , "trebuchet ms" , "verdana" , sans-serif; line-height: 21px;">παράγοντες στη γένεση της γνώσης και την πορεία μάθησης και ανάπτυξης του ατόμου. </span><span style="font-family: "droid sans" , "trebuchet ms" , "verdana" , sans-serif; line-height: 21px;">Πρόκειται για μια σύγχρονη κατεύθυνση που είναι γνωστή ως κοινωνικο-πολιτιστική </span><span style="font-family: "droid sans" , "trebuchet ms" , "verdana" , sans-serif; line-height: 21px;">προσέγγιση, κατά την οποία η προσωπική σκέψη οικοδομείται με βάση την κοινωνική </span><span style="font-family: "droid sans" , "trebuchet ms" , "verdana" , sans-serif; line-height: 21px;">αλληλεπικοινωνία. </span><span style="font-family: "droid sans" , "trebuchet ms" , "verdana" , sans-serif; line-height: 21px;">Σύμφωνα με τον Vygotsky, η νοητική ανάπτυξη είναι μια διαδικασία άρρηκτα </span><span style="font-family: "droid sans" , "trebuchet ms" , "verdana" , sans-serif; line-height: 21px;">συνδεδεμένη με την ιστορικοκοινωνική διάσταση και το πολιτισμικό πλαίσιο μέσα στο </span><span style="font-family: "droid sans" , "trebuchet ms" , "verdana" , sans-serif; line-height: 21px;">οποίο συντελείται. Η ανάπτυξη επιτυγχάνεται όχι μόνο χάρις στον έμφυτο νοητικό </span><span style="font-family: "droid sans" , "trebuchet ms" , "verdana" , sans-serif; line-height: 21px;">εξοπλισμό του κάθε ατόμου, αλλά και εξαιτίας της διαμεσολάβησης των κοινωνικών </span><span style="font-family: "droid sans" , "trebuchet ms" , "verdana" , sans-serif; line-height: 21px;">γεγονότων και των πολιτιστικών εργαλείων (όπως είναι η γλώσσα), καθώς και της </span><span style="font-family: "droid sans" , "trebuchet ms" , "verdana" , sans-serif; line-height: 21px;">εσωτερίκευσης των σημασιών με τις οποίες είναι φορτισμένα αυτά τα πολιτισμικά μέσα </span><span style="font-family: "droid sans" , "trebuchet ms" , "verdana" , sans-serif; line-height: 21px;">και εργαλεία. ...</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "droid sans" , "trebuchet ms" , "verdana" , sans-serif; line-height: 21px;"><br /></span><span style="font-family: "droid sans" , "trebuchet ms" , "verdana" , sans-serif;"><span style="line-height: 21px;"><b>Διερευνητική (ή ανακαλυπτική) μάθηση</b></span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "droid sans" , "trebuchet ms" , "verdana" , sans-serif; line-height: 21px;"><br /></span><span style="font-family: "droid sans" , "trebuchet ms" , "verdana" , sans-serif;"><span style="line-height: 21px;">Στη σύγχρονη εποχή η προσπάθεια του μαθητή για ανακάλυψη ή διερεύνηση των </span></span><span style="font-family: "droid sans" , "trebuchet ms" , "verdana" , sans-serif; line-height: 21px;">γνώσεων συστηματοποιήθηκε, οργανώθηκε και τεκμηριώθηκε κυρίως μέσα από τις </span><span style="font-family: "droid sans" , "trebuchet ms" , "verdana" , sans-serif; line-height: 21px;">θέσεις του Jerome Bruner. Οι Ράπτης και Ράπτη (Ράπτης, Ράπτη, 2001) αναφέρουν ότι ο </span><span style="font-family: "droid sans" , "trebuchet ms" , "verdana" , sans-serif; line-height: 21px;">Bruner ανήκει στην κατηγορία των γνωστικών ψυχολόγων της μάθησης, που δίνει </span><span style="font-family: "droid sans" , "trebuchet ms" , "verdana" , sans-serif; line-height: 21px;">έμφαση στη διευκόλυνση της μάθησης μέσα από την κατανόηση των δομών και των </span><span style="font-family: "droid sans" , "trebuchet ms" , "verdana" , sans-serif; line-height: 21px;">επιστημονικών αρχών ενός αντικειμένου και των τρόπων του σκέπτεσθαι του </span><span style="font-family: "droid sans" , "trebuchet ms" , "verdana" , sans-serif; line-height: 21px;">μαθητευόμενου, καθώς και στην υιοθέτηση της ανακαλυπτικής μεθόδου, ή της </span><span style="font-family: "droid sans" , "trebuchet ms" , "verdana" , sans-serif; line-height: 21px;">καθοδηγούμενης ανακάλυψης με την ανάπτυξη εσωτερικών κινήτρων μάθησης από </span><span style="font-family: "droid sans" , "trebuchet ms" , "verdana" , sans-serif; line-height: 21px;">μέρους του μαθητευόμενου. ...</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "droid sans" , "trebuchet ms" , "verdana" , sans-serif; line-height: 21px;"><br /></span></div>
<div style="font-family: 'Droid Sans', 'Trebuchet MS', Verdana, sans-serif; line-height: 21px; text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="-webkit-text-stroke-width: 0px; color: black; font-family: 'Droid Sans', 'Trebuchet MS', Verdana, sans-serif; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: 21px; orphans: auto; text-align: justify; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px;">
<div style="margin: 0px;">
<span style="color: #990000;"> <a href="https://drive.google.com/file/d/0BxbKSKHiz6zadWMtbjNOSWZ2NVU/edit?usp=sharing">Περισσότερα</a> </span><br />
<span style="color: #990000;"><br /></span>
<span style="color: #990000;"><br /></span><br />
<span style="color: #990000;"><br /></span>
<span style="color: #990000;"><br /></span></div>
</div>
<div style="border: 0px; margin-bottom: 1.429em; outline: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">
<div align="center" class="MsoNormal" style="font-family: arial, sans-serif; line-height: 24px; margin-bottom: 10px; margin-top: 10px; text-align: center;">
<span style="clear: left; font-family: "verdana"; font-size: large; font-weight: 700; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><span style="clear: left; color: #990000; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"> <a href="http://1.bp.blogspot.com/-LTXeq9Qoxu8/Uu088GWpEJI/AAAAAAAAA1M/9sdZl4hlvuE/s1600/didactics.gif" imageanchor="1" style="clear: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><span style="color: #990000;">Γνωστικές Θεωρίες Μάθησης</span></a></span></span>
<br />
<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://1.bp.blogspot.com/-LTXeq9Qoxu8/Uu088GWpEJI/AAAAAAAAA1M/9sdZl4hlvuE/s1600/didactics.gif" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"></a><a href="https://1.bp.blogspot.com/-LTXeq9Qoxu8/Uu088GWpEJI/AAAAAAAAA1M/9sdZl4hlvuE/s1600/didactics.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="282" src="https://1.bp.blogspot.com/-LTXeq9Qoxu8/Uu088GWpEJI/AAAAAAAAA1M/9sdZl4hlvuE/s1600/didactics.gif" width="400" /></a></div>
</div>
<div align="center" class="MsoNormal" style="font-family: arial, sans-serif; line-height: 24px; margin-bottom: 10px; margin-top: 10px; text-align: center;">
<span style="font-family: "verdana"; font-weight: 700;"><span style="color: #990000;"><br /></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: arial, sans-serif; line-height: 24px; margin: 10px 0cm; text-indent: 36px;">
<span style="font-family: "verdana";">«Η Γνωστική Ψυχολογία είναι εκείνος ο κλάδος της πειραματικής ψυχολογίας ο οποίος ασχολείται με τις δομές και τις διαδικασίες του ανθρωπίνου πνεύματος. [ ] Πέρα απ αυτό οι περισσότεροι γνωστικοί ψυχολόγοι της εποχής μας κατανοούν το ανθρώπινο γνωστικό σύστημα ως ένα σύστημα επεξεργασίας πληροφοριών».</span></div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: arial, sans-serif; line-height: 24px; margin: 10px 0cm; text-indent: 36px;">
<span style="font-family: "verdana";">Για τις γνωστικές θεωρίες, η μάθηση δεν είναι διαδικασία και αποτέλεσμα εξάρτησης, όπως στο συμπεριφορισμό, αλλά αποτέλεσμα ενεργού επεξεργασίας πληροφοριών με βάση τις ενδιάμεσες γνωστικές λειτουργίες του ατόμου, οι οποίες παρεμβάλλονται ανάμεσα στις πληροφορίες του περιβάλλοντος (ερέθισμα) και στις αντιδράσεις του ατόμου. Η γνώση δε, δεν είναι «συσσώρευση» εμπειρίας, αλλά αποτέλεσμα ενεργούς αντιπαράθεσης του οργανισμού με την εμπειρία, δια της οποίας το άτομο, με δημιουργικές δραστηριότητες μέσα στο φυσικό και κοινωνικό του περιβάλλον την οικοδομεί. Η μάθηση, υπό το πρίσμα αυτό συνίσταται στην τροποποίηση γνώσεων που ήδη προϋπάρχουν.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: arial, sans-serif; line-height: 24px; margin: 10px 0cm; text-indent: 36px;">
<span style="font-family: "verdana";">Σημαντικό ρόλο λοιπόν για τις γνωστικές θεωρίες παίζει η δομή και η λειτουργία του γνωστικού συστήματος, σε αντίθεση με τις συμπεριφοριστικές που εστιάζουν στην παρατηρούμενη εξωτερική συμπεριφορά. (Μπασέτας 2002 σελ. 189-191, Κόμης 2004 σελ. 83).</span></div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: arial, sans-serif; line-height: 24px; margin: 10px 0cm; text-indent: 36px;">
<span style="font-family: "verdana";">Στα πλαίσια των γνωστικών θεωριών εντάσσονται πολλές και διαφορετικές προσεγγίσεις, οι οποίες πάντως «συμφωνούν» στον κεντρικό άξονα που αναφέρθηκε παραπάνω και είναι σύμφωνες με αρχές της ερμηνευτικής ή σχετικιστικής σχολής σκέψης, σύμφωνα με την οποία η επιστήμη δεν είναι δυνατό να βρει λύσεις στα ανθρώπινα προβλήματα χωρίς τη διαμεσολάβηση της αξιολογικής και πολιτικής κριτικής. [ ] Στο κέντρο της αντίληψης αυτής υπάρχουν πάντα η σχετικότητα, η πολυσημία, η ολικότητα και επιλεκτικότητα της αντίληψης των φαινομένων και της εμπειρίας και ο τελολογικός χαρακτήρας [ ] (Ράπτης, Ράπτη 2007, σελ. 86)</span></div>
<div align="center" class="MsoNormal" style="font-family: arial, sans-serif; line-height: 24px; margin: 10px 0cm; text-align: center; text-indent: 36px;">
<br /></div>
<div align="center" class="MsoNormal" style="font-family: arial, sans-serif; line-height: 24px; margin: 10px 0cm; text-align: center;">
<b><span style="font-family: "verdana";">Αναπτυξιακή Γνωστική Θεωρία της Μάθησης του </span><span lang="EN-US" style="font-family: "verdana";">Piaget</span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: arial, sans-serif; line-height: 24px; margin: 10px 0cm; text-indent: 36px;">
<span style="font-family: "verdana";"><br />Το πρότυπο των διαδικασιών και λειτουργιών της γνωστικής προσαρμογής </span><span style="font-family: "verdana";">Η αναπτυξιακή γνωστική θεωρία της μάθησης, η οποία αναφέρεται και ως δομικός εποικοδομισμός, είναι η θεωρία που ανέπτυξε σε μια μακρά περίοδο μελετών (60 χρόνων) ο Ελβετός βιολόγος (αρχικά) και ψυχολόγος Jean Piaget, στον οποίο εξάλλου οφείλεται και ο όρος εποικοδομιστική επιστημολογία (1967).</span><br />
<span style="font-family: "verdana";">Άξονες της θεωρίας του Piaget είναι:</span></div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: arial, sans-serif; line-height: 24px; margin: 10px 0cm; text-indent: 36px;">
<span style="font-family: "verdana";">· ο εξελικτικός χαρακτήρας της νοητικής ανάπτυξης, η οποία είναι στενά </span><br />
<span style="font-family: "verdana";"> συνδεδεμένη με τη βιολογική ωρίμανση</span><br />
<span style="font-family: "verdana";">Είναι φανερή από τα παραπάνω η βιολογική αφετηρία της σκέψης του Piaget, αφού σημαντικό ρόλο στην ανάπτυξη της νοημοσύνης του ατόμου παίζει η βιολογική του ωρίμανση. Η διαδοχική δε, μετάβαση από το ένα στο άλλο εξελικτικό στάδιο έχει να κάνει με την οικοδόμηση των νοητικών δομών, που όπως θα δούμε προϋποθέτει ότι θεμελιώνονται σε ήδη υπάρχουσες.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="font-family: arial, sans-serif; line-height: 24px; margin: 10px 0cm; text-indent: 36px;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: 24px; margin: 10px 0cm; text-indent: 36px;">
<span style="color: #990000; font-family: "verdana";"> <a href="https://drive.google.com/file/d/0BxbKSKHiz6zaUDJMMFFoazJFMVU/edit?usp=sharing"><span style="color: #990000;">Περισσότερα</span></a></span></div>
<br /><br /><span style="color: blue; font-size: large;"><b>Τρεις σχολές για την οµαδοσυνεργατική διδασκαλία <br /></b></span><br /><div style="text-align: justify;">
<a href="http://economu.files.wordpress.com/2011/01/dewi.jpg"><img src="https://lh3.googleusercontent.com/proxy/fH_60G8HikHeqfFRhrMVpOJJjLcfI8Ty4GQRCHf2f1Yh7SDY14NBAIh3xmln2PP-49mIUycF5-BBV2w0Dut6RM2ffKLoCqHBbNRJsN4" /></a>Η σχολή του Dewey και των άλλων εκπροσώπων της Νέας Αγωγής, εισηγήθηκαν και εφάρμοσαν την οµαδοσυνεργατική διδασκαλία για δύο βασικούς λόγους: διότι προωθούσε τηνκοινωνικοποίηση του ατόµου και τον εκδηµοκρατισµό της κοινωνίας και, διότι εξασφάλιζε µε αυθεντικό τρόπο συνθήκες βιωµατικής µάθησης, την οποία θεωρούσαν ως τη µόνη αξιόλογη µορφή µάθησης (Καµαρινού 2000, 24). </div>
<div style="text-align: justify;">
∆εύτερη µεγάλη σχολή θεωρητικής στήριξης της οµαδοσυνεργατικής διδασκαλίας είναι ηκοινωνική ψυχολογία, η οποία διαπιστώνει ότι, για να ξεπερασθούν οι κοινωνικές προκαταλήψεις και επιθέσεις προς τους «διαφορετικούς», όπως είναι οι αλλοδαποί, οι έγχρωµοι και τα άτοµα µε ειδικές ανάγκες, είναι ανάγκη από πολύ νωρίς να εξασφαλισθούν συνθήκες φυσικής και ισότιµης αλληλεπικοινωνίας µαζί τους. Πρωτοπόρος αυτής της θεωρητικής κατεύθυνσης υπήρξε ο G. Allport (1954/1979) και συνεχιστές του όσοι προσπαθούν σήµερα να εντάξουν οµαλά και δηµιουργικά την κάθε λογής ανοµοιογένεια του µαθητικού δυναµικού µε τη βοήθεια οµαδο-συνεργατικών σχηµάτων οργάνωσης της σχολικής ζωής. </div>
<div style="text-align: justify;">
Τρίτη κατά χρονική σειρά σχολή στήριξης στο οµαδοσυνεργατικό κίνηµα αποτελεί οκλάδος της κοινωνικής ψυχολογίας που ασχολείται µε τη δυναµική των οµάδων (group dynamics) και µελετά την πορεία ανάπτυξης της οµάδας, τις δοµές της, τις επιπτώσεις της οµάδας στα µέλη της και, τέλος, τη συµπεριφορά της οµάδας έναντι άλλων οµάδων. Πρωτοπόρος στον τοµέα αυτόν υπήρξε ο Κ. Lewin (1951) και σύγχρονοι εκπρόσωποι οι Johnson και Johnson (1994). Τέλος, µια τέταρτη σχολή στήριξης στο οµαδοσυνεργατικό κίνηµα αποτελεί η ψυχολογία της γνωστικής ανάπτυξης και κυρίως εκείνο το τµήµα της, που έχει έντονους επιστηµολογικούς προβληµατισµούς για τη φύση της γνώσης και, βεβαίως, για τις συνθήκες και τις διαδικασίες της µάθησης και της ανάπτυξης. Κύριοι εκπρόσωποι αυτής της κατεύθυνσης, που είναι γνωστή ως (κοινωνικός) εποικοδοµητισµός (social constractivism), θεωρούνται οι J. Piaget και L. Vygotsky. </div>
<div style="text-align: justify;">
[Το κείµενο αυτό παρουσιάστηκε στο ∆ιήµερο Επιστηµονικό Συµπόσιο:"Η εφαρµογή της οµαδοκεντρικής διδασκαλίας-Τάσεις και εφαρµογές" που έγινε στη Θεσσαλονίκη, 8-9 ∆εκεµβρίου 2000 ]</div>
</div>
<span style="color: #990000;"><b><span style="font-size: large;"> </span><a href="https://drive.google.com/file/d/0BxbKSKHiz6zaNVlFalpDWFVxbVE/edit?usp=sharing"><span style="color: #990000;">Περισσότερα</span></a></b></span><span style="color: #990000; font-size: large;"><b> </b></span><br />
<span style="color: #990000; font-size: large;"><b><br /></b></span>
<span style="color: #990000; font-size: large;"><b><br /></b></span><span style="color: #990000; font-size: large;"><b><br /></b></span>
<span style="color: #990000; font-size: large;"><b>ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΜΑΔΟΣΥΝΕΡΓΑΤΙΚΗΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ.</b></span><br />
<span style="color: #990000; font-size: large;"><b><br /></b></span>
Δρ. Μ. Χιονίδου-Μοσκοφόγλου<br />
Παιδαγωγικό Ινστιτούτο<br />
<br />
<br />
Ως ομαδο-συνεργατική μάθηση θεωρούμε εκείνη κατά την οποία οι μαθητές/τριες εργάζονται μαζί σε ομάδα των 2 έως 5 ατόμων, όπου κάθε μέλος συμμετέχει στη λύση ενός κοινού θέματος χωρίς την άμεση επέμβαση του εκπαιδευτικού. Η σύνθεση της ομάδας δεν είναι τυχαία, αλλά προκαθορισμένη από τον εκπαιδευτικό. Οι έρευνες για την ομαδο-συνεργατική μάθηση και διδασκαλία άρχισαν από το 1929 (Maller18), ενώ οι σύγχρονες αναφέρονται στη συνεισφορά της στο χώρο της μάθησης και συγκεκριμένα στη βελτίωση της επίδοσης, στην καλλιέργεια «υψηλού επιπέδου» γνωστικής διαδικασίας, στην ενεργητική μάθηση, στην παροχή ισότητας ευκαιριών στους μαθητές, στην κοινωνική συμπεριφορά, στην αποδοχή ατόμων διαφορετικής εθνικότητας, φυλής και φύλου, στο διάλογο και στη διαχείριση της ετερογένειας της τάξης.<br />
<span style="color: #cc0000; font-size: large; font-weight: bold;"> </span><a href="https://drive.google.com/file/d/0BxbKSKHiz6zaUzVkd19WNVFGSEU/edit?usp=sharing"><span style="color: #990000;">Περισσότερα.</span></a><br />
<span style="font-size: large;"><span style="color: #cc0000;"><b><br /></b></span></span>
<span style="font-size: large;"><span style="color: #cc0000;"><b><br /></b></span></span>
<br />
<div>
<span class="ff2 cf3 fs36" style="color: #990000; font-size: large;"><b>Ρεαλιστικά μαθηματικά.</b></span><br />
<span class="ff2 cf0 fs28"></span><span class="fs28 cf0 ff2"><b><br /></b>Τα ρεαλιστικά μαθηματικά είναι μια θεωρία διδασκαλίας και μάθησης, η θεμελίωση της οποίας βασίστηκε στη φιλοσοφική θεώρηση του Freudenthal το 1973 ότι: " τα μαθηματικά είναι μια ανθρώπινη δραστηριότητα (βλ. [1]), άρα πρέπει:</span></div>
<ul style="text-align: justify;">
<li><div style="text-align: left;">
<span class="fs28 ff2 cf0">να συνδέονται με την πραγματικότητα.</span></div>
</li>
</ul>
<ul style="text-align: justify;">
<li><div style="text-align: left;">
<span class="fs28 ff2 cf0">να έχουν σχέση με την κοινωνία.</span></div>
</li>
</ul>
<ul style="text-align: justify;">
<li><div style="text-align: left;">
<span class="fs28 ff2 cf0">να είναι βατά στους μαθητές".</span></div>
</li>
</ul>
<div>
<span class="fs28 ff2 cf0"><br /></span><span class="ff2 cf0 fs28">Το μοντέλο διδασκαλίας των ρεαλιστικών μαθηματικών που έθεσε τις βάσεις για ριζική αναθεώρηση των στόχων, του αναλυτικού προγράμματος, των βιβλίων, των διδακτικών μεθόδων, της θέσης και του ρόλου των μαθητών και του εκπαιδευτικού, βασίστηκε:</span></div>
<ul style="text-align: justify;">
<li><div style="text-align: left;">
<span class="fs28 ff2 cf0">στην οικοδόμηση της γνώσης πάνω στα άτυπα μοντέλα των μαθητών.</span></div>
</li>
</ul>
<ul style="text-align: justify;">
<li><div style="text-align: left;">
<span class="fs28 ff2 cf0">στην καθοδηγούμενη προσωπική ανακάλυψη από τους μαθητές των μαθηματικών εννοιών και δομών.</span></div>
</li>
</ul>
<ul style="text-align: justify;">
<li><div style="text-align: left;">
<span class="fs28 ff2 cf0">στην ομαδική διδασκαλία με αλληλεπίδραση στην τάξη.</span></div>
</li>
</ul>
<ul style="text-align: justify;">
<li><div style="text-align: left;">
<span class="fs28 ff2 cf0">στον καθοδηγητή εκπαιδευτικό που διαθέτει ποικίλες εναλλακτικές στρατηγικές στο ρεπερτόριό του.</span></div>
</li>
</ul>
<div style="text-align: justify;">
<span class="fs28 ff2 cf0"><br /></span><span class="ff2 cf0 fs28">Η ρεαλιστική μαθηματική εκπαίδευση, όσον αφορά τη διαδικασία μάθησης, βασίζεται σε τρεις διδακτικές αρχές (μαθαίνω μαθηματικά σημαίνει κάνω μαθηματικά, ο τρόπος μάθησης είναι προσωπικός, η μάθηση γίνεται με συγκεκριμένη σειρά) και πέντε μαθηματικές αρχές (που αναφέρονται στη δόμηση του περιεχομένου των μαθηματικών, τη μαθηματική γλώσσα, τη χρησιμότητα, την ισχύ τους, την προσέγγισή τους).<br /><br />Ο Freudenthal το 1973 αναρωτιέται: Πώς να παρουσιάσουμε στους μαθητές μια δραστηριότητα, ώστε να έχει νόημα γι' αυτούς, δηλαδή να έχει την αίσθηση της πραγματικότητας; (βλ. [1]). Επομένως, σημαντικό ρόλο εδώ παίζει το πλαίσιο μέσα στο οποίο διατυπώνεται ένα πρόβλημα και η μαθηματική και διδακτική δραστηριότητα για την επίλυσή του.<br /><br />Η μαθηματική δραστηριότητα έχει να κάνει με την οργάνωση των δραστηριοτήτων των μαθητών κατά την επίλυση του προβλήματος, όπως η εύρεση ομοιοτήτων -<wbr></wbr> διαφορών, η εύρεση μέσω επαγωγικού συλλογισμού κρυφών δομών, ο συμβολισμός, η απόδειξη, η γενίκευση λύσεων, οι διαφορετικές λύσεις, οι ορισμοί των εννοιών, η χρήση μοντέλων, η αιτιολόγηση, η δημιουργία αλγόριθμου κ.λπ.<br /><br />Η διδακτική δραστηριότητα έχει να κάνει με το τυπικό που ακολουθείται, όπως ατομική ή ομαδική εργασία, αλληλοβοήθεια, διατύπωση και συζήτηση των προσεγγίσεων, καλύτερη – συντομότερη -<wbr></wbr>προτιμότερη λύση κ.λπ. και με το ρόλο του δασκάλου να ζητά αιτιολόγηση, να συζητά προσεγγίσεις και στρατηγικές, να παρακινεί και, τέλος, να καθορίζει κριτήρια αξιολόγησης.<br /><br />Ο Freudenthal το 1983 ισχυρίζεται ότι η ρεαλιστική μαθηματική εκπαίδευση δε χρησιμοποιεί την πραγματικότητα μόνο για εφαρμογές, αλλά η πραγματικότητα αποτελεί πηγή σχηματισμού εννοιών. Η μαθηματική δομή αντλείται από τα πραγματικά φαινόμενα, δηλαδή η πραγματικότητα είναι στερεά βάση για τη διαδικασία της μάθησης και όχι μετέπειτα πεδίο εφαρμογής της γνώσης (βλ. [2]).<br /><br />Όπως καταλαβαίνουμε από τα παραπάνω, το πλαίσιο μέσα στο οποίο υπάρχουν εν δυνάμει μαθηματικές έννοιες έχει ανυπολόγιστη αξία στη ρεαλιστική εκπαίδευση, αφού αποτελεί αιτία δημιουργίας μαθηματικών προβλημάτων και δεν είναι απλό ένδυμα ενός "καθαρού" μαθηματικού προβλήματος. Το βασικότερο κριτήριο για την επιλογή πλαισίου είναι οι μαθηματικές ιδιότητες που περικλείει καθώς και οι δυνατότητες ανάλυσης και επεξεργασίας που μας παρέχει.<br /><br />Στο σύνολό τους οι μαθητές βλέπουν τα μαθηματικά ως κάτι το δύσκολο, το απλησίαστο και το σοβαρό που με κανένα τρόπο δεν μπορεί να κατέβει στο επίπεδο ενός παιχνιδιού και επομένως, επειδή στην ηλικία τους το κάθε τι το αντιμετωπίζουν ως παιχνίδι, τα μαθηματικά δεν έχουν θέση στον περίγυρό τους και στη ζωή τους. Στην πράξη αποδεικνύεται ότι πρέπει ο εκπαιδευτικός να αλλάξει τρόπο και μέθοδο διδασκαλίας και αυτό απαιτεί την αλλαγή της φιλοσοφίας του. Σίγουρα αποτελεί εμπόδιο γι' αυτόν ο τρόπος που τον δίδαξαν οι δάσκαλοί του, καθώς νομίζει ότι βαδίζοντας στα χνάρια τους οδηγείται σε ασφαλή και απάνεμα διδακτικά λιμάνια. Ως μαθητής κρεμόταν απ' τα χείλη του δασκάλου του, όταν μιλούσε, τώρα όμως καταλαβαίνει ότι πρέπει αυτός να τρέχει πίσω απ' τους μαθητές του, για να τους κινητοποιήσει και να τους κάνει να τον παρακολουθήσουν. Απόλυτη λύση στο πρόβλημα δεν υπάρχει. Μια απ' τις εφικτές λύσεις είναι αυτή που περιορίζει ακόμη περισσότερο τον εξωσχολικό του χρόνο, του αφαιρεί τον πρώτο ρόλο στη διδασκαλία στην τάξη, αλλά ταυτόχρονα τον απαλλάσσει απ' το άγχος, του αποκαθιστά την ψυχική, ίσως και τη σωματική, υγεία του που διαταράσσονταν μετά από κάθε διδακτική ώρα (ανάλογα βέβαια και με την ποιότητα του τμήματος που είχε) και, το κυριότερο, παρόλο που τον κάνει κομπάρσο της διδακτικής διαδικασίας, παράλληλα του δίνει το ρόλο του καθοδηγητή, του διευκολυντή και του επικυρωτή της γνώσης σε ένα διερευνητικό και ανακαλυπτικό περιβάλλον μάθησης.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
Η αξία του εισαγωγικού ρεαλιστικού προβλήματος για τον ορισμό μιας νέας μαθηματικής έννοιας έχει επισημανθεί κι όχι άδικα στην διδακτική των μαθηματικών. Καταφέρνει να συνδέσει την έννοια με την πραγματικότητα και να αναδείξει την αναγκαιότητα εισαγωγής της. Δεν πετυχαίνουμε βέβαια να βρούμε πάντοτε ένα διδακτικά κατάλληλο πρόβλημα για το σκοπό αυτό.Παρουσιάζω παρακάτω εισαγωγικά - ρεαλιστικά προβλήματα σε διάφορες μαθηματικές ενότητες που κρίνω ότι ανταποκρίνονται πετυχημένα στον προορισμό τους.<br />
<br />
<br /></div>
<div>
<br /></div>
<span style="font-size: large;"><span style="color: #cc0000;"><b><br /></b></span></span>
<span style="font-size: large;"><span style="color: #cc0000;"><b><span style="background-color: orange;">ΜΕΡΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ : ΕΡΓΑΣΙΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ.</span></b></span></span><br />
<span style="color: #cc0000; font-size: large;"><span style="color: black; font-size: small;"><br /></span></span>
<span style="color: #cc0000; font-size: large;"><span style="color: black; font-size: small;"><br /></span></span>
<span style="color: #cc0000; font-size: large;"><span style="color: black; font-size: small;"><br /></span></span>
<span style="font-size: large;"><span style="color: #cc0000;"><b>ΚΛΑΣΜΑΤΑ, ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΚΑΙ ΠΟΣΟΣΤΑ</b></span></span><br />
<br />
<span style="font-size: small;">Η έννοια του ρητού αριθμού είναι μια από τις πιο σημαντικές έννοιες των<br /> μαθηματικών, διδάσκεται στους μαθητές από την αρχή του Δημοτικού σχολείου. Οι ρητοί αριθμοί χρησιμοποιούνται ευρέως στην καθημερινή ζωή των ανθρώπων. Οι έρευνες όμως σε μαθητές τόσο του Δημοτικού σχολείου όσο και του Γυμνασίου δείχνουν ότι παρουσιάζονται πολλά λάθη στη χρήση των ρητών αριθμών. Για παράδειγμα, πολλοί μαθητές όταν θέλουν να προσθέσουν κλάσματα όπως, 2/3+ ½, προσθέτουν τους αριθμητές και τους παρονομαστές. Επίσης δηλώνουν ότι μεταξύ του 1,4 και 1,5 δεν υπάρχει κανένας αριθμός. Προφανώς, στα παραπάνω λάθη οδηγούνται οι μαθητές εξαιτίας του γεγονότος ότι χειρίζονται τους κλασματικούς ή τους δεκαδικούς αριθμούς με τη λογική των ακεραίων. Θεωρούν δηλαδή τον αριθμητή και τον παρονομαστή ως ανεξάρτητες και όχι ως συσχετισμένες οντότητες και έτσι στην πρόσθεση κλασμάτων προσθέτουν τους αριθμητές και τους παρονομαστές. Επίσης λένε ότι δεν υπάρχει κάποιος αριθμός μεταξύ του 1,4 και 1,5 διότι μεταξύ των<br />ακεραίων αριθμών 4 και 5 δεν υπάρχει κάποιος αριθμός. Μια άλλη πιθανή αιτία από την οποία προέρχονται οι δυσκολίες που αντιμετωπίζουν οι άνθρωποι με τους ρητούς αριθμούς είναι το γεγονός ότι, σε αντίθεση με τους φυσικούς αριθμούς, οι ρητοί δεν προκύπτουν μέσα από μια φυσική διαδικασία σκέψης, αλλά είναι ένα σύστημα κοινωνικά κατασκευασμένο και επικυρωμένο που ικανοποιεί συγκεκριμένες ανάγκες. Αυτό εξάλλου το δείχνει, η καθυστερημένη εμφάνιση των αριθμών αυτών με το σημερινό συμβολισμό, στην ιστορία των μαθηματικών.</span><br />
<br />
<span style="color: red;"><a href="https://drive.google.com/file/d/0BxbKSKHiz6zabDdpSDFQeXNmcXc/edit?usp=sharing"> Περισσότερα.</a></span><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<b><span style="font-size: large;"><span style="color: red;"> ΓΙΑΤΙ ΟΙ ΜΑΘΗΤΕΣ ΔΥΣΚΟΛΕΥΟΝΤΑΙ ΣΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ;</span></span></b><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<i><b><span style="color: red;"> <span style="font-size: small;"><span style="color: black;">Αθανάσιος Γαγάτσης, Κύπρος Ιωάννου,<br />Ανδρούλα Σιημητρά- Κωνσταντίνου, Όλγα Χριστοδουλίδου<br />Τμήμα Επιστημών της Αγωγής, Πανεπιστήμιο Κύπρου</span></span></span></b></i></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: red;"><span style="font-size: small;"><span style="color: black;"><i><b></b></i><br /><b>ΠΕΡΙΛΗΨΗ</b><br /><i>Οι ρητοί αριθμοί αποτελούν θεμελιώδη μαθηματική έννοια. Κατά συνέπεια ένα μεγάλο<br />μέρος του αναλυτικού προγράμματος των μαθηματικών της πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης<br />στις περισσότερες χώρες, αφορά τη διδασκαλία των θετικών ρητών αριθμών. Παρά την<br />έμφαση που δίνεται στα αναλυτικά προγράμματα, οι ρητοί αριθμοί αποτελούν έννοια που<br />δύσκολα κατανοούν οι μαθητές. Αυτό φαίνεται από τις επιδόσεις των μαθητών σε<br />σχετικές ασκήσεις αλλά και από τα αποτελέσματα πολλών ερευνητικών εργασιών.<br />Ειδικότερα στην εργασία αυτή παρουσιάζονται ορισμένες δυσκολίες των μαθητών για την<br />κατανόηση και μάθηση της έννοιας του κλάσματος. Με βάση ένα πολυδιάστατο μοντέλο<br />ερμηνείας των δυσκολιών μάθησης που βασίζεται σε δυσκολίες διδακτικής,<br />επιστημολογικής και αναπαραστατικής φύσης.</i></span></span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: red;"><span style="font-size: small;"><span style="color: black;"><br /></span></span></span><b><span style="color: red;"><span style="font-size: small;"><span style="color: black;">1. Εισαγωγή</span></span></span></b><br />
<span style="color: red;"><span style="font-size: small;"><span style="color: black;">Παρ’ όλο που στην πρωτοβάθμια εκπαίδευση σημαντικό μέρος του χρόνου </span></span></span>διδασκαλίας αφιερώνεται στη διδασκαλία των κλασμάτων και γενικά των ρητών αριθμών εν τούτοις με βάση τα αποτελέσματα αξιολογήσεων τα κλάσματα είναι μια δύσκολη έννοια που δύσκολα κατανοούν οι μαθητές ((Brousseau, Brousseau & Warfield, 2004; Kieren, 1993; Lamon, 1999; Carpenter, Corbitt, Kepner, Lindquist, & Reys, 1981; Carpenter, Lindquist, Brown, Kouba, Silver, & Swaffort, 1988; Traverς, & Westbury, 1990. Στο: Γαγάτσης, Μιχαηλίδου, Σιακαλλή, 2001). Σύμφωνα με τους ερευνητές , υπάρχουν πολλοί λόγοι για τους οποίους οι μαθητές δυσκολεύονται στην κατανόηση των κλασμάτων. Οι δυσκολίες των μαθητών οφείλονται από τη μια στη φύση των κλασμάτων και από την άλλη στον τρόπο διδασκαλίας τους. Στην εργασία αυτή αρχικά σκιαγραφείται μια ιστορική αναδρομή με βάση την επιστημολογική εξέλιξη και τη χρήση των κλασμάτων με αναφορά σε τέσσερις χρονικές περιόδους. Στη συνέχεια παρουσιάζεται η έννοια του κλάσματος με βάση το θεωρητικό μοντέλο που περιλαμβάνει τις πέντε διαστάσεις του κλάσματος όπως τις εισηγήθηκαν διάφοροι ερευνητές: α) το κλάσμα ως μέρος όλου β) το κλάσμα ως λόγος γ) το κλάσμα ως μέτρο δ) το κλάσμα ως διαίρεση και ε) το κλάσμα ως πολλαπλασιαστής. Παρουσιάζονται επίσης ο ρόλος των αναπαραστάσεων στη διδασκαλία των κλασμάτων καθώς και διάφορα λάθη των μαθητών που σχετίζονται με τα κλάσματα.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"> <a href="https://drive.google.com/file/d/0BxbKSKHiz6zaZVNWTUdBNy0zdjA/edit?usp=sharing"><span style="color: red;"> Περισσότερα</span></a></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><br /></span>
<span style="font-size: small;"><br /></span>
<span style="font-size: large;"><span style="color: red;"><b>Λανθασμένες αντιλήψεις των μαθητών σχετικά με τη σύγκριση των κλασμάτων και επιδράσεις </b></span></span><b style="color: red; font-size: x-large;">διάφορων εξωτερικών </b><br />
<b style="color: red; font-size: x-large;">αναπαραστάσεων.</b><br />
<span style="font-size: small;"><br />Χρήστος Παντσίδης<br />Μόνιμος Καθηγητής Μαθηματικών Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης<br />M.ed. στη Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών Πανεπιστημίου Αθηνών</span><br />
<span style="font-size: small;"><br /></span>
<b><span style="font-size: small;">Εισαγωγή</span></b><br />
<span style="font-size: small;"><br />Η κατανόηση των κλασμάτων από τους μαθητές είναι μια περιοχή έρευνας στον τομέα της μαθηματικής εκπαίδευσης που έχει απασχολήσει την κοινότητα της Διδακτικής των Μαθηματικών εδώ και πολλές δεκαετίες και πρόσφατα παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον. Αυτό το ενδιαφέρον έχει παραγάγει έναν πλούτο πληροφοριών που συνδέονται με τις πράξεις και τις αναπαραστάσεις των κλασμάτων από τους μαθητές, την πολυπλοκότητα της έννοιας του κλάσματος, των δυσκολιών των μαθητών και των υποδείξεων σχετικά με τον τρόπο με τον οποίο μπορούμε να προσεγγίσουμε τα κλάσματα με τη διδασκαλία στην τάξη (Behr, Harel, Post & Lesh,1992). Η αρχική ανάπτυξη της έννοιας του κλάσματος περιλαμβάνει συνήθως δραστηριότητες με συγκεκριμένα αντικείμενα και γεωμετρικές μορφές (π.χ. κυκλικά διαγράμματα-μοίρασμα πίτας, διαχωρισμό ορθογώνιων παραλληλογράμμων-κομμάτια σοκολάτας κ.τ.λ.). Οι μαθητές κατασκευάζουν διαφορετικά είδη νοητικών αναπαραστάσεων από οποιαδήποτε δραστηριότητα εκμάθησης στο σχολείο αλλά και από δραστηριότητες της καθημερινής ζωής. Μέσα από τις δραστηριότητες αυτές αναμένεται να οδηγηθούν αφαιρετικά στην επιστημονική έννοια του κλάσματος, του πηλίκου, της αναλογίας, του αριθμού και των συμβόλων μαθηματικών πράξεων. Διάφορες έρευνες μας παρέχουν πλήθος πληροφοριών που συνδέονται με αυτή την αφαίρεση, που δείχνει τη γνωστική άδηλη (implicit) μετατόπιση στο να κάνουμε μαθηματικά και να καταλαβαίνουμε τα μαθηματικά (Dreyfus, Hershkovitz & Schwartz, 1997). Η αφαίρεση των μαθηματικών κατασκευών από συγκεκριμένες καταστάσεις θεωρείται μια σημαντική έκβαση της μαθηματικής εκμάθησης. Εντούτοις, το άτομο πρέπει να αναγνωρίσει-προσδιορίσει τις ίδιες τις έννοιες, τις δομές και τις σχέσεις από πολλές διαφορετικές αλλά δομικά παρόμοιες εργασίες (Dreyfus, Hershkovitz & Schwartz, 1997· Charles & Nason, 2000). Η απουσία τέτοιας αναγνώρισης μπορεί να οδηγήσει μόνο σε μια απλή ολοκλήρωση ενός στόχου στα μαθηματικά και στην επιφανειακή αποστήθιση της διαδικασίας ή της δραστηριότητας (Bereiter, 1994).</span><br />
<a href="https://drive.google.com/file/d/0BxbKSKHiz6zaTW42NVE5dk5pT3c/edit?usp=sharing"><span style="color: red;"> </span></a><br />
<span style="color: red;"> </span><span style="color: #990000;"> </span><a href="https://drive.google.com/file/d/0BxbKSKHiz6zaTW42NVE5dk5pT3c/edit?usp=sharing"><span style="color: #990000;"> Περισσότερα</span><span style="color: red;">.</span></a><br />
<span style="font-size: small;"><br /></span>
<span style="font-size: small;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: #cc0000;"> Ένα Διαφορετικό Πλαίσιο Διδασκαλίας της Έννοιας της</span></b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: #cc0000;"> Αναλογίας</span></b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><br />Μοδεστίνα Μοδέστου* & Αθανάσιος Γαγάτσης**</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><br />*Παιδαγωγικό Ινστιτούτο Κύπρου</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><br />**Τμήμα Επιστημών της Αγωγής, Πανεπιστήμιο Κύπρου</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><br /><b>Περίληψη</b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><br /><i>Βασικός σκοπός του άρθρου αυτού είναι να προτείνει ένα πλαίσιο διδασκαλίας της έννοιας της αναλογίας, το οποίο να βασίζεται στο συγκερασμό της θεωρίας, και άρα των αποτελεσμάτων σύγχρονων ερευνών γύρω από τη συγκεκριμένη έννοια, με την πράξη. Η επιβεβαίωση ενός μοντέλου περιγραφής της μαθηματικής αναλογικής σκέψης με τρεις πτυχές ανατρέπει τον παραδοσιακό τρόπο διδασκαλίας της έννοιας της αναλογίας, και καθορίζει μια διαφορετική διδακτική προσέγγιση του θέματος. Βασικό χαρακτηριστικό της προσέγγισης αυτής είναι η αναγνώριση μιας θεμελιώδους πτυχής της μαθηματικής αναλογικής σκέψης, η οποία αφορά στην ικανότητα ανάλυσης των ποσοτήτων σε μια προβληματική κατάσταση, για να διαπιστωθεί πρώτιστα κατά πόσο υπάρχει ανάμεσά τους αναλογική σχέση.</i></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><br />Θεωρητικό και Ερευνητικό Υπόβαθρο<br />Ο αναλογικός συλλογισμός αποτελεί έναν από τους πιο σημαντικούς μηχανισμούς της γνωστικής ανάπτυξης του ατόμου. Ως επαγωγικός μηχανισμός, σχετίζεται άμεσα με τη δημιουργία και την τροποποίηση των γνωστικών δομών του ατόμου, μέσω της αναθεώρησης των υπαρχόντων κανόνων και της δημιουργίας νέων κανόνων (Holland, Holyoak, Nisbett, & Thagard, 1989). Το γεγονός αυτό καθιστά τον αναλογικό συλλογισμό αναγκαίο για την κατανόηση και ερμηνεία άγνωστων εννοιών, αλλά και για την ανάπτυξη της κριτικής σκέψης και την επίλυση προβλήματος (Goswami, 1992).<br />Ο αναλογικός συλλογισμός, δεν μπορεί παρά να αποτελεί στοιχείο απαραίτητο και για την επιστήμη των μαθηματικών. Ήδη, ξεκινώντας από τα παλαιότερα χρόνια, ο αναλογικός συλλογισμός αποτελεί ένα σημαντικό μαθηματικό εργαλείο για το χειρισμό καταστάσεων σε διάφορα πεδία της ανθρώπινης ενασχόλησης (Freudenthal, 1973). Η φύση αυτού του «εργαλείου» έχει διπλό ρόλο. Από τη μια, χρησιμοποιώντας την αποκλειστικά αναλογική του πτυχή, μπορεί να αποτελέσει στοιχείο κλειδί στη διαχείριση προβληματικών καταστάσεων με τη μεταφορά ήδη υπάρχουσας γνώσης και δεξιοτήτων σε καινούρια έργα, που παρουσιάζουν δομικές ομοιότητες με τα προηγούμενα. Από την άλλη, η μαθηματική πτυχή του αναλογικού συλλογισμού είναι απαραίτητη για την επίλυση μαθηματικών προβλημάτων αναλογίας, όπου πρέπει να εντοπιστεί η δομική ομοιότητα ανάμεσα στους αριθμούς και τα δεδομένα της προβληματικής κατάστασης.<br />Στις μέρες μας δίνεται μεγάλη έμφαση στις αναλογικές σχέσεις μέσα από τα αναλυτικά προγράμματα των μαθηματικών τόσο της Δημοτικής όσο και της Μέσης Εκπαίδευσης (Υπουργείο Παιδείας και Πολιτισμού, 1996). Η έννοια της αναλογίας υπάρχει μέσα σε όλο το μαθηματικό οικοδόμημα, ξεκινώντας από την ιδέα της μέτρησης ποσοτήτων, την έννοια των λόγων και την εφαρμογή της μεθόδου του εσωτερικού γινομένου στο Δημοτικό σχολείο και επεκτείνεται στη γραμμική άλγεβρα και τη χρήση των γραμμικών μοντέλων στον απειροστικό λογισμό και τη στατιστική (Van Dooren, 2005).<br />Η θεμελιώδης σημασία της έννοιας της αναλογίας στη ζωή του ανθρώπου είχε ως αποτέλεσμα να γίνουν από πολύ νωρίς συστηματικές προσπάθειες ορισμού της (Kline, 1990). Σήμερα φαίνεται να υπάρχουν κενά στον ορισμό της ικανότητας που σχετίζεται με την εφαρμογή της έννοιας της αναλογίας (Lamon, 1999) και ειδικότερα φαίνεται να απουσιάζει ένα πλαίσιο που να καθορίζει με ακρίβεια εκείνα τα στοιχεία που σχετίζονται με τη μαθηματική αναλογική σκέψη. Αντίθετα, το πώς γίνεται αντιληπτή η έννοια της μαθηματικής αναλογικής σκέψης υποδηλώνεται έμμεσα μέσα από τα έργα που περιλαμβάνονται στις διάφορες έρευνες που ασχολούνται με το θέμα αυτό (Lesh, Post, & Behr, 1988; Misailidou & Williams, 2003), αλλά και στα σχολικά εγχειρίδια (Υπουργείο Παιδείας και Πολιτισμού, 1996). Ειδικότερα, φαίνεται να επικρατεί άδηλα η θέση σύμφωνα με την οποία η μαθηματική αναλογική σκέψη ταυτίζεται απλά με την ικανότητα επίλυσης τυπικών αναλογικών έργων (Cramer, Post, & Currier, 1993).<br />Έρευνες γύρω από το φαινόμενο της ψευδαίσθησης της αναλογίας (De Bock, Verschaffel, & Janssens, 1998; Modestou & Gagatsis, 2007; Van Dooren, 2005) υποδεικνύουν ότι αυτή η θεώρηση της μαθηματικής αναλογικής σκέψης δεν μπορεί να ισχύει απόλυτα. Οι μαθητές ανεξαρτήτως ηλικίας, ενώ επιτυγχάνουν στην επίλυση τυπικών αναλογικών προβλημάτων, αποτυγχάνουν στο να τα διακρίνουν από άλλα μη αναλογικά προβλήματα (Modestou, Elia, Gagatsis & Spanoudes, 2008). Ως αποτέλεσμα της αποτυχίας διάκρισης των αναλογικών από τις μη αναλογικές καταστάσεις, δημιουργείται στους μαθητές μια “ψευδαίσθηση” για την ύπαρξη αναλογίας, με αποτέλεσμα να χρησιμοποιούν αναλογικές στρατηγικές για να επιλύσουν ακόμη και τα μη αναλογικά έργα.<br />Για παράδειγμα, η τάση των μαθητών να απαντούν, ότι το εμβαδόν ενός τετραγώνου διπλασιάζεται όταν διπλασιαστούν οι πλευρές του, είναι αποτέλεσμα του συγκεκριμένου φαινομένου (De Bock et al., 1998; Modestou & Gagatsis, 2007). Αποτέλεσμα του φαινομένου της ψευδαίσθησης της αναλογίας είναι και οι αναλογικές απαντήσεις των μαθητών σε σταθερά προβλήματα της μορφής f(x)=a: «Ένα πουκάμισο χρειάζεται 25 λεπτά για να στεγνώσει έξω στον ήλιο. Πόσο χρόνο θέλουν τρία πουκάμισα για να στεγνώσουν σε ανάλογες συνθήκες;». Σε αυτό το πρόβλημα οι μαθητές δίνουν απάντηση 75 λεπτά, επηρεαζόμενοι από τη λεκτική δομή του έργου, η οποία παραπέμπει στη χρησιμοποίηση της γραμμικής συνάρτησης f(x) = ax.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"> <a href="https://drive.google.com/file/d/0BxbKSKHiz6zaOFZPSTNWcnVsNjg/edit?usp=sharing"><span style="color: #cc0000;">Περισσότερα. </span></a></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="color: #cc0000;"> <b><span style="font-size: large;">ΟΙ ΔΥΣΚΟΛΙΕΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ ΤΟΥ </span></b></span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="color: #cc0000;"><b><span style="font-size: large;">ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΑΠΟ ΜΑΘΗΤΕΣ</span></b></span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="color: #cc0000;"><b><span style="font-size: large;"> Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ</span></b></span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="color: #cc0000;"><b><span style="font-size: large;"></span></b><br /><span style="color: black;">Ελένη Δημητριάδου<br />Δρ. Διδακτικής Μαθηματικών Πανεπιστημίου Κρήτης<br />Δωδώνης 65- 67, 45221 Ιωάννινα<br />e-mail: ledimitr@hotmail.com</span></span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><span style="color: #cc0000;"><span style="color: black;"><br />Κωνσταντίνος Τζανάκης<br />Παιδαγωγικό Τμήμα Δ.Ε.<br />Πανεπιστήμιο Κρήτης, 74 100 Ρέθυμνο<br />e-mail: tzanakis@edc.uoc.com</span></span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><br />ΠΕΡΙΛΗΨΗ<br />Oι σύγχρονες τάσεις στη διδασκαλία των μαθηματικών στοχεύουν σε ένα μοντέλο καθηγητή, διαφορετικό από το παραδοσιακό. Bάσει του μοντέλου αυτού, καθηγητής και μαθητές αποτελούν μια κοινωνία σε αλληλεπίδραση, η οποία μοιράζεται την μαθηματική γνώση. Μέσα στην τάξη δημιουργείται ένα κλίμα αμοιβαίας εμπιστοσύνης, όπου οι μαθητές δημιουργούν μαθηματικά, εξερευνώντας τις μαθηματικές καταστάσεις που προτείνονται από τον καθηγητή, μέσα από την ελεύθερη έκφραση και τον διάλογο. Αυτό το κλίμα, όπου τα παιδιά εκφράζουν ελεύθερα τη σκέψη τους και ανταλλάσσουν απόψεις με τους συμμαθητές τους, επιτρέπει στον ερευνητή να μελετήσει τον τρόπο με τον οποίο προσεγγίζουν τιςέννοιες, να γνωρίσει σε βάθος τις δυσκολίες που αντιμετωπίζουν στην κατανόηση και στο χειρισμό τους, και όπου είναι δυνατόν να τις ερμηνεύσει.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">Με βάση τις ανωτέρω παιδαγωγικές αρχές και ειδικότερα, τις θεωρίες των διδακτικών καταστάσεων του Brousseau, της “διαλεκτικής εργαλείου- αντικειμένου” και “αλλαγής πλαισίων” της Douady, και το παιδαγωγικό μοντέλο της ομάδας των κοινωνικών κονστρουκτιβιστών, επιχειρήσαμε μια εναλλακτική διδακτική προσέγγιση στοιχειωδών διανυσματικών εννοιών σε μαθητές Γ΄ γυμνασίου, η οποία στηρίζεται σε δραστηριότητες και καταστάσεις από τη φυσική και τη γεωμετρία. Το περιβάλλον που δημιουργήθηκε μέσα στην τάξη βοήθησε τους μαθητές να μετάσχουν στην ανακάλυψη της διανυσματικής γλώσσας και ως ένα σημείο στην κατασκευή της, και συγχρόνως να ξεπεράσουν μερικές από τις λανθασμένες αντιλήψεις τους. Από την άλλη μεριά, η προσέγγιση αυτή μας επέτρεψε να μελετήσουμε τον τρόπο που τα παιδιά προσεγγίζουν το συμβολικό σύστημα της διανυσματικής γλώσσας, και ιδιαίτερα τις δυσκολίες που αντιμετωπίζουν στην κατανόηση και στο χειρισμό της.<br />Στην παρούσα εισήγηση, παρουσιάζουμε τις κυριότερες δυσκολίες και παρανοήσεις που εμφάνισαν οι μαθητές και επιχειρούμε την ταξινόμηση και ερμηνεία τους βάσει των ιδεών του Vygotsky και της Booth για την σχέση ανάμεσα στην εξέλιξη της γλώσσας και στην ανάπτυξη της νόησης.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"> <a href="https://drive.google.com/file/d/0BxbKSKHiz6zaclo3SU95cUh0MmM/edit?usp=sharing"><span style="color: #cc0000;"> Περισσότερα</span></a></span></div>
<br />
<br />
<span style="font-size: large;"><span style="color: red;"><b><br /></b></span></span>
<span style="font-size: large;"><span style="color: red;"><b>ΑΝΑΠΤΥΣΣΟΝΤΑΣ ΝΕΕΣ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΟΝΤΕΛΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΣΥΝΘΕΤΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΑΘΗΣΗΣ</b></span></span><br />
<br />
Νίκος Μουσουλίδης<br />
Τμήμα Επιστημών της Αγωγής, Πανεπιστήμιο Κύπρου<br />
<br />
<b>ΠΕΡΙΛΗΨΗ</b><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
Στην εργασία αυτή παρουσιάζονται μερικά αποτελέσματα από ένα ερευνητικό πρόγραμμα, το οποίο συνδυάζει ένα μικρόκοσμο προγραμματισμού μαζί με το διαδίκτυο, για να αναπτύξει ένα σύνθετο και δυναμικό περιβάλλον μάθησης. Οι μαθητές με τη χρήση εργαλείων προγραμματισμού και σε αλληλεπίδραση με συμμαθητές και συνεργάτες, αναπτύσσουν νέες αναπαραστάσεις και οικοδομούν μαθηματικές γνώσεις ενεργητικά και κατασκευαστικά. Σε ένα νέο και δυναμικό πλαίσιο εργασίας, οι μαθητές διατυπώνουν και ελέγχουν υποθέσεις, σχεδιάζουν και κατασκευάζουν σειρές αριθμών και μέσω του διαδικτύου αλληλεπιδρούν με μαθητές από άλλες χώρες, αναθεωρώντας τις κατασκευές τους και κάνοντας εισηγήσεις για βελτίωση των κατασκευών των εξ’ αποστάσεως συμμαθητών τους. Στην εργασία αυτή παρουσιάζονται τα αποτελέσματα των μαθητών, οι οποίοι εργάστηκαν σε έργα κατασκευής αριθμητικών μοτίβων και ειδικά στην κατασκευή της ακολουθίας Fibonacci. Τα αποτελέσματα της έρευνας έδειξαν ότι η δυναμική αλληλεπίδραση τόσο μεταξύ των μαθητών, όσο και μεταξύ των μαθητών και του περιβάλλοντος βοήθησαν τους μαθητές να αναπτύξουν νέες αναπαραστάσεις και να κατασκευάσουν μοντέλα για την επίλυση και κατασκευή προβλήματος, αναπτύσσοντας παράλληλα τη δημιουργικότητά τους.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<b>Εισαγωγή</b><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
Ο σχεδιασμός και εφαρμογή μικρόκοσμων για τη διδασκαλία μαθηματικών εννοιών έχει απασχολήσει σε μεγάλο βαθμό την έρευνα στη μαθηματική παιδεία (Papert, 1991: Hoyles & Noss, 1996: Clements & Sarama, 1995). Κατά το σχεδιασμό των μικρόκοσμων δίνεται ιδιαίτερη έμφαση στη λειτουργική ενσωμάτωση εναλλακτικών μορφών αναπαράστασης, οι οποίες προσφέρουν σημαντικά πλεονεκτήματα, χωρίς να απουσιάζουν παντελώς κάποια μειονεκτήματα, για την απόκτηση των απαραίτητων μαθηματικών εννοιών (Hoyles & Noss, 1996: Noss, Hoyles & Healy, 1997). Οι μικρόκοσμοι και γενικότερα τα δυναμικά περιβάλλοντα διδασκαλίας και αλληλεπίδρασης που βασίζονται στις νέες τεχνολογίες, υπερβαίνουν την υπάρχουσα δυναμική ανάμεσα σε μαθητές, εκπαιδευτικούς και εργαλεία, ενώ ταυτόχρονα καταργούν τα στενά όρια της σχολικής τάξης (Noss, Hoyles & Healy, 1997). Στο πλαίσιο του ερευνητικού προγράμματος Weblabs: New Representational Infrastructures for E-Learning, έχουμε δημιουργήσει ένα περιβάλλον όπου οι μαθητές παίζοντας και αλληλεπιδρώντας με ένα μικρόκοσμο προγραμματισμού και με το περιβάλλον του ιστοτόπου του προγράμματος μελετούν και διερευνούν μαθηματικές έννοιες και διαδικασίες.</div>
<div style="text-align: justify;">
Για τις ανάγκες του προγράμματος χρησιμοποιείται το ToonTalk, ένα εξειδικευμένο λογισμικό οπτικού προγραμματισμού με κινούμενο κώδικα, το οποίο είναι σχεδιασμένο για χρήση από μαθητές (Kahn, 1999). Το λογισμικό αυτό, παρέχει τα κατάλληλα εργαλεία στους μαθητές για να κατασκευάσουν διάφορα μικρά προγράμματα και έτσι να διερευνήσουν συγκεκριμένες μαθηματικές έννοιες, όπως για παράδειγμα αριθμητικά μοτίβα και ακολουθίες αριθμών. Οι μαθητές έχουν τη δυνατότητα να δημιουργούν διάφορες κατασκευές, να τις αναδιαμορφώνουν και να τις βελτιώνουν. Μέσα από τη χρήση του ιστοτόπου του ερευνητικού προγράμματος, αυτές οι κατασκευές παρουσιάζονται σε άλλους μαθητές, συζητούνται και αξιολογούνται. Σκοπό της παρούσας εργασίας αποτελεί η διερεύνηση και αξιολόγηση του περιβάλλοντος που δημιουργείται για τη μελέτη αριθμητικών μοτίβων. Συγκεκριμένα, θα αξιολογηθεί η αποτελεσματικότητα του περιβάλλοντος ως μέσου για ανάπτυξη της δημιουργικότητας και κατανόησης μαθηματικών εννοιών.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<a href="https://drive.google.com/file/d/0BxbKSKHiz6zaWVVfSzNTVU0tcTg/edit?usp=sharing"><span style="color: red;"> Περισσότερα.</span></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<br />
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: red;">ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΜΕ ΕΠΟΠΤΙΚΟ ΤΡΟΠΟ: ΕΝΑ ΜΟΝΤΕΛΟ Ή ΕΝΑ ΠΑΙΧΝΙΔΙ;</span></b></span><br />
<br />
Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος<br />
Σχολικός Σύμβουλος ΠΕ03<br />
www.p-theodoropoulos.gr<br />
<br />
<b>ΠΕΡΙΛΗΨΗ</b><br />
<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<i>Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια εποπτική παρουσίαση των πράξεων στο σύνολο</i></div>
<i><div style="text-align: justify;">
<i>των ακεραίων αριθμών. Συγκεκριμένα προτείνονται δύο τρόποι διδασκαλίας της πρόσθεσης, της αφαίρεσης και του πολλαπλασιασμού, ένας γεωμετρικός και ένας συνολοθεωρητικός.Ο γεωμετρικός τρόπος στηρίζεται στο διανυσματικό πρότυπο και αποσκοπεί στην κατανόηση των αλγορίθμων των πράξεων.Στο συνολοθεωρητικό τρόπο οι πράξεις ερμηνεύονται και εκτελούνται με σενάρια, τα οποία αποσκοπούν στην εύκολη απομνημόνευση των σχετικών κανόνων.</i></div>
</i><br />
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<b>1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ</b><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
Ως γνωστόν, η διδασκαλία των πράξεων στο σύνολο των ρητών αριθμών στο γυμνάσιο δεν είναι εύκολη υπόθεση. Αυτό οφείλεται στους αρνητικούς αριθμούς και στο πρόσημο που εισάγεται στην έννοια του αριθμού, το οποίον αλλάζει την αντίληψη που είχαν σχηματίσει οι μαθητές για τους αριθμούς και τις πράξεις τους (επιστημολογικό εμπόδιο). Χαρακτηριστικά ο Μπάμπης Τουμάσης στο βιβλίο του “Σύγχρονη Διδακτική των Μαθηματικών” αναφέρει: «Από την εμπειρία μας με τη διδακτική πράξη, ως δάσκαλοι των μαθηματικών, θα γνωρίζουμε ασφαλώς όλοι πόσο “δύσπεπτη” είναι για τους μαθητές η εξήγηση του κανόνα των προσήμων στους αρνητικούς αριθμούς»</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<a href="https://drive.google.com/file/d/0BxbKSKHiz6zadkxOckM0TWd2SkE/edit?usp=sharing"><span style="color: #cc0000;"> Περισσότερα.</span></a><br />
<br />
<br />
<br />
<span style="color: #cc0000;"> </span><span style="font-size: large;"><b><span style="color: #cc0000;">ΈΝΑ ΕΜΠΕΙΡΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ ΠΡΟΣΗΜΑΣΜΕΝΩΝ </span></b></span><b style="font-size: x-large;"><span style="color: #cc0000;">ΑΡΙΘΜΩΝ</span></b><br />
<span style="color: #cc0000;"><span style="font-size: large;"><b></b></span><br /></span><span style="color: #cc0000;"><span style="color: black;">Δημήτρης Πολυτίδης, Μαθηματικός στη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση</span></span><br />
<span style="color: #cc0000;"><span style="color: black;">Διεύθυνση κατοικίας: 25ης Μαρτίου 5, Σκύδρα, Τ.Κ 58500</span></span><br />
<span style="color: #cc0000;"><span style="color: black;">Τηλέφωνο κατοικίας: 2381083137-6977335451</span></span><br />
<span style="color: #cc0000;"><span style="color: black;">Email: eftim@otenet.gr</span></span><br />
<span style="color: #cc0000;"><span style="color: black;">Διεύθυνση εργασίας: ΣΔΕ Γιαννιτσών, Βάρναλη 1, 58100 Γιαννιτσά</span></span><br />
<span style="color: #cc0000;"><span style="color: black;">Email(σχολείου) mail-sde.giann.pel.sch.gr</span></span><br />
<br />
<b>Περίληψη</b><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<i>Η εργασία αναφέρεται στο πρόβλημα της διδασκαλίας των αρνητικών αριθμών στο Γυμνάσιο.Είναι κοινή διαπίστωση των καθηγητών ότι οι μαθητές συναντούν δυσκολίες κατανόησης στις πράξεις προσημασμένων αριθμών, και κυρίως των ετεροσήμων αριθμών. Επίσης, παρουσιάζεται μια έλλειψη και ασυνέχεια στην παρουσίαση αυτού του θέματος στο σχολικό εγχειρίδιο. Στην εργασία αυτή θα προσπαθήσουμε να καλύψουμε το κενό που υπάρχει. Στην αρχή παρουσιάζουμε σύντομα κάποια γενικά ιστορικά και διδακτικά στοιχεία σχετικά με τους αρνητικούς αριθμούς. Στη συνέχεια παραθέτουμε τη σημερινή λογική της διδασκαλίας για την εισαγωγή των πράξεων των ακεραίων αριθμών, όπως αυτή παρουσιάζεται στα σχολικά εγχειρίδια. Προσπαθώντας να καλύψουμε τις αδυναμίες και τα κενά της διδακτικής πρότασης του βιβλίου, προτείνουμε μια άλλη διδασκαλία με βάση ένα φυσικό μοντέλο για τις πράξεις των ακεραίων. Τέλος, γίνεται μία πρώτη πρόχειρη πειραματική αποτίμηση της διδακτικής αυτής πρότασης.</i></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<br />
<a href="https://drive.google.com/file/d/0BxbKSKHiz6zaUDhwRHZMRXV2TlE/edit?usp=sharing"><span style="color: red;"> Περισσότερα. </span></a><br />
<br />
<br />
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: #cc0000;"><br /></span></b></span>
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: #cc0000;">ΕΜΠΕΙΡΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΣΤΗΝ ΙΚΑΝΟΤΗΤΑ ΕΠΙΛΥΣΗΣ<br />ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Α' ΒΑΘΜΟΥ ΑΠΟ ΜΑΘΗΤΕΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ</span></b></span><br />
<br />
Χαράλαμπος Λεμονίδης<br />
Π.Τ.Δ.Ε. Φλώρινας1<br />
<br />
<b>Περίληψη</b><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
Από τα διάφορα ερευνητικά δεδομένα της διδακτικής των μαθηματικών, γνωρίζουμε ότι το πέρασμα από την αριθμητική στην άλγεβρα είναι μια κρίσιμη φάση και ότι οι μαθητές κατά την εισαγωγή τους στην άλγεβρα αντιμετωπίζουν πολλά προβλήματα. Στην εργασία αυτή με βάση τα ερευνητικά αποτελέσματα, για τα λάθη και τις μεθόδους που χρησιμοποιούν οι μαθητές κατά την επίλυση απλών εξισώσεων, προσπαθούμε να εξετάσουμε τις επιδόσεις των ελλήνων μαθητών (grade 8 and 9) στην επίλυση απλών εξισώσεων Α’ βαθμού. Στα αποτελέσματά μας καταγράφουμε τις επιδόσεις των μαθητών του grade 8 and grade 9 ως προς την επίλυση εξισώσεων και τα συγκρίνουμε μεταξύ τους. Επισημαίνουμε τα λάθη και τα δύσκολα σημεία για τους μαθητές καθώς επίσης και τις μεθόδους που χρησιμοποιούν. Με βάση τα αποτελέσματα από την εργασία αυτή μπορούμε να κάνουμε κάποιες παρατηρήσεις για τη βελτίωση της διδασκαλίας των εξισώσεων. 1 Ευχαριστώ το Μαθηματικό Φώτη Μαργαρίτη για την ουσιαστική βοήθεια και συμμετοχή του στην επεξεργασία των δεδομένων της έρευνας αυτής.</div>
<br />
<br />
<b>Ι. ΕΙΣΑΓΩΓΗ</b><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
Πολλές έρευνες έχουν πραγματοποιηθεί για να εξετάσουν τις δυσκολίες που αντιμετωπίζουν οι μαθητές όταν εισάγονται στην άλγεβρα. Το πέρασμα από την αριθμητική στην άλγεβρα είναι μια κρίσιμη φάση για τους μαθητές και έχει χαρακτηριστεί ως μια περίοδος επιστημολογικής ρήξης. Αυτό σημαίνει ότι ο μαθητής πρέπει να περάσει σύντομα από μια κατάσταση μαθηματικών γνώσεων και τρόπου σκέψης σε μια άλλη κατάσταση νέων γνώσεων και διαδικασιών (εξίσωση, άγνωστος, μεταβλητή, συνάρτηση κλπ) όπου απαιτείται ένας άλλος τρόπος σκέψης. Για να περάσει λοιπόν από τη στοιχειώδη αριθμητική στην άλγεβρα ο μαθητής θα πρέπει να αντικαταστήσει την άμεση επίλυση και χειρισμό των προβλημάτων που δίνονται στη φυσική γλώσσα, με τη χρησιμοποίηση αλγεβρικών εκφράσεων που βασίζονται σε συγκεκριμένους κανόνες. Όπως είναι για παράδειγμα η γραφή των εξισώσεων και η εφαρμογή μετασχηματισμών που οδηγούν σε μια σειρά από ισοδύναμες εξισώσεις. Σκοπός της έρευνας αυτής είναι να διερευνηθούν οι γνώσεις των μαθητών μετά από μια πρώτη επαφή τους με την άλγεβρα, για να δούμε σε πιο βαθμό γνωρίζουν τις αλγεβρικές διαδικασίες, τι λάθη κάνουν και κατά πόσο είναι επηρεασμένοι από την αριθμητική.</div>
<br />
<a href="https://drive.google.com/file/d/0BxbKSKHiz6zaSEhGSFdXMFlKSlk/edit?usp=sharing"><span style="color: red;"> Περισσότερα</span></a><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<span style="font-size: large;"><span style="color: red;"><b>Η ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΣΤΑ ΣΧΟΛΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΑ ΜΕ ΤΗΝ ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΤΟΥΣ ΕΞΕΛΙΞΗ (ΑΠΟ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΣΤΟ ΛΥΚΕΙΟ)</b></span></span><br />
<br />
<b>Π ΛΙΝΑΡΔΑΚΗΣ</b><br />
Δρ. Διδακτικής των Μαθηματικών<br />
Καθηγητής Αρσακείου<br />
<br />
<b>Περίληψη</b><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
Στόχος της ανακοίνωσης αυτής είναι : Η σκιαγράφηση της σχέσης ανάμεσα στην ιστορική εξέλιξη των Τριγωνομετρικών εννοιών και τουτρόπου πού οι έννοιες αυτές παρουσιάζονται στο Αναλυτικό πρόγραμμα και στα σχολικά βιβλία. Η περιγραφή των εμποδίων που συναντούν οι μαθητές στην κατανόηση των Τριγωνομετρικών εννοιών και η επιστημολογική σχέση αυτών των εμποδίων με την ιστορική εξέλιξη των εννοιών αυτών. Θα παρουσιάσουμε τις βασικές ιστορικές στιγμές που έχουν επηρεάσει την εξέλιξη της Τριγωνομετρίας από τους Αιγυπτίους και τους Αρχαίους Έλληνες μέχρι σήμερα .Παράλληλα θα αποδείξουμε ότι αυτές οι ιστορικές στιγμές επηρεάζουν τον τρόπο που οι έννοιες αυτές παρουσιάζονται στα σχολικά βιβλία Τέλος θα καταδείξουμε τα επιστημολογικά και διδακτικά εμπόδια πού εμφανίζονται όταν κανείς διδάσκει Τριγωνομετρία στην Ελλάδα σήμερα.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<b>Α ΕΙΣΑΓΩΓΗ</b><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
Ο στόχος της εργασίας αυτής είναι να ερευνήσει την σχέση που διαμορφώνεται ανάμεσα στην ιστορική εξέλιξη των τριγωνομετρικών εννοιών και του τρόπου που αυτές παρουσιάζονται στο Αναλυτικό πρόγραμμα και τα σχολικά βιβλία Τα συμπεράσματα από αυτή την εργασία θα συμβάλλουν στη διερεύνηση των ερωτημάτων:</div>
<div style="text-align: justify;">
1. Υπάρχουν προβλήματα κατανόησης των τριγωνομετρικών εννοιών από πλευράς των μαθητών που να είναι αντίστοιχα με τις δυσκολίες που εμφανίστηκαν στην ιστορική τους εξέλιξη;(επιστημολογικά εμπόδια)</div>
<div style="text-align: justify;">
2. Υπάρχουν οι αναγκαίοι διδακτικοί μετασχηματισμοί στην παρουσίαση ώστε να μειωθούν αντίστοιχα προβλήματα; Και ποιοι άλλοι μετασχηματισμοί πρωτογενείς ή δευτερογενείς μπορούν να γίνουν για την βελτίωση της παρουσίασης; Στο ισχύον Αναλυτικό πρόγραμμα για το Γυμνάσιο και το Λύκειο, οι τριγωνομετρικές έννοιες παρουσιάζονται στις Β΄ και Γ΄ Γυμνασίου και Α΄ και Β΄ Λυκείου. Επίσης, στην Γ΄ Λυκείου, στα πλαίσια της Ανάλυσης ,αντιμετωπίζονται πιο διεξοδικά οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις..</div>
<br />
<br />
<a href="https://drive.google.com/file/d/0BxbKSKHiz6zac25mSlB6b1FZRlE/edit?usp=sharing"> Περισσότερα.</a><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<span style="font-size: large;"><b> <span style="color: red;">ΜΙΧΑΗΛ ΜΑΝΩΛΟΠΟΥΛΟΣ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΣ</span></b></span><br />
<span style="color: red;"><span style="font-size: large;"><b>Προσεγγίσεις – Εννοιών - Δυσκολίες - Ασκήσεις</b></span></span><br />
<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
Η έννοια του ορίου είναι μια από τις δυσκολότερες έννοιες των μαθηματικών</div>
<div style="text-align: justify;">
και ο μαθητής και ο σπουδαστής πρέπει να έρθει σύντομα σε επαφή μαζί της γιατί</div>
<div style="text-align: justify;">
είναι απαραίτητη και για άλλες έννοιες του απειροστικού λογισμού όπως είναι η</div>
<div style="text-align: justify;">
συνέχεια η παράγωγος και το ολοκλήρωμα. Η νοητική της κατάκτηση θεωρείται</div>
<div style="text-align: justify;">
απαραίτητη προϋπόθεση για την κατανόηση των προαναφερθεισών εννοιών. Η</div>
<div style="text-align: justify;">
κατανόηση και η εμβάθυνση της έννοιας του ορίου απαιτεί επίσης άνεση στη</div>
<div style="text-align: justify;">
διαχείριση ετέρων εννοιών όπως εκείνη του συνόλου των πραγματικών αριθμών και των ιδιοτήτων του, της απόλυτης τιμής και της συναρτήσεως. Η σύγχρονη εμφάνιση της έννοιας του ορίου στα σημερινά βιβλία είναι αποτέλεσμα προσπαθειών από την αρχαιότητα. Στην μακρόχρονη αυτή πορεία εκτός από τις γόνιμες ιδέες και τις προόδους που επετεύχθησαν υπήρξαν και πολλά λάθη καθώς και οπισθοδρομήσεις ακόμα και από μεγάλους μαθηματικούς. Στοιχεία μεθόδων και εργαλείων του απειροστικού λογισμού σχετικά με την έννοια του ορίου συναντάμε στους αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς από την εποχή του Ευδόξου (περ. 408-355 π.Χ.) και του Αρχιμήδη (287-212 π.Χ.). Στην Επιτομή Φυσικής ή Περί φυσικής ακροάσεως (P.G. 142, 1023-1302) ο Νικηφόρος Βλεμμύδης ασχολείται, σε 31 κεφάλαια, με θέματα φυσικής, μαθηματικών, αστρονομίας και μετεωρολογίας, γράφοντας τα σχετικά θέματα με ιδιαίτερα αναλυτικό τρόπο. Μεταξύ των άλλων αναφέρεται στις μεταβολές απείρως μικρών και μεγάλων ποσών, δηλαδή με στοιχεία απειροστικού λογισμού (Θεοδοσίου και Δανέζης 2010). Προσπάθειες για να αποσαφηνιστεί η έννοια του ορίου συναντάμε το 16ο αιώνα από τον Ιταλό Luca Valerio και τον Φλαμανδό Simm Stevin. Η θεμελίωση όμως του Απειροστικού Λογισμού επιτυγχάνεται το τελευταίο τέταρτο του 17ου αιώνα από τον Isaac Newton και τον Gottfried Wilhelm Leibniz, οι οποίοι, ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλο, επινόησαν ταυτόχρονα το Διαφορικό και Ολοκληρωτικό Λογισμό (Αγγελίδη 2005).</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<a href="https://drive.google.com/file/d/0BxbKSKHiz6zaMmVUWkpJS2FUTUk/edit?usp=sharing"><span style="color: red;"><b> Περισσότερα </b></span></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><span style="color: red;"><b>Επίλυση Προβλήματος Συνυφασμένη με μια Έννοια.</b></span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Ιωάννης Παπαδόπουλος</div>
<div style="text-align: justify;">
Δρ. Διδακτικής Μαθηματικών</div>
<div style="text-align: justify;">
ypapadop@otenet.gr</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<b>Περίληψη</b></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Στην εργασία αυτή θα δώσουμε την περιγραφή μιας θεωρητικής προσέγγισης στο χώρο της επίλυσης προβλήματος, αυτήν της Επίλυσης Προβλήματος Συνυφασμένης με μια Έννοια (ΕΠΣΕ). (Η περιγραφή αυτή θα συνοδεύεται από ένα συγκεκριμένο παράδειγμα μιας έννοιας και συγκεκριμένα του εμβαδού). Η ΕΠΣΕ σε ένα πρώτο στάδιο μέσα από μια σειρά προβλημάτων με κοινό εννοιολογικό υπόβαθρο εφοδιάζει τους μαθητές- λύτες με μια συλλογή τεχνικών σχετικών με τη συγκεκριμένη έννοια. Αργότερα η χρήση των τεχνικών αυτών δεν ενισχύει πια την έννοια, και αντί γι αυτό οι λύτες εμπλέκουν την καλή γνώση της έννοιας που πια κατέχουν, προκειμένου να οργανώσουν τις γνωστές μεθόδους τις σχετικές με την έννοια, ώστε να δρομολογήσουν στρατηγικές που θα οδηγούν στη λύση. Αυτή η πλατφόρμα της ΕΠΣΕ υποστηρίζει την επιχειρηματολογία του λύτη και οδηγεί στην ανάπτυξη ιδιαίτερα εντυπωσιακών στρατηγικών. Επιπλέον αφήνεται ως ανοιχτή η ιδέα για την εφαρμογή της πλατφόρμας αυτής και σε άλλες έννοιες πέρα από το εμβαδόν, του οποίου η περίπτωση πιστεύουμε ότι αποτελεί ένα καλό υπόδειγμα. Η προοπτική της Επίλυσης Προβλήματος Συνυφασμένης με μια Έννοια Είναι γνωστό ότι ο Polya παραθέτει ένα σφαιρικό σχέδιο τεσσάρων βημάτων για την επίλυση προβλήματος (Polya, 1973, σ. 33): Πρώτο βήμα: Κατανόηση του προβλήματος Δεύτερο βήμα: Εύρεση ενός σχεδίου για την επίλυση Τρίτο βήμα: Εκτέλεση του σχεδίου Τέταρτο βήμα: Εξέταση της λύσης που βρέθηκε Το σχέδιο αυτό βασιζόταν στην πεποίθησή του ότι υπάρχει μια τέχνη την ανακάλυψης και ότι η ικανότητα να ανακαλύπτεις και να επινοείς μπορεί να ενισχυθεί με την κατάλληλη διδασκαλία που κινητοποιεί το μαθητή και τον ωθεί προς τις αρχές της ανακάλυψης, δίνοντάς του την ευκαιρία να τις ασκήσει. Η ανάλυση των παραπάνω βημάτων οδηγεί σε ατομικές στρατηγικές (ευρετικές αρχές) που μπορούν να χρησιμοποιηθούν την κατάλληλη στιγμή. Ο Schoenfeld (1985), μεταξύ άλλων αργότερα, προώθησε τις ιδέες του Polya πάνω στην επίλυση προβλήματος, κάνοντας μάλιστα μια ενδιαφέρουσα ταξινόμηση των ευρετικών αρχών που χρησιμοποιούνται συχνά (και που όμως αφορούσε τα μαθηματικά σε κολεγιακό επίπεδο, χωρίς από την άλλη να περιορίζει την επεκτασιμότητά τους). Οι ευρετικές στρατηγικές (ή απλά ευρετικές) είναι κανόνες για την επιτυχή επίλυση προβλήματος, γενικές υποδείξεις που βοηθούν το μαθητή να κατανοήσει καλύτερα ένα πρόβλημα ή να σημειώσει πρόοδο προς την επίλυση και πρέπει να τονιστεί ότι όταν κάποιος εστιάζει στη μαθηματική σκέψη πρέπει να δίνει ιδιαίτερη βαρύτητα μεταξύ άλλων στις στρατηγικές (Schoenfeld, 1994). Υπάρχει όμως το ενδεχόμενο να έχουμε μεθοδολογικές τακτικές πιο ειδικές από τις ευρετικές. Οι Mamona-Downs and Downs (2004; 2005), τις αποκαλούν «τεχνικές επίλυσης προβλήματος». Οι τεχνικές αυτές «συλλέγονται» καθώς οι μαθητές τις συναντούν σε ποικίλα μαθηματικά πλαίσια. Έτσι λοιπόν από τη μια εξάγουμε μια τεχνική μέσα από λύσεις που έχουν ολοκληρωθεί με επιτυχία και που στηρίζουν την τεχνική και από την άλλη η κατανόησή της υλοποιείται ως ανταπόκριση σε παλαιότερες εμπειρίες επίλυσης προβλήματος.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<a href="https://drive.google.com/file/d/0BxbKSKHiz6zaTHBMN2tmMWhiMUE/edit?usp=sharing"><span style="color: red;">Περισσότερα</span></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<h3 class="post-title entry-title" itemprop="name" style="text-align: justify;">
<span style="color: red;">ΑΝΑΛΥΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΚΑΙ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΓΙΑ ΤΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ
</span></h3>
<div class="post-header">
</div>
<div style="text-align: justify;">
Ένας από τους βασικούς στόχους του Α.Π. είναι να αναπτυχθεί η ικανότητα
των μαθητών ώστε ν’ αντιμετωπίζουν αποτελεσματικά τα προβλήματα και τις
καταστάσεις που προκύπτουν από την καθημερινή κοινωνική δραστηριότητα
(συναλλαγές, μετρήσεις, υπολογισμοί, εκτιμήσεις, προβλέψεις)</div>
<div style="text-align: justify;">
Η ικανότητα αυτή συνδέεται με τη</div>
<div style="text-align: justify;">
-Χρήση των μαθηματικών γνώσεων</div>
<div style="text-align: justify;">
-Χρήση γενικών μεθόδων επεξεργασίας και στρατηγικών</div>
<div style="text-align: justify;">
Η βελτίωση της ικανότητας σ’ αυτό τον τομέα των μαθητών με δυσκολίες στα
Μαθηματικά μπορεί να συμβάλλει στη βελτίωση των κοινωνικών τους
δεξιοτήτων.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Στο διδακτικό σχεδιασμό των βημάτων της διαδικασίας επίλυσης προβλημάτων
είναι χρήσιμο να αξιοποιηθούν οι ερευνητικές διαπιστώσεις σύμφωνα με
τις οποίες η επεξεργασία των στοιχείων και της αρχικής αναπαράστασης
τους προβλήματος καθώς και η επεξεργασία για την αναγνώριση των σχέσεων
του προβλήματος αποτελούν βασικούς παράγοντες για την επιτυχή έκβαση της
διαδικασίας επίλυσης (Μπάρμπας, Τζουριάδου,1999)</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Για την επιτυχή έκβαση της διαδικασίας επίλυσης επισημαίνεται η ιδιαίτερη σημασία που έχουν δύο τομείς:</div>
<div style="text-align: justify;">
-Ο τρόπος επεξεργασίας για την αναγνώριση των στοιχείων του προβλήματος</div>
<div style="text-align: justify;">
-Ο τρόπος επεξεργασίας για την αναγνώριση των σχέσεων του προβλήματος</div>
<div style="text-align: justify;">
Στη βιβλιογραφία (Riding, Rayner, 1999) διακρίνονται η ολιστική και η
αναλυτική διάσταση στον τρόπο επεξεργασίας των πληροφοριών.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><span style="color: #000066;">Ο ολιστικός τρόπος επεξεργασίας</span></b> αναφέρεται στην αντίληψη του έργου ή του αντικειμένου ως όλου, δίχως διάκριση των επιμέρους στοιχείων ή χαρακτηριστικών.</div>
<div style="text-align: justify;">
Γρήγορη και βιαστική ανάγνωση του προβλήματος,</div>
<div style="text-align: justify;">
ο εντοπισμός μερικών μόνο στοιχείων,</div>
<div style="text-align: justify;">
η επικέντρωση στα αριθμητικά μόνο δεδομένα,</div>
<div style="text-align: justify;">
η αυθαίρετη προσθήκη ή η τροποποίηση των στοιχείων,</div>
<div style="text-align: justify;">
η επικέντρωση στα αριθμητικά μόνο δεδομένα,</div>
<div style="text-align: justify;">
η αυθαίρετη προσθήκη ή η τροποποίηση στοιχείων,</div>
<div style="text-align: justify;">
η ταξινόμηση των στοιχείων με κριτήριο ένα μόνο χαρακτηριστικό και η
επικέντρωση στα εννοιολογικά εμπόδια που συναντούν οι μαθητές (πιθανές
άγνωστες λέξεις με αποτέλεσμα να χάνουν άλλα στοιχεία και κυρίως το
ζητούμενο.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #000066;"><b>Ο αναλυτικός τρόπος επεξεργασίας</b></span>
αναφέρεται στην παρατήρηση των λεπτομερειών και στην τελική σύνθεσή
τους για τη συγκρότηση μια συνολικής αναπαράστασης του έργου ή του
αντικειμένου.</div>
<div style="text-align: justify;">
Εντοπισμός ένα προς ένα όλων των στοιχείων,</div>
<div style="text-align: justify;">
την επεξεργασία τους και τη σύνθεσή τους στη συνολική αναπαράσταση του προβλήματος.</div>
<div style="text-align: justify;">
Μία προς μία επεξεργασία των σχέσεων μεταξύ των δεδομένων έτσι ώστε να συσχετιστούν με το ζητούμενο του προβλήματος.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Τα περισσότερα άτομα τοποθετούνται ανάμεσα στους δύο πόλους και
εμφανίζουν αναλυτικά και ολιστικά χαρακτηριστικά σε διαφορετικές
διαβαθμίσεις (Morgan,1997)</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Στο σχολικό πλαίσιο, όταν το περιεχόμενο του μαθήματος γίνεται πιο επιτηδευμένο, απαιτείται <b>συνδυασμό αναλυτικού τρόπου σκέψης και επάρκειας γνώσεων</b>. Αυτό συμβαίνει περισσότερο σε μαθήματα όπως μαθηματικά, φυσική, χημεία, γλώσσα. Οι μαθητές που υπολείπονται στις αναλυτικές μεθόδους επεξεργασίας
αποδίδουν λιγότερο στα μαθήματα αυτά, ιδιαίτερα στις ανώτερες βαθμίδες
της εκπαίδευσης. Η εμπειρική έρευνα υποδεικνύει ότι όλα τα παιδιά, ανεξάρτητα από χαρακτηριστικά γνωστικού ύφους (ολιστικός ή αναλυτικός τύπος) και
προσωπικότητας, μπορεί να εκπαιδευτούν στη χρήση αναλυτικών μεθόδων για
την επεξεργασία των σχολικών έργων. Αυτός ο προσανατολισμός της
διδασκαλίας δεν στοχεύει στην αλλαγή του γνωστικού ύφους του μαθητή.<b> Επιδίωξη είναι όλοι οι μαθητές να μπορούν να χειρίζονται
αποτελεσματικά αναλυτικές και ολιστικές διαδικασίες ανάλογα με τις
απαιτήσεις των καταστάσεων που αντιμετωπίζουν (Saracho, 1997)</b></div>
<b><div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</b><div style="text-align: justify;">
Σχεδιασμός της διδασκαλίας των μεθόδων για την επίλυση προβλημάτων Σύμφωνα με την ανάλυση που εκτέθηκε διαμορφώθηκαν <b><span style="color: #000066;">πέντε βήματα</span></b> τα οποία αφορούσαν την επεξεργασία των στοιχείων του προβλήματος</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
1.<b><span style="color: #000066;">Επεξεργασία της αρχικής αναπαράστασης-</span></b></div>
<div style="text-align: justify;">
Διδασκαλία αναλυτικών μεθόδων για την αναγνώριση των στοιχείων του προβλήματος.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Διδασκαλία μεθόδων ελέγχου και αυτοδιόρθωσης της αρχικής αναπαράστασης Ο εκπαιδευτικός παρουσιάζει και αναλύει τη μέθοδο σχετικά με τον
αναλυτικό εντοπισμό όλων των στοιχείων, και των χαρακτηριστικών τους (
προσεκτική ανάγνωση του προβλήματος, επιλογή των αναγκαίων πληροφοριών,
κατασκευή σχεδίου-όπου αυτό είναι εφικτό- η καταγραφή των δεδομένων,
ώστε να μπορούν οι μαθητές να αναπαράγουν το πρόβλημα μόνο από το σχέδιο
ή τα στοιχεία καταγραφής,σύγκριση του σχεδίου ή της καταγραφής με το
κείμενο του προβλήματος) Συζήτηση μέσα στην ομάδα για το περιεχόμενο του προβλήματος. Μέσα από
τις διαφορές στην παρουσίαση του προβλήματος, τις εκατέρωθεν εξηγήσεις
και τα επιχειρήματα του καθενός, οι μαθητές οδηγούνται στον έλεγχο και
την αυτοδιόρθωση της ερμηνείας των στοιχείων και της αναπαράστασης του
προβλήματος.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
2.<b><span style="color: #000066;">Επεξεργασία των σχέσεων</span></b></div>
<div style="text-align: justify;">
Διδασκαλία αναλυτικών μεθόδων για την αναγνώριση του
συνόλου των λογικο-μαθηματικών σχέσεων μεταξύ των στοιχείων του
προβλήματος. Συζήτηση μέσα στην ομάδα για τα κοινά και τα διαφορετικά σημεία στις
σχέσεις που έχει εντοπίσει κάθε μαθητής. Μέσα από τις εξηγήσεις και τα
επιχειρήματα που προβάλλουν οι μαθητές, οδηγούνται στον έλεγχο και στην
αυτοδιόρθωση της ερμηνείας των στοιχείων καθώς και στην κατανόηση των
σχέσεων. Εφόσον η κατανόηση του συνόλου των σχέσεων δεν είναι εφικτή με άμεσο
τρόπο, ο εκπαιδευτικός ζητά από τους μαθητές να χρησιμοποιήσουν μια
εμπειρική μέθοδο ή στρατηγική (προσεγγιστικό υπολογισμό, δοκιμή και
αποτυχία, αναλογία) για να επιλύσουν το πρόβλημα. Μέσα από τη σύγκριση
των διαφορετικών απαντήσεων οι μαθητές οδηγούνται στον έλεγχο των
σχέσεων που αναγνώρισαν και στην κατανόηση των πραγματικών σχέσεων
μεταξύ των στοιχείων.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
3.<b><span style="color: #000066;">Ελεγχος του νοήματος των επιλεγόμενων πράξεων-</span></b></div>
<div style="text-align: justify;">
Διδασκαλία μεθόδων ελέγχου του νοήματος των πράξεων που επιλέγουν οι μαθητές</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Ο εκπαιδευτικός υποδεικνύει στους μαθητές, όταν επιλέγουν μια πράξη, να
είναι σε θέση να απαντούν με σαφήνεια στα ερωτήματα: γιατί επιλέγουν
αυτή την πράξη, ποια είναι τα χαρακτηριστικά και οι ιδιότητες του
αριθμού που προκύπτει ως αποτέλεσμα, αν έχει λογικό νόημα αυτή η πράξη
με τους αριθμούς που επιλέχθηκαν. Ο εκπαιδευτικός ζητά από τους μαθητές να παρουσιάσουν και να εξηγήσουν
τις ενέργειες που έκαναν για να λύσουν το πρόβλημα, να σχολιάσουν ο ένας
τα αποτελέσματα του άλλου, να κρίνουν αν θεωρούν λογικά και αναμενόμενα
τα αποτελέσματα και να αιτιολογήσουν την άποψή τους. Μέσα απ’ αυτή τη
διαδικασία οι μαθητές αναστοχάζονται την επεξεργασία που
πραγματοποίησαν, ελέγχουν το νόημα των πράξεων, επαληθεύουν τα
αποτελέσματα και οδηγούνται στην αυτοδιόρθωση.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
4.Εφαρμογή των αλγορίθμων</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
5.<b><span style="color: #000066;">Έλεγχος του τελικού αποτελέσματος-</span></b></div>
<div style="text-align: justify;">
Διδασκαλία των αλγορίθμων, των πράξεων και των κανόνων
(όπου χρειάζεται) καθώς και διδασκαλία μεθόδων για την επαλήθευση του
τελικού αποτελέσματος</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Τέλος η αποτελεσματική έκβαση μια σχολικής δραστηριότητας όπως είναι η μαθηματική <b>επίλυση προβλήματος προϋποθέτει</b> τη συνέργεια παραγόντων τριών κατηγοριών :</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
-<b>επαρκής προϋπάρχουσα γνώση,</b></div>
<b><div style="text-align: justify;">
<b>-αποτελεσματικές γενικές μέθοδοι επεξεργασίας και</b></div>
<div style="text-align: justify;">
<b>-σύγκλιση των νοημάτων που διαμορφώνουν οι μαθητές με τα αντίστοιχα του δασκάλου.</b></div>
</b><div style="text-align: justify;">
Οι μαθητές με σχολικές δυσκολίες στα μαθηματικά υστερούν και στους τρεις αυτούς τομείς.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Άρα μια παιδαγωγική παρέμβαση θα μπορούσε να είναι αποτελεσματική αν περιέχει και τους τρεις αυτούς τομείς.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><span style="color: red;"><b>Πλεονεκτήματα της γεωμετρικής αναπαράστασης των μαθηματικών εννοιών: Η απόδειξη του θεωρήματος της Μέσης Τιμής του διαφορικού λογισμού, για συναρτήσεις μιας ή δύο πραγματικών μεταβλητών</b></span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Δημήτριος Α. Ντρίζος</div>
<div style="text-align: justify;">
Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών</div>
<div style="text-align: justify;">
drizosdim@yahoo.gr</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<b>Περίληψη</b></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Στην εργασία αυτή χρησιμοποιούμε τα πλεονεκτήματα της γεωμετρικής προσέγγισης ως στρατηγικής για την επινόηση και ανάπτυξη αποδείξεων σε πολλές μαθηματικές προτάσεις. Πιο συγκεκριμένα, χρησιμοποιούμε την γραφική αναπαράσταση του θεωρήματος της μέσης τιμής μιας πραγματικής μεταβλητής και με την βοήθεια της γεωμετρικής εποπτείας αναπτύσσουμε τόσο την κατανόηση του θεωρήματος, με όρους της γεωμετρικής αναπαράστασης, όσο και ιδέες για την απόδειξή του. Με τον τρόπο αυτό επισημαίνουμε ότι το, μεταβλητό, μήκος ενός κατάλληλου ευθυγράμμου τμήματος ή η μεταβολή μιας συνάρτησης εμβαδού, είναι κρίσιμες ιδέες για την απόδειξη. Θεωρούμε ότι με την στρατηγική αυτή η απόδειξη προκύπτει με πιο φυσιολογικό τρόπο, αντί της κλασσικής αλγεβρικής προσέγγισης, και ότι το γεωμετρικό πλαίσιο είναι αρκετά πλούσιο ώστε να μας παρέχει περισσότερες από μια ιδέες. Τέλος, επεκτείνουμε την ισχύ του θεωρήματος για πραγματικές συναρτήσεις δύο μεταβλητών και δείχνουμε ότι η απόδειξη ανάγεται στην προηγούμενη περίπτωση, δηλαδή στην συνάρτηση μιας μεταβλητής. Το ίδιο συμβαίνει και για συναρτήσεις περισσότερων μεταβλητών.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<b>1. Εισαγωγή</b></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Σε βιβλία μαθηματικών για το Λύκειο και όχι μόνο, ο διδακτικός ρόλος της γεωμετρικής εποπτείας κατά κανόνα επικεντρώνεται:</div>
<div style="text-align: justify;">
– Πρώτον, στην ερμηνεία μαθηματικών προτάσεων, αφού όμως πρώτα αυ-τές έχουν διατυπωθεί στην τελική τους μορφή και έχει παρουσιαστεί και η απόδειξη τους.</div>
<div style="text-align: justify;">
– Δεύτερον, στην γεωμετρική αισθητοποίηση ορισμένων εννοιών (όπως για παράδειγμα, της παραγώγου και του ολοκληρώματος).</div>
<div style="text-align: justify;">
– Τρίτον, στη διασαφήνιση ορισμών, που και αυτοί πρώτα έχουν ήδη δια- τυπωθεί στην τελική τους μορφή.</div>
<div style="text-align: justify;">
Με την εργασία αυτή σκοπεύουμε να αναδείξουμε τον σημαντικό ρόλο της γεωμετρικής αναπαράστασης στην επινόηση της απόδειξης μαθηματικών προτάσεων. Ο ρόλος αυτός εστιάζεται από την αρχή –και όχι ανακόλουθα μετά την απόδειξη– στη βαθύτερη κατανόηση και ερμηνεία μιας πρότασης και στον εντοπισμό των διασυνδέσεών της με άλλες προηγούμενες γνώσεις. Η αμφίδρομη διασύνδεση των τυπικών μαθηματικών διατυπώσεων με τις γεωμετρικές τους αναπαραστάσεις, συμβάλλει, με μια σειρά προσεκτικών παρατηρήσεων και συλλογισμών, στη σύλληψη των κρίσιμων ιδεών που αποτελούν συνήθως το "κλειδί" για την επινόηση της απόδειξης μιας μαθηματικής πρότασης. Να σημειώσουμε εδώ ότι, αν και οι καθηγητές μαθημα- τικών στη χώρα μας, κατά την τελευταία 20ετία, αξιοποιούν στη διδακτική πράξη –λίγο ως πολύ– τις γεωμετρικές αναπαραστάσεις, εν τούτοις, σε επίσημα εξεταστικά δοκίμια μαθητών τους, οι ίδιοι δεν αποδέχονται ως πλήρεις τις αποδείξεις μαθηματικών προτάσεων, αν αυτές βασίζονται στην γεωμετρική εποπτεία. Ως αποτέλεσμα τέτοιων αντιλήψεων, οι μαθητές προτιμούν τις αλγεβρικές προσεγγίσεις από τις αντίστοιχες γεωμετρικές: Κι αυτό γιατί πιστεύουν ότι η γεωμετρική προσέγγιση μιας πρότασης απλώς την ερμηνεύει και συμβάλλει έτσι στην κατανόησή της, δεν μπορεί όμως η ίδια να αποτελεί μαθηματική απόδειξη. Πιστεύουν ότι οι μαθηματικές αποδείξει είναι πλήρεις, μόνον όταν αυτές είναι αλγεβρικές ([1], [2]).</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<a href="https://drive.google.com/file/d/0BxbKSKHiz6zaWVB4U24tTldtelk/edit?usp=sharing"> <span style="color: #cc0000;">Περισσότερα.</span></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #990000; font-size: large;"><b>Τα λάθη και οι παρανοήσεις των μαθητών στα μαθηματικά και η διδακτική αξιοποίησή τους</b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<b>Περίληψη</b></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Η εργασία αυτή αποτελεί μια βιβλιογραφική επισκόπηση των πιο πρόσφατων ερευνών που έχουν γίνει πάνω στα λάθη των μαθητών στα μαθηματικά. Προσεγγίζουμε επιστημολογικά το λάθος και εξετάζουμε πώς αντιμετωπίζουν τα λάθη οι διάφορες θεωρίες μάθησης . Εξετάζουμε τους λόγους για τους οποίους χρειάζεται η ανάλυση των λαθών στα μαθηματικά αλλά και τι μπορούμε να κερδίσουμε κάνοντας χρήση των λαθών στη διδασκαλία. Στη συνέχεια καταγράφουμε τα πιο συχνά λάθη που έχουν εντοπιστεί στην πρόσφατη βιβλιογραφία σε βασικούς τομείς των μαθηματικών, όπως οι δεκαδικοί αριθμοί, τα κλάσματα, η άλγεβρα, η γεωμετρία, οι γραμμικές εξισώσεις κ.α. Συγχρόνως προσπαθούμε να αναλύσουμε πού οφείλονται αυτά τα λάθη, πως μπορούμε να τα αντιμετωπίσουμε αλλά και πώς μπορούμε να τα αξιοποιήσουμε διδακτικά.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<b>Εισαγωγή</b></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><i>Στο πρώτο κεφάλαιο </i></b>γίνεται μια επιστημολογική προσέγγιση του λάθους. Αρχικά γίνεται αναφορά στο γαλλικό μοντέλο των διδακτικών καταστάσεων και δίνεται ο ορισμός της γνώσης, του προβλήματος, της μάθησης και του λάθους. Διακρίνουμε τριών ειδών εμπόδια ανάλογα με το είδος προέλευσής τους και ορίσουμε το επιστημολογικό εμπόδιο. <b><i>Στο δεύτερο κεφάλαιο</i></b> γίνεται μια αναφορά σε δύο διδακτικά μοντέλα, το μοντέλο μετάδοσης και το μοντέλο έρευνας. Εξετάζουμε επίσης τη θέση του λάθους στις θεωρίες μάθησης του συμπεριφορισμού, του φορμαλισμού και του κονστρουκτιβισμού.<b><i> Στο τρίτο κεφάλαιο</i></b> αναλύουμε τι σημαίνει η κατανόηση μιας έννοιας. Εξετάζουμε τι μπορούμε να επιτύχουμε κάνοντας χρήση των λαθών στη διδασκαλία και διαχωρίζουμε την παρανόηση, το λάθος και την απροσεξία. <b><i>Στο τέταρτο κεφάλαιο</i></b> γίνεται μια αναφορά στις έρευνες που έχουν γίνει πάνω στα λάθη των μαθητών στους αριθμούς. Καταγράφονται τα συχνότερα λάθη και οι παρανοήσεις που σχετίζονται με αριθμητικές διαδικασίες, με το μηδέν, με τους δεκαδικούς και τα κλάσματα . Ιδιαίτερα στους δεκαδικούς και τα κλάσματα γίνεται μια αναλυτική αναφορά των βασικότερων παρανοήσεων. Αναφέρονται αποτελέσματα από έρευνες, αλλά καταγράφονται και διδακτικές προτάσεις που έχουν γίνει πάνω στη διδασκαλία των δεκαδικών και των κλασμάτων για την αντιμετώπιση των παρανοήσεων. <b><i>Στο πέμπτο κεφάλαιο</i></b> γίνεται μια αναφορά για τις παρανοήσεις και τα λάθη στην άλγεβρα. Παρουσιάζουμε τη δομική και λειτουργική όψη της άλγεβρας και της γνωστικές της απαιτήσεις. Τέλος αναφέρουμε μια ταξινόμηση των λαθών στις απλές γραμμικές εξισώσεις.<b><i> Στο έκτο κεφάλαιο</i></b> γίνεται μια αναφορά στα λάθη και τις παρανοήσεις που αφορούν τη διδασκαλία και τη μάθηση γεωμετρικών εννοιών. Ακολουθούν συμπεράσματα όπως και προτάσεις διδακτικής αξιοποίησης των λαθών.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #990000;"> <a href="https://drive.google.com/file/d/0BxbKSKHiz6zaOTlyNHNnXzdQanc/edit?usp=sharing">Περισσότερα</a></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<!-- Blogger automated replacement: "https://images-blogger-opensocial.googleusercontent.com/gadgets/proxy?url=http%3A%2F%2Feconomu.files.wordpress.com%2F2011%2F01%2Fdewi.jpg%3Fw%3D600&container=blogger&gadget=a&rewriteMime=image%2F*" with "https://lh3.googleusercontent.com/proxy/fH_60G8HikHeqfFRhrMVpOJJjLcfI8Ty4GQRCHf2f1Yh7SDY14NBAIh3xmln2PP-49mIUycF5-BBV2w0Dut6RM2ffKLoCqHBbNRJsN4" --><!-- Blogger automated replacement: "https://images-blogger-opensocial.googleusercontent.com/gadgets/proxy?url=http%3A%2F%2F1.bp.blogspot.com%2F-LTXeq9Qoxu8%2FUu088GWpEJI%2FAAAAAAAAA1M%2F9sdZl4hlvuE%2Fs1600%2Fdidactics.gif&container=blogger&gadget=a&rewriteMime=image%2F*" with "https://1.bp.blogspot.com/-LTXeq9Qoxu8/Uu088GWpEJI/AAAAAAAAA1M/9sdZl4hlvuE/s1600/didactics.gif" -->Αλέξανδρος Μόσχοςhttp://www.blogger.com/profile/04357778829560813366noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-7730717435979339231.post-25038382829871558962011-01-22T15:31:00.000-08:002017-02-04T07:23:01.762-08:00ΔΡΟΣΟΣΤΑΛΙΔΕΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div>
<b><span style="color: blue; font-size: large;"><i> </i></span></b><a href="http://3.bp.blogspot.com/-bcjtgQcAREE/UwTj0XyGUbI/AAAAAAAABE8/El5VJJfpO60/s1600/maths_high_school_mouse.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" src="https://3.bp.blogspot.com/-bcjtgQcAREE/UwTj0XyGUbI/AAAAAAAABE8/El5VJJfpO60/s1600/maths_high_school_mouse.gif" /></a><br />
<br />
<br />
<br />
<div style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none;">
<br /></div>
<a href="https://lh3.googleusercontent.com/proxy/2vjyf-FXet1e2TvK1zT0Po-CteV0HSRmoXQU6emVVacThFd4HPoBQ95x59jILzffETPgOMcCuYX45JYZFXU5R9WiD_dYs4la3VsAFkXC67DSlVc" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://neuronarrative.files.wordpress.com/2009/05/math_girl.jpg" height="193" unselectable="on" width="200" /></a><b><span style="color: blue; font-size: large;"><i></i></span></b><b><span style="color: blue; font-size: large;"><i>"Τα μαθηματικά </i></span></b><br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;"><i> δεν τα </i></span></b><b><span style="color: blue; font-size: large;"><i>καταλαβαίνεις ποτέ. </i></span></b><br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;"><i> Απλά τα συνηθίζεις".</i></span></b><br />
<b><span style="color: black; font-size: large;"><i><span style="color: blue;"><br /></span></i></span></b>
<b><span style="color: black; font-size: large;"><i><span style="color: blue;">Φρικτή διαπίστωση μαθητή.</span></i></span></b><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<b><span style="color: black;"><i>Αποτέλεσμα μιας διδασκαλίας που στοχεύει στην απομνημόνευση τεχνικών μεθόδων. Μιας διδασκαλίας που δεν επικεντρώνεται στην εννοιολογική κατανόηση. Δεν αναδεικνύει την αναγκαιότητα εισαγωγής των νέων μεθόδων. Δεν αντιμετωπίζει τα μαθηματικά ως κοινωνικό φαινόμενο και δεν παρουσιάζει τις ιστορικές τους αναφορές. Δεν συνδέει το μαθηματικό νόημα με την πραγματικότητα. Αγνοεί την ιδιαιτερότητα κατανόησης και παρανόησης του κάθε μαθητή. Δεν είναι ελκυστική και δεν χρησιμοποιεί σύγχρονα εποπτικά μέσα. Στηρίζεται σε ένα επιβλητικό μονόλογο του καθηγητή ( μονόπρακτο στην θεατρική διάλεκτο). Δεν δίνει αφορμές για ενεργητική συμμετοχή των μαθητών. Δεν επιτρέπει τον διαμαθητικό διάλογο. Δεν βοηθά τους μαθητές να ανακαλύψουν την νέα γνώση σε όποιο βαθμό αυτό είναι εφικτό , χωρίς να τους επιβληθεί από την αυθεντία του καθηγητή. Δεν σπάει τα αυστηρά πλαίσια του διδακτικού συμβολαίου. Δεν δείχνει το παραμικρό έλεος στο λάθος του μαθητή το οποίο τιμωρεί αδυσώπητα. Δεν αναδεικνύει βιωματικές και πειραματικές προσεγγίσεις. </i></span></b></div>
<br />
<br />
<br />
<br />
<b><span style="color: blue;"><i>Κοιτάζοντας την τόσο μισητή μου Άλγεβρα</i></span></b><br />
<b><span style="color: blue;"><i>- παιδί της θεωρίας βλέπεις - είδα πολλά.</i></span></b><br />
<b><span style="color: blue;"><i>Μια πρόσθεση διατεταγμένων δακρύων. </i></span></b><br />
<b><span style="color: blue;"><i>Μια αφαίρεση κάποιων παλιών εγκαυμάτων.</i></span></b><br />
<b><span style="color: blue;"><i>Πολλαπλασιασμό από τη γη στα σύννεφα </i></span></b><br />
<b><span style="color: blue;"><i>κι απο κει στ΄ άστρα.</i></span></b><br />
<b><span style="color: blue;"><i>Ή την αφαίρεση κάτι φόβων παιδικών </i></span></b><br />
<b><span style="color: blue;"><i>που κουβαλώ από βρέφος ....</i></span></b><br />
<br />
<b><i><span style="color: #990000;">Κωνσταντίνος Δελιόπουλος 16 ετών</span></i></b><br />
<b><i><span style="color: #990000;">Από τον διαγωνισμό παιδικής ποίησης της εφημερίδα Καθημερινή , 1 Ιουλίου 2001.</span></i></b><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br /><br /><div style="text-align: justify;">
<b style="color: blue;">"Το ξεκίνηµα της άλγεβρας το βρήκα πολύ δύσκολο, ίσως ως αποτέλεσµα κακής διδασκαλίας.Έπρεπε να αποστηθίσω: ‘το τετράγωνο του αθροίσµατος δύο αριθµών είναι ίσο µε το άθροισµα των τετραγώνων τους αυξηµένο κατά το διπλάσιο γινόµενό τους’. Δεν είχα την παραµικρή ιδέα τι σήµαινε αυτό και όταν δεν µπορούσα να θυµηθώ τα λόγια, ο δάσκαλος µου πέταγε το βιβλίο στο κεφάλι µου, πράγµα που δεν διέγειρε µε κανένα τρόπο τη νόηση µου.</b></div>
<br /><span style="color: #990000;"><b>- BERTRAND RUSSEL</b></span><br /><br /><br /><br />
<br />
<b><i><span style="color: blue;">Στα σχολικά βιβλία τα μαθηματικά παρουσιάζονται σαν μια σειρά τεχνικών διαδικασιών χωρίς νόημα.</span></i></b><br />
<b><i><br /></i></b>
<b><i><span style="color: #990000;">M. Kline</span></i></b><br />
<br />
<br />
<br />
<span style="color: blue;"><b>" H εκπαίδευση δεν είναι το γέμισμα ενός κουβά , αλλά το άναμμα μιας φλόγας ".</b></span><br />
<b><span style="color: #cc0000;">William Batler Yeats . Ιρλανδός ποιητής.</span></b><br />
<b><span style="color: #cc0000;"><br />
</span></b><br />
<br />
<br />
<b><span style="color: blue;"><i>-- Δάσκαλε δείξε μου το δρόμο.</i></span></b><br />
<b><span style="color: blue;"><i>-- Είναι στα πόδια σου!</i></span></b><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<b><i><span style="color: blue;">"Μια από τις μεγάλες παρανοήσεις σχετικά με τα μαθηματικά την οποία διαπράττουμε στις τάξεις μας είναι ότι ο δάσκαλος φαίνεται πάντα να γνωρίζει την απάντηση σε οποιοδήποτε πρόβλημα το οποίο συζητιέται."<br /><br />Leon Henkin</span></i></b><br />
<br />
<br />
<b><span style="color: blue;"><i>" Το λάθος στα μαθηματικά δεν είναι άγνοια του μαθητή. Αντίθετα είναι μια σταθερά παγιωμένη γνώση έστω και λανθασμένη. Μια γνώση που επιμένει και αντιστέκεται".</i></span></b><br />
<br />
<i><b><span style="color: blue;">" Το λάθος είναι χρήσιμο παιδαγωγικό εργαλείο. Ας μην ξεχνάμε ότι από λάθος ανακαλύφθηκε η Αμερική. Το ευτυχές λάθος του Κολόμβου!".</span></b></i><br />
<br />
<b><i><span style="color: #cc0000;">Lacatos</span></i></b><br />
<br />
<br />
<br />
<span style="color: blue;"><b>" Σκέφτομαι συνέχεια για μήνες και για χρόνια. Τις 99 φορές το συμπέρασμα είναι λάθος. Την εκατοστή είναι σωστό ".<br />
<span style="color: #cc0000;">Αλβέρτος Αϊστάιν ( 1879 - 1955).</span></b></span><br />
<br />
<b><span style="color: #cc0000;"></span></b><br />
<br />
<br />
<i><b><span style="color: blue;">" Όταν ακούω μαθηματικά τα ξεχνάω , όταν κάνω μαθηματικά μαθαίνω"</span></b></i><br />
<br />
<b><i><span style="color: blue;">Κινέζικο ρητό.</span></i></b><br />
<b>( <span style="color: red;">Learning by doing</span> , που λένε και οι Άγγλοι).</b><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<b><i><span style="color: blue;">" Κάνε ένα σχέδιο για να λύσεις ένα μαθηματικό πρόβλημα".</span></i></b><br />
<br />
<b><i><span style="color: blue;">Polya </span></i></b><br />
<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<b><span style="color: blue;"><br /></span></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><span style="color: blue;">" Ένα μαθηματικό πρόβλημα πρέπει να είναι αρκετά δύσκολο ώστε να μας κινητοποιεί. Όχι όμως απρόσιτο, ώστε να βρίσκεται πέρα από τις δυνατότητές μας. Πρέπει να λειτουργεί ως οδηγός στα δαιδαλώδη μονοπάτια της κρυμμένης αλήθειας και ως υπόμνηση της χαράς μιας επιτυχούς λύσης."</span></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><span style="color: #990000;">- DAVID HILBERT</span></b></div>
<br />
<br />
<br />
<br />
<b><span style="color: #cc0000; font-family: "courier new" , "courier" , monospace; font-size: large;">Eδώ υπάρχουν στοιχεία διδακτικής των </span></b><br />
<b><span style="color: #cc0000; font-family: "courier new" , "courier" , monospace; font-size: large;">μαθηματικών και προτάσεις διδασκαλίας.</span></b><br />
<span style="color: #cc0000; font-size: large;"><b><br /></b></span>
<span style="color: #cc0000; font-size: large;"><b><br /></b></span><br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #cc0000; font-size: large;"><b><b style="color: blue;">Δείτε παρακάτω το ηλεκτρονικό βιβλίο σε μορφή αρχείου pdf με τίτλο : "Θέματα εφαρμοσμένης διδακτικής των μαθηματικών". Περιέχει στοιχεία που αφορούν ρεαλιστικά προβλήματα , μελέτη ιστορικών προβλημάτων , γεωμετρικών μοντέλων ,πειραμάτων στα μαθηματικά , στοιχείων βιωματικής μάθησης , προβλημάτων πραγματικής κατάστασης ή μη επαρκών δεδομένων. Ακόμη εφαρμογές με χρήση Η/Υ.</b></b></span></div>
<br />
<br />
<br />
<a href="http://1.bp.blogspot.com/-AYD0s8M4XCs/Ut9zXBImeXI/AAAAAAAAAqc/F7z5BKueOcI/s1600/05-06-2013+07;13;53PM.JPG" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="200" src="https://1.bp.blogspot.com/-AYD0s8M4XCs/Ut9zXBImeXI/AAAAAAAAAqc/F7z5BKueOcI/s1600/05-06-2013+07;13;53PM.JPG" width="140" /></a><br />
<!--[if !mso]>
<style>
v\:* {behavior:url(#default#VML);}
o\:* {behavior:url(#default#VML);}
w\:* {behavior:url(#default#VML);}
.shape {behavior:url(#default#VML);}
</style>
<![endif]--><br />
<!--[if gte mso 9]><xml>
<w:WordDocument>
<w:View>Normal</w:View>
<w:Zoom>0</w:Zoom>
<w:PunctuationKerning/>
<w:ValidateAgainstSchemas/>
<w:SaveIfXMLInvalid>false</w:SaveIfXMLInvalid>
<w:IgnoreMixedContent>false</w:IgnoreMixedContent>
<w:AlwaysShowPlaceholderText>false</w:AlwaysShowPlaceholderText>
<w:Compatibility>
<w:BreakWrappedTables/>
<w:SnapToGridInCell/>
<w:WrapTextWithPunct/>
<w:UseAsianBreakRules/>
<w:DontGrowAutofit/>
</w:Compatibility>
<w:BrowserLevel>MicrosoftInternetExplorer4</w:BrowserLevel>
</w:WordDocument>
</xml><![endif]--><!--[if gte mso 9]><xml>
<w:LatentStyles DefLockedState="false" LatentStyleCount="156">
</w:LatentStyles>
</xml><![endif]--><!--[if gte mso 10]>
<style>
/* Style Definitions */
table.MsoNormalTable
{mso-style-name:"Κανονικός πίνακας";
mso-tstyle-rowband-size:0;
mso-tstyle-colband-size:0;
mso-style-noshow:yes;
mso-style-parent:"";
mso-padding-alt:0cm 5.4pt 0cm 5.4pt;
mso-para-margin:0cm;
mso-para-margin-bottom:.0001pt;
mso-pagination:widow-orphan;
font-size:10.0pt;
font-family:"Times New Roman";
mso-ansi-language:#0400;
mso-fareast-language:#0400;
mso-bidi-language:#0400;}
</style>
<![endif]--><span style="font-family: "times new roman"; font-size: 12.0pt;"></span>
<span style="color: #990000; font-size: large;"><b><a href="https://drive.google.com/file/d/0BxbKSKHiz6zaNHQxTndVYkdiaXc/edit?usp=sharing">Θέματα εφαρμοσμένης διδακτικής.</a></b></span><br />
<br />
<span style="color: #cc0000; font-size: large;"><b><br /></b></span>
<br />
<span style="color: #cc0000; font-size: large;"><b><br /></b></span>
<br />
<span style="font-size: large;"> </span><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;">Α΄ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ-ΡΕΑΛΙΣΤΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ</span></b></span><br />
<br />
<br />
<br />
<b><span style="color: #990000;"><span style="font-size: large;"> <span style="color: blue;">1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΓΙΑ ΤΗΝ </span></span></span></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><span style="color: blue; font-size: large;"> ΕΠΙΜΕΡΙΣΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ</span></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #990000;"><span style="font-size: large;"><span style="color: black;"><span style="font-size: small;"><span style="font-size: large;"><b>Πρόβλημα </b>:</span> </span> Ο κύριος Θανάσης πήγε στον μανάβη και αγόρασε 3 κιλά μήλα και 4 κιλά πορτοκάλια. Το ένα κιλό μήλα κοστίζει όσο κι ένα κιλό πορτοκάλια από 2 ευρώ. Βρείτε με δύο τρόπους πόσο πλήρωσε ο κύριος Θανάσης συνολικά. </span></span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #990000;"><span style="font-size: large;"><span style="color: black;"><b>Λύση : </b></span></span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #990000;"><span style="font-size: large;"><span style="color: black;"><b>α΄τρόπος </b> : Αξία μήλων + αξία πορτοκαλιών </span></span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #990000;"><span style="font-size: large;"><span style="color: black;"> 3 * 2 + 4 * 2</span></span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><b>β΄ τρόπος</b> : συνολικά κιλά φρούτων * τιμή ενός κιλού</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"> ( 3 + 4 ) * 2</span> </div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;">2.</span></b> <span style="color: blue;"><b>ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΚΑΘΗΜΕΡΙΝΗΣ ΖΩΗΣ </b></span></span><br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><b> ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ</b></span><br />
<br />
<b><i><span style="font-size: large;">Εισαγωγική δραστηριότητα 1</span></i></b><br />
<br />
<b><i><span style="font-size: large;">Η Ελένη πήγε στον μπακάλη με ένα δεκάευρο για να αγοράσει 2 τετράδια προς 4 ευρώ το ένα και ένα σετ χάρακες των 6 ευρώ. Πόσα ρέστα πήρε;</span></i></b><br />
<br />
<span style="font-size: large;"><b>Λύση </b>: Βρισκόμαστε στην παράδοξη αφαίρεση 10 - 12. Οι μαθητές κατανοούν ότι η Ελένη είναι χρεώστης 2 ευρώ. Οδηγούμαστε έτσι μέσα από πρόβλημα καθημερινής ζωής στην πράξη 10-12=-2 . </span><span style="font-size: large;">Το - δηλώνει το χρέος.</span><br />
<br />
<br />
<br />
<b><i><span style="font-size: large;">Δραστηριότητα 2 </span></i></b><br />
<br />
<span style="font-size: large;"><b><i>Ο Νίκος βρίσκεται στο αμάξι του πατέρα του που κινείται επιστρέφοντας σπίτι.Βιάζεται να επιστρέψει γιατί στην τηλεόραση ΄προβάλλεται ο αγώνας μπάσκετ μεταξύ ΑΡΗ - ΠΑΟΚ.Φτάνονας σπίτι προλαβαίνει μόνο τα στατιστικά του αγώνα και όχι τον τελικό νικητή ή το σκορ.</i></b></span><br />
<span style="font-size: large;"><b><i>ο Άρης λοιπόν πέτυχε δύο βολές ενός πόντου περισσότερες από τον ΠΑΟΚ , τρία δίποντα λιγότερα και ένα τρίποντο περισσότερο. Ποια ομάδα νίκησε και με πόσους πόντους διαφορά;</i></b></span><br />
<br />
<span style="font-size: large;"><b>Λύση </b>: Οι πόντοι του Άρη σε σχέση με αυτούς του ΠΑΟΚ είναι : +2 - 3*2 + 1.3 = 2 -6+3 = -4 =3 =-1</span><br />
<span style="font-size: large;">Άρα έχασε ο Άρης με έναν πόντο διαφορά.</span><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>3. ΓΙΑΤΙ Ο ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ </b></span><br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><b> ΠΡΟΗΓΕΙΤΑΙ ΤΗΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ; </b></span><br />
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><b> ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ.</b></span><br />
<br />
<span style="font-size: large;"><b><i>Ο Κώστας αγόρασε δύο μολύβια προς 1,5 ευρώ το ένα και 3 τετράδια προς 2 ευρώ το ένα. Πόσα χρήματα πλήρωσε;</i></b></span><br />
<br />
<span style="font-size: large;"><b>Λύση</b> : Αξία μολυβιών = 2 * 1,5 = 3 ευρώ </span><br />
<span style="font-size: large;"> Αξία τετραδίων = 3 *2 = 6 ευρώ </span><br />
<span style="font-size: large;"> συνολική αξία = 3 + 6 = 9</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">Στο παρακάτω πρόβλημα φαίνεται ότι ο πολλαπλασιασμός προηγείται. Αυτό φαίνεται μάλιστα καλύτερα αν την συνολική αξία την γράφαμε : 2* 1,5 + 3 * 2, οπότε πρέπει να λύσουμε ως εξής : 2* 1,5 + 3 * 2 = 3 + 6 = 9. Προηγείται δηλαδή ο πολλαπλασιασμός γιατί πρώτα πρέπει να βρούμε την αξία των μολυβιών και των τετραδίων. Η συνολική αξία που απαιτεί πρόσθεση ( σούμα ) γίνεται στο τέλος.</span><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>4. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΣΤΗΝ ΔΥΜΑΜΗ</b></span><br />
<br />
<span style="font-size: large;"><b><i>1. Σε μια λίμνη υπάρχει ένα νούφαρο μήκους 2 cm .Κάθε μέρα διπλασιάζει το μήκος του. Να καταγράψετε τα μήκη του νούφαρου στη διάρκεια των πρώτων 5 ημερών:</i></b></span><br />
<br />
<span style="font-size: large;"><b>Λύση </b> : 1η μέρα : 2 cm</span><br />
<span style="font-size: large;"> 2η μέρα : 2 * 2 cm</span><br />
<span style="font-size: large;"> 3η μέρα : 2 * 2 * 2 cm</span><br />
<span style="font-size: large;"> 4η μέρα : 2 * 2 * 2 * 2 cm</span><br />
<span style="font-size: large;"> 5η μέρα : 2 * 2 * 2 * 2 * 2</span><br />
<br />
<br />
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>ΑΛΛΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ</b></span><br />
<span style="color: blue;"><br />
</span><br />
<span style="font-size: large;"><b>2.</b> <b><i>Ένα σχολείο έχει 6 αίθουσες. Κάθε αίθουσα έχει 6 παράθυρα. Κάθε παράθυρο έχει 6 τζάμια. Πόσα τζάμια υπάρχουν στο σχολείο;</i></b></span><br />
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>3. ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΡΧΑΙΑΣ ΑΙΓΥΠΤΟΥ</b></span><br />
<span style="font-size: large;"><b><i>Σε καθένα από 7 σπίτια ζουν 7 γάτες. Κάθε γάτα τρώει 7 ποντίκια. Κάθε ποντίκι τρώει 7 στάχυα. Κάθε στάχυ γεμίζει 7 δοχεία. Πόσα δοχεία χρειαζόμαστε;</i></b></span><br />
<br />
<br />
<span style="font-size: large;"><span style="color: blue;">4. <b>ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΡΧΑΙΑΣ ΑΙΓΥΠΤΟΥ</b></span></span><br />
<span style="font-size: large;"><b><i>Ένας άντρας έχει 7 συζύγους. Κάθε σύζυγος έχει 7 σάκκους.<br />
Κάθε σάκκος έχει γάτες. Κάθε γάτα έχει 7 γατάκια. Πόσοι είναι οι σάκκοι , οι γάτες και τα γατάκια;</i></b></span><br />
<br />
<br />
<br />
<span style="color: blue;"><br />
</span><br />
<span style="font-size: large;"><span style="color: blue;">5. <b> ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ </b></span></span><br />
<div style="text-align: justify;">
<b><span style="font-size: large;"><span style="color: blue;"> </span><span style="color: blue;">ΣΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΥ</span></span></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: orange;"><br />
</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><b><i>Δύο γειτονικές παιδικές κατασκηνώσεις Α και Β απέχουν αρκετά από την παραλία. Οι υπεύθυνοι σκέφτονται να κατασκευάσουν μια εγκατάσταση beach βόλεϋ στην ακτή. Σε ποιο σημείο της παραλίας πρέπει να γίνει η εγκατάσταση ώστε να απέχει εξίσου από τις δύο κατασκηνώσεις.</i></b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br />
<b></b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><b>Λύση :</b> Το ζητούμενο σημείο είναι το σημείο τομής της μεσοκαθέτου του ΑΒ με την παραλία.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><b>Σχόλιο </b>: Η παρουσίαση μπορεί να γίνει στο <b><span style="background-color: #cfe2f3;">SKETCHPAD</span></b> . Μπορούμε να χρηιμοποιήσουμε εικόνα τοπίου και δύο σπιτάκια στις θέσεις Α , Β που παριστάνουν τις κατασκηνώσεις. Με απόκρυψη και εμφάνιση αντικειμένων εμφανίζονται το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ , η μεσοκάθετος του , η ευθεία ε της παραλίας και το σημείο τομής της με την μεσοκάθετο. Επίσης σημείο Ε κινείται με προσθήκη κίνησης πάνω στην ε. Με μετρτήσεις διαιστώνεται ότι ΕΑ=ΕΒ όταν το Ε πέσει στο σημείο τομης της μεσοκαθέτου με την ε. Έχουμε εικόνα , γεωμετρία σε πραγματικό περιβάλλον , κίνηση και εμπειρική διαπίστωση μέσα από μετρήσεις.</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">Το ίδιο πρόβλημα μπορεί να παρουσιαστεί με ποτάμι αντί για θάλασσα και εγκατάσταση καγιάκ αντί για beach βόλεϋ</span><img alt="" src="http://4.bp.blogspot.com/_f8OA_RWmN6A/TQd3xJ6KJhI/AAAAAAAAAK8/Uv595w_4eWg/S250/img021.jpg" height="400" id="Image10_img" width="283" /></div>
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><span style="color: black;"><span style="color: blue;">6</span>. </span><b><span style="color: blue;">ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ</span></b></span><br />
<br />
<div style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><i><span style="color: black; font-size: small;"><b>Δύο κωμοπόλεις Α , Β απέχουν 12 χιλιόμετρα. Μια πολυεθνική εταιρεία θέλει να κατασκευάσει ένα πολυκατάστημα λίγο έξω από τις κατοικημένες περιοχές. Σε ποια θέση Γ πρέπει να επιλέξει την κατασκευή ώστε η απόσταση : ΑΓΒ να είναι 15 χιλιόμετρα. Με τον τρόπο αυτό αν ξεκινήσει κάποιος από την μία κωμόπολη στην άλλη μέσω της θέσης Γ να μην ξεφύγει πολύ από τα 12 χλμ.</b></span></i><br />
<span style="font-size: small;"><br />
<span style="color: black;"></span></span><br />
<span style="color: black; font-size: large;">Απάντηση : Η θέση Γ ανήκει στην έλλειψη με εστίες τα Α , Β και ΓΑ + ΓΒ = 2α= 15.</span><br />
<span style="color: black;"><span style="font-size: large;"> Σχόλιο : Η παρουσίαση μπορεί να γίνει στο </span></span></span><span style="font-size: large;"> SKETCHPAD . Επικολλούμε μια εικόνα ενός χάρτη στην οθόνη του προγράμματος. Σημειώνουμε δύο σημεία Α , Β στις θέσεις των πόλεων. Μπορούμε να δημιουργήσουμε με σχεδίαση ίχνους έλλειψη με εστίες τα Α , Β. Τα σημεία της έλλειψης έχουν σταθερό άθροισμα αποστάσεων από τα Α και Β. αποτελούν λύση του προβλήματος.</span></div>
<div style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none;">
<br /></div>
<div style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none;">
<br /></div>
<div style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><img alt="" src="http://3.bp.blogspot.com/_f8OA_RWmN6A/TQd0SG5pCHI/AAAAAAAAAK0/-BgwjXAI1Ks/S250/img020.jpg" height="400" id="Image10_img" width="282" /></span></div>
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><i><span style="font-size: large;"><b>7. <span style="color: blue;">ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΚΑΘΗΜΕΡΙΝΟΤΑΣ</span></b></span></i><br />
<i><span style="color: blue; font-size: large;"><b> ΩΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ</b></span></i></span><br />
<b><i><span style="color: blue; font-size: large;"></span></i></b><span style="color: blue; font-size: large;"><br />
<span style="color: black;"><i>Ένας τηλεφωνικός κατάλογος μια πόλης περιέχει 9.991 ονόματα ανθρώπων σε λιγότερες από 100 σελίδες. Πόσες σελίδες έχει ο κατάλογος και πόσα ανόματα περιέχονται ανά σελίδα;</i></span><br />
<span style="color: black;">Απάντηση: 9991 = 10000 - 9 = 1002 -32 (τα δυάρια είναι εκθέτες). </span><span style="color: black;"> = ( 100 +3 ) ( 100 - 3 ) = 103 χ 97.</span><br />
<span style="color: black;">Άρα υπάρχουν 97 σελίδες και 103 ονόματα ανά σελίδα.</span><b><br />
</b></span><br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: blue;"><span style="font-size: large;"></span></span> <span style="color: blue;"><br />
<br />
<span style="font-size: large;"><span style="color: blue;"><b>8. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ </b></span><br />
<span style="color: blue;"><b> ΣΤΗΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟ</b></span></span><b><br />
</b><br />
<span style="font-size: large;"><span style="color: black;"><i><b>Μία σκάλα έχει το πρώτο σκαλοπάτι σε ύψος 20 εκατοστών από το έδαφος. Το κάθε επιπλέον σκαλοπάτι έχει ύψος 30 εκατοστά. Πόσο απέχουν από το έδαφος το δεύτερο , το τρίτο , το τέταρτο κλπ σκαλοπάτι;</b></i></span></span><b><br />
</b><br />
<span style="font-size: large;"><b>Απάντηση :</b> <span style="color: black;">το δεύτερο = 20 +30 = 50cm </span><br />
<span style="color: black;"> το τρίτο = 50 + 30 = 80 κ.λ.π. </span><br />
<span style="color: black;">Πρόκειται για αριθμητική πρόοδο με πρώτο όρο 20 και διαφορά 30.</span><br />
<br />
<br />
<span style="color: blue;"><b> 9. ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ</b></span></span><b><br />
</b><br />
<span style="font-size: large;"><span style="color: black;"><b>Α. ΟΡΙΣΜΟΣ</b></span><br />
<i><span style="color: black;"><b><u>Δραστηριότητα 1</u> :</b> Σχεδιάζουμε σε μια ευθεία γραμμή ένα σπιτάκι που παριστάνει το σπίτι του μικρού Νικόλα και πιο πέρα το σχολείο του. Το πρωί ο Νικόλας κατευθύνεται από το σπίτι στο σχολείο. το μεσημέρι αντίστροφα από το σχολείο στο σπίτι. Τι ομοιότητες και τι διαφορές έχουν οι δύο διαδρομές;</span></i><br />
<span style="color: black;"><b>Απάντηση:</b> Αναδεικνύεται ότι οι δυο διαδρομές αφορούν το ίδιο ευθύγραμμο τμήμα , την ίδια απόσταση. Η διαφορά βρίσκεται στον προσανατολισμό ( φορά). Έτσι εισάγουμε το διάνυσμα ως προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα.</span><br />
<br />
<span style="color: black;"><b>ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ</b></span><br />
<span style="color: black;"><i><b>Δραστηριότητα 2</b>: Οι μαθητές ενός γυμνασίου είναι παρατεταγμένοι σε τριάδες στο μάθημα της γυμναστικής.</i></span><br />
<span style="color: black;"><i>α. Ο καθηγητής δίνει το παράγγελμα : κινηθείτε . Είναι αρκετός . Τι λείπει;</i></span><br />
<span style="color: black;"><i>β. Αν δώσει το παράγγελμα : κινηθειτε εμπρός τι είδους κινήσεις παρατηρείτε;</i></span><br />
<span style="color: black;"><b>Απάντηση </b>: α. Εδώ φαίνεται το έλλειμμα ορισμού διεύθυνσης κίνησης.</span><br />
<span style="color: black;">β. Παρατηρούμε ότι στο παράγγελμα εμπρός που ορίζει μία διεύθυνση κίνησης οι μαθητές κινήθηκαν ή στην ίδια ευθεία ( όσοι βρίσονται στην ίδια στήλη ) ή σε παράλληλες ευθείες ( μαθητές διαφορετικών στηλών) . Η κίνηση στην ίδια ή παράλληλη ευθεία γίνεται και στα παραγγέλματα αριστερά , δεξιά, πίσω. Κατανοείται έτσι γιατί ως διεύθυνση διανύσματος ορίζουμε τον φορέα του αλλά και κάθε παράλληλή του ευθεία.</span></span><span style="color: black;"><br />
</span><br />
<span style="font-size: large;"><span style="color: black;"><b>ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΔΙΑΔΟΧΙΚΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ</b></span><br />
<span style="color: black;"><i><b>Δραστηριότητα 3</b> : Τρεις πόλεις Α, Β , Γ σχηματίζουν τρίγωνο. Ο Δημήτρης κινείται από την Α στην Β και κατόπιν στην Γ. Ο Κώστας πηγαίνει απευθείας από την Α στη Γ. Τι ομοιότητες βλέπετε στις δύο διαδρομές.</i></span><br />
<span style="color: black;"><b>Απάντηση </b>: Κοινή αφετηρία και κοινός προορισμός. Δικαιολογείται έτσι εμπειρικά η διανυσματική πρόσθεση :</span><br />
<span style="color: black;">---> ---> ---></span><br />
<span style="color: black;">ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ</span></span></span><br />
<br />
<br />
<span style="font-size: large;"><b><span style="color: blue;">10. ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΣΤΙΣ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ</span></b></span><span style="font-size: large;"></span><br />
<span style="font-size: large;"></span><br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black; font-size: large;"><i><b>Δραστηριότητα :</b> Σε μια επαρχιακή πόλη κυκλοφορούν δύο είδη ταξί. Τα κίτρινα χρεώνουν 0,4 ευρώ ανά χιλιόμετρο και δεν βάζουν σημαία ( πάγια χρέωση). Τα κόκκινα χρεώνουν σημαία 0.7 ευρώ και 0,35 ευρώ για κάθε χιλιόμετρο μετακίνησης.</i></span><br />
<span style="color: black; font-size: large;"><i>Πότε είναι συμφερότερο να χρησμοποιούμε τα κίτρινα και πότε τα κόκκινα ταξί;</i></span><br />
<span style="color: black;"><span style="font-size: large;"><b>Απάντηση</b> : κίτρινα ταξί y= 0,4x ( x = χιλιόμετρα , y </span> =<span style="font-size: large;"> τιμή )</span></span><br />
<span style="color: black;"><span style="font-size: large;">κόκκινα : y = 0,35x+0,7.Κάνοντας γραφικές παραστάσεις των δύο συναρτήσεων σε πρόγραμμα Sketchpad παρατηρούμε ότι για χ=14 οι γ.π τέμνονται.Επιπλέον για χ<14 η y = 0,4x βρίσκεται κάτω από την y = 0,35x+0,7 , ενώ για χ>14 γίνεται το αντίστροφο. Έτσι μπορούμε να πούμε ότι για αποστάσεις μικρότερες των 14 χιλιομέτρων συμφέρει να πάρουμε τα κίτρινα ταξί ενώ για κινήσεις πάνω από 14 km συμφέρουν τα κόκκινα.</span><span style="font-size: small;"> </span></span></div>
<br />
<br />
<br />
<table border="0" cellspacing="0" cols="7" frame="void" rules="none"><colgroup><col width="86"></col><col width="50"></col><col width="55"></col><col width="59"></col><col width="61"></col><col width="56"></col><col width="58"></col></colgroup><tbody>
<tr><td align="left" height="26" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;" width="86"><b><span style="font-size: small;">Km</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="1" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;" width="50"><b><span style="font-size: small;">1</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="3" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;" width="55"><b><span style="font-family: "times new roman"; font-size: small;">3</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="5" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;" width="59"><b><span style="font-size: small;">5</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="14" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;" width="61"><b><span style="font-size: small;">14</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="15" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;" width="56"><b><span style="font-size: small;">15</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="16" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;" width="58"><b><span style="font-size: small;">16</span></b></td></tr>
<tr><td align="left" height="29" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">τιμή (Α)</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="0,4" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">0,4</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="1,2" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">1,2</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="2" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">2</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="5,6" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">5,6</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="6" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">6</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="6,4" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">6,4</span></b></td></tr>
<tr><td align="left" height="29" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">τιμή (Β</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="1,05" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">1,05</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="1,75" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">1,75</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="2,45" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">2,45</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="5,6" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">5,6</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="5,95" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">5,95</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="6,3" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">6,3</span></b></td></tr>
</tbody></table>
<div style="text-align: justify;">
<br />
<img alt="" height="177" id="Image9_img" src="https://4.bp.blogspot.com/-b1krS-VtEBc/TZl2Hb27o5I/AAAAAAAAAYE/s-9Z-jj17eU/s250/img060.jpg" width="250" /><br />
<br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;">11. Πρόβλημα καθημερινής ζωής στα ποσοστά.</span></b></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="color: black; font-size: large;">Ο Ιάσονας , ένας μαθητής ( 14 ετών) με τον πατέρα του , τη μητέρα του και τα αδέρφια του Δάφνη( 9 ετών ) και Αλέξανδρο ( 6 ετών ) πήγαν διακοπές σε μια κατασκήνωση την ' Χρυσή ακτή'. Έφτασαν εκεί το μεσημέρι της 12 Αυγούστου και έφυγαν πρωί της 8 Σεπτεμβρίου. Στο παρακάτω πίνακα φαίνεται το κοστολόγιο της ημερήσιας διαμονής όπως το μοίρασε σε φυλλάδιο η κατασκήνωση. </span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br />
<span style="color: black;"></span></span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="color: black; font-size: large;"> ΚΟΣΤΟΣ ΗΜΕΡΗΣΙΑΣ ΔΙΑΜΟΝΗΣ</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br />
<span style="color: black;"></span></span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="color: black;"> <span style="font-size: small;"> Άτομα </span></span><span style="color: black; font-size: small;">άνω των 7 ετών Σκηνή Αυτοκίνητο Ηλεκτρικό σκύλος</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="color: black; font-size: small;"> 8 ευρώ 5ευρώ 15 ευρώ 10 ευρώ 5 ευρώ</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="color: black;"><br />
<span style="font-size: small;"></span></span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="color: black;"><br />
<span style="font-size: small;"></span></span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="color: black;">-- Τα παιδιά κάτω των 7 ετών έχουν έκπτωση 50%.</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="color: black;">-- Οι τιμές αυτές ισχύουν για τον Ιούλιο και Αύγουστο. Τους άλλους μήνες γίνεται έκπτωση 20%.</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="color: black;">-- Οι οικογένειες που διαμένουν στην κατασκήνωση για περισσότερες από 25 μέρες γίνεται έκπτωση 20% στην τελική συνολική τιμή πληρωμής.</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br />
<span style="color: black;"></span></span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="color: black; font-size: large;">Αν γνωρίζουμε ότι η οικογένεια του Ιάσονα δεν έχει σκύλο , δεν θα χρησιμοποιήσει τον ηλεκτρικό και όλοι θα βολευτούν σε μια σκηνή πόσο θα κοστίσει η διαμονή της στην κατασκήνωση ;</span><br />
<br />
<br />
<span style="color: black;"><span style="color: blue;"><b>12. <span style="font-size: small;">ΡΕΑΛΙΣΤΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΣΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ROLLE.</span></b></span><br />
<br />
<span style="font-size: small;"><i><u>ΠΡΟΒΛΗΜΑ</u></i> :Οι πρόποδες δύο βουνών βρίσκονται σε ευθεία παράλληλη προς την επιφάνεια της θάλασσας. Ένας ορειβάτης ξεκινά από τους πρόποδες του πρώτου βουνού και αναριχάται και στα δύο βουνά. Να δικαιολογήσετε γιατι να κινηθεί κάποτε σε δόμο παράλληλο προς την επιφάνεια της θάλασσας.</span></span><br />
<br />
<img alt="" height="177" id="Image9_img" src="https://4.bp.blogspot.com/-cl0yDRiEzJk/TZl1rG9E9DI/AAAAAAAAAX8/lJkBM-LoTA8/s250/img024.jpg" width="250" /><br />
<br />
<span style="color: black;"><b><span style="color: blue; font-size: small;">13. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΟΥ ΦΡΑΠΕ</span></b></span><br />
<span style="color: blue; font-size: small;"><b> ΡΕΑΛΙΣΤΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΣΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ</b></span><br />
<span style="font-size: small;"><br />
</span><br />
<span style="font-size: small;"><i><b><u>ΠΡΟΒΛΗΜΑ</u> :</b> <span style="color: black;">Ένα ποτήρι ύψους 14cm περιέχει φραπέ μέχρι ύψους 6cm. To καλαμάκι μήκους 16cm βρίσκεται στο ποτήρι όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Πόσα εκατοστά από το καλαμάκι είναι βυθισμένο στον καφέ</span></i><span style="color: black;">;</span></span><br />
<br />
<img alt="" src="http://2.bp.blogspot.com/_f8OA_RWmN6A/TQfE5-etr4I/AAAAAAAAAME/CFLtXbEnOw8/S250/img029.jpg" height="320" id="Image10_img" width="226" /></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><b> </b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black;"><span style="font-size: small;"><span style="color: blue;"><b>14. ΡΕΑΛΙΣΤΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ.</b></span></span> </span><br />
<br />
<span style="color: black;"><span style="font-size: small;">Στις σκανδιναβικές χώρες π.χ στην Νορβηγία χρησιμοποιούν το παρακάτω ρεαλιστικό μοντέλο για την αισθητοποίηση των παράλληλων ευθειών. Δίνουν την εικόνα του σκιέρ που φορώντας τα χιονοπέδιλά του κάνει σκι. Τα χιονοπέδιδα αποτυπώνουν παράλληλες ευθείες καθώς ο σκιέρ διασχίζει τη πίστα. Μοιάζει μάλιστα να προσπαθεί να αποδείξει ότι οι γραμμές αυτές που αποτυπώνονται κάποτε θα συναντηθούν. Σαν να είναι αυτός ο σκοπός του παιχνιδιού. Όσο όμως κι αν προσπαθεί τίποτα δεν καταφέρνει. Τι μάταιος σκοπός αλήθεια!</span></span><br />
<br />
</div>
</div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>Β΄ ΧΡΗΣΗ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΣΤΗΝ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ.</b></span></div>
<br />
Έχει επισημανθεί η αξία της χρήσης μοντέλων από την πραγματική ζωή στην κατανόηση μαθηματικών εννοιών. Ας δούμε μερικά παραδείγματα.<br />
<br />
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>1. ΜΝΗΜΟΝΙΚΟΣ ΚΑΝΟΝΑΣ</b><span style="color: black; font-size: small;"> </span></span><br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><b> ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΜΝΗΜΟΝΕΥΣΗ </b></span><br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><b> ΤΩΝ ΚΑΝΟΝΩΝ ΠΡΟΣΗΜΩΝ </b></span><br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><b> ΣΤΟΝ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΜΟ.</b></span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">Έστω δύο ποδοσφαιρικές ομάδες . Ας υποθέσουμε ότι το πρόσημο + παριστάνει έναν συμπαίκτη μου και το - έναν αντίπαλό μου. </span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">Τότε : + * - = -</span><br />
<span style="font-size: large;"> ( ο συμπαίκτης του αντιπάλου μου = αντίπαλος).</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;"> - * + = -</span><br />
<span style="font-size: large;"> ( ο αντίπαλος του συμπαίκτη μου = αντίπαλος )</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;"> + * + = +</span><br />
<span style="font-size: large;"> ( ο συμπαίκτης του συμπαίκτη μου = συμπαίκτης ).</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;"> - * - = +</span><br />
<span style="font-size: large;"> ( ο αντίπαλος του αντιπάλου μου = συμπαίκτης μου )</span><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<span style="font-size: large;"><span style="color: blue;"><span style="color: blue;">2</span><b>. Α΄ Η ΑΡΧΗ ΤΟΥ ΠΕΡΙΣΤΕΡΩΝΑ </b></span></span><br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><b> ΣΤΑ ΒΕΛΟΕΙΔΗ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ.</b></span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">Για να καταλάβουμε πότε ένα βελοειδές διάγραμμα παριστάνει συνάρτηση και πότε όχι :</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">Ας παρομοιάσουμε τα στοιχεία του πρώτου συνόλου Α με περιστέρια και τα στοιχεία του δεύτερου με τις φωλιές τους.</span><br />
<span style="font-size: large;">Βασικές λογικές αρχές για να αντιστοιχίσουμε με βέλη τα περιστέρια με τις φωλιές είναι :</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">1. Δεν μπορεί να υπάρχει περισευούμενο περιστέρι χωρίς φωλιά.</span><br />
<span style="font-size: large;">2. Δεν μπορεί ένα περιστέρι να αντιστοιχεί σε δυο φωλιές. Το αντίστροφο μπορεί να συμβαίνει , δηλαδή δυο περιστέρια να μοιράζονται την ίδια φωλιά ( συνάρτηση μη "1- 1" ).</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">Το ίδιο μοντέλο μπορεί να χρησιμοποιηθεί αν αντί για περιστέρια και φωλιές θεωρήσουμε αντιστοιχία : ονομάτων ανθρώπων με τις πόλεις καταγωγής τους. ( Δεν υπάρχει άνθρωπος χωρίς πόλη που γεννήθηκε , ούτε είναι δυνατό να γεννήθηκε σε δυο πόλεις. Αντίθετα γίνεται δύο άνθρωποι να γεννήθηκαν στην ίδια πόλη).</span><br />
<br />
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>Β΄ Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΩΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΗ</b></span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">Η συνάρτηση μπορεί να παρομοιαστεί επίσης με μια μαθηματική μηχανή με δύο εξαρτήματα. Το πεδίο ορισμού και τον τύπο. Διαθέτει επίσης δύο μονάδες μία εισόδου και μία εξόδου.</span><br />
<span style="font-size: large;">Από την είσοδο μπαίνει το χ. Η μηχανή ελέγχει ( με το πεδίο ορισμού) αν το χ ανήκει σε αυτό. Αν όχι δεν το δέχεται μέσα. Αν ανήκει μπαίνει και κάνοντας πράξεις στον τύπο βρίσκει το αντίστοιχο f(x) = y . Oπότε εξέρχεται το αντίστοιχο y.</span><br />
<br />
<img alt="" src="http://1.bp.blogspot.com/_f8OA_RWmN6A/TQhsivY0QjI/AAAAAAAAAMU/3BtUnFG4SI0/S250/img033.jpg" height="400" id="Image10_img" width="283" /><br />
<span style="font-size: large;">Το μοντέλο αυτό της συνάρτησης ως μαθηματικής μηχανής μπορεί να βοηθήσει επίσης και στην κατανόηση της σύνθεσης συναρτήσεων f o g.</span><br />
<span style="font-size: large;"><img alt="" src="http://1.bp.blogspot.com/_f8OA_RWmN6A/TQhtjbcBUKI/AAAAAAAAAMc/p27PYJJNPHU/S250/img034.jpg" height="400" id="Image10_img" width="282" /></span><br />
<br />
<br />
<br />
<span style="font-size: large;"><span style="color: blue;"><span style="color: blue;">3</span><b><span style="color: blue;">. " Ο</span> ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΦΟΥΝΤΟΥΚΙΩΝ"</b></span></span><br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;"> ΣΤΗΝ ΑΝΑΓΩΓΗ ΟΜΟΙΩΝ ΟΡΩΝ</span></b><br />
<br />
<br />
<span style="font-size: large;">Έστω x = φουντούκι. Τότε ισχύει ο παρακάτω κανόνας των φουντουκιών :</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;"><b>3 φουντούκια + 2 φουντούκια = 5 φουντούκια</b></span><br />
<br />
<span style="font-size: large;"><b>3 x + 2 x = 5 x </b></span><br />
<br />
<br />
<span style="font-size: large;">Πιο συνοπτικά : 3x + 2x = 5x </span><br />
<br />
<br />
<span style="font-size: large;">Αν τώρα θεωρήσουμε ως y = καρύδια</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">2 φουντούκια + 3 καρύδια = ;</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">2x+ 3y δεν απλοποιείται.</span><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">4.<b><span style="color: blue;"> ΓΙΑΤΙ ΕΤΣΙ Ο ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ;</span></b></span></div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<b><span style="color: blue; font-size: large;"> ΩΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΕΠΙΜΕΡΙΣΤΙΚΗΣ ΙΔΙΟΤΗΤΑΣ</span></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br />
</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"> Ας κάνουμε τον πολλαπλασιασμό : 23 Χ 12</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br />
</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"> 23</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"> x 12</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"> -----------</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"> 46</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"> + 23 Γιατί το 3 πηγαίνει μια θέση αριστερά;</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">-------------</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"> 2 76</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br />
</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br />
</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><b>Απάντηση</b> : 23 Χ 12 = 23 Χ ( 10 +2 ) =</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"> = 23 Χ10 + 23 Χ 2 = 230 + 46.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Άρα το 46 πρέπει να προστεθεί με το 230. </span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"></span></div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;"> Γ΄ ΧΡΗΣΗ Η /Υ ΣΤΗΝ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΑΞΗ.</span></b><br />
<div style="text-align: justify;">
<br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;"></span></b></div>
<div style="color: blue; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: large;">1. ΤΟ EXCEL ΣΤΗΝ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ</span></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br />
</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Μπορεί να χρησιμοποιηθεί το excel για δημιουργία τυπολογίων </span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">και για εμπειρική διαπίστωση μαθηματικών σχέσεων με διαδοχικές μετρήσεις.</span></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<b><span style="font-size: large;">α. ΣΤΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ</span></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Σε μια στήλη βάζουμε τιμές του χ και στην δεύτερη υπολογίζουμε </span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">τις αντίστοιχες τιμές ενός τριωνύμου. π.χ χ2-5χ +6 .</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Παρατηρούμε εμπειρικά μέσα από πολλές μετρήσεις ότι εντός των ριζών το τριώνυμο είναι ετερόσημο του α και εκτός ομόσημο του α. Μπορούμε να εμπλουτίσουμε συγχρόνως τους πίνακες αυτούς του <span style="background-color: #cfe2f3;"><b>excel</b></span> με γραφικές παραστάσεις της αντίστοιχης παραβολής από το <span style="background-color: #cfe2f3;"><b>SKETCHPAD.</b></span>Τα γραφικά αυτά γίνονται επικόλληση στην σελίδα του excel. Έτσι εκτός από την αριθμητική επιβεβαίωση του προσήμου του τριωνύμου γίνεται και γραφική επαλήθευση.</span></div>
<br />
<table border="0" cellspacing="0" cols="13" frame="void" rules="none"><colgroup><col width="86"></col><col width="50"></col><col width="42"></col><col width="41"></col><col width="39"></col><col width="42"></col><col width="30"></col><col width="39"></col><col width="29"></col><col width="27"></col><col width="34"></col><col width="35"></col><col width="29"></col></colgroup><tbody>
<tr><td align="left" height="24" width="86"><span style="font-size: medium;"><br />
</span></td><td align="left" width="50"><span style="font-size: medium;"><br />
</span></td><td align="left" width="42"><span style="font-size: medium;"><br />
</span></td><td align="left" width="41"><span style="font-size: medium;"><br />
</span></td><td align="left" width="39"><span style="font-size: medium;"><br />
</span></td><td align="left" width="42"><span style="font-size: medium;"><br />
</span></td><td align="left" width="30"><span style="font-size: medium;"><br />
</span></td><td align="left" width="39"><span style="font-size: medium;"><br />
</span></td><td align="left" width="29"><span style="font-size: medium;"><br />
</span></td><td align="left" width="27"><span style="font-size: medium;"><br />
</span></td><td align="left" width="34"><span style="font-size: medium;"><br />
</span></td><td align="left" width="35"><span style="font-size: medium;"><br />
</span></td><td align="left" width="29"><span style="font-size: medium;"><br />
</span></td></tr>
<tr><td align="left" height="24" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: medium;">x</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="-3" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: medium;">-3</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="-2" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: medium;">-2</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="-1" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: medium;">-1</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="0" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: medium;">0</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="1" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: medium;">1</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="2" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: medium;">2</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="3" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: medium;">3</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="4" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: medium;">4</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="5" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: medium;">5</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="6" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: medium;">6</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="7" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: medium;">7</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="8" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: medium;">8</span></b></td></tr>
<tr><td align="left" height="24" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: medium;">x2 -5x+ 4</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="28" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: medium;">28</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="18" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: medium;">18</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="10" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: medium;">10</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="4" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: medium;">4</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="0" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: medium;">0</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="-2" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: medium;">-2</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="-2" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: medium;">-2</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="0" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: medium;">0</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="4" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: medium;">4</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="10" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: medium;">10</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="18" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: medium;">18</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="28" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: medium;">28</span></b></td></tr>
<tr><td align="left" height="20"><span style="font-size: small;"><br />
</span></td><td align="left"><span style="font-size: small;"><br />
</span></td><td align="left"><span style="font-size: small;"><br />
</span></td><td align="left"><span style="font-size: small;"><br />
</span></td><td align="left"><span style="font-size: small;"><br />
</span></td><td align="left"><span style="font-size: small;"><br />
</span></td><td align="left"><span style="font-size: small;"><br />
</span></td><td align="left"><span style="font-size: small;"><br />
</span></td><td align="left"><span style="font-size: small;"><br />
</span></td><td align="left"><span style="font-size: small;"><br />
</span></td><td align="left"><span style="font-size: small;"><br />
</span></td><td align="left"><span style="font-size: small;"><br />
</span></td><td align="left"><span style="font-size: small;"><br />
</span></td></tr>
</tbody></table>
<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<b><span style="font-size: large;">Β. ΣΤΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ</span></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><br />
</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Αυτό μπορεί να γίνει στο SKETCHPAD αφού ορίσουμε τρίγωνο και κάνουμε πινακοποίηση των γωνιών του και του αθροίσματος Α+Β+Γ. Μεταβάλλοντας συνέχεια το τρίγωνο εμπειρικά διαπιστώνουμε ότι πάντα Α+Β+Γ = 180. </span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Η εμπειρική διαπίστωση μπορεί να γίνει συγχρόνως και βιωματικά. Να δοθεί στους μαθητές ομαδοσυνεργατικά η παρακάτω δραστηριότητα :</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><b><i><span style="color: blue;">Δραστηριότητα </span>: Κατασκευάστε τρία διαφορετικά τρίγωνα οξυγώνια , 3 αμβλυγώνια και 3 ορθογώνια . Μετρήστε σε καθένα τις γωνίες του. Υπολογίστε τέλος το άθροισμα των γωνιών του καθενός.</i></b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><b>Γ. ΣΤΙΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ</b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"></span></div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Κατασκευάζουμε πίνακα στο Excel. Στις δύο πρώτες στήλες υπάρχουν τιμές των αριθμών α,β. Στις επόμενες των : </span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">2αβ , α2 +β2 , ( α+β)2 , α2+2αβ + β2</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Με πολλές διαφορετικές τιμές στα α, β που πληκτρολογούμε το πρόγραμμα υπολογίζει αυτόματα τις τιμές των υπολοίπων παραστάσεων. Από την 4η και 5η στήλη φαίνεται ότι το α2+β2 δεν είναι ίσο με το ( α+β)2.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Επίσης από τις δύο τελευταίες επιβαιώνουμε με μετρήσεις την ταυτότητα (α+β)2 = α2+2αβ+β2.Τέλος από την 3η , 4η ,5η φαίνεται ότι το 2αβ πρέπει να προστίθεται πάντα στο α2 +β2 για να προκύπτει το (α+β)2.</span><br />
<br />
<br />
<table border="0" cellspacing="0" cols="6" frame="void" rules="none"><colgroup><col width="61"></col><col width="58"></col><col width="55"></col><col width="59"></col><col width="68"></col><col width="90"></col></colgroup><tbody>
<tr><td align="left" height="21" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;" width="61"><b><span style="font-size: small;">α</span></b></td><td align="left" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;" width="58"><b><span style="font-size: small;">β</span></b></td><td align="left" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;" width="55"><b><span style="font-size: small;">2αβ</span></b></td><td align="left" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;" width="59"><b><span style="font-size: small;">α2 +β 2</span></b></td><td align="left" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;" width="68"><b><span style="font-size: small;">(α+β)2</span></b></td><td align="left" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;" width="90"><b><span style="font-size: small;">α2 +2αβ+β2 </span></b></td></tr>
<tr><td align="right" height="20" sdnum="1032;" sdval="1" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">1</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="2" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">2</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="4" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">4</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="5" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">5</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="9" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">9</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="9" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">9</span></b></td></tr>
<tr><td align="right" height="20" sdnum="1032;" sdval="2" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">2</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="3" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">3</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="12" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">12</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="13" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">13</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="25" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">25</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="25" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">25</span></b></td></tr>
<tr><td align="right" height="20" sdnum="1032;" sdval="4" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">4</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="7" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">7</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="56" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">56</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="65" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">65</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="121" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">121</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="121" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">121</span></b></td></tr>
<tr><td align="right" height="20" sdnum="1032;" sdval="5" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">5</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="9" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">9</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="90" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">90</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="106" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">106</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="196" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">196</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="196" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">196</span></b></td></tr>
<tr><td align="right" height="20" sdnum="1032;" sdval="6" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">6</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="1" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">1</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="12" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">12</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="37" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">37</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="49" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">49</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="49" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">49</span></b></td></tr>
<tr><td align="right" height="20" sdnum="1032;" sdval="11" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">11</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="12" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">12</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="264" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">264</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="265" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">265</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="529" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">529</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="529" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">529</span></b></td></tr>
<tr><td align="right" height="20" sdnum="1032;" sdval="23" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">23</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="78" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">78</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="3588" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">3588</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="6613" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">6613</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="10201" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">10201</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="10201" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">10201</span></b></td></tr>
<tr><td align="right" height="20" sdnum="1032;" sdval="32" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">32</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="67" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">67</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="4288" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">4288</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="5513" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">5513</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="9801" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">9801</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="9801" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">9801</span></b></td></tr>
</tbody></table>
<br />
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><b>Δ. ΣΤΗΝ ΕΠΙΜΕΡΙΣΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ</b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Παρόμοια χρήση εμπειρικής διαπίστωσης μπορεί να γίνει και για την επιμεριστική ιδιότητα. Δημιουργούμε πίνακα με στήλες α ,β ,γ , α(β+γ) , αβ+αγ και παρατηρούμε ότι οι δύο τελευταίες δίνουν ίδιες τιμές.</span><br />
<br />
<table border="0" cellspacing="0" cols="5" frame="void" rules="none"><colgroup><col width="61"></col><col width="58"></col><col width="55"></col><col width="59"></col><col width="68"></col></colgroup><tbody>
<tr><td align="left" height="20" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;" width="61"><b><span style="font-size: small;">α</span></b></td><td align="left" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;" width="58"><b><span style="font-size: small;">β</span></b></td><td align="left" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;" width="55"><b><span style="font-size: small;">γ</span></b></td><td align="left" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;" width="59"><b><span style="font-size: small;">α(β+γ)</span></b></td><td align="left" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;" width="68"><b><span style="font-size: small;">αβ +αγ</span></b></td></tr>
<tr><td align="right" height="20" sdnum="1032;" sdval="1" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">1</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="3" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">3</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="6" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">6</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="9" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">9</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="9" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">9</span></b></td></tr>
<tr><td align="right" height="20" sdnum="1032;" sdval="2" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">2</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="5" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">5</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="7" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">7</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="24" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">24</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="24" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">24</span></b></td></tr>
<tr><td align="right" height="20" sdnum="1032;" sdval="7" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">7</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="5" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">5</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="3" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">3</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="56" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">56</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="56" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">56</span></b></td></tr>
<tr><td align="right" height="20" sdnum="1032;" sdval="12" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">12</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="8" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">8</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="34" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">34</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="504" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">504</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="504" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">504</span></b></td></tr>
<tr><td align="right" height="20" sdnum="1032;" sdval="22" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">22</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="5" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">5</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="19" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">19</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="528" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">528</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="528" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">528</span></b></td></tr>
<tr><td align="right" height="20" sdnum="1032;" sdval="45" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">45</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="56" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">56</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="82" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">82</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="6210" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">6210</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="6210" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">6210</span></b></td></tr>
</tbody></table>
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
<span style="font-size: large;"><b>Ε. ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΩΝ</b>.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Mπορούμε στο Excel να δημιουργούμε τυπολόγια. π.χ τριγωνομετρικών αριθμών , λογαρίθμων , μέτρου ή εσωτερικού γινομένου διανυσμάτων κ.α.Δημιουργούμε δύο στήλες. Η πρώτη έχει το χ και η δεύτερη με εισαγωγή συνάρτησης από το πρόγραμμα υπολογίζει ημ(χ) ή ln(x) κ.α.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Η χρήση μεταβολέα επίσης μπορεί να δώσει συντομότερα τυπολόγια , χρησιμοποιώντας δύο μόνο κελιά. Μεταβάλλοντας την τιμή του ενός αυτόματα μεταβάλλεται η αντίστιχη τιμή της συνάρτησης στο άλλο κελί.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<table border="0" cellspacing="0" cols="2" frame="void" rules="none"><colgroup><col width="58"></col><col width="55"></col></colgroup><tbody>
<tr><td align="left" height="20" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;" width="58"><b><span style="font-size: small;">χ</span></b></td><td align="left" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;" width="55"><b><span style="font-size: small;">lnx</span></b></td></tr>
<tr><td align="right" height="20" sdnum="1032;" sdval="0" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">0</span></b></td><td align="left" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;"><br />
</span></b></td></tr>
<tr><td align="right" height="20" sdnum="1032;" sdval="1" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">1</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="0" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">0</span></b></td></tr>
<tr><td align="right" height="20" sdnum="1032;" sdval="2" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">2</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="0,693147180559945" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">0,69</span></b></td></tr>
<tr><td align="right" height="20" sdnum="1032;" sdval="3" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">3</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="1,09861228866811" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">1,1</span></b></td></tr>
<tr><td align="right" height="20" sdnum="1032;" sdval="4" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">4</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="1,38629436111989" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">1,39</span></b></td></tr>
<tr><td align="right" height="20" sdnum="1032;" sdval="5" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">5</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="1,6094379124341" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">1,61</span></b></td></tr>
<tr><td align="right" height="20" sdnum="1032;" sdval="6" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">6</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="1,79175946922806" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">1,79</span></b></td></tr>
<tr><td align="right" height="20" sdnum="1032;" sdval="7" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">7</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="1,94591014905531" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">1,95</span></b></td></tr>
<tr><td align="right" height="20" sdnum="1032;" sdval="8" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">8</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="2,07944154167984" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">2,08</span></b></td></tr>
<tr><td align="right" height="20" sdnum="1032;" sdval="9" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">9</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="2,19722457733622" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">2,2</span></b></td></tr>
<tr><td align="right" height="20" sdnum="1032;" sdval="10" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">10</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="2,30258509299405" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">2,3</span></b></td></tr>
<tr><td align="right" height="20" sdnum="1032;" sdval="11" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">11</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="2,39789527279837" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">2,4</span></b></td></tr>
<tr><td align="right" height="20" sdnum="1032;" sdval="12" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">12</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="2,484906649788" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">2,48</span></b></td></tr>
<tr><td align="right" height="20" sdnum="1032;" sdval="13" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">13</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="2,56494935746154" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">2,56</span></b></td></tr>
<tr><td align="right" height="20" sdnum="1032;" sdval="14" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">14</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="2,63905732961526" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">2,64</span></b></td></tr>
<tr><td align="right" height="20" sdnum="1032;" sdval="15" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">15</span></b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="2,70805020110221" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b><span style="font-size: small;">2,71</span></b></td></tr>
</tbody></table>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
<br />
<span style="color: blue;"><b>2. H ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΙΝΤΕRΝΕΤ ΣΤΗΝ ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ.</b></span><br />
<br />
Ζητάμε από τους μαθητές να ανοίξουν τα προσωπικά τους laptop. Πρέπει επίσης να υπάρχει δυνατότητα σύνδεσης με το διαδίκτυο. Η εργασία μπορεί να γίνει και στο εργαστήριο πληροφορικής. Οι μαθητές χωρίζονται σε τετραμελείς ομάδες. Κάθε ομάδα έχει σα σκοπό την εκπόνηση μιας εργασίας σχετικής με κάποιο θέμα της ιστορίας των μαθηματικών που αφορά την διδακτική ενότητα που βρίσκονται. Η α΄ομάδα για παράδειγμα θα ασχοληθεί με βιογραφικά στοιχεία του Πυθαγόρα . Η β΄ ομάδα με την ιστορική αναζήτηση των ψηφίων του αριθμού π , η γ΄ ομάδα με την ιστορική εξέλιξη του υπολογισμού του μήκους ενός κύκλου κ.οκ. Ο διδάσκων δίνει πληθώρα ιστοσελίδων από όπου οι μαθητές αντλούν στοιχεία και φέρενει στην τάξη βιβλία για αξιοποίηση από τους μαθητές. <br />
<br />
<br />
<br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;">3. POWER POINT ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ.</span></b><br />
<b><br />
<span style="color: blue; font-size: large;"></span></b><br />
Το πρόγραμμα Power Point μπορεί να χρησιμοποιηθεί με βιντεοπροβολή στον πίνακα. Το κέρδος μιας τέτοιας παρουσίασης είναι ότι η εικόνα που παρέχει το πρόγραμμα οπτικοποιεί το μάθημα και το κάνει ελκυστικό. Ειδικά σε μαθήματα που η εικονική αναπαράσταση είναι απαίτηση της διδακτικής ( π.χ στη δισκαλία προβλημάτων με εξισώσεις ή ρεαλιστικά προβλήματα ) το Power Point προσφέρει πολλές υπηρεσίες.Οι εναλλαγές εικόνας , χρωμάτων και ήχου αλλάζουν τη δομή του μαθήματος. Η σχέση όμως με τον μαθητή δεν περιορίζεται σε παθητικό ρόλο.Δίνεται η δυνατότητα στο μαθητή να σηκωθεί στον πίνακα να γράψει πάνω στην φωτισμένη από τον βιντεοπροβολέα οθόνη του πίνακα. Να λύσει μια άσκηση , που αναγράφεται η εκφώνησή της , να συμπληρώσει τα κενά των ερωτήσεων κατανόησης του βιβλίου που προβάλλεται ή του καθηγητή που τα δημιούργησε. Ακόμη μπορεί να δοθεί έντυπο φύλλο εργασίας που αρχικά το δουλεύει ατομικά ή ομαδικά. Στη συνέχεια το φύλλο εργασίας προβάλλεται ηλεκτρονικά στον πίνακα και ο μαθητής το συμπλρώνει στον πίνακα.Ας δούμε μερικές διαφάνειες από μαθήματα στην τάξη με χρήση διαφανειών Power Point : <br />
<div style="text-align: justify;">
</div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
<b>1. Στην διαιρετότητα φυσικών αριθμών α΄ γυμνασίου</b>.<br />
<br />
<img alt="" height="177" id="Image9_img" src="https://1.bp.blogspot.com/-0I-iArh3smg/TZmW6vVX_KI/AAAAAAAAAYM/6zd_C4OPlQA/s250/img039.jpg" width="250" /><br />
<br />
<b>2. Στην επίλυση προβλημάτων με εξισώσεις α΄γυμνασίου.</b><br />
<br />
<br />
<img alt="" height="177" id="Image9_img" src="https://4.bp.blogspot.com/-fatwApswRas/TZmXlJMU0hI/AAAAAAAAAYU/FFAB8zh11e4/s250/img036.jpg" width="250" /><br />
<br />
<img alt="" height="177" id="Image9_img" src="https://2.bp.blogspot.com/-kTS3LAq0HHE/TZmYDBFS14I/AAAAAAAAAYc/YtWXp5GRqFs/s250/img038.jpg" width="250" /><br />
<br />
<b>3. Στην παραγοντοποίηση γ΄γυμνασίου - α΄ λυκείου</b>.<br />
<br />
<br />
<img alt="" height="177" id="Image9_img" src="https://1.bp.blogspot.com/-MgTX0SSbJUM/TZmYiKddtbI/AAAAAAAAAYk/cdSlAWi4EzM/s250/img041.jpg" width="250" /><br />
<br />
<br />
<b>4. Στις παραμετρικές εξισώσεις α΄ λυκείου.</b><br />
<br />
<img alt="" height="177" id="Image11_img" src="https://2.bp.blogspot.com/-_Em9JTEVb1s/TZmY-yYr3-I/AAAAAAAAAY0/ICfEpx9kU6E/s250/img044.jpg" width="250" /><br />
<br />
<img alt="" height="283" id="Image12_img" src="https://2.bp.blogspot.com/-EAg1HV4KvvQ/TZmZI5jLOtI/AAAAAAAAAY8/kXlx4Ut8WvA/s400/img045.jpg" width="400" /><br />
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>4. ΠΟΛΥΜΕΣΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΕ SKETCHPAD</b></span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
Επικολλώντας μια εικόνα στο Sketchpad και προσθένοντας γεωμετρικά σχήματα και κίνηση κάνουμε γεωμετρία σε παραγματικό περιβάλλον. </div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<b>Παράδειγμα 1</b>. Επικολούμε μια εικόνα γηπέδου ποδοσφαίρου που περιέχει παίκτες. Ζητάμε τις συντεταγμένες των θέσεων των ποδοσφαιριστών αφού εμφανίσουμε το σύστημα αξόνων.<br />
<br />
<b>Παράδειγμα 2.</b><br />
Επικολούμε ένα χάρτη. Βρίσκουμε και σημειώνουμε σημεία στις θέσεις δύο πόλεων Κατασκευάζουμε κύκλους με κέντρα τις πόλεις και διαφορετικές ακτίνες. Αναζητούμε έτσι τις πόλεις που απέχουν συκγεκριμένη απόσταση από αυτές. Δραστηριότητα για το ορισμό του κύκλου. Αναζητώντας τώρα πόλεις που ισαπέχουν από τις δύο πόλεις καυτασκευάζουμε ίσους κύκλους με κέντρα τις πόλεις. Αναζητούμε τα κοινά σημεία των κύκλων. Οδηγούμαστε στην γνωστή κατασκευή μεσοκαθέτου με κανόνα και διαβήτη.<br />
<br />
<b>Παράδειγμα 3. </b><br />
Επικολλώντας ένα φυσικό τοπίο που περιέχει θάλλασσα και επικολλώντας δύο σπιτάκια για κατασκηνώσεις μπορούμε να κάνουμε το πρόβλημα 8 ( Βλέπε παραπάνω) για τη διδασκαλία της μεσοκαθέτου. Επικολλώντας τώρα πάλι χάρτη και σημειώνονατς δύο πόλεις μπορεί αν γίνει παρουσίαση του προβλήματος 10 για την έλλειψη.<br />
<br />
<br />
<br />
<br /></div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: blue;"><b>Δ΄ ΕΝΝΟΙΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ - ΑΡΣΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΥ ΕΜΠΟΔΙΟΥ </b></span><br />
<span style="color: blue;"><b> ( ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ).</b></span><br />
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>1. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ</b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><b> ΑΛΓΕΒΡΙΚΩΝ ΙΔΙΟΤΗΤΩΝ.</b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"> </span><span style="color: blue; font-size: small;"><b>( ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ )</b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: blue;"><br />
</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><b>Ρίζα (α) + ρίζα ( β ) > Ρίζα ( α + β ).</b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Συνήθως στα διδακτικά εγχειρίδια αναφέρεται το διάφορο κι όχι με τη μορφή ανισότητας. Επίσης δίνουν αντιπαράδειγμα το οποίο δικαιολογεί το διάφορο. </span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">π.χ : Ρίζα ( 9 ) + ρίζα ( 16 ) = 3 +4 = 7</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"> ενώ ρίζα ( 9 + 16 ) = ρίζα ( 25 ) = 5.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Μπορούμε να αποδείξουμε εύκολα και γεωμετρικά την εν λόγω ανισότητα. Η γεωμετρική απεικόνιση δίνει εποπτεία , χηματοποιεί και εικονοποιεί την ιδιότητα και βοηθά ευκολότερα στην απομνημόνευση και κυρίως στην κατανόηση. </span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><b>Βήμα 1ο :Υπαρχει ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές τα </b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><span style="font-size: large;">ρίζα(α) ,</span><span style="font-size: large;">ρίζα (β) και υποτείνουσα το ρίζα (α+β ). Γίνεται επαλήθευση με χρήση πυθαγωρείου θεωρήματος.</span></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><span style="font-size: large;">Βήμα 2ο : Εφαρμόζουμε τριγωνική ανισότητα στο παραπάνω τρίγωνο και προκύπτει :</span></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Ρίζα (α) + ρίζα ( β ) > Ρίζα ( α + β ).</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<img alt="" src="http://3.bp.blogspot.com/_f8OA_RWmN6A/TQcYTvr30eI/AAAAAAAAAKE/NmnnCVsNcyc/S250/img014.jpg" height="250" id="Image10_img" width="177" /><br />
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>2. ΨΕΥΔΑΙΣΘΗΣΗ ΑΝΑΛΟΓΙΑΣ</b></span><br />
<span style="color: blue;"><b>( ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΕΜΠΟΔΙΟ ).</b></span><br />
<br />
<br />
<span style="font-size: large;">Είναι διαπιστωμένο ότι οι μαθητές πετυχαίνουν στην εφαρμογή τεχνικών μεθόδων επίλυσης προβλημάτων ανάλογων ποσών. Δεν πετυχαίνουν όμως στην εννοιολογική κατανόηση της αναλογίας και έτσι αστοχούν στην διάκριση ενός αναλογικoύ προβλήματος από ένα μη-αναλογικό. άμεση συνέπεια είναι να εφαρμόζουν αναλογίες σε προβλήματα που φαινομενικά μοιάζουν με αναλογικά χωρίς να είναι ( ψευδαίσθηση αναλογίας) . Το παρακάτω πρόβλημα βοηθά στον τομέα της θεραπείας αυτού του φαινομένου.</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;"><b><i>Δραστηριότητα 1 : Ένα πουκάμισο στεγνώνει σε 25 λεπτά αν εκτεθεί στον ήλιο. Σε πόσα λεπτά θα στεγνώσουν 3 ίδια πουκάμισα αν εκτεθούν σε ακριβώς ανάλογες συνθήκες με το πρώτο;</i></b></span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">Δυσκολότερο αλλά παρόμοιο είναι και το πρόβλημα :</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;"><b><i>Δραστηριότητα 2: Αν με ένα κυλινδρικό κουτί χρώμα βάφουμε ένα δωμάτιο , με ένα άλλο κυλινδρικό κουτί τριπλασίων διαστάσεων πόσα δωμάτια μπορούμε να βάψουμε;</i></b></span><br />
<br />
<span style="font-size: large;"><b><u>Παρατήρηση </u></b>: Τριπλάσια ακτίνα βάσης και τριπλάσιο ύψος δεν συνεπάγεται τριπλάσιο όγκο αλλά 27 φορές μεγαλύτερο!</span><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>3 ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ</b></span><br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><b> ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ</b></span><br />
<b><span style="color: blue;"> ( ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ)</span></b><br />
<br />
<span style="font-size: large;">Η χρήση αναπαραστάσεων θεωρείται ένας πρόσφορος τρόπος καλύτερης επίλυσης μαθηματικών προβλημάτων από τους μαθητές. Οι αναπαραστάσεις αυτές είναι άλλοτε <b><i>πληροφαριακές κι άλλοτε οργανωτικές.</i></b> Μπορεί επίσης να είναι<b><i> λεκτικές ή εικονικές</i></b>. Μια καταγραφή π.χ των δεδομένων και των ζητούμενων του προβλήματος είναι λεκτική και πληροφοριακή. Ένα σχέδιο με τη μορφή εικονοποίησης τους προβλήματος με ζωγραφικά σχέδια θα μπορούσε να είναι εικονική και πηροφοριακή. Θα δούμε πως μπορούν να χρησιμοποιηθούν αναπαραστάσεις εικονικές και οργανωτικές σε προβλήματα κλασμάτων. Συγκεκριμένα προτείνετε η χρήση ορθογωνίων διαμερισμένων σε ίσα μέρη ως καλύτερη αισθητοποίηση του προβλήματος που θα οδηγήσει με περισσότερη κατανόηση στην επόλυσή του. :</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;"> <b><i>Πρόβλημα1 : Τα 3/4 μιας σχολικής τάξης είναι κορίτσια. Πόσα είναι τα αγόρια και τα κορίτσια της τάξης αν ο συνολικό αριθμός μαθητών είναι 28 άτομα;</i></b></span><br />
<br />
<span style="font-size: large;"><b>Λύση</b> : Μπορούμε να αναπαραστήσουμε την τάξη με ένα ορθογώνιο. Επειδή τα 3/4 της είναι τα κορίτσια το χωρίζουμε σε 4 ίσα μέρη . Τα 3 από αυτά παριστάνουν τα κορίτσια και το 1 τα αγόρια.</span><br />
<br />
<img alt="" src="http://4.bp.blogspot.com/_f8OA_RWmN6A/TQeGOJLKqXI/AAAAAAAAALM/5sZWFxnbIHg/S250/img023.jpg" height="177" id="Image10_img" width="250" /><br />
<br />
<span style="font-size: large;">Άρα χρειάζεται σύμφωνα με την διαδικασία αναγωγής της μονάδας να διαιρέσουμε το 28 : 4 =7 για να βρούμε το ένα κουτάκι πόσα άτομα περιέχει. Δηλαδή το κάθε κουτάκι έχει 7 άτομα. Τα 3 τώρα που παριστάνουν τα κορίτσια είναι 3 *7 = 21 κορίτσια και φυσικά 7 είναι τα αγόρια.</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;"><b><i>Πρόβλημα 2 : Τα 3/4 μια τάξης που είναι 21 άτομα είναι κορίτσια . Πόσα είναι τα αγόρια;</i></b></span><br />
<br />
<span style="font-size: large;"><b>Λύση </b>: Στο ίδιο ορθογώνιο όπως στο προηγούμενο πρόβλημα γνωρίζουμε τα 3/4 που είναι 21. Τα 3 δηλαδή πρώτα ίσα μέρη δίνουν 21. Για να γίνει πάλι η αναγωγή στην μονάδα ( στο ένα κουτάκι ) διαιρούμε : 21 : 3 = 7. Άρα 7 άτομα αντιστοιχούν στο κάθε κουτάκι. Όλοι οι μαθητές είναι 7 *4 = 28 και τα αγόρια το 1/4 δηλαδή 7.</span><br />
<span style="font-size: large;"><br />
<span style="font-size: large;"><b><i><span style="color: #990000;">Χρήση τετραγώνου 10Χ10 για την γεωμετρική παράσταση του ποσοστού</span></i></b>.</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;"><b><i><span style="font-size: large;"><span style="font-size: large;"><b><i>Πρόβλημα 3 : </i></b></span></span>Να βρείτε το 8% του 400. <br />
<br />
<span style="font-size: large;"><b>Λύση</b> : Εικονίζουμε το καθολικό σύνολο ( = 400 ) με ένα τετράγωνο 10Χ10 το οποίο είναι χωρισμένο σε 100 μικρότεραω τατραγωνάκια. Καθένα από αυτά αισθητοποιούν γεωμετρικά το ποσοστό 1%. Κατά αναλογία της πορείας αναγωγής στη μονάδα που περιγράφεται προτύτερα θα βρούμε αρχικά το 1% του 400. Αυτό γίνεται διαιρώντας : 400 : 100 = 4. Το 4 αντιστοιχεί σε καθένα από τα 100 τετραγωνάκια ( 4Χ100 = 400). Το 8% τώρα αισθητοποιείται με 8 τετραγωνάκια. Άρα 8Χ4 = 32. Πρόκειται για γεωμετρικό μοντέλο στην διδασκαλία του ποσοστού.</span><br />
<img alt="" src="http://2.bp.blogspot.com/_f8OA_RWmN6A/TQnV810zi6I/AAAAAAAAAP8/CV-FQJ-Omqg/S250/img061.jpg" height="283" id="Image9_img" width="400" /><br />
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>4 ΑΝΑΠΑΡΑΣΑΣΗ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ.</b></span><br />
<br />
<span style="font-size: large;"><b><i>Πρόβλημα : Η Τασία έχει διπλάσια χρήματα από την Ελένη. Η Ελένη τριπλάσια απ΄τη Βούλα. Τα συνολικά τους χρήματα είναι 200 ευρώ. Πόσα χρήματα διαθέτουν η κάθε μία;</i></b></span><br />
<br />
<span style="font-size: large;"><b>Λύση </b>: Εδώ προτείνετε η εικονική αναπαράσταση των χρηματων της καθεμίας με παύλες. Με - εικονίζουμε τα χρήματα της Βούλας.</span><br />
<br />
<br />
<span style="font-size: large;">Βούλα : -</span><br />
<span style="font-size: large;">Ελένη : - - -</span><br />
<span style="font-size: large;">Τασία : - - - - - -</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">Αν τώρα η - παριστάνει τον άγνωστο χ γίνεται φανερό ότι η εξίσωσή μας είναι η x +3x+6x = 200.Ή ακόμη από το μέτρημα των παυλών : 10x =200.</span><br />
<br />
<br />
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>5. ΕΠΙΠΛΕΟΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ </b></span><br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><b> ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ</b></span></i></b></span><br />
<span style="font-size: large;"><b><i><span style="color: blue;"></span> <br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><span style="color: black;"><b><span style="color: blue;">Α. </span></b>Είναι καλό η εκφώνηση του προβλήματος με χρήση εξισώσεων να αναλύεται σε βήματα. Αυτό βοηθά τους μαθητές να οργανώνουν τη σκέψη τους. Ας δούμε ένα παράδειγμα καλύτερης διατύπωσης στο προηγούμενο πρόβλημα:</span></span><br />
<br />
<span style="font-size: large;"><b><i>Πρόβλημα : Η Τασία , η Ελένη και η Βούλα πρόκειται να μοιραστούν ένα ποσό 200 ευρώ. Η Τασία θα πάρει διπλάσια χρήματα από την Ελένη και η ελένη τριπλάσια από τη Βούλα.</i></b></span><br />
<span style="font-size: large;"><b><i>α. Αν συμβολίσουμε με x τα χρήματα της Βούλας πως μπορούμε να συμβολίσουμε τα χρήματα : </i></b></span><br />
<span style="font-size: large;"><b><i>i. της Ελένης και ii. της Τασίας ;</i></b></span><br />
<span style="font-size: large;"><b><i>β. Ποια ισότητα ( εξίσωση ) μπορούμε να γράψουμε για τα συνολικά χρήματα των τριών κοριτσιών;</i></b></span><br />
<span style="font-size: large;"><b><i>γ. Πόσα χρήματα πήρε η καθεμιά τους;</i></b></span><br />
<br />
<span style="font-size: large;"><b><i>Β. </i></b>Ενδείκνυνται έπίσης η <b><i>χρήση φύλλου εργασίας</i></b>.Αρχικά ζητούμε κατασκευή πίνακα των δεδομένων και των ζητούμενων του προβλήματος. Παρακινούμε στον σχεδιασμό πληροφοριακών εικόνων για την κατανόηση . Θα μπορούσαμε να έχουμε έτοιμες μερικές στο φύλλο εργασίας.Στα επόμενα στάδια θα δίνονται ερωτήσεις κατανόησης ή εμβάνθυνσης του προβλήματος. Επίσης αναστοχαστικοί προβληματισμοί μερικών περιπτώσεων , γενικεύσεων , ειδικών συνθηκών. Οποιαδήποτε ανάλυση , σκέψη , μερικοποίηση του προβλήματος βοηθούν το μαθητή στη κατανόηση του προβλήματος αλλά κυριότερα στην καλλιέργεια της κριτικης του σκέψης. Μαθαίνει να εμβανθύνει , να οργανώνει τη σκέψη του , να αντιλαμβάνεται ομοιότητες με άλλα προβλήματα. Δεν στοχεύουμε επομένως στην επίλυση μόνο του συγκεκριμένου προβλήματος. Περισσότερο στην ανάπτυξη μαθηματικής σκέψης και μοντελοποίησης. Σε επόμενη φάση του φύλλου εργασίας προτείνουμε όπου αυτό είναι δυνατό σχηματισμό αναπαραστάσεων οργανωτικών.</span><br />
<span style="font-size: large;">Τέλος ασχολούμαστε με την διαπραγμάτευση των επιμέρους βημάτων που θέτει το πρόβλημα. Δίνουμε τη λύση και κάνουμε επαλήθευση. Όλη η διεξοδική συζήτηση , η χρήση αναπαραστάσεων , η ανάλυση καθενός βήματος αργά και αναλυτικά βοηθά στην ανάπτυξη της μαθηματικής κρίσης και στρατηγικής επίλυσης προβλημάτων.</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">Γ. Σύμφωνα με την αρχή <b><i>της αντιστροφής μια διαδικασίας</i></b> πρέπει να δίνουμε στους μαθητές έτοιμες εξισώσεις και να τους παρακινούμε να τα αντιστοιχίσουν σε προβλήματα. Η θεωρία αντιστροφής μιας διαδικασίας στην διδακτική των μαθηματικών επισημαίνει την ανάγκη να κινούμαστε από μια μορφή στη άλλη αλλά και αντίστροφα. Έτσι επιτυγχάνεται καλύτερη εννοιολογική κατανόηση.</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;"><i><b>ΠΡΟΒΛΗΜΑ ---------> ΕΞΙΣΩΣΗ</b></i></span><br />
<span style="font-size: large;"><i><b>αλλά και :</b></i></span><br />
<br />
<span style="font-size: large;"><i><b>ΕΞΙΣΩΣΗ --------> ΠΡΟΒΛΗΜΑ.</b></i></span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">Παρόμοιες περιπτώσεις αντιστροφής υπάρχουν πολλές στα μαθηματικά. </span><br />
<br />
<span style="font-size: large;"><b>ΠΙΝΑΚΑΣ ΤΙΜΩΝ ---------> ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ</b></span><br />
<span style="font-size: large;"><b>ΓΡ. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ------> ΣΥΜΠΗΡΩΣΗ ΠΙΝΑΚΑ ΤΙΜΩΝ</b></span><br />
<b><br />
</b><br />
<b><br />
</b><br />
<span style="font-size: large;"><b>ΒΕΛΟΕΙΔΕΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ---->ΠΙΝΑΚΑΣ ΤΙΜΩΝ</b></span><br />
<span style="font-size: large;"><b>ΠΙΝΑΚΑΣ ΤΙΜΩΝ --------. ΒΕΛΟΕΙΔΕΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ</b></span><br />
<b><br />
</b><br />
<span style="font-size: small;"><b>y =αx + β ----------> ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΥΘΕΙΑΣ</b><br />
<b>ΕΥΘΕΙΑ ------> ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΤΟΥ ΤΥΠΟΥ y =αx + β </b></span><b><br />
</b><br />
<span style="font-size: small;"><b>ΖΕΥΓΟΣ ΑΡΙΘΜΩΝ -----> ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ</b><br />
<b>ΣΗΜΕΙΟ --------> ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ</b></span><b><br />
</b><br />
<span style="font-size: small;"><b>ΠΟΣΟΣΤΟ -------> ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΣΕ ΚΛΑΣΜΑ</b><br />
<b>ΚΛΑΣΜΑ ------> ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΣΕ ΠΟΣΟΣΤΟ</b></span><b><br />
</b><br />
<span style="font-size: small;"><b>ΠΟΣΟΣΤΟ -------> ΔΕΚΑΔΙΚΟΣ</b><br />
<b>ΔΕΚΑΔΙΚΟΣ ------> ΠΟΣΟΣΤΟ.</b></span><b><br />
</b><br />
<span style="font-size: large;"><b>Δ.</b> Τέλος είναι χρήσιμη η ανάπτυξη της αναλογικής σκέψης στην επίλυση προβλημάτων. Αναζητούμε δηλαδή ομοιότητες του προβλήματος με παρόμοια που λύσαμε προτύτερα.</span></i></b></span></span></div>
<div align="justify" dir="ltr">
<div style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>6. ΧΕΙΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗ</b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Ο καθηγητής οφείλει να ασχοληθεί με το λάθος ( παρανόηση )του μαθητή. Να του δώσει χρόνο να υπάρξει. Να μη το θάψει βιαστικά να μην βιαστεί να επισημάνει το σωστό κανόνα. Κι ας βγει έξω από το διδακτικό του προγραμματισμό και ας εισέλθει σε έναν κόσμο αβεβαιότητας και περιπέτειας. Το λάθος είναι χρήσιμο παιδαγωγικό εργαλείο με το οποίο μαθητής διορθώνοντας το μαθαίνει να σκέφτεται μαθηματικά. Είναι προτιμότερο να μάθουμε στο μαθητή να οργανώνει τη σκέψη του από το να του σερβίρουμε έτοιμο φαγητό ξερών γνώσεων που ο ίδιος δεν μπορεί να παράγει.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Ο ρόλος του δασκάλου είναι να βοηθήσει το μαθητή να καταλάβει μόνος του το λάθος. Αυτό μπορεί να γίνει:</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><i><b>α. με κατάλληλες ερωτήσεις - προβληματισμούς</b></i></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><i><b>β. με χρήση αντιπαραδειγμάτων</b></i></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><i><b>γ. με την επίκληση της τάξης.</b></i></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Ας δούμε μερικά παραδείγματα: </span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><i><b> Παράδειγμα 1</b></i></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><b><i>Ο μαθητής λύνει : χ2 =2χ <=> χ*χ=2*χ <=> χ=2</i></b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><b>Καθηγητής </b> : Ωραία . Πρόσεξε τώρα μια άλλη λύση :</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"> χ2=2χ <=> χ2-2χ = 0 <=> χ(χ-2)=0 <=> χ=0 ή χ=2.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"> Είναι σωστή;</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><b>Μαθητής </b>: Nαι.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><b>Καθηγητής </b>: Παρατηρείς μια αντίφαση στις λύσεις των δύο τρόπων;</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><b>Μαθητής :</b> Στον πρώτο βρήκαμε μόνο χ=2 ενώ στον δεύτερο χ=0 ή χ=2.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><b>Καθηγητής </b>: Που μπορεί να οφείλετε αυτή διαφοροποίση.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><b>Μαθητής</b> : Ο δικός μου τρόπος είναι λάθος.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><b>Καθηγητής</b> : Ναι αλλά γιατί; Τι λάθος έγινε;Ας μας πει κάποιος από την τάξη.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">.......................................................................................................</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><b><i><u>Εδώ έχουμε ερωτήσεις προβληματισμού και επίκληση της τάξης.</u></i></b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><b><i>Παράδειγμα 2</i></b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"> <b><i>2 1 3</i></b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><b><i>Ο μαθητής λύνει : ---- + ----- = -----</i></b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><b><i> 5 5 10</i></b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><b><i>Καθηγητής :</i></b> Πως το βρήκες ;</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><b><i>Μαθητής :</i></b> (Εξηγεί) 1 1</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Καθηγητής : Για να μου προσθέσεις : ------- + ------</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><i><span style="font-size: large;"> 2 2</span></i></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><i><span style="font-size: large;"> 2 </span></i></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><i><span style="font-size: large;">Μαθητής : ------</span></i></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><i><span style="font-size: large;"> 4</span></i></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><b><i> </i></b> 1 1 2</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><b><i>Καθηγητής :</i></b> Άρα ------ + ------ = ------</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"> 2 2 4</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><b><i>Μαθητής :</i></b> Ναι .</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><b><i>Καθηγητής : .........</i></b> (με διαλογική συζήτηση οδηγεί τον μαθητή στο παράδοξο συμπέρασμα αυτής της πράξης </span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><b><i>μισό + μισό = μισό!)</i></b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><i><span style="font-size: large;"><u>Εδώ έχουμε τη χρήση αντιπαραδείγματος.</u></span></i></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
<br />
<b><span style="font-size: large;"><i>Παράδειγμα 3</i></span></b><br />
<b><span style="font-size: large;"></span></b></div>
<b><span style="font-size: large;"></span></b></div>
<b><span style="font-size: large;"></span></b></div>
<br />
<b><span style="font-size: large;">Όταν δύο τρίγωνα έχουν δυο πλευρές μία προς μία ίσες και μία γωνία τους ίση είναι ίσα.</span></b><br />
<br />
<span style="font-size: large;">Ο ισχυρισμός αυτός είναι λανθασμένος. Δεν ισχύει πάντα αν η γωνία δεν είναι η περιεχόμενη των ίσων πλευρών. Χαρακτηριστικό αντιπαράδειγμα με το οποίο ο διδάσκων μπορεί να προβληματίσει τους μαθητές είναι το παρακάτω :</span><br />
<br />
<span style="font-size: large;">Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΒΓ έχουν :</span><br />
<span style="font-size: large;">1. ΑΒ κοινή πλευρά </span><br />
<span style="font-size: large;">2. Β κοινή γωνία</span><br />
<span style="font-size: large;">3. ΑΔ = ΑΓ.</span><br />
<span style="font-size: large;">Έχουν δύο πλευρές και μία γωνία ίσες. Δεν είναι όμως ίσα!</span><br />
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<img alt="" src="http://3.bp.blogspot.com/_f8OA_RWmN6A/TQpR2jLoY7I/AAAAAAAAAQM/4yuJEtRrBB4/S250/img063.jpg" height="177" id="Image9_img" width="250" /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>7. " ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ"</b></span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="color: blue;"><b> ( ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ)</b></span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"> </span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><b><i>Παράδειγμα 1</i></b></span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"> 3</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Έστω η διαίρεση 4 : -----</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"> 4</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"></span> <span style="font-size: large;">Πρέπει να βρούμε πόσες φορές χωράει το 3/4 στο 4.</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<img alt="" src="http://3.bp.blogspot.com/_f8OA_RWmN6A/TQiqcCRY3CI/AAAAAAAAAOc/z5Su6PXpxas/S250/img051.jpg" height="283" id="Image10_img" width="400" /><br />
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Σε μία ευθεία γραμμή παίρνουμε τον αριθμό 4. Κάθε μονάδα χωρίζεται σε 4 ίσα μέρη ( Οι τέσσερις γραμμούλες αποτελούν μια μονάδα ) . Τα τρία από αυτά ( οι τρεις γραμμούλες ) παριστάνουν τα 3/4. Παρατηρούμε ότι τα 3/4 ( οι τρεις γραμμούλες ) χωρούν 5 φορές στον αριθμό 4 και περισσεύει μια γραμμούλα που είναι το 1/3 του 3/4. Άρα :</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"> 3 1</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">4 : ---- = 5 -----</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"> </span><span style="font-size: large;">4 3</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><b><i>Παράδειγμα 2</i></b></span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"> </span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"> 1 1</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Έστω η διαίρεση κλασμάτων : ----- : ------</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"> 2 6</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Πρέπει να βρούμε πόσες φορές χωράει το κλάσμα 1/6 στο 1/2.</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<img alt="" src="http://1.bp.blogspot.com/_f8OA_RWmN6A/TQim4VgxKuI/AAAAAAAAAOU/CqpWr5X8aNc/S250/img050.jpg" height="177" id="Image10_img" width="250" /><br />
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Το παραπάνω σχήμα είναι χωρισμένο σε δύο στήλες. Η κάθε μία στήλες πασιστάνει το 1/2. Το καθένα τώρα από τα μικρότερα ορθογώνια κουτάκια ( κελιά ) παριστάνει το 1/6. Το ένα κελί ( 1/6 ) χωράει 3 φορες στην πρώτη στήλη ( 1/2 ). Κι αυτό γιατί η κάθε στήλη έχει 3 κελιά.</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"> 1 1</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Άρα : -------- : ------ = 3</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"> 2 6</span><br />
<br />
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
</div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>8. ΕΝΝΟΙΟΛΟΓΙΚΑ ΠΕΔΙΑ</b></span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<b><span style="color: blue; font-size: large;"> ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΟΛΟΓΙΚΟ ΕΜΠΟΔΙΟ</span></b></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Εννοιολογικό πεδίο μιας μαθηματικής έννοιας ονομάζουμε το σύνολο των διαφορετικών και επιμέρους περιπτώσεων που απαρτίζουν τον ορισμό και τη λειτουργία της στα μαθηματικά αυτής της έννοιας. Για να μην υπάρχουν επιστημολογικά εμπόδια πρέπει ο μαθητής να έρθει σε επαφή με όλες αυτές τις επιμέρους παριμέτρους της κάθε έννοιας. </span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Παρατηρούνται μια σειρά από λάθη των μαθητών λόγω της αποσπασματικής διδασκαλίας.</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Π.χ </span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><b>1.</b> ορίζοντας τον πολλαπλασιασμό ως πρόσθεση όμοιων προσθετέων : 4 * 5 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 οι μαθητές δυσκολεύονται στον ορισμό του πολλαπλασιασμού δεκαδικών και αδυνατούν να αντιληφθούν ότι το γινόμενο των δύο αριθμών είναι μικρότερο από τους παράγοντες.</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">π.χ 0,5 * 8 =4</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><b>2.</b> Ορίζοντας το κλάσμα ως μέρος του όλου με κομμάτια μιας πίτσας ας πούμε , οι μαθητές αδυνατούν να αντιληφθούν ότι ένα κλάσμα μπορεί να είναι μεγαλύτερο από τη μονάδα. Ούτε κατανοούν πως ένα κλάσμα ισούται με δεκαδικό αριθμό.</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><b>α. Εννοιολογικό πεδίο αριθμού</b></span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Ένας αριθμός μπορεί να εκφράζει :</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">α. Πλήθος ( 6 περιστέρια)</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">β. Σειρά ( τρίτος )</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">γ. Μέτρηση ( 45 κιλά , 23 βαθμοί Κελσίου )</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">δ. Αφηρημένη συμβολική μεταβλητή τιμή ( χ).</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><b>β. Εννοιολογικό πεδίο κλάσματος</b></span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">α. Μέρος του όλου</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">β. Διαίρεση μερισμού</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">γ. Λόγο ευθυγράμμων τμημάτων</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">δ. Ποσοστό</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">ε. Αριθμό.</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><b>γ. Εννοιολογικό πεδίο αναλόγων ποσών</b></span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">α. Αλληλεξάρτηση μεγεθών</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">β.Μεταβολή μεγέθους ως προς το χρόνο.</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">γ. Γραμμικότητα ( ευθεία γραμμή )</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">δ. ομοιότητα σχημάτων με κλίμακα</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><b>δ. Εννοιολογικό πεδίο συνάρτησης </b></span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">α. αλληλεξάρτηση μεγεθών</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">β. λεκτική διατύπωση.</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">γ. αντιστοίχιση</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><b><i> Η συνάρτηση επίσης έχει πληθώρα αναπαραστάσεων :</i></b></span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">α. βελοειδές διάγραμμα</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">β. πίνακας τιμών</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">γ. γραφική παράσταση</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>9. ΟΠΤΙΚΟ ΚΑΙ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΟ ΕΠΙΠΕΔΟ</b></span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><b> ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ</b></span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Ο Van Hiele διαχωρίζει δύο επίπεδα στη κατανόηση των γεωμετρικών σχημάτων από τους μαθητές : </span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">α. οπτικό επίπεδο</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">β. περιγραφικό επίπεδο.</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Σύμφωνα με το πρώτο που είναι κυρίαρχο ο μαθητής αναγνωρίζει ένα παραλληλόγραμμο , έναν ρόμβο , το σχήμα του θεωρήματος Θαλή από την ομοιότητα που έχει με τα σχήματα του σχολικού βιβλίου. Τα αναγνωρίζει δηλαδή οπτικά σα να τα φωτογραφίζει . Το δεύτερο επίπεδο που είναι το ζητούμενο είναι να αναγνωρίζονται τα γεωμετρικά σχήματα από την περιγραφή των ιδιοτήτων τους. </span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Ο ρόλος του διδάσκοντα είναι να δίνει σχήματα που δεν εναρμονίζονται πλήρως με αυτά του βιβλίου. Η περιστροφή είναι χρήσιμη επιλογή. Παραλληλόγραμμα , ρόμβοι αλλά και το σχήμα των παραλλήλων του Θαλή περιστραμμένα σε διαφορετικές θέσεις αναγκάζουν τους μαθητές να χρησιμοποιήσουν τις ιδιότητες των θεωρημάτων για την αναγνώρισή τους.</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<img alt="" src="http://2.bp.blogspot.com/_f8OA_RWmN6A/TQjByu6dfMI/AAAAAAAAAOs/_cvxaZ_lZ28/S250/img052.jpg" height="400" id="Image10_img" width="283" /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br />
<br />
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<b><span style="color: blue; font-size: large;">10. ΟΛΙΣΤΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΤΟΠΩΝ</span></b></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><b>α. Στην μεσοκάθετο ευθύγραμμου τμήματος.</b></span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Τα σημεία Μ που ανήκουν πάνω στην μεσοκάθετο ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ικανοποιούν την ιδιότητα d( Μ,Α ) = d(Μ , Β).</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Ποια σημεία ικανοποιούν τις ανισότητες :d( Μ,Α ) > d(Μ , Β) ,</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">d( Μ,Α ) > d(Μ , Β). Η απάντηση αφορά τα ημιεπίπεδα που χωρίζει η μεσοκαθετός της αριστερά και δεξιά.</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><b>β. Στον κύκλο.</b></span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Αντίστοιχη ολιστικότητα βρίσκουμε και στον γ.τ του κύκλου :</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">d (Μ,Ο ) = ρ , d (Μ,Ο ) < ρ , d (Μ,Ο ) > ρ</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><b>γ. Στον γ.τ των σημείων της διχοτόμου γωνίας.</b></span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br />
<span style="font-size: large;"><b>δ. Τα σημεία του κύκλου</b> βλέπουν ένα ευθύγραμμο τμήμα υπό σταθερή ίση γωνία ( θεώρημα εγγεγραμμένων γωνιών που βαίνουν στο ίδιο τόξο. <b>Τα εσωτερικά σημεία του κύκλου</b> βλέπουν το ευθύγραμμο τμήμα υπό μεγαλύτερη γωνία της εγγεγραμμένης. Τα <b>εξωτερικά τώρα σημεία</b> του κύκλου το βλέπουν υπό μικρότερη γωνία.</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
</div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;">11. Η ΠΟΛΥΣΗΜΙΑ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΝΟΗΜΑΤΟΣ</span></b></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<b><span style="color: blue; font-size: large;"> ΩΣ ΑΙΤΙΑ ΕΠΙΣΤΗΜΟΛΟΓΙΚΟΥ ΕΜΠΟΔΙΟΥ.</span></b></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Η πολυσημία και πολλαπλότητα εμφανίζεται στο εννοιολογικό πεδίο μιας έννοιας ( Βλέπε πιο μπροστά ). Επίσης στην πληθώρα αναπαραστάσεων ( π.χ της συνάρτησης). Υπάρχει όμως διάχυτη στα μαθηματικά. Ας δούμε ορισμένα παραδείγματα:</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">α. Το χ ( γενικά τα γράμματα) , άλλοτε λειτουργεί ως <b><i>μεταβλητή </i></b> , άλλοτε ως <b><i>άγνωστος </i></b>κι άλλοτε ως <b><i>παράμετρος. </i></b></span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">β. Το σημείο άλλοτε παριστάνεται γεωμετρικά με τελίτσα κι άλλοτε αλγεβρικά ως διατεταγμένο ζεύγος.</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Δεν είναι τόσο προφανές για το μαθητή να αντιληφθεί τελίτσα στην έκφραση : "Δίνεται σημείο Α(1,5)".</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">γ. Διαφορετικά σύμβολα για το ίδιο πράγμα : (ΑΒ) , μέτρο διανύσματος , d(A,B) , απόλυτη τιμή , μέτρο μιγαδικού έχουν διαφορετικό ή ίδιο συμβολισμό γιατί γεωμετρικά ορίζουν το ίδιο πράγμα ( μήκος ή απόσταση ). </span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">δ. Διαφορετική είναι η χάραξη των υψών σε οξυγώνιο και διαφορετικές σε ορθογώνιο ή αμβλυγώνιο τρίγωνο.</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Γενικά η πολυσημία αυτή δημιουργεί δυσκολίες κατανόησης. Σκοπός του διδάσκοντα είναι να εντοπίσει την ενότητα μέσα στην πολλαπλότητα τους ή την διαφορετικότητα μέσα στην φαινομενική ομοιότητα.</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>12. ΣΥΣΤΑΤΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΦΥΛΛΩΝ ΕΡΓΑΣΙΑΣ.</b></span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Ένα φύλλο εργασίας καλό είναι να έχει τη δομή :</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><b><i>Α. Δράσεις</i></b></span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><b><i>Β. Επανάληψη δράσεων</i></b></span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><b><i>Γ. Αξιολόγηση.</i></b></span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><b><i>Δ. Επανατροφοδότηση - Τροποποίηση.</i></b></span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><b><i>Ε. Διατύπωση - Επικύρωση.</i></b></span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Αναπτύσσουμε αρχικά δράσεις και επανάληψη παρόμοιων δράσεων με την καθοδήγηση του διδάσκονται. Στο τρίτο στάδιο αφήνουμε την επόμενη δραστηριότητα του φύλλου εργασίας να το αντιμετωπίσουν μόνοι τους οι μαθητές . Εδώ αξιολογείται το αποτέλεσμα της διδασκαλίας και έρχεται ο διδάσκοντας με τα</span><br />
<span style="font-size: large;">λάθη και τις παρανοήσεις . Στο επόμενο στάδιο γίνεται η επανατροφοδότηση και τροποποιούνται τα λάθη. Η διδασκαλία ολοκληρώνεται με την διατύπωση των συμπερασμάτων όπου επιτυγχάνεται η επικύρωση της γνώσης.</span><span style="font-size: large;"> </span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br />
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>13. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΟΙΚΤΟΥ ΤΥΠΟΥ</b></span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Πρόκειται για ερωτήσεις γενικόλογες που δεν έχουν προκαθορισμένη απάντηση και επιδέχονται πολλαπλές αντιμετωπίσεις. Ευνοούν την διεύνηση και την εξέταση εικασιών.</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><b>Παράδειγμα 1 </b>: Στο εργαστήριο πληροφορικής είναι μπροστά σε έναν υπολογιστή και τους δίνετε σε φύλλο εργασίας η παρακάτω δραστηριότητα :</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><b><i>Δραστηριότητα : α. Μπείτε στο πρόγραμμα Sketcnpad και σχηματίστε ένα παραλληλόγραμμο.</i></b></span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><b><i>β. Ποιες ιδιότητες λέτε να έχουν τα παραλληλόγραμμα;</i></b></span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Η β ερώτηση επίτηδες δίνεται γενικόλογα διατυπωμένη για να προκαλεί διερεύνηση και εξέταση ποικίλων εικασιών και στρατηγικών.</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><b><i> Παράδειγμα 2 : Που νομίζετε βρίσκει εφαρμογή η γεωμετρία στη ζωή μας ;</i></b></span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Είναι ερώτηση πολύ γενική που ενισχύει τον προβληματισμό και την έρευνα σε πολλούς τομείς της ανθρώπινης δραστηριότητας.</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Παρόμοια και το παρακάτω.</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><b><i>Παράδειγμα 3 : α. Που στη ζωή μας χρησιμοποιούμε μετρήσεις με αριθμούς;</i></b></span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<b><span style="font-size: large;"><i>β. Καταγράψτε κατά τη διάρκεια μιας εβδομάδας τις μετρήσεις ( αριθμούς) που χρειάστηκε να χρησιμοποιήσετε εσείς και η οικογένειά σας.</i></span></b><br />
<br />
<b><i><span style="font-size: large;">Παράδειγμα 4 : Μπορούμε να πολλαπλασιάζουμε , να προσθέτουμε , να αφαιρούμε να διαιρούμε ανισότητες κατά μέλη;</span></i></b><br />
<br />
<span style="font-size: large;"> Το ερώτημα δίνεται πάλι γενικόλογα και δεν περιέχει βήματα. Μόνο μια σύντομη εκφώνηση. Με τον τρόπο αυτό αποφεύγεται οποιαδήποτε καθοδήγηση από τον διδάσκοντα. Αφήνεται η διαπραγμάτευση του θέματος στην ερευνητική προσπάθεια των μαθητών. Οι μαθητές είναι ελεύθεροι να κινηθούν σε όποια κατεύθυνση επιθυμούν . Να κάνουν εικασίες , να αναπτύξουν στρατηγικές, να αλλάξουν πιθανώς απόψεις. Πρόκειται για θέμα ανοικτό , δηλαδή θέμα απόλυτης ανακάλυψης κατά Bruner , χωρίς την παραμικρή καθοδήγηση</span>.<br />
<br />
<b><i><span style="font-size: large;">Παράδειγμα 5 : Δίνεται το τριώνυμο : χ2-5χ+6. Πότε παίρνει θετικές και πότε αρνητικές τιμές;</span></i></b><br />
<br />
<span style="font-size: large;">Παρομοίως όπως το προηγούμενο θέμα.</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
</div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br />
<br />
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>14. ΓΙΑΤΙ 2 ΕΙΣ ΤΗΝ ΜΗΔΕΝΙΚΗ ΚΑΝΕΙ 1 ;</b></span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="color: blue;"><b> ( ΕΝΝΟΙΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ)</b></span><br />
<span style="color: blue;"><b><br />
</b></span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
0</div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Δημιουργεί δυσκολία στην κατανόηση του α = 1. Για να επιτύχουμε καλύτερη εννοιολογική κατανόηση του ορισμού μπορούμε να θέτουμε τον παρακάτω προβληματισμό :</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
3 3</div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">2 : 2 = 1 , </span><br />
<br />
<span style="font-size: small;"><b>( διότι είναι διαίρεση αριθμού</b></span><span style="font-size: small;"><b> με τον εαυτό του ).</b></span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"> 3 3 3 - 3 0 </span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">2 : 2 = 2 = 2 </span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"> </span><br />
<span style="font-size: small;"><b>( εφαρμόζοντας την ιδιότητα : όταν</b></span><span style="font-size: small;"><b> διαιρούμε δυνάμεις με την ίδια</b></span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><b>βάση αφαιρούμε τους εκθέτες ). </b></span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
0</div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Άρα 2 = 1.</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>15. ΧΡΗΣΗ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ </b></span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><b> ΣΤΗΝ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ.</b></span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<b><i><span style="font-size: large;"> Περίπτωση 1 : Στα είδη τριγώνων.</span></i></b></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Χρειάζεται να επιτύχουμε καλύτερη εννοιολογική κατανόηση στα είδη τριγώνων. Συγκεκριμένα : Μπορεί ένα ορθογώνιο τρίγωνο να είναι ισόπλευρο; Υπάρχει τρίγωνο ορθογώνιο και ισοσκελές. Επειδή οι μαθητές μαθαίνουν τα συγκεκριμένα είδη ως προς τις πλευρές και ως προς τις γωνίες δημιουργείται δυσκολία κατά πόσο μπορεί να γίνει ανάμειξη.</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Η χρήση διαγραμμάτων κρίνεται καλό εφόδιο για την κατανόηση της θεωρίας :</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Ορθογώνιο Αμβλυγώνιο</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Ισοσκελές Σκαληνό Ισόπλευρο</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"> Οξυγώνιο</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Στο παραπάνω σχήμα ζητάμε από τους μαθητές να αντιστοιχίσουν με γραμμές Κάθε τρίγωνο της 1ης και 3ης γραμμής με τα στοιχεία της μεσαίας. Έτσι το ορθογώνιο ενώνεται μόνο με το ισοσκελές και το σκαληνό. Το ίδιο συμβαίνει και με το αμβλυγώνιο. Το οξυγώνιο αντίθετα ενώνεται και με τα τρία.</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Το ίδιο μπορεί να γίνει και με χρήση άλλου διαγράμματος :</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"> ισοσκελές ισόπλευρο σκαληνό</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Οξυγώνιο +</span> <span style="font-size: large;"> + +</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Αμβλυγώνιο + +</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"> </span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Ορθογώνιο + +</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><i><b>Περίπτωση 2 : Στα είδη τετραπλεύρων .</b></i></span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Για την καλύτερη εμπέδωση στα είδη των τετραπλεύρων και την αισθητοποίηση μπορούμε να χρησιμοποιούμε διάγραμμα Venn.</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Κατασκευάζουμε ως ορθογώνιο το καθολικό σύνολο που περιέχει όλα τα τετράπλευρα. Μέσα ένα κυκλάκι παριστάνει τα τραπέζια.</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Ένα άλλο κυκλάκι περιέχει τα παραλληλόγραμμα. Τα δύο αυτά κυκλάκια δεν συναντιώνται.</span> <span style="font-size: large;">Μέσα στο κυκλάκι των παραλληλογράμμων υπάρχουν δύο άλλα : των ορθογωνίων και των ρόμβων. Αυτά συναντιώνται και το κοινό μέρος τους (τομή ) αποτελεί τα τετράγωνα. Ο χώρος μέσα στα τετράπλευρα που δεν ανήκει σε κάποιο κυκλακι περιέχει τα υπόλοιπα τυχαία τετράπλευρα.</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<img alt="" src="http://1.bp.blogspot.com/_f8OA_RWmN6A/TQeDcJCjp-I/AAAAAAAAALE/82SlY218M78/S250/img022.jpg" height="282" id="Image10_img" width="400" /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="color: black; font-size: large;"><b>Περίπτωση 3 : Διάγραμμα Venn </b></span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="color: black; font-size: large;"><b> για την προτεραιότητα πράξεων .</b></span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="color: black;"><br />
</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Έστω η πράξη : 24 : 8 + 3 *5 </span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<b><span style="color: blue; font-size: large;"> </span></b><span style="font-size: large;">Μπορούμε να κλείσουμε με κυκλάκια τις πράξεις που προηγούνται. Εδώ τις 24 : 8 , 3 *5. Κατόπιν με ένα μεγαλύτερο κυκλο που περιέχει τους προηγούμενους κύκλους της πρόσθεσης που ως πράξη έπεται. Έτσι έχουμε σχηματική αναπαράσταση της προτεραιότητας. Προχωρούμε πάντα από τα μέσα κυκλάκια προς τα έξω. </span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br />
<img alt="" src="http://1.bp.blogspot.com/_f8OA_RWmN6A/TQdxLjr5GGI/AAAAAAAAAKs/TuPbaZRvsJw/S250/img019.jpg" height="283" id="Image10_img" width="400" /><br />
<br />
<span style="color: black; font-size: large;"><b>Περίπτωση 4 : </b></span><span style="color: blue; font-size: large;"><b><span style="color: black;">Διαγράμματα Venn </span></b></span><br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><b><span style="color: black;"> για την αναγνώριση αθροίσματος ή γινομένου</span><span style="color: black;">.</span></b></span><br />
<span style="color: blue;"><b>΄</b></span><br />
<span style="font-size: large;">Παρατηρείται δυσκολία των μαθητών να αναγνωρίσουν αν μία αλγεβρική παράσταση είναι άθροισμα ή γινόμενο. Αυτό συμβαίνει ιδιαίτερα στην παραγοντοποίηση. Έτσι αγνοούν την αναγκαιότητα και την ουσία της παραγοντοποίησης ως μετατροπής από άθροισμα σε γινόμενο. Υπάρχει έλλειμμα εννοιολογικής κατανόησης παρά την απομνημόνευση τεχνικών μεθόδων.</span><br />
<span style="font-size: large;"> Τα διαγράμματα Venn με παρόμοια χρήση μπορούν να βοηθήσουν στο σημείο αυτό. Η τελική πράξη φανερώνει το είδος της παράστασης ( άθροισμα ή γινόμενο ):</span><br />
<br />
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><img alt="" src="http://2.bp.blogspot.com/_f8OA_RWmN6A/TQnj7PY-3VI/AAAAAAAAAQE/EUxqre9CuY0/S250/img062.jpg" height="177" id="Image9_img" width="250" /></span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<b><span style="color: blue; font-size: large;">16. Η Διδακτική αξιοποίηση </span></b><br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;"> της ιστορίας των μαθηματικών. </span></b><br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;"> Όμοια τρίγωνα</span></b></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<b>Δεν μπορούμε να διδάσκουμε όμοια τρίγωνα χωρίς τα ιστορικά προβλήματα του Θαλή όπως :</b></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<b>Μέτρηση ύψους πυραμίδας</b></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<b>Μέτρηση ύψους δέντρου με το ραβδί και τη σκιά.</b></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<b>Μέτρηση της απόστασης πλοίου από την ακτή.</b><br />
<b>Υπολογισμός της απόστασης Σελήνης - Ήλιου.</b></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<img alt="" src="http://3.bp.blogspot.com/_f8OA_RWmN6A/TQfBoJvJxPI/AAAAAAAAAL8/JXbLA-ECRss/S250/img030.jpg" height="400" id="Image10_img" width="283" /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<b>Ενδιαφέρον άρθρο στην διδακτική αξιοποίηση των ιστορικών προβλημάτων του Θαλή υπάρχουν στην ιστοσελίδα : </b></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<b><a href="http://www.eled.uowm.gr/mathslife/arxeia%20selidas/sde/sde_yliko/Ekleipsi%20hliou.pdf">http://www.eled.uowm.gr/mathslife/arxeia%20selidas/sde/sde_yliko/Ekleipsi%20hliou.pdf</a></b></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<b><span style="color: blue; font-size: large;">17. Γεωμετρική επίλυση εξισώσεων.</span></b></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="color: blue;"><b> ( ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ )</b></span><br />
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<b> x</b></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<b>Έστω η εξίσωση : x + -------- = 9</b></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<b> 2</b></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Aν θεωρήσουμε με χ το μήκος ενός ευθυγράμμου τμήματος το πρώτο μέλος της εξίσωσης παριστάνει ολόκληρο το τμήμα συν το μισό. Δηλαδή ενάμιση φορά το τμήμα = 9. Για να βρω το χ θα χωρίσω το 9 σε τρία ίσα μέρη. Πράγματι 9 :3 =3. Το χ =6.</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
</div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
3 3 3</div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
____________ ____________ _____________</div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
Ι ------------ x -------------------------I ---- x/2 --------I</div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<b><span style="color: blue; font-size: large;"> </span></b></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>18. Ορισμός του κύκλου </b></span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><b> </b></span><span style="color: blue; font-size: large;"><b>σύμφωνα με τις αντιλήψεις των μαθητών.</b></span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: large;">Ορίζουμε τα ευθύγραμμα τμήματα που έχουν την ίδια αρχή Ο και σταθερό μήκος ρ. Τα δεύτερα άκρα τους βρίσκονται πάνω στον κύκλο. Ο ορισμός αυτός του κύκλου βρίσκεται κοντά στην αντίληψη των μαθητών γιατί μοιάζει με την εικόνα του κύκλου της ρόδας του ποδηλάτου και των ακτίνων του.</span><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>19. Η ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΑΛΦΑΒΗΤΟΥ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ.</b></span><br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;"></span></b><br />
<br />
<span style="color: black; font-size: large;">Μπορούμε να χρησιμοποιούμε το γράμμα <span style="color: #cc0000;"><b>Χ</b> </span>για να αισθητοποιήσουμε εικονικά τις κατακορυφήν γωνίες και το γράμμα <b><span style="color: #cc0000;">Ζ</span> </b>για τις εντός εναλλάξ! Μπορούμε να δούμε την ισότητα σχημάτων μέσα από τα γράμματα. Το <span style="color: #cc0000;"><b>Ζ</b></span> και το <span style="color: #cc0000;"><b>Ν</b></span> είναι ίσα σχήματα. Παριομοίως το <span style="color: #cc0000;"><b>Σ</b></span> και το <span style="color: #cc0000;"><b>Μ.</b></span> Μπορούμε επίσης να δούμε την καθετότητα στην ίδια ευθεία να συνεπάγεται παραλληλία. Αυτό συμβαίνει στα : <span style="color: #cc0000;"><b>Γ , Ε , Η , Π , Τ</b></span> . Να μελετήσουμε τα εμβαδά των ημικυκλίων στο <span style="color: #cc0000;"><b>Β</b>.</span> Το άθροισμα γωνιών του <b><span style="color: #cc0000;">Δ.</span></b> Να παρατηρήσουμε και να αποδείξουμε διχοτόμους στα γράμματα<span style="color: #cc0000;"><b> Σ , Μ , Υ.</b></span></span><br />
<br />
<img alt="" src="http://4.bp.blogspot.com/_f8OA_RWmN6A/TQjWiis7q-I/AAAAAAAAAPM/aBCmlxE7ZyY/S250/img055.jpg" height="400" id="Image10_img" width="283" /><br />
<br />
<br />
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<div class="separator" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; clear: both; text-align: center;">
<span style="color: blue;"><b>20. ΜΑΘΗΤΕΣ ΠΟΥ ΕΡΧΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΤΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ</b></span></div>
<span style="color: blue;"><b> ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ</b></span><br />
<br />
Οι μαθητές που για πρώτη φορά έρχονται στο γυμνάσιο αγνοούν δύο βασικές μαθηματικές έννοιες. Αυτό δεν οφείλεται σε δική τους αδυναμία αλλά σε παράληψη του διδακτικού βιβλίου. Από την άλλη εριά στα εγχειρίδια του γυμνασίου θεωρούνται βασικές γνώσεις που δεν παρουσιάζονται στο βιβλίο της α΄ γυμνασίου. Πράγματι την έννοια της ισότητας σύμφωνα με το μοντέλο της ζυγαριάς τη βλέπουν πρώτη φορά στη β΄ γυμνασίου. Επίσης την μεταβλητή την μελετούν στην ίδια τάξη. Ο καθηγητής λοιπόν που διδάσκει α΄ γυμνασίου πρέπει να έχει υπόψιν του :<br />
<br />
α. Οι μαθητές αγνοούν την ισότητα ως διμελή σχέση. Ως ισόβαρη αξία δύο μελών σύμφωνα με το<br />
" μοντέλο της ζυγαριάς" που ισορροπεί. Το = το αναγνωρίζουν ως ένα σημάδι που χρησιμοποιούσε ο δάσκαλος όταν τους ζητούσε να βρουν το αποτέλεσμα μιας πράξης. Είναι σα να σημαίνει στη μνήμη τους : " Βρες το αποτέλεσμα " ή " αυτό που σου γράφω κάνει .........". <br />
<br />
β. Επίσης αγνοούν την έννοια της μεταβλητής. Αναγνωρίζουν σε ένα γράμμα έναν άγνωστο αλλά σταθερό αριθμό. Την έννοια του αριθμού που μεταβάλλεται παίρνοντας πολλές διαφορετικές τιμές δεν τη γνωρίζουν. Θα τη δουν για πρώτη φορά στο βιβλίο της β΄ γυμνασίου.Το " μοντέλο του δοχείου" κρίνεται κατάλληλο για να προσδώσουμε σ΄ ένα γράμμα τις δύο διαφορετικές όψεις : τον άγνωστο και την μεταβλητή.<br />
<br />
<b><span style="color: #cc0000;"><u>Το " μοντέλο του δοχείου" </u></span></b><br />
Έχουμε λοιπόν ένα δοχείο μη διαφανές.Βάζουμε στο εσωτερικό του έναν αριθμό και κλείνουμε το καπάκι. Το δοχείο περιέχει έναν αριθμό σταθερό αλλά άγνωστο. Έστω τώρα ότι έχουμε το δοχείο με ανοικτό το καπάκι. Μπορούμε να βάζουμε έναν αριθμό αλλά όποτε θέλουμε να τον βγάζουμε και να βάζουμε έναν άλλον κ.ο.κ. Οι αριθμοί είναι πλέον γνωστοί αλλά μεταβλητοί. Έχουμε έτσι μια εικόνα της μεταβλητής. Δηλαδή :<br />
<br />
<b><span style="color: #990000;">Δοχείο με κλειστό καπάκι : άγνωστος</span></b><br />
<b><span style="color: #990000;">Δοχείο με ανοικτό καπάκι : μεταβλητή </span></b><br />
<br />
<br />
<br />
<span style="color: blue;"><b>21. ΟΠΤΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Α΄ ΒΑΘΜΟΥ</b></span><br />
<br />
α. Στο πρώτο κιόλας βήμα επίλυσης μια πρωτοβάθμιας εξίσωσης παρατηρείται σημαντικό διδακτικό εμπόδιο. Πράγματι δυσκολεύονται συχνά οι μαθητές να ανακαλύψουν σε ποιους όρους , που ακριβώς πρέπει να πολλαπλασιάσουν με το Ε.Κ.Π. Για την διόρθωση αυτού του διδακτικού εμποδίου συνιστάται η χρήση παζλ για την οπτικοποίση των όρων μια εξίσωσης. Μοιράζουμε στα πιαδιά κομμάτια ποαζλ διαφορετικών χρωμάτων που συναρμολογούνται για να σχηματίσουν την εξίσωση . Κάτι τέτιοο φαίνεται στην παρακάτω εικόνα :<br />
<br />
<a href="http://mathedutech.wordpress.com/2009/09/02/%ce%bf%cf%80%cf%84%ce%b9%ce%ba%ce%bf%cf%80%ce%bf%ce%af%ce%b7%cf%83%ce%b7-%ce%b5%ce%be%ce%b9%cf%83%cf%8e%cf%83%ce%b5%cf%89%ce%bd/puzzle-equation/" rel="attachment wp-att-91"><img alt="οπτικοποίηση εξίσωσης σε παζλ" class="size-medium wp-image-91 " src="http://mathedutech.files.wordpress.com/2009/09/puzzle-equation.png?w=300&h=60" height="80" title="puzzle-equation" width="400" /></a><br />
<br />
Ζητάμε από τους μαθητές να χωρίσουν τα κομμάτια. Τους βοηθάμε να κατανοήσουν ότι μόνο στα κίτρινα μέρη πολλαπλάσιάζουμε επί το Ε.Κ. Π .<br />
<br />
β. Για τη διαδικασία χωρισμού γνωστών από αγνώστων μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε κάρτες που αναγράφουν τους όρους της εξίσωσης. Οι κάρτες μπορούν να κολληθούν στον πίνακα με σιλοτέιπ. Ακόμη να υπάρχουν μπροστά στους μαθητές ώστε να τις διαχειρίζονται οι μαθητές ομαδοσυνεργατικά. Οι κάρτες με τα πρόσημα είναι διπλής όψης, Στην μια μεριά δηλαδή περιέχουν το + και στην άλλη το - . Έτσι αν γίνει μεταφορά μιας κάρτας στο άλλο μέλος αναποδογυρίζουμε την κάρτα προσήμου για να αλλάξει το πρόσημο του όρου.<br />
Έτσι μπορεί να γίνει κινητικά με πραγματικά αντικείμενα επίδειξη μεταφοράς από το ένα μέλος στο άλλο. Πετυχαίνουμε επίσης καλύτερη εννοιολογική κατανόηση για το ποοι όροι παραμένουν ακίνητοι και δεν αλλάζουν πρόσημο και ποιοι μετακινούντια και αλλάζουν.<br />
<br />
<img alt="" src="http://2.bp.blogspot.com/_f8OA_RWmN6A/TQco7GegDZI/AAAAAAAAAKU/iM9LacWIoFY/S250/img016.jpg" height="177" id="Image10_img" width="250" /><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<span style="color: blue;"><b>22. ΕΝΑ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΜΙΚΡΟΤΕΡΟ ΑΠΟ ΕΝΑΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΑ;</b></span><br />
<span style="color: blue;"><b> ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΒΕΒΑΙΩΣΗ </b></span><br />
<br />
Συνήθως οι μαθητές αντιλαμβάνονται ότι πολλαπλασιάζοντας δύο αριθμούς προκύπτει αριθμός ( γινόμενο) μεγαλύτερο από τους δύο παράγοντες. Αυτό΄όμως δεν συμβαίνει αν ο ένας είναι δεκαδικός μικρότερος του1. Η παρακάτω εικόνα με γραφικό τρόπο εμβαδών αποδυκνύει κάτι τέτοιο. Έστω λοιπόν το ορθογώνιο διαστάσεων 1Χ3. Έχει εμβαδόν : 1 *3 =3<br />
Αν μεταβάλλουμε την διάσταση 1 με μια άλλη α<1 το καινούριο ορθογώνιο έχει μικρότερο εμβαδόν. Άρα α*3 < 3.<br />
<img alt="" src="http://4.bp.blogspot.com/_f8OA_RWmN6A/TQijwlw_cQI/AAAAAAAAAOM/YNZbSOM85ds/S250/img049.jpg" height="177" id="Image10_img" width="250" /><br />
<br />
Το πρόβλημα μπορεί να παρουσιαστεί και σε Sketchpad. Σε σύστημα αξόνων δημιουργούμε ορθογώνιο 1Χ3 όπως στην πρώτη εικόνα του παραπάνω σχήματος.. Μεταβλητό σημείο κινείται στον άξονα yy΄ . Ανεβοκατεβάζοντας το σημείο α αυξομειώνουμε το εμβαδόν του ορθογωνίου διαστάσεων 3Χα<br />
<br />
<br />
<br />
<span style="color: blue;"><b>23. ΠΙΝΑΚΑΣ ΤΙΜΩΝ : ΧΡΗΣΙΜΟ ΕΡΓΑΛΕΙΟ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ</b></span><br />
<br />
<br />
<b><i><u>ΠΡΟΒΛΗΜΑ :</u> Δύο αυτοκίνητα κινούνται με ταχύτητες 55Km/h και 65Km / h . Αν το γρηγορότερο αυτοκίνητο ξεκινά μία ώρα αργότερα από το άλλο , πόσες ώρες χρειάζεται για να καλύψει τη διαφορά;</i></b><br />
<br />
Το πρόβλημα μπορεί να λυθεί γραφικά από τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y= 55χ ,<br />
y= 65x - 65 , που παριστάνουν την κίνησή τους . ( χ= ώρες , y = χιλιόμετρα). Φαίνεται ότι μετά από την τιμή του χ που τέμνονται οι δύο γαρφικές η δεύερη συνάτηση βρίσκεται πάνω από τη πρώτη.<br />
<br />
Θα μπορούσαμε όμως να οδηγηθούμε στο ίδιο αποτέλεσμα μελετώντας έναν πίνακα τιμών :<br />
<br />
<br />
<table border="0" cellspacing="0" cols="8" frame="void" rules="none"><colgroup><col width="215"></col><col width="46"></col><col width="44"></col><col width="50"></col><col width="46"></col><col width="49"></col><col width="48"></col><col width="48"></col></colgroup><tbody>
<tr><td align="left" height="29" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;" width="215"><b>Ώρες</b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="1" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;" width="46"><b>1</b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="2" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;" width="44"><b>2</b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="3" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;" width="50"><b>3</b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="4" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;" width="46"><b>4</b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="5" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;" width="49"><b>5</b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="6" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;" width="48"><b>6</b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="7" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;" width="48"><b>7</b></td></tr>
<tr><td align="left" height="30" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b>Km ( αργό αυτοκίνητο )</b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="55" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b>55</b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="110" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b>110</b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="165" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b>165</b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="220" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b>220</b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="275" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b>275</b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="330" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b>330</b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="385" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b>385</b></td></tr>
<tr><td align="left" height="27" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b>Km ( γρήγορο αυτοκίνητο )</b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="0" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b>0</b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="65" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b>65</b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="130" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b>130</b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="195" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b>195</b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="260" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b>260</b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="325" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b>325</b></td><td align="right" sdnum="1032;" sdval="390" style="border-bottom: #000000 1px solid; border-left: #000000 1px solid; border-right: #000000 1px solid; border-top: #000000 1px solid;"><b>390</b></td></tr>
</tbody></table>
<br />
<br />
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;">Ε΄ ΒΙΩΜΑΤΙΚΗ ΜΑΘΗΣΗ.</span></b><br />
<h1 class="title">
<span style="font-size: small;">Βιωματικά Μαθηματικά. Μαθηματικά πλαισιωμένα μέσα από την πραγματικότητα</span></h1>
<div class="rtejustify">
Οι μαθηματικές έννοιες, αλλά και η
χρήση τους πηγάζουν από την ίδια την πραγματικότητα που βιώνουν τα
άτομα. Η μάθηση πραγματοποιείται πάντοτε μέσα σε ένα
συγκεκριμένο πλαίσιο και είναι αποτέλεσμα προσωπικών αναγκών. Συνεπώς, η
μάθηση των μαθηματικών καλό είναι να μη συντελείται σε έναν ουδέτερο
και αφηρημένο κόσμο, όπου οι εμπειρίες των παιδιών δεν έχουν θέση. Αυτό
σημαίνει ότι η ενεργοποίηση των παιδιών σε καταστάσεις και προβλήματα
που τους είναι οικεία, και προέρχονται από το βιωματικό τους περιβάλλον,
συνεπάγεται περισσότερα κίνητρα και αποτελεσματικότερη μάθηση.</div>
<div class="rtejustify">
Οι καταστάσεις τις οποίες χρησιμοποιούμε ως
αφετηρία για την εισαγωγή των μαθηματικών εννοιών προέρχονται από τη
φύση, τη ζωή και τον πολιτισμό. Όσον αφορά τη φύση δίνουμε έμφαση σε
κανόνες και τρόπους προστασίας του περιβάλλοντος. Όταν λέμε πολιτισμό
εννοούμε τη ζωγραφική, τη λαϊκή παράδοση και γενικότερα τα έργα της
τέχνης. Εννοούμε επίσης, την ιστορία των ελληνικών αλλά και των
παγκόσμιων μαθηματικών. </div>
<div class="rtejustify">
Στηριζόμαστε στη βασική παιδαγωγική και διδακτική
αρχή ότι κάποιος μαθαίνει καλύτερα όταν του δημιουργούνται κίνητρα και
ενδιαφέρον για μάθηση και όταν έχει να αντιμετωπίσει μια κατάσταση -
πρόβλημα στην οποία εμπλέκεται ενεργά και βιωματικά.</div>
<br />
<span style="color: black;">Υπάρχουν πολλά είδη βιωματικής μάθησης στα μαθηματικά. Χρήση χειροπιαστών αντικειμένων , εκτέλεση πειραμάτων , κατασκευές και χειροτεχνίες , παιχνίδι ρόλων , hands on geometry , προβλήματα χωρίς επαρκή δεδομένα κ.α. Μερικές τέτοιες εφαρμογές θα δούμε παρακάτω :</span><br />
<br />
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><i><span style="color: blue; font-size: large;"> 1. <span style="font-size: small;"> ΒΙΩΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ </span></span></i></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><i><span style="color: blue;"> <span style="font-size: small;">ΣΤΙΣ ΜΟΝΑΔΕΣ ΟΓΚΟΥ ΚΑΙ ΜΑΖΑΣ ( ΧΕΙΡΟΠΙΑΣΤΑ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΑ )</span></span></i></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black; font-size: large;">Δίνουμε στους μαθητές ομαδοσυνεργατικά διάφορα μπουκάλια ή συσκευασίες από προϊόντα της αγοράς. π.χ μπουκάλια απορυπαντικών , χλωρίνης , σιροπιών , διορθωτικού , οινοπνεύατος , αναψυκτικών , χυμών. Επίσης συσκευασίες από μακαρόνια , σοκολάτας , καφέ , ζάχαρης , χαπιών κ.α</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black;"><span style="font-size: large;"><b>α.</b> Παρατηρούμε ότι τα υγρά προϊόντα αναγράφουν όγκο σε l ή ml ενώ τα στερεά μάζα σε </span><span style="font-size: large;">Kg ή g ή mg.</span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"><span style="color: black;"><b>β.</b> Σε δεύτερη φάση ζητούμε σύγκριση ποσότητας.π.χ Ποιο περιέχει περισσότερο υγρό το μπουκαλάκι νερό 0,5 l ή το κουτάκι κοκακόλας 330 ml .H σύγκριση απαιτεί μετατροπές μονάδων.</span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><span style="color: black;"><span style="font-size: large;">γ. <i>Δραστηριότητα. Δύο χλωρίνες αναγράφουν : Α ---> 0,75</i></span><i> <span style="font-size: large;">l 2,5 ευρώ Β ---> 1000 ml 3 ευρώ. Ποιο από τα δύο προϊόντα συμφέρει να αγοράσουμε;</span></i></span></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>2. <span style="font-size: small;"> ΒΙΩΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ</span></b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: blue;"><b> <span style="color: blue;"> <span style="font-size: small;">ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ( ΧΕΙΡΟΠΙΑΣΤΑ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΑ ).</span></span></b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
<span style="color: blue; font-size: small;"></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black; font-size: small;">Παίρνουμε 3 κομμάτια μακαρονιών διαφορετικών μηκών. Παρατηρούμε ότι αν το συνολικό μήκος των δύο είναι μικρότερο από το μήκος του τρίτου δεν σχηματίζουν τρίγωνο. Αντίθετα αν τα δύο μαζί ξεπερνούν το τρίτο τότε το τρίγωνο σχηματίζεται. Η δραστηριότητα αυτή αναδεικνύει τον πειραματικό χαρακτήρα της γεωμετρίας. Η ίδια δραστηριότητα μπορεί να γίνει με καλαμάκια αντί για μακαρόνια.</span><br />
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<img alt="" src="http://2.bp.blogspot.com/_f8OA_RWmN6A/TQkaVIX6NcI/AAAAAAAAAPk/r_pYfSnv3eY/S250/img058.jpg" height="282" id="Image9_img" width="400" /><br />
<br />
<span style="color: blue;"><b> 3. ΠΑΙΧΝΙΔΙ ΡΟΛΩΝ ΣΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ.</b></span><br />
<br />
<span style="color: black; font-size: xx-small;"><span style="font-size: small;">Δίνουμε ρόλους στους μαθητές. Ένας είναι ο πλακατζής που θα περάσει πλακάκια στο δάπεδο της αίθουσας. Ένας άλλος είναι ο ελαιοχρωματιστής που θα βάψει τους τοίχους. Οι υπόλοιποι διαπραγματεύονται με τους μάστορες. Επίσης οι τεχνίτες μπορούν να έχουν βοηθούς. Ο κάθε τεχνίτης με μέτρα που τους προμηθεύει ο διδάσκοντας μετρούν τις διαστάσεις του δαπέδου και των τοίχων. Κατόπιν πρέπει να λύσουν συγκεκριμένα πρακτικά ζητήματα :<br />
<br />
<b><i>α. πόσα πλακάκια διαστάσεων 30Χ30 χρειάζονται για το δάπεδο;</i></b><br />
<b><i>β. Πόσα χρήματα θα πληρωθεί ο ελαιοχρωματιστής αν παίρνει α ευρώ το τετραγωνικό μέτρο; </i></b><br />
<br />
Eιδικά στο σημείο αυτό μπορούμε να επιλέξουμε να βαφεί ο τοίχος που περιέχει την πόρτα. Οι μαθητές πρέπει να μετρήσουν τις διαστάσεις του τοίχου αλλά και της πόρτας. Η επιφάνεια που θα βαφεί είναι η διαφορά των εμβαδών του τοίχου και της πόρτας. Μπορούμε επίσης να ζητήσουμε από τους μαθητές να σχεδιάσουν ένα σχέδιο ( μακέτα ) του τοίχου - πόρτας με ορισμένη κλίμακα. Στο τέλος καλούνται να βρουν το κόστος της βαφής αφού η ομάδα ελαιοχρωματιστών ανακοινώσει την τιμή ανά τετραγωνικό μέτρο.</span></span></div>
<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>4. ΒΙΩΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ</b></span><br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><b> ΣΤΑ ΟΜΟΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ</b></span><br />
<br />
<span style="color: black; font-size: small;">Αφού χωριστούν οι μαθητές σε ομάδες τους ζητάμε να σχεδιάσουν με χάρακα σε μια κόλλα χαρτί διάφορα σχήματα. Τρίγωνα , Τετράπλευρα , πεντάγωνα.Κατόπιν ένας από κάθε ομάδα πηγαίνει στο γραφείο των καθηγητών και βγάζουν φωτοτυπίες της σελίδας σε δυο διαφορετικές σμυκρίνσεις. Γυρνώντας μετράμε τις γωνίες και τις πλευρές των σχημάτων ( κανονικών και μικρών ). Διαπιστώνουμε έστι βιωματικά και πειραματικά τις ιδιότητες των ομοίων τριγώνων. Την ισότητα δηλαδή των γωνιών μία προς μία και την αναλογία των πλευρών.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>5. ΠΑΙΧΝΙΔΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΗΜΕΙΟΥ</b></span><br />
<br />
<span style="color: blue;"><b><span style="font-size: large;"><span style="color: black;">Α. ΤΟ ΠΑΙΧΝΙΔΙ : "ΝΑΥΜΑΧΙΑ</span><span style="color: black;">"</span></span></b></span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><b> </b></span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="color: black; font-size: small;"> Χωρίζουμε τους μαθητές σε ομάδες. Κάθε ομάδα παραλαμβάνει ένα τετραγωνισμένο χαρτί και 5 πόνια για καράβια. Τοποθετούν τα καράβια τους σε σημεία που επιθυμούν πάνω στο χαρτί. Ο καθηγητής γνωρίζει στο δικό του χαρτί τις θέσεις των πλοίων όλων των ομάδων για να επιτηρεί τον αγώνα. Κάθε ομάδα εκτελεί δύο βολές προς τα αντίπαλα σκάφη. Λέει ζεύγη σημείων.π.χ ( 3,4) , (-2,6) .Όποια ομάδα έχει πλοίο στη θέση εκείνη καταβυθίζεται. Το παιχνίδι τελειώνει στο χρόνο που προκαθορίστηκε και νικήτρια είναι η ομάδα με λιγότερες απώλειες.</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="color: black;"><br />
<span style="font-size: small;"></span></span><br />
<span style="font-size: large;"><b>Β. ΠΑΙΧΝΙΔΙ ΜΕ ΖΑΡΙΑ ΚΑΙ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΣΜΕΝΟ ΧΑΡΤΙ.</b></span><br />
<br />
<span style="font-size: large;"> </span><span style="color: black; font-size: small;">Ένα ακόμη παιχνίδι στην διδασκαλία συντεταγμένων είναι και το εξής :</span><br />
<span style="color: black; font-size: small;">Μοιράζουμε στους μαθητές ένα τετραγωνισμένο χαρτί 6Χ6 όπως στο παρακάτω σχήμα. Χωρίζουμε τους μαθητές σε ομάδες. Κάθε ομάδα θα χρησιμοποιεί διαφορετικού χρώματος στυλό ή μαρκαδόρο. Έτσι έχουμε την κόκκινη ομάδα , την μπλε , την πράσινη , την μαύρη κλπ. Κάθε ομάδα ρίχνει δύο ζάρια. Οι ενδείξεις των ζαριών αντιστοιχούν σε συντεταγμένες. Αν φέρουμε για παράδειγμα 5, 2 απεικονίζουμε στο τετραγωνισμένο χαρτί τα σημεία ( 5,2) αλλά και το ( 2,5). Στο τέλος η ομάδα που θα απεικονίσει τα περισσότερα σημεία είναι η νικήτρια. Το χρώμα που χρησιμοποιεί η κάθε ομάδα φανερώνει ποια σημεία τοποθέτησε.</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="color: black;"><br />
<span style="font-size: small;"></span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<img alt="" src="http://2.bp.blogspot.com/_f8OA_RWmN6A/TQhxccL-wzI/AAAAAAAAAMk/-3N0q4eUjrY/S250/img035.jpg" height="400" id="Image10_img" width="283" /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>6. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΧΩΡΙΣ ΕΠΑΡΚΗ ΔΕΔΟΜΕΝΑ </b></span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<b><span style="color: blue; font-size: large;"> <span style="font-size: small;"> ( ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΣΤΗΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ )</span></span></b></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="color: black; font-size: small;">Τα προβλήματα που εμφανίζονται στην πραγματικότητα και χρειάζονται μαθηματικές γνώσεις για να επιλυθούν δεν αναγράφουν δεδομένα. Ο λύτης οφείλει να ανακαλύψει τα δεδομένα που πρέπει να μετρήσει καθώς και την στρατηγική επίλυσης.Φέρνοντας πραγματικά αντικείμενα στην τάξη μπορούμε να θέτουμε προβλήματα με ζητούμενα. Τα δεδομένα με κατάλληλες μετρήσεις τα εφευρίσκουν οι μαθητές</span>.</div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<b><u><span style="color: #cc0000;">Παράδειγμα 1 :</span></u></b> <span style="color: black; font-size: small;">Φέρνουμε στην τάξη ένα κυλινδρικό βάζο και ένα ογκομετρικό κύλινδρο από το εργαστήριο χημείας και μια μετροταινία.</span><span style="color: black; font-size: small;">Θέτουμε το ερώτημα : Πόσα λίτρα νερό χωράει το δοχείο;</span><span style="color: black; font-size: small;">Οι μαθητές ανακαλύπτουν τον τύπο του όγκου κυλίνδρου. Από εκεί συμπεραίνουν ότι τους χρειάζονται να μετρήσουν την ακτίνα βάσης και το ύψος. Τα μετρούν με την μετροταινία και υπολογίζουν τον όγκο. Στη συνέχεια ρίχνοντας νερό στον ογκομετρικό κύλινδρο και βάζοντάς το στο δοχείο επιβεβαιώνουμε το αποτέλεσμα .</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<b><u><span style="color: #cc0000;">Παράδειγμα 2</span></u></b></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="color: black; font-size: small;">Φέρνουμε στην τάξη ένα κυλινδρικό βάζο και μικρές σφαιρικές πλαστικές μπάλες . Γεμίζουμε το δοχείο με μπάλες; </span><span style="color: black; font-size: small;">Ερωτήματα : Πόσα ml είναι ο κενός χώρος του βάζου που δεν καλύπτεται από τις σφαίρες;Πόσο % του όγκου του βάζου δεν καλύπτεται από τις μπάλες;</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="color: black;"><br />
<span style="font-size: small;"></span></span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="color: black;"><br />
<span style="font-size: small;"></span></span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<b><span style="color: blue;">7. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΕ ΧΕΙΡΟΠΙΑΣΤΑ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΑ</span></b></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<b><span style="color: blue;"> (HANDS ON GEOMETRY )</span></b></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="color: black;">Α. Mπορούμε να χρησιμοποιούμε λωρίδες από χαρτόνι και συνδετήρες για την κατασκευή γεωμετρικών σχημάτων. Κάτι τέτοιο οπτικοποιεί καλύτερα τις γεωμετρικές ιδιότητες , προσδίδει ένα βιωματικό χαρακτήρα στην διδασκαλία της γεωμετρίας. Επίσης πράττει γεωμετρία όχι με αφηρημένα σχέδια στον πίνακα αλλά με χειροπιαστά αντικείμενα πραγματικής υπόστασης.</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<b>Παράδειγμα 1</b><br />
<b><span style="color: #990000;">ΙΣΟΠΛΕΥΡΟ ΤΡΙΓΩΝΟ</span></b></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="color: black; font-size: small;">Κόβουμε τρεις λωρίδες ίσου μήκους από χαρτόνι. Τις συνδέουμε με συνδετήρες ανά δύο και φτιάχνουμε ισόπλευρο τρίγωνο. Με μοιρογνωμόνιο επιβεβαιώνουμε ότι οι γωνίες του είναι από 60 μοίρες.</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<b>Παράδειγμα 2</b><br />
<b><span style="color: #990000;">ΟΜΟΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ</span></b></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="color: black; font-size: small;">Κόβουμε τρεις λωρίδες από χαρτόνι. Τις συνδέουμε με συνδετήρες και φτιάχνουμε τρίγωνο. Με τρεις άλλες λωρίδες μισού μήκους με τις πρώτες , φτιάχνουμε δεύτερο τρίγωνο. Τα τρίγωνα είναι όμοια. Μετρώντας τις γωνίες τους επιβεβαιώνουμε ότι έχουν μία προς μία ίσες γωνίες.</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<b>Παράδειγμα 3</b></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<b><span style="color: #990000;">ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ - ΡΟΜΒΟΣ</span></b></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="color: black; font-size: small;">Με 4 λωρίδες και συνδετήρες φτιάχνουμε τετράγωνο. Κρατώντας τη μία κορυφή σταθερή τραβάμε προς τα πάνω την απέναντί της. Το τετράγωνο παραμορφώνεται και μετασχηματίζεται σε ρόμβο. Κινητική δραστηριότητα που βοηθά στην κατανόηση των ομοιοτήτων τετραγώνου και ρόμβου. Ο ρόμβος που δημιουργήθηκε διατηρεί τις ίσες πλευρές παύει όμως να έχει ορθές γωνίες.</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="color: black;"><br />
<span style="font-size: small;"></span></span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<b>Παράδειγμα 4</b><br />
<b><span style="color: #990000;">ΕΙΔΗ ΓΩΝΙΩΝ</span></b></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="color: black; font-size: small;">Με 2 λωρίδες και συνδετήρα φτιάχνουμε οξεία γωνία. Μετακινώντας τη μία λωρίδα τη μετασχηματίζουμε σε ορθή , αμβλεία , ευθεία , πλήρη.Έτσι παρουσιάζουμε με λωρίδες σε κίνηση τα είδη γωνιών.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
<img alt="" src="http://4.bp.blogspot.com/_f8OA_RWmN6A/TQiYvCD1FNI/AAAAAAAAAN0/tUtBCr8VCrQ/S250/img046.jpg" height="226" id="Image10_img" width="320" /><br />
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><span style="color: #990000; font-size: small;">Β. ΣΚΕΛΕΤΟΣ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΟΔΟΝΤΟΓΛΥΦΙΔΕΣ ΚΑΙ ΠΛΑΣΤΕΛΙΝΗ.</span><br />
<span style="font-size: small;"><br />
</span><br />
<span style="color: black; font-size: small;">Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε οδοντογλυφίδες και πλαστελίνη για την κατασκευή του σκελετού ενός στερεού σχήματος. Οι οδοντογλυφίδες παίζουν το ρόλο των ακμών και μπάλες από πλαστελίνη τις κορυφές. Οι μπάλες της πλαστελίνης είναι ουσιαστικά οι σύνδεσμοι πάνω στις οποίες καρφώνονται οι οδοντογλυφίδες.</span></span><span style="color: blue; font-size: large;"> </span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
</div>
<span style="font-size: small;"><span style="color: black;"><i><b></b></i></span></span><br />
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="color: #990000; font-size: small;">Γ. ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΠΙΝΕΖΑ ΚΑΙ ΛΑΣΤΙΧΑΚΙ.</span><br />
<span style="font-size: small;"><br />
</span><br />
<span style="font-size: small;"><span style="color: black;">Πινέζα που χρησιμοποιείται στους πίνακες ανακοινώσεων και λαστιχάκι. Καρφώνουμε τη πινέζα σε σταθερό σημείο. Περνούμε το λαστιχάκι στο κεφάλι της πινέζας, Βάζουμε ένα στυλό στο άλλο άκρο του λάστιχου. Τεντώνοντας το λάστιχο κινούμε το στυλό κυκλικά και διαγράφει κύκλο. Η πινέζα οπτικοποιεί το κέντρο και το λάστιχο την ακτίνα. Χρησιμοποιώντας δύο πινέζες και λάστιχο σχηματίζουμε έλλειψη</span>.</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><br />
</span><br />
<span style="font-size: small;"><br />
</span></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="color: #990000; font-size: small;">Δ. ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΕΜΒΑΔΟΥ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΧΑΡΤΙ , ΨΑΛΙΔΙ ΚΑΙ ΣΙΛΟΤΕΪΠ</span><br />
<span style="font-size: small;"><br />
</span><br />
<span style="color: black; font-size: small;">Κτασκευάζουμε κύκλο σε ένα φύλλο χαρτί. Τον χωρίζουμε σε 8 ίσα τόξα. 4 σε κάθε ημικύκλιο. Φέρνοντας τις ακτίνες δημιουργούμε οκτώ κυκλικούς τομείς. Κόβουμε τους κυκλικού τομείς και τους τοποθετούμε τους 4 με το τόξο προς τα κάτω και τους 4 ενελλάξ ανάμεσα στους άλλους ανάποδα. Σχηματίζουμε έτσι το περίπου ορθογώνιο που αποδεικνύει το εμβαδόν του κύκλκου ως πρ Χ ρ όπως υπάρχει στο σχολικό βιβλίο της β γυμνασίου.</span><br />
<br />
<img alt="" src="http://2.bp.blogspot.com/_f8OA_RWmN6A/TQPXEbN73bI/AAAAAAAAAJs/JRvjwGNvr90/S250/img012.jpg" height="400" id="Image9_img" width="283" /></div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="color: #990000; font-size: small;">Ε. ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΜΕ ΧΑΡΤΙ , ΨΑΛΙΔΙ , ΣΙΛΟΤΕΪΠ.</span><br />
<span style="font-size: small;"><br />
</span><br />
<span style="color: black; font-size: small;">Κόβουμε ένα τρίγωνο σε ένα φύλλο χαρτιού και με σιλοτέιπ το κολλάμε στον πίνακα. Αριθμούμε με 1 , 2, 3 τις γωνίες του. Ακριβώς ίδιο με αυτό κατασκευάζουμε άλλο ένα τρίγωνο. Αριθμούμε τις γωνίες επίσης. Κόβουμε με ψαλίδι τις τρεις γωνίες και τις τοποθετούμε στον πίνακα με σιλοτέιπ ώστε να σχηματίζουν ευθεία γωνία. Επιβεβαιώνεται ότι το άθροισμα των γωνιών τριγώνου είναι 180 μοίρες.</span><br />
<br />
<span style="color: black; font-size: small;"><img alt="" src="http://1.bp.blogspot.com/_f8OA_RWmN6A/TQiaaugManI/AAAAAAAAAN8/4gq1xg-OjEM/S250/img047.jpg" height="177" id="Image10_img" width="250" /></span><br />
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="color: #cc0000; font-size: small;">Ζ. ΚΥΡΤΗ ΚΑΙ ΜΗ - ΚΥΡΤΗ ΓΩΝΙΑ ΜΕ ΧΑΡΤΙ , ΨΑΛΙΔΙ , ΣΙΛΟΤΕΪΠ.</span><br />
<span style="font-size: small;"><br />
<span style="color: black;"></span></span><br />
<span style="color: black; font-size: small;"> Κολλάμε ένα φύλλο χαρτί με σιλοτέιπ στον πίνακα. Αισθητοποιεί την έννοια του επιπέδου. Με μολύβι και χάρακα σχηματίζουμε δύο ημιευθείες με κοινή αρχή. Ξεκολλάμε το χαρτί και κόβουμε κατά μήκος των ημιευθειών . Ξεχωρίζουμε τα δύο τμήματα και τα κολλάμε στον πίνακα. Έχουμε μία οπτικοποίηση της κυρτής και μη κυρτής γωνίας.</span></div>
<br />
<img alt="" src="http://2.bp.blogspot.com/_f8OA_RWmN6A/TQPHg0SZHkI/AAAAAAAAAJU/jUp1pMmkcok/S250/img009.jpg" height="400" id="Image9_img" width="283" /><br />
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="color: #990000; font-size: small;">Η. ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΜΕ ΧΡΩΜΑΤΙΣΜΕΝΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΧΑΡΤΑΚΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ.</span><br />
<span style="font-size: small;"><br />
</span><br />
<span style="font-size: small;"> <span style="color: black;">Παίρνουμε μικρά τετράγωνα χαρτάκια σημειώσεων διαφορετικών χρωμάτων και τα κολλάμε στον πίνακα. Με τέτοιο τρόπο μάλιστα ώστε να σχε</span></span><br />
<span style="font-size: small;"><span style="color: black;">διάζουμε συγκεκριμένες κατασκευές. π.χ σκύλο , σπιτάκι , καράβι , λουλούδι κ.α. Ζητάμε το κλάσμα που αντιπροσοπεύει κάθε χρώμα στην κατασκευή. Δραστηριότητα για την εισαγωγή της έννοιας του κλάσματος.</span></span><br />
<span style="font-size: small;"><img alt="" src="http://2.bp.blogspot.com/_f8OA_RWmN6A/TQPcHfD3uJI/AAAAAAAAAJ0/i3ARN0hwBH8/S250/img013.jpg" height="400" id="Image9_img" width="283" /></span><br />
<span style="font-size: small;"><span style="color: #cc0000;"><b>Θ. ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΠΥΡΑΜΙΔΑΣ ΜΕ ΧΑΡΤΟΝΙ , ΧΑΡΑΚΕΣ , ΨΑΛΙΔΙ.</b></span><br />
<br />
<span style="color: black;">Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το παρακάτω σχέδιο για να κατασκευάσουμε πυραμίδα. Ξεκινάμε από ένα τετράγωνο σε ένα χαρτόνι. Όσο μεγαλύτερο είναι το τετράγωνο τόσο μεγαλύετρη θα έιναι η πυραμίδα. Με χάρακες σχηματίζουμε τα πορτοκαλί , κόκκινα και πράσινα ευθύγραμμα τμήματα. Οι αποστάσεις βέβαια είναι ίσες. Κόβουμε κατά μήκος των κόκκινων γραμμών και διπλώνουμε κατά μήκος των πράσινων. Τα κόκκινα τετράγωνα , συνενώνονται σε μια κοινή κορυφή και δημιουργείται πυραμίδα με βάση το πράσινο τετράγωνο. Πρόκειται για τετραγωνική πυραμίδα.</span><br />
<br />
<span style="color: black;"><img alt="" src="http://3.bp.blogspot.com/_f8OA_RWmN6A/TQiel5r96uI/AAAAAAAAAOE/F8ohv3DeHJY/S250/img048.jpg" height="400" id="Image10_img" width="283" /></span><br />
<b><span style="font-size: large;">8. ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ</span></b>.<br />
<br />
<span style="color: #990000;"><b>Α. ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΜΕ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΔΟΣΟΜΕΤΡΗΤΗ ΑΠΟ ΠΛΑΣΤΙΚΟ ΜΠΟΥΚΑΛΙ.</b></span><br />
<br />
<span style="color: black;">Μπορούμε να φέρουμε στην τάξη έτοιμο δοσομετρητή που χρησιμοποιούν οι νοικοκυρές στην μέτρηση της δοσολογίας απορρυπαντικού. Πρόκειται γαι πλαστικά δοχεία που έχουν γραμμές για να χωρίσουν π.χ το 1/4 , 2/4 , 3/4 , 4/4 της χωρητικότητας τους. Γεμίζοντας το δοσομετρητή με νερό μέχρι τη πρώτη γαρμμή έχουμε την έννοια του κλάσματος 1/4. Μέχρι τη δεύτερη γραμμή το 2/4 κ.ο.κΘα μπορούσαμε βέβαια να κατασκευάσουμε στην τάξη έναν τέτοιο δοσομετρητή. Παίρνουμε ένα μέρος από πλαστικό μπουκάλι νερου 20cm ύψους. Χαράζουμε γραμμές με μαρκαδόρο στα 5cm στα 10 , στα 15 και στα 20cm . Κάθε γραμμή προχωράει κατά 1/4. </span></span><br />
<br />
<span style="color: black; font-size: small;"><span style="color: #990000; font-size: small;"><b>Β. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΗΚΟΥΣ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΧΕΙΡΟΠΙΑΣΤΑ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΑ.</b></span><br />
<br />
<span style="color: black; font-size: small;">Φέρνουμε στην τάξη διάφορα αντικείμενα που να περιέχουν κύκλο ως βάση τους. Τέτοια μπορεί να είναι νομίσματα 50 λεπτών ή 1ή 2 ευρώ , φλυτζάνια καφέ και τσαγιού , μπλάγκο , στυλοθήκη , πιατάκια μικρά και μέτρια , φαγητοδοχεία και τάπερ κυλλινδρικά κ.α. Μετράμε με χάρακα τη διάμετρό τους. Με σκοινί ή κλωστή περιτυχίγουμε την περίμετρο τους και ανοίγοντας μετράμε με χάρακα το μήκος του περιτυλιγμένου σκοινιού , που αντιστοιχεί στο μήκος του κύκλου. Σε πίνακα καταγράφουμε τις μετρήσεις L , δ , L /δ και διαπιστώνουμε την σχέση L /δ = π.</span></span><br />
<br />
<span style="color: #cc0000;"><span style="font-size: small;"><b>Γ. ΜΕΛΕΤΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ (</b><b> ΒΡΑΣΙΜΟ ΝΕΡΟΥ ).</b></span></span> <br />
<br />
<span style="color: black; font-size: small;">Σε ένα κυλλινδρικό δοχείο πυρέξ βάζουμε νερό και το τοποθετούμε με ένα θερμόμετρό μέσα του πάνω σε αναμμένο καμινέτο. Παρακολουθούμε την θερμοκρασία του νερού κάθε λεπτό. Καταστρώνουμε πίνακα τιμών της θ ανά t . Σβήνουμε το καμινέτο μετά από 5 λεπτά και παρακολουθούμε εκ νέου τη μείωση της θερμοκρασίας σε νέο πίνακα θ ανά t . Σχεσιάζουμε γραφική παράσταση t προς θ και συζητάμε για τη μορφή της και τα συμπεράσματα που μπορούμε να έχουμε.</span><br />
<br />
<b><span style="color: blue;"><span style="color: #cc0000; font-size: small;">Δ. ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΓΩΝΙΟΜΕΤΡΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ.</span></span></b><br />
<br />
<span style="color: black; font-size: small;">Ένα παράδειγμα μεταφοράς προβλήματος στην πραγματικότητα μπορούμε να εφαρμόσουμε στην τριγωνομετρία. Η διδασκαλία σε πρώτη φάση περιέχει την κατασκευή ενός γωνιόμετρου. Με το όργανο αυτό μπορούμε να μετρήσουμε τη γωνία που σχηματίζει με το έδαφος ένα ψηλό κτήριο.</span><br />
<span style="color: black;"><br />
<span style="font-size: small;"></span></span><br />
<b><u><span style="color: black; font-size: small;">α. ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΓΩΝΙΟΜΕΤΡΟΥ</span></u></b><br />
<span style="color: black;"><br />
<span style="font-size: small;"></span></span><br />
<span style="color: black; font-size: small;">ΒΗΜΑ 1 : Παίρνουμε ένα ορθογώνιο χαρτόνι 25 Χ 30cm.</span><br />
<span style="color: black; font-size: small;">ΒΗΜΑ 2 : κολλάμε στην αριστερή του γωνία φωτοτυπία μοιρογνωμόνιου από 0 έως 90 μοίρες.</span><br />
<span style="color: black; font-size: small;">ΒΗΜΑ 3: Προσαρμόζουμε νήμα που στο άλλο άκρο του δένουμε κουμπί.</span><br />
<span style="color: black; font-size: small;">ΒΗΜΑ 4 : Στην πάνω πλευρά του χαρτονιού κολλάμε ένα κομμάτι άχυρο( ή κλωστή ή χαρονάκι χρωματισμένο).</span><br />
<span style="color: black;"><br />
<span style="font-size: small;"></span></span><br />
<b><u><span style="color: black; font-size: small;">β. ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΣΕ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΧΩΡΟ</span></u></b><br />
<span style="color: black;"><br />
<span style="font-size: small;"></span></span><br />
<span style="color: black; font-size: small;">Βγαίνοντας έξω στοχεύουμε με το γωνιόμετρο την κορυφή ενός ψηλού κτηρίου. Ουσιαστικά το άχυρο πρέπει να κατευθύνεται προς την κορυφή. Το νήμα μετράει τη γωνία πάνω στο μοιρογνωμόνιο.</span><br />
<span style="color: black; font-size: small;">Μετράμε με μετροταινία την οριζόντια απόσταση από το σημείο που στοχεύουμε μέχρι τη βάση του κτηρίου.</span><br />
<br />
<br />
<span style="color: black;"><img alt="" src="http://2.bp.blogspot.com/_f8OA_RWmN6A/TQei9P5EhaI/AAAAAAAAALs/g29YdEu9tRw/S250/img027.jpg" height="400" id="Image10_img" width="282" /><br />
<span style="font-size: small;"></span></span><br />
<span style="font-size: small;"><br />
</span><br />
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
</div>
<div align="justify" dir="ltr" style="border-bottom: medium none; border-left: medium none; border-right: medium none; border-top: medium none; text-align: justify;">
<span style="color: black;"><b><u><span style="font-size: small;">Γ. ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΤΗΝ ΤΑΞΗ</span></u></b><br />
<span style="font-size: small;"><br />
</span><br />
<span style="font-size: small;">Μεταφέροντας τις μετρήσεις στην τάξη σχηματίζουμε ένα σχήμα. Εφαρμόζοντας τον τύπο της εφαπτομένης βρίσκουμε το άγνωστο ύψος .</span><br />
<span style="font-size: small;">Πρόκειται για παράδειγμα πειραματικής γεωμετρίας και μεταφοράς προβλήματος στην πραγματικότητα.</span><br />
<br />
<br />
<span style="font-size: small;"><b><span style="font-size: large;"><span style="color: blue;"><span style="color: blue;">9.</span> Η ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΖΛ ΣΤΗΝ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ</span></span></b><br />
<br />
<b><span style="font-size: large;"></span></b><br />
<b>Α. ΣΤΙΣ ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ</b><br />
<br />
Δίνουμε τέσσερα χαρτόνια στους μαθητές. Δύο τετράγωνα πλευράς 5 και 4 εκατοστών αντίστοιχα και δύο ορθογώνια διαστάσεων 5Χ4. Ζητούμε να κατασκευάσουν με αυτά τετράγωνο πλευράς 9 εκ.<br />
<br />
Χρήση της ταυτότητας ( 5+ 4)2 .</span></span><br />
<br />
<br />
<span style="color: black;"><img alt="" src="http://4.bp.blogspot.com/_f8OA_RWmN6A/TQdtdlsMrtI/AAAAAAAAAKc/mlBLLGSKkUw/S250/img017.jpg" height="177" id="Image10_img" width="250" /></span><br />
<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black; font-size: small;"><b>Β. ΣΤΗΝ ΕΠΙΜΕΡΙΣΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ</b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><br />
</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black; font-size: small;">Δίνουμε δύο ορθογώνια διαστάσεων 4Χ5 και 4Χ 6.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black; font-size: small;">υπολογίζουμε τα δύο εμαβαδά χωριστά και μετά ως ένα συνενωμένο ορογώνιο 4 Χ11.</span></div>
<span style="color: black;"><br />
<span style="font-size: small;"></span></span><br />
<span style="color: black;"><br />
<span style="font-size: small;"></span></span><br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black; font-size: small;"><b>Γ. ΣΤΑ ΕΜΒΑΔΑ</b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
<span style="color: black; font-size: small;"></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black; font-size: small;">Με παζλ και χαρτοκοπτική μπορούν να γίνουν οι αποδείξεις των εμβαδών του παραλληλογράμμου και του τραπεζίου του βιβλίου της β΄ γυμνασίου.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: large;"></span><span style="font-size: large;"><br />
<img alt="" src="http://4.bp.blogspot.com/_f8OA_RWmN6A/TQcg9LfK6UI/AAAAAAAAAKM/fe1k23czCx4/S250/img015.jpg" height="177" id="Image10_img" width="250" /><br />
<br />
<br />
<b><span style="font-size: small;">Δ. ΣΤΟ ΠΥΘΑΓΩΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ</span></b></span><br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><br />
</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">Με παζλ μπορεί πρακτικά να διαπιστωθεί ότι το άθροισμα των εμβαδών των τετραγώνων των καθέτων πλευρών δίνει το εμβαδόν του τετραγώνου της υποτείνουσας.</span></div>
<img alt="" src="http://2.bp.blogspot.com/_f8OA_RWmN6A/TQdwNkribrI/AAAAAAAAAKk/NydB4hcMOc0/S250/img018.jpg" height="400" id="Image10_img" width="283" /><br />
<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<b>Ε. ΣΤΗΝ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ </b></div>
<div style="text-align: justify;">
<b> ΔΙΚΛΑΔΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ</b></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">Έστω f(x) = x2 αν χ >0</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"> 3χ αν χ < 0</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><br />
</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">Μπορούμε να κάνουμε χωριστά την γραφική παράσταση της χ2 σε τετραγωνισμένο χαρτι και της 3χ σε άλλο. Με χαρτοκοπτική κόβουμε την πρώτη γραφική παράσταση ( την παραβολή ) στο δεξιό τμήμα του άξονα yy΄ και την δεύτερη ( την ευθεία ) στο αριστερό. Συνενώνοντας τα δύο κομμάτια έχουμε την γραφική παράσταση της δίκλαδης συνάρτησης.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><br />
</span></div>
<span style="font-size: small;"><br />
</span><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<b><i><span style="color: blue; font-size: large;">10. ΔΙΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ </span></i></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><i><span style="color: blue; font-size: large;"> ΣΤΗΝ ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΠΟΙΗΣΗ </span></i></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><i><span style="color: blue; font-size: large;"> ΚΑΙ ΤΗΝ ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ </span></i></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><i><span style="color: blue; font-size: large;"> ΜΕΓΑΛΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ</span></i></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">Μοιράζουμε στους μαθητές μια σελίδα παρμένη από το διαδίκτυο που περιέχει αστονομικές αποστάσεις αστέρων και πλανητών , επεξήγηση του έτους φωτός κ.α. Θα μπορούσαμε βέβαια τις πληροφορίες της αστρονομίας να μην τις μοιράσουμε με φωτοτυπίες. Αν οι μαθητές έχουν μαζί τους τους φορητούς υπολογιστές θα μπορούσαν να αναζητήσουν τις πληροφορίες αυτές από το διαδίκτυο. Κάτι ανάλογο μπορεί να γίνει στο εργαστήριο πληροφορικής.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">Ζητούμε στρογγυλοποίηση των αριθμών. Προκύπτουν μεγάλοι αριθμοί με πολλά μηδενικά. Ασχολούμαστε λοιπόν στην συνέχεια με την αναγκαιότητα έκφρασης των αριθμών σε τυποποιημένη μορφή</span>.</div>
<br />
<br />
<span style="color: blue; font-size: large;"><b>11. ΧΡΗΣΗ ΜΥΘΟΠΛΑΣΙΑΣ ΣΤΗΝ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ</b></span><br />
<br />
<b><span style="color: blue; font-size: large;">ΠΡΟΣΧΗΜΑΤΙΚΗ ΜΥΘΟΠΛΑΣΙΑ</span></b><br />
<span style="color: black; font-size: small;">Με τον όρο προσχηματική μυθοπλασία εννοούμε την επινόηση μιας διηγηματικής αφήγησης που στόχο όμως έχει την επίλυση συγκεκριμένου μαθηματικού πραγματικού προβλήματος.</span><br />
<span style="color: black; font-size: small;">Περιέχει πρόσωπα ,χαρακτήρες , περιγραφές , γεγονότα , δραματοποίηση , κορύφωση , λογοτεχνικό ύφος που όλα στοχεύουν στο να ντύσουν με καλαισθητικό και ευχάριστο τρόπο ένα πρακτικό πρόβλημα. Η αφήγηση λοιπόν δεν είναι αυτοσκοπός αλλά πρόφαση για να στηρίξουμε ένα μαθηματικό οικοδόμημα. Η πλοκή επιλέγεται προσχηματικά ως μέσο ωραίας παρουσίασης μαθηματικών ζητημάτων. Αποτελεί δηλαδή ένα διδακτικό εργαλείο παρουσίασης νέων εννοιών ή ασκήσεων. Εδώ δεν υπάρχει μια λογοτεχνία που ασχολείται με τα μαθηματικά , αλλά αντίστροφα μαθηματικά που ντύνονται την λογοτεχνία. </span><br />
<span style="color: black; font-size: small;">Ας δούμε μερικά παραδείγματα :</span><br />
<br />
<br />
<span style="color: black;"><span style="font-size: large;"><b>1. Ο ΦΟΥΡΝΑΡΗΣ ΚΑΙ Ο ΓΙΓΑΝΤΑΣ</b></span></span><br />
<span style="color: black; font-size: small;">Σ' ένα μακρινό δάσος στην πέρα -πέρα και παραπέρα χώρα ζούσε ένας γίγαντας σε ένα πανύψηλο πύργο. Πέντε χιλιόμετρα νότια υπήρχε ένα μικρό χωριουδάκι ( όχι των στρουμφ βέβαια ). Εκεί ζούσε ο κύριος Μαθημάτας ο φούρναρης που ήταν πέντε φορές πιο κοντός από τον γίγαντά μας. Ζούσε σ΄ ένα φτωχικό καλυβάκι που ήταν πέντε φορές χαμηλότερο απ΄τον πύργο του γίγαντα. Μια μέρα ο κύριος Μαθημάτας αποφάσισε να κάνει περίπατο στο δάσος για να χαρεί τη φύση και το οξυγόνο. Οι πατούσες του ήταν πέντε φορές μικρότερες από τις πατούσες του γίγαντα. Καθώς προχωρούσε αισθάνθηκε περίεργα σα να συνταρασσόταν η γη από σεισμό. Γρήγορα ήρθε αντιμέτωπος με τον πελώριο κάτοικο του δάσους. 'Εγιναν αμέσως φίλοι ( ο καλόκαρδος γίγαντας που λέμε .. .)! Από τότε ο φούρναρής μας έφτιαχνε καθημερινά ψωμί για τον φίλο του . Μόνο που είχε ένα πρόβλημα : Το ψωμί που έτρωγε ο γίγαντας ήταν πέντε φορές μεγαλύτερο από το ψωμί του κυρίου Μαθημάτα!</span><br />
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα :</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><br />
</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><br />
</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">Ύψος φούρναρη Ύψος γίγαντα ύψος καλύβας ύψος πύργου</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><br />
</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">150cm 3m</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><br />
</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"> 600cm 25m</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><br />
</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><br />
</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">μήκος πατούσας φούρναρη μήκος πατούσας γίγαντα</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"> 25cm</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><br />
</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"> 140cm</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><br />
</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><br />
</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">μήκος ψωμιού φούρναρη μήκος ψωμιού γίγαντα</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><br />
</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">20cm</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><br />
</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><span style="color: blue; font-size: small;">ΘΑ ΜΠΟΡΟΥΣΑΤΕ ΝΑ ΦΑΝΤΑΣΤΕΙΤΕ ΟΤΙ ΟΛΗ ΑΥΤΗ Η ΙΣΤΟΡΙΟΥΛΑ ΕΙΝΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΟΥΣ ΑΡΙΘΜΩΝ;</span></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><br />
</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><br />
</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="color: black; font-size: small;"><b>2. ΤΑ ΠΛΑΣΜΑΤΑ ΤΟΥ ΠΟΤΑΜΟΥ</b></span><br />
<span style="font-size: small;"><br />
</span><br />
<span style="font-size: small;"> Σε μια ωραία φυσική τοποθεσία υπήρχε ένα ποτάμι. Στην δυτική και ανατολική πλευρά του ζούσαν κάτι περίεργα πλάσματα που τα λέγανε γνωστά και άγνωστα.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">Τα άγνωστα τα καταλάβαινες από μακριά από ένα χαρακτηριστικό σημάδι στο κούτελό τους. </span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">Είχαν το σημάδι x . Τα γνωστά πάλι ήταν αριθμοί.Για πολλούς αιώνες γνωστά και άγνωστα πλάσματα ζούσαν ειρηνικά και ανάμικτα μεταξύ τους δίπλα - δίπλα. </span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;">Όταν όμως βασιλιάς τους έγινε ο Χωριστέας ο Α΄ ( όχι ο Χαριστέας ) , έβγαλε μια αλλόκοτη απόφαση. Στην δυτική όχθη του ποταμού έπρεπε να ζουν μόνο τα άγνωστα πλάσματα και στην ανατολική τα γνωστά. Έτσι βάλθηκαν όλοι να μεταφέρονται με τους μισθωμένους βαρκάρηδες του βασιλιά από τη μια μεριά στην άλλη ή αντίστροφα. Όσοι λοιπόν χρειαζόταν να περάσουν απέναντι πλήρωναν ένα περίεργο εισητήριο. Έπρεπε να δεκτούν να τους αλλάξουν ( όχι τα φώτα ) τα πρόσημά τους οι μισθωμένοι φοροεισπράκτορες του βασιλιά. Έτσι γιγόταν δεκτοί στη βάρκα και μπάρκαραν για την αντίπερα όχθη κουνώντας το μαντήλι στους προηγούμενους γείτονες.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-size: small;"><br />
</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><span style="color: blue; font-size: small;">ΘΑ ΜΠΟΡΟΥΣΑΤΕ ΝΑ ΑΝΤΙΛΗΦΘΕΙΤΕ ΟΤΙ ΠΡΟΚΕΙΤΑΙ ΓΙΑ ΜΙΑ ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΗ ΜΥΘΟΠΛΑΣΙΑ ΠΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ ΤΗΝ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΧΩΡΙΣΜΟΥ ΓΝΩΣΤΩΝ ΑΠΟ ΑΓΝΩΣΤΟΥΣ ΣΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ;</span></b><br />
<span style="font-size: small;"><br />
</span><br />
<br />
<span style="font-size: small;"><br />
</span><br />
<span style="color: black; font-size: small;"><b>3. ΤΟ ΣΕΝΤΟΥΚΙ ΤΗΣ ΓΙΑΓΙΑΣ ΕΥΓΕΝΙΑΣ</b></span><br />
<span style="font-size: small;"><br />
</span><br />
<span style="font-size: small;"><br />
</span><br />
<span style="font-size: small;">Στο πατάρι του σπιτιού του κυρίου Θανάση βρέθηκε το παλιό σεντούκι της γιαγιάς Ευγενίας , δίπλα σε αράχνες και σκόρπιες αυσπρόμαυρες φωτογραφίες. Ο φίλος μας κατέβασε το σεντούκι προσεκτικά και το ξεσκόνισε με ιδιαίτερη επιμέλεια . Ένα δάκρυ κύλισε στo μάγουλo του από την ανάμνηση της γιαγιάς που τόσο αγαπούσε.</span><br />
<span style="font-size: small;">Ανοίγοντας το βρήκε αρκετά ξεχασμένα προσωπικά της αντικείμενα. Μεταξύ τους ένα κιτρινισμένο από το χρόνο , σχισμένο και μισοσβησμένο χαρτί . Το θυμήθηκε αμέσως! Ήταν ένα κομμάτι από το τετράδιο των μαθηματικών του στο οποίο όταν ήταν μικρός έλυνε συναρτήσεις. </span><br />
<span style="font-size: small;">Προσπάθησε να δει τι έγραφε. Βοηθήστε τον κύριο Θανάση να συμπληρώσει τα σβησμένα από το χρόνο σημεία του :</span><br />
<br />
<span style="font-size: small;"><br />
</span><br />
<span style="font-size: small;">1 4</span><br />
<span style="font-size: small;"> 7</span><br />
<span style="font-size: small;">3</span><br />
<span style="font-size: small;">4 17</span><br />
<span style="font-size: small;"> 28</span><br />
<span style="font-size: small;"><br />
</span><br />
<span style="font-size: small;">7</span><br />
<span style="font-size: small;">8 71</span><br />
<span style="font-size: small;">9</span><br />
<span style="font-size: small;">10</span><br />
<span style="font-size: small;"> </span><br />
<span style="font-size: small;"><br />
</span><br />
<b><span style="color: blue; font-size: small;">ΘΑ ΜΠΟΡΟΥΣΑΤΕ ΝΑ ΦΑΝΤΑΣΤΕΙΤΕ ΟΤΙ ΑΠΟΤΕΛΕΙ ΑΣΚΗΣΗ ΣΤΗΝ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗ ΠΙΝΑΚΑ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ;</span></b><br />
<span style="font-size: small;"><br />
</span><br />
<br />
<span style="font-size: small;"><br />
</span><br />
<b><span style="color: black; font-size: small;">4. ΤΟ ΚΟΥΝΕΛΙ ΤΗΣ ΙΩΑΝΝΑΣ</span></b><br />
<span style="font-size: small;"><br />
</span><br />
<span style="font-size: small;"><br />
</span><br />
<span style="color: black; font-size: small;">Η Ιωάννα ήθελε πολύ να αγοράσουν ένα μικρό κουνέλι από το μικρό μαγαζάκι του κυρίου Βαγγέλη. Ο πατέρας της λύγισε από τα παρακάλια της και αποφάσισε να το σκεφτεί. Πράγματι συζητώντας με τη γυναίκα του είπε ότι θα μπορούσαν να διαθέσουν στην αυλή τους ένα χώρο 36 τετραγωνικών μέτρων για να τον περιφράξουν. Έτσι θα έφτιαχναν ένα κλουβί άνετο για το μικρό ζωάκι. </span><br />
<span style="font-size: small;">Τι διαστάσεις πρέπει να έχει ο χώρος αυτός για να μην τους στοιχίσει " ο κούκος αηδόνι" από την αγορά του σύρματος περίφραξης;</span><br />
<span style="font-size: small;"><br />
</span><br />
<span style="font-size: small;"><br />
</span><br />
<b><span style="color: blue; font-size: small;">ΘΑ ΜΠΟΡΟΥΣΑΤΕ ΝΑ ΦΑΝΤΑΣΤΕΙΤΕ ΟΤΙ ΑΠΟΤΕΛΕΙ ΑΣΚΗΣΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΥ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΟ ΕΜΒΑΔΟΝ;</span></b><br />
<span style="font-size: small;"><br />
</span><br />
<br />
<b><span style="color: black; font-size: small;">5. ΤΑ ΑΔΕΡΦΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΠΟΡΤΟΚΑΛΙΑ</span></b><br />
<span style="font-size: small;"><br />
</span><br />
<span style="font-size: small;"><br />
</span><br />
<span style="color: black; font-size: small;">Ο Χρήστος και η Ντόρα είναι δύο αδέρφια. Στον κήπο τους έχουν μια μικρή πορτοκαλιά.Μια μέρα ο πατέρας τους είπε να μαζέψουν όλα τα πορτοκάλια από το δέντρο. </span><br />
<span style="font-size: small;">- Για να δω ποιος θα μαζέψει τα περισσότερα, τους είπε για να τους παρακινήσει.</span><br />
<span style="font-size: small;">Όταν τελείωσαν το μάζεμα άρπαξαν σακούλες και πήγαν να τα παραδώσουν. </span><br />
<span style="font-size: small;">- Όλα τα πορτοκάλια είναι 44 και η Ντόρα μου έφερε 8 περισσότερα, ξαναείπε ο πατέρας.</span><br />
<span style="font-size: small;">- Εγώ πόσα μάζεψα , ρώτησε τότε ο Χρήστος.</span><br />
<span style="font-size: small;">- Αν φέρνατε τον ίδιο αριθμό πορτοκαλιών ,πόσα θα είχατε, ρώτησε ο πατέρας.</span><br />
<span style="font-size: small;">_ Τα μισά του 44 , είπε η Ντόρα.</span><br />
<span style="font-size: small;">- Δηλαδή 22 , συνεχισε τη σκέψη της ο Χρήστος.</span><br />
<span style="font-size: small;">- Ωραία. Από τα 22 δώσε 4 στην Ντόρα Χρήστο. Πόσα έχεις εσύ και πόσα εκείνη;</span><br />
<span style="font-size: small;">- Εγώ έχω 22-4 = 18 και η Ντόρα 22+4 = 26.</span><br />
<span style="font-size: small;">- Σύ είπας.</span><br />
<span style="font-size: small;"><br />
</span><br />
<b><span style="color: blue; font-size: small;">ΘΑ ΜΠΟΡΟΥΣΑΤΕ ΝΑ ΦΑΝΤΑΣΤΕΙΤΕ ΟΤΙ ΑΠΟΤΕΛΕΙ ΑΣΚΗΣΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ .</span></b><br />
<span style="font-size: small;"><br />
</span><br />
<span style="font-size: small;"><br />
</span><br />
<b><span style="color: black; font-size: small;">6. Ο ΚΥΡΙΟΣ ΑΛΕΞΙΟΥ ΨΑΝΧΕΙ ΓΙΑ ΔΟΥΛΕΙΑ.</span></b><br />
<span style="font-size: small;"><br />
</span><br />
<span style="font-size: small;"><br />
</span><br />
<span style="font-size: small;">Ο κύριος Αλεξίου ψάχνει με αγωνία να βρει δουλειά.Διαβάζει λοιπ.ον στις μικρές αγγελίες ότι στην τεχνική εταιρεία του κυρίου Απατεωνίδη ζητούνται υπάλληλοι και ότι ο μέσος μισθός των υπαλλήλων της εταιρείας είναι 4.000 ευρώ το μήνα. Χωρίς να χάνει την ευκαιρία υπογράφει συμβόλαιο για δύο χρόνια.Την πρώτη φορά όμως που πληρώνρεται διαπιστώνει έκπληκτος ότι πήρε 1.100 ευρώ. Τρέχει και ζητά διευκρινίσεις.Ο κύριος Απατεωνίδης του δίνει τότε το μισθολόγιο της εταιρείας.</span><br />
<span style="font-size: small;"><br />
</span><br />
<span style="font-size: small;">Πρόεδρος κ.Απατεωνίδης 45.000</span><br />
<span style="font-size: small;">Δ/ντής κ. Απατεωνίδου 28.000</span><br />
<span style="font-size: small;">Γραμματέας κ . Απατεωνίδης υιός 22.000</span><br />
<span style="font-size: small;">Μέλη 7 συγγενής 20.000</span><br />
<span style="font-size: small;">Πολιτικοί μηχανικοί (5) 1.100</span><br />
<span style="font-size: small;">Εργάτες ειδικευμένοι(5) 900</span><br />
<span style="font-size: small;">εργάτες ανιδείκευτοι ( 50 ) 700</span><br />
<span style="font-size: small;"><br />
</span><br />
<span style="font-size: small;">Είπε άραγε ψέματα η εταιρεία για τον μηνιαίο μέσο μισθό των υπαλλήλων της;</span><br />
<span style="font-size: small;"><br />
</span><br />
<span style="font-size: small;"><br />
</span><br />
<b><span style="color: blue; font-size: small;">ΘΑ ΜΠΟΡΟΥΣΑΤΕ ΝΑ ΦΑΝΤΑΣΤΕΙΤΕ ΟΤΙ ΑΠΟΤΕΛΕΙ ΑΣΚΗΣΗ ΣΤΗΝ ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΚΑΙ ΤΗΝ ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ;</span></b></div>
<div align="justify">
<span style="font-size: small;"><br />
</span></div>
</div>
</div>
</div>
</div>
</div>
<!-- Blogger automated replacement: "https://images-blogger-opensocial.googleusercontent.com/gadgets/proxy?url=http%3A%2F%2Fneuronarrative.files.wordpress.com%2F2009%2F05%2Fmath_girl.jpg&container=blogger&gadget=a&rewriteMime=image%2F*" with "https://lh3.googleusercontent.com/proxy/2vjyf-FXet1e2TvK1zT0Po-CteV0HSRmoXQU6emVVacThFd4HPoBQ95x59jILzffETPgOMcCuYX45JYZFXU5R9WiD_dYs4la3VsAFkXC67DSlVc" -->Αλέξανδρος Μόσχοςhttp://www.blogger.com/profile/04357778829560813366noreply@blogger.com0